Радіус вписаного кола дорівнює. Як знайти радіус вписаного кола

Коло вважається вписаним у межі правильного багатокутника, у разі, якщо лежить усередині нього, торкаючись при цьому прямих, які проходять через усі сторони. Розглянемо, як знайти центр та радіус кола. Центром кола буде точка, в якій перетинаються бісектриси кутів багатокутника. Радіус розраховується: R=S/P; S – площа багатокутника, Р – напівпериметр кола.

У трикутнику

У правильний трикутник вписують лише одне коло, центр якого називається інцентром; він від усіх сторін віддалений на однакову відстань і є місцем перетину бісектрис.

У чотирикутнику

Часто доводиться вирішувати, як знайти радіус вписаного кола в цей геометричну фігуру. Вона має бути опуклою (якщо немає самоперетинів). Коло вписати до неї можна лише у разі рівності сум протилежних сторін: AB+CD=BC+AD.

При цьому центр вписаного кола, середини діагоналей, розташовані на одній прямій (відповідно до теореми Ньютона). Відрізок, кінці якого знаходяться там, де перетинаються протилежні сторони правильного чотирикутника, лежить на цій самій прямій, що називається прямою Гаусса. Центром кола буде точка, в якій перетинаються висоти трикутника з вершинами, діагоналями (теорема Брокара).

У ромбі

Їм вважається паралелограм із однаковою довжиною сторін. Радіус кола, що вписується в нього, можна розрахувати кількома способами.

  1. Щоб зробити це правильно, знайдіть радіус вписаного кола ромба, якщо відома площа ромба, довжина його сторони. Застосовується формула r=S/(2Хa). Наприклад, якщо площа ромба становить 200 мм кв., Довжина сторони 20 мм, то R=200/(2Х20), тобто, 5 мм.
  2. Відомий гострий кут однієї з вершин. Тоді необхідно використовувати формулу r=v(S*sin(α)/4). Наприклад, при площі 150 мм і відомому вугіллів 25 градусів, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
  3. Усі кути у ромбі рівні. У цій ситуації радіус кола, вписаного в ромб, дорівнюватиме половині довжини однієї сторони цієї фігури. Якщо міркувати по Евкліду, який стверджує, що сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 градусів, то один кут дорівнюватиме 90 градусам; тобто. вийде квадрат.

Центр перетину бісектрис трикутника є також і центром вписаного кола.
Бісектриси ділять трикутник на три менші трикутники, сумарна площа яких, відповідно, дорівнює площі початкового трикутника.

Висоти цих трикутників однакові і дорівнюють радіусу вписаного кола. Відповідно, для того, щоб дізнатися радіус вписаного кола, нам потрібно дізнатися висоту цих трикутників.

Висоту цих трикутників можна отримати з формули площі, яка виглядає як S=1/2*a*h, де a — основа трикутника, а h — висота, яка в нашому випадку дорівнює r — величині, що шукається.
Переробивши формулу під свої завдання, отримуємо r=h=2S/a, тобто площа трикутника поділена на половину основи. Основа кожного з цих трикутників, відповідно, одна із сторін основного трикутника. Маючи заданими площу трикутника та його сторони, а краще відразу периметр, ми можемо обчислити радіус вписаного кола за рівнянням Sabc=1/2r*(a+b+c), тобто радіус вписаного кола дорівнює площіосновного трикутника, поділеного на напівпериметр, який позначається як p.


Для отримання радіусу вписаного кола самим простим способомнам необхідно знати дві величини – площа даного трикутника та периметр. Якщо ці величини вже є у завданні, слідує:
  • Отримати периметр шляхом складання сторін.
  • Розділити периметр на 2, щоб одержати напівпериметр.
  • Розділити площу трикутника на отримане число.

В самому простому варіантіформула виглядає як r=S/p.


[yt=Lhybr4Z8XoQ]



 

Можливо, буде корисно почитати: