قطر متوازی الاضلاع چقدر است. ویژگی های قطرهای متوازی الاضلاع. دروس کامل - هایپر مارکت دانش

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت زوجی موازی هستند. این تعریف در حال حاضر کافی است، زیرا خواص باقیمانده متوازی الاضلاع از آن تبعیت می کند و در قالب قضایا اثبات می شود.

خصوصیات اصلی متوازی الاضلاع عبارتند از:

  • متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است.
  • متوازی الاضلاع دارای اضلاع مخالف به صورت جفت هستند.
  • متوازی الاضلاع دارای زوایای متقابل است که به صورت جفت مساوی هستند.
  • مورب های متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع نصف می شوند.

متوازی الاضلاع - یک چهار ضلعی محدب

اجازه دهید ابتدا این قضیه را اثبات کنیم متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است. یک چند ضلعی وقتی محدب است که هر ضلعی از آن به یک خط مستقیم کشیده شود، تمام ضلع های دیگر چند ضلعی در همان سمت این خط مستقیم قرار می گیرند.

اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، که در آن AB ضلع مقابل برای CD و BC ضلع مقابل برای AD است. سپس از تعریف متوازی الاضلاع چنین بر می آید که AB || CD، BC || آگهی.

پاره های موازی نقاط مشترک ندارند، آنها را قطع نمی کنند. این به این معنی است که CD در یک طرف AB قرار دارد. از آنجایی که قطعه BC نقطه B از قطعه AB را به نقطه C از قطعه CD وصل می کند و قطعه AD سایر نقاط AB و CD را به هم وصل می کند، پاره های BC و AD نیز در همان سمت خط AB قرار دارند، جایی که CD قرار دارد. بنابراین، هر سه طرف - CD، BC، AD - در یک سمت AB قرار دارند.

به همین ترتیب، ثابت می شود که نسبت به اضلاع دیگر متوازی الاضلاع، سه ضلع دیگر در یک ضلع قرار دارند.

اضلاع و زوایای مقابل با هم برابرند

یکی از خواص متوازی الاضلاع این است که در متوازی الاضلاع اضلاع مقابل و زوایای مقابل برابرند. به عنوان مثال، اگر متوازی الاضلاع ABCD داده شود، آنگاه دارای AB = CD، AD = BC، ∠A = ∠C، ∠B = ∠D است. این قضیه به صورت زیر ثابت می شود.

متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی است. بنابراین دارای دو قطر است. از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، هر یک از آنها آن را به دو مثلث تقسیم می کند. مثلث های ABC و ADC را در متوازی الاضلاع ABCD که با رسم قطر AC بدست می آید در نظر بگیرید.

این مثلث ها یک ضلع مشترک دارند - AC. زاویه BCA با زاویه CAD برابر است، همانطور که عمودهای با BC و AD موازی هستند. زوایای BAC و ACD نیز برابر هستند، همانطور که زوایای عمودی زمانی که AB و CD موازی هستند، برابر هستند. بنابراین، ∆ABC = ∆ADC در دو زاویه و ضلع بین آنها.

در این مثلث ها ضلع AB با ضلع CD و ضلع BC مربوط به AD است. بنابراین، AB = CD و BC = AD.

زاویه B مربوط به زاویه D است، یعنی ∠B = ∠D. زاویه A متوازی الاضلاع مجموع دو زاویه ∠BAC و ∠CAD است. زاویه C برابر است از ∠BCA و ∠ACD تشکیل شده است. از آنجایی که جفت زاویه ها با یکدیگر برابر هستند، پس ∠A = ∠C.

بنابراین، ثابت می شود که در متوازی الاضلاع اضلاع و زوایای مقابل با هم برابر هستند.

مورب ها به نصف بریده می شوند

از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، دارای دو قطر است که آنها را قطع می کنند. اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، قطرهای آن AC و BD در نقطه E قطع می شوند. مثلث های ABE و CDE را در نظر بگیرید که توسط آنها تشکیل شده اند.

این مثلث ها دارای اضلاع AB و CD برابر با اضلاع مقابل متوازی الاضلاع هستند. زاویه ABE برابر با زاویه CDE است زیرا آنها در بین خطوط موازی AB و CD قرار دارند. به همین دلیل، ∠BAE = ∠DCE. بنابراین، ∆ABE = ∆CDE در دو زاویه و ضلع بین آنها.

همچنین می توانید متوجه شوید که زوایای AEB و CED عمودی هستند و بنابراین با یکدیگر برابر هستند.

از آنجایی که مثلث های ABE و CDE با یکدیگر برابر هستند، همه عناصر متناظر آنها نیز برابر هستند. ضلع AE مثلث اول مطابق با ضلع CE مثلث دوم است، بنابراین AE = CE. به طور مشابه، BE = DE. هر جفت پاره مساوی مورب متوازی الاضلاع را تشکیل می دهد. بنابراین، ثابت می شود که مورب های متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع نصف می شوند.

چهارضلعی که اضلاع مقابل آن موازی باشند متوازی الاضلاع است. مورب ها خطوط مستقیمی هستند که رئوس مخالف را به هم متصل می کنند. نقطه تقاطع آنها مرکز تقارن است. به طور کلی متوازی الاضلاع دو قطر دارد، D بلند و d کوتاه است.

قطر متوازی الاضلاع را با استفاده از قانون کسینوس پیدا کنید

  • مقدار کسینوس های زوایای متوازی الاضلاع α و β.

D = √a^2 + b^2 - 2ab cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab cosα

d = √a^2 + b^2 - 2ab cosα

قطر متوازی الاضلاع را بر حسب یک مورب و اضلاع شناخته شده بیابید

برای استفاده از این روش باید بدانید:

  • طول اضلاع متوازی الاضلاع a و b.

D = √2a^2 + 2b^2 - d^2

برای استفاده از این روش باید بدانید:

  • مساحت متوازی الاضلاع.
  • طول یکی از قطرهای D یا d.
  • زاویه بین مورب γ یا δ.

D = 2S/d sinγ = 2S/d sinδ

d = 2S/D sinγ = 2S/D sinδ


یک مورد خاص برای تعیین طول مورب متوازی الاضلاع مربع است

مربع متوازی الاضلاع است که تمام اضلاع آن برابر و زوایای آن 90 درجه است. طول قطرها در این حالت برابر با D=d خواهد بود و با استفاده از قضیه فیثاغورث قابل محاسبه است.
D=d=a*√2


یک مورد خاص برای تعیین طول مورب متوازی الاضلاع یک مستطیل است

مستطیل متوازی الاضلاعی است که زوایای آن برابر و برابر با 90 درجه است. طول قطرها در این حالت برابر با D=d خواهد بود و با استفاده از قضیه فیثاغورث قابل محاسبه است.
D=d=√(a^2+b^2)


خواص متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع اضلاع مقابل هم برابر است. متوازی الاضلاع دارای زوایای مخالف است.

قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود (شکل 96).


AB = CD، BC = AD، ?BAD = ?BCD، ?ABS = ?ADC، AO = OC، BO = OD.


ویژگی های متوازی الاضلاع

اگر چهار ضلعی دارای دو ضلع موازی و مساوی باشد، متوازی الاضلاع است (شکل 97).


قبل از میلاد||میلادی، قبل از میلاد = پس از میلاد ? ABCD متوازی الاضلاع است.


اگر قطرهای یک چهار ضلعی همدیگر را قطع کنند و نقطه تقاطع به نصف تقسیم شود، این چهارضلعی متوازی الاضلاع است (شکل 98).


AO = OS، VO = OD؟ ABCD متوازی الاضلاع است.


خواص مستطیل

یک مستطیل تمام خصوصیات متوازی الاضلاع را دارد (یک مستطیل دارای اضلاع مخالف برابر است، یک مستطیل دارای زوایای مخالف برابر است (90 درجه)؛ مورب های مستطیل قطع می شود و نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود.

قطرهای مستطیل برابر هستند (شکل 99):


علامت مستطیل.

اگر متوازی الاضلاع همه زوایای یکسانی داشته باشد، مستطیل است.


خواص لوزی

برای لوزی، تمام خصوصیات متوازی الاضلاع مشخص است (برای لوزی، اضلاع مقابل برابر هستند - به طور کلی، همه اضلاع طبق تعریف برابر هستند؛ برای یک لوزی، زوایای متضاد برابر هستند؛ مورب های یک لوزی متقاطع و تقاطع هستند. نقطه به نصف تقسیم می شود).

مورب های لوزی در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند.

قطرهای یک لوزی نیمساز گوشه های آن هستند (شکل 100).


AC BD، ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA، ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA.


علامت لوزی.

اگر قطرهای متوازی الاضلاع عمود بر هم باشند، آن یک لوزی است.


خواص مربع.

مربع دارای خواص مستطیل و لوزی است.


علامت مربع.

اگر قطرهای یک مستطیل در زاویه قائمه همدیگر را قطع کنند، آن مربع است.


ویژگی خط وسطذوزنقه ای

خط وسط ذوزنقه موازی پایه ها و برابر با نیم جمع آنهاست (شکل 101).


ضوابط چهارضلعی محاطی و محاطی.

اگر بتوان یک دایره را نزدیک یک چهار ضلعی محصور کرد، مجموع زوایای مقابل آن برابر با 180 درجه است (شکل 102).

A + ?C = ?B + ?D = 180 درجه.


اگر بتوان دایره ای را در چهار ضلعی نوشت، مجموع اضلاع مقابل آن برابر است (شکل 103).

AB + CD = AD + BC.

موضوع درس

  • ویژگی های قطرهای متوازی الاضلاع.

اهداف درس

  • با تعاریف جدید آشنا شوید و برخی را که قبلاً مطالعه شده است به یاد بیاورید.
  • فرمول و اثبات خاصیت قطرهای متوازی الاضلاع.
  • یاد بگیرید که از خواص اشکال در حل مسائل استفاده کنید.
  • در حال توسعه - برای توسعه توجه دانش آموزان، پشتکار، پشتکار، تفکر منطقی، گفتار ریاضی.
  • آموزشی - از طریق یک درس، برای پرورش نگرش توجه نسبت به یکدیگر، القای توانایی گوش دادن به رفقا، کمک متقابل، استقلال.

اهداف درس

  • توانایی دانش آموزان در حل مسائل را بررسی کنید.

طرح درس

  1. معرفی.
  2. تکرار مطالب آموخته شده قبلی
  3. متوازی الاضلاع، خواص و علائم آن.
  4. نمونه کارها
  5. خود بررسی

معرفی

"یک اکتشاف علمی بزرگ راه حلی برای یک مشکل بزرگ ارائه می دهد، اما در حل هر مشکلی دانه ای از کشف وجود دارد."

خواص اضلاع مقابل متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع اضلاع مقابل هم برابر است.

اثبات

فرض کنید ABCD یک متوازی الاضلاع باشد. و به او اجازه دهید مورب هادر نقطه O تقاطع می کنند.
از آنجایی که Δ AOB = Δ COD با اولین علامت برابری مثلث ها (∠ AOB = ∠ COD، به عنوان عمودی، AO=OC، DO=OB، با خاصیت مورب متوازی الاضلاع)، سپس AB=CD. به همین ترتیب، از برابری مثلث های BOC و DOA، ​​نتیجه می شود که BC=DA. قضیه ثابت شده است.

ویژگی زوایای متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع دارای زوایای مخالف است.

اثبات

بگذارید ABCD داده شده باشد متوازی الاضلاع. و اجازه دهید قطرهای آن در نقطه O قطع شوند.
از خصوصیات اضلاع متوازی الاضلاع ثابت شده در قضیه Δ ABC = Δ CDA در سه ضلع (AB=CD، BC=DA از اثبات شده، AC کلی است). از برابری مثلث ها نتیجه می شود که ∠ABC = ∠CDA.
همچنین ثابت شده است که ∠ DAB = ∠ BCD، که از ∠ ABD = ∠ CDB می آید. قضیه ثابت شده است.

ویژگی قطرهای متوازی الاضلاع

قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و نقطه تقاطع نصف می شود.

اثبات

فرض کنید ABCD یک متوازی الاضلاع باشد. بیایید قطر AC را رسم کنیم. O وسط را روی آن علامت می زنیم در ادامه قطعه DO قطعه OB 1 را برابر DO کنار می گذاریم.
طبق قضیه قبلی، AB 1 CD یک متوازی الاضلاع است. بنابراین، خط AB 1 موازی با DC است. اما از طریق نقطه A، فقط یک خط را می توان به موازات DC رسم کرد. از این رو، خط AB 1 با خط AB منطبق است.
همچنین ثابت شده است که 1 قبل از میلاد مصادف با قبل از میلاد است. بنابراین نقطه C با C 1 منطبق است. متوازی الاضلاع ABCD با متوازی الاضلاع AB 1 CD منطبق است. بنابراین قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را قطع می کنند و نقطه تقاطع نصف می شود. قضیه ثابت شده است.

در کتاب های درسی برای مدارس عادی (به عنوان مثال، در Pogorelov)، به شرح زیر ثابت می شود: مورب ها متوازی الاضلاع را به 4 مثلث تقسیم می کنند. یک جفت را در نظر بگیرید و بفهمید - آنها مساوی هستند: پایه های آنها اضلاع مخالف هستند، زوایای مربوطه مجاور آن به صورت عمودی با خطوط موازی برابر است. یعنی قسمت های مورب دو به دو برابر هستند. همه.

آیا این همه است؟
در بالا ثابت شد که نقطه تقاطع مورب ها را - در صورت وجود - نصف می کند. استدلال فوق به هیچ وجه وجود آن را ثابت نمی کند. یعنی بخشی از قضیه "قطع متوازی الاضلاع متقاطع" ثابت نشده باقی می ماند.

خنده دار است که اثبات این بخش بسیار سخت تر است. به هر حال، این از یک نتیجه کلی تر ناشی می شود: برای هر چهارضلعی محدب، مورب ها قطع می شوند، برای هر غیر محدب، آنها قطع نمی شوند.

بر تساوی مثلث ها در امتداد ضلع و دو زاویه مجاور آن (نشان دوم تساوی مثلث ها) و دیگران.

قضیه تساوی دو مثلث در امتداد یک ضلع و دو زاویه مجاور آن، تالس کاربرد عملی مهمی یافت. یک مسافت یاب در بندر میلتوس ساخته شد که فاصله تا کشتی را در دریا تعیین می کند. از سه میخ A، B و C (AB = BC) و یک خط مستقیم مشخص شده SK، عمود بر CA تشکیل شده است. هنگامی که کشتی در خط مستقیم SC ظاهر شد، نقطه D پیدا شد به طوری که نقاط D، .B و E در یک خط مستقیم قرار داشتند. همانطور که از نقاشی مشخص است، فاصله CD روی زمین، فاصله مورد نظر تا کشتی است.


سوالات

  1. آیا قطرهای مربع از نقطه تقاطع نصف می شوند؟
  2. آیا قطرهای متوازی الاضلاع برابر هستند؟
  3. آیا زوایای مقابل متوازی الاضلاع با هم برابرند؟
  4. تعریف متوازی الاضلاع چیست؟
  5. چند ویژگی متوازی الاضلاع وجود دارد؟
  6. آیا لوزی می تواند متوازی الاضلاع باشد؟

فهرست منابع استفاده شده

  1. Kuznetsov A. V.، معلم ریاضیات (کلاس 5-9)، کیف
  2. “آزمون یکپارچه دولتی 1385. ریاضیات. مواد آموزشی و آموزشی برای آماده سازی دانش آموزان / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
  3. Mazur K. I. "حل مسائل اصلی رقابتی در ریاضیات مجموعه ویرایش شده توسط M. I. Scanavi"
  4. L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، E. G. Poznyak، I. I. Yudina "هندسه، 7 - 9: کتاب درسی برای موسسات آموزشی"

کار روی درس

Kuznetsov A.V.

پوتورناک اس.ا.

اوگنی پتروف

سوالی در مورد بپرسید آموزش مدرن، بیان یک ایده یا حل یک مشکل فوری، می توانید انجمن آموزشیجایی که شورای آموزشی اندیشه و عمل تازه در سطح بین المللی تشکیل جلسه می دهد. ایجاد کرده است وبلاگ،شما نه تنها وضعیت خود را به عنوان یک معلم شایسته بهبود خواهید بخشید، بلکه سهم قابل توجهی در توسعه مدرسه آینده خواهید داشت. انجمن رهبران آموزش و پرورشدر را به روی متخصصان برتر می گشاید و شما را به همکاری در جهت ایجاد بهترین مدارس جهان دعوت می کند.

موارد > ریاضیات > ریاضی پایه هشتم

 

شاید خواندن آن مفید باشد: