Kaj je vključeno v koncept števila. Največji skupni večkratnik in najmanjši skupni delitelj

V tem članku bomo začeli raziskovati racionalna števila. Tukaj bomo podali definicije racionalna števila, podali bomo potrebna pojasnila in podali primere racionalnih števil. Po tem se bomo osredotočili na to, kako ugotoviti, ali je dano število racionalno ali ne.

Navigacija po straneh.

Definicija in primeri racionalnih števil

V tem razdelku bomo podali več definicij racionalnih števil. Kljub razlikam v besedilu imajo vse te definicije enak pomen: racionalna števila združujejo cela števila in ulomke, tako kot cela števila združujejo naravna števila, njihova nasprotja in število nič. Z drugimi besedami, racionalna števila posplošujejo cela in delna števila.

Začnimo z definicije racionalnih števil, ki se dojema najbolj naravno.

Iz navedene definicije sledi, da je racionalno število:

Vsako naravno število n. Pravzaprav lahko poljubno naravno število predstavite kot navaden ulomek, na primer 3=3/1.
Vsako celo število, še posebej število nič. Pravzaprav lahko vsako celo število zapišemo kot pozitivno navadni ulomek, bodisi kot negativni ulomek bodisi kot nič. Na primer, 26=26/1, .
Kateri koli navadni ulomek (pozitiven ali negativen). To neposredno potrjuje podana definicija racionalnih števil.
Vsako mešano število. Resnično, vedno si je mogoče predstavljati mešano število kot nepravi ulomek. Na primer, in.
Kateri koli končni decimalni ulomek ali neskončni periodični ulomek. To je posledica dejstva, da se navedeni decimalni ulomki pretvorijo v navadne ulomke. Na primer, in 0,(3)=1/3.

Jasno je tudi, da vsaka neskončna neperiodična decimalno NI racionalno število, ker ga ni mogoče predstaviti kot ulomek.

Zdaj lahko enostavno damo primeri racionalnih števil. Števila 4, 903, 100,321 so racionalna števila, ker so naravna števila. Tudi cela števila 58, −72, 0, −833,333,333 so primeri racionalnih števil. Navadni ulomki 4/9, 99/3 so tudi primeri racionalnih števil. Racionalna števila so tudi števila.

Iz zgornjih primerov je razvidno, da obstajajo tako pozitivna kot negativna racionalna števila, racionalno število nič pa ni niti pozitivno niti negativno.

Zgornjo definicijo racionalnih števil lahko formuliramo v bolj jedrnati obliki.

Opredelitev.

Racionalna števila so števila, ki jih lahko zapišemo kot ulomek z/n, kjer je z celo število in n naravno število.

Dokažimo, da je ta definicija racionalnih števil enakovredna prejšnji definiciji. Vemo, da lahko ulomkovo premico štejemo za znak deljenja, potem iz lastnosti deljenja celih števil in pravil deljenja celih števil sledi veljavnost naslednjih enakosti in. Torej, to je dokaz.

Navedimo primere racionalnih števil, ki temeljijo na ta definicija. Števila −5, 0, 3 in so racionalna števila, saj jih lahko zapišemo kot ulomke s celim števcem in naravnim imenovalcem oblike oz.

Opredelitev racionalnih števil lahko podamo v naslednji formulaciji.

Opredelitev.

Racionalna števila so števila, ki jih lahko zapišemo kot končni ali neskončni periodični decimalni ulomek.

Ta definicija je enakovredna tudi prvi definiciji, saj vsak navadni ulomek ustreza končnemu ali periodičnemu decimalnemu ulomku in obratno, vsako celo število pa lahko povežemo z decimalnim ulomkom z ničlami za decimalno vejico.

Na primer, števila 5, 0, −13 so primeri racionalnih števil, ker jih je mogoče zapisati kot naslednje decimalne ulomke 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 in −7 (18).

Zaključimo teorijo te točke z naslednjimi izjavami:

cela števila in ulomki (pozitivni in negativni) sestavljajo množico racionalnih števil;
vsako racionalno število lahko predstavimo kot ulomek s celim števcem in naravnim imenovalcem, vsak tak ulomek pa predstavlja določeno racionalno število;
vsako racionalno število je mogoče predstaviti kot končni ali neskončni periodični decimalni ulomek in vsak tak ulomek predstavlja racionalno število.

Je to število racionalno?

V prejšnjem odstavku smo ugotovili, da je vsako naravno število, vsako celo število, vsak navadni ulomek, vsako mešano število, vsak končni decimalni ulomek, pa tudi vsak periodični decimalni ulomek racionalno število. To znanje nam omogoča, da »prepoznamo« racionalna števila iz niza zapisanih števil.

Kaj pa, če je število podano v obliki nekaj , ali kot , itd., kako odgovoriti na vprašanje, ali je to število racionalno? V mnogih primerih je zelo težko odgovoriti. Naj navedemo nekaj smeri razmišljanja.

Če je število podano kot številski izraz, ki vsebuje samo racionalna števila in aritmetične znake (+, −, · in:), potem je vrednost tega izraza racionalno število. To izhaja iz tega, kako so definirane operacije z racionalnimi števili. Na primer, po izvedbi vseh operacij v izrazu dobimo racionalno število 18.

Včasih po poenostavitvi izrazov in njihovi zapletenosti postane mogoče ugotoviti, ali je dano število racionalno.

Gremo dalje. Število 2 je racionalno število, saj je vsako naravno število racionalno. Kaj pa številka? Je racionalno? Izkaže se, da ne, to ni racionalno število, je iracionalno število (dokaz tega dejstva s protislovjem je podan v učbeniku algebre za 8. razred, ki je naveden spodaj na seznamu referenc). Dokazano je tudi, da je kvadratni koren naravnega števila racionalno število le v tistih primerih, ko je pod korenom število, ki je popolni kvadrat nekega naravnega števila. Na primer, in sta racionalni števili, saj je 81 = 9 2 in 1 024 = 32 2, števili in nista racionalni, saj števili 7 in 199 nista popolna kvadrata. naravna števila.

Je število racionalno ali ne? IN v tem primeru Zlahka je videti, da je torej to število racionalno. Je število racionalno? Dokazano je, da je k-ti koren celega števila racionalno število le, če je število pod korenom k-ta potenca nekega celega števila. Zato ni racionalno število, saj ne obstaja celo število s peto potenco 121.

Metoda protislovja vam omogoča, da dokažete, da logaritmi nekaterih števil iz nekega razloga niso racionalna števila. Na primer, dokažimo, da - ni racionalno število.

Predpostavimo nasprotno, to je, recimo, da je to racionalno število in ga lahko zapišemo kot navaden ulomek m/n. Nato podamo naslednje enakosti: . Zadnja enakost je nemogoča, saj je na levi strani liho število 5 n, na desni strani pa je sodo število 2 m. Zato je naša predpostavka napačna in torej ni racionalno število.

Na koncu je treba posebej opozoriti, da se je treba pri ugotavljanju racionalnosti ali iracionalnosti števil vzdržati nenadnih sklepov.

Na primer, ne smete takoj trditi, da je zmnožek iracionalnih števil π in e iracionalno število; to je "navidez očitno", vendar ni dokazano. To postavlja vprašanje: "Zakaj bi bil izdelek racionalno število?" In zakaj ne, saj lahko navedete primer iracionalnih števil, katerih produkt daje racionalno število: .

Prav tako ni znano, ali so števila in številna druga števila racionalna ali ne. Na primer, obstajajo iracionalna števila, katerih iracionalna moč je racionalno število. Za ilustracijo predstavljamo stopnjo oblike , osnova te stopnje in eksponent nista racionalna števila, ampak , 3 pa je racionalno število.

Bibliografija.

Matematika. 6. razred: poučna. za splošno izobraževanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin in drugi]. - 22. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Sodobna simbioza fizike in matematike vodi tudi v radikalen ponovni premislek osnovnih pojmov, ki se uporabljajo v matematiki, med katerimi ima ta koncept najbolj temeljni pomen.

Kaj je vključeno v koncept števila

Število je glavni predmet fizičnega znanja. Številka študija fizike. Fizika proučuje učinke, ki nastanejo zaradi obstoja števila. Število je oblika obstoja časa v naravi. Število je pravi objekt fizike. Število je valovanje in delec hkrati. Število je realen predmet, element časa, stvar, objekt časa, ki je z vidika raziskovalca hkrati val in delec. Število je torej objekt, ki izvaja nihajne in valovne procese. Število izžareva.

Oblika obstoja števila je nihanje - harmonična nihanja, mehanska harmonična nihanja, prosta harmonična nihanja v električnem nihajnem krogu, dušena in prisilna nihanja.

Koncept števila. Kvantna fizika se je bolj kot katera koli druga veja fizike približala resničnemu, a ne očitnemu predmetu sodobne fizike – številu. Pravi predmet fizike je število.

Prostor je sestavljen iz številk. Ena realna neskončnost številskega niza (števna neskončnost) je prostor sam po sebi.

Ena prava neskončnost številskega niza je "polje". Neskončna številska vrsta je konsistentnost »narave«; je proces časa kot stvar vsega izvajanja. Število, univerzalno in konkretno, je resničnost, ki se v klasični mehaniki skriva pod imenom »telo«. Obstaja le številka. Notranji odnosi številskih nizov tvorijo pregleden prostor fizike.

V. I. Šilov

"Hitrost", "pospešek", "impulz", "vztrajnost", "energija", "toplotno gibanje", "delo", "nihanje", "električno polje", " električni naboj"", "električni tok", "dielektrik", "polprevodnik", "plazma", "magnetno polje", "atom", "indukcija", "električni tok", "nihanja", "valovi", "toplotno sevanje" , "foton", "radioaktivnost", "temeljne interakcije osnovnih delcev" - in vse to se meri s številom.

Zato je število izvorni predmet fizike, ki sovpada z bistvom matematike. Vsi fizikalni eksperimenti so poskusi »znotraj« številske serije, poskusi z določenimi števili, poskusi na področju interakcije števil, eksperimenti, ki temeljijo na realni neskončnosti ene, a resnično obstoječe številske serije.

Prav razlika v vrstah števil je dejanska fizična realnost fizikalnih procesov, predstavljenih v vejah sodobne fizike. Razlika v vrstah števil je realna oblika razlike v fizičnih interakcijah in vrstah fizične materije.

Vrste števil odražajo celotno raznolikost fizikalnih procesov in so proučevana oblika te raznolikosti. Torej:

Deljivost števila je specifično fizikalno bistvo fizičnega procesa.

Nedeljivo, praštevilo je zadnji pravi predmet fizike.

Najenostavnejša številka je naravno število. Uporabljajo se v Vsakdanje življenje za štetje predmetov, tj. izračunati njihovo število in vrstni red.

Kaj je naravno število: naravna števila poimenujte številke, ki jih uporabljate štetje predmetov ali za navedbo serijske številke katerega koli predmeta od vseh homogenih predmete.

Cela števila- to so številke, ki se začnejo od ena. Nastanejo naravno pri štetju.Na primer 1,2,3,4,5 ... -prva naravna števila.

Najmanjše naravno število- ena. Največje naravno število ne obstaja. Pri štetju števila Ničla se ne uporablja, zato je ničla naravno število.

Niz naravnih števil je zaporedje vseh naravnih števil. Pisanje naravnih števil:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

V naravnem nizu je vsako število za eno večje od prejšnjega.

Koliko števil je v naravnem nizu? Naravni niz je neskončen, največje naravno število ne obstaja.

Decimalno število, saj 10 enot katere koli števke tvori 1 enoto najvišje števke. Pozicijsko tako kako je pomen števke odvisen od njenega mesta v številu, tj. iz kategorije, kjer je zapisano.

Razredi naravnih števil.

Vsako naravno število lahko zapišemo z 10 arabskimi številkami:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Za branje naravnih števil jih razdelimo, začenši z desne, v skupine po 3 števke. 3 najprej številke na desni so razredi enot, naslednje 3 so razredi tisočic, nato razredi milijonov, milijard initd. Vsako števko razreda imenujemo njenapraznjenje.

Primerjava naravnih števil.

Od 2 naravnih števil je manjše tisto število, ki ga pri štetju prej pokličemo. Na primer, številka 7 manj 11 (napisano takole:7 < 11 ). Ko ena številka več kot drugo, piše takole:386 > 99 .

Tabela števk in razredi števil.


Enota 1. razreda	1. številka enote 2. števke desetice 3. mesto na stotine
2. razred tisoč	1. številka enote tisoč 2. številka desettisoč 3. kategorija stotisoči
milijoni tretjega razreda	1. številka enote milijonov 2. kategorija deset milijonov 3. kategorija na stotine milijonov
milijarde 4. razreda	1. številka enote milijard 2. kategorija desetine milijard 3. kategorija na stotine milijard

Številke od 5. razreda naprej se nanašajo na velike številke. Enote 5. razreda so bilijoni, 6 razred - kvadrilijoni, 7. razred - kvintiljoni, 8. razred - sekstilijoni, 9. razred - eptilioni.

Osnovne lastnosti naravnih števil.

Komutativnost seštevanja . a + b = b + a
Komutativnost množenja. ab = ba
Asociativnost dodajanja. (a + b) + c = a + (b + c)
Asociativnost množenja.
Distributivnost množenja glede na seštevanje:

Operacije z naravnimi števili.

4. Deljenje naravnih števil je obratna operacija množenja.

če b ∙ c = a, To

Formule za deljenje:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Številski izrazi in številske enačbe.

Zapis, kjer so števila povezana z akcijskimi znaki, je številski izraz.

Na primer, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Zapisi, kjer sta 2 številska izraza združena z enakim znakom, so številske enakosti. Enakost ima levo in desno stran.

Vrstni red izvajanja aritmetičnih operacij.

Seštevanje in odštevanje števil sta operaciji prve stopnje, množenje in deljenje pa operaciji druge stopnje.

Kdaj številski izraz je sestavljen iz dejanj samo ene stopnje, izvajajo se zaporedno od leve proti desni.

Če so izrazi sestavljeni samo iz dejanj prve in druge stopnje, se dejanja izvedejo najprej druge stopnje, nato pa - dejanja prve stopnje.

Ko so v izrazu oklepaji, se najprej izvedejo dejanja v oklepajih.

Na primer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Da bi si olajšali življenje, ko morate nekaj izračunati, pridobiti dragoceni čas na enotnem državnem izpitu ali enotnem državnem izpitu, narediti manj neumnih napak - preberite ta razdelek!

Tukaj se boste naučili:

kako šteti hitreje, lažje in natančnejezdruževanje številkpri seštevanju in odštevanju,
kako hitro množiti in deliti brez napak z uporabo pravila množenja in znaki deljivosti,
kako bistveno pospešiti izračune z uporabo najmanjši skupni večkratnik(NOK) in največji skupni delitelj(KIMAJ).

Obvladovanje tehnik v tem razdelku lahko prevesi tehtnico v eno ali drugo smer ... ne glede na to, ali se boste vpisali na sanjsko univerzo ali ne, boste vi ali vaši starši morali plačati veliko denarja za izobraževanje ali pa se boste vpisali na proračun .

Potopimo se takoj ... (Gremo!)

P.S. ZADNJI DRAGEN NASVET...

Pomembna opomba!Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) oz Cmd+R (na Macu).

Kup cela števila je sestavljen iz 3 delov:

cela števila(podrobneje si jih bomo ogledali v nadaljevanju);
števila nasprotna naravnim številom(vse se bo postavilo na svoje mesto, takoj ko boste vedeli, kaj so naravna števila);
nič - " " (Kje bi bili brez njega?)

črka Z.

Cela števila

“Bog je ustvaril naravna števila, vse ostalo je delo človeških rok” (c) nemški matematik Kronecker.

Naravna števila soštevilke, ki jih uporabljamo za štetje predmetov in na tem temelji njihova zgodovina nastanka - potreba po štetju puščic, kož itd.

1, 2, 3, 4...n

črka N.

V skladu s tem ta definicija ne vključuje (ali ne morete šteti nečesa, česar ni?) In še več, ne vključuje negativne vrednosti(je tam jabolko?).

Poleg tega niso vključena vsa ulomka (prav tako ne moremo reči "imam prenosni računalnik" ali "prodal sem avtomobile")

Kaj naravno število lahko zapišemo z 10 ciframi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Torej 14 ni številka. To je številka. Iz katerih števil je sestavljena? Tako je, iz številk in...

Dodatek. Združevanje pri seštevanju za hitrejše štetje in manj napak

Kaj zanimivega lahko poveste o tem postopku? Seveda boste zdaj odgovorili "vrednost vsote se ne spremeni s preurejanjem izrazov." Zdi se, da je to primitivno pravilo, poznano iz prvega razreda, vendar pri reševanju velikih primerov takoj pozabljen!

Ne pozabite nanj -uporabite združevanje, da si olajšate postopek štetja in zmanjšate verjetnost napak, saj ne boste imeli kalkulatorja za enotni državni izpit.

Prepričajte se sami, kateri izraz je lažje sestaviti?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Seveda drugega! Čeprav je rezultat enak. Ampak! Z drugo metodo imate manj možnosti za napake in vse boste naredili hitreje!

Torej, v glavi razmišljate takole:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Odštevanje. Združevanje pri odštevanju za hitrejše štetje in manj napak

Pri odštevanju lahko števila, ki jih odštevamo, tudi združimo, npr.

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Kaj pa, če se v primeru odštevanje izmenjuje s seštevanjem? Lahko tudi skupino, odgovorite in to je pravilno. Prosimo, ne pozabite na znake pred številkami, na primer: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Ne pozabite: nepravilno postavljeni znaki bodo privedli do napačnega rezultata.

Množenje. Kako množiti v glavi

Očitno tudi menjava mest faktorjev ne bo spremenila vrednosti produkta:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Ne bom vam rekel "uporabite to pri reševanju primerov" (sami ste dobili namig, kajne?), temveč vam bom povedal, kako hitro pomnožite nekaj števil v svoji glavi. Torej, pozorno poglejte tabelo:

In še malo o množenju. Dveh se seveda spomnite posebne priložnosti... Ali uganete, kaj mislim? Tukaj o tem:

O ja, poglejmo še enkrat znaki deljivosti. Skupaj je 7 pravil, ki temeljijo na kriterijih deljivosti, od katerih prva 3 že poznate!

Ostalih pa si sploh ni težko zapomniti.

7 znakov deljivosti števil, ki vam bodo pomagali hitro šteti v glavi!

Prva tri pravila seveda poznate.
Četrto in peto si zlahka zapomnimo – pri deljenju z in pogledamo, ali je vsota števk, ki sestavljajo število, deljiva s tem.
Pri deljenju s pogledamo zadnji dve števki števila – ali je število, s katerim naredijo, deljivo?
Pri deljenju z mora biti število deljivo z in hkrati. To je vsa modrost.

Ali zdaj razmišljate, "zakaj potrebujem vse to"?

Prvič, poteka enotni državni izpit brez kalkulatorja in ta pravila vam bodo v pomoč pri krmarjenju po primerih.

In drugič, slišali ste o težavah GCD in NOC? Ali je ta kratica znana? Začnimo se spominjati in razumeti.

Največji skupni delitelj (GCD) – potreben za zmanjševanje ulomkov in hitre izračune

Recimo, da imate dve številki: in. Za kaj največje število Ali sta obe števili deljivi? Odgovorili boste brez oklevanja, saj veste, da:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Katere so pogoste številke v razširitvi? Tako je, 2 * 2 = 4. To je bil tvoj odgovor. Če upoštevate ta preprost primer, ne boste pozabili algoritma za iskanje GCD. Poskusite ga "zgraditi" v svoji glavi. Se je zgodilo?

Če želite najti GCD, morate:

Števila razdelite na prafaktorje (tista števila, ki jih ni mogoče deliti z ničemer drugim razen s samimi seboj ali na primer s 3, 7, 11, 13 itd.).
Pomnožite jih.

Ali razumete, zakaj smo potrebovali znake deljivosti? Tako, da pogledate število in lahko začnete deliti brez ostanka.

Na primer, poiščimo GCD števil 290 in 485

Prva številka - .

Ko ga pogledate, lahko takoj ugotovite, da je deljiv z, zapišimo:

Nemogoče je razdeliti na kaj drugega, lahko pa - in dobimo:

290 = 29 * 5 * 2

Vzemimo drugo številko - 485.

Po merilih deljivosti mora biti deljiva z brez ostanka, saj se konča z. Razdeli:

Analizirajmo izvirno številko.

Ni ga mogoče deliti z (zadnja številka je liha),
- ni deljivo s, kar pomeni, da tudi število ni deljivo s,
z in s tudi ni deljivo (vsota števk, vključenih v število, ni deljiva z in s)
prav tako ni deljivo z, ker ni deljivo z in,
prav tako ni deljivo z, ker ni deljivo z in.
ni mogoče popolnoma razdeliti

To pomeni, da je število mogoče razstaviti le na in.

Zdaj pa poiščimo GCD te številke. Katera številka je to? Prav, .

Bomo vadili?

Naloga št. 1. Poišči gcd števil 6240 in 6800

1) Takoj delim s, ker sta obe števili 100 % deljivi z:

Naloga št. 2. Poišči gcd števil 345 in 324

Tukaj ne morem hitro najti vsaj enega skupnega delitelja, zato ga samo razdelim na prafaktorje (čim manjše):

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) - prihrani čas, pomaga pri reševanju težav na nestandarden način

Recimo, da imate dve številki - in. S katerim najmanjšim številom se lahko deli brez sledu(torej popolnoma)? Težko si predstavljam? Tukaj je vizualni namig za vas:

Se spomnite, kaj črka pomeni? Tako je, samo cela števila. Katero je torej najmanjše število, ki se prilega namesto x? :

V tem primeru.

Od tega preprost primer Sledi več pravil.

Pravila za hitro iskanje NOC

1. pravilo: Če je eno od dveh naravnih števil deljivo z drugim številom, potem je večje od obeh števil njun najmanjši skupni večkratnik.

Poiščite naslednje številke:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

Seveda ste se s to nalogo spopadli brez težav in dobili odgovore - , in.

Upoštevajte, da v pravilu govorimo o DVEH številkah; če je številk več, potem pravilo ne deluje.

Na primer, LCM (7;14;21) ni enako 21, ker ni deljivo z.

Pravilo 2. Če sta dve (ali več kot dve) števili soprosti, potem je najmanjši skupni večkratnik enak njihovemu produktu.

Najti NOC naslednje številke:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

Ste šteli? Tukaj so odgovori - , ; .

Kot razumete, tega istega x ni vedno mogoče tako enostavno pobrati, zato za nekoliko bolj zapletena števila obstaja naslednji algoritem:

Bomo vadili?

Poiščimo najmanjši skupni večkratnik - LCM (345; 234)

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) poiščite sami

Kakšne odgovore ste dobili?

Evo, kaj sem dobil:

Koliko časa ste porabili za iskanje NOC? Moj čas je 2 minuti, res vem en trik, ki ga predlagam, da odprete takoj!

Če ste zelo pozorni, ste to verjetno opazili podane številke smo že pogledali GCD in lahko bi vzeli faktorizacijo teh števil iz tega primera, s čimer bi poenostavili svojo nalogo, vendar to še ni vse.

Poglejte sliko, morda se vam porodijo še kakšne misli:

No? Dal vam bom namig: poskusite z množenjem NOC in GCD med seboj in zapišite vse faktorje, ki se bodo pojavili pri množenju. Vam je uspelo? Na koncu bi morali dobiti takšno verigo:

Oglejte si ga podrobneje: primerjajte množitelje s tem, kako in so postavljeni.

Kakšen sklep lahko potegnete iz tega? Prav! Če pomnožimo vrednosti NOC in GCD med seboj, potem dobimo produkt teh števil.

Skladno s tem imeti številke in pomen GCD(oz NOC), lahko najdemo NOC(oz GCD) po tej shemi:

1. Poiščite produkt števil:

2. Dobljeni produkt delimo z našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je vse.

Zapišimo pravilo v splošni obliki:

Poskusi najti GCD, če je znano, da:

Vam je uspelo? .

Negativna števila so "lažna števila" in njihovo prepoznavanje s strani človeštva.

Kot že razumete, so to števila, nasprotna naravnim, to je:

Negativna števila lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo – tako kot pri naravnih številih. Zdi se, kaj je tako posebnega na njih? Dejstvo pa je, da so si negativna števila »priborila« svoje pravo mesto v matematiki vse do 19. stoletja (do tistega trenutka je bilo ogromno polemik o tem, ali obstajajo ali ne).

Samo negativno število je nastalo zaradi takšne operacije z naravnimi števili, kot je "odštevanje". Dejansko odštejte od tega in dobite negativno število. Zato množico negativnih števil pogosto imenujemo »razširitev množice«. naravna števila».

Negativnih števil ljudje dolgo niso prepoznavali. Tako so stari Egipt, Babilon in Antična grčija- svetilke svojega časa niso prepoznavale negativnih števil in v primeru pridobivanja negativnih korenin v enačbi (na primer, kot je naša), so bile korenine zavrnjene kot nemogoče.

Negativna števila so najprej dobila pravico do obstoja na Kitajskem, nato pa v 7. stoletju v Indiji. Kaj je po vašem mnenju razlog za to priznanje? Tako je, negativna števila so začela označevati dolgove (sicer primanjkljaje). Veljalo je, da so negativne številke začasna vrednost, ki se bo posledično spremenila v pozitivno (to pomeni, da bo denar še vedno vrnjen posojilodajalcu). Vendar je že indijski matematik Brahmagupta negativna števila obravnaval enako kot pozitivna.

V Evropi so uporabnost negativnih števil, pa tudi dejstvo, da lahko označujejo dolgove, odkrili veliko pozneje, morda tisočletje. Prva omemba je bila opažena leta 1202 v "Knjigi abakusa" Leonarda iz Pise (takoj bom rekel, da avtor knjige nima nič skupnega s poševnim stolpom v Pisi, vendar so Fibonaccijeva števila njegovo delo (vzdevek Leonarda iz Pise je Fibonacci)). Nadalje so Evropejci prišli do zaključka, da negativna števila lahko pomenijo ne le dolgove, ampak tudi pomanjkanje česar koli, čeprav tega niso vsi prepoznali.

Tako je v 17. stoletju Pascal verjel, da. Kako mislite, da je to utemeljil? Res je, "nič ne more biti manj kot NIČ." Odmev tistih časov ostaja dejstvo, da sta negativno število in operacija odštevanja označena z istim simbolom - minus "-". In resnica:. Ali je število “ ” pozitivno, od katerega se odšteje, ali negativno, od katerega se sešteje?... Nekaj iz serije “kaj je prej: kokoš ali jajce?” To je tako nenavadna matematična filozofija.

Negativna števila so si zagotovila pravico do obstoja s pojavom analitične geometrije, z drugimi besedami, ko so matematiki predstavili tak koncept, kot je številska os.

Od tega trenutka je prišla enakost. Še vedno pa je bilo več vprašanj kot odgovorov, npr.

delež

Ta delež se imenuje "Arnaudov paradoks". Pomislite, kaj je na tem dvomljivega?

Prepirajmo se skupaj "" je več kot "" kajne? Tako bi po logiki morala biti leva stran deleža večja od desne, pa sta enaki... To je paradoks.

Posledično so se matematiki strinjali do te mere, da je Karl Gauss (ja, ja, to je isti, ki je izračunal vsoto (ali) števila) leta 1831 naredil konec - rekel je, da imajo negativna števila enake pravice kot pozitivna ene in to, da ne veljajo za vse, ne pomeni nič, saj tudi ulomki ne veljajo za marsikaj (se ne zgodi, da kopač koplje jamo, da ne moreš kupiti vstopnice za kino itd. .).

Matematiki so se umirili šele v 19. stoletju, ko sta teorijo negativnih števil ustvarila William Hamilton in Hermann Grassmann.

Te negativne številke so tako kontroverzne.

Pojav »praznine« ali biografija ničle.

V matematiki je to posebno število. Na prvi pogled to ni nič: seštejte ali odštejte - nič se ne bo spremenilo, vendar morate samo dodati na desno do " ", in dobljeno število bo nekajkrat večje od prvotnega. Z množenjem z nič vse spremenimo v nič, z deljenjem z »nič« pa ne moremo. Z eno besedo, čarobna številka)

Zgodovina ničle je dolga in zapletena. Sled ničle je bil najden v zapisih Kitajcev v 2. tisočletju našega štetja. še prej pa med Maji. Prva uporaba simbola ničle, kot je danes, je bila opažena med grškimi astronomi.

Obstaja veliko različic, zakaj je bila izbrana ta oznaka "nič". Nekateri zgodovinarji se nagibajo k prepričanju, da gre za omikron, tj. Prva črka grške besede za nič je ouden. Po drugi različici je beseda "obol" (kovanec skoraj brez vrednosti) dala življenje simbolu ničle.

Nič (ali nič) kot matematični simbol prvič pojavi med Indijci (upoštevajte, da so se tam začela "razvijati" negativna števila). Prvi zanesljivi dokazi o zapisu ničle segajo v leto 876 in v njih je " " sestavni del števila.

Tudi ničla je v Evropo prišla pozno – šele leta 1600 in je tako kot negativna števila naletela na odpor (kaj češ, takšni smo, Evropejci).

»Zero so pogosto sovražili, se je dolgo bali ali celo prepovedovali,« piše ameriški matematik Charles Safe. Tako je turški sultan Abdul Hamid II. konec 19. st. svojim cenzorjem ukazal, naj izbrišejo formulo vode H2O iz vseh učbenikov za kemijo, črko »O« vzamejo za nič in ne želijo, da bi bile njegove začetnice diskreditirane zaradi bližine prezirane ničle.«

Na internetu lahko najdete stavek: »Zero je najmočnejša sila v vesolju, zmore vse! Ničla ustvarja red v matematiki in vanjo vnaša tudi kaos.« Povsem pravilna točka :)

Povzetek razdelka in osnovne formule

Množica celih števil je sestavljena iz 3 delov:

naravna števila (podrobneje si jih bomo ogledali v nadaljevanju);
števila nasprotna naravnim številom;
nič - " "

Množica celih števil je označena črka Z.

1. Naravna števila

Naravna števila so števila, ki jih uporabljamo za štetje predmetov.

Množica naravnih števil je označena črka N.

Pri operacijah s celimi števili boste potrebovali sposobnost iskanja GCD in LCM.

Največji skupni delitelj (GCD)

Če želite najti GCD, morate:

Razstavite števila na prafaktorje (tista števila, ki jih ni mogoče deliti z ničemer drugim, razen s samimi seboj ali z npr. ipd.).
Zapišite faktorje, ki so del obeh števil.
Pomnožite jih.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM)

Za iskanje NOC potrebujete:

Števila razdelite na prafaktorje (to že zelo dobro znate narediti).
Zapišite faktorje, vključene v razširitev ene od številk (bolje je vzeti najdaljšo verigo).
Dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil.
Poiščite produkt nastalih faktorjev.

2. Negativna števila

To so števila, nasprotna naravnim, to je:

Zdaj te želim slišati ...

Upam, da ste cenili super uporabne »trike« v tem razdelku in razumeli, kako vam bodo pomagali pri izpitu.

In kar je še pomembneje – v življenju. Ne govorim o tem, a verjemite mi, ta je resnična. Sposobnost hitrega in brez napak štetja vas reši v številnih življenjskih situacijah.

Zdaj si ti na vrsti!

Napišite, ali boste pri izračunih uporabljali metode združevanja v skupine, teste deljivosti, GCD in LCM?

Ste jih morda že uporabljali? Kje in kako?

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

V komentarje napišite, kako vam je članek všeč.

Pa srečno na izpitih!

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

Odklenite vse skrite naloge v tem članku - Kupite izdelek - 299 rub.
Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Prejemni vir: GOST 111 90: Pločevinasto steklo. Specifikacije izvirni dokument Glej tudi povezane izraze: 109. Število betatronskih nihanj ...

Glagol., nsv., rabljen. primerjati pogosto Oblikoslovje: jaz vstopim, ti vstopiš, on/ona/to vstopi, mi vstopimo, vi vstopite, vstopijo, vstopijo, vstopite, vstopite, vstopite, vstopite, vstopite, vstopite, vstopite, vstopite, vstopite; samostalnik, m. vhod... Slovar Dmitrieva

Število gibov paketa tuljav- 9. Število gibov paketa tuljav Število zaporedno povezanih skupin tuljav, za katere je značilna skupna smer gibanja glede na pralni medij notranje okolje Opomba. Glede na število potez ločijo npr. enopotezne,... ... Slovar-priročnik izrazov normativne in tehnične dokumentacije

Posebna vrsta kognitivne dejavnosti, namenjena razvoju objektivnega, sistematično organiziranega in utemeljenega znanja o svetu. Vzajemno vpliva na druge vrste kognitivne dejavnosti: vsakdanje, umetniške, verske, mitološke ... Filozofska enciklopedija

Vsebina: 1) Opredelitev Ts. 2) Izvor Ts. 3) splošne značilnosti T. 4) Organizacija T. 5) Gospodarska struktura T. 6) Politična vloga T. 7) Razvoj srednjeveške cehovske organizacije. 8) Zaton C. 9) Slovstvo. 1) Opredelitev C.... ... enciklopedični slovar F. Brockhaus in I.A. Efron

Ta izraz ima druge pomene, glejte Revolucionarni koledar. Koledar Podatki o koledarju Vrsta koledarja Solar, lunar, lunisolar Koledarsko obdobje Vstavljanje prestopnih let ... Wikipedia

Ta članek nima povezav do virov informacij. Podatki morajo biti preverljivi, sicer so lahko vprašljivi in izbrisani. Lahko ... Wikipedia

Uran ... Wikipedia

Uran Fotografija Urana iz Voyagerja 2. Podatki o odkritju Datum odkritja 13. marec 1781 Odkritelj ... Wikipedia

Danny Phantom ... Wikipedia

knjige

Kozmoritmi v zgodovini Ruskega cesarstva (1671-1918), V. I. Vasiljev. Ta knjiga predstavlja izvirna tehnika izračunavanje planetarnih razmerij med različnimi datumi v zgodovini. Povsod uporabljene časovne enote so konvencionalne, vezane na...
13 vrat ezoterike. Zgodovina ezoteričnih naukov od Adama do danes, Evgeniy Kolesov. Ta knjiga je nastala na podlagi tečaja predavanj, ki jih je imel avtor v letih 1994–95. na Univerzi za kulturno zgodovino. Avtor je že dolgo imel idejo, da bi poskušal zgodbo prikazati koherentno in objektivno ...

Morda bi bilo koristno prebrati: