اعداد همزمان اول - تعریف، مثال ها و ویژگی ها. اعداد همزمان اول
آنچه متقابل است اعداد اول?
تعریف اعداد همزمان
تعریف اعداد همزمان اول:
اعداد هم اول اعداد صحیحی هستند که هیچ عامل مشترکی جز یک ندارند.
مثال های اعداد همزمان
مثالی از اعداد همزمان اول:
2 و 3 غیر از یک مقسوم علیه مشترک دیگری ندارند.
مثال دیگری از اعداد همزمان اول:
3 و 7 هیچ عامل مشترک دیگری جز یکی ندارند.
مثال دیگری از اعداد همزمان اول:
11 و 13 هیچ عامل مشترک دیگری جز یکی ندارند.
اکنون می‌توانیم به این سؤال پاسخ دهیم که اعداد همزمان اول یعنی چه؟
اعداد همزمان به چه معناست؟
اینها اعداد صحیحی هستند که به جز یک مقسوم علیه مشترک ندارند.
دو عدد همزمان اول
هر کدام از این جفت ها دو عدد نسبتا اول هستند.
11 و 15
15 و 16
16 و 23
مقسوم علیه های مشترک اعداد همزمان اول
مقسوم‌گیرنده‌های مشترک اعداد همزمان اول تنها یکی هستند، همانطور که در تعریف اعداد همزمان اول آمده است.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد هم اول
بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد همزمان یک است، همانطور که در تعریف اعداد همزمان اول آمده است.
آیا اعداد هم اول هستند؟
آیا اعداد 3 و 13 هم اول هستند؟ بله، چون جز یک مقسوم علیه مشترک ندارند.
آیا اعداد 3 و 12 هم اول هستند؟ خیر، زیرا مقسوم علیه مشترک آنها 1 و 3 است. و با تعریف اعداد هم اول، مقسوم علیه مشترک فقط باید یک باشد.
آیا اعداد 3 و 108 هم اول هستند؟ خیر، زیرا مقسوم علیه مشترک آنها 1 و 3 است. و با تعریف اعداد هم اول، مقسوم علیه مشترک فقط باید یک باشد.
آیا اعداد 108 و 5 هم اول هستند؟ بله، چون جز یک مقسوم علیه مشترک ندارند.
اطلاعات این مقاله موضوع " اعداد همزمان اول" ابتدا تعریف دو عدد همزمان اول و همچنین تعریف سه یا چند عدد همزمان اول ارائه شده است. پس از این، نمونه هایی از اعداد همزمان اول آورده شده است، و نشان داده می شود که چگونه می توان ثابت کرد که اعداد داده شده همزمان هستند. موارد زیر ویژگی های اساسی اعداد همزمان اول را فهرست کرده و اثبات می کند. در نهایت، اعداد اول دوتایی ذکر شده اند، زیرا آنها ارتباط نزدیکی با اعداد همزمان اول دارند.
پیمایش صفحه.
اغلب کارهایی وجود دارد که در آنها باید ثابت کنید که اعداد صحیح داده شده نسبتاً اول هستند. اثبات به محاسبه بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک اعداد داده شده و بررسی gcd برای دیدن اینکه آیا برابر با یک است خلاصه می شود. قبل از محاسبه GCD نگاهی به جدول اعداد اول نیز مفید است: ناگهان اعداد صحیح اصلی اول می شوند و می دانیم که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد اول برابر با یک است. بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.
مثال.
ثابت کنید که اعداد 84 و 275 نسبتا اول هستند.
راه حل.
بدیهی است که این اعداد اول نیستند، بنابراین نمی توان بلافاصله در مورد اول نسبی اعداد 84 و 275 صحبت کرد و باید gcd را محاسبه کنیم. ما از الگوریتم اقلیدسی برای یافتن GCD استفاده می کنیم: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1، بنابراین، gcd(84, 275)=1. این ثابت می کند که اعداد 84 و 275 نسبتا اول هستند.
تعریف اعداد همزمان را می توان به سه عدد یا بیشتر تعمیم داد.
تعریف.
اعداد صحیح a 1 , a 2 , …, a k , k>2 نامیده می شوند دوطرفه نخست، اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد برابر با یک باشد.
از تعریف بیان شده چنین بر می آید که اگر مجموعه خاصی از اعداد صحیح دارای مقسوم علیه مشترک مثبت غیر از یک باشد، آنگاه این اعداد صحیح همزمان نیستند.
بیایید مثال بزنیم. سه عدد صحیح -99، 17 و -27 نسبتا اول هستند. هر مجموعه ای از اعداد اول مجموعه ای از اعداد همزمان اول را تشکیل می دهد، به عنوان مثال، 2، 3، 11، 19، 151، 293 و 677 اعداد همزمان اول هستند. و چهار عدد 12، −9، 900 و −72 هم اول نیستند زیرا یک مقسوم علیه مشترک مثبت 3 به غیر از 1 دارند. اعداد 17، 85 و 187 نیز نسبتاً اول نیستند، زیرا هر یک از آنها بر 17 بخش پذیر است.
معمولاً مشخص نیست که برخی اعداد نسبتاً اول هستند و این واقعیت باید ثابت شود. برای اینکه بفهمید اعداد داده شده هم اول هستند یا خیر، باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد را پیدا کنید و بر اساس تعریف اعداد همزمان اول نتیجه بگیرید.
مثال.
آیا اعداد 331، 463 و 733 نسبتا اول هستند؟
راه حل.
با نگاهی به جدول اعداد اول، متوجه می شویم که هر یک از اعداد 331، 463 و 733 اول هستند. بنابراین، آنها یک مقسوم علیه مشترک مثبت دارند - یک. بنابراین، سه عدد 331، 463 و 733 اعداد نسبتا اول هستند.
پاسخ:
آره.
مثال.
ثابت کنید که اعداد −14، 105، −2 107 و −91 هم اول نیستند.
راه حل.
برای اثبات اینکه این اعداد نسبتا اول نیستند، می توانید gcd آنها را پیدا کنید و مطمئن شوید که برابر با یک نیست. این کاری است که ما انجام خواهیم داد.
از آنجایی که مقسوم علیه اعداد صحیح منفی با مقسوم علیه های اعداد مربوطه منطبق است، پس GCD(-14، 105، 2 107، 91-)= GCD(14, 105, 2 107, 91). با عطف به مطالب موجود در مقاله یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه یا چند عدد، متوجه می شویم که GCD(14، 105، 2 107، 91) = 7. بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه اعداد اصلی هفت است، بنابراین این اعداد هم اول نیستند.
خواص اعداد همزمان اول
اعداد همزمان اول دارای تعدادی ویژگی هستند. بیایید به اصل نگاه کنیم خواص اعداد همزمان اول.
اعدادی که از تقسیم اعداد صحیح a و b بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها به دست می آیند، هم اول هستند، یعنی a:GCD(a,b) و b:GCD(a,b) هم اول هستند.
ما این خاصیت را زمانی که خواص GCD را بررسی کردیم ثابت کردیم.
ویژگی در نظر گرفته شده اعداد همزمان اول به ما امکان می دهد جفت اعداد همزمان اول را پیدا کنیم. برای این کار کافی است هر دو عدد صحیح را برداریم و آنها را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک تقسیم کنیم، اعداد به دست آمده نسبتا اول خواهند بود.
برای اینکه اعداد صحیح a و b نسبتاً اول باشند، کافی و ضروری است که اعداد صحیح u 0 و v 0 وجود داشته باشند به طوری که a·u 0 +b·v 0 =1.
اجازه دهید ابتدا ضرورت را اثبات کنیم.
بگذارید اعداد a و b نسبتا اول باشند. سپس با تعریف اعداد همزمان، gcd(a, b)=1. و از ویژگی های GCD می دانیم که برای اعداد صحیح a و b رابطه Bezout a·u 0 +b·v 0 =GCD(a, b) صادق است. بنابراین، a·u 0 +b·v 0 =1.
برای اثبات کفایت باقی می ماند.
اجازه دهید برابری a·u 0 +b·v 0 =1 درست باشد. از آنجایی که GCD(a, b) هم a و هم b را تقسیم می کند، پس GCD(a, b) به دلیل ویژگی های تقسیم پذیری، باید مجموع a·u 0 +b·v 0 و بنابراین وحدت را تقسیم کند. و این تنها زمانی امکان پذیر است که GCD(a,b)=1. بنابراین، a و b اعداد نسبتا اول هستند.
خاصیت بعدی اعداد همزمان اول این است: اگر اعداد a و b هم اول باشند و حاصلضرب a·c بر b بخش پذیر باشد، c بر b بخش پذیر است.
در واقع، از آنجایی که a و b نسبتا اول هستند، پس از ویژگی قبلی برابری a·u 0 +b·v 0 =1 را داریم. با ضرب هر دو طرف این تساوی در c، a·c·u 0 +b·c·v 0 =c داریم. جمله اول مجموع a·c·u 0 +b·c·v 0 بر b تقسیم می شود، زیرا a·c بر اساس شرط بر b تقسیم می شود، جمله دوم این مجموع نیز بر b تقسیم می شود، زیرا یکی از ضرایب برابر با b است، بنابراین کل مجموع بر b تقسیم می شود. و چون مجموع a·c·u 0 +b·c·v 0 برابر با c است، پس c بر b بخش پذیر است.
اگر اعداد a و b نسبتاً اول باشند، gcd(a c, b) = gcd(c, b) .
اجازه دهید اولاً نشان دهیم که gcd(ac,b) gcd(c,b) را تقسیم می‌کند و دوم اینکه gcd(c, b) gcd(a c, b) را تقسیم می‌کند، این برابری GCD (a c, b) را ثابت می‌کند. =GCD(c,b).
GCD(a c, b) هم a c و هم b را تقسیم می کند و چون gcd(a c, b) b را تقسیم می کند، b c را نیز تقسیم می کند. یعنی gcd(a c, b) هم a c و هم b c را تقسیم می کند، بنابراین به دلیل ویژگی های بزرگترین مقسوم علیه مشترک، gcd(a c, b c) را نیز تقسیم می کند که با توجه به ویژگی های gcd برابر با c است. GCD(a, b)=c. بنابراین، gcd(a c, b) هم b و هم c را تقسیم می کند، بنابراین gcd(c, b) را نیز تقسیم می کند.
از سوی دیگر، GCD(c, b) هم c و هم b را تقسیم می کند و چون c را تقسیم می کند، a·c را نیز تقسیم می کند. بنابراین، gcd(c, b) هر دو a c و b را تقسیم می کند، بنابراین، gcd(a c, b) را نیز تقسیم می کند.
بنابراین نشان دادیم که gcd(ac,b) و gcd(c,b) متقابلاً یکدیگر را تقسیم می‌کنند، یعنی با هم برابر هستند.
اگر هر یک از اعداد a 1 , a 2 , …, a k با هر یک از اعداد b 1 , b 2 , …, b m هم اول باشد (که k و m تعدادی اعداد طبیعی هستند)، آنگاه حاصل ضرب a 1 · a 2 · … · a k و b 1 · b 2 ·…·b m اعداد همزمان اول هستند، به ویژه، اگر a 1 =a 2 =…=a k =a و b 1 =b 2 =…=b m =b، آنگاه a k و b m هستند. اعداد همزمان اول
خاصیت قبلی اعداد همزمان اول به ما اجازه می دهد که یک سری برابری های فرم را بنویسیم GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)= GCD(a 2 ·…·a k , b m)=…=GCD(a k , b m)=1، که در آن آخرین انتقال ممکن است، زیرا a k و b m بر اساس شرط متقابلا اعداد اول هستند. بنابراین، GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)=1.
اکنون با نشان دادن 1 ·a 2 ·…·a k =A، داریم
GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)= GCD(b 1 · b 2 ·…·b m , A)=
=GCD(b 2 ·…·b m , A)=… =GCD(b m , A)=1
(آخرین انتقال به دلیل آخرین برابری از پاراگراف قبلی معتبر است). به این ترتیب به برابری رسیدیم GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)=1، که ثابت می کند که حاصل ضرب a 1 ·a 2 ·…·a k و b 1 ·b 2 ·…·b m اعداد هم اول هستند.
این بررسی ما را در مورد ویژگی‌های اساسی اعداد هم اول به پایان می‌رساند.
اعداد اول زوجی - تعاریف و مثالها
از طریق اعداد همزمان اول داده می شود شناسایی جفت اعداد اول.
تعریف.
اعداد صحیح a 1، a 2، ...، a k که هر کدام نسبتاً اول نسبت به بقیه هستند، نامیده می شوند. اعداد اول جفتی.
بیایید مثالی از اعداد اول جفتی بزنیم. اعداد 14، 9، 17 و 25 دو به دو اول هستند، زیرا جفت اعداد 14 و 9، 14 و 17، 14 و 25-، 9 و 17، 9 و 25-، 17 و 25 اعداد هم اول هستند. در اینجا توجه می کنیم که اعداد اول زوجی همیشه هم اول هستند.
از طرف دیگر، اعداد نسبتاً اول همیشه جفت اول نیستند، همانطور که مثال زیر تأیید می کند. اعداد 8، 16، 5 و 15 جفت اول نیستند، زیرا اعداد 8 و 16 هم اول نیستند. با این حال، اعداد 8، 16، 5 و 15 نسبتا اول هستند. بنابراین، 8، 16، 5 و 15 اعداد نسبتا اول هستند، اما اعداد اول زوجی نیستند.
به خصوص باید مجموعه تعداد معینی از اعداد اول را برجسته کنیم. این اعداد همیشه هم نسبتا اول و هم به صورت جفتی اول هستند. به عنوان مثال، 71، 443، 857، 991 هر دو اعداد اول و اول زوجی هستند.
همچنین مشخص است که چه زمانی ما در موردحدود دو عدد صحیح، سپس برای آنها مفاهیم "اول زوجی" و "متقابل اول" منطبق است.
کتابشناسی - فهرست کتب.
- ویلنکین N.Ya. و دیگران. ریاضیات. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.
- وینوگرادوف I.M. مبانی نظریه اعداد.
- میخلوویچ ش.ح. نظریه اعداد
- کولیکوف ال.یا. و دیگران مجموعه مسائل جبر و نظریه اعداد: آموزشبرای دانشجویان فیزیک و ریاضی تخصص های موسسات آموزشی.
درک کتاب های درسی ریاضی گاهی دشوار است. درک زبان خشک و روشن نویسندگان همیشه آسان نیست. و موضوعات آنجا همیشه به هم پیوسته و متقابل هستند. برای تسلط بر یک مبحث، باید تعدادی از موضوعات قبلی را مطرح کنید، و حتی گاهی اوقات کل کتاب درسی را ورق بزنید. دشوار؟ آره. بیایید ریسک دور زدن این مشکلات را بپذیریم و سعی کنیم رویکردی غیر استاندارد برای موضوع پیدا کنیم. بیایید یک نوع گشت و گذار در سرزمین اعداد داشته باشیم. با این حال، ما همچنان تعریف را یکسان می‌گذاریم، زیرا قوانین ریاضی را نمی‌توان لغو کرد. بنابراین، اعداد همزمان اول، اعداد طبیعی با مقسوم علیه مشترک برابر با یک هستند. واضح است؟ کاملا.
برای مثال تصویری تر، اجازه دهید اعداد 6 و 13 را در نظر بگیریم. هر دو بر یک بخش پذیر هستند (coprime). اما اعداد 12 و 14 نمی توانند چنین باشند، زیرا نه تنها بر 1، بلکه بر 2 نیز قابل تقسیم هستند. فقط با 1، بلکه در 7.
اعداد همزمان اول به صورت زیر نشان داده می شوند: آ، y) = 1.
حتی ساده تر می توان گفت: مقسوم علیه مشترک (بزرگترین) در اینجا برابر با یک است.
چرا ما به چنین دانشی نیاز داریم؟ دلایل کافی وجود دارد.
به طور متقابل در برخی از سیستم های رمزگذاری گنجانده شده است. کسانی که با رمزهای Hill یا سیستم جایگزینی سزار کار می کنند، می دانند: بدون این دانش، نمی توانید به جایی برسید. اگر در مورد ژنراتورها شنیده اید، بعید است که جرات انکار کنید: اعداد نسبتاً اول نیز در آنجا استفاده می شوند.
حالا بیایید در مورد راه های بدست آوردن چنین موارد ساده صحبت کنیم، همانطور که می دانید، آنها فقط می توانند دو مقسوم علیه داشته باشند: آنها به خودشان و بر یک تقسیم می شوند. فرض کنید 11، 7، 5، 3 اعداد اول هستند، اما 9 نیست، زیرا این عدد قبلا بر 9، 3 و 1 بخش پذیر است.
و اگر آ- عدد اول است و در- از مجموعه (1، 2، ... آ- 1)، سپس تضمین شده است ( آ, در) = 1 یا اعداد همزمان اول - آو در.
این، در عوض، حتی یک توضیح نیست، بلکه یک تکرار یا جمع‌بندی آن چیزی است که گفته شد.
به دست آوردن اعداد اول امکان پذیر است، اما برای اعداد بزرگ (مثلاً میلیاردها) این روش بسیار طولانی است، اما بر خلاف فرمول های فوق العاده که گاهی اوقات اشتباه می کنند، قابل اعتمادتر است.
با انتخاب می توانید کار کنید در > آ. برای این کار، y طوری انتخاب می شود که عدد روشن باشد آبه اشتراک نگذارد برای انجام این کار، یک عدد اول در یک عدد طبیعی ضرب می‌شود و یک مقدار اضافه می‌شود (یا برعکس، کم می‌شود) (به عنوان مثال، آر) که کمتر است آ:
y = آر a + k
اگر مثلاً آ = 71, آر= 3، q = 10، سپس، بر این اساس، دردر اینجا برابر با 713 خواهد بود. انتخاب دیگری با درجه امکان پذیر است.
اعداد مرکب، بر خلاف اعداد نسبتا اول، بر خود، بر 1 و بر اعداد دیگر (همچنین بدون باقیمانده) بخش پذیر هستند.
به عبارت دیگر (به جز یکی) به مرکب و ساده تقسیم می شوند.
اعداد اول اعداد طبیعی هستند که مقسوم‌گیرنده‌های غیر بدیهی (متفاوت از خود عدد و واحد) ندارند. نقش آنها به ویژه در رمزنگاری مدرن امروزی که به سرعت در حال توسعه است، مهم است، که به لطف آن، رشته ای که قبلاً یک رشته بسیار انتزاعی در نظر گرفته می شد، بسیار مورد تقاضا قرار گرفته است: الگوریتم های حفاظت از داده ها دائماً در حال بهبود هستند.
بزرگترین عدد اول توسط چشم پزشک مارتین نواک بدست آمد که در پروژه GIMPS (محاسبات توزیع شده) به همراه سایر علاقه مندان شرکت کرد که تعداد آنها حدود 15 هزار نفر بود. محاسبات شش نفر طول کشید. برای سالهای طولانی. دو و نیم دوجین کامپیوتر واقع در کلینیک چشم نواک درگیر بودند. حاصل کار و پشتکار تایتانیک عدد ۲۲۵۹۶۴۹۵۱-۱ بود که با ۷۸۱۶۲۳۰ رقم اعشار نوشته شد. اتفاقا خود رکورد تعداد زیادیشش ماه قبل از این افتتاحیه روی صحنه رفت. و نیم میلیون نشانه کمتر بود.
نابغه ای که می خواهد عددی را نامگذاری کند، مدت آن کجاست نماد دهی"پرش" از علامت ده میلیون، شانس دریافت نه تنها شهرت جهانی، بلکه 100000 دلار نیز وجود دارد. به هر حال، برای عددی که از مرز یک میلیون رقم گذشت، نایان خیراتوال مبلغ کمتری (50000 دلار) دریافت کرد.
عقب به جلو
توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.
این اثر به همراه توضیح در نظر گرفته شده است موضوع جدید. معلم تکالیف عملی و مشق شب را با صلاحدید خود انتخاب می کند.
تجهیزات:کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش
پیشرفت توضیح
اسلاید 1. بزرگترین مقسوم علیه مشترک.
کار شفاهی.
1. محاسبه کنید:
آ) 0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?ب) 5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?
پاسخ ها: الف) 8; ب) 3.
2. این جمله را رد کنید: عدد "2" مقسوم علیه مشترک همه اعداد است."
بدیهی است که اعداد فرد بر 2 بخش پذیر نیستند.
3- به اعدادی که مضرب 2 هستند چه نامیده می شوند؟
4- عددی را که مقسوم علیه هر عددی است نام ببرید.
در نوشتار.
1. عدد 2376 را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.
2. همه چیز را پیدا کنید تقسیم کننده های مشترکشماره 18 و 60
بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 18 و 60 کدام است؟
سعی کنید فرمول بندی کنید که چه عددی را بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد طبیعی می نامند
قانون. بزرگترین عدد طبیعی را که می توان بدون باقیمانده تقسیم کرد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک نامیده می شود.
آنها می نویسند: GCD (18؛ 60) = 6.
لطفاً به من بگویید، آیا روش در نظر گرفته شده برای یافتن GCD راحت است؟
ممکن است اعداد خیلی بزرگ باشند و فهرست کردن همه مقسوم‌کننده‌ها دشوار باشد.
بیایید سعی کنیم راه دیگری برای یافتن GCD پیدا کنیم.
بیایید اعداد 18 و 60 را در فاکتورهای اول فاکتور کنیم:
18 = 
از مقسوم علیه های عدد 18 مثال بزنید.
اعداد: 1; 2 3; 6; 9; 18.
از مقسوم علیه های عدد 60 مثال بزنید.
اعداد: 1; 2 3; 4; 5 6; 10; 12; 15; 20; سی 60.
از مقسوم علیه های مشترک اعداد 18 و 60 مثال بزنید.
اعداد: 1; 2 3; 6.
چگونه می توان بزرگترین مقسوم علیه 18 و 60 را پیدا کرد؟
الگوریتم.
1. اعداد داده شده را به ضرایب اول تقسیم کنید.
2. فاکتورهای اعداد را با هم مقایسه کنید و بر روی آنها خط بزنید.
3. حاصل ضرب عوامل باقیمانده را محاسبه کنید.
اسلاید 4. اعداد همزمان.
ورزش. gcd اعداد 24 و 35 را پیدا کنید.
قانون. اعداد صحیحاگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها 1 باشد، کوپرایم نامیده می شوند.
جالب است!
- مقسوم علیه 18: 1; 2 3; 6; 9; 18.
- مقسوم علیه 60: 1; 2 3; 4; 5 6; 10; 12; 15; 20; سی 60.
- GCD (18;60) = 6.
- مقسوم علیه 6: 1; 2 3; 6.
- توجه داشته باشید که اعداد 1 هستند. 2 3; 6 مقسوم علیه مشترک اعداد 18 و 60 است.
- به عنوان مثال، GCD (108;196) = 4. این بدان معنی است که می توانیم بلافاصله بگوییم که مقسوم علیه های مشترک اعداد 108 و 196 مقسوم علیه های عدد 4، یعنی 1 هستند. 2 4.
هر مقسوم علیه عدد GCD (a;b) مقسوم علیه مشترک اعداد a و b است و برعکس، هر یک از مقسوم علیه های مشترک آنها مقسوم علیه عدد GCD (a;b) است.
شاید خواندن آن مفید باشد:
- چرا خواب می بینید که مادری فرزندی به دنیا آورده است؟;
- چگونه یک مرد دلو را حفظ کنیم چگونه یک مرد دلو را به یک زن لئو ببریم;
- چگونه یک مرد ماهی را بر یک زن سرطانی پیروز کنیم؟;
- نحوه تشخیص دلار تقلبی;
- تعبیر خواب: چرا در خواب لباس می بینید؟;
- هایلایت موهای قرمز برای افراد خارق العاده رنگ مو با تارهای قرمز;
- نحوه انجام سریع مانیکور روی ناخن های کوتاه در خانه - بهترین ایده ها با عکس ناخن های کوتاه در خانه;
- چگونه در یک روز وزن کم کنیم: توصیه افراد با تجربه;