Formula tangentne trigonometrije. Trigonometrične enačbe - formule, rešitve, primeri

Nadaljujemo pogovor o najpogosteje uporabljenih formulah v trigonometriji. Najpomembnejše med njimi so adicijske formule.

Definicija 1

Aditivne formule vam omogočajo, da izrazite funkcije razlike ali vsote dveh kotov z uporabo trigonometričnih funkcij teh kotov.

Za začetek bomo podali popoln seznam formul dodajanja, nato pa jih bomo dokazali in analizirali več ilustrativnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne adicijske formule v trigonometriji

Obstaja osem osnovnih formul: sinus vsote in sinus razlike dveh kotov, kosinus vsote in razlike, tangens in kotangens vsote oziroma razlike. Spodaj so njihove standardne formulacije in izračuni.

1. Sinus vsote dveh kotov lahko dobimo na naslednji način:

Izračunamo zmnožek sinusa prvega kota in kosinusa drugega;

Pomnožite kosinus prvega kota s sinusom prvega;

Seštejte dobljene vrednosti.

Grafični zapis formule izgleda takole: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Sinus razlike se izračuna skoraj na enak način, le dobljeni produkti se ne smejo sešteti, ampak odšteti drug od drugega. Tako izračunamo zmnožke sinusa prvega kota s kosinusom drugega in kosinusa prvega kota s sinusom drugega ter poiščemo njuno razliko. Formula je zapisana takole: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Kosinus vsote. Zanj poiščemo produkte kosinusa prvega kota s kosinusom drugega in sinusa prvega kota s sinusom drugega ter ugotovimo njuno razliko: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Kosinus razlike: izračunajte produkte sinusov in kosinusov teh kotov, kot prej, in jih seštejte. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens vsote. Ta formula je izražena kot ulomek, katerega števec je vsota tangentov zahtevanih kotov, imenovalec pa enota, od katere se odšteje produkt tangentov želenih kotov. Iz njenega grafičnega zapisa je vse jasno: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangens razlike. Izračunamo vrednosti razlike in produkta tangent teh kotov in z njimi nadaljujemo na podoben način. V imenovalcu dodamo ena in ne obratno: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Kotangens vsote. Za izračun s to formulo potrebujemo zmnožek in vsoto kotangensov teh kotov, kar naredimo na naslednji način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens razlike . Formula je podobna prejšnji, vendar sta števec in imenovalec minus, ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Verjetno ste opazili, da so si te formule v parih podobne. Z znakoma ± (plus-minus) in ∓ (minus-plus) jih lahko združimo v skupine za lažji zapis:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

V skladu s tem imamo eno formulo za zapisovanje vsote in razlike vsake vrednosti, samo v enem primeru smo pozorni na zgornji znak, v drugem - na spodnji.

Definicija 2

Vzamemo lahko poljubna kota α in β in zanju bosta delovali adicijski formuli za kosinus in sinus. Če lahko pravilno določimo vrednosti tangentov in kotangensov teh kotov, bodo zanje veljale tudi formule za dodajanje tangensa in kotangensa.

Tako kot večino pojmov v algebri je mogoče tudi formule za dodajanje dokazati. Prva formula, ki jo bomo dokazali, je diferenčna kosinusna formula. Ostale dokaze je nato mogoče zlahka razbrati iz tega.

Razjasnimo osnovne pojme. Potrebovali bomo enotski krog. To se bo izšlo, če vzamemo določeno točko A in zasukamo kota α in β okoli središča (točka O). Potem bo kot med vektorjema O A 1 → in O A → 2 enak (α - β) + 2 π · z ali 2 π - (α - β) + 2 π · z (z je poljubno celo število). Nastali vektorji tvorijo kot, ki je enak α - β ali 2 π - (α - β), ali pa se od teh vrednosti razlikuje za celo število polnih vrtljajev. Oglejte si sliko:

Uporabili smo redukcijske formule in dobili naslednje rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Rezultat: kosinus kota med vektorjema O A 1 → in O A 2 → je enak kosinusu kota α - β, torej cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Spomnimo se definicij sinusa in kosinusa: sinus je funkcija kota, enaka razmerju kraka nasprotnega kota proti hipotenuzi, kosinus je sinus komplementarnega kota. Zato točke A 1 in A 2 imajo koordinate (cos α, sin α) in (cos β, sin β).

Dobimo naslednje:

O A 1 → = (cos α, sin α) in O A 2 → = (cos β, sin β)

Če ni jasno, si oglejte koordinate točk, ki se nahajajo na začetku in koncu vektorjev.

Dolžine vektorjev so enake 1, ker Imamo enotski krog.

Analizirajmo zdaj skalarni produkt vektorjev O A 1 → in O A 2 → . V koordinatah je videti takole:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Iz tega lahko izpeljemo enakost:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Tako je formula kosinusa razlike dokazana.

Zdaj bomo dokazali naslednjo formulo - kosinus vsote. To je lažje, ker lahko uporabimo prejšnje izračune. Vzemimo predstavitev α + β = α - (- β) . Imamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

To je dokaz formule za vsoto kosinusa. Zadnja vrstica uporablja lastnost sinusa in kosinusa nasprotnih kotov.

Formulo za sinus vsote lahko izpeljemo iz formule za kosinus razlike. Vzemimo za to formulo redukcije:

oblike sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). torej
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

In tukaj je dokaz sinusne formule razlike:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Upoštevajte uporabo lastnosti sinusa in kosinusa nasprotnih kotov v zadnjem izračunu.

Nato potrebujemo dokaze o adicijskih formulah za tangens in kotangens. Spomnimo se osnovnih definicij (tangens je razmerje med sinusom in kosinusom, kotangens pa obratno) in vzemimo že vnaprej izpeljane formule. Uspelo nam je:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Imamo kompleksen ulomek. Nato moramo njegov števec in imenovalec deliti s cos α · cos β, glede na to, da je cos α ≠ 0 in cos β ≠ 0, dobimo:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Sedaj zmanjšamo ulomke in dobimo naslednjo formulo: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. To je dokaz formule za tangentni dodatek.

Naslednja formula, ki jo bomo dokazali, je tangens diferenčne formule. Vse je jasno prikazano v izračunih:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formule za kotangens dokazujemo na podoben način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Nadalje:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

Osredotočeno na točko A.
α - kot, izražen v radianih.

Opredelitev
Sinus (sin α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino hipotenuze |AC|.

Sprejete notacije

;
;
.

Graf sinusne funkcije, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Lastnosti sinusa in kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = greh x in y = cos x periodično z obdobjem 2π.

Pariteta

Sinusna funkcija je liha. Kosinusna funkcija je soda.

Področje definicije in vrednosti, ekstremi, naraščanje, padanje

Funkciji sinus in kosinus sta zvezni v svoji definicijski domeni, to je za vse x (glejte dokaz zveznosti). Njihove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli (n - celo število).

	y = greh x	y = cos x
Obseg in kontinuiteta	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Razpon vrednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Povečanje
Sestopanje
Maksimalno, y = 1
Najmanjše vrednosti, y = - 1
Ničle, y = 0
Presečišča z ordinatno osjo, x = 0	y = 0	y = 1

Osnovne formule

Vsota kvadratov sinusa in kosinusa

Formule za sinus in kosinus iz vsote in razlike

;
;

Formule za produkt sinusov in kosinusov

Formule vsote in razlike

Izražanje sinusa skozi kosinus

;
;
;
.

Izražanje kosinusa skozi sinus

;
;
;
.

Izražanje skozi tangento

; .

Ko imamo:
; .

ob:
; .

Tabela sinusov in kosinusov, tangensov in kotangensov

Ta tabela prikazuje vrednosti sinusov in kosinusov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi skozi kompleksne spremenljivke

;

Eulerjeva formula

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

;
;

Odvod

; . Izpeljava formul >>>

Izpeljanke n-tega reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji sinusa in kosinusa sta arkusin in arkosinus.

Arksin, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.

Osnovne trigonometrične formule so formule, ki vzpostavljajo povezave med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so med seboj povezani s številnimi razmerji. Spodaj predstavljamo glavne trigonometrične formule, za udobje pa jih bomo združili po namenu. Z uporabo teh formul lahko rešite skoraj vsak problem iz standardnega tečaja trigonometrije. Naj takoj opozorimo, da so spodaj le same formule in ne njihov zaključek, o katerem bomo razpravljali v ločenih člankih.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne identitete trigonometrije

Trigonometrične identitete zagotavljajo razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar omogoča, da se ena funkcija izrazi z drugo.

Trigonometrične identitete

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Te identitete izhajajo neposredno iz definicij enotskega kroga, sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) in kotangensa (ctg).

Redukcijske formule

Redukcijske formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi in poljubno velikimi koti na delo s koti v razponu od 0 do 90 stopinj.

Redukcijske formule

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Redukcijske formule so posledica periodičnosti trigonometričnih funkcij.

Trigonometrične adicijske formule

Aditivne formule v trigonometriji vam omogočajo, da izrazite trigonometrično funkcijo vsote ali razlike kotov v smislu trigonometričnih funkcij teh kotov.

Trigonometrične adicijske formule

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Na podlagi adicijskih formul so izpeljane trigonometrične formule za več kotov.

Formule za več kotov: dvojni, trojni itd.

Formule dvojnega in trojnega kota

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α s t g 2 α = s t g 2 α - 1 2 · s t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule polovičnega kota

Formule polkotnika v trigonometriji so posledica formul dvojnega kota in izražajo razmerje med osnovnima funkcijama polkotnika in kosinusa celega kota.

Formule polovičnega kota

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule za zmanjšanje stopnje

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Pri izračunih je pogosto neprijetno delati z okornimi pooblastili. Formule za zmanjšanje stopnje vam omogočajo zmanjšanje stopnje trigonometrične funkcije s poljubno velike na prvo. Tukaj je njihov splošni pogled:

Splošni pogled na formule za zmanjšanje stopnje

za celo n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

za liho n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

Razliko in vsoto trigonometričnih funkcij lahko predstavimo kot produkt. Faktoriziranje razlik sinusov in kosinusov je zelo priročno za uporabo pri reševanju trigonometričnih enačb in poenostavljanju izrazov.

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produkt trigonometričnih funkcij

Če formule za vsoto in razliko funkcij omogočajo prehod na njihov produkt, potem formule za produkt trigonometričnih funkcij izvedejo obratni prehod - od produkta do vsote. Upoštevane so formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus s kosinusom.

Formule za produkt trigonometričnih funkcij

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzalna trigonometrična zamenjava

Vse osnovne trigonometrične funkcije - sinus, kosinus, tangens in kotangens - je mogoče izraziti s tangensom polovičnega kota.

Univerzalna trigonometrična zamenjava

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.

Morda bi bilo koristno prebrati: