Ip bo'ylab mayatnikga qanday kuchlar ta'sir qiladi? Matematik mayatnik: davr, tezlanish va formulalar

Matematik mayatnik suspenziyaga biriktirilgan va tortishish (yoki boshqa kuch) sohasida joylashgan vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtani chaqiring.

Matematik mayatnikning inertial sanoq sistemasidagi tebranishlarini o‘rganamiz, unga nisbatan uning osilish nuqtasi tinch yoki to‘g‘ri chiziq bo‘ylab bir tekis harakatlanadi. Biz havo qarshiligi kuchini (ideal matematik mayatnik) e'tiborsiz qoldiramiz. Dastlab mayatnik C muvozanat holatida tinch holatda bo'ladi. Bunda unga ta'sir qiluvchi og'irlik kuchi \(\vec F\) va ipning elastik kuchi \(\vec F_(ynp)\) o'zaro bog'liqdir. kompensatsiya qilingan.

Mayatnikni muvozanat holatidan olib tashlaymiz (masalan, A holatiga og'ish orqali) va uni boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuboramiz (13.11-rasm). Bunda \(\vec F\) va \(\vec F_(ynp)\) kuchlari bir-birini muvozanatlashtirmaydi. Og'irlikning tangensial komponenti \(\vec F_\tau\), mayatnikga ta'sir qilib, unga tangensial tezlanishni beradi \(\vec a_\tau\) (matematik mayatnik traektoriyasiga tangens bo'ylab yo'naltirilgan umumiy tezlanishning komponenti). ) va mayatnik mutlaq qiymatda ortib borayotgan tezlik bilan muvozanat holatiga o'ta boshlaydi. Shunday qilib, tortishishning tangensial komponenti \(\vec F_\tau\) tiklovchi kuchdir. Og'irlik kuchining normal komponenti \(\vec F_n\) elastik kuchga qarshi ip bo'ylab yo'naltiriladi \(\vec F_(ynp)\). \(\vec F_n\) va \(\vec F_(ynp)\) kuchlarining natijasi mayatnikga normal tezlanish \(~a_n\) beradi, bu esa tezlik vektorining yo‘nalishini o‘zgartiradi va mayatnik harakatlanadi. yoy bo'ylab A B C D.

Mayatnik C muvozanat holatiga qanchalik yaqin kelsa, tangensial komponentning \(~F_\tau = F \sin \alfa\) qiymati shunchalik kichik bo'ladi. Muvozanat holatida u nolga teng bo'lib, tezlik maksimal qiymatiga etadi va mayatnik yuqoriga yoy bo'ylab ko'tarilib, inersiya bilan yanada harakat qiladi. Bunday holda, komponent \(\vec F_\tau\) tezlikka qarshi yo'naltiriladi. Burilish burchagi a ortishi bilan kuch moduli \(\vec F_\tau\) ortadi va tezlik moduli pasayadi va D nuqtada mayatnik tezligi nolga teng bo'ladi. Mayatnik bir zum to'xtaydi va keyin muvozanat holatiga teskari yo'nalishda harakatlana boshlaydi. Uni yana inertsiya bilan bosib o'tib, mayatnik harakatini sekinlashtirib, A nuqtasiga etadi (ishqalanish yo'q), ya'ni. to'liq chayqalishni yakunlaydi. Shundan so'ng, mayatnik harakati allaqachon tasvirlangan ketma-ketlikda takrorlanadi.

Matematik mayatnikning erkin tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani olamiz.

Mayatnik ma'lum vaqt momentida B nuqtada bo'lsin. Uning bu momentdagi muvozanat holatidan S siljishi SV yoyi uzunligiga teng (ya'ni S = |SV|). Osma ipning uzunligini belgilaymiz l, va mayatnikning massasi m.

13.11-rasmdan ko'rinib turibdiki, \(~F_\tau = F \sin \alpha\), bu erda \(\alpha =\frac(S)(l).\) Kichik burchaklarda \(~(\alpha)<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Ushbu formulada minus belgisi qo'yiladi, chunki tortishishning tangensial komponenti muvozanat holatiga yo'naltiriladi va siljish muvozanat holatidan hisoblanadi.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Bu tenglamaning vektor kattaliklarini matematik mayatnik traektoriyasiga tangens yo'nalishiga proyeksiya qilaylik.

\(~F_\tau = ma_\tau.\)

Ushbu tenglamalardan biz olamiz

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - matematik mayatnik harakatining dinamik tenglamasi. Matematik mayatnikning tangensial tezlanishi uning siljishiga proporsional bo'lib, muvozanat holatiga yo'naltirilgan. Bu tenglamani \ shaklida yozish mumkin. Uni garmonik tebranishlar tenglamasi bilan taqqoslab \(~a_x + \omega^2x = 0\) (13.3-§ ga qarang) matematik mayatnik garmonik tebranishlarni bajaradi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Va mayatnikning ko'rib chiqilgan tebranishlari faqat ichki kuchlar ta'sirida sodir bo'lganligi sababli, bu mayatnikning erkin tebranishlari edi. Demak, kichik og'ishlarga ega bo'lgan matematik mayatnikning erkin tebranishlari garmonikdir.

\(\frac(g)(l) = \omega^2.\) ni belgilaymiz. Bu yerdan \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) mayatnikning siklik chastotasi.

Mayatnikning tebranish davri \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) ga teng.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Bu ifoda deyiladi Gyuygens formulasi. U matematik mayatnikning erkin tebranish davrini aniqlaydi. Formuladan kelib chiqadiki, muvozanat holatidan kichik og'ish burchaklarida matematik mayatnikning tebranish davri: 1) uning massasi va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas; 2) mayatnik uzunligining kvadrat ildiziga proporsional va tortishish tezlanishining kvadrat ildiziga teskari proportsional. Bu G. Galiley tomonidan kashf etilgan matematik mayatnikning kichik tebranishlarining eksperimental qonunlariga mos keladi.

Biz shuni ta'kidlaymizki, agar ikkita shart bir vaqtning o'zida bajarilsa, ushbu formuladan davrni hisoblash uchun foydalanish mumkin: 1) mayatnik tebranishlari kichik bo'lishi kerak; 2) mayatnikning osma nuqtasi tinch holatda bo'lishi yoki u joylashgan inersiya sanoq sistemasiga nisbatan bir tekisda to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanishi kerak.

Agar matematik mayatnikning osma nuqtasi \(\vec a\) tezlanish bilan harakatlansa, ipning taranglik kuchi o'zgaradi, bu esa tiklovchi kuchning, demak, tebranishlar chastotasi va davrining o'zgarishiga olib keladi. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, bu holda mayatnikning tebranish davri formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

Bu erda \(~g"\) - inertial bo'lmagan sanoq sistemasidagi mayatnikning "samarali" tezlanishi. U tortishish tezlanishi \(\vec g\) va teskari vektorning geometrik yig'indisiga teng. vektor \(\vec a\), ya'ni uni formula yordamida hisoblash mumkin

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Adabiyot

Aksenovich L. A. O'rta maktabda fizika: nazariya. Vazifalar. Testlar: Darslik. umumiy ta'lim muassasalari uchun nafaqa. atrof-muhit, ta'lim / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - B. 374-376.

Matematik mayatnik suspenziyaga biriktirilgan va tortishish (yoki boshqa kuch) sohasida joylashgan vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtani chaqiring.

Matematik mayatnikning inertial sanoq sistemasidagi tebranishlarini o‘rganamiz, unga nisbatan uning osilish nuqtasi tinch yoki to‘g‘ri chiziq bo‘ylab bir tekis harakatlanadi. Biz havo qarshiligi kuchini (ideal matematik mayatnik) e'tiborsiz qoldiramiz. Dastlab mayatnik C muvozanat holatida tinch holatda bo'ladi. Bunda tortishish kuchi va unga ta'sir etuvchi ipning elastik kuchi F?ynp o'zaro kompensatsiyalanadi.

Mayatnikni muvozanat holatidan olib tashlaymiz (masalan, A holatiga og'ish orqali) va uni boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuboramiz (1-rasm). Bunday holda, kuchlar bir-birini muvozanatlashtirmaydi. Mayatnikga ta'sir etuvchi tortishishning tangensial komponenti unga tangensial tezlanishni beradi a?? (matematik mayatnik traektoriyasiga tangens bo'ylab yo'naltirilgan umumiy tezlanishning komponenti) va mayatnik mutlaq qiymatda ortib borayotgan tezlik bilan muvozanat holatiga qarab harakatlana boshlaydi. Shunday qilib, tortishishning tangensial komponenti tiklovchi kuchdir. Gravitatsiyaning normal komponenti elastik kuchga qarshi ip bo'ylab yo'naltiriladi. Kuchlarning natijasi mayatnikga normal tezlanishni beradi, bu tezlik vektorining yo'nalishini o'zgartiradi va mayatnik ABCD yoyi bo'ylab harakatlanadi.

Mayatnik C muvozanat holatiga qanchalik yaqin kelsa, tangensial komponentning qiymati shunchalik kichik bo'ladi. Muvozanat holatida u nolga teng bo'lib, tezlik maksimal qiymatiga etadi va mayatnik yuqoriga yoy bo'ylab ko'tarilib, inersiya bilan yanada harakat qiladi. Bunday holda, komponent tezlikka qarshi yo'naltiriladi. Burilish burchagi a ortishi bilan kuchning kattaligi ortadi va tezlikning kattaligi pasayadi va D nuqtada mayatnik tezligi nolga teng bo'ladi. Mayatnik bir zum to'xtaydi va keyin muvozanat holatiga teskari yo'nalishda harakatlana boshlaydi. Uni yana inertsiya bilan bosib o'tib, mayatnik harakatini sekinlashtirib, A nuqtasiga etadi (ishqalanish yo'q), ya'ni. to'liq chayqalishni yakunlaydi. Shundan so'ng, mayatnik harakati allaqachon tasvirlangan ketma-ketlikda takrorlanadi.

Matematik mayatnikning erkin tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani olamiz.

Mayatnik ma'lum vaqt momentida B nuqtada bo'lsin. Uning bu momentdagi muvozanat holatidan S siljishi SV yoyi uzunligiga teng (ya'ni S = |SV|). Osma ipning uzunligini l, mayatnikning massasini m deb belgilaymiz.

1-rasmdan ko'rinib turibdiki, qaerda. Kichik burchaklarda () mayatnik demakdir, shuning uchun

Ushbu formulada minus belgisi qo'yiladi, chunki tortishishning tangensial komponenti muvozanat holatiga yo'naltiriladi va siljish muvozanat holatidan hisoblanadi.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra. Keling, ushbu tenglamaning vektor kattaliklarini matematik mayatnikning traektoriyasiga teginish yo'nalishiga proyeksiya qilaylik.

Ushbu tenglamalardan biz olamiz

Matematik mayatnik harakatining dinamik tenglamasi. Matematik mayatnikning tangensial tezlanishi uning siljishiga proporsional bo'lib, muvozanat holatiga yo'naltirilgan. Bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin

Uni garmonik tebranish tenglamasi bilan solishtirish , matematik mayatnik garmonik tebranishlarni amalga oshiradi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Va mayatnikning ko'rib chiqilgan tebranishlari faqat ichki kuchlar ta'sirida sodir bo'lganligi sababli, bu mayatnikning erkin tebranishlari edi. Binobarin, kichik og'ishlarga ega bo'lgan matematik mayatnikning erkin tebranishlari garmonikdir.

belgilaylik

Mayatnik tebranishlarining siklik chastotasi.

Mayatnikning tebranish davri. Demak,

Bu ifoda Gyuygens formulasi deb ataladi. U matematik mayatnikning erkin tebranish davrini aniqlaydi. Formuladan kelib chiqadiki, muvozanat holatidan kichik og'ish burchaklarida matematik mayatnikning tebranish davri:

  1. uning massasi va tebranish amplitudasiga bog'liq emas;
  2. mayatnik uzunligining kvadrat ildiziga proportsional va tortishish tezlanishining kvadrat ildiziga teskari proportsionaldir.

Bu G. Galiley tomonidan kashf etilgan matematik mayatnikning kichik tebranishlarining eksperimental qonunlariga mos keladi.

Agar ikkita shart bir vaqtning o'zida bajarilsa, ushbu formuladan davrni hisoblash uchun foydalanish mumkinligini ta'kidlaymiz:

  1. mayatnikning tebranishlari kichik bo'lishi kerak;
  2. mayatnikning osma nuqtasi tinch holatda bo'lishi yoki u joylashgan inertial sanoq sistemasiga nisbatan to'g'ri chiziq bo'ylab bir tekis harakatlanishi kerak.

Agar matematik mayatnikning osma nuqtasi tezlanish bilan harakat qilsa, u holda ipning taranglik kuchi o'zgaradi, bu esa tiklovchi kuchning o'zgarishiga olib keladi va buning natijasida tebranishlar chastotasi va davri. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, bu holda mayatnikning tebranish davri formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

inertial bo'lmagan sanoq sistemasidagi mayatnikning "samarali" tezlanishi qayerda. Bu erkin tushish tezlashuvining geometrik yig'indisiga va vektorga qarama-qarshi vektorga teng, ya'ni. formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Matematik mayatnik.

Matematik mayatnik - tortishish kuchi ta'sirida bitta vertikal tekislikda tebranuvchi harakatni amalga oshiradigan, cho'zilmaydigan vaznsiz ipga osilgan moddiy nuqta.

Bunday mayatnikni yupqa ipga osilgan m massali og'ir shar deb hisoblash mumkin, uning uzunligi l sharning o'lchamidan ancha katta. Agar u vertikal chiziqdan a burchak (7.3-rasm) burilsa, u holda P og'irlikning tarkibiy qismlaridan biri bo'lgan F kuch ta'sirida u tebranadi. Ip bo'ylab yo'naltirilgan boshqa komponent hisobga olinmaydi, chunki ipning tarangligi bilan muvozanatlanadi. Kichik siljish burchaklarida va keyin x koordinatasini gorizontal yo'nalishda o'lchash mumkin. 7.3-rasmdan ko'rinib turibdiki, ipga perpendikulyar og'irlik komponenti teng

O nuqtaga nisbatan kuch momenti: va inersiya momenti:
M=FL .
Inersiya momenti J Ushbu holatda
Burchak tezlashuvi:

Ushbu qadriyatlarni hisobga olgan holda, bizda:

(7.8)

Uning qarori
,

qayerda va (7.9)

Ko'rib turganimizdek, matematik mayatnikning tebranish davri uning uzunligiga va tortishish tezlanishiga bog'liq bo'lib, tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas.

Fizik mayatnik.

Jismoniy mayatnik - qattiq gorizontal o'qda (asma o'qi) mahkamlangan, og'irlik markazidan o'tmaydigan va tortishish kuchi ta'sirida shu o'q atrofida tebranuvchi qattiq jismdir. Matematik mayatnikdan farqli o'laroq, bunday jismning massasini nuqtali deb hisoblash mumkin emas.

Kichik burilish burchaklarida a (7.4-rasm) fizik mayatnik ham garmonik tebranishlarni bajaradi. Biz jismoniy mayatnikning og'irligi uning og'irlik markaziga C nuqtasida qo'llaniladi deb faraz qilamiz. Mayatnikni muvozanat holatiga qaytaruvchi kuch, bu holda, tortishishning tarkibiy qismi - kuch F bo'ladi.

O'ng tarafdagi minus belgisi F kuchining kamayib borayotgan a burchakka yo'naltirilganligini bildiradi. a burchakning kichikligini hisobga olgan holda

Matematik va fizik mayatniklarning harakat qonunini chiqarish uchun biz aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasidan foydalanamiz.

Kuch momenti: aniq aniqlash mumkin emas. Jismoniy mayatnik tebranishlarining dastlabki differentsial tenglamasiga kiritilgan barcha miqdorlarni hisobga olgan holda quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Shaklda ko'rsatilgan mayatniklar. 2, to'xtatib turish yoki tayanch nuqtasi atrofida tebranadigan turli shakl va o'lchamdagi kengaytirilgan jismlar. Bunday tizimlar fizik mayatniklar deb ataladi. Muvozanat holatida og'irlik markazi to'xtatib turish (yoki tayanch) nuqtasidan pastda vertikalda joylashganida, tortishish kuchi tayanchning reaktsiyasi bilan muvozanatlanadi (deformatsiyalangan mayatnikning elastik kuchlari orqali). Muvozanat holatidan chetga chiqqanda, tortishish va elastik kuchlar har bir vaqtning har bir momentida mayatnikning burchak tezlanishini aniqlaydi, ya'ni uning harakati (tebranish) xususiyatini aniqlaydi. Endi biz tebranishlar dinamikasini matematik mayatnik deb ataladigan eng oddiy misol yordamida batafsilroq ko'rib chiqamiz, bu kichik og'irlik uzun ingichka ipga osilgan.

Matematik mayatnikda biz ipning massasini va og'irlikning deformatsiyasini e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin, ya'ni mayatnikning massasi og'irlikda va elastik kuchlar ipda to'plangan deb taxmin qilishimiz mumkin, bu esa cho'zilib bo'lmaydigan hisoblanadi. . Keling, mayatnik qandaydir tarzda muvozanat holatidan chiqarilgandan keyin qanday kuchlar ostida tebranishini ko'rib chiqamiz (surish, burilish).

Mayatnik muvozanat holatida bo'lganda, uning og'irligiga ta'sir qiluvchi va vertikal pastga yo'naltirilgan tortishish kuchi ipning taranglik kuchi bilan muvozanatlanadi. Burilish holatida (15-rasm) tortishish kuchi ip bo'ylab yo'naltirilgan kuchlanish kuchiga burchak ostida harakat qiladi. Keling, tortishish kuchini ikkita komponentga ajratamiz: ip yo'nalishi bo'yicha () va unga perpendikulyar (). Sarkac tebranganda, ipning kuchlanish kuchi tarkibiy qismdan bir oz oshib ketadi - yukni yoy bo'ylab harakatlanishga majbur qiladigan markazlashtiruvchi kuch miqdori. Komponent har doim muvozanat holatiga yo'naltirilgan; u bu vaziyatni tiklashga intilayotganga o'xshaydi. Shuning uchun u ko'pincha qayta tiklash kuchi deb ataladi. Sarkac qancha ko'p burilsa, mutlaq qiymat shunchalik katta bo'ladi.

Guruch. 15. Mayatnik muvozanat holatidan chetga chiqqanda kuchni tiklash

Shunday qilib, mayatnik o'zining tebranishlari paytida muvozanat holatidan chetga chiqa boshlasa, deylik, o'ngga, uning harakatini qanchalik sekinlashtirsa, u shunchalik og'ib ketadi. Oxir-oqibat, bu kuch uni to'xtatadi va uni muvozanat holatiga qaytaradi. Biroq, bu pozitsiyaga yaqinlashganda, kuch kamroq va kamroq bo'ladi va muvozanat holatida o'zi nolga aylanadi. Shunday qilib, mayatnik muvozanat holatidan inersiya bilan o'tadi. U chapga og'a boshlaganda, og'ish ortib borayotgan, ammo endi o'ngga yo'naltirilgan kuch yana paydo bo'ladi. Chapga harakat yana sekinlashadi, keyin mayatnik bir lahzaga to'xtaydi, shundan so'ng o'ngga tezlashtirilgan harakat boshlanadi va hokazo.

Mayatnik tebranish paytida uning energiyasi bilan nima sodir bo'ladi?

Davr davomida ikki marta - chapga va o'ngga eng katta og'ishlarda - sarkaç to'xtaydi, ya'ni bu daqiqalarda tezlik nolga teng, ya'ni kinetik energiya nolga teng. Ammo aynan shu daqiqalarda mayatnikning og'irlik markazi eng katta balandlikka ko'tariladi va shuning uchun potentsial energiya eng katta bo'ladi. Aksincha, muvozanat holatidan o'tish momentlarida potentsial energiya eng past, tezlik va kinetik energiya esa eng katta qiymatlarga etadi.

Biz mayatnikning havoga ishqalanish kuchlarini va to'xtatib turish nuqtasidagi ishqalanishni e'tiborsiz qoldirish mumkinligini taxmin qilamiz. Keyin, energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra, bu maksimal kinetik energiya muvozanat holatidagi potentsial energiyadan eng katta og'ish holatidagi potentsial energiyaning ortiqcha miqdoriga to'liq tengdir.

Shunday qilib, mayatnik tebranganda, kinetik energiyaning potentsial energiyaga davriy o'tishi va aksincha sodir bo'ladi va bu jarayonning davri mayatnikning tebranish davrining yarmiga teng. Biroq, mayatnikning umumiy energiyasi (potentsial va kinetik energiyalarning yig'indisi) doimo doimiydir. U potentsial energiya (dastlabki burilish) yoki kinetik energiya (dastlabki surish) shaklida bo'lishidan qat'i nazar, u ishga tushirilganda mayatnikga berilgan energiyaga teng.

Bu ishqalanish bo'lmagan har qanday tebranishlar yoki tebranish tizimidan energiyani olib tashlaydigan yoki unga energiya beradigan boshqa jarayonlar bilan bog'liq. Shuning uchun amplituda o'zgarishsiz qoladi va surishning dastlabki og'ishi yoki kuchi bilan belgilanadi.

Agar biz to'pni ipga osib qo'yish o'rniga, uni vertikal tekislikda sharsimon idishda yoki aylana bo'ylab egilgan truba ichida aylantirsak, biz tiklash kuchida bir xil o'zgarishlarni va energiyaning bir xil uzatilishini olamiz. Bunday holda, ipning tarangligi rolini stakan yoki truba devorlarining bosimi egallaydi (biz yana to'pning devorlarga va havoga ishqalanishini e'tiborsiz qoldiramiz).

Bir xil tortishish maydonida cho'zilmaydigan vaznsiz ipga (uning massasi tananing og'irligiga nisbatan ahamiyatsiz) osilgan moddiy nuqtadan (tanadan) iborat bo'lgan mexanik tizim matematik mayatnik (boshqa nomi - osilator) deb ataladi. Ushbu qurilmaning boshqa turlari mavjud. Ip o'rniga vaznsiz novda ishlatilishi mumkin. Matematik mayatnik ko'plab qiziqarli hodisalarning mohiyatini aniq ochib berishi mumkin. Tebranish amplitudasi kichik bo'lsa, uning harakati garmonik deyiladi.

Mexanik tizimning umumiy ko'rinishi

Bu mayatnikning tebranish davri formulasi golland olimi Gyuygens (1629-1695) tomonidan olingan. I. Nyutonning bu zamondoshi bu mexanik tizimga juda qiziqdi. 1656 yilda u sarkaç mexanizmiga ega birinchi soatni yaratdi. Ular o'sha vaqtlar uchun vaqtni juda aniqlik bilan o'lchadilar. Bu ixtiro jismoniy tajribalar va amaliy faoliyatlarning rivojlanishida asosiy bosqich bo'ldi.

Agar mayatnik muvozanat holatida (vertikal osilgan) bo'lsa, u ipning kuchlanish kuchi bilan muvozanatlanadi. Uzatmas ip ustidagi tekis mayatnik - ulanish bilan ikki darajali erkinlikka ega tizim. Faqat bitta komponentni o'zgartirsangiz, uning barcha qismlarining xususiyatlari o'zgaradi. Shunday qilib, agar ip novda bilan almashtirilsa, unda bu mexanik tizim faqat 1 daraja erkinlikka ega bo'ladi. Matematik mayatnik qanday xususiyatlarga ega? Ushbu eng oddiy tizimda davriy buzilishlar ta'siri ostida tartibsizlik paydo bo'ladi. Agar to'xtatib turish nuqtasi harakatlanmasa, lekin tebransa, mayatnik yangi muvozanat holatiga ega bo'ladi. Yuqoriga va pastga tez tebranishlar bilan bu mexanik tizim barqaror "teskari" holatga ega bo'ladi. Uning ham o'z nomi bor. U Kapitsa mayatnik deb ataladi.

Mayatnikning xossalari

Matematik mayatnik juda qiziqarli xususiyatlarga ega. Ularning barchasi ma'lum fizik qonunlar bilan tasdiqlangan. Boshqa har qanday mayatnikning tebranish davri turli holatlarga, masalan, tananing o'lchami va shakliga, osilgan nuqta va og'irlik markazi orasidagi masofaga va bu nuqtaga nisbatan massa taqsimotiga bog'liq. Shuning uchun tananing osilgan vaqtini aniqlash juda qiyin ishdir. Matematik mayatnikning davrini hisoblash ancha oson, uning formulasi quyida keltirilgan. Shu kabi mexanik tizimlarni kuzatish natijasida quyidagi naqshlarni aniqlash mumkin:

Agar mayatnikning bir xil uzunligini saqlab, biz turli og'irliklarni to'xtatib qo'ysak, ularning massalari juda katta farq qilsa-da, ularning tebranish davri bir xil bo'ladi. Binobarin, bunday mayatnikning davri yukning massasiga bog'liq emas.

Agar tizimni ishga tushirayotganda mayatnik unchalik katta emas, balki turli burchaklarda burilsa, u bir xil davr bilan, lekin har xil amplitudalar bilan tebranishni boshlaydi. Muvozanat markazidan og'ishlar unchalik katta bo'lmasa, ularning shaklidagi tebranishlar garmoniklarga juda yaqin bo'ladi. Bunday mayatnikning davri hech qanday tarzda tebranish amplitudasiga bog'liq emas. Berilgan mexanik tizimning bu xususiyati izoxronizm deb ataladi (yunoncha "xronos" - vaqt, "isos" - teng).

Matematik mayatnikning davri

Bu ko'rsatkich davrni ifodalaydi Murakkab formulaga qaramasdan, jarayonning o'zi juda oddiy. Agar matematik mayatnik ipining uzunligi L bo'lsa va erkin tushish tezlanishi g bo'lsa, bu qiymat quyidagilarga teng bo'ladi:

Kichik tabiiy tebranishlar davri hech qanday tarzda mayatnikning massasiga va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas. Bunday holda, mayatnik ma'lum uzunlikdagi matematik sifatida harakat qiladi.

Matematik mayatnikning tebranishlari

Matematik mayatnik tebranadi, uni oddiy differentsial tenglama bilan tasvirlash mumkin:

x + ō2 sin x = 0,

bu erda x (t) noma'lum funktsiya (bu t momentida pastki muvozanat holatidan og'ish burchagi, radianlarda ifodalangan); ō - musbat konstanta, u mayatnik parametrlaridan aniqlanadi (ō = √g/L, bu erda g - erkin tushish tezlanishi, L - matematik mayatnikning uzunligi (to'xtatib turish).

Muvozanat holati yaqinidagi kichik tebranishlar uchun tenglama (garmonik tenglama) quyidagicha ko'rinadi:

x + ō2 sin x = 0

Mayatnikning tebranish harakatlari

Kichik tebranishlarni amalga oshiradigan matematik mayatnik sinusoid bo'ylab harakatlanadi. Ikkinchi tartibli differentsial tenglama bunday harakatning barcha talablari va parametrlariga javob beradi. Traektoriyani aniqlash uchun tezlik va koordinatani o'rnatish kerak, undan keyin mustaqil konstantalar aniqlanadi:

x = A sin (th 0 + ōt),

Bu erda th 0 - boshlang'ich faza, A - tebranish amplitudasi, ō - harakat tenglamasidan aniqlangan tsiklik chastota.

Matematik mayatnik (katta amplitudalar uchun formulalar)

Muhim amplituda bilan tebranuvchi bu mexanik tizim harakatning yanada murakkab qonunlariga bo'ysunadi. Bunday mayatnik uchun ular quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

sin x/2 = u * sn(ōt/u),

bu yerda sn Yakobi sinus, u uchun qaysi< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (e + ō2)/2ō2,

bu erda e = E/mL2 (mL2 - mayatnik energiyasi).

Chiziqsiz mayatnikning tebranish davri quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

Bu yerda Ō = p/2 * ō/2K(u), K - elliptik integral, p. - 3,14.

Mayatnikning ajratuvchi bo'ylab harakatlanishi

Ajratish - bu ikki o'lchovli fazali fazoga ega bo'lgan dinamik tizimning traektoriyasi. Matematik mayatnik u bo'ylab davriy bo'lmagan holda harakat qiladi. Vaqtning cheksiz masofasida u eng yuqori pozitsiyasidan nol tezlik bilan yon tomonga tushadi, keyin asta-sekin unga ega bo'ladi. Oxir-oqibat u to'xtab, asl holatiga qaytadi.

Mayatnik tebranishlarining amplitudasi songa yaqinlashsa π , bu faza tekisligidagi harakatning ajratuvchiga yaqinlashayotganligini ko'rsatadi. Bunday holda, kichik harakatlantiruvchi davriy kuch ta'sirida, mexanik tizim xaotik xatti-harakatlarni namoyon qiladi.

Matematik mayatnik muvozanat holatidan ma'lum ph burchak bilan og'ishda og'irlikning tangensial kuchi Ft = -mg sin ph paydo bo'ladi. Minus belgisi bu tangensial komponent mayatnikning egilishiga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilganligini anglatadi. Mayatnikning radiusi L boʻlgan aylana yoy boʻylab siljishi x bilan belgilansa, uning burchak siljishi ph = x/L ga teng boʻladi. Proektsiyalar va kuch uchun mo'ljallangan ikkinchi qonun kerakli qiymatni beradi:

mg t = Ft = -mg sin x/L

Shu munosabatga asoslanib, bu mayatnik chiziqli bo'lmagan tizim ekanligi aniq, chunki uni muvozanat holatiga qaytarishga intiladigan kuch har doim x siljishiga emas, balki x/L ga proporsionaldir.

Matematik mayatnik kichik tebranishlarni amalga oshirgandagina garmonik osilator hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, u garmonik tebranishlarni amalga oshirishga qodir mexanik tizimga aylanadi. Bu yaqinlik amalda 15-20° burchaklar uchun amal qiladi. Katta amplitudali mayatnikning tebranishlari garmonik emas.

Mayatnikning kichik tebranishlari uchun Nyuton qonuni

Agar berilgan mexanik tizim kichik tebranishlarni amalga oshirsa, Nyutonning 2-qonuni quyidagicha ko'rinadi:

mg t = Ft = -m* g/L* x.

Shunga asoslanib, matematik mayatnik minus belgisi bilan uning siljishiga proportsional degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bu tizim garmonik osilatorga aylanadigan holat. Ko'chirish va tezlanish o'rtasidagi mutanosiblik koeffitsientining moduli aylana chastotasining kvadratiga teng:

ō02 = g/L; ō0 = √ g/L.

Ushbu formula ushbu turdagi mayatnikning kichik tebranishlarining tabiiy chastotasini aks ettiradi. Shu asosda,

T = 2p/ ō0 = 2p√ g/L.

Energiyaning saqlanish qonuniga asoslangan hisoblar

Mayatnikning xossalarini energiyaning saqlanish qonuni yordamida ham tasvirlash mumkin. Shuni hisobga olish kerakki, tortishish maydonidagi mayatnik quyidagilarga teng:

E = mg∆h = mgL(1 - cos a) = mgL2sin2 a/2

Jami kinetik yoki maksimal potentsialga teng: Epmax = Ekmsx = E

Energiyaning saqlanish qonuni yozilgandan so'ng, tenglamaning o'ng va chap tomonlarining hosilasini oling:

Doimiy miqdorlarning hosilasi 0 ga teng bo'lganligi uchun (Ep + Ek)" = 0. Yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* a,

shuning uchun:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m a) = 0.

Oxirgi formulaga asoslanib, biz topamiz: a = - g/L*x.

Matematik mayatnikning amaliy qo'llanilishi

Tezlanish kenglikka qarab o'zgaradi, chunki Yer qobig'ining zichligi butun sayyorada bir xil emas. Yuqori zichlikka ega jinslar paydo bo'lgan joylarda u biroz yuqoriroq bo'ladi. Matematik mayatnikning tezlanishi ko'pincha geologik qidiruv ishlarida qo'llaniladi. U turli xil minerallarni qidirish uchun ishlatiladi. Mayatnikning tebranishlar sonini hisoblash orqali Yerning tubida ko'mir yoki ruda borligini aniqlash mumkin. Buning sababi, bunday qazilmalarning zichligi va massasi ostidagi bo'sh jinslardan kattaroqdir.

Matematik mayatnikdan Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarx, Arximed kabi taniqli olimlar foydalangan. Ularning ko'pchiligi bu mexanik tizim insonning taqdiri va hayotiga ta'sir qilishi mumkinligiga ishonishdi. Arximed o'z hisob-kitoblarida matematik mayatnikdan foydalangan. Hozirgi kunda ko'plab okkultistlar va ruhshunoslar ushbu mexanik tizimdan o'zlarining bashoratlarini bajarish yoki yo'qolgan odamlarni qidirish uchun foydalanadilar.

Mashhur frantsuz astronomi va tabiatshunosi K. Flammarion ham o‘z tadqiqotida matematik mayatnikdan foydalangan. Uning ta'kidlashicha, uning yordami bilan u yangi sayyora kashf etilishi, Tunguska meteoritining paydo bo'lishi va boshqa muhim voqealarni bashorat qilishga muvaffaq bo'ldi. Ikkinchi jahon urushi davrida Germaniyada (Berlin) ixtisoslashtirilgan Pendulum instituti faoliyat yuritgan. Hozirgi kunda Myunxen Parapsixologiya instituti shunga o'xshash tadqiqotlar bilan shug'ullanadi. Ushbu muassasa xodimlari mayatnik bilan ishlashlarini "radiesteziya" deb atashadi.



 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: