Matrizen. Grundlegende Definitionen und Arten von Matrizen
Matrizen. Arten von Matrizen. Operationen an Matrizen und ihren Eigenschaften.
Determinante einer Matrix n-ter Ordnung. N, Z, Q, R, C,
Eine Matrix der Ordnung m*n ist eine rechteckige Zahlentabelle mit m Zeilen und n Spalten.
Matrixgleichheit:
Zwei Matrizen werden als gleich bezeichnet, wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten einer von ihnen gleich der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der anderen ist. Die Elemente dieser Matrizen sind gleich.
Hinweis: E-Mails mit denselben Indizes sind korrespondierend.
Arten von Matrizen:
Quadratische Matrix: Eine Matrix heißt quadratisch, wenn die Anzahl ihrer Zeilen gleich der Anzahl ihrer Spalten ist.
Rechteckig: Eine Matrix heißt rechteckig, wenn die Anzahl der Zeilen nicht gleich der Anzahl der Spalten ist.
Zeilenmatrix: Eine Matrix der Ordnung 1*n (m=1) hat die Form a11,a12,a13 und wird Zeilenmatrix genannt.
Matrixspalte:………….
Diagonale: Die Diagonale einer quadratischen Matrix, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verläuft, also aus den Elementen a11, a22... besteht, wird als Hauptdiagonale bezeichnet. (Definition: Eine quadratische Matrix, deren Elemente alle Null sind, mit Ausnahme derjenigen, die auf der Hauptdiagonale liegen, wird Diagonalmatrix genannt.
Identität: Eine Diagonalmatrix heißt Identitätsmatrix, wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonale liegen und gleich 1 sind.
Oberes Dreieck: A=||aij|| heißt obere Dreiecksmatrix, wenn aij=0. Vorausgesetzt i>j.
Unteres Dreieck: aij=0. ich Null: Dies ist eine Matrix, deren Werte gleich 0 sind. Operationen auf Matrizen. 1.Transposition. 2. Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren. 3. Addition von Matrizen. 4.Matrixmultiplikation. Grundlegende Eigenschaften von Aktionen auf Matrizen. 1.A+B=B+A (Kommutativität) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (Assoziativität) 3.a(A+B)=aA+aB (Distributivität) 4.(a+b)A=aA+bA (distributiv) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoc.) 6.AB≠BA (keine Komm.) 7.A(BC)=(AB)C (assoziiert) – wird ausgeführt, falls definiert. Matrixprodukte werden durchgeführt. 8.A(B+C)=AB+AC (distributiv) (B+C)A=BA+CA (distributiv) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Determinante einer quadratischen Matrix – Definition und ihre Eigenschaften. Zerlegung der Determinante in Zeilen und Spalten. Methoden zur Berechnung von Determinanten. Wenn Matrix A die Ordnung m>1 hat, dann ist die Determinante dieser Matrix eine Zahl. Das algebraische Komplement Aij des aij-Elements der Matrix A ist das kleine Mij multipliziert mit der Zahl THEOREM 1: Die Determinante der Matrix A ist gleich der Summe der Produkte aller Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit ihren algebraischen Komplementen. Grundlegende Eigenschaften von Determinanten. 1. Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn sie transponiert wird. 2. Beim Neuanordnen zweier Zeilen (Spalten) ändert die Determinante das Vorzeichen, ihr Absolutwert ändert sich jedoch nicht. 3. Die Determinante einer Matrix mit zwei identischen Zeilen (Spalten) ist gleich 0. 4. Wenn eine Zeile (Spalte) einer Matrix mit einer Zahl multipliziert wird, wird ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert. 5. Wenn eine der Zeilen (Spalten) der Matrix aus 0 besteht, dann ist die Determinante dieser Matrix gleich 0. 6. Wenn alle Elemente der i-ten Zeile (Spalte) einer Matrix als Summe zweier Terme dargestellt werden, dann kann ihre Determinante als Summe der Determinanten zweier Matrizen dargestellt werden. 7. Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Elemente einer Spalte (Zeile) nach der Multiplikation zu den Elementen einer anderen Spalte (Zeile) addiert werden. für die gleiche Nummer. 8. Die Summe beliebiger Elemente einer beliebigen Spalte (Zeile) der Determinante durch das entsprechende algebraische Komplement der Elemente einer anderen Spalte (Zeile) ist gleich 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Methoden zur Berechnung der Determinante: 1. Per Definition oder Satz 1. 2. Reduktion auf Dreiecksform. Definition und Eigenschaften einer inversen Matrix. Berechnung der inversen Matrix. Matrixgleichungen. Definition: Eine quadratische Matrix der Ordnung n heißt die Umkehrung der Matrix A derselben Ordnung und wird mit bezeichnet Damit Matrix A eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass die Determinante der Matrix A von 0 verschieden ist. Eigenschaften einer inversen Matrix: 1. Eindeutigkeit: Für eine gegebene Matrix A ist ihre Umkehrung eindeutig. 2. Matrixdeterminante 3. Die Operation der Transposition und der Umkehrmatrix. Matrixgleichungen: Seien A und B zwei quadratische Matrizen derselben Ordnung. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Das Konzept der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Matrixspalten. Eigenschaften der linearen Abhängigkeit und linearen Unabhängigkeit eines Säulensystems. Die Spalten A1, A2...An heißen linear abhängig, wenn es eine nicht triviale Linearkombination von ihnen gibt, die der 0. Spalte entspricht. Die Spalten A1, A2...An heißen linear unabhängig, wenn es eine nicht triviale Linearkombination von ihnen gibt, die der 0. Spalte entspricht. Eine Linearkombination heißt trivial, wenn alle Koeffizienten C(l) gleich 0 sind, andernfalls nichttrivial. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. Damit die Spalten linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass eine Spalte eine lineare Kombination anderer Spalten ist. Lassen Sie eine der Spalten https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">eine lineare Kombination anderer Spalten sein. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> linear abhängig sind, dann sind alle Spalten linear abhängig. 4. Wenn ein Säulensystem linear unabhängig ist, dann ist auch jedes seiner Subsysteme linear unabhängig. (Alles, was über Spalten gesagt wird, gilt auch für Zeilen.) Matrix-Minderjährige. Grundlegende Minderjährige. Matrixrang. Methode zur Eingrenzung von Minderjährigen zur Berechnung des Rangs einer Matrix. Ein Minor der Ordnung k einer Matrix A ist eine Determinante, deren Elemente sich am Schnittpunkt der k-Zeilen und k-Spalten der Matrix A befinden. Wenn alle Minderjährigen der k-ten Ordnung der Matrix A = 0 sind, dann sind alle Minderjährigen der Ordnung k+1 ebenfalls gleich 0. Grundlegendes Nebenfach. Der Rang einer Matrix A ist die Ordnung ihrer Basisminor. Methode zur Eingrenzung von Minderjährigen: - Wählen Sie ein Nicht-Null-Element der Matrix A aus (Wenn ein solches Element nicht existiert, dann ist Rang A = 0) Wir grenzen das vorherige Moll 1. Ordnung an ein Moll 2. Ordnung. (Wenn dieses Nebenfach nicht gleich 0 ist, dann ist der Rang >=2) Wenn der Rang dieses Nebenfachs =0 ist, dann grenzen wir das ausgewählte Nebenfach 1. Ordnung an andere Nebenfächer 2. Ordnung an. (Wenn alle Minderjährigen 2. Ordnung = 0 sind, dann ist der Rang der Matrix = 1). Matrixrang. Methoden zum Ermitteln des Rangs einer Matrix. Der Rang einer Matrix A ist die Ordnung ihrer Basisminor. Berechnungsmethoden: 1) Methode zur Eingrenzung von Minderjährigen: - Wählen Sie ein Nicht-Null-Element der Matrix A aus (wenn es kein solches Element gibt, ist Rang = 0) - Umranden Sie die vorherige Minderjährige 1. Ordnung mit einer Minderjährigen 2. Ordnung..gif" width="40 " height="22" >r+1 Mr+1=0. 2) Reduzieren der Matrix auf eine schrittweise Form: Diese Methode basiert auf elementaren Transformationen. Bei elementaren Transformationen ändert sich der Rang der Matrix nicht. Die folgenden Transformationen werden als Elementartransformationen bezeichnet: Zwei Zeilen (Spalten) neu anordnen. Multiplizieren aller Elemente einer bestimmten Spalte (Zeile) mit einer Zahl ungleich 0. Addieren zu allen Elementen einer bestimmten Spalte (Zeile) der Elemente einer anderen Spalte (Zeile), die zuvor mit derselben Zahl multipliziert wurden. Der Satz über die Basis Moll. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Determinante gleich Null ist. Das Basismoll einer Matrix A ist das Moll der höchsten k-ten Ordnung ungleich 0. Der Basis-Moll-Satz: Die zugrunde liegenden Zeilen (Spalten) sind linear unabhängig. Jede Zeile (Spalte) der Matrix A ist eine lineare Kombination der Basiszeilen (Spalten). Hinweise: Zeilen und Spalten, an deren Schnittpunkt sich eine Basis-Minor befindet, werden Basiszeilen bzw. -spalten genannt. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2….arr arj ak1 ak2…..akr akj Notwendige und ausreichende Bedingungen dafür, dass die Determinante gleich Null ist: Damit eine Determinante n-ter Ordnung =0 ist, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Zeilen (Spalten) linear abhängig sind. Systeme linearer Gleichungen, ihre Klassifikations- und Notationsformen. Cramers Regel. Betrachten Sie ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} heißt die Determinante des Systems. Lassen Sie uns drei weitere Determinanten wie folgt zusammenstellen: Ersetzen Sie nacheinander die Spalten 1, 2 und 3 in der Determinante D durch eine Spalte mit freien Termen https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} Nachweisen. Betrachten wir also ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Multiplizieren wir die 1. Gleichung des Systems mit dem algebraischen Komplement A11 des Elements a11, die 2. Gleichung mit A21 und die 3. mit A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} Schauen wir uns die einzelnen Klammern und die rechte Seite dieser Gleichung an. Nach dem Satz über die Entwicklung der Determinante in Elementen der 1. Spalte https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} Ebenso lässt sich zeigen, dass und . Schließlich ist das leicht zu bemerken Somit erhalten wir die Gleichheit: . Somit, . Die Gleichungen und werden auf ähnliche Weise abgeleitet, woraus die Aussage des Satzes folgt. Systeme linearer Gleichungen. Bedingung für die Kompatibilität linearer Gleichungen. Kronecker-Capelli-Theorem. Eine Lösung für ein System algebraischer Gleichungen ist eine solche Menge von n Zahlen C1, C2, C3...Cn, die, wenn sie in das ursprüngliche System anstelle von x1, x2, x3...xn eingesetzt werden , verwandelt alle Gleichungen des Systems in Identitäten. Ein System linearer algebraischer Gleichungen heißt konsistent, wenn es mindestens eine Lösung hat. Ein konsistentes System heißt determiniert, wenn es eine eindeutige Lösung hat, und unbestimmt, wenn es unendlich viele Lösungen hat. Konsistenzbedingungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn Mrd THEOREM: Damit ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der erweiterten Matrix gleich dem Rang der Matrix A ist. Hinweis: Dieser Satz liefert nur Kriterien für die Existenz einer Lösung, gibt jedoch keine Methode zum Finden einer Lösung an. 10 Frage. Systeme linearer Gleichungen. Die Basis-Minor-Methode ist eine allgemeine Methode zum Finden aller Lösungen für lineare Gleichungssysteme. A=a21 a22…..a2n Grundlegende Nebenmethode: Das System sei konsistent und RgA=RgA’=r. Das Basis-Moll soll in die obere linke Ecke der Matrix A geschrieben werden. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Hinweise: Wenn der Rang der Hauptmatrix und der betrachteten Matrix gleich r=n ist, dann ist in diesem Fall dj=bj und das System hat eine eindeutige Lösung. Homogene Systeme linearer Gleichungen. Ein System linearer algebraischer Gleichungen heißt homogen, wenn alle seine freien Terme gleich Null sind. AX=0 – homogenes System. AX =B ist ein heterogenes System. Homogene Systeme sind immer konsistent. X1 =x2 =..=xn =0 Satz 1. Homogene Systeme haben inhomogene Lösungen, wenn der Rang der Systemmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten. Satz 2. Ein homogenes System n-linearer Gleichungen mit n Unbekannten hat eine Lösung ungleich Null, wenn die Determinante der Matrix A gleich Null ist. (detA=0) Eigenschaften von Lösungen homogener Systeme. Jede lineare Kombination einer Lösung zu einem homogenen System ist selbst eine Lösung zu diesem System. α1C1 +α2C2 ; α1 und α2 sind einige Zahlen. A(α1C1 +α2C2) = A(α1C1) +A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, d.h. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0 Für ein inhomogenes System gilt diese Eigenschaft nicht. Grundlegendes Lösungssystem. Satz 3. Wenn der Rang eines Matrixsystems einer Gleichung mit n Unbekannten r ist, dann hat dieses System n-r linear unabhängige Lösungen. Lassen Sie den Basis-Moll in der oberen linken Ecke sein. Wenn r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Ein System von n-r linear unabhängigen Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten vom Rang r wird als fundamentales Lösungssystem bezeichnet. Satz 4. Jede Lösung eines Systems linearer Gleichungen ist eine Linearkombination einer Lösung des Grundsystems. С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r Wenn r Frage 12. Allgemeine Lösung eines heterogenen Systems. Schlaf (allgemein heterogen) = Coo + Sch (insbesondere) AX=B (heterogenes System); AX= 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, weil (ASoo) = 0 Schlaf= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch Gauß-Methode. Dies ist eine Methode zur sequentiellen Eliminierung von Unbekannten (Variablen) – sie besteht darin, dass mit Hilfe elementarer Transformationen das ursprüngliche Gleichungssystem auf ein äquivalentes System schrittweiser Form reduziert wird, aus dem alle anderen Variablen ermittelt werden nacheinander, beginnend mit den letzten Variablen. Sei a≠0 (falls dies nicht der Fall ist, kann dies durch Umstellen der Gleichungen erreicht werden). 1) Wir schließen die Variable x1 aus der zweiten, dritten...n-ten Gleichung aus, multiplizieren die erste Gleichung mit geeigneten Zahlen und addieren die erhaltenen Ergebnisse zur 2., 3....n-ten Gleichung, dann erhalten wir: Wir erhalten ein dem Original äquivalentes System. 2) Schließen Sie die Variable x2 aus 3) Schließen Sie die Variable x3 usw. aus. Wenn wir den Prozess des sequentiellen Eliminierens der Variablen x4;x5...xr-1 fortsetzen, erhalten wir für den (r-1)-ten Schritt. Die Zahl Null des letzten n-r in den Gleichungen bedeutet, dass ihre linke Seite die Form hat: 0x1 +0x2+..+0xn Wenn mindestens eine der Zahlen br+1, br+2... ungleich Null ist, dann ist die entsprechende Gleichheit widersprüchlich und System (1) ist nicht konsistent. Somit ist für jedes konsistente System dieses br+1 ... bm gleich Null. Die letzten n-r-Gleichung im System (1;r-1) sind Identitäten und können ignoriert werden. Es gibt zwei mögliche Fälle: a) Die Anzahl der Gleichungen des Systems (1;r-1) ist gleich der Anzahl der Unbekannten, d. h. r=n (in diesem Fall hat das System eine Dreiecksform). b)r Der Übergang vom System (1) zum äquivalenten System (1;r-1) wird als direkte Bewegung der Gaußschen Methode bezeichnet. Das Finden einer Variablen aus dem System (1;r-1) ist die Umkehrung der Gaußschen Methode. Es ist praktisch, Gaußsche Transformationen durchzuführen, indem man sie nicht mit Gleichungen, sondern mit einer erweiterten Matrix ihrer Koeffizienten durchführt. Frage 13. Ähnliche Matrizen. Wir betrachten nur quadratische Matrizen der Ordnung n/ Eine Matrix A soll der Matrix B (A~B) ähnlich sein, wenn es eine nicht singuläre Matrix S mit A=S-1BS gibt. Eigenschaften ähnlicher Matrizen. 1) Matrix A ist sich selbst ähnlich. (A~A) Wenn S=E, dann EAE=E-1AE=A 2) Wenn A~B, dann B~A Wenn A=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) Wenn A~B und gleichzeitig B~C, dann A~C Es gilt: A=S1-1BS1 und B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, wobei S3 = S2S1 4) Die Determinanten ähnlicher Matrizen sind gleich. Da A~B gilt, muss detA=detB bewiesen werden. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (reduziert) = detB. 5) Die Ränge ähnlicher Matrizen stimmen überein. Eigenvektoren und Eigenwerte von Matrizen. Die Zahl λ heißt Eigenwert der Matrix A, wenn es einen von Null verschiedenen Vektor X (Matrixspalte) gibt, so dass AX = λ X, der Vektor X heißt Eigenvektor der Matrix A und die Menge aller Eigenwerte heißt das Spektrum der Matrix A. Eigenschaften von Eigenvektoren. 1) Wenn wir einen Eigenvektor mit einer Zahl multiplizieren, erhalten wir einen Eigenvektor mit demselben Eigenwert. AX = λ X; X≠0 α X => A(α X) = α (AX) = α(λ X) = = λ (αX) 2) Eigenvektoren mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig λ1, λ2,.. λk. Lassen Sie das System aus einem Vektor bestehen. Machen wir einen induktiven Schritt: С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – multiplizieren mit A. C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Mit λn+1 multiplizieren und subtrahieren С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Es ist notwendig, dass C1 = C2 =... = Cn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Charakteristische Gleichung. A-λE wird als charakteristische Matrix für Matrix A bezeichnet. Damit ein Nicht-Null-Vektor Das System hat eine nichttriviale Lösung, wenn det (A - XE) = 0 – dies ist die charakteristische Gleichung. Stellungnahme! Die charakteristischen Gleichungen solcher Matrizen stimmen überein. det(S-1AS – λE) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λE)S) = det S-1 det(A – λE) detS= det(A – λE) Charakteristisches Polynom. det(A – λE) – Funktion relativ zum Parameter λ det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Dieses Polynom wird als charakteristisches Polynom der Matrix A bezeichnet. Folge: 1) Wenn die Matrizen A~B sind, dann stimmt die Summe ihrer Diagonalelemente überein. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Die Menge der Eigenwerte ähnlicher Matrizen fällt zusammen. Wenn die charakteristischen Gleichungen der Matrizen übereinstimmen, sind sie nicht unbedingt ähnlich. Für Matrix A Für Matrix B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Damit eine Matrix A der Ordnung n diagonalisierbar ist, ist es notwendig, dass linear unabhängige Eigenvektoren der Matrix A existieren. Folge. Sind alle Eigenwerte einer Matrix A unterschiedlich, dann ist sie diagonalisierbar. Algorithmus zum Finden von Eigenvektoren und Eigenwerten. 1) Stellen Sie eine charakteristische Gleichung auf 2) Finden Sie die Wurzeln der Gleichungen 3) Wir stellen ein Gleichungssystem auf, um den Eigenvektor zu bestimmen. λi (A-λi E)X = 0 4) Finden Sie ein grundlegendes Lösungssystem x1,x2..xn-r, wobei r der Rang der charakteristischen Matrix ist. r =Rg(A - λi E) 5) Eigenvektor, Eigenwerte λi werden geschrieben als: X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, wobei С12 +С22 +… С2n ≠0 6) Prüfen Sie, ob die Matrix auf Diagonalform reduziert werden kann. 7) Ag finden Ag = S-1AS S= Frage 15. Die Basis einer geraden Linie, Ebene, Raum. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Der Modul eines Vektors ist Null, wenn dieser Vektor Null ist (│ō│=0 ) 4. Orth-Vektor. Ein Ort eines gegebenen Vektors ist ein Vektor, der die gleiche Richtung wie der gegebene Vektor hat und einen Modul gleich eins hat. Gleiche Vektoren haben gleiche Vektoren. 5.Winkel zwischen zwei Vektoren. Dies ist ein kleinerer Teil der Fläche, der durch zwei Strahlen begrenzt wird, die vom selben Punkt ausgehen und mit den angegebenen Vektoren in die gleiche Richtung gerichtet sind. Vektoraddition. Einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren. 1) Addition zweier Vektoren https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2)Multiplizieren eines Vektors mit einem Skalar. Das Produkt eines Vektors und eines Skalars ist ein neuer Vektor mit: a) = Produkt des Moduls des Vektors multipliziert mit dem Absolutwert des Skalars. b) Die Richtung ist dieselbe wie die des Vektors, der multipliziert wird, wenn der Skalar positiv ist, und entgegengesetzt, wenn der Skalar negativ ist. λ à(Vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Eigenschaften linearer Operationen an Vektoren. 1. Das Gesetz der Übertragbarkeit. 2. Gesetz der Assoziativität. 3. Addition mit Null. a(Vektor)+ō= a(Vektor) 4. Addition mit dem Gegenteil. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Das Gesetz der Distributivität. Einen Vektor anhand seines Moduls und seines Orts ausdrücken. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren wird Basis genannt. Eine Basis auf einer Linie ist jeder Vektor ungleich Null. Eine Basis auf der Ebene sind zwei beliebige Nicht-Kallenvektoren. Eine Basis im Raum ist ein System aus drei beliebigen nichtkoplanaren Vektoren. Der Ausdehnungskoeffizient eines Vektors über eine bestimmte Basis wird als Komponenten oder Koordinaten des Vektors in dieser Basis bezeichnet. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> die Aktion der Addition und Multiplikation mit einem Skalar durchführen, Als Ergebnis erhalten wir dann eine beliebige Anzahl solcher Aktionen: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> heißen linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination von ihnen gleich ō gibt. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> heißen linear unabhängig, wenn es keine nichttriviale Linearkombination von ihnen gibt. Eigenschaften linear abhängiger und unabhängiger Vektoren: 1) Ein Vektorsystem, das einen Nullvektor enthält, ist linear abhängig. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> linear abhängig sind, ist es notwendig, dass einige Vektoren eine lineare Kombination anderer Vektoren sind. 3) Wenn einige der Vektoren aus dem System a1(vektor), a2(vektor)... ak(vektor) linear abhängig sind, dann sind alle Vektoren linear abhängig. 4) wenn alle Vektoren https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Lineare Operationen in Koordinaten. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Eigenschaften des Skalarprodukts: 1. Kommutativität 3. (a;b)=0, genau dann, wenn die Vektoren orthoganal sind oder einige der Vektoren gleich 0 sind. 4. Distributivität (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Ausdruck des Skalarprodukts von a und b anhand ihrer Koordinaten https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Wenn Bedingung () erfüllt ist, ist h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> und der dritte Vektor wird aufgerufen, der die folgenden Gleichungen erfüllt: 3. – richtig Eigenschaften eines Vektorprodukts: 4. Vektorprodukt von Koordinateneinheitsvektoren Orthonormale Basis. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Oft werden 3 Symbole verwendet, um Einheitsvektoren einer Orthonormalbasis zu bezeichnen https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Wenn es eine Orthonormalbasis ist, dann https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- Gleichung einer geraden Linie parallel zur OX-Achse 2) - Gleichung einer geraden Linie parallel zur Achse des Operationsverstärkers 2. Gegenseitige Anordnung von 2 Geraden. Satz 1 Die Geradengleichungen seien bezüglich eines affinen Koordinatensystems gegeben A) Dann hat die notwendige und hinreichende Bedingung für den Zeitpunkt ihrer Überschneidung die Form: B) Dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Geraden parallel sind: B) Dann ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Linien zu einer verschmelzen, die Bedingung: 3. Abstand von einem Punkt zu einer Linie. Satz. Abstand von einem Punkt zu einer Linie relativ zum kartesischen Koordinatensystem: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Winkel zwischen zwei Geraden. Rechtwinkligkeitsbedingung. Es seien zwei Geraden relativ zum kartesischen Koordinatensystem durch allgemeine Gleichungen definiert. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Wenn , dann stehen die Geraden senkrecht. Frage 24. Flugzeug im Weltraum. Bedingung dafür, dass Vektor und Ebene konsistent sind. Abstand von einem Punkt zu einer Ebene. Der Zustand der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Ebenen. 1. Bedingung dafür, dass der Vektor und die Ebene konsistent sind. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Winkel zwischen 2 Ebenen. Rechtwinkligkeitsbedingung. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Wenn, dann stehen die Ebenen senkrecht. Frage 25. Gerade Linie im Raum. Verschiedene Arten der Gleichung einer Geraden im Raum. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Vektorgleichung einer Geraden im Raum. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Die kanonische Gleichung ist direkt. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51">!} Probleme der linearen Algebra. Das Konzept einer Matrix. Arten von Matrizen. Operationen mit Matrizen. Lösen von Matrixtransformationsproblemen. Bei der Lösung verschiedener Probleme in der Mathematik muss man sich oft mit Zahlentabellen, sogenannten Matrizen, auseinandersetzen. Mit Matrizen ist es praktisch, lineare Gleichungssysteme zu lösen, viele Operationen mit Vektoren durchzuführen, verschiedene Computergrafikprobleme und andere technische Probleme zu lösen. Die Matrix heißt
rechteckige Zahlentabelle, die eine Menge enthält M Zeilen und eine bestimmte Anzahl P Säulen. Zahlen T Und P werden Matrixordnungen genannt. Wenn T = P, Die Matrix heißt Quadrat und die Zahl m = n - ihre Bestellung. Zukünftig werden zum Schreiben von Matrizen entweder doppelte Bindestriche oder Klammern verwendet: Oder Um eine Matrix kurz zu bezeichnen, wird häufig entweder ein einzelner Großbuchstabe (z. B. A) oder das Symbol verwendet || a ij ||, und manchmal mit einer Erklärung: A = || a ij || = (ein ij), Wo (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n). Zahlen aij, Die in dieser Matrix enthaltenen Elemente werden als ihre Elemente bezeichnet. Bei der Aufnahme ein ij erster Index і
bedeutet die Zeilennummer und den zweiten Index J- Spaltennummer. Im Fall einer quadratischen Matrix Die Konzepte der Haupt- und Nebendiagonalen werden eingeführt. Die Hauptdiagonale der Matrix (1.1) wird Diagonale genannt ein 11 ein 12 …
Ann von der oberen linken Ecke dieser Matrix zur unteren rechten Ecke gehen. Eine Seitendiagonale derselben Matrix wird Diagonale genannt a n 1 a (n -1)2…
ein 1 n, von der unteren linken Ecke zur oberen rechten Ecke gehen. Grundlegende Operationen an Matrizen und ihren Eigenschaften. Fahren wir mit der Definition der Grundoperationen für Matrizen fort. Matrixaddition. Die Summe zweier Matrizen A = || a ij || , Wo Und B = || b ij || , Wo (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) die gleichen Befehle T Und P namens Matrix C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) die gleichen Befehle T Und P, Elemente mit ij die durch die Formel bestimmt werden ,
Wo (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2) Um die Summe zweier Matrizen zu bezeichnen, wird die Notation verwendet C = A + B. Der Vorgang, die Summe von Matrizen zusammenzusetzen, wird als Addition bezeichnet. Also per Definition: Aus der Definition der Matrizensumme, genauer gesagt aus den Formeln (1.2), folgt unmittelbar, dass die Operation der Addition von Matrizen die gleichen Eigenschaften hat wie die Operation der Addition reeller Zahlen, nämlich: 1) kommutative Eigenschaft: A + B = B + A, 2) assoziative Eigenschaft: ( A + B) + C = A + (B + C). Diese Eigenschaften ermöglichen es, sich beim Hinzufügen von zwei oder mehr Matrizen keine Gedanken über die Reihenfolge der Matrixterme zu machen. Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren. Das Produkt der Matrix A = || a ij || , wobei (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) durch eine reelle Zahl l, wird als Matrix bezeichnet C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), deren Elemente durch die Formel bestimmt werden: ,
Wo (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3) Um das Produkt einer Matrix und einer Zahl zu bezeichnen, wird die Notation verwendet C = l A oder C = A l. Der Vorgang, das Produkt einer Matrix mit einer Zahl zusammenzusetzen, wird als Multiplikation der Matrix mit dieser Zahl bezeichnet. Direkt aus Formel (1.3) geht hervor, dass die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl die folgenden Eigenschaften hat: 1) assoziative Eigenschaft bezüglich des numerischen Multiplikators: (lm) A = l (m A); 2) Verteilungseigenschaft relativ zur Summe der Matrizen: l (A + B) = l A + l B; 3) Verteilungseigentum bezüglich der Summe der Zahlen: (l + m) A = l A + m A Kommentar. Differenz zweier Matrizen A Und IN identische Bestellungen T Und P Es ist natürlich, eine solche Matrix zu nennen MIT die gleichen Befehle T Und P, was mit der Matrix summiert wird B ergibt die Matrix A. Um die Differenz zweier Matrizen zu bezeichnen, wird die natürliche Notation verwendet: C = A - B. Es ist sehr einfach, den Unterschied zu überprüfen MIT zwei Matrizen A Und IN kann durch die Regel erhalten werden C = A + (–1) V. Produkt von Matrizen oder Matrix-Multiplikation. Matrixprodukt A = || a ij || , wobei (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) mit entsprechend gleichen Aufträgen T Und N, zur Matrix B = || b ij || , Wo (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), mit entsprechend gleichen Aufträgen N Und R, wird als Matrix bezeichnet C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), mit entsprechend gleichen Ordnungen T Und R deren Elemente durch die Formel bestimmt werden: Bezeichnet das Produkt einer Matrix A zur Matrix IN Aufnahme verwenden C = A × B. Der Vorgang des Zusammenstellens eines Matrixprodukts A zur Matrix IN heißt Multiplikation dieser Matrizen. Aus der oben formulierten Definition folgt dies Matrix A kann nicht mit jeder Matrix B multipliziert werden, Es ist notwendig, dass die Anzahl der Matrixspalten A war gleich der Anzahl der Matrixzeilen IN. Formel (1.4) ist eine Regel zum Zusammensetzen der Elemente der Matrix C, die das Produkt der Matrix ist A zur Matrix IN. Diese Regel lässt sich verbal formulieren: Das am Schnittpunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Matrix C = A B stehende Element c i j ist gleich der Summe der paarweisen Produkte der entsprechenden Elemente der i-ten Zeile der Matrix A und der j-ten Spalte der Matrix B. Als Beispiel für die Anwendung dieser Regel stellen wir die Formel zur Multiplikation quadratischer Matrizen zweiter Ordnung vor. × = Aus Formel (1.4) ergeben sich folgende Eigenschaften des Matrixprodukts: A auf der Matrix IN: 1) assoziative Eigenschaft: (A B) C = A (B C); 2) Verteilungseigenschaft relativ zur Summe der Matrizen: (A + B) C = A C + B C oder A (B + C) = A B + A C. Frage zur kommutativen Eigenschaft des Produkts einer Matrix A zur Matrix IN es ist sinnvoll, es nur für quadratische Matrizen festzulegen A und B die gleiche Reihenfolge. Stellen wir wichtige Spezialfälle von Matrizen vor, für die auch die Permutationseigenschaft gilt. Zwei Matrizen, deren Produkt die Kommutierungseigenschaft besitzt, werden üblicherweise als Kommutierung bezeichnet. Unter den quadratischen Matrizen heben wir eine Klasse sogenannter Diagonalmatrizen hervor, deren Elemente jeweils außerhalb der Hauptdiagonale liegen und gleich Null sind. Jede diagonale Ordnungsmatrix P sieht aus wie D= Wo d 1, d 2,…
,dn- beliebige Zahlen. Es ist leicht zu erkennen, dass, wenn alle diese Zahlen einander gleich sind, d.h. d 1 = d 2 =… =
d n dann für jede quadratische Matrix A Befehl P Gleichheit ist wahr A D = D A. Unter allen Diagonalmatrizen (1.5) mit übereinstimmenden Elementen d 1 = d 2 =… =
dn= = D Dabei spielen zwei Matrizen eine besonders wichtige Rolle. Die erste dieser Matrizen erhält man durch d = 1, wird als Identitätsmatrix bezeichnet N E. Die zweite Matrix wird erhalten, wenn d = 0, heißt Nullmatrix N-ter Ordnung und wird durch das Symbol gekennzeichnet Ö. Auf diese Weise, E= Aufgrund dessen, was oben bewiesen wurde A E = E A Und A O = O A. Darüber hinaus ist es leicht zu zeigen A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6) Die erste der Formeln (1.6) charakterisiert die besondere Rolle der Identitätsmatrix E,ähnlich der Rolle, die die Zahl 1 bei der Multiplikation reeller Zahlen spielt. Was die besondere Rolle der Nullmatrix betrifft UM, dann wird es nicht nur durch die zweite der Formeln (1.7) offenbart, sondern auch durch die elementare nachweisbare Gleichheit A + 0 = 0 + A = A. Abschließend stellen wir fest, dass das Konzept einer Nullmatrix auch für nichtquadratische Matrizen eingeführt werden kann (Null heißt beliebig Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind). Blockmatrizen Angenommen, es handelt sich um eine Matrix A = || a ij || Mithilfe horizontaler und vertikaler Linien wird es in separate rechteckige Zellen unterteilt, von denen jede eine Matrix kleinerer Größe darstellt und als Block der ursprünglichen Matrix bezeichnet wird. In diesem Fall wird es möglich, die ursprüngliche Matrix zu berücksichtigen A als eine neue (sogenannte Block-)Matrix A = || A a b ||, deren Elemente die angegebenen Blöcke sind. Wir bezeichnen diese Elemente mit einem Großbuchstaben, um zu betonen, dass es sich im Allgemeinen um Matrizen und nicht um Zahlen handelt, und stellen (wie gewöhnliche numerische Elemente) zwei Indizes bereit, von denen der erste die Nummer der „Block“-Zeile angibt und der zweite - die Nummer der Spalte „Block“ ». Zum Beispiel eine Matrix kann als Blockmatrix betrachtet werden deren Elemente die folgenden Blöcke sind: Eine bemerkenswerte Tatsache ist, dass die Hauptoperationen mit Blockmatrizen nach denselben Regeln durchgeführt werden, nach denen sie mit gewöhnlichen numerischen Matrizen durchgeführt werden, nur Blöcke fungieren als Elemente. Das Konzept einer Determinante. Betrachten Sie eine beliebige quadratische Matrix beliebiger Ordnung P: A= Mit jeder solchen Matrix assoziieren wir ein genau definiertes numerisches Merkmal, das als Determinante bezeichnet wird und dieser Matrix entspricht. Wenn die Bestellung N Ist die Matrix (1.7) gleich eins, dann besteht diese Matrix aus einem Element und ich j die Determinante erster Ordnung, die einer solchen Matrix entspricht, nennen wir den Wert dieses Elements. dann ist die einer solchen Matrix entsprechende Determinante zweiter Ordnung die Zahl gleich a 11 a 22 - a 12 a 21 und gekennzeichnet durch eines der Symbole: Also per Definition Formel (1.9) ist eine Regel zur Konstruktion einer Determinante zweiter Ordnung aus den Elementen der entsprechenden Matrix. Die verbale Formulierung dieser Regel lautet wie folgt: Die der Matrix (1.8) entsprechende Determinante zweiter Ordnung ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale dieser Matrix und dem Produkt der Elemente auf ihrer Nebendiagonale. Determinanten zweiter und höherer Ordnung werden häufig zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet. Schauen wir uns an, wie sie ausgeführt werden Operationen mit Matrizen im MathCad-System
. Die einfachsten Operationen der Matrixalgebra werden in MathCad in Form von Operatoren implementiert. Das Schreiben von Operatoren kommt ihrer mathematischen Wirkung möglichst nahe. Jeder Operator wird durch ein entsprechendes Symbol ausgedrückt. Betrachten wir Matrix- und Vektoroperationen in MathCad 2001. Vektoren sind ein Sonderfall von Dimensionsmatrizen n x 1, Daher gelten für sie dieselben Operationen wie für Matrizen, sofern nicht ausdrücklich Einschränkungen angegeben sind (z. B. sind einige Operationen nur auf quadratische Matrizen anwendbar). n x n). Einige Aktionen gelten nur für Vektoren (z. B. Skalarprodukt), andere wirken sich trotz gleicher Schreibweise unterschiedlich auf Vektoren und Matrizen aus. q Nach Drücken der OK-Taste öffnet sich ein Feld zur Eingabe von Matrixelementen. Um ein Matrixelement einzugeben, platzieren Sie den Cursor an der markierten Position und geben Sie über die Tastatur eine Zahl oder einen Ausdruck ein. Um einen Vorgang über die Symbolleiste auszuführen, müssen Sie Folgendes tun: q Wählen Sie die Matrix aus und klicken Sie auf die Schaltfläche „Operation“ im Bedienfeld. q oder klicken Sie auf die Schaltfläche im Panel und geben Sie an der markierten Stelle den Namen der Matrix ein. Das Menü „Symbole“ enthält drei Operationen: Transponieren, Inversion, Determinante. Dies bedeutet beispielsweise, dass Sie die Determinante einer Matrix berechnen können, indem Sie den Befehl ausführen Symbole/Matrizen/Determinante. MathCAD speichert die Nummer der ersten Zeile (und ersten Spalte) der Matrix in der Variablen ORIGIN. Standardmäßig beginnt die Zählung bei Null. In der mathematischen Notation ist es üblicher, ab 1 zu zählen. Damit MathCAD Zeilen- und Spaltennummern ab 1 zählen kann, müssen Sie den Wert der Variablen ORIGIN:=1 festlegen. Funktionen, die für die Arbeit mit linearen Algebra-Problemen entwickelt wurden, sind im Abschnitt „Vektoren und Matrizen“ des Dialogfelds „Funktion einfügen“ gesammelt (wir erinnern Sie daran, dass sie über die Schaltfläche im Bedienfeld „Standard“ aufgerufen werden). Die wichtigsten dieser Funktionen werden später beschrieben. Transponieren Verwandte Informationen. In diesem Thema werden Operationen wie das Addieren und Subtrahieren von Matrizen, das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, das Multiplizieren einer Matrix mit einer Matrix und das Transponieren einer Matrix behandelt. Alle auf dieser Seite verwendeten Symbole stammen aus dem vorherigen Thema. Die Summe von $A+B$ der Matrizen $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ wird Matrix $C_(m) genannt \times n) =(c_(ij))$, wobei $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline( 1,n) $. Eine ähnliche Definition wird für die Differenz von Matrizen eingeführt: Der Unterschied zwischen den $A-B$-Matrizen $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m\times n)=( c_(ij))$, wobei $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1, n)$. Erklärung zum Eintrag $i=\overline(1,m)$: show\hide Die Notation „$i=\overline(1,m)$“ bedeutet, dass der Parameter $i$ von 1 bis m variiert. Beispielsweise gibt die Notation $i=\overline(1,5)$ an, dass der Parameter $i$ die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annimmt. Es ist zu beachten, dass Additions- und Subtraktionsoperationen nur für Matrizen gleicher Größe definiert sind. Im Allgemeinen sind Addition und Subtraktion von Matrizen Operationen, die intuitiv klar sind, da sie im Wesentlichen nur die Summation oder Subtraktion der entsprechenden Elemente bedeuten. Beispiel Nr. 1 Es werden drei Matrizen angegeben: $$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$ Ist es möglich, die Matrix $A+F$ zu finden? Finden Sie die Matrizen $C$ und $D$, wenn $C=A+B$ und $D=A-B$. Die Matrix $A$ enthält 2 Zeilen und 3 Spalten (mit anderen Worten, die Größe der Matrix $A$ beträgt $2\times 3$), und die Matrix $F$ enthält 2 Zeilen und 2 Spalten. Die Größen der Matrizen $A$ und $F$ stimmen nicht überein, daher können wir sie nicht addieren, d.h. Die $A+F$-Operation ist für diese Matrizen nicht definiert. Die Größen der Matrizen $A$ und $B$ sind gleich, d.h. Die Matrixdaten enthalten eine gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, sodass die Additionsoperation auf sie anwendbar ist. $$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$ Finden wir die Matrix $D=A-B$: $$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$ Antwort: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$. Das Produkt der Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ mit der Zahl $\alpha$ ist die Matrix $B_(m\times n)=(b_(ij))$, wobei $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1,n)$. Einfach ausgedrückt bedeutet das Multiplizieren einer Matrix mit einer bestimmten Zahl, dass jedes Element einer bestimmten Matrix mit dieser Zahl multipliziert wird. Beispiel Nr. 2 Die Matrix ist gegeben: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Finden Sie die Matrizen $3\cdot A$, $-5\cdot A$ und $-A$. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$ Die Notation $-A$ ist eine Kurzschreibweise für $-1\cdot A$. Das heißt, um $-A$ zu finden, müssen Sie alle Elemente der Matrix $A$ mit (-1) multiplizieren. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass sich das Vorzeichen aller Elemente der Matrix $A$ ins Gegenteil ändert: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$ Antwort: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$. Die Definition dieser Operation ist umständlich und auf den ersten Blick unklar. Deshalb werde ich zunächst eine allgemeine Definition angeben und dann im Detail analysieren, was sie bedeutet und wie man damit arbeitet. Das Produkt der Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ mit der Matrix $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m\times k )=(c_( ij))$, wobei jedes Element $c_(ij)$ gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Elemente der i-ten Zeile der Matrix $A$ mit den Elementen der j ist -te Spalte der Matrix $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$ Schauen wir uns die Matrixmultiplikation Schritt für Schritt anhand eines Beispiels an. Sie sollten jedoch sofort beachten, dass nicht alle Matrizen multipliziert werden können. Wenn wir die Matrix $A$ mit der Matrix $B$ multiplizieren wollen, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix $B$ ist (solche Matrizen werden oft so genannt). vereinbart). Beispielsweise kann die Matrix $A_(5\times 4)$ (die Matrix enthält 5 Zeilen und 4 Spalten) nicht mit der Matrix $F_(9\times 8)$ (9 Zeilen und 8 Spalten) multipliziert werden, da die Zahl Anzahl der Spalten der Matrix $A $ ist nicht gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix $F$, d.h. $4\neq 9$. Sie können aber die Matrix $A_(5\times 4)$ mit der Matrix $B_(4\times 9)$ multiplizieren, da die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix $ ist B$. In diesem Fall ist das Ergebnis der Multiplikation der Matrizen $A_(5\times 4)$ und $B_(4\times 9)$ die Matrix $C_(5\times 9)$, die 5 Zeilen und 9 Spalten enthält: Beispiel Nr. 3 Gegebene Matrizen: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ und $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Finden Sie die Matrix $C=A\cdot B$. Lassen Sie uns zunächst sofort die Größe der Matrix $C$ bestimmen. Da die Matrix $A$ die Größe $3\times 4$ hat und die Matrix $B$ die Größe $4\times 2$ hat, beträgt die Größe der Matrix $C$: $3\times 2$: Als Ergebnis des Produkts der Matrizen $A$ und $B$ sollten wir also eine Matrix $C$ erhalten, die aus drei Zeilen und zwei Spalten besteht: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Wenn die Bezeichnung von Elementen Fragen aufwirft, dann können Sie sich das vorherige Thema „Matrizen. Arten von Matrizen. Grundbegriffe“ ansehen, in dem zu Beginn die Bezeichnung von Matrixelementen erläutert wird. Unser Ziel: die Werte aller Elemente der Matrix $C$ zu finden. Beginnen wir mit dem Element $c_(11)$. Um das Element $c_(11)$ zu erhalten, müssen Sie die Summe der Produkte der Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ und der ersten Spalte der Matrix $B$ ermitteln: Um das Element $c_(11)$ selbst zu finden, müssen Sie die Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den entsprechenden Elementen der ersten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren, d. h. das erste Element zum ersten, das zweite zum zweiten, das dritte zum dritten, das vierte zum vierten. Wir fassen die erzielten Ergebnisse zusammen: $$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$ Lassen Sie uns mit der Lösung fortfahren und $c_(12)$ finden. Dazu müssen Sie die Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ und der zweiten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren: Ähnlich wie beim vorherigen haben wir: $$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$ Alle Elemente der ersten Zeile der Matrix $C$ wurden gefunden. Fahren wir mit der zweiten Zeile fort, die mit dem Element $c_(21)$ beginnt. Um es zu finden, müssen Sie die Elemente der zweiten Zeile der Matrix $A$ und der ersten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren: $$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$ Wir finden das nächste Element $c_(22)$, indem wir die Elemente der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den entsprechenden Elementen der zweiten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren: $$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$ Um $c_(31)$ zu finden, multiplizieren Sie die Elemente der dritten Zeile der Matrix $A$ mit den Elementen der ersten Spalte der Matrix $B$: $$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$ Und schließlich müssen Sie, um das Element $c_(32)$ zu finden, die Elemente der dritten Zeile der Matrix $A$ mit den entsprechenden Elementen der zweiten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren: $$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$ Alle Elemente der Matrix $C$ wurden gefunden, es bleibt nur noch zu schreiben, dass $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( array) \right)$ . Oder um es vollständig zu schreiben: $$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$ Antwort: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$. Übrigens gibt es oft keinen Grund, die Position jedes Elements der Ergebnismatrix im Detail zu beschreiben. Für Matrizen mit kleiner Größe können Sie Folgendes tun: $$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$ Es ist auch erwähnenswert, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Das bedeutet im allgemeinen Fall $A\cdot B\neq B\cdot A$. Nur für einige Arten von Matrizen, die aufgerufen werden permutierbar(oder Pendeln) ist die Gleichheit $A\cdot B=B\cdot A$ wahr. Gerade aufgrund der Nichtkommutativität der Multiplikation müssen wir genau angeben, wie wir den Ausdruck mit einer bestimmten Matrix multiplizieren: rechts oder links. Beispielsweise bedeutet der Ausdruck „Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichheit $3E-F=Y$ mit der Matrix $A$ auf der rechten Seite“, dass Sie die folgende Gleichheit erhalten möchten: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$. Transponiert bezüglich der Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ist die Matrix $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, für Elemente, die $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ haben. Einfach ausgedrückt: Um eine transponierte Matrix $A^T$ zu erhalten, müssen Sie die Spalten in der ursprünglichen Matrix $A$ durch die entsprechenden Zeilen nach diesem Prinzip ersetzen: Es gab eine erste Zeile – es wird eine erste Spalte geben ; es gab eine zweite Zeile – es wird eine zweite Spalte geben; Es gab eine dritte Zeile – es wird eine dritte Spalte geben und so weiter. Suchen wir zum Beispiel die transponierte Matrix zur Matrix $A_(3\times 5)$: Wenn dementsprechend die ursprüngliche Matrix eine Größe von $3\times 5$ hatte, dann hat die transponierte Matrix eine Größe von $5\times 3$. Hier wird angenommen, dass $\alpha$, $\beta$ einige Zahlen sind und $A$, $B$, $C$ Matrizen sind. Für die ersten vier Eigenschaften habe ich Namen angegeben, die übrigen können analog zu den ersten vier benannt werden. Vorlesung 1. „Matrizen und grundlegende Operationen auf ihnen.“ Determinanten
Definition.
Matrix Größe M
N, Wo M- anzahl der Zeilen, N- die Anzahl der Spalten, eine sogenannte Zahlentabelle, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet ist. Diese Zahlen werden Matrixelemente genannt. Die Position jedes Elements wird eindeutig durch die Nummer der Zeile und Spalte bestimmt, an deren Schnittpunkt es sich befindet. Die Elemente der Matrix werden bezeichnetA ij, Wo ich- Zeilennummer und J- Spaltennummer. A = Grundlegende Operationen an Matrizen.
Eine Matrix kann entweder aus einer Zeile oder einer Spalte bestehen. Im Allgemeinen kann eine Matrix sogar aus einem Element bestehen. Definition.
Wenn die Anzahl der Matrixspalten gleich der Anzahl der Zeilen ist (m=n), dann wird die Matrix aufgerufen Quadrat.
Definition.
Matrix anzeigen: angerufen Identitätsmatrix.
Definition.
Wenn A
mn
=
A
nm
, dann heißt die Matrix symmetrisch.
Beispiel. Definition.
Quadratische Matrix des Formulars Addition und Subtraktion Matrizen werden auf die entsprechenden Operationen an ihren Elementen reduziert. Die wichtigste Eigenschaft dieser Operationen ist, dass sie nur für Matrizen gleicher Größe definiert. Somit ist es möglich, Matrixadditions- und -subtraktionsoperationen zu definieren: Definition.
Summe (Differenz) Matrizen sind eine Matrix, deren Elemente jeweils die Summe (Differenz) der Elemente der ursprünglichen Matrizen sind. c ij = a ij
b ij C = A + B = B + A. Betrieb Multiplikation (Division) Eine Matrix beliebiger Größe mit einer beliebigen Zahl wird auf die Multiplikation (Division) jedes Elements der Matrix mit dieser Zahl reduziert. (A+B) = A B A( ) = A A Beispiel. Gegebene Matrizen A = 2A = Matrixmultiplikationsoperation.
Definition:
Die Arbeit Matrizen sind eine Matrix, deren Elemente mit den folgenden Formeln berechnet werden können: A
B =
C;
Aus der obigen Definition geht hervor, dass die Operation der Matrixmultiplikation nur für Matrizen definiert ist Die Anzahl der Spalten der ersten davon ist gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten.
Eigenschaften der Matrixmultiplikationsoperation.
1) Matrixmultiplikationnicht kommutativ
, d.h. AB VA, auch wenn beide Produkte definiert sind. Wenn jedoch für irgendwelche Matrizen die Beziehung AB = BA erfüllt ist, dann werden solche Matrizen aufgerufenpermutierbar.
Das typischste Beispiel ist
eine Matrix, die mit jeder anderen Matrix derselben Größe kommutiert. Nur quadratische Matrizen derselben Ordnung können permutierbar sein. Offensichtlich gilt für jede Matrize die folgende Eigenschaft: A
Ö =
Ö;
Ö
A =
Ö,
wo O – null Matrix. 2) Matrixmultiplikationsoperation assoziativ, diese. wenn die Produkte AB und (AB)C definiert sind, dann sind BC und A(BC) definiert und es gilt die Gleichheit: (AB)C=A(BC). 3) Matrixmultiplikationsoperation verteilend in Bezug auf die Addition, d.h. Wenn die Ausdrücke A(B+C) und (A+B)C sinnvoll sind, dann gilt entsprechend: (A + B)C = AC + BC. 4) Wenn das Produkt AB definiert ist, dann für eine beliebige Zahl
Folgendes Verhältnis ist korrekt: (AB) = (
A)
B =
A(
B).
5) Wenn das Produkt AB definiert ist, dann ist das Produkt B T A T definiert und es gilt die Gleichheit: (AB) T = B T A T, wobei Index T bezeichnet transponiert Matrix. 6) Beachten Sie auch, dass für alle quadratischen Matrizen det (AB) = detA detB. Was Dies wird weiter unten besprochen. Definition
.
Matrix B wird aufgerufen transponiert Matrix A und der Übergang von A nach B Umsetzung, wenn die Elemente jeder Zeile der Matrix A in der gleichen Reihenfolge in die Spalten der Matrix B geschrieben werden. A = mit anderen Worten, b ji = a ij . Als Konsequenz aus der vorherigen Eigenschaft (5) können wir Folgendes schreiben: (ABC ) T = C T B T A T , vorausgesetzt, dass das Produkt der Matrizen ABC definiert ist. Beispiel.
Gegebene Matrizen A = A T =
C =
Beispiel. Finden Sie das Produkt der Matrizen A = und B = AB = VA = Beispiel. Finden Sie das Produkt der Matrizen A= AB = Determinanten(Determinanten). Definition.
Bestimmend quadratische Matrix A= det A = M 1 zu– Determinante der Matrix, die aus der ursprünglichen Matrix durch Löschen der ersten Zeile und der k-ten Spalte erhalten wird. Es ist zu beachten, dass Determinanten nur quadratische Matrizen haben, d.h. Matrizen, bei denen die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist. F det A = Im Allgemeinen kann die Determinante aus jeder Zeile oder Spalte einer Matrix berechnet werden, d. h. die Formel stimmt: detA = Offensichtlich können verschiedene Matrizen die gleichen Determinanten haben. Die Determinante der Identitätsmatrix ist 1. Für die angegebene Matrix A wird die Zahl M 1k aufgerufen zusätzliches Nebenfach Matrixelement a 1 k . Daraus können wir schließen, dass jedes Element der Matrix sein eigenes zusätzliches Nebenelement hat. Zusätzliche Minderjährige gibt es nur in quadratischen Matrizen. Definition.
Zusätzliches Nebenfach eines beliebigen Elements einer quadratischen Matrix a ij ist gleich der Determinante der Matrix, die aus der ursprünglichen Matrix durch Löschen der i-ten Zeile und j-ten Spalte erhalten wird. Eigentum1.
Eine wichtige Eigenschaft von Determinanten ist die folgende Beziehung: det A = det A T ; Eigentum
2.
det (A
B) = det A
det B. Eigentum 3.
det (AB) =
detA
detB Eigentum 4.
Wenn Sie zwei beliebige Zeilen (oder Spalten) in einer quadratischen Matrix vertauschen, ändert die Determinante der Matrix das Vorzeichen, ohne dass sich der Absolutwert ändert. Eigentum 5.
Wenn Sie eine Spalte (oder Zeile) einer Matrix mit einer Zahl multiplizieren, wird ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert. Eigentum 6.
Wenn in Matrix A die Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, ist ihre Determinante gleich Null. Definition:
Die Spalten (Zeilen) einer Matrix werden aufgerufen linear abhängig, wenn es eine lineare Kombination davon gleich Null gibt, die nicht triviale (ungleich Null) Lösungen hat. Eigentum 7.
Wenn eine Matrix eine Nullspalte oder eine Nullzeile enthält, ist ihre Determinante Null. (Diese Aussage ist offensichtlich, da die Determinante anhand der Nullzeile oder -spalte genau berechnet werden kann.) Eigentum 8.
Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen einer ihrer Zeilen (Spalten) addiert (subtrahiert) werden und mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert werden. Eigentum 9.
Wenn die folgende Beziehung für die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte der Matrix gilt:D
=
D
1
D
2
,
e
=
e
1
e
2
,
F
= det(AB).
1. Methode: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26. 2. Methode: AB =
– 152 = -26.
Matrizen, Grundkonzepte. Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle A, die aus den Elementen einer bestimmten Menge gebildet wird und aus m Zeilen und n Spalten besteht. Quadratische Matrix – wobei m=n. Zeile (Zeilenvektor) – die Matrix besteht aus einer Zeile. Spalte (Spaltenvektor) – die Matrix besteht aus einer Spalte. Transponierte Matrix – Eine Matrix, die aus Matrix A durch Ersetzen von Zeilen durch Spalten erhalten wird. Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonale liegen, gleich Null sind. Aktionen auf Matrizen. 1) Multiplikation und Division einer Matrix mit einer Zahl. Das Produkt aus Matrix A und Zahl α heißt Matrix Axα, deren Elemente aus den Elementen der Matrix A durch Multiplikation mit der Zahl α erhalten werden. Beispiel: 7xA, , 2) Matrixmultiplikation. Die Operation der Multiplikation zweier Matrizen wird nur für den Fall eingeführt, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. Beispiel: ,, АхВ= Eigenschaften der Matrixmultiplikation: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) = AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B, (A+B) T =A T +B T (AB) T = B T A T 3) Addition, Subtraktion. Die Summe (Differenz) von Matrizen ist eine Matrix, deren Elemente jeweils die Summe (Differenz) der Elemente der ursprünglichen Matrizen sind. c ij = a ij b ij C = A + B = B + A. Kontinuität von Funktionen an einem Punkt, in einem Intervall, in einem Segment. Funktionsunterbrechungspunkte und ihre Klassifizierung. Eine Funktion f(x), definiert in der Umgebung eines bestimmten Punktes x 0, heißt stetig am Punkt x 0, wenn der Grenzwert der Funktion und ihr Wert an diesem Punkt gleich sind, d.h. Die Funktion f(x) heißt stetig am Punkt x 0, wenn es für jede positive Zahl e>0 eine Zahl D>0 gibt, so dass für jedes x die Bedingung erfüllt Ungleichheit wahr Die Funktion f(x) heißt stetig am Punkt x = x 0, wenn das Inkrement der Funktion am Punkt x 0 ein infinitesimaler Wert ist. f(x) =f(x 0) +a(x) wobei a(x) bei x®x 0 unendlich klein ist. Eigenschaften stetiger Funktionen. 1) Die Summe, Differenz und das Produkt von am Punkt x 0 stetigen Funktionen ist eine am Punkt x 0 stetige Funktion. 2) Der Quotient zweier stetiger Funktionen ist eine stetige Funktion, sofern g(x) im Punkt x 0 ungleich Null ist. 3) Die Überlagerung stetiger Funktionen ist eine stetige Funktion. Diese Eigenschaft kann wie folgt geschrieben werden: Wenn u=f(x),v=g(x) am Punkt x = x 0 stetige Funktionen sind, dann ist die Funktion v=g(f(x)) an diesem Punkt auch eine stetige Funktion. Funktion F(X) wird genannt kontinuierlich im Intervall(A,B), wenn es an jedem Punkt dieses Intervalls stetig ist. Eigenschaften von Funktionen, die in einem Intervall stetig sind. Eine Funktion, die in einem Intervall stetig ist, ist auf dieses Intervall beschränkt, d. h. die Bedingung –M f(x) M ist auf dem Segment erfüllt. Der Beweis dieser Eigenschaft basiert auf der Tatsache, dass eine Funktion, die im Punkt x 0 stetig ist, in einer bestimmten Umgebung davon beschränkt ist, und wenn man das Segment in unendlich viele Segmente teilt, die auf den Punkt „kontrahiert“ werden x 0, dann wird eine bestimmte Umgebung des Punktes x 0 gebildet. Eine Funktion, die auf dem Segment stetig ist, nimmt die größten und kleinsten Werte darauf an. Diese. Es gibt Werte x 1 und x 2 mit f(x 1) = m, f(x 2) = M, und m f(x) M Notieren wir uns diese größten und kleinsten Werte, die die Funktion mehrmals auf einem Segment annehmen kann (zum Beispiel f(x) = sinx). Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert einer Funktion in einem Intervall wird als Oszillation der Funktion in einem Intervall bezeichnet. Eine auf dem Intervall stetige Funktion nimmt auf diesem Intervall alle Werte zwischen zwei beliebigen Werten an. Wenn die Funktion f(x) im Punkt x = x 0 stetig ist, dann gibt es eine Umgebung des Punktes x 0, in der die Funktion ihr Vorzeichen behält. Wenn eine Funktion f(x) auf einem Segment stetig ist und an den Enden des Segments Werte mit entgegengesetzten Vorzeichen hat, dann gibt es innerhalb dieses Segments einen Punkt, an dem f(x) = 0 ist. Es könnte nützlich sein zu lesen:
(1.1) + 
= 
Wo (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
Geben Sie im angezeigten Dialog die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix an.
Abb.2 Transponierende Matrizen
In MathCAD können Sie Matrizen sowohl addieren als auch voneinander subtrahieren. Die für diese Operatoren verwendeten Symbole sind <+>
oder <->
entsprechend. Die Matrizen müssen die gleiche Dimension haben, sonst wird eine Fehlermeldung generiert. Jedes Element der Summe zweier Matrizen ist gleich der Summe der entsprechenden Elemente der Matrixbefehle (Beispiel in Abb. 3).
Zusätzlich zum Hinzufügen von Matrizen unterstützt MathCAD das Hinzufügen einer Matrix mit einer skalaren Größe, d. h. Nummer (Beispiel in Abb. 4). Jedes Element der resultierenden Matrix ist gleich der Summe des entsprechenden Elements der ursprünglichen Matrix und einer skalaren Größe.
Um ein Multiplikationssymbol einzugeben, müssen Sie die Sternchentaste drücken<*>oder nutzen Sie die Symbolleiste Matrix durch Drücken einer Taste darauf Skalarprodukt (Multiplikation)(Abb. 1). Die Matrixmultiplikation wird standardmäßig mit einem Punkt gekennzeichnet, wie im Beispiel in Abbildung 6 gezeigt. Das Matrixmultiplikationssymbol kann auf die gleiche Weise wie in skalaren Ausdrücken ausgewählt werden.
Ein weiteres Beispiel für die Multiplikation eines Vektors mit einer Zeilenmatrix und umgekehrt einer Zeile mit einem Vektor ist in Abb. dargestellt. 7. Die zweite Zeile dieses Beispiels zeigt, wie die Formel aussieht, wenn Sie die Anzeige des Multiplikationsoperators auswählen Kein Platz (zusammen). Derselbe Multiplikationsoperator wirkt jedoch auf zwei Vektoren unterschiedlich .
Addition und Subtraktion von Matrizen.
Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren.
Produkt zweier Matrizen.
Einige Eigenschaften von Operationen auf Matrizen.
= E
,
- symmetrische Matrix
angerufen Diagonale Matrix.
; B= 
, finde 2A + B.
, 2A + B = 
.
.
A E = E A = A
A(B + C) = AB + AC
; B = EIN T = 
;
, B = , C = 
und Zahl = 2. Finden Sie A T B+ C.
;
A T B =
=
=
;
; A T B+ C = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, B = 
= 
= 
.
ist eine Zahl, die aus den Elementen einer Matrix mit der Formel berechnet werden kann:
, wobei (1)
Mit Formel (1) können Sie die Determinante einer Matrix aus der ersten Zeile berechnen; es gilt auch die Formel zur Berechnung der Determinante aus der ersten Spalte:
(2)
, i = 1,2,…,n. (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.Frage 2.
.