Soprosta števila - definicija, primeri in lastnosti.





Nazaj naprej

Pozor! Predogled diapozitiva je zgolj informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

To delo je namenjeno spremljanju razlage nova tema. Učitelj izbere praktične in domače naloge po lastni presoji.

Oprema: računalnik, projektor, platno.

Napredek razlage

Diapozitiv 1. Največji skupni delitelj.

ustno delo.

1. Izračunaj:

A)

0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?

 b)

5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?

Odgovori: a) 8; b) 3.

2. Ovrzi trditev: Število »2« je skupni delilec vseh števil.«

Očitno je, da liha števila niso deljiva z 2.

3. Kako se imenujejo števila, ki so večkratnika 2?

4. Poimenuj število, ki je delitelj poljubnega števila.

Pisno.

1. Razštej število 2376 na prafaktorje.

2. Poišči vse skupne delitelje števil 18 in 60.

Kaj je največji skupni delitelj za 18 in 60.

Poskusite formulirati, katero število imenujemo največji skupni delitelj dveh naravnih števil

Pravilo. Največje naravno število, ki ga lahko delimo brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj.

Zapišejo: GCD (18; 60) = 6.

Prosim, povejte mi, ali je obravnavani način iskanja GCD primeren?

Številke so lahko prevelike in jim je težko našteti vse delilnike.

Poskusimo najti drug način za iskanje GCD.

Razstavimo števili 18 in 60 na prafaktorje:

18 =

Navedite primere deliteljev števila 18.

Številke: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Navedite primere deliteljev števila 60.

Številke: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; trideset; 60.

Navedite primere skupni delilnikištevilki 18 in 60.

Številke: 1; 2; 3; 6.

Kako najdeš največji skupni delitelj 18 in 60?

Algoritem.

1. Razstavite ta števila na prafaktorje.

2. Primerjaj množitelje števil in prečrtaj različne.

3. Izračunaj zmnožek preostalih faktorjev.

Diapozitiv 4. Vzajemno praštevila.

telovadba. Poišči GCD števil 24 in 35.

Pravilo. Naravna števila so praštevila, če je njihov največji skupni delitelj 1.

To je zanimivo!

  • Delitelji števila 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
  • Delitelji 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; trideset; 60.
  • GCD (18;60) = 6.
  • Delitelji 6: 1; 2; 3; 6.
  • Upoštevajte, da številke 1; 2; 3; 6 so skupni delitelji 18 in 60.
  • NOT (108; 196) = 4. Torej lahko takoj rečemo, da sta skupna delitelja števil 108 in 196 delitelja števila 4, torej 1; 2; 4.

Vsak delitelj NOD števila (a;b) je skupni delitelj števil a in b, in obratno, vsak njun skupni delitelj je delitelj NOD števila (a;b).


Informacije v tem članku pokrivajo temo " relativno praštevila". Najprej je podana definicija dveh soprostih števil ter definicija treh ali več soprostih števil. Sledijo primeri soprostih števil in kako dokazati, da so podana števila enako praštevila. Nadalje so navedene in dokazane glavne lastnosti soprostih števil. Na koncu so omenjena praštevila po parih, saj so tesno povezana s sopraštevili.

Navigacija po straneh.

Pogosto obstajajo naloge, pri katerih je treba dokazati, da so podana cela števila soprosta. Dokaz se zmanjša na izračun največjega skupnega delitelja danih števil in preverjanje, ali je gcd enako ena. Koristno je tudi pogledati v tabelo praštevil, preden izračunamo GCD: nenadoma so prvotna cela števila praštevila in vemo, da je največji skupni delitelj praštevil enak ena. Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Dokaži, da sta števili 84 in 275 enako praštevili.

rešitev.

Očitno ti števili nista praštevili, zato ne moremo takoj govoriti o medsebojni preprostosti števil 84 in 275, zato bomo morali izračunati GCD. Uporabite evklidski algoritem za iskanje GCD: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , torej GCD (84, 275)=1 . To dokazuje, da sta števili 84 in 275 sopraštevilni.

Definicija soprostih števil se lahko razširi na tri ali več števil.

Opredelitev.

Imenujemo cela števila a 1 , a 2 , …, a k , k>2 coprimeče je največji skupni delitelj teh števil enak ena.

Iz zgornje definicije sledi, da če ima določena množica celih števil pozitiven skupni delitelj, ki ni ena, potem ta cela števila niso enako praštevilna.

Navedimo primere. Tri cela števila -99 , 17 in -27 so sopraštevilna. Vsaka zbirka praštevil sestavlja niz relativno praštevil, na primer 2, 3, 11, 19, 151, 293 in 677 so relativno praštevila. Štiri števila 12, −9, 900 in −72 niso sorazmerno praštevila, ker imajo pozitiven skupni delitelj 3, ki je drugačen od 1. Tudi števila 17, 85 in 187 niso sopraštevilna, saj je vsako od njih deljivo s 17.

Običajno še zdaleč ni očitno, da so nekatera števila sopraštevilna, in to dejstvo je treba dokazati. Če želite ugotoviti, ali so ti števili enako praštevili, morate poiskati največji skupni delitelj teh števil in na podlagi definicije soprostih števil sklepati.

Primer.

Ali so števila 331, 463 in 733 sorazmerno praštevila?

rešitev.

Če pogledamo tabelo praštevil, ugotovimo, da je vsako od števil 331, 463 in 733 praštevilo. Zato imajo en sam pozitivni skupni delitelj, ena. Tako so tri števila 331, 463 in 733 relativno praštevila.

odgovor:

ja

Primer.

Dokaži, da števila −14 , 105 , −2 107 in −91 niso sopraštevilna.

rešitev.

Če želite dokazati, da ti števili nista soprosti, lahko poiščete njihov gcd in se prepričate, da ni enak ena. Torej naredimo to.

Ker so delitelji negativnih celih števil enaki deliteljem ustreznih, potem gcd(−14, 105, 2107, −91)= gcd(14, 105, 2 107, 91) . Če se obrnemo na gradivo članka in poiščemo največji skupni delitelj treh ali več števil, ugotovimo, da je GCD (14, 105, 2 107, 91) = 7. Zato je največji skupni delitelj prvotnih števil sedem, torej ta števila niso sopraštevilna.

Lastnosti soprostih števil

Soprosta števila imajo številne lastnosti. Razmislite o glavnem koprime lastnosti.

    Števili, ki jih dobimo z deljenjem celih števil a in b z največjim skupnim deliteljem, so sopraprosti, to pomeni, da sta a:gcd(a, b) in b:gcd(a, b) sopraprosta.

    To lastnost smo dokazali, ko smo analizirali lastnosti GCD.

    Upoštevana lastnost soprostih števil omogoča iskanje parov soprostih števil. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete kateri koli dve celi števili in ju delite z največjim skupnim deliteljem, dobljeni števili bosta soprosti.

    Da bi bili celi števili a in b sopraprosti, je nujno in zadostno, da obstajata taki celi števili u 0 in v 0, da je a·u 0 +b·v 0 =1 .

    Najprej dokažimo nujnost.

    Naj bosta števili a in b soprosti. Potem je po definiciji soprostih števil gcd(a, b)=1 . In iz lastnosti gcd vemo, da za cela števila a in b velja Bezoutova relacija a u 0 +b v 0 =gcd(a, b). Zato je a·u 0 +b·v 0 =1 .

    Treba je še dokazati zadostnost.

    Naj velja enakost a·u 0 +b·v 0 =1. Ker gcd(a, b) deli tako a kot b, mora gcd(a, b) zaradi lastnosti deljivosti deliti vsoto a u 0 + b v 0 in s tem enoto. In to je mogoče le, če je gcd(a, b)=1. Zato sta a in b soprosti števili.

    Naslednja lastnost soprostih števil je naslednja: če sta števili a in b enako praštevili in je produkt a c deljiv z b, potem je c deljiv z b.

    Ker sta a in b enako praštevilna, iz prejšnje lastnosti izhaja enakost a u 0 +b v 0 =1 . Če obe strani te enakosti pomnožimo s c, dobimo a·c·u 0 +b·c·v 0 =c . Prvi člen vsote a c u 0 +b c v 0 je deljiv z b, ker je a c po pogoju deljiv z b, drugi člen te vsote je prav tako deljiv z b, ker je eden od faktorjev enak b, zato je cela vsota je deljiva z b. In ker je vsota a·c·u 0 +b·c·v 0 enaka c, potem je tudi c deljiv z b.

    Če sta števili a in b relativno praštevili, potem je gcd(a c, b)=gcd(c, b) .

    Pokažimo, prvič, da gcd(a c, b) deli gcd(c, b) in drugič, da gcd(c, b) deli gcd(a c, b) , to bo dokazalo enakost gcd(a c, b) =gcd(c, b) .

    GCD(a c, b) deli tako a c kot b , in ker gcd(a c, b) deli b , deli tudi b c . To pomeni, da gcd(a c, b) deli tako a c kot b c, zato zaradi lastnosti največjega skupnega delitelja deli tudi gcd(a c, b c) , kar je po lastnostih gcd c c gcd(a , b)=c . Tako gcd(a c, b) deli oba, b in c, zato tudi gcd(c, b) deli.

    Po drugi strani pa gcd(c, b) deli tako c kot b, in ker deli c, deli tudi c. Torej gcd(c, b) deli tako a c kot b, torej tudi gcd(a c, b) deli.

    Pokazali smo torej, da se gcd(a c, b) in gcd(c, b) medsebojno delita, kar pomeni, da sta enaka.

    Če je vsako od števil a 1 , a 2 , …, a k soprosto z vsakim od števil b 1 , b 2 , …, b m (kjer sta k in m nekaj cela števila), potem sta produkta a 1 a 2 ... a k in b 1 b 2 ... b m soprosta števila, zlasti če je a 1 =a 2 =...=a k =a in b 1 =b 2 = …=b m =b , potem sta a k in b m enako praštevili.

    Prejšnja lastnost soprostih števil nam omogoča, da zapišemo niz enakosti oblike GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)= NOT(a 2 ... a k , b m)=…= NOT(a k , b m)=1, kjer je možen zadnji prehod, saj sta a k in b m po predpostavki enako praštevili. Torej, NOT(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.

    Če zdaj označimo a 1 ·a 2 ·…·a k =A , imamo
    GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= GCD(b 1 b 2 ... b m , A)=
    =gcd(b 2 ... b m , A)=... =gcd(b m , A)=1
    (velja zadnji prehod, na podlagi zadnje enakosti iz prejšnjega odstavka). Tako smo dobili enakost GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, kar dokazuje, da sta produkta a 1 ·a 2 ·…·a k in b 1 ·b 2 ·…·b m enako praštevili.

S tem se zaključi pregled glavnih lastnosti soprostih števil.

Praštevila po parih – definicije in primeri

V smislu soprostih števil je podano definicija parnih praštevil.

Opredelitev.

Cela števila a 1 , a 2 , …, a k , od katerih je vsako enako praštevilo z vsemi drugimi, imenujemo praštevila po parih.

Naj navedemo primer parnih praštevil. Števila 14, 9, 17 in -25 so po parih praštevila, saj so pari števil 14 in 9, 14 in 17, 14 in -25, 9 in 17, 9 in -25, 17 in -25 enako praštevila. Tukaj ugotavljamo, da so praštevila po parih vedno sopraštevila.

Po drugi strani pa sorazmerno praštevila niso vedno po paru praštevila, kar potrjuje naslednji primer. Števila 8 , 16 , 5 in 15 niso po paru praštevila, saj števili 8 in 16 nista praštevila. Vendar pa so števila 8, 16, 5 in 15 sopraštevilna. Tako so 8 , 16 , 5 in 15 enako praštevila, vendar ne praštevila po parih.

Poudariti je treba množico določenega števila praštevil. Ta števila so vedno soprosta in po paru praštevila. Na primer, 71, 443, 857, 991 so tako praštevila kot sopraštevila po paru.

Jasno je tudi, da kdaj pogovarjamo se o dveh celih številih, potem zanje pojma "parno praštevilo" in "soprime" sovpadata.

Bibliografija.

  • Vilenkin N.Y. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.
  • Vinogradov I.M. Osnove teorije števil.
  • Mikhelovich Sh.Kh. Teorija števil.
  • Kulikov L.Ya. in drugi Zbirka nalog iz algebre in teorije števil: Vadnica za študente fizike in matematike. specialnosti pedagoških zavodov.

Kaj so soprosta števila?

Definicija soprostih števil

Definicija soprostih števil:

Kopraštevila so cela števila, ki nimajo skupnih deliteljev razen ena.

Primeri soprostih števil

Primer soprostega primera:

2 in 3 nimata drugih skupnih deliteljev razen ena.

Še en primer relativno praštevil:

3 in 7 nimata drugih skupnih deliteljev razen ena.

Še en primer soprostih števil:

11 in 13 nimata drugih skupnih deliteljev razen ena.

Zdaj lahko odgovorimo na vprašanje, kaj pomenijo soprosta števila.

Kaj pomeni soprosto število?

To so cela števila, ki nimajo skupnih deliteljev razen ena.

Dve soprosti števili

Vsak od teh parov sta dve relativno praštevili.

11 in 15
15 in 16
16 in 23

Skupni delitelji soprostih števil

Skupni delitelj soprostih števil je samo eden, kot izhaja iz definicije soprostih števil.

Največji skupni delitelj soprostih števil

Največji skupni delitelj soprostih števil je ena, kot izhaja iz definicije soprostih števil.

Ali so števila relativno praštevila?

Ali sta števili 3 in 13 soprosti? Da, ker nimajo skupnih deliteljev, razen enega.

Ali sta števili 3 in 12 soprosti? Ne, ker imata skupna delitelja 1 in 3. In po definiciji soprostih števil bi moralo biti le eno skupni delilnik.

Ali sta števili 3 in 108 soprosti? Ne, ker imata skupna delitelja 1 in 3. In po definiciji soprostih števil bi moralo biti le eno skupni delilnik.

Ali sta števili 108 in 5 soprosti? Da, ker nimajo skupnih deliteljev, razen enega.



 

Morda bi bilo koristno prebrati: