Trapetsiyaning uchlari. “Trapezoid va uning xossalari” mavzusidagi geometriyadan material. Teng yonli trapesiyaning xossalari

G.I. Kovaleva

TREPZOIDANING XUSUSIYATLARINI O'RGANISH METODIKASI

Turli testlar va imtihonlar materiallarida ko'pincha trapetsiya bo'yicha muammolar mavjud bo'lib, ularni hal qilish talabalardan trapetsiyaning "dastursiz" xususiyatlarini bilishni talab qiladi. (Dasturiy ta'minot xususiyatlari hisobga olinadi o'rta chiziq trapetsiyalar, diagonallar xossalari va teng yonli trapesiyaning burchaklari.) Trapetsiya qanday ajoyib xususiyatlarga ega? Ularni maktab geometriya kursida qaerda va qachon o'rganish kerak?

Trapetsiya xossalarini o'rganish metodikasi

Endi biz bir nechta turlarni ko'rib chiqdik, keling, parallelogramm xususiyatlariga ega bo'lmagan shakllar bilan tanishamiz. Eslatib o'tamiz, parallelogrammalar qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchaklardir. Ushbu bo'limda biz qarama-qarshi tomonlari bir nuqtada kesishishi mumkin bo'lgan to'rtburchaklarni ko'rib chiqamiz. Keling, izlanishimizni trapetsiyalarning ba'zi xususiyatlarini o'rganishdan boshlaylik. Ta'rif. Trapetsiya - bu to'g'ridan-to'g'ri bir juft parallel tomonlari bo'lgan to'rtburchak.

Trapezoidning o'rta chizig'ining xususiyatlarini o'rganib chiqqandan so'ng, uni shakllantirish va isbotlash mumkin trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalarini bog'lovchi segmentning xossasi. Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment asoslar farqining yarmiga teng.

Trapezoiddagi masalalarni yechishning asosiy texnikasini mashq qilishda "ikki balandlikni chizish" talabalariga masalani taklif qilish kerak: BT- balandlik teng yonli trapezoid A B C D sabablar bilan Miloddan avvalgi Va AD.

,

. Segmentlarning uzunliklarini toping DA Va T.D.».

“Trigonometriyadan planimetrik masalalarni yechishda foydalanish”

Trapetsiyaning aynan bir juft parallel tomoni bo'lishi kerakligi sababli, qarama-qarshi tomonlarning bir jufti parallel, ikkinchisi esa parallel emasligini isbotlashimiz kerak bo'ladi. Qarama-qarshi tomonlarning bir jufti parallel emasligini isbotlashni unutib qo'ysak, to'rtburchakning parallelogramm bo'lish imkoniyatini inkor etmaymiz. Shuning uchun, trapeziusni o'z ichiga olgan turli mashqlar ustida ishlaganimizda, bu qadam mutlaqo zarur bo'ladi.

Trapezoidlarni o'rganishga to'g'ridan-to'g'ri kirishdan oldin, uning tomonlari va burchaklari haqida aniq ma'lumotga ega bo'lish uchun ushbu to'rtburchaklarning turli qismlarining nomlarini bilish kerak bo'ladi. Barcha trapezoidlar ikkita asosiy qismdan iborat: asoslar va oyoqlar. Trapetsiyaning qarama-qarshi tomonlari bir-biriga parallel, asoslar deyiladi. Trapetsiyaning bir nuqtada kesishgan qolgan tomonlari, agar cho'zilgan bo'lsa, trapetsiyaning oyoqlari deyiladi.

“Rakamlarning o'xshashligi” mavzusi trapezoidning xususiyatlarini o'rganish uchun juda foydali. Misol uchun, trapetsiyaning diagonallari uni to'rtta uchburchakka ajratadi va asoslarga tutash uchburchaklar o'xshash, tomonlarga tutash uchburchaklar esa o'lchamlari bo'yicha tengdir. Keling, bu bayonotni chaqiraylik Bilantrapetsiya diagonallari bo'yicha bo'lingan uchburchaklarning xossasi. Bundan tashqari, bayonotning birinchi qismini uchburchaklarning ikki burchakdagi o'xshashlik belgisi orqali juda oson isbotlash mumkin. Ikkinchi qism talabalarga topshiriq shaklida taklif qilinishi mumkin.

Yaratilgan trapezoid uchburchaklarning o'xshashligi

Trapetsiyaning ustki va pastki tomonlari bir-biriga parallel joylashgan, shuning uchun ular trapetsiyaning asoslari hisoblanadi. Trapetsiyaning boshqa tomonlari cho'zilgan bo'lsa kesishadi, shuning uchun ular trapetsiyaning oyoqlaridir. Trapetsiya oyoqlarining o'rtasini bog'laydigan segmentga o'rta segment deyiladi. Ushbu segmentning uzunligi har doim trapezoidal asoslar yig'indisining yarmiga teng yoki.

Segmentlar va asoslar uzunliklarining nisbati

O'rta segmentning o'lchami faqat trapezoidal asoslarning uzunligiga bog'liq. Biroq, bor muhim xususiyat Ba'zi trapezoidlar faqat uning oyoqlariga bog'liq. Keling, ushbu trapezoidlarni ko'rib chiqaylik. Oyoqlari bir-biriga mos keladigan trapesiyaga teng yon tomonli trapesiya aytiladi. Ta'rifga ko'ra, agar to'rtburchakda aniq bir juft parallel chiziqlar bo'lsa, u holda to'rtburchak trapezoiddir. Teng yonli trapesiyaning ta'rifi yana bir xususiyatni qo'shadi: trapezoidning oyoqlari bir-biriga mos kelishi kerak.

Xuddi shunday, uchburchaklar BOC Va AOB segmentlarni asos qilib olsak, umumiy balandlikka ega bo'ladi CO Va O.A.. Keyin

Va

.

Bu ikki jumladan shunday xulosa kelib chiqadi

.

Trapezoidning teng yonli ekanligini isbotlash uchun bir nechta teoremalardan foydalanishimiz mumkin. Bu xususiyatlar quyida keltirilgan. Trapetsiya teng yon tomonli bo'ladi, agar asosiy burchaklar mos bo'lsa. Agar diagonallar mos kelsa, trapetsiya teng yonli bo'ladi.

Agar trapetsiya teng yonli bo'lsa, uning qarama-qarshi burchaklari bir-birini to'ldiradi. Uçurtma to'rtburchak bo'lib, ular bir-biriga mos keladigan ikki xil qo'shni tomonlardan iborat. Eslatib o'tamiz, parallelogrammalarning ham bir-biriga mos keladigan juft tomonlari bor edi. Biroq, ularning uyg'un tomonlari har doim qarama-qarshi edi. Uçurtmalar ikki xil nuqtada uchrashadigan ikki juft mos keladigan tomonlarga ega. Keling, ilon qanday ko'rinishini tushunishga yordam berish uchun quyidagi rasmni ko'rib chiqaylik.

Tuzilgan bayonotda to'xtab qolmasdan, balki topish juda yaxshi bo'lardi trapetsiya diagonallari bo'yicha bo'lingan uchburchaklar sohalari orasidagi munosabat , o‘quvchilardan masalani yechishlarini so‘rab: “O trapesiya diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. A B C D sabablar bilan Miloddan avvalgi Va AD. Ma'lumki, uchburchaklarning maydonlari BOC Va AOD mos ravishda tengdir Va . Trapetsiya maydonini toping."

Uçurtmalar ularni boshqa to'rt tomonlama uçurtmalardan aniqlashga yordam beradigan bir nechta xususiyatlarga ega. Uçurtmaning diagonallari to'g'ri burchak ostida uchrashadi. Uçurtmalarda bir-biriga mos keladigan qarama-qarshi burchaklar mavjud. Ushbu ikki xususiyat quyidagi diagrammada tasvirlangan.

Bu bizning yagona juft burchaklarimiz, chunki? Keling, biz o'rgangan trapezoidlar va uçurtmalarning xususiyatlaridan foydalanishni talab qiladigan ba'zi masalalarni bajarishni mashq qilaylik. Bizga trapetsiya asoslarining uzunliklari berilganligi sababli, biz o'rta segmentning uzunligi qanday bo'lishi kerakligini aniqlay olamiz. Buni tushunish uchun o'rta segment uchun bergan formulamizdan foydalanamiz.

Chunki . Demak, uchburchaklarning o'xshashligidan BHAQIDAC Va AOD shunga amal qiladi

.Demak,

. Keyin

O'xshashlikdan foydalanib, bu isbotlangan trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan asoslarga parallel ravishda o'tadigan segmentning xossasi. Biz talabalarni masalani yechishga taklif qilamiz: “O trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasi bo'lsin. A B C D sabablar bilan Miloddan avvalgi Va AD. , . Segment uzunligini toping P.K., trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan asoslarga parallel ravishda o'tish. U qanday segmentlarga bo'lingan? P.K. nuqta HAQIDA».

Rasmda bizga faqat bitta burchak o'lchovi berilgan, shuning uchun biz ushbu element asosida ko'proq ma'lumot olishimiz kerak. To'rtburchak teng yonli trapesiya bo'lgani uchun biz bilamizki, asosiy burchaklar mos keladi. Keling, qancha miqdorni bilib olaylik?

Ular birgalikda 128° ga ega. Ko'pburchakning ichki burchaklari haqidagi teoremani eslang, to'rtburchakning ichki burchaklari 360 ° bo'lishi kerak. Keling, uni o'lchovni aniqlashga yordam beradigan tarzda ishlatishga harakat qilaylik? Avval barcha burchaklarni jamlaymiz va uni 360 ° ga o'rnatamiz.

Bu yerdan

.

Xuddi shunday, uchburchaklarning o'xshashligidan DOK Va DBC, buni kuzatib boradi

. Bu yerdan

Va

.

Trapezoid atrofida aylana chizilgan

Xo'sh, chora-tadbirlarni aniqlasak nima bo'ladi? Bu qiymat qanday o'lchovni anglatadi? Nihoyat, biz ko'rsatilgan ifodaga teng 116 ni o'rnatishimiz mumkinmi? Yuqoridagi usul mashqni echishning chuqur usuli bo'lsa-da, biz shunchaki teng yonli trapezoidlarning to'ldiruvchi burchaklari qo'shimcha bo'lgan xususiyatdan foydalanishimiz mumkin. Bu usulni yechish ancha tezdir, chunki biz faqat 64° to‘ldiruvchi nima ekanligini topishimiz kerak.

Muammomizning shu nuqtasiga kelganimizdan so'ng, biz oddiygina 116 ni 4 ga teng o'rnatamiz va avvalgidek hal qilamiz. Bu bizga ham berilganmi? O'tmishda biz bir nechta uchburchakning moslik teoremalarini o'rganib chiqdik, agar biz mos keladigan boshqa tomon yoki burchakni topsak, bu vaziyatda qo'llanilishi mumkin.

Biz talabalarni isbotlangan xususiyatni tushunishga majbur qilamiz: trapetsiyaning asoslariga parallel bo'lgan, diagonallarning kesishgan nuqtasidan o'tadigan va yon tomonlardagi ikkita nuqtani bog'laydigan segment diagonallarning kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi. Uning uzunligi trapetsiya asoslarining garmonik o'rtacha qiymatidir.

Keyingi bilan to'rt nuqtaning xususiyati: trapetsiyada diagonallarning kesishish nuqtasi, tomonlarning davomi kesishish nuqtasi va trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalari bir xil chiziqda yotadi.

Bizning yangi rasmimiz quyida ko'rsatilgan. Quyida ushbu mashqning ikki postli geometrik isboti keltirilgan. kabi geometriyalarga kirish uchun. Qiyinchilikni to'xtating va minglab bepul resurslar bilan bugun o'rganishni boshlang! Xususiyatlar tegishli darslarga havolalar bilan taqdim etiladi. Darslar mantiqiy tartibda berilgan, ya'ni har bir dars oldingi darslar bilan bog'liq. va unga ishora qilmaydi. Ro'yxat quyidagi manzilda joylashgan tegishli darslarni birlashtiradi turli sahifalar bu sayt.

Trapetsiyaning diagonallari va balandligi

Trapetsiya teng yon tomonli bo'ladi, agar uning asosiy burchaklari mos bo'lsa. Trapetsiya ikki diagonali mos keladigan bo'lsa, teng yonli bo'ladi. Trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslariga parallel. Trapetsiyaning o'rta chizig'ining uzunligi uning asoslari uzunligi yig'indisining yarmiga teng. Trapetsiyada asoslarga parallel bo'lgan tomonning o'rtasidan o'tkazilgan chiziqning kesmasi ikkinchi tomonni o'rta nuqtasida kesib o'tadi.

O‘quvchilarni figuralarning o‘xshashligi (uchburchaklar emas) bilan tanishtirib, ulardan trapetsiyani ikkita o‘xshashga bo‘luvchi segment uzunligini topishni so‘rashimiz mumkin.

Shunday qilib, Trapetsiyani ikkita o'xshash trapetsiyaga bo'luvchi segment asoslar uzunliklarining o'rtacha geometrik uzunligiga teng uzunlikka ega.

Trapezoidning maydoni formulasini olgandan so'ng, isbotlash foydali bo'ladi trapetsiyani ikkita teng qismga bo'luvchi segmentning xossasi.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i - trapetsiya asoslarini o'z ichiga olgan ikkita chiziqdan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning joylashishi. Trapetsiyada yon tomonning uchlaridagi ichki burchaklarining yig'indisi 180° ga teng. Trapetsiyada o'rta chiziq qisqaroq asosdagi nuqtani uzunroq asosdagi nuqta bilan bog'laydigan har qanday chiziq segmentini ikkiga bo'ladi. Trapetsiyada uning diagonallarining o'rta nuqtalari orasidagi masofa kattaroq va qisqaroq asoslar uzunligidagi farqning yarmiga teng.

Agar trapetsiyada ikkita qarama-qarshi ichki burchaklar yig'indisi 180° bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli bo'ladi. Teng yonli trapesiyada asoslarga parallel boʻlgan diagonal kesishmadan oʻtuvchi chiziq diagonallar orasidagi burchakni ikkiga boʻladi. Teng yonli trapezoidda yon tomoni qarama-qarshi ikkita cho'qqidan bir xil burchak ostida ko'rinadi.

Keling, tizim yarataylik

Tizimli yechim

.

Shunday qilib, trapetsiyani ikkita teng qismga bo'luvchi segmentning uzunligi teng

(asosiy uzunliklarning o'rtacha kvadrati). ).

Endi xulosalar bilan bir xil darslar ro'yxati taqdim etiladi. Teng yonli trapesiyada asos burchaklari mos keladi. Teorema 2. Agar trapetsiyadagi asosiy burchaklar teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli bo'ladi. Yechilgan masalalar Teng yon tomonli trapetsiyada asosiy burchak 73° ga teng. Trapetsiyaning boshqa barcha burchaklarini toping. Teng yonli trapesiyada asosiy burchak qisqaroq asosning oxiridagi ichki burchakdan uch marta kichikdir. Trapetsiyaning barcha burchaklarini toping.

Trapetsiyada asoslarga parallel boʻlgan tomonning oʻrtasidan chizilgan chiziq boʻlagi ikkinchi tomonni uning oʻrtasidan kesib oʻtadi. O'rta chiziqdagi trapetsiya uzunligini toping. Trapetsiyada katta tayanch uzunligi 27 sm, tagidan esa 10 sm uzunroq.

Talabalar ko'rsatilgan segmentlar orasidagi bog'lanishni tushunishlari uchun ularni ma'lum trapesiya uchun qurishni so'rash kerak. Talabalar hech qanday qiyinchiliksiz trapetsiyaning o'rta chizig'ini va trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tadigan segmentni asoslariga parallel ravishda quradilar. Uchinchi va to'rtinchi segmentlar qayerda yotadi? Bu savolga javob talabalarni o'rtacha ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlashga olib kelishi kerak.

Trapezoidal asoslarning uzunliklarini toping. Teng yonli trapesiyada ikkita diagonal mos keladi. Masala 2. Agar trapetsiyadagi ikkita diagonal mos kelsa, trapetsiya teng yon tomonli. Masala 3. Trapetsiyaning o'rta chizig'idagi istalgan nuqta trapetsiya asoslarini o'z ichiga olgan ikkita parallel chiziqdan bir xil masofada joylashgan. Agar tekislikdagi nuqta trapetsiya asoslarini o'z ichiga olgan ikkita parallel chiziqdan teng masofada joylashgan bo'lsa, u holda nuqta o'z ichiga olgan chiziqqa tegishlidir. o'rta chiziqda trapesiya. Muammo hal qilindi. Trapetsiyada qisqaroq asosdagi nuqtani uzunroq asosdagi nuqta bilan bog'laydigan har qanday to'g'ri chiziq bo'lagi trapetsiyaning o'rta chizig'ida ikkiga bo'linadi.

O'quvchilarga ma'lum bo'lgan barcha to'rtburchaklar, shu jumladan trapetsiya uchun ham chizilgan va chegaralangan to'rtburchakning belgisi va xususiyati ko'rsatilishi kerak.

Ta'riflangan trapetsiyaning xossalari. Trapetsiyani aylana bo'ylab tasvirlash mumkin, agar asoslar uzunliklarining yig'indisi tomonlar uzunligi yig'indisiga teng bo'lsa.

Birinchisi aniq. Ikkinchi xulosani isbotlash uchun burchakni aniqlash kerak C.O.D. to'g'ri, bu ham qiyin emas. Lekin bu natijani bilish muammolarni yechishda to‘g‘ri burchakli uchburchakdan foydalanish imkonini beradi.

Trapetsiyada yon tomonning uchlaridagi ichki burchaklarning bissektrisalari to'g'ri burchak ostida kesishadi. Trapetsiyada yon uchlaridagi ichki burchaklarning bissektrisalari trapetsiyaning o‘rta chizig‘ida yotgan nuqtada kesishadi. 4-masala: Teng yonli trapesiyada asos burchagi 60° ga teng. Qisqa tayanch uzunligi uzunroq tayanch uzunligi va yon uzunligi orasidagi farqga teng ekanligini isbotlang.

Teng yonli trapetsiyada diagonali 10 sm va asosi bilan 60° ga teng. O'rtacha trapetsiya uzunligini toping. Trapetsiyaning asoslari uzunligi 3 va 5 birlik, bir diagonali yon tomonga perpendikulyar, ikkinchi diagonali burchakni ikkiga bo'ladi. kattaroq asosda. Trapetsiyaning balandligini toping. O'lchagich va sirkuldan foydalanib, biz ikkita berilgan segmentga to'g'ri keladigan asoslarga ega trapetsiya quramiz va tomonlar, mos keladi. boshqa ikkita belgilangan segment.

Buning oqibatlarini aniqlaymiz teng yon tomonlar bilan chegaralangan trapezoid :

chegaralangan teng yonli trapesiyaning balandligi trapetsiya asoslarining oʻrtacha geometrik qiymatidir.

.

Trapetsiyaning diagonallari va burchaklari

O‘lchagich va sirkul yordamida asoslari berilgan ikkita segmentga to‘g‘ri keladigan va tomonlari mos keladigan trapetsiya quramiz. boshqa ikkita belgilangan segmentga. Geometriya - bu matematikaning maxsus predmeti bo'lib, shakllar va ob'ektlar va tegishli masalalar bilan shug'ullanadi. Mavjud har xil turlari geometrik shakllar. Bir nechta muhim ikki o'lchovli shakllar kvadrat, to'rtburchak, uchburchak, ko'pburchak, doira, parallelogram, trapezoid, romb va boshqalar. to'rt tomondan cheklangan shakl to'rtburchak deyiladi.

Trapetsiya xossalarini o'rganish metodologiyasining asosiy tamoyillarini ko'rib chiqamiz.

Birinchisi, foydalanish vazifaga yondashuv . Geometriyaning nazariy kursiga trapetsiyaning yangi xossalarini kiritish shart emas. Bu xususiyatlar talabalar tomonidan muammolarni yechish (afzalroq masalalar tizimi) orqali topiladi va shakllantiriladi. O'qituvchi ta'lim jarayonining qaysi bosqichida qanday vazifalar qo'yilishi kerakligini bilishi muhimdir. Bundan tashqari, har bir xususiyat vazifa tizimida asosiy vazifa bo'lishi mumkin.

Ikkinchidan, Trapetsiya xususiyatlarini o'rganishni "spiral" tashkil etish . Siz individual xususiyatlarga bir necha marta qaytishingiz mumkin, keyin talabalar ularni eslab qolishlari mumkin. Masalan, to'rt nuqtali xususiyatni o'xshashlikni o'rganish va keyin vektorlardan foydalanish orqali isbotlash mumkin. Trapetsiyaning lateral tomonlariga tutashgan uchburchaklarning ekvivalentligini quyidagilarga ega bo'lgan uchburchaklarning xossasi sifatida isbotlash mumkin. teng balandliklar bir xil to'g'ri chiziqda yotgan tomonlarga chizilgan va formula

. Chizilgan trapetsiyada to‘g‘ri burchakli uchburchakning xossalarini, chizilgan trapetsiyada sinuslar teoremasini va hokazolarni mashq qilish mumkin.

Maktab geometriya kursi mazmuniga trapetsiyaning “dasturiy bo‘lmagan” xossalarini kiritish, ularni o‘rganishning muammoli texnologiyasi va boshqa mavzularni o‘rganishda trapetsiya xossalariga qayta-qayta murojaat qilish talabalarga chuqurroq tushunish imkonini beradi. trapetsiya va uning xossalarini qo'llash bo'yicha masalalarni echish muvaffaqiyatini ta'minlash.

Shuning uchun biz ulardan birini chaqiramiz katta , ikkinchi - kichik baza trapezoidlar. Balandligi trapetsiyani cho'qqilardan mos ravishda qarama-qarshi tomonga tortilgan har qanday perpendikulyar segment deb atash mumkin (har bir cho'qqi uchun ikkita qarama-qarshi tomon mavjud), olingan cho'qqi va qarama-qarshi tomon o'rtasida joylashgan. Ammo biz ta'kidlashimiz mumkin " maxsus turdagi"balandliklar.
Ta'rif 8. Trapetsiya asosining balandligi - bu asoslarga perpendikulyar to'g'ri chiziq bo'lagi bo'lib, asoslar orasiga o'ralgan.
Teorema 7 . Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslarga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng.
Isbot. ABCD trapesiya va o'rta chiziq KM berilsin. B va M nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz. AD tomonini D nuqta orqali BM bilan kesishguncha davom ettiramiz. VSm va MRD uchburchaklari yon tomonlari va ikki burchaklari (SM=MD, ∠ VSM=∠ MDR - ko'ndalang, ∠ VSM=∠ DMR - vertikal) bo'yicha teng, shuning uchun VM=MR yoki M nuqta BP ning o'rtasidir. KM - ABP uchburchagidagi o'rta chiziq. Uchburchakning o'rta chizig'ining xususiyatiga ko'ra, KM AP ga, xususan AD ga parallel va AP ning yarmiga teng:

Teorema 8 . Diagonallar trapezoidni to'rt qismga ajratadi, ulardan ikkitasi yon tomonlarga ulashgan, o'lchamlari tengdir.
Sizga shuni eslatib o'tamanki, raqamlar bir xil maydonga ega bo'lsa, ular teng o'lchamlar deb ataladi. ABD va ACD uchburchaklari o'lchamlari bo'yicha teng: ular teng balandliklarga (sariq rangda ko'rsatilgan) va umumiy asosga ega. Ushbu uchburchaklar umumiy AOD qismiga ega. Ularning maydonini quyidagicha ajratish mumkin:

Trapezoidlarning turlari:
Ta'rif 9. (1-rasm) O'tkir burchakli trapetsiya - bu kattaroq asosga tutash burchaklari o'tkir bo'lgan trapetsiya.
Ta'rif 10. (2-rasm) Kattaroq asosga tutashgan burchaklardan biri o'tmas bo'lgan trapesiya o'tmas trapesiyadir.
Ta'rif 11. (4-rasm) Agar bir tomoni asoslarga perpendikulyar bo'lsa, trapetsiya to'rtburchaklar deyiladi.
Ta'rif 12. (3-rasm) Teng yon tomonli (teng yon tomonli, teng yon tomonli) tomonlari teng bo’lgan trapetsiya.

Teng yonli trapesiyaning xususiyatlari:
Teorema 10 . Teng yonli trapetsiya asoslarining har biriga tutashgan burchaklar teng.
Isbot. Masalan, ABCD teng yonli trapesiyaning kattaroq AD asosi uchun A va D burchaklarining tengligini isbotlaylik. Buning uchun C nuqtadan AB tomoniga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. U katta asosni M nuqtada kesib o'tadi. ABCM to'rtburchak parallelogramm, chunki qurilishi bo'yicha u ikki juft parallel tomonlarga ega. Binobarin, trapetsiya ichiga o'ralgan sekant chiziqning CM segmenti uning tomoniga teng: CM = AB. Bu erdan ko'rinib turibdiki, CM = CD, CMD uchburchagi teng yonli, ∠ CMD = ∠ CDM va shuning uchun ∠ A = ∠ D. Kichikroq asosga qo'shni burchaklar ham teng, chunki topilganlar uchun bir tomonlama ichki bo'lib, jami ikkita chiziqqa ega.
11-teorema . Teng yonli trapesiyaning diagonallari teng.
Isbot. ABD va ACD uchburchaklarini ko'rib chiqing. Ular ikki tomondan teng va ular orasidagi burchak (AB=CD, AD umumiy, A va D burchaklar 10-teoremaga muvofiq teng). Shuning uchun AC=BD.

13-teorema . Teng yonli trapezoidning diagonallari kesishish nuqtasi bo'yicha mos ravishda teng segmentlarga bo'linadi. ABD va ACD uchburchaklarini ko'rib chiqing. Ular ikki tomondan teng va ular orasidagi burchak (AB=CD, AD umumiy, A va D burchaklar 10-teoremaga muvofiq teng). Demak, ∠ OAD=∠ ODA, demak, OBC va OCB burchaklari teng, chunki ular ODA va OAD burchaklari uchun mos ravishda kesishadi. Teoremani eslaylik: agar uchburchakdagi ikkita burchak teng bo'lsa, u teng yon tomonli bo'ladi, shuning uchun OBC va OAD uchburchaklari teng yon tomonli bo'lib, bu OC=OB va OA=OD va hokazolarni bildiradi.
Teng tomonli trapezoid simmetrik figuradir.
Ta'rif 13. Teng yonli trapesiyaning simmetriya o‘qi uning asoslarining o‘rta nuqtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdir.
14-teorema . Teng yonli trapesiyaning simmetriya o‘qi uning asoslariga perpendikulyar.
9-teoremada trapetsiya asoslarining o’rta nuqtalarini tutashtiruvchi chiziq diagonallarning kesishish nuqtasidan o’tishini isbotladik. Keyinchalik (13-teorema) biz AOD va BOC uchburchaklar teng yon tomonli ekanligini isbotladik. OM va OK ta'rifi bo'yicha mos ravishda bu uchburchaklarning medianalaridir. Teng yonli uchburchakning xossasini eslaylik: asosga tushirilgan teng yonli uchburchakning medianasi ham uchburchakning balandligidir. KM toʻgʻri chiziq qismlari asoslarga perpendikulyar boʻlganligi uchun simmetriya oʻqi asoslarga perpendikulyar boʻladi.
Teng yonli trapesiyani barcha trapetsiyalardan ajratib turadigan belgilar:
15-teorema . Agar trapetsiya asoslaridan biriga tutashgan burchaklar teng bo'lsa, trapetsiya teng yonli bo'ladi.
16-teorema . Agar trapetsiyaning diagonallari teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli bo'ladi.
17-teorema . Agar trapetsiyaning yon tomonlari kesishguncha cho'zilgan bo'lsa, uning katta asosi bilan birga teng yonli uchburchak hosil bo'lsa, trapetsiya teng yonli bo'ladi.
18-teorema . Agar trapezoidni aylana ichiga yozish mumkin bo'lsa, demak u teng yonlidir.
To'rtburchak trapezoidning belgisi:
19-teorema . Qo'shni uchlari bilan faqat ikkita to'g'ri burchakka ega bo'lgan har qanday to'rtburchak to'g'ri burchakli trapezoiddir (aniqki, ikki tomoni parallel, chunki bir tomonlilari tengdir. Uchta to'g'ri burchak to'rtburchak bo'lgan holda)
20-teorema . Trapetsiya ichiga chizilgan aylana radiusi poydevor balandligining yarmiga teng.
Bu teoremaning isboti asoslarga chizilgan radiuslar trapetsiya balandligida yotishini tushuntirishdir. O nuqtadan - berilgan trapetsiyaga chizilgan ABCD aylana markazidan trapetsiya asoslari tegib turgan nuqtalarga radiuslar chizamiz. Ma'lumki, teginish nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar, shuning uchun OK^ BC va OM^ AD. Teoremani eslaylik: agar chiziq parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u ikkinchisiga ham perpendikulyar bo'ladi. Demak, OK chiziq ham AD ga perpendikulyar. Shunday qilib, O nuqta orqali AD chizig'iga perpendikulyar ikkita chiziq bor, ular bo'lishi mumkin emas, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga to'g'ri keladi va umumiy perpendikulyar KM ni tashkil qiladi, bu ikki radiusning yig'indisiga teng va chizilgan aylananing diametridir, shuning uchun r= KM/2 yoki r=h/2.
21-teorema . Trapezoidning maydoni asoslar yig'indisining yarmi va poydevor balandligining ko'paytmasiga teng.

Isbot: ABCD berilgan trapetsiya, AB va CD esa uning asoslari bo'lsin. A nuqtadan CD chizig'iga tushirilgan balandlik ham AH bo'lsin. Keyin S ABCD = S ACD + S ABC.
Lekin S ACD = 1/2AH·CD, va S ABC = 1/2AH·AB.
Shuning uchun S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Q.E.D.

Ikkinchi formula to'rtburchakdan kelib chiqdi.

O'qish foydali bo'lishi mumkin: