Izpeljanka implicitno podane funkcije. Odvod implicitne funkcije Poiščite vrednost odvoda implicitne funkcije

Razmislite o funkciji y(x), ki je implicitno zapisana v splošni obliki $ F(x,y(x)) = 0 $. Odvod implicitne funkcije najdemo na dva načina:

Z razlikovanjem obeh strani enačbe
Z uporabo že pripravljene formule $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Kako najti?

1. metoda

Funkcije ni treba izrecno uvesti. Takoj morate začeti razlikovati levo in desno stran enačbe glede na $ x $. Omeniti velja, da se izpeljanka $ y" $ izračuna v skladu s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije. Na primer, $ (y^2)"_x = 2yy" $. Po iskanju izpeljanke je treba izraziti $ y" $ iz dobljene enačbe in postavite $ y" $ na levo stran.

Metoda 2

Uporabite lahko formulo, ki uporablja delne odvode implicitne funkcije $ F(x,y(x)) = 0 $ v števcu in imenovalcu. Če želite najti števec, vzemite izpeljanko glede na $ x $, za imenovalec pa vzemite izpeljanko glede na $ y $.

Drugi odvod implicitne funkcije je mogoče najti z večkratnim diferenciranjem prvega odvoda implicitne funkcije.

Primeri rešitev

Oglejmo si praktične primere rešitev za izračun odvoda implicitno podane funkcije.

Primer 1
Poiščite odvod implicitne funkcije $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $
rešitev
Uporabimo metodo št. 1. Ločimo namreč levo in desno stran enačbe: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Pri diferenciranju ne pozabite uporabiti formule za odvod produkta funkcij: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Če ne morete rešiti svoje težave, nam jo pošljite. Zagotovili bomo podrobno rešitev. Ogledali si boste lahko potek izračuna in pridobili informacije. Tako boste pravočasno prejeli oceno od učitelja!
Odgovori
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Primer 2
Funkcija je podana implicitno, poiščite odvod $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
rešitev
Uporabimo metodo št. 2. Iskanje parcialnih odvodov funkcije $ F(x,y) = 0 $ Naj bo $ y $ konstanten in diferenciran glede na $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Zdaj menimo, da je $ x $ konstanta in razlikujemo glede na $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Zdaj nadomestimo $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ v formulo in dobimo: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
Odgovori
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Formula za odvod implicitno podane funkcije. Dokaz in primeri uporabe te formule. Primeri izračuna odvodov prvega, drugega in tretjega reda.

Vsebina

Izpeljanka prvega reda

Naj bo funkcija podana implicitno z uporabo enačbe
(1) .
In naj ima ta enačba za neko vrednost edinstveno rešitev. Naj bo funkcija diferenciabilna funkcija v točki , in
.
Nato pri tej vrednosti obstaja izpeljanka, ki je določena s formulo:
(2) .

Dokaz

Da bi to dokazali, razmislite o funkciji kot kompleksni funkciji spremenljivke:
.
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije in poiščimo odvod glede na spremenljivko z leve in desne strani enačbe
(3) :
.
Ker je odvod konstante enak nič in , potem
(4) ;
.

Formula je dokazana.

Izpeljanke višjega reda

Prepišimo enačbo (4) z uporabo različnih zapisov:
(4) .
Hkrati in so kompleksne funkcije spremenljivke:
;
.
Odvisnost je določena z enačbo (1):
(1) .

Poiščemo odvod glede na spremenljivko z leve in desne strani enačbe (4).
Po formuli za odvod kompleksne funkcije imamo:
;
.
Glede na formulo derivata izdelka:

.
Uporaba formule za izpeljano vsoto:

.

Ker je odvod desne strani enačbe (4) enak nič, potem
(5) .
Če tukaj nadomestimo odvod, dobimo vrednost odvoda drugega reda v implicitni obliki.

Če na podoben način diferenciramo enačbo (5), dobimo enačbo, ki vsebuje odvod tretjega reda:
.
Če tukaj nadomestimo najdene vrednosti derivatov prvega in drugega reda, najdemo vrednost derivata tretjega reda.

Z nadaljnjo diferenciacijo lahko najdemo izpeljanko katerega koli reda.

Primeri

Primer 1

Poiščite odvod prvega reda funkcije, ki je implicitno podana z enačbo:
(P1) .

Rešitev po formuli 2

Odvod najdemo s formulo (2):
(2) .

Premaknimo vse spremenljivke na levo stran, tako da ima enačba obliko .
.
Od tod.

Poiščemo odvod glede na , pri čemer upoštevamo, da je konstanten.
;
;
;
.

Poiščemo odvod glede na spremenljivko ob upoštevanju konstante spremenljivke.
;
;
;
.

Z uporabo formule (2) najdemo:
.

Rezultat lahko poenostavimo, če opazimo, da glede na prvotno enačbo (A.1), . Zamenjajmo:
.
Pomnožite števec in imenovalec z:
.

Rešitev drugega načina

Rešimo ta primer na drugi način. Da bi to naredili, bomo poiskali odvod glede na spremenljivko leve in desne strani prvotne enačbe (A1).

Uporabljamo:
.
Uporabimo formulo izpeljanega ulomka:
;
.
Uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije:
.
Diferencirajmo prvotno enačbo (A1).
(P1) ;
;
.
Množimo in združujemo člene.
;
.

Zamenjajmo (iz enačbe (A1)):
.
Pomnoži z:
.

Primer 2

Poiščite odvod drugega reda implicitno podane funkcije z uporabo enačbe:
(A2.1) .

Izvirno enačbo razlikujemo glede na spremenljivko, pri čemer upoštevamo, da je funkcija:
;
.
Uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije.
.

Razlikujmo prvotno enačbo (A2.1):
;
.
Iz prvotne enačbe (A2.1) sledi, da . Zamenjajmo:
.
Odprite oklepaje in združite člane v skupine:
;
(A2.2) .
Najdemo izpeljanko prvega reda:
(A2.3) .

Da bi našli odvod drugega reda, diferenciramo enačbo (A2.2).
;
;
;
.
Nadomestimo izraz za odvod prvega reda (A2.3):
.
Pomnoži z:

;
.
Od tu najdemo odvod drugega reda.

Primer 3

Poiščite odvod tretjega reda implicitno podane funkcije z uporabo enačbe:
(A3.1) .

Izvirno enačbo razlikujemo glede na spremenljivko ob predpostavki, da je funkcija .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Diferencirajmo enačbo (A3.2) glede na spremenljivko .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Diferencirajmo enačbo (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Iz enačb (A3.2), (A3.3) in (A3.4) najdemo vrednosti odvodov pri .
;
;
.

Ali na kratko – odvod implicitne funkcije. Kaj je implicitna funkcija? Ker je moj pouk praktičen, se skušam izogibati definicijam in izrekom, vendar bi bilo prav, da to storim tukaj. Kaj sploh je funkcija?

Funkcija ene spremenljivke je pravilo, ki pravi, da za vsako vrednost neodvisne spremenljivke obstaja ena in samo ena vrednost funkcije.

Spremenljivka se imenuje neodvisna spremenljivka oz prepir.
Spremenljivka se imenuje odvisna spremenljivka oz funkcijo.

V grobem je črka "Y" v tem primeru funkcija.

Doslej smo si ogledali funkcije, definirane v eksplicitno oblika. Kaj to pomeni? Izvedimo poročilo s posebnimi primeri.

Upoštevajte funkcijo

Vidimo, da imamo na levi samoten "Y" (funkcija), na desni pa - samo "X". Oziroma funkcija izrecno izražena z neodvisno spremenljivko.

Poglejmo še eno funkcijo:

Tukaj se pomešajo spremenljivke. Poleg tega nikakor nemogoče izrazite "Y" samo skozi "X". Kakšne so te metode? Prenašanje členov iz dela v del s spremembo predznaka, premikanje iz oklepaja, metanje faktorjev po pravilu sorazmerja itd. Prepiši enakost in poskusi eksplicitno izraziti »y«: . Enačbo lahko obračate ure in ure, a vam ne bo uspelo.

Naj vam predstavim: - primer implicitna funkcija.

Med matematično analizo je bilo dokazano, da je implicitna funkcija obstaja(vendar ne vedno), ima graf (tako kot "normalna" funkcija). Implicitna funkcija je popolnoma enaka obstaja prva izpeljanka, druga izpeljanka itd. Kot pravijo, se spoštujejo vse pravice spolnih manjšin.

In v tej lekciji se bomo naučili, kako najti odvod implicitno podane funkcije. Saj ni tako težko! Vsa pravila diferenciranja in tabela odvodov elementarnih funkcij ostajajo v veljavi. Razlika je v enem posebnem trenutku, ki si ga bomo ogledali prav zdaj.

Da, in povedal vam bom dobro novico - spodaj obravnavane naloge se izvajajo po dokaj strogem in jasnem algoritmu brez kamna pred tremi stezami.

Primer 1

1) Na prvi stopnji na oba dela pritrdimo poteze:

2) Uporabljamo pravila linearnosti odvoda (prvi dve pravili lekcije Kako najti izpeljanko? Primeri rešitev):

3) Neposredna diferenciacija.
Kako razlikovati je popolnoma jasno. Kaj storiti tam, kjer so "igre" pod udarci?

Samo do sramote odvod funkcije je enak njenemu odvodu: .

Kako razlikovati

Tukaj imamo kompleksna funkcija. Zakaj? Zdi se, da je pod sinusom samo ena črka "Y". Toda dejstvo je, da obstaja samo ena črka "y" - JE SAMO FUNKCIJA(glej definicijo na začetku lekcije). Tako je sinus zunanja funkcija in je notranja funkcija. Za razlikovanje kompleksne funkcije uporabljamo pravilo:

Izdelek ločimo po običajnem pravilu:

Upoštevajte, da - je tudi zapletena funkcija, vsaka "igra na zvonce in piščalke" je kompleksna funkcija:

Sama rešitev bi morala izgledati nekako takole:

Če obstajajo oklepaji, jih razširite:

4) Na levi strani zberemo izraze, ki vsebujejo črko "Y" s praštevilo. Vse ostalo premaknite na desno stran:

5) Na levi strani vzamemo izpeljanko iz oklepaja:

6) In v skladu s pravilom sorazmerja spustimo te oklepaje v imenovalec desne strani:

Izpeljanka je najdena. pripravljena

Zanimivo je omeniti, da je vsako funkcijo mogoče implicitno prepisati. Na primer, funkcijo lahko prepišemo takole: . In ga ločite z algoritmom, o katerem smo pravkar razpravljali. Pravzaprav se besedni zvezi "implicitna funkcija" in "implicitna funkcija" razlikujeta v enem pomenskem odtenku. Besedna zveza "funkcija, podana v implicitni obliki" je bolj splošna in pravilna - ta funkcija je podana v implicitni obliki, vendar tukaj lahko izrazite "igro" in funkcijo predstavite eksplicitno. Besedna zveza "implicitna funkcija" se nanaša na "klasično" implicitno funkcijo, ko "y" ni mogoče izraziti.

Druga rešitev

Pozor! Z drugo metodo se lahko seznanite le, če znate samozavestno najti delne derivate. Začetniki in začetniki v študiju matematične analize, prosimo, da ne berete in preskočite to točko, sicer bo vaša glava popolna zmešnjava.

Poiščimo odvod implicitne funkcije z drugo metodo.

Vse pogoje premaknemo na levo stran:

In razmislite o funkciji dveh spremenljivk:

Potem lahko našo izpeljanko najdemo s formulo

Poiščimo delne odvode:

Torej:

Druga rešitev vam omogoča izvedbo preverjanja. Ni pa priporočljivo, da napišejo končno različico naloge, saj delne odvode obvladajo kasneje, učenec, ki študira temo Odvod funkcije ene spremenljivke, pa še ne bi smel poznati delnih odvodov.

Poglejmo si še nekaj primerov.

Primer 2

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Dodajte poteze na oba dela:

Uporabljamo pravila linearnosti:

Iskanje izpeljank:

Odpiranje vseh oklepajev:

Vse izraze premaknemo z na levo stran, ostale na desno stran:

Na levi strani ga damo iz oklepaja:

Končni odgovor:

Primer 3

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Celotna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije.

Nič nenavadnega ni, da po diferenciaciji nastanejo ulomki. V takih primerih se morate znebiti ulomkov. Poglejmo še dva primera: vsak člen vsakega dela

Primer 5

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Edina stvar je, da preden se znebite frakcije, se boste morali najprej znebiti trinadstropne strukture same frakcije. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Izpeljanka implicitno podane funkcije.
Odvod parametrično definirane funkcije

V tem članku si bomo ogledali še dve tipični nalogi, ki ju pogosto najdemo pri testih višje matematike. Za uspešno obvladovanje snovi moraš znati najti izpeljanke vsaj na srednji ravni. Izpeljanke se lahko naučite najti praktično iz nič v dveh osnovnih lekcijah in Odvod kompleksne funkcije. Če so vaše sposobnosti razlikovanja v redu, pojdimo.

Izpeljanka implicitno podane funkcije

Ali na kratko, derivat implicitne funkcije. Kaj je implicitna funkcija? Najprej se spomnimo same definicije funkcije ene spremenljivke:

Funkcija ene spremenljivke je pravilo, po katerem vsaka vrednost neodvisne spremenljivke ustreza eni in samo eni vrednosti funkcije.

Spremenljivka se imenuje neodvisna spremenljivka oz prepir.
Spremenljivka se imenuje odvisna spremenljivka oz funkcijo .

Doslej smo si ogledali funkcije, definirane v eksplicitno oblika. Kaj to pomeni? Izvedimo poročilo s posebnimi primeri.

Upoštevajte funkcijo

Vidimo, da imamo na levi osamljenega "igralca", na desni pa - samo "X". Oziroma funkcija izrecno izražena z neodvisno spremenljivko.

Poglejmo še eno funkcijo:

Naj vam predstavim: – primer implicitna funkcija.

Da, in povedal vam bom dobro novico - spodaj obravnavane naloge se izvajajo po dokaj strogem in jasnem algoritmu brez kamna pred tremi stezami.

Primer 1

1) Na prvi stopnji na oba dela pritrdimo poteze:

2) Uporabljamo pravila linearnosti odvoda (prvi dve pravili lekcije Kako najti izpeljanko? Primeri rešitev):

3) Neposredna diferenciacija.
Kako razlikovati je popolnoma jasno. Kaj storiti tam, kjer so "igre" pod udarci?

- do točke sramote, odvod funkcije je enak njenemu odvodu: .

Kako razlikovati
Tukaj imamo kompleksna funkcija. Zakaj? Zdi se, da je pod sinusom samo ena črka "Y". Toda dejstvo je, da obstaja samo ena črka "y" - JE SAMO FUNKCIJA(glej definicijo na začetku lekcije). Tako je sinus zunanja funkcija in je notranja funkcija. Pravilo uporabljamo za razlikovanje kompleksne funkcije :

Izdelek razlikujemo po običajnem pravilu :

Upoštevajte, da – je tudi zapletena funkcija, vsaka "igra na zvonce in piščalke" je kompleksna funkcija:

Sama rešitev bi morala izgledati nekako takole:

Če obstajajo oklepaji, jih razširite:

4) Na levi strani zberemo izraze, ki vsebujejo črko "Y" s praštevilo. Vse ostalo premaknite na desno stran:

5) Na levi strani vzamemo izpeljanko iz oklepaja:

6) In v skladu s pravilom sorazmerja spustimo te oklepaje v imenovalec desne strani:

Izpeljanka je najdena. pripravljena

Zanimivo je omeniti, da je vsako funkcijo mogoče implicitno prepisati. Na primer funkcija lahko prepišemo takole: . In ga ločite z algoritmom, o katerem smo pravkar razpravljali. Pravzaprav se besedni zvezi "implicitna funkcija" in "implicitna funkcija" razlikujeta v enem pomenskem odtenku. Besedna zveza "implicitno določena funkcija" je bolj splošna in pravilna, – ta funkcija je navedena implicitno, vendar tukaj lahko izrazite "igro" in funkcijo predstavite eksplicitno. Besede »implicitna funkcija« pogosteje pomenijo »klasično« implicitno funkcijo, ko »igre« ni mogoče izraziti.

Prav tako je treba opozoriti, da lahko "implicitna enačba" implicitno določa dve ali celo več funkcij hkrati, na primer enačba kroga implicitno definira funkcije , , ki definirajo polkroge. Toda v okviru tega članka smo ne bom delal posebne razlike med izrazi in niansami, to je bila le informacija za splošni razvoj.

Druga rešitev

Pozor! Z drugo metodo se lahko seznanite le, če znate samozavestno najti delni derivati. Prosim za začetnike računanja in telebane ne berite in preskočite to točko, sicer bo v tvoji glavi popolna zmešnjava.

Poiščimo odvod implicitne funkcije z drugo metodo.

Vse pogoje premaknemo na levo stran:

In razmislite o funkciji dveh spremenljivk:

Potem lahko našo izpeljanko najdemo s formulo
Poiščimo delne odvode:

Torej:

Poglejmo si še nekaj primerov.

Primer 2

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Dodajte poteze na oba dela:

Uporabljamo pravila linearnosti:

Iskanje izpeljank:

Odpiranje vseh oklepajev:

Vse izraze premaknemo z na levo stran, ostale na desno stran:

Končni odgovor:

Primer 3

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Celotna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije.

Nič nenavadnega ni, da po diferenciaciji nastanejo ulomki. V takih primerih se morate znebiti ulomkov. Poglejmo si še dva primera.

Primer 4

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Oba dela zapremo pod poteze in uporabimo pravilo linearnosti:

Razlikujte z uporabo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije in pravilo diferenciacije količnikov :

Razširitev oklepajev:

Zdaj se moramo znebiti ulomka. To je mogoče storiti kasneje, vendar je bolj racionalno to storiti takoj. Imenovalec ulomka vsebuje . Pomnožite na . V podrobnostih bo videti takole:

Včasih se po diferenciaciji pojavijo 2-3 frakcije. Če bi imeli na primer še en ulomek, bi bilo treba operacijo ponoviti - pomnožiti vsak člen vsakega dela na

Na levi strani ga damo iz oklepaja:

Končni odgovor:

Primer 5

Poiščite odvod implicitno podane funkcije

Odvod parametrično definirane funkcije

Naj ne poudarjamo, tudi vse v tem odstavku je precej preprosto. Lahko zapišete splošno formulo za parametrično definirano funkcijo, a da bo jasno, bom takoj zapisal konkreten primer. V parametrični obliki je funkcija podana z dvema enačbama: . Enačbe pogosto niso zapisane v zavitih oklepajih, ampak zaporedno: , .

Spremenljivka se imenuje parameter in lahko sprejme vrednosti od "minus neskončnosti" do "plus neskončnosti". Upoštevajte na primer vrednost in jo nadomestite v obe enačbi: . Ali v človeških terminih: "če je x enak štiri, potem je y enak ena." Na koordinatni ravnini lahko označite točko in ta točka bo ustrezala vrednosti parametra. Podobno lahko najdete točko za katero koli vrednost parametra "te". Kar zadeva "navadno" funkcijo, so za ameriške Indijance parametrično definirane funkcije spoštovane tudi vse pravice: lahko sestavite graf, poiščete derivate itd. Mimogrede, če morate narisati graf parametrično definirane funkcije, lahko uporabite moj program.

V najpreprostejših primerih je mogoče funkcijo predstaviti eksplicitno. Izrazimo parameter: – iz prve enačbe in ga nadomestimo v drugo enačbo: . Rezultat je navadna kubična funkcija.

V bolj "hudih" primerih ta trik ne deluje. Vendar ni pomembno, ker obstaja formula za iskanje odvoda parametrične funkcije:

Najdemo izpeljanko "igre glede na spremenljivko te":

Vsa pravila razlikovanja in tabela izpeljank veljajo seveda za črko , torej v procesu iskanja derivatov ni novosti. Samo v mislih zamenjajte vse "X" v tabeli s črko "Te".

Najdemo izpeljanko "x glede na spremenljivko te":

Zdaj ostane le še, da najdene derivate nadomestimo v našo formulo:

pripravljena Izpeljanka je tako kot sama funkcija odvisna tudi od parametra.

Kar zadeva zapis, namesto da bi ga zapisali v formulo, bi ga lahko preprosto zapisali brez indeksa, saj je to "navadna" izpeljanka "glede na X". Toda v literaturi vedno obstaja možnost, zato ne bom odstopal od standarda.

Primer 6

Uporabljamo formulo

V tem primeru:

Torej:

Posebnost iskanja odvoda parametrične funkcije je dejstvo, da pri vsakem koraku je koristno čim bolj poenostaviti rezultat. Torej, v obravnavanem primeru, ko sem ga našel, sem odprl oklepaj pod korenom (čeprav tega morda nisem storil). Obstaja velika verjetnost, da se bo pri zamenjavi v formuli marsikaj dobro zmanjšalo. Čeprav seveda obstajajo primeri z okornimi odgovori.

Primer 7

Poiščite odvod funkcije, podane parametrično

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

V članku Najenostavnejši tipični problemi z izpeljankami pogledali smo primere, v katerih smo morali najti drugi odvod funkcije. Za parametrično definirano funkcijo lahko najdete tudi drugi odvod in ga najdete z naslednjo formulo: . Povsem očitno je, da morate za iskanje drugega odvoda najprej najti prvi odvod.

Primer 8

Poiščite prvi in drugi odvod funkcije, podane parametrično

Najprej poiščimo prvo izpeljanko.
Uporabljamo formulo

V tem primeru:

Funkcija Z= f(x; y) se imenuje implicitna, če je podana z enačbo F(x,y,z)=0, nerazrešena glede na Z. Poiščimo implicitno podane parcialne odvode funkcije Z. Če želite to narediti, zamenjamo funkcijo f(x;y) v enačbo namesto Z, dobimo identiteto F(x,y, f(x,y))=0. Parcialni odvodi funkcije, ki so identično enaki nič glede na x in y, so prav tako enaki nič.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (šteje se za konstanto)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (x velja za konstanto)

Kje
in

Primer: Poiščite delne odvode funkcije Z, podane z enačbo
.

Tukaj je F(x,y,z)=
;
;
;
. Glede na zgornje formule imamo:

Smerna izpeljanka

Naj bo v neki okolici točke M (x,y) podana funkcija dveh spremenljivk Z= f(x; y). Razmislite o neki smeri, ki jo določa enotski vektor
, Kje
(glej sliko).

Na premici, ki poteka v tej smeri skozi točko M, vzamemo točko M 1 (
), tako da je dolžina
segmentMM 1 je enak
. Prirast funkcije f(M) je določen z razmerjem, kjer je
povezani z odnosi. Omejitev razmerja pri
imenujemo odvod funkcije
na točki
proti in biti imenovan .

Če je funkcija Z diferenciabilna v točki
, nato njegov prirastek na tej točki ob upoštevanju odnosov za
lahko zapišemo v naslednji obliki.

oba dela delimo z

in prehod do meje pri
dobimo formulo za odvod funkcije Z= f(x; y) v smeri:

Gradient

Razmislite o funkciji treh spremenljivk
na neki točki mogoče razlikovati
.

Gradient te funkcije
v točki M je vektor, katerega koordinate so vsakokrat enake delnim odvodom
na tej točki. Če želite označiti gradient, uporabite simbol
.
=
.

.Gradient označuje smer najhitrejše rasti funkcije v dani točki.

Ker je enotski vektor ima koordinate (
), potem je smerni odvod za primer funkcije treh spremenljivk zapisan v obliki, tj. ima formulo za skalarni produkt vektorjev in
. Prepišimo zadnjo formulo na naslednji način:

, Kje - kot med vektorjem in
. Zaradi
, potem sledi, da ima odvod funkcije v smeri največjo vrednost pri =0, tj. ko je smer vektorjev in
ujemati se. pri čemer
To pomeni, da gradient funkcije pravzaprav označuje smer in velikost največje hitrosti povečanja te funkcije v točki.

Ekstremum funkcije dveh spremenljivk

Koncepti max, min, ekstrem funkcije dveh spremenljivk so podobni ustreznim konceptom funkcije ene spremenljivke. Naj bo funkcija Z= f(x; y) definirana v neki domeni D itd. M
spada v to območje. Točka M
se imenuje največja točka funkcije Z= f(x; y), če obstaja taka δ-soseščina točke
, da je za vsako točko iz te soseske neenakost
. Točko min določimo na podoben način, le predznak neenakosti se bo spremenil
. Vrednost funkcije v točki max(min) imenujemo maksimum (minimum). Maksimum in minimum funkcije imenujemo ekstremi.

Nujni in zadostni pogoji za ekstrem

Izrek:(Potrebni pogoji za ekstrem). Če v točki M
ima diferenciabilna funkcija Z= f(x; y) ekstrem, potem so njeni delni odvodi na tej točki enaki nič:
,
.

Dokaz: Ko fiksiramo eno od spremenljivk x ali y, pretvorimo Z = f(x; y) v funkcijo ene spremenljivke, za ekstrem katere morajo biti izpolnjeni zgornji pogoji. Geometrijske enakosti
in
pomeni, da je v ekstremni točki funkcije Z= f(x; y) tangentna ravnina na površino, ki predstavlja funkcijo f(x,y)=Z, vzporedna z ravnino OXY, ker enačba tangentne ravnine je Z = Z 0. Točka, v kateri so parcialni odvodi prvega reda funkcije Z = f (x; y) enaki nič, tj.
,
, imenujemo stacionarna točka funkcije. Funkcija ima lahko ekstrem v točkah, kjer vsaj eden od delnih odvodov ne obstaja. Na primer Z=|-
| ima max v točki O(0,0), vendar na tej točki nima odvodov.

Imenujemo stacionarne točke in točke, v katerih ne obstaja vsaj en delni odvod kritične točke. Na kritičnih točkah ima funkcija lahko ekstrem ali pa tudi ne. Enakost parcialnih odvodov nič je nujen, a ne zadosten pogoj za obstoj ekstrema. Na primer, ko je Z=xy, je kritična točka O(0,0). Funkcija Z=xy pa v sebi nima ekstrema. (Ker v četrtinah I in III Z>0, v četrtinah II in IV pa – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Izrek: (Zadosten pogoj za ekstreme). Naj na stacionarni točki
in v določeni okolici ima funkcija f(x; y) zvezne parcialne odvode do vključno 2. reda. Izračunajmo na mestu
vrednote
,
in
. Označimo