Як розрахувати середньоквадратичне. Розрахунок середнього квадратичного відхилення у Microsoft Excel

Дисперсія– це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від загальної середньої. Дисперсія зазвичай називається середнім квадратом відхилень. Залежно від вихідних даних дисперсія може обчислюватися за середньою арифметичною простою або зваженою:

Для не згрупованих даних σ 2 =,

Для варіаційного ряду σ 2 =
.

Середнє квадратичне відхиленняявляє собою квадратний корінь з дисперсії:

Для не згрупованих даних σ =
,

Для варіаційного ряду σ =
.

Середнє квадратичне відхилення – це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки у сукупності. Виражається воно у тих самих одиницях виміру, як і ознака (в метрах, тоннах, відсотках, гектарах тощо.).

Обчислення середнього квадратичного відхилення передує розрахунок дисперсії.

Визначення дисперсії та середнього квадратичного відхилення за індивідуальними значеннями

Порядок розрахунку:

    за значеннями ознаки обчислюється середня арифметична проста

;


Завдання 3.За прикладом двох бригад (завдання 1) визначте дисперсію та середнє кваліфіковане відхилення продуктивності праці.

Методика розв'язання:

Визначення дисперсії та середнього квадратичного відхилення в дискретних та інтервальних рядах розподілу

Порядок розрахунку:

Завдання 4.Розрахуйте дисперсію та середнє квадратичне відхилення за даними типового завдання. Зробіть висновок.

Вироблено продукції 1 робітником, шт. (Х варіанта)

Число робітників

Методика розв'язання:

Якщо вихідні дані представлені у вигляді інтервального ряду розподілу, спочатку треба визначити дискретне значення ознаки, а далі застосувати той же метод, що викладено вище.

Завдання 5.Розрахуйте дисперсію та середнє квадратичне відхилення для інтервального ряду за даними розподілу посівної площі господарства за врожайністю пшениці:

Врожайність пшениці, ц\га

Посівна площа, га

Методика розв'язання:

Розрахунок дисперсії спрощеним способом.

Застосування наведеної формули розрахунку дисперсії який завжди зручно, хоча вона добре відбиває суть показника. Тому необхідно знати іншу формулу спрощеного способу розрахунку, яка з наведеної вище:

,

де - Середня величина квадратів варіантів;

- Квадрат середньої арифметичної.

Порядок розрахунку (якщо дані не згруповані):

Завдання 6.Є дані про продуктивність праці робочих. Обчислити дисперсію спрощеним способом.

№ робітника

Вироблено продукцію за зміну, шт.

Методика розв'язання:

Порядок розрахунку (якщо дані згруповані):

Завдання 7.Наявні дані про розподіл сільськогосподарських підприємств за наявністю основних фондів. Обчислити дисперсію спрощеним способом.

Групи підприємств із наявності основних фондів, млн. крб.

Число підприємств

Методика розв'язання.

Математичне очікування та дисперсія

Нехай ми вимірюємо випадкову величину Nразів, наприклад, десять разів вимірюємо швидкість вітру та хочемо знайти середнє значення. Як пов'язане середнє значення із функцією розподілу?

Кидатимемо гральний кубик велику кількість разів. Кількість очок, що випаде на кубику при кожному кидку, є випадковою величиною і може набувати будь-яких натуральних значень від 1 до 6. Середнє арифметичне випалих очок, підрахованих за всі кидки кубика, теж є випадковою величиною, проте при великих Nвоно прагне цілком конкретного числа – математичного очікування M x. В даному випадку M x = 3,5.

Як вийшла ця величина? Нехай у Nвипробуваннях разів випало 1 очко, разів – 2 очки і так далі. Тоді При N→ ∞ кількість наслідків, у яких випало одне очко, Аналогічно, Звідси

Модель 4.5. Гральні кубики

Припустимо тепер, що ми знаємо закон розподілу випадкової величини xтобто знаємо, що випадкова величина xможе приймати значення x 1 , x 2 , ..., x kз ймовірностями p 1 , p 2 , ..., p k.

Математичне очікування M xвипадкової величини xодно:

Відповідь. 2,8.

Математичне очікування який завжди є розумною оцінкою якоїсь випадкової величини. Так, для оцінки середньої заробітної плати розумніше використовувати поняття медіани, тобто такої величини, що кількість людей, які отримують меншу, ніж медіана, зарплату та більшу, збігаються.

Медіаноювипадкової величини називають число x 1/2 таке, що p (x < x 1/2) = 1/2.

Іншими словами, ймовірність p 1 того, що випадкова величина xвиявиться меншою x 1/2 , і ймовірність p 2 того, що випадкова величина xвиявиться більшою x 1/2, однакові та рівні 1/2. Медіана визначається однозначно задля всіх розподілів.

Повернемося до випадкової величини xяка може приймати значення x 1 , x 2 , ..., x kз ймовірностями p 1 , p 2 , ..., p k.

Дисперсієювипадкової величини xназивається середнє значення квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Приклад 2

В умовах попереднього прикладу обчислити дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини x.

Відповідь. 0,16, 0,4.

Модель 4.6. Стрілянина в ціль

Приклад 3

Знайти розподіл ймовірності числа очок, що випали на кубику з першого кидка, медіану, математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення.

Випадання будь-якої грані рівноймовірне, так що розподіл виглядатиме так:

Середньоквадратичне відхилення Видно, що відхилення від середнього значення величини дуже велике.

Властивості математичного очікування:

  • Математичне очікування суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

Приклад 4

Знайти математичне очікування суми та твори очок, що випала на двох кубиках.

У прикладі 3 ми виявили, що для одного кубика M (x) = 3,5. Значить, для двох кубиків

Властивості дисперсії:

  • Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій:

D x + y = D x + D y.

Нехай за Nкидків на кубику випало yокулярів. Тоді

Цей результат є вірним не тільки для кидків кубика. Він у багатьох випадках визначає точність виміру математичного очікування досвідченим шляхом. Видно, що при збільшенні кількості вимірів Nрозкид значень навколо середнього, тобто середньоквадратичне відхилення, зменшується пропорційно

Дисперсія випадкової величини пов'язана з математичним очікуванням квадрата цієї випадкової величини наступним співвідношенням:

Знайдемо математичні очікування обох частин цієї рівності. За визначенням,

Математичне ж очікування правої частини рівності за якістю математичних очікувань дорівнює

Середнє квадратичне відхилення

Середньоквадратичне відхиленнядорівнює квадратному кореню з дисперсії:
При визначенні середнього квадратичного відхилення при досить великому обсязі сукупності, що вивчається (n > 30) застосовуються формули:

Первинні описові статистики - це найпростіші характеристики, якими можна описати психологічні дані, які були отримані в процесі тестування піддослідних.

До найчастіше використовуваних у курсових і дипломних з психології описовим статистикам можна віднести:

  • середнє значення;
  • стандартне відхилення.

Середнє значення

Найпростіша математична процедура, яку необхідно освоїти студенту-психологу під час написання диплома – розрахунок середнього значення.

Середнє значення чи середнє арифметичне - це число, одержуване як кількість кількох показників, роблена кількість цих показників. Наприклад, в результаті тестування були отримані показники тривожності у групі з 10 осіб. Щоб отримати середнє значення тривожності по групі потрібно скласти показники всіх піддослідних, а потім суму розділити на 10.

Середнє значення характеризує групу цілком. Знаючи середнє можна оцінити показники кожного випробуваного щодо інших. Наприклад, тривожність, що вимірюється в наведеному вище прикладі, могла бути від 1 до 5 балів. Нехай середня за групою тривожність виявилася 3,5 балами. Тоді, показник випробуваного в 4 бали можна вважати відносно високим, а в 2 бали відносно низьким.

Середнє значення відноситься до показників центральної тенденції та відображає ступінь виразності показника у групі. Стандартне відхилення відбиває ступінь мінливості ознаки групи, але про нього мова попереду.

Середнє значення будь-якого показника характеризує групу загалом і дозволяє порівнювати її з іншими групами. Наприклад, проведено діагностику рівня емпатії у групі чоловіків і жінок. Як дізнатися, чи впливає підлога на здатність до емпатії. Один із способів – знайти середній рівень цього показника в групах чоловіків та жінок. Наприклад, групи жінок середній рівень емпатії дорівнює 23,5 балів, а групі чоловіків - 17,7 балів. Як видно, у середньому у жінок емпатія вища, ніж у чоловіків.

Важливо, середнє значення - це просто число, а - статистичне - отримане в результаті особливої ​​процедури. Тому й порівнювати середні значення як звичайні числа не можна. Для порівняння середніх значень використовують додаткові процедури - розрахунок статистичних критеріїв. Наприклад, U-критерій Манна-Уітніабо t-критерій Ст'юдента .

Середнє - це єдиний статистичний показник, який відбиває вираженість змінної групи. Аналогічну функцію виконують мода та медіана. Однак вони рідко використовуються в дипломах психології.

Середні значення виразності психологічних показників у курсової чи дипломної психології представляються як таблиць і діаграм. У таблицях середнє позначається літерою "М".

Стандартне відхилення

Якщо середнє арифметичне відбиває вираженість показника групи, то стандартне відхилення (середньоквадратичне відхилення) показує його розкид даних чи мінливість. Чим більша величина стандартного відхилення, тим більший розкид показників групи піддослідних.

Наприклад, групу хлопчиків протестували методикою виявлення рівня егоцентризму, показники якого змінюються від 1 до 10. Розрахунок середнього показав М=6,5, а стандартне відхилення σ=3 (стандартне відхилення позначається буквою «сигма»). Ці дані дозволяють нам говорити про те, що переважна більшість показників егоцентризму хлопчиків укладаються в діапазон від 3,5 до 9,5 (середнє плюс/мінус стандартне відхилення – М ± σ).

Якщо при тестуванні групи дівчаток середнє значення М=5, а стандартне відхилення σ=1, більшість випробуваних цієї групи мають егоцентризм в діапазоні від 4 до 6 (5 ± 1).

Аналізую такі дані в дипломі психології можна вказати, що середній рівень егоцентризму у хлопчиків більше, ніж у дівчаток. При цьому розкид показників егоцентризму у хлопчиків також більший, ніж у дівчаток, тобто у групі хлопчиків є піддослідні з дуже низькими та дуже високими показниками щодо середнього. У дівчаток показники менш «розкидані» щодо середнього.

Розрахунок середнього та стандартного відхилення

Формула середнього розрахунку дуже проста і цей параметр можна розрахувати вручну.

Приклад розрахунку середнього

У таблиці наведено показники, отримані за тестом діагностики рівня самотності у 64 випробуваних.

№ вик.

Рівень самотності

Знайдемо середній рівень переживання самотності групи.

М=(13+14+5+11+17+9+18+6+9+15+14+7+9+8+13+12+14+19+15+11+15+6+8+8 + 8+ 5+ 20+ 5+ 9+ 7+ 7+ 11+ 15+ 7+ 7+ 9+ 8+ 11+ 17+ 10+ 18+ 15+ 14+ 15+ 4+8+15+17+14 +4+8+18+14+14+9+1+7+11+4+14+11+6+17) / 64=10,92

Як бачимо, якщо досліджуваних досить багато, то розраховувати середнє вручну завдання є трудомістким.

Ще більш трудомісткий процес – розрахунок стандартного відхилення. Не втомлюватиму вас формулами, скажу лише, що розрахунок цього показника зводиться до того, що підсумовуються квадрати різниці показників із середнім значенням. Потім ця сума ділиться на число показників і з отриманого числа видобувається квадратний корінь. Вручну такі обчислення робити клопітно і не потрібно.

Найчастіше розрахунки середнього та стандартного відхилення можна робити у статистичних програмах STATISTICA, SPSS та електронних таблицях Ex el.

Сподіваюся, ця стаття допоможе вам написати роботу з психології самостійно. Якщо знадобиться допомога, звертайтеся (всі види робіт із психології; статистичні розрахунки).

Середньоквадратичне відхилення(синоніми: середнє квадратичне відхилення, середньоквадратичне відхилення, квадратичне відхилення; близькі терміни: стандартне відхилення, стандартний розкид) - в теорії імовірностейі статистицінайбільш поширений показник розсіювання значень випадкової величинищодо її математичного очікування. При обмежених масивах вибірок значень замість математичного очікування використовується середнє арифметичнесукупності вибірок.

Енциклопедичний YouTube

  • 1 / 5

    Середньоквадратичне відхилення вимірюється в одиницях вимірюваннясамої випадкової величини та використовується при розрахунку стандартної помилки середнього, арифметичного, при побудові довірчих інтервалів, за статистичної перевірці гіпотез, при вимірі лінійного взаємозв'язкуміж випадковими величинами Визначається як квадратний коріньз дисперсії, випадкової величини.

    Середньоквадратичне відхилення:

    s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ;
    • (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac(n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac(1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)

    Стандартне відхиленняПримітка: Дуже часто зустрічаються різночитання в назвах СКО (Середньоквадратичного відхилення) та СТО (Стандартного відхилення) за їх формулами. Наприклад, у модулі numPy мови програмування Python функція std() описується як "standart deviation", тоді як формула відображає СКО (розподіл на корінь з вибірки). У Excel функція СТАНДОТКЛОН() інша (розподіл на корінь з n-1). x(Оцінка середньоквадратичного відхилення випадкової величини Незміщена оцінканезміщеної оцінки її дисперсії):

    s (\displaystyle s)

    σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar(x))\right) ^(2))).) - де ; σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - дисперсія x i (\displaystyle x_(i)) i-й елемент вибірки; середнє арифметичне n (\displaystyle n)

    - Обсяг вибірки;

    - вибірки: x = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . Слід зазначити, що обидві оцінки є зміщеними. У загальному випадку.

    Відповідно до ГОСТ Р 8.736-2011 середньоквадратичне відхилення вважається за другою формулою цього розділу. Будь ласка, звірте результати.

    Правило трьох сигм

    Правило трьох сигм (3 σ (\displaystyle 3\sigma )) - практично всі значення нормально розподіленоювипадкової величини лежать в інтервалі (x − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). Суворіше - приблизно з ймовірністю 0,9973 значення нормально розподіленоювипадкової величини лежить у вказаному інтервалі (за умови, що величина x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))істинна, а чи не отримана внаслідок обробки вибірки).

    Якщо ж справжня величина x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))невідома, то слід користуватися не σ (\displaystyle \sigma ), а s. Таким чином, правило трьох сигм перетворюється на правило трьох s .

    Інтерпретація величини середньоквадратичного відхилення

    Більше значення середньоквадратичного відхилення показує більший розкид значень у представленій множині із середньою величиною множини; менше значення, відповідно, показує, що значення у множині згруповані навколо середнього значення.

    Наприклад, у нас є три числові множини: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) і (6, 6, 8, 8). У всіх трьох множин середні значення дорівнюють 7, а середньоквадратичні відхилення, відповідно, дорівнюють 7, 5 і 1. У останньої множини середньоквадратичне відхилення маленьке, тому що значення у множині згруповані навколо середнього значення; у першої множини найбільше значення середньоквадратичного відхилення - значення всередині множини сильно розходяться із середнім значенням.

    У загальному сенсі середньоквадратичне відхилення вважатимуться мірою невизначеності. Наприклад, у фізиці середньоквадратичне відхилення використовується визначення похибкисерії послідовних вимірів будь-якої величини. Це значення дуже важливо для визначення правдоподібності досліджуваного явища в порівнянні з передбаченим теорією значенням: якщо середнє значення вимірювань сильно відрізняється від передбачених теорією значень (велике значення середньоквадратичного відхилення), то отримані значення або метод їх отримання слід перевіряти ще раз. ототожнюється з ризикомпортфель.

    Клімат

    Припустимо, існують два міста з однаковою максимальною середньої денною температурою, але одне розташоване на узбережжі, а інше на рівнині. Відомо, що в містах, розташованих на узбережжі, безліч різних максимальних денних температур менше, ніж у міст, розташованих усередині континенту. Тому середньоквадратичне відхилення максимальних денних температур у прибережного міста буде менше, ніж у другого міста, незважаючи на те, що середнє значення цієї величини у них однакове, що на практиці означає, що ймовірність того, що максимальна температура повітря кожного конкретного дня в році буде сильнішою. відрізнятиметься від середнього значення, вище у міста, розташованого всередині континенту.

    Спорт

    Припустимо, що є кілька футбольних команд, які оцінюються за деяким набором параметрів, наприклад, кількістю забитих і пропущених голів, гольових моментів і т.п. Чим менше у команди середньоквадратичне відхилення по кожному з представлених параметрів, тим більш передбачуваним є результат команди, такі команди є збалансованими. З іншого боку, у команди з великим значенням середньоквадратичного відхилення складно передбачити результат, що пояснюється дисбалансом, наприклад, сильним захистом, але слабким нападом.

    Використання середньоквадратичного відхилення параметрів команди дозволяє в тій чи іншій мірі передбачити результат матчу двох команд, оцінюючи сильні та слабкі сторони команд, а отже, і способів боротьби, що вибираються.



     

    Можливо, буде корисно почитати: