Тангенс формула тригонометрії. Тригонометричні рівняння - формули, рішення, приклади

Продовжуємо нашу розмову про найуживаніші формули в тригонометрії. Найважливіші – формули складання.

Визначення 1

Формули додавання дозволяють виразити функції різниці або суми двох кутів за допомогою тригонометричних функцій цих кутів.

Спочатку ми наведемо повний перелік формул додавання, потім доведемо їх і розберемо кілька наочних прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основні формули додавання в тригонометрії

Виділяють вісім основних формул: синус суми та синус різниці двох кутів, косинуси суми та різниці, тангенси та котангенси суми та різниці відповідно. Нижче наведено їх стандартні формулювання та обчислення.

1.Синус суми двох кутів можна одержати так:

Обчислюємо добуток синуса першого кута на косинус другого;

Помножуємо косинус першого кута на синус першого;

Складаємо значення, що вийшли.

Графічне написання формули виглядає так: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Синус різниці обчислюється майже так само, тільки отримані твори потрібно не скласти, а відняти один від одного. Таким чином, обчислюємо твори синуса першого кута на косинус другого та косинуса першого кута на синус другого та знаходимо їх різницю. Формула пишеться так: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Косинус суми. Для нього знаходимо твори косинуса першого кута на косинус другого та синуса першого кута на синус другого відповідно і знаходимо їх різницю: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Косинус різниці: обчислюємо твори синусів і косінусів даних кутів, як і раніше, і складаємо їх. Формула: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

5. Тангенс суми. Ця формула виражається дробом, у чисельнику якої – сума тангенсів шуканих кутів, а знаменнику – одиниця, з якої віднімається добуток тангенсів шуканих кутів. Все зрозуміло з її графічного запису: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Тангенс різниці. Обчислюємо значення різниці та твори тангенсів даних кутів і чинимо з ними подібним чином. У знаменнику ми додаємо до одиниці, а не навпаки: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Котангенс суми. Для обчислень за цією формулою нам знадобляться добуток і сума котангенсів даних кутів, з якими ми надходимо наступним чином:

8. Котангенс різниці . Формула схожа з попередньою, але в чисельнику і знаменнику – мінус, а не плюс tg (α - β) = - 1 - ctg α · c t g β c t g α - c t g β .

Ви, мабуть, помітили, що ці формули попарно схожі. За допомогою знаків ± (плюс-мінус) та ∓ (мінус-плюс) ми можемо згрупувати їх для зручності запису:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Відповідно, ми маємо одну формулу запису для суми та різниці кожного значення, просто в одному випадку ми звертаємо увагу на верхній знак, в іншому – на нижній.

Визначення 2

Ми можемо взяти будь-які кути α і β і формули додавання для косинуса і синуса підійдуть для них. Якщо ми можемо правильно визначити значення тангенсів та котангенсів цих кутів, то формули додавання для тангенсу та котангенсу будуть також для них справедливі.

Як і більшість понять в алгебрі, формули додавання можуть бути доведені. Перша формула, яку ми доведемо, – формула косинуса різниці. З неї потім можна легко вивести решту доказів.

Уточнимо основні поняття. Нам знадобиться одиничне коло. Вона вийде, якщо ми візьмемо якусь точку A і повернемо навколо центру (точки O) кути α та β. Тоді кут між векторами O A 1 → і O A → 2 дорівнюватиме (α - β) + 2 π · z або 2 π - (α - β) + 2 π · z (z – будь-яке ціле число). Вектори, що виходять, утворюють кут, який дорівнює α - β або 2 π - (α - β) , або він може відрізнятися від цих значень на ціле число повних оборотів. Погляньте на малюнок:

Ми скористалися формулами приведення та отримали такі результати:

cos ((α - β) + 2 π · z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π · z) = cos (α - β)

Підсумок: косинус кута між векторами O A 1 → і O A 2 → дорівнює косинусу кута α - β, отже cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Згадаймо визначення синуса та косинуса: синус - функція кута, що дорівнює відношенню катета протилежного кута до гіпотенузи, косинус – це синус додаткового кута. Отже, точки A 1і A 2мають координати (cos α , sin α) та (cos β , sin β) .

Отримаємо таке:

O A 1 → = (cos α , sin α) та O A 2 → = (cos β , sin β)

Якщо незрозуміло, погляньте на координати точок, розташованих на початку та наприкінці векторів.

Довжини векторів дорівнюють 1, т.к. у нас поодиноке коло.

Розберемо тепер скалярний добуток векторів O A 1 → і O A 2 → . У координатах воно виглядає так:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

З цього ми можемо вивести рівність:

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Таким чином, формула косинуса різниці доведена.

Тепер ми доведемо таку формулу – косинуса суми. Це простіше, оскільки ми можемо скористатися з попередніх розрахунків. Візьмемо уявлення α + β = α - (- β). У нас є:

cos (α + β) = cos (α - (-β)) = = cos α · cos (- β) + sin α · sin (- β) = = cos α · cos β + sin α · sin β

Це і є доказом формули косинуса суми. В останньому рядку використано властивість синуса та косинуса протилежних кутів.

Формулу синуса суми можна вивести із формули косинуса різниці. Візьмемо для цього формулу приведення:

виду sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Так
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) · cos β + sin (π 2 - α) · sin β = = sin α · cos β + cos α · sin β

А ось доказ формули синуса різниці:

sin (α - β) = sin (α + (-β)) = sin α · cos (-β) + cos α · sin (- β) = = sin α · cos β - cos α · sin β
Зверніть увагу на використання властивостей синуса та косинуса протилежних кутів в останньому обчисленні.

Далі нам потрібні докази формул додавання для тангенсу та котангенсу. Згадаймо основні визначення (тангенс - ставлення синуса до косінус, а котангенс - навпаки) і візьмемо вже виведені заздалегідь формули. У нас вийшло:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β - sin α · sin β

У нас вийшов складний дріб. Далі нам потрібно розділити її чисельник і знаменник на cos α · cos β , враховуючи що cos α ≠ 0 та cos β ≠ 0 отримуємо:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Тепер скорочуємо дроби і отримуємо формулу наступного виду: sin cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · sin β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
У нас вийшло t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Це і є підтвердження формули складання тангенсу.

Наступна формула, яку ми доводитимемо – формула тангенсу різниці. Все наочно показано у обчисленнях:

t g (α - β) = t g (α + (-β)) = t g α + t g (-β) 1 - t g α · t g (-β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

Формули для котангенсу доводяться таким чином:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Далі:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α · c t g (-β)

З центром у точці A.
α - Кут, виражений у радіанах.

Визначення
Сінус (sin α)- це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини гіпотенузи | AC |

Косінус (cos α)- це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини гіпотенузи | AC |

Прийняті позначення

;
;
.

Графік функції синус, y = sin x

Графік функції косинус, y = cos x

Властивості синуса та косинуса

Періодичність

Функції y = sin xта y = cos xперіодичні з періодом 2 π.

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

Область визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Функції синус і косинус безперервні у своїй області визначення, тобто всім x (див. доказ безперервності). Їхні основні властивості представлені в таблиці (n - ціле).

	y = sin x	y = cos x
Область визначення та безперервність	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Зростання
Зменшення
Максимуми, y = 1
Мінімуми, y = - 1
Нулі, y = 0
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основні формули

Сума квадратів синуса та косинуса

Формули синуса та косинуса від суми та різниці

;
;

Формули твору синусів та косинусів

Формули суми та різниці

Вираз синуса через косинус

;
;
;
.

Вираз косинуса через синус

;
;
;
.

Вираз через тангенс

; .

При , маємо:
; .

При:
; .

Таблиця синусів та косинусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні змінні

;

Формула Ейлера

Вирази через гіперболічні функції

;
;

Похідні

; . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Зворотні функції

Зворотними функціями до синуса і косинус є арксинус і арккосинус, відповідно.

Арксінус, arcsin

Арккосинус, arccos

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Основні формули тригонометрії - це формули, що встановлюють зв'язок між основними тригонометричними функціями. Синус, косинус, тангенс та котангенс пов'язані між собою безліччю співвідношень. Нижче наведемо основні тригонометричні формули, а для зручності згрупуємо їх за призначенням. З використанням даних формул можна вирішити практично будь-яке завдання із стандартного курсу тригонометрії. Відразу зазначимо, що нижче наведено самі формули, а чи не їх висновок, якому будуть присвячені окремі статті.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основні тотожності тригонометрії

Тригонометричні тотожності дають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, дозволяючи висловити одну функцію через іншу.

Тригонометричні тотожності

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Ці тотожності безпосередньо випливають із визначень одиничного кола, синуса (sin), косинуса (cos), тангенсу (tg) та котангенсу (ctg).

Формули наведення

Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і скільки завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів.

Формули наведення

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формули наведення є наслідком періодичності тригонометричних функцій.

Тригонометричні формули складання

Формули додавання в тригонометрії дозволяють виразити тригонометричну функцію суми або різниці кутів через тригонометричні функції цих кутів.

Тригонометричні формули складання

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основі формул додавання виводяться тригонометричні формули кратного кута.

Формули кратного кута: подвійного, потрійного тощо.

Формули подвійного та потрійного кута

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α з t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · з t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Формули половинного кута

Формули половинного кута тригонометрії є наслідком формул подвійного кута і виражають співвідношення між основними функціями половинного кута і косинусом цілого кута.

Формули половинного кута

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Формули зниження ступеня

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при розрахунках діяти з громіздкими ступенями незручно. Формули зниження ступеня дозволяють знизити ступінь тригонометричної функції зі скільки завгодно великий до першої. Наведемо їх загальний вигляд:

Загальний вид формул зниження ступеня

для парних n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ((n - 2 k) α)

для непарних n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C k n · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ((n - 2 k) α)

Сума та різниця тригонометричних функцій

Різницю та суму тригонометричних функцій можна подати у вигляді твору. Розкладання на множники різниць синусів і косінусів дуже зручно застосовувати при вирішенні тригонометричних рівнянь та спрощенні виразів.

Сума та різницю тригонометричних функцій

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2

Добуток тригонометричних функцій

Якщо формули суми та різниці функцій дозволяють перейти до їхнього твору, то формули твору тригонометричних функцій здійснюють зворотний перехід - від твору до суми. Розглядаються формули добутку синусів, косінусів та синусу на косинус.

Формули добутку тригонометричних функцій

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))

Універсальна тригонометрична підстановка

Всі основні тригонометричні функції – синус, косинус, тангенс та котангенс, – можуть бути виражені через тангенс половинного кута.

Універсальна тригонометрична підстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 t g α 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Можливо, буде корисно почитати: