Zakaj pride do dušenja? dušene vibracije

SPLOŠNE INFORMACIJE

nihanja imenovani gibi ali procesi, za katere je značilno določeno ponavljanje v času. Nihanja se imenujejo prost, če se izvajajo na račun prvotno posredovane energije s kasnejšo odsotnostjo zunanjih vplivov na nihajni sistem. Najenostavnejša vrsta nihanj so harmonična nihanja – nihanja, pri katerih se nihajna vrednost spreminja v času po sinusnem ali kosinusnem zakonu.

Diferencialna enačba harmoničnih nihanj ima obliko:

kjer je nihajna vrednost, je ciklična frekvenca.

je rešitev te enačbe. Tukaj - amplituda , - začetna faza.

Faza nihanja.

Amplituda - največja vrednost nihajoče količine.

Nihajna doba je časovno obdobje, po katerem se gibanje telesa ponovi. Faza nihanja za periodo prejme prirastek. . , je število vibracij.

Frekvenca nihanja - število popolnih nihanj na enoto časa. . . Meri se v hercih (Hz).

Ciklična frekvenca - število nihanj na sekundo. . Enota .

Faza nihanja je vrednost, ki je pod predznakom kosinusa in označuje stanje nihajnega sistema v katerem koli trenutku.

Začetna faza - faza nihanj v začetnem trenutku časa. Faza in začetna faza se merita v radianih ().

Brezplačne dušene vibracije- nihanja, katerih amplituda se zaradi izgub energije realnega nihajnega sistema s časom zmanjšuje. Najenostavnejši mehanizem za zmanjševanje energije nihanja je njena pretvorba v toploto zaradi trenja v mehanskih nihajnih sistemih, pa tudi zaradi ohmskih izgub in sevanja elektromagnetne energije v električnih nihajnih sistemih.

- logaritemski dekrement dušenja.

Vrednost N e- to je število nihanj, ki nastanejo med zmanjšanjem amplitude v e enkrat. Logaritemski dekrement dušenja je konstantna vrednost za dani nihajni sistem.

Za karakterizacijo nihajnega sistema se uporablja koncept faktorja kakovosti Q, ki je za majhne vrednosti logaritemskega dekrementa enaka

Faktor kakovosti je sorazmeren s številom nihanj, ki jih sistem izvede v času relaksacije.

DOLOČANJE KOEFICENTA TRANJA Z NAGNJENIM NIHALOM

Teoretična utemeljitev metode za določanje koeficienta trenja

Nagnjeno nihalo je kroglica, obešena na dolgi niti in leži na nagnjeni ravnini.

Če se žoga odstrani iz ravnotežnega položaja (os OO 1) do kota a in nato spustite, nato bo nihalo zanihalo. V tem primeru se bo krogla kotalila po nagnjeni ravnini blizu ravnotežnega položaja (slika 1, a). Med kroglo in nagnjeno ravnino bo delovala kotalna sila trenja. Posledično bodo nihanja nihala postopoma zamrla, kar pomeni, da se bo sčasoma zmanjšala amplituda nihanj.

Predpostavimo lahko, da lahko torno silo in koeficient kotalnega trenja določimo iz dušenja nihanj.

Izpeljimo formulo, ki povezuje zmanjšanje amplitude nihanja s koeficientom kotalnega trenja m. Ko se krogla kotali po ravnini, sila trenja deluje. To delo zmanjša skupno energijo žoge. Celotna energija je vsota kinetične in potencialne energije. V tistih legah, kjer je nihalo najbolj odklonjeno od ravnotežnega položaja, sta njegova hitrost in s tem kinetična energija enaki nič.

Te točke se imenujejo prelomnice. V njih se nihalo ustavi, obrne in pomakne nazaj. V trenutku vrtenja je energija nihala enaka potencialni energiji, zato je zmanjšanje potencialne energije nihala, ko se premika od ene obratne točke do druge, enako delu sile trenja na poti. med prelomnicami.

Pustiti A- prelomnica (slika 1, a). V tem položaju tvori nit nihala z osjo kot a OO 1. Če ne bi bilo trenja, bi bilo po polovici obdobja nihalo na točki n, odklonski kot pa bi bil enak a. Toda zaradi trenja se žogica ne bo odkotalila malo do točke n in se ustavite pri bistvu IN.To bo nova prelomnica. Na tej točki kot navoja z os OO 1 bo enako . Za polovico obdobja se je vrtilni kot nihala zmanjšal za . Pika IN ki se nahaja nekoliko nižje od točke A, in torej potencialna energija nihala v točki IN manj kot točka A. Zato je nihalo pri premikanju s točke izgubilo višino A točno IN.

Poiščimo povezavo med izgubo kota in izgubo višine. Da bi to naredili, projiciramo točke A in B na os OO 1 (glej sliko 1, a). To bodo točke A 1 in B 1 oz. Očitno je dolžina segmenta A 1 IN 1

kje je dolžina niti.

Ker je os OO 1 je nagnjena pod kotom na navpičnico, projekcija segmenta na navpično os je izguba višine (slika 1, b):

V tem primeru sprememba potencialne energije nihala ob njegovem prehodu iz položaja A v položaj IN je enako:

, (3)

Kje m- masa žoge;

g- gravitacijski pospešek.

Izračunamo delo sile trenja.

Sila trenja je določena s formulo:

Pot, ki jo kroglica prehodi v polovici nihajne dobe nihala, je enaka dolžini loka. AB:

Delo sile trenja na poti:

Toda , zato se ob upoštevanju enačb (2), (3), (4) izkaže

. (6)

Izraz (6) je močno poenostavljen ob upoštevanju dejstva, da je kot zelo majhen (reda reda 10 -2 radianov). Torej, . Ampak. Zato .

Tako ima formula (6) obliko:

. (7)

Iz formule (7) je razvidno, da je izguba kota v polovici obdobja določena s koeficientom trenja m in kotom a. Vendar pa je mogoče najti pogoje, pod katerimi a ni odvisen od kota. Upoštevajmo, da je koeficient kotalnega trenja majhen (reda 10 -3). Če upoštevamo dovolj velike amplitude nihanja nihala a, tako da , potem lahko člen v imenovalcu formule (7) zanemarimo tudi takrat:

Po drugi strani pa naj bo kot a dovolj majhen, da predpostavimo, da . Potem bo izguba kota za polovico obdobja nihanja določena s formulo:

. (8)

Formula (8) velja, če:

. (9)

Ker je m reda 10 -2 , je neenakost (9) izpolnjena s koti a reda 10 -2 -10 -1 radianov.

Torej bo med enim popolnim nihanjem izguba kota:

ampak za n nihanja - .

Formula (10) ponuja priročen način za določanje koeficienta kotalnega trenja. Izmeriti je treba zmanjšanje kota Da n za 10-15 nihajev in nato z uporabo formule (10) izračunajte m.

V formuli (10) je vrednost Da izražena v radianih. Za uporabo vrednosti Da v stopinjah je treba formulo (10) spremeniti:

. (11)

Ugotovimo fizični pomen koeficienta kotalnega trenja. Najprej razmislite o splošnejšem problemu. Masa žoge m in vztrajnostni moment Ic glede na os, ki poteka skozi središče mase, se premika po gladki površini (slika 2).

riž. 2

V središče mase C sila, ki deluje vzdolž osi vol in ki je funkcija koordinate x. Sila trenja deluje na telo s strani površine F TR. Naj bo moment sile trenja okoli osi, ki poteka skozi središče C krogla, je enako M TR.

Enačbe gibanja žoge imajo v tem primeru obliko:

; (12)

, (13)

Kje - hitrost središča mase;

w je kotna hitrost.

V enačbah (12) in (13) so štiri neznanke: , w F TR, M TR . Na splošno naloga ni definirana.

Predpostavimo, da:

1) telo se kotali brez zdrsa. Nato:

Kje R- kroglični polmer;

2) telo in ravnina sta absolutno toga, tj. telo ni deformirano, ampak se v eni točki dotakne ravnine O(točkovni stik), potem obstaja povezava med momentom sile trenja in silo trenja:

. (15)

Ob upoštevanju formul (14) in (15) iz enačb (12) in (13) dobimo izraz za silo trenja:

. (16)

Izraz (16) ne vsebuje tornega koeficienta m, ki ga določajo fizikalne lastnosti kontaktnih površin krogle in ravnine, kot je hrapavost, ali vrsta materiala, iz katerega sta krogla in ravnina izdelani. Ta rezultat je neposredna posledica sprejete idealizacije, ki jo odražata razmerja (14) in (15). Poleg tega je enostavno pokazati, da v sprejetem modelu sila trenja ne deluje. Dejansko enačbo (12) pomnožimo z , in enačba (13) na w. Glede na to

in če seštejemo izraza (12) in (13), dobimo

Kje W(x) je potencialna energija žoge v polju sil F(x). Upoštevati je treba, da

Če upoštevamo formuli (14) in (15), potem desna stran enakosti (17) izgine. Na levi strani enačbe (17) je časovni odvod celotne energije sistema, ki je sestavljen iz kinetične energije translacijskega gibanja žogice. , kinetična energija rotacijskega gibanja in potencialno energijo W(X). To pomeni, da je celotna energija sistema stalna vrednost, tj. sila trenja ne deluje.

Očitno je tudi ta nekoliko nenavaden rezultat posledica sprejete idealizacije. To kaže, da sprejeta idealizacija ne ustreza fizični realnosti. Dejansko v procesu gibanja žogica interagira z ravnino, zato mora njena mehanska energija upadati, kar pomeni, da lahko razmerja (14) in (15) držita le do te mere, da disipacijo energije zanemarimo.

Povsem jasno je, da v tem primeru takšne idealizacije ne moremo sprejeti, saj je naš cilj določiti koeficient trenja iz spremembe energije nihala. Zato bomo predpostavko o absolutni togosti krogle in površine ter s tem pravični povezavi (15) šteli za pravično. Vendar opustimo predpostavko, da se žoga premika brez zdrsa. Predvidevamo, da je prišlo do rahlega zdrsa.

Naj bo hitrost dotičnih točk (točka O na sliki 2) žoge (hitrost zdrsa):

. (19)

Nato zamenjamo v enačbo (17) in ob upoštevanju pogojev (15) in (20) pridemo do enačbe:

, (21)

iz katerega je razvidno, da je hitrost disipacije energije enaka moči sile trenja. Rezultat je povsem naraven, saj. telo drsi po površini s hitrostjo In, nanj deluje sila trenja, ki opravlja delo, zaradi česar se celotna energija sistema zmanjša.

Z diferenciacijo v enačbi (21) in ob upoštevanju razmerja (18) dobimo enačbo gibanja središča mase krogle:

. (22)

Podobno je enačbi gibanja materialne točke z maso:

, (23)

pod vplivom zunanje sile F in kotalne sile trenja:

Še več, F TR je običajna sila drsnega trenja. Ko se žogica kotali, je torej efektivna sila trenja, ki ji pravimo kotalna sila trenja, preprosto običajna sila drsnega trenja, pomnožena z razmerjem med hitrostjo drsenja in hitrostjo središča mase telesa. V praksi pogosto opazimo primer, ko kotalna sila trenja ni odvisna od hitrosti telesa.

Očitno je v tem primeru stopnja zdrsa in sorazmerno s hitrostjo telesa:

V realnih nihajnih sistemih poleg kvazielastičnih sil obstajajo tudi sile upora medija. Prisotnost sil trenja vodi do disipacije (razpršitve) energije in zmanjšanja amplitude nihanja. Z upočasnitvijo gibanja sile trenja povečajo periodo, tj. zmanjša frekvenco nihanja. Takšna nihanja ne bodo harmonična.

Imenujejo se nihanja z amplitudo, ki se s časom nenehno zmanjšuje zaradi disipacije energije bledenje . Pri dovolj majhnih hitrostih je sila trenja sorazmerna s hitrostjo telesa in je usmerjena proti gibanju.

kjer je r koeficient trenja, ki je odvisen od lastnosti medija, oblike in velikosti gibajočega se telesa. Diferencialna enačba dušenih nihanj ob prisotnosti sil trenja bo imela obliko:

oz
(21)

Kje
- koeficient slabljenja,

- lastna krožna frekvenca prostih nihanj v odsotnosti tornih sil.

Splošna rešitev enačbe (21) v primeru majhnega dušenja (
) je:

Od harmoničnega (8) se razlikuje po tem, da je amplituda nihanja:

(23)

je padajoča funkcija časa in krožne frekvence povezana z naravno frekvenco in faktor dušenja razmerje:

. (24)

Perioda dušenih nihanj je enaka:

. (25)

Odvisnost premika X od t dušenih nihanj je prikazana na sl.4.

C stopnja zmanjšanja amplitude je določena s koeficientom slabljenja .

Med
amplituda (23) se zmanjša za faktor e ≈ 2,72. Tokrat naravni razpad imenujemo čas sprostitve. Zato je faktor dušenja recipročna vrednost časa relaksacije:

.(26)

Hitrost zmanjšanja amplitude nihanj je značilna logaritemski dekrement dušenja. Naj sta A(t) in A(t+T) amplitudi dveh zaporednih nihanj, ki ustrezata časovnim točkam, ki se razlikujeta za eno periodo. Nato relacija:

(27)

klical zmanjšanje dušenja, ki kaže, kolikokrat se zmanjša amplituda nihanj v času, ki je enak periodi. Naravni logaritem tega razmerja je:

(28)

se imenuje logaritemski faktor dušenja. Tu je N e število nihanj, izvedenih v času, ko se amplituda zmanjša za faktor e, tj. v času sprostitve.

Tako je logaritemski dekrement dušenja recipročna vrednost števila nihanj, po katerem se amplituda oscilacije zmanjša za faktor e.

Hitrost upadanja energije nihajnega sistema je označena s faktorjem kakovosti Q. Faktor kakovosti nihajnega sistema- vrednost, ki je sorazmerna razmerju med skupno energijo E(t) nihajnega sistema in energijo (- E) izgubljeno v obdobju T:

(29)

Celotna energija nihajnega sistema v poljubnem trenutku in za katero koli vrednost X ima obliko:

(30)

Ker je energija sorazmerna s kvadratom amplitude, se energija dušenih nihanj zmanjšuje sorazmerno z vrednostjo
, lahko napišete:

. (31)

Potem bo po definiciji izraz za faktor kakovosti nihajnega sistema videti takole:

Pri tem se upošteva, da pri nizkih dušenjih (1): 1. -2   2.

Zato je faktor kakovosti sorazmeren s številom nihanj N e, ki jih sistem izvede v času relaksacije.

Faktor kakovosti nihajnih sistemov je lahko zelo različen, na primer faktor kakovosti fizičnega nihala je Q~ 10 2 , medtem ko faktor kakovosti atoma, ki je prav tako nihajni sistem, doseže Q~ 10 8 .

Na koncu omenimo, da ko je koeficient dušenja β=ω 0, postane obdobje neskončno T =∞ (kritično dušenje). Z nadaljnjim povečanjem β postane obdobje T namišljeno, slabljenje gibanja pa se pojavi brez oscilacij, kot pravijo, aperiodično. Ta primer gibanja je prikazan na sliki 5. Kritično dušenje (umiritev) se pojavi v minimalnem času in je pomembno pri merilnih instrumentih, na primer pri balističnih galvanometrih .

IN PRISILJENO VASKULACIJA IN RESONANCA

Če na telo z maso m deluje elastična sila F y \u003d -kX, je sila trenja
in zunanja periodična sila
, potem izvaja prisilna nihanja. V tem primeru ima diferencialna enačba gibanja obliko:

Kje
,
- koeficient slabljenja,
- lastna frekvenca prostih nedušenih nihanj telesa, F 0 - amplituda, ω - frekvenca periodične sile.

V začetnem trenutku delo zunanje sile presega energijo, ki se porabi za trenje (slika 6). Energija in amplituda nihanj telesa bosta naraščali, dokler se vsa energija, ki jo posreduje zunanja sila, popolnoma ne porabi za premagovanje trenja, ki je sorazmerno s hitrostjo. Zato se vzpostavi ravnovesje, v katerem je vsota kinetične in potencialne energije konstantna. Ta pogoj označuje stacionarno stanje sistema.

V tem stanju bo gibanje telesa harmonično s frekvenco, ki je enaka frekvenci zunanjega vzbujanja, vendar bodo zaradi vztrajnosti telesa njegova nihanja fazno zamaknjena glede na trenutno vrednost zunanje periodike. sila:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Za razliko od prostih nihanj amplituda A in faza  prisilnih nihanj nista odvisni od začetnih pogojev gibanja, temveč ju določajo le lastnosti nihajnega sistema, amplituda in frekvenca pogonske sile:

, (35)

. (36)

Vidimo, da sta amplituda in fazni zamik odvisna od frekvence pogonske sile (sl. 7, 8).

Značilnost prisilnih nihanj je prisotnost resonance. Fenomen imenujemo močno povečanje amplitude prisilnih nihanj, ko se frekvenca pogonske sile približa naravni frekvenci prostih nedušenih nihanj telesa ω 0 mehanska resonanca . Amplituda nihanja telesa pri resonančni frekvenci
doseže največjo vrednost:

(37)

V zvezi z resonančnimi krivuljami (glej sliko 7) naredimo naslednje pripombe. Če je ω → 0, pridejo vse krivulje (glej tudi (35)) do iste mejne vrednosti, ki ni ničelna.
, tako imenovani statistično odstopanje. Če je ω→ ∞, potem vse krivulje asimptotično težijo k ničli.

Pod pogojem nizkega dušenja (β 2 ‹‹ω 0 2) je resonančna amplituda (glej (37))

(37a)

Pod tem pogojem vzamemo razmerje med resonančnim odmikom in statičnim odklonom:

iz katerega je razvidno, da je relativno povečanje amplitude nihanj pri resonanci določeno s faktorjem kakovosti nihajnega sistema. Pri tem je dejavnik kakovosti pravzaprav povečanje odziva
sistem in pri nizkem dušenju lahko doseže velike vrednosti.

Ta okoliščina določa velik pomen pojava resonance v fiziki in tehnologiji. Uporablja se, če želijo ojačati vibracije, na primer v akustiki - za izboljšanje zvoka glasbenih instrumentov, v radijskem inženirstvu - za izolacijo želenega signala od mnogih drugih, ki se razlikujejo po frekvenci. Če lahko resonanca povzroči neželeno povečanje nihanj, se uporabi sistem z nizkim faktorjem kakovosti.

POVEZANE VIBRACIJE

Drugi nihajni sistem, elastično povezan s prvim, lahko služi kot vir zunanje periodične sile. Oba nihajna sistema lahko delujeta drug na drugega. Tako je na primer primer dveh sklopljenih nihal (slika 9).

Sistem lahko izvaja tako sinfazna (sl. 9b) kot protifazna (sl. 9c) nihanja. Takšna nihanja imenujemo normalni tip ali normalni način nihanja in so značilna po lastni normalni frekvenci. Pri sinfaznih nihanjih je premik nihala ves čas X 1 \u003d X 2 in frekvenca ω 1 popolnoma enaka frekvenci posameznega nihala
. To je zato, ker je lahka vzmet v prostem stanju in ne vpliva na gibanje. Z antifaznimi nihanji ves čas - X 1 \u003d X 2. Frekvenca takih nihanj je večja in enaka
, saj je vzmet, ki ima togost k in izvaja povezavo, vedno v raztegnjenem, nato v stisnjenem stanju.

L
Vsako stanje našega sklopljenega sistema, vključno z začetnim premikom X (slika 9a), je mogoče predstaviti kot superpozicijo dveh normalnih načinov:

Če spravimo sistem v gibanje iz začetnega stanja X 1 = 0,
, X 2 \u003d 2A,
,

potem bodo premike nihal opisali z izrazi:

Na sl. 10 prikazuje spreminjanje pomika posameznih nihal skozi čas.

Nihajna frekvenca nihala je enaka povprečni frekvenci dveh normalnih načinov:

, (39)

in njihova amplituda se spreminja po sinusnem ali stožčnem zakonu z nižjo frekvenco, ki je enaka polovici frekvenčne razlike običajnih načinov:

. (40)

Počasna sprememba amplitude s frekvenco, ki je enaka polovici razlike med frekvencami normalnih načinov, se imenuje “ utripi ” dve vibraciji s skoraj enako frekvenco. Frekvenca "utripov" je enaka razliki frekvenc ω 1 – ω 2 (in ne polovici te razlike), saj je največja amplituda 2A dosežena dvakrat v obdobju, ki ustreza frekvenci

Zato je utripna doba enaka:

(41)

Ko nihala bijejo, se energija izmenjuje. Popolna izmenjava energije pa je mogoča le, če sta obe masi enaki in je razmerje (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) enako celemu številu. Ena pomembna točka, ki jo je treba omeniti, je, da čeprav lahko posamezna nihala izmenjujejo energijo, ni izmenjave energije med običajnimi načini.

Prisotnost takšnih nihajočih sistemov, ki medsebojno delujejo in lahko prenašajo svojo energijo drug na drugega, tvorijo osnovo valovnega gibanja.

Nihajoče materialno telo, postavljeno v elastičen medij, potegne in spravlja v nihajno gibanje delce medija, ki mejijo nanj. Zaradi prisotnosti elastičnih vezi med delci se vibracije širijo s hitrostjo, značilno za določen medij, po celotnem mediju.

Imenuje se proces širjenja vibracij v elastičnem mediju val .

Obstajata dve glavni vrsti valov: vzdolžni in prečni. V vzdolžnih valovih delci medija nihajo vzdolž smeri širjenja valov in v prečnem je pravokotna na smer širjenja valov. Vsak elastični medij ne more širiti prečnega valovanja. Transverzalno elastično valovanje je možno samo v medijih, v katerih poteka elastična strižna deformacija. Na primer, v plinih in tekočinah se širijo samo vzdolžni elastični valovi (zvok).

Geografsko mesto točk medija, do katerih je nihanje doseglo določeno časovno točko, se imenuje valovna fronta . Valovna fronta ločuje del prostora, ki je že vključen v valovni proces, od območja, kjer nihanja še niso nastala. Glede na obliko sprednje strani so valovi ravni, sferični, cilindrični itd.

Enačba za ravninski val, ki se brez izgub širi v homogenem mediju, je:
, (42)

kjer je ξ(X,t) odmik delcev medija s koordinato X iz ravnotežnega položaja v času t, A je amplituda,
- faza valovanja,
- krožna frekvenca nihanja delcev medija, v - hitrost širjenja valov.

Valovna dolžina λ razdalja med točkami, ki nihajo s fazno razliko 2π, se imenuje, z drugimi besedami, valovna dolžina je pot, ki jo prepotuje katera koli faza valovanja v eni periodi nihanja:

fazna hitrost, tj. hitrost širjenja te faze:

λ / T (44)

valovno število je število valovnih dolžin, ki ustrezajo dolžini 2π enot:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Če zamenjamo te zapise v (42), enačba monokromatskega vala, ki potuje po ravnini lahko predstavimo kot:

(46)

Upoštevajte, da valovna enačba (46) kaže dvojno periodičnost v koordinati in času. Dejansko faze nihanja sovpadajo, ko se koordinata spremeni za λ in ko se čas spremeni za periodo T. Zato je nemogoče grafično prikazati valovanje na ravnini. Čas t je pogosto fiksen in na grafu je prikazana odvisnost premika ξ od koordinate X, tj. trenutna porazdelitev premikov delcev medija vzdolž smeri širjenja valov (slika 11). Fazna razlika Δφ nihanj točk medija je odvisna od razdalje ΔX \u003d X 2 - X 1 med temi točkami:

(47)

Če se valovanje širi v nasprotni smeri X, bo enačba povratnega vala zapisana kot:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

STOJEČI VALOVI so posledica posebne interference valov. Nastanejo, ko se dva potujoča vala širita drug proti drugemu z enakimi frekvencami in amplitudami.

Enačbi dveh ravninskih valov, ki se širita vzdolž osi X v nasprotnih smereh, sta:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Če te enačbe dodamo s formulo vsote kosinusov in ob upoštevanju, da je k = 2π / λ, dobimo enačbo stoječega vala:

. (50)

Multiplikator Cos ωt kaže, da se nihanja enake frekvence ω pojavljajo v točkah medija z amplitudo
, odvisno od X-koordinate obravnavane točke. Na točkah v okolju, kjer:
, (51)

amplituda nihanja doseže največjo vrednost 2A. Te točke se imenujejo antinodi.

Iz izraza (51) lahko najdemo koordinate antinode:
(52)

Na mestih, kjer
(53) amplituda nihanja izgine. Te točke se imenujejo vozli.

Koordinate vozlišča:
. (54)

R razdalje med sosednjimi antinodi in sosednjimi vozlišči so enake in enake λ/2. Razdalja med vozliščem in sosednjim antinodom je enaka λ / 4. Pri prehodu skozi vozlišče množitelj
spremeni predznak, zato se faze nihanja na nasprotnih straneh vozlišča razlikujejo za π, tj. točke, ki ležijo na nasprotnih straneh vozla, nihajo v protifazi. Točke, zaprte med dvema sosednjima vozliščema, nihajo z različnimi amplitudami, vendar z enakimi fazami.

Razporeditev vozlišč in antinodov v stoječem valu je odvisna od pogojev, ki se dogajajo na meji med dvema medijema, od katerih pride do odboja. Če se val odbije od gostejšega medija, se faza nihanja na mestu, kjer se val odbije, spremeni v nasprotno ali, kot pravijo, izgubi se polovica vala. Zato je zaradi dodajanja nihanj nasprotnih smeri premik na meji enak nič, tj. obstaja vozlišče (slika 12). Ko se val odbije od meje manj gostega medija, faza nihanj na mestu odboja ostane nespremenjena, v bližini meje pa se dodajo nihanja z enakimi fazami - dobimo antinodo.

V stoječem valovanju ni faznega gibanja, ni širjenja valov, ni prenosa energije, kar je razlog za ime te vrste valovanja.

1.21. ZAPAJANJE, PRISILNO NIHANJE

Diferencialna enačba dušenih nihanj in njena rešitev. Koeficient slabljenja. logaritemski decdušilni pas.Q faktortelesni sistem.aperiodični proces. Diferencialna enačba prisilnih nihanj in njena rešitev.Amplituda in faza prisilnih nihanj. Postopek vzpostavljanja nihanj. Resonančni primer.Samonihanja.

Dušenje nihanj je postopno zmanjševanje amplitude nihanj skozi čas zaradi izgube energije nihajnega sistema.

Naravne vibracije brez dušenja so idealizacija. Vzroki za bledenje so lahko različni. V mehanskem sistemu se vibracije dušijo zaradi prisotnosti trenja. Ko se porabi vsa energija, shranjena v nihajočem sistemu, se nihanje ustavi. Zato je amplituda dušena nihanja zmanjšuje, dokler ne postane nič.

Dušena nihanja, pa tudi naravna, v sistemih, ki so po naravi različni, lahko obravnavamo z enega samega vidika - skupnih lastnosti. Vendar pa značilnosti, kot sta amplituda in perioda, zahtevajo ponovno opredelitev, medtem ko druge zahtevajo dodatke in pojasnila v primerjavi z enakimi značilnostmi za naravna nedušena nihanja. Splošni znaki in koncepti dušenih nihanj so naslednji:

Diferencialno enačbo je treba dobiti ob upoštevanju zmanjšanja vibracijske energije v procesu nihanja.

Enačba nihanja je rešitev diferencialne enačbe.

Amplituda dušenih nihanj je odvisna od časa.

Frekvenca in perioda sta odvisni od stopnje dušenja nihanj.

Faza in začetna faza imata enak pomen kot za nedušeno nihanje.

Mehansko dušena nihanja.

mehanski sistem : vzmetno nihalo, na katerega delujejo sile trenja.

Sile, ki delujejo na nihalo :

Elastična sila., kjer je k koeficient togosti vzmeti, х je odmik nihala iz ravnotežnega položaja.

Odporna sila. Upoštevajte silo upora, ki je sorazmerna s hitrostjo gibanja v (takšna odvisnost je značilna za velik razred sil upora): . Predznak minus kaže, da je smer uporne sile nasprotna smeri hitrosti telesa. Koeficient upora r je številčno enak sili upora, ki se pojavi pri enotski hitrosti telesa:

Zakon gibanja vzmetno nihalo je Newtonov drugi zakon:

m a = F npr. + F upirati se.

Glede na to in , zapišemo Newtonov drugi zakon v obliki:

. (21.1)

Če vse člene enačbe delimo z m in jih vse premaknemo na desno stran, dobimo diferencialna enačba dušena nihanja:

Označimo , kje β – faktor dušenja , , Kje ω 0 je frekvenca nedušenih prostih nihanj brez izgub energije v nihajnem sistemu.

V novem zapisu ima diferencialna enačba dušenih nihanj obliko:

. (21.2)

To je linearna diferencialna enačba drugega reda.

Ta linearna diferencialna enačba se reši s spremembo spremenljivk. Funkcijo x, odvisno od časa t, predstavimo v obliki:

Poiščimo prvi in drugi časovni odvod te funkcije, glede na to, da je funkcija z tudi funkcija časa:

, .

Zamenjajte izraze v diferencialni enačbi:

V enačbo pripeljemo podobne člene in vsak člen zmanjšamo za , dobimo enačbo:

Označimo količino .

Rešitev enačbe so funkcije , .

Če se vrnemo k spremenljivki x, dobimo formule za enačbe dušenih nihanj:

torej , enačba dušenih nihanj je rešitev diferencialne enačbe (21.2):

Dušena frekvenca nihanja :

(samo pravi koren ima torej fizični pomen).

Obdobje dušenih nihanj :

(21.5)

Pomen, ki je bil vložen v pojem periode za nedušena nihanja, ni primeren za dušena nihanja, saj se nihajni sistem zaradi izgube nihajne energije nikoli ne vrne v prvotno stanje. Ob prisotnosti trenja so nihanja počasnejša: .

Obdobje dušenih nihanj imenovan minimalni časovni interval, v katerem sistem dvakrat prečka ravnotežni položaj v isti smeri.

Za mehanski sistem vzmetnega nihala imamo:

, .

Amplituda dušenih nihanj :

Za vzmetno nihalo.

Amplituda dušenih nihanj ni konstantna vrednost, temveč se s časom spreminja tem hitreje, čim večji je koeficient β. Zato je treba definicijo amplitude, ki je bila prej podana za nedušena prosta nihanja, spremeniti za dušena nihanja.

Za majhno dušenje amplituda dušenih nihanj imenujemo največje odstopanje od ravnotežnega položaja za obdobje.

Grafi krivulji odmika v odvisnosti od časa in amplitude v odvisnosti od časa sta prikazani na slikah 21.1 in 21.2.

Slika 21.1 - Odvisnost premika od časa za dušena nihanja.

Slika 21.2 - Odvisnosti amplitude od časa za dušena nihanja

Značilnosti dušenih nihanj.

1. Faktor slabljenja β .

Sprememba amplitude dušenih nihanj poteka po eksponentnem zakonu:

Naj se amplituda nihanja zmanjša za "e"-krat v času τ ("e" je osnova naravnega logaritma, e ≈ 2,718). Potem pa po eni strani , na drugi strani pa po slikanju amplitud A zat. (t) in A pri. (t+τ), imamo . Te relacije pomenijo βτ = 1, torej .

Časovni interval τ , pri katerem se amplituda zmanjša za "e"-krat, imenujemo relaksacijski čas.

Faktor slabljenja β je vrednost, ki je obratno sorazmerna s časom sprostitve.

2. Logaritemski dekrement dušenja δ - fizikalna količina, ki je številčno enaka naravnemu logaritmu razmerja dveh zaporednih amplitud, ki sta časovno ločeni s periodo.

Če je slabljenje majhno, tj. če je vrednost β majhna, se amplituda v obdobju nekoliko spremeni, logaritemski dekrement pa lahko definiramo na naslednji način:

kjer je A pri. (t) in A pri. (t + NT) - amplitude nihanja v času e in po N obdobjih, tj. v času (t + NT).

3. Faktor kakovosti Q nihajni sistem je brezdimenzijska fizikalna količina, ki je enaka zmnožku vrednosti (2π) νa razmerju med energijo W(t) sistema v poljubnem trenutku in izgubo energije v eni periodi dušenih nihanj:

Ker je energija sorazmerna s kvadratom amplitude, potem

Za majhne vrednosti logaritemskega dekrementa δ je faktor kakovosti oscilatornega sistema enak

kjer je N e število nihanj, med katerimi se amplituda zmanjša za "e"-krat.

Torej, faktor kakovosti vzmetnega nihala je: Večji kot je faktor kakovosti nihajnega sistema, manjše je slabljenje, dlje bo trajal periodični proces v takem sistemu. Faktor kakovosti oscilacijskega sistema - brezrazsežna količina, ki označuje disipacijo energije v času.

4. S povečanjem koeficienta β se frekvenca dušenih nihanj zmanjša, obdobje pa se poveča. Pri ω 0 = β postane frekvenca dušenih nihanj enaka nič ω zat. = 0 in T zat. = ∞. V tem primeru nihanja izgubijo svoj periodični značaj in se imenujejo aperiodično.

Pri ω 0 = β sistemski parametri, odgovorni za zmanjšanje vibracijske energije, sprejmejo vrednosti, imenovane kritično . Za vzmetno nihalo bo pogoj ω 0 = β zapisan kot:, od koder najdemo vrednost kritični koeficient upora:

riž. 21.3. Odvisnost amplitude aperiodičnih nihanj od časa

Prisilne vibracije.

Vsa realna nihanja so dušena. Da bi se resnična nihanja pojavljala dovolj dolgo, je potrebno periodično dopolnjevati energijo nihajnega sistema z delovanjem nanj z zunanjo periodično spreminjajočo se silo.

Razmislite o pojavu nihanj, če je zunanji (prisiljevanje) sila se s časom spreminja po harmoničnem zakonu. V tem primeru se bodo pojavila nihanja v sistemih, katerih narava bo tako ali drugače ponovila naravo gonilne sile. Takšna nihanja imenujemo prisiljeni .

Splošni znaki prisilnih mehanskih vibracij.

1. Oglejmo si prisilna mehanska nihanja vzmetnega nihala, na katerega deluje zunanji (prepričljiv ) periodična sila . Sile, ki delujejo na nihalo, ko ga vzamemo iz ravnovesja, se razvijejo v samem nihajočem sistemu. To sta elastična sila in sila upora.

Zakon gibanja (drugi Newtonov zakon) je zapisan takole:

(21.6)

Obe strani enačbe delimo z m, upoštevamo, da , in dobimo diferencialna enačba prisilne vibracije:

Označite ( β – faktor dušenja ), (ω 0 je frekvenca nedušenih prostih nihanj), sila, ki deluje na enoto mase. V teh zapisih diferencialna enačba prisilna nihanja bodo imela obliko:

(21.7)

To je diferencialna enačba drugega reda z desno stranjo, ki ni nič. Rešitev takšne enačbe je vsota dveh rešitev

je splošna rešitev homogene diferencialne enačbe, tj. diferencialna enačba brez desne strani, ko je enaka nič. Poznamo takšno rešitev - to je enačba dušenih nihanj, zapisana na konstanto, katere vrednost je določena z začetnimi pogoji nihajnega sistema:

Prej smo razpravljali, da je rešitev mogoče zapisati v sinusnih funkcijah.

Če upoštevamo proces nihanja nihala po dovolj dolgem času Δt po vklopu pogonske sile (slika 21.2), potem se dušena nihanja v sistemu praktično ustavijo. In potem bo rešitev diferencialne enačbe z desno stranjo rešitev.

Rešitev je posebna rešitev nehomogene diferencialne enačbe, tj. enačbe z desno stranjo. Iz teorije diferencialnih enačb je znano, da bo ob spremembi desne strani po harmoničnem zakonu rešitev harmonična funkcija (sin ali cos) s frekvenco spremembe, ki ustreza frekvenci spremembe Ω desne strani:

kjer je A ampl. – amplituda prisilnih nihanj, φ 0 – fazni zamik , tiste. fazna razlika med fazo pogonske sile in fazo prisilnih nihanj. In amplituda A ampl. , in fazni zamik φ 0 sta odvisna od parametrov sistema (β, ω 0) in od frekvence pogonske sile Ω.

Obdobje prisilnega nihanja enako (21.9)

Razpored prisilnih nihanj na sliki 4.1.

Sl.21.3. Urnik prisilnih nihanj

Enakomerna prisilna nihanja so tudi harmonična.

Odvisnosti amplitude prisilnih nihanj in faznega premika od frekvence zunanjega delovanja. Resonanca.

1. Vrnimo se k mehanskemu sistemu vzmetnega nihala, na katerega deluje zunanja sila, ki se spreminja po harmoničnem zakonu. Za tak sistem imata diferencialna enačba oziroma njena rešitev obliko:

, .

Analizirajmo odvisnost amplitude nihanja in faznega premika od frekvence zunanje gonilne sile, za to najdemo prvi in drugi derivat x in ju nadomestimo v diferencialno enačbo.

Uporabimo metodo vektorskega diagrama. Iz enačbe je razvidno, da mora biti vsota treh zamahov na levi strani enačbe (slika 4.1) enaka zamahu na desni strani. Vektorski diagram je narejen za poljuben čas t. Iz njega je mogoče ugotoviti.

Slika 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Ob upoštevanju vrednosti , ,, dobimo formule za φ 0 in A ampl. mehanski sistem:

2. Raziščemo odvisnost amplitude prisilnih nihanj od frekvence pogonske sile in velikosti sile upora v nihajočem mehanskem sistemu, na podlagi teh podatkov sestavimo graf . Rezultati študije so prikazani na sliki 21.5, kažejo, da pri določeni frekvenci pogonske sile amplituda nihanj se močno poveča. In to povečanje je tem večje, čim nižji je koeficient slabljenja β. Pri postane amplituda nihanja neskončno velika.

Pojav močnega povečanja amplitude prisilna nihanja pri frekvenci pogonske sile, ki je enaka se imenuje resonanca.

(21.12)

Krivulje na sliki 21.5 odražajo razmerje in se imenujejo amplitudne resonančne krivulje .

Slika 21.5 - Grafi odvisnosti amplitude prisilnih nihanj od frekvence pogonske sile.

Amplituda resonančnih nihanj bo imela obliko:

Prisilne vibracije so nedušen nihanja. Neizogibne izgube energije zaradi trenja se kompenzirajo z dovajanjem energije iz zunanjega vira periodično delujoče sile. Obstajajo sistemi, v katerih neudušena nihanja nastanejo ne zaradi občasnih zunanjih vplivov, temveč kot posledica sposobnosti takih sistemov, da uravnavajo pretok energije iz stalnega vira. Takšni sistemi se imenujejo samonihajni, in proces nedušenih nihanj v takih sistemih je samonihanja.

V samonihajnem sistemu lahko ločimo tri značilne elemente - nihajni sistem, vir energije in povratno napravo med nihajnim sistemom in virom. Kot nihajni sistem lahko uporabimo katerikoli mehanski sistem, ki je sposoben izvajati lastna dušena nihanja (na primer nihalo stenske ure).

Vir energije je lahko deformacijska energija vzmeti ali potencialna energija bremena v gravitacijskem polju. Povratna naprava je mehanizem, s katerim samonihajni sistem uravnava pretok energije iz vira. Na sl. 21.6 prikazuje diagram interakcije različnih elementov samooscilirajočega sistema.

Primer mehanskega samonihajnega sistema je urni mehanizem z sidro premakniti (slika 21.7.). Tekalno kolo s poševnimi zobmi je togo pritrjeno na zobati boben, skozi katerega je vržena veriga z utežjo. Na zgornjem koncu nihala je pritrjeno sidro (sidro) z dvema ploščama iz trdega materiala, upognjenima vzdolž loka kroga s središčem na osi nihala. Pri ročni uri utež nadomešča vzmet, nihalo pa balanser – ročno kolo, pritrjeno na spiralno vzmet.

Slika 21.7. Urni mehanizem z nihalom.

Balanser izvaja torzijsko nihanje okoli svoje osi. Nihajni sistem v uri je nihalo ali balanser. Vir energije je navzgor dvignjena utež ali navita vzmet. Povratna naprava je sidro, ki omogoča, da tekalno kolo zavrti en zob v enem polciklu.

Povratna informacija je zagotovljena z interakcijo sidra s tekalnim kolesom. Pri vsakem nihaju nihala zob potovalnega kolesa potisne vilice sidra v smeri gibanja nihala in nanje prenese določen del energije, ki kompenzira izgube energije zaradi trenja. Tako se potencialna energija uteži (ali zvite vzmeti) postopoma, v ločenih delih, prenaša na nihalo.

Mehanski samonihajni sistemi so zelo razširjeni v življenju okoli nas in v tehnologiji. Lastna nihanja izvajajo parni stroji, motorji z notranjim zgorevanjem, električni zvonci, strune lokalnih glasbil, zračni stebri v pihalih pihal, glasilke pri govoru ali petju itd.

V resnici se prosta nihanja pojavijo pod delovanjem uporovnih sil. Disipativne sile vodijo do zmanjšanja amplitude nihanja. Nihanja, katerih amplituda zaradi izgub energije s časom postaja manjša, se imenujejo dušena.

Dušena mehanska nihanja

OPREDELITEV

Fizična količina, ki označuje stopnjo dušenja nihanj, se imenuje faktor dušenja. Koeficient slabljenja je mogoče označiti na različne načine: itd. Pod pogojem, da so sile trenja sorazmerne s hitrostjo telesa:

kjer je - posplošeni koeficient trenja, se šteje, da je koeficient dušenja enak:

kje je masa telesa, ki niha.

Diferencialna enačba nihanj v prisotnosti dušenja bo imela obliko:

je ciklična frekvenca prostih nihanj sistema v odsotnosti trenja.

Enačba dušenega nihanja:

Kje je frekvenca dušenih nihanj, je amplituda dušenih nihanj. je konstantna vrednost, ki je odvisna od izbire časovne referenčne točke.

Koeficient dušenja je mogoče definirati kot recipročno vrednost časa (), za katerega se amplitude (A) zmanjšajo za e-krat:

kje je čas za sprostitev. To pomeni, da lahko napišete:

Perioda dušenih nihanj je enaka:

z neznatnim uporom medija, če je neenakost izpolnjena: obdobje nihanja lahko izračunamo po formuli:

Ko se faktor dušenja poveča, se nihajna doba poveča. Treba je opozoriti, da koncept obdobja dušenih nihanj ne sovpada s konceptom nedušenih nihanj, saj se sistem ob prisotnosti dušenja nikoli ne vrne v prvotno stanje. Perioda dušenih nihanj je najmanjši čas, v katerem sistem dvakrat prečka ravnotežno lego v isti smeri.

S povečanjem koeficienta slabljenja nihanj se frekvenca nihanj zmanjša. Če , potem bo frekvenca dušenih nihanj enaka nič, medtem ko se perioda poveča v neskončnost. Takšna nihanja izgubijo svojo periodičnost in se imenujejo aperiodična. Kadar je koeficient dušenja enak lastni frekvenci nihanj, se parametri sistema imenujejo kritični.

Koeficient dušenja nihanja je povezan z logaritemskim dekrementom dušenja () z izrazom:

Dušena električna nihanja

Vsako električno vezje, ki obstaja v resnici, ima aktivni upor, zato se energija, shranjena v njem skozi čas, porabi za ta upor, saj se segreva.

V tem primeru se koeficient slabljenja za električni tokokrog izračuna kot:

kjer je R upor, L induktivnost vezja.

Frekvenca v elektromagnetnem vezju je predstavljena s formulo:

Za vezje RLC je kritični upor (), pri katerem postanejo nihanja aperiodična, upor enak:

se nahajajo pri

Enote razmerja dušenja

Osnovna merska enota koeficienta slabljenja v sistemu SI je:

Primeri reševanja problemov

PRIMER 1

telovadba

Kolikšen je koeficient dušenja, če amplituda nihanja nihala niha v času t=10 s. zmanjša za 4-krat?

rešitev

Zapišimo enačbo dušenega nihanja nihala:

Po eni od definicij koeficienta slabljenja:

Naredimo izračune:

Odgovori

PRIMER 2

telovadba	Nihajni krog je sestavljen iz induktorja L, kondenzatorja C in upora R (slika 1). Po kolikšnem številu polnih nihanj (N) se bo amplituda toka v vezju zmanjšala za faktor e?
rešitev	Uvedemo naslednji zapis: - začetna vrednost amplitude jakosti toka, - amplituda jakosti toka skozi N nihanj, potem lahko zapišemo:

SPLOŠNE INFORMACIJE

nihanja imenovani gibi ali procesi, za katere je značilno določeno ponavljanje v času. Nihanja se imenujejo prost, če se izvajajo na račun prvotno posredovane energije s kasnejšo odsotnostjo zunanjih vplivov na nihajni sistem. Najenostavnejša vrsta vibracij je harmonične vibracije- nihanja, pri katerih se nihajoča vrednost spreminja v času po zakonu sinusa ali kosinusa.

Diferencialna enačba harmoničnih nihanj ima obliko

kjer je nihajna vrednost, je ciklična frekvenca.

je rešitev te enačbe. Tukaj - amplituda, - začetna faza.

Faza nihanja.

Amplituda - največja vrednost nihajoče količine.

Obdobje nihanja je časovno obdobje, po katerem se gibanje telesa ponovi. Faza nihanja za periodo prejme prirastek. . , je število vibracij.

Nihajna frekvenca je število popolnih nihanj na časovno enoto. . . Meri se v hercih (Hz).

Ciklična frekvenca je število nihanj na sekundo. . Enota .

Faza nihanja je vrednost pod znakom kosinusa in označuje stanje nihajnega sistema v katerem koli trenutku.

Začetna faza - faza nihanj v začetnem trenutku časa. Faza in začetna faza se merita v radianih ().

Brezplačne dušene vibracije– nihanja, katerih amplituda se zaradi izgub energije realnega nihajnega sistema s časom zmanjšuje. Najenostavnejši mehanizem za zmanjševanje energije nihanja je njena pretvorba v toploto zaradi trenja v mehanskih nihajnih sistemih, pa tudi zaradi ohmskih izgub in sevanja elektromagnetne energije v električnih nihajnih sistemih.

Diferencialna enačba prostih dušenih nihanj ima obliko

, (1)

Rešitev enačbe (1) v primeru nizkega dušenja (d 2<< ) имеет вид

Časovni interval, v katerem se amplituda zmanjšuje e krat, se imenuje čas sprostitve.

Dušenje krši periodičnost nihanj, zato dušena nihanja niso periodična. Če pa je slabljenje majhno, potem lahko pogojno uporabimo koncept obdobja kot časovni interval med dvema zaporednima maksimama (ali minimumoma) nihajoče količine. Nato izračunamo periodo dušenih nihanj po formuli

če A(t) In A(t+T) sta amplitudi dveh zaporednih nihanj, ki ustrezata časom, ki se razlikujeta za periodo, potem je razmerje

klical zmanjšanje dušenja, in njegov logaritem

– logaritemski dekrement dušenja.

Vrednost N e je število nihanj, ki nastanejo med zmanjševanjem amplitude v e enkrat. Logaritemski dekrement dušenja je konstantna vrednost za dani nihajni sistem.

Za karakterizacijo nihajnega sistema se uporablja koncept faktor kakovosti Q, ki je za majhne vrednosti logaritemskega dekrementa enaka

Morda bi bilo koristno prebrati: