წრფივი ალგებრული განტოლებების 1 სისტემა. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა (SLAE) უდავოდ არის ხაზოვანი ალგებრის კურსის ყველაზე მნიშვნელოვანი თემა. მათემატიკის ყველა დარგიდან ამოცანების დიდი რაოდენობა მცირდება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნაზე. ეს ფაქტორები ხსნის ამ სტატიის შექმნის მიზეზს. სტატიის მასალა ისეა შერჩეული და სტრუქტურირებული, რომ მისი დახმარებით შეძლოთ

• აირჩიეთ ოპტიმალური მეთოდი თქვენი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გადასაჭრელად,
• შეისწავლეთ არჩეული მეთოდის თეორია,
• გადაწყვიტეთ თქვენი წრფივი განტოლებების სისტემა, დეტალურად განიხილეთ ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების ამონახსნები.

სტატიის მასალის მოკლე აღწერა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ ყველა საჭირო განმარტებას, კონცეფციას და შემოგთავაზებთ რამდენიმე აღნიშვნას.

შემდეგ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდებს, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები. ჯერ კრამერის მეთოდზე გავამახვილოთ ყურადღება, მეორეც ვაჩვენებთ განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნის მატრიცულ მეთოდს და მესამედ გავაანალიზებთ გაუსის მეთოდს (უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი). თეორიის გასამყარებლად, ჩვენ აუცილებლად მოვაგვარებთ რამდენიმე SLAE-ს სხვადასხვა გზით.

ამის შემდეგ მივმართავთ ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნას, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას ან სისტემის მთავარი მატრიცა დეგენერირებულია. ჩვენ ვაყალიბებთ კრონეკერ-კაპელის თეორემას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ SLAE-ების თავსებადობა. მოდით გავაანალიზოთ სისტემების ამოხსნა (მათი თავსებადობის შემთხვევაში) მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფციის გამოყენებით. ჩვენ ასევე განვიხილავთ გაუსის მეთოდს და დეტალურად აღვწერთ მაგალითების ამონახსნებს.

დარწმუნდით, რომ ყურადღება მიაქციეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი სისტემების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურას. მოდით მივცეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის კონცეფცია და ვაჩვენოთ, როგორ იწერება SLAE-ის ზოგადი ამონახსნები ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით. უკეთესი გაგებისთვის, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

დასასრულს, განვიხილავთ განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც შემცირებულია წრფივზე, ასევე სხვადასხვა ამოცანებს, რომელთა გადაწყვეტისას წარმოიქმნება SLAE.

გვერდის ნავიგაცია.

განმარტებები, ცნებები, აღნიშვნები.

განვიხილავთ p წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებს n უცნობი ცვლადით (p შეიძლება ტოლი იყოს n-ის) ფორმის

უცნობი ცვლადები, - კოეფიციენტები (ზოგიერთი რეალური ან რთული რიცხვი), - თავისუფალი წევრები (ასევე რეალური ან რთული რიცხვები).

SLAE-ის ამ ფორმას ე.წ კოორდინაცია.

IN მატრიცის ფორმაგანტოლებათა ამ სისტემას აქვს ფორმა,
სად - სისტემის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების მატრიცა-სვეტი, - თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტი.

თუ A მატრიცას (n + 1)-ე სვეტად დავუმატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ჩვეულებრივ, გაძლიერებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი წევრების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დანარჩენი სვეტებისგან, ანუ,

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნითეწოდება უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომელიც აქცევს სისტემის ყველა განტოლებას იდენტურებად. უცნობი ცვლადების მოცემული მნიშვნელობების მატრიცული განტოლება ასევე იქცევა იდენტურობაში.

თუ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც, მაშინ მას უწოდებენ ერთობლივი.

თუ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს, მაშინ მას უწოდებენ შეუთავსებელი.

თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული; თუ არის ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ - გაურკვეველი.

თუ სისტემის ყველა განტოლების თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია , მაშინ სისტემას ეძახიან ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნა.

თუ სისტემის განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ასეთ SLAE-ებს დავარქმევთ. ელემენტარული. განტოლებათა ასეთ სისტემებს აქვთ უნიკალური ამონახსნები და ერთგვაროვანი სისტემის შემთხვევაში ყველა უცნობი ცვლადი ნულის ტოლია.

ასეთი SLAE-ის შესწავლა საშუალო სკოლაში დავიწყეთ. მათი ამოხსნისას ავიღეთ ერთი განტოლება, გამოვხატეთ ერთი უცნობი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩავანაცვლეთ დარჩენილ განტოლებებში, შემდეგ ავიღეთ შემდეგი განტოლება, გამოვხატეთ შემდეგი უცნობი ცვლადი და ჩავანაცვლეთ სხვა განტოლებებით და ა.შ. ან გამოიყენეს შეკრების მეთოდი, ანუ დაამატეს ორი ან მეტი განტოლება ზოგიერთი უცნობი ცვლადის აღმოსაფხვრელად. ამ მეთოდებზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, რადგან ისინი არსებითად გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციებია.

წრფივი განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია კრამერის მეთოდი, მატრიცული მეთოდი და გაუსის მეთოდი. მოდით დაალაგოთ ისინი.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

დაგვჭირდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა

რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობი ცვლადების რაოდენობის ტოლია და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, ანუ .

მოდით იყოს სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი და არის მატრიცების განმსაზღვრელი, რომლებიც მიიღება A-დან ჩანაცვლებით 1-ლი, მე-2, ..., მე-რსვეტი, შესაბამისად, თავისუფალი წევრების სვეტში:

ასეთი აღნიშვნით უცნობი ცვლადები გამოითვლება კრამერის მეთოდის ფორმულებით როგორც . ასე მოიძებნება წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამონახსნი კრამერის მეთოდით.

მაგალითი.

კრამერის მეთოდი .

გამოსავალი.

სისტემის ძირითად მატრიცას აქვს ფორმა . გამოთვალეთ მისი განმსაზღვრელი (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

ვინაიდან სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი, სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით.

შეადგინეთ და გამოთვალეთ საჭირო დეტერმინანტები (განმსაზღვრელი მიიღება A მატრიცაში პირველი სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით, განმსაზღვრელი - მეორე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით, - A მატრიცის მესამე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. ):

უცნობი ცვლადების პოვნა ფორმულების გამოყენებით :

პასუხი:

კრამერის მეთოდის მთავარი მინუსი (თუ შეიძლება მას მინუსად ვუწოდოთ) არის დეტერმინანტების გამოთვლის სირთულე, როდესაც სისტემის განტოლებათა რაოდენობა სამზე მეტია.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით).

მოდით, წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით იყოს მოცემული, სადაც A მატრიცას აქვს განზომილება n-ზე n-ზე და მისი განმსაზღვრელი არის არანულოვანი.

ვინაიდან , მაშინ მატრიცა A არის შექცევადი, ანუ არსებობს შებრუნებული მატრიცა. თუ ტოლობის ორივე ნაწილს გავამრავლებთ მარცხნივ, მაშინ მივიღებთ ფორმულას უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცის საპოვნელად. ასე მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი მატრიცული მეთოდით.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდი.

გამოსავალი.

მოდით გადავიწეროთ განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით:

იმიტომ რომ

მაშინ SLAE შეიძლება ამოხსნას მატრიცული მეთოდით. ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით, ამ სისტემის გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს როგორც .

მოდით ავაშენოთ ინვერსიული მატრიცა A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატების მატრიცის გამოყენებით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

რჩება გამოთვლა - უცნობი ცვლადების მატრიცა შებრუნებული მატრიცის გამრავლებით თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტზე (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

პასუხი:

ან სხვა აღნიშვნით x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

მატრიცული მეთოდით წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამონახსნების ძიების მთავარი პრობლემა არის შებრუნებული მატრიცის პოვნის სირთულე, განსაკუთრებით მესამეზე მაღალი რიგის კვადრატული მატრიცებისთვის.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამონახსნი n წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის n უცნობი ცვლადით
რომლის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან.

გაუსის მეთოდის არსიშედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული გამორიცხვაში: ჯერ x 1 გამოირიცხება სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული, შემდეგ x 2 გამოირიცხება ყველა განტოლებიდან, დაწყებული მესამედან და ასე შემდეგ, სანამ მხოლოდ უცნობი ცვლადია. x n რჩება ბოლო განტოლებაში. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის სისტემის განტოლებების გარდაქმნის ასეთ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი. გაუსის მეთოდის წინ სვლის დასრულების შემდეგ ბოლო განტოლებიდან მოიძებნება x n, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით გამოითვლება ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. პირველი განტოლებიდან მოიძებნება x 1. სისტემის ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების გამოთვლის პროცესს ეწოდება საპირისპირო გაუსის მეთოდი.

მოდით მოკლედ აღვწეროთ უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ალგორითმი.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ჩვენ გამოვრიცხავთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის სისტემის მეორე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული განტოლება, მესამე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა .

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ სისტემის პირველ განტოლებაში სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით გამოვხატავთ x 1-ს და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებდით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ შედეგად მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც აღნიშნულია ფიგურაში

ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას დაამატეთ მეორე გამრავლებული, მეოთხეზე გამრავლებული მეორე და ასე შემდეგ, მეორეზე გამრავლებული დაუმატეთ n-ე განტოლებას. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა . ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან.

ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც , მიღებული მნიშვნელობის x n-ის გამოყენებით ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს პირველიდან. განტოლება.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდი.

გამოსავალი.

სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1. ამისათვის, მეორე და მესამე განტოლების ორივე ნაწილს ვამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, გამრავლებული და შესაბამისად:

ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ x 2-ს მესამე განტოლებიდან, მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს დავუმატებთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული:

ამაზე დასრულებულია გაუსის მეთოდის წინა კურსი, ვიწყებთ საპირისპირო კურსს.

განტოლებათა სისტემის ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ x 3:

მეორე განტოლებიდან ვიღებთ.

პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ დარჩენილ უცნობ ცვლადს და ამით სრულდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი.

პასუხი:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა.

ზოგად შემთხვევაში, p სისტემის განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას n:

ასეთ SLAE-ებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, ჰქონდეთ ერთი გამოსავალი ან უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი. ეს განცხადება ასევე ეხება განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის კვადრატული და გადაგვარებული.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პოვნამდე აუცილებელია მისი თავსებადობის დადგენა. პასუხი კითხვაზე, როდის არის SLAE თავსებადი და როდის შეუთავსებელი, იძლევა კრონეკერ-კაპელის თეორემა:
იმისათვის, რომ p განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი) თანმიმდევრული იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს გაფართოებული მატრიცის რანგის, ანუ რანგი( A)=რანგი(T) .

მაგალითის სახით განვიხილოთ კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობის დასადგენად.

მაგალითი.

გაარკვიეთ აქვს თუ არა წრფივი განტოლებათა სისტემა გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი.

. გამოვიყენოთ არასრულწლოვანთა შემოსაზღვრების მეთოდი. მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. მოდით გადავხედოთ მის გარშემო არსებულ მესამე რიგის არასრულწლოვანებს:

ვინაიდან ყველა მოსაზღვრე მესამე რიგის მცირეწლოვანი უდრის ნულს, მთავარი მატრიცის წოდება არის ორი.

თავის მხრივ, გაზრდილი მატრიცის წოდება უდრის სამს, ვინაიდან მესამე რიგის მინორი

განსხვავდება ნულიდან.

ამრიგად, Rang(A) , შესაბამისად, კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი:

გადაწყვეტის სისტემა არ არსებობს.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ სისტემის შეუსაბამობის დადგენა კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით.

მაგრამ როგორ მოვძებნოთ SLAE-ის გამოსავალი, თუ დადგინდა მისი თავსებადობა?

ამისათვის ჩვენ გვჭირდება მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფცია და მატრიცის რანგის თეორემა.

A მატრიცის უმაღლესი რიგის მინორი, გარდა ნულისა, ეწოდება ძირითადი.

საბაზისო მინორის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი რიგი უდრის მატრიცის რანგს. არანულოვანი მატრიცისთვის A, შეიძლება იყოს რამდენიმე ძირითადი მინორი; ყოველთვის არის ერთი ძირითადი მინორი.

მაგალითად, განიხილეთ მატრიცა .

ამ მატრიცის ყველა მესამე რიგის მინორი ნულის ტოლია, რადგან ამ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები არის პირველი და მეორე რიგის შესაბამისი ელემენტების ჯამი.

მეორე რიგის შემდეგი მცირე რაოდენობა ძირითადია, რადგან ისინი ნულოვანია

არასრულწლოვანთა არ არის ძირითადი, რადგან ისინი ნულის ტოლია.

მატრიცის რანგის თეორემა.

თუ p რიგის მატრიცის რანგი არის r, მაშინ მატრიცის მწკრივების (და სვეტების) ყველა ელემენტი, რომლებიც არ ქმნიან არჩეულ საფუძველს მინორი, წრფივად გამოხატულია მწკრივების (და სვეტების) შესაბამისი ელემენტების მიხედვით. ) რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს.

რას გვაძლევს მატრიცის რანგის თეორემა?

თუ კრონეკერ-კაპელის თეორემით დავადგინეთ სისტემის თავსებადობა, მაშინ ვირჩევთ სისტემის მთავარი მატრიცის ნებისმიერ ძირითად მინორს (მისი რიგი უდრის r) და გამოვრიცხავთ სისტემიდან ყველა განტოლებას, რომელიც არ არის შექმენით არჩეული ძირითადი მცირე. ამ გზით მიღებული SLAE იქნება თავდაპირველის ექვივალენტი, ვინაიდან გაუქმებული განტოლებები ჯერ კიდევ ზედმეტია (მატრიცის რანგის თეორემის მიხედვით, ისინი არის დარჩენილი განტოლებების წრფივი კომბინაცია).

შედეგად, სისტემის გადაჭარბებული განტოლებების გაუქმების შემდეგ შესაძლებელია ორი შემთხვევა.

თუ მიღებულ სისტემაში r განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ ის იქნება განსაზღვრული და ერთადერთი ამონახსნი შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

მაგალითი.

.

გამოსავალი.

სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის ორს, ვინაიდან მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის ორს, რადგან მესამე რიგის ერთადერთი მინორი ნულის ტოლია

ხოლო ზემოთ განხილული მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულისაგან. კრონეკერ-კაპელის თეორემაზე დაყრდნობით შეიძლება დავამტკიცოთ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის თავსებადობა, ვინაიდან რანგ(A)=Rank(T)=2 .

როგორც მინორის საფუძველს ვიღებთ . იგი იქმნება პირველი და მეორე განტოლების კოეფიციენტებით:


სისტემის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, ამიტომ მას გამოვრიცხავთ სისტემიდან მატრიცის რანგის თეორემაზე დაყრდნობით:


ამრიგად მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემა. მოდით გადავჭრათ კრემერის მეთოდით:


პასუხი:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

თუ R განტოლებების რაოდენობა მიღებულ SLAE-ში ნაკლებია n უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ ჩვენ ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც ქმნიან ძირითად მინორს განტოლებების მარცხენა ნაწილებში, ხოლო დანარჩენ წევრებს გადავიტანთ განტოლებების მარჯვენა ნაწილებზე. სისტემის საპირისპირო ნიშნით.

განტოლებების მარცხენა მხარეს დარჩენილი უცნობი ცვლადები (არსებობს r) ეწოდება მთავარი.

უცნობ ცვლადებს (არის n - r), რომლებიც მთავრდება მარჯვენა მხარეს, ეწოდება უფასო.

ახლა ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური მნიშვნელობები, ხოლო r მთავარი უცნობი ცვლადები გამოისახება თავისუფალი უცნობი ცვლადების სახით უნიკალური გზით. მათი გამოხატულება შეიძლება მოიძებნოს მიღებული SLAE-ის ამოხსნით კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა .

გამოსავალი.

იპოვეთ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი მოსაზღვრე არასრულწლოვანთა მეთოდით. ავიღოთ 1 1 = 1, როგორც პირველი რიგის მინორი. დავიწყოთ ამ მინორის ირგვლივ არანულოვანი მეორე რიგის მინორის ძებნა:


ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ მეორე რიგის არანულოვანი მინორი. დავიწყოთ მესამე რიგის არანულოვანი მოსაზღვრე მინორის ძებნა:


ამრიგად, მთავარი მატრიცის წოდება არის სამი. გაძლიერებული მატრიცის წოდება ასევე უდრის სამს, ანუ სისტემა თანმიმდევრულია.

მესამე რიგის ნაპოვნი არანულოვანი მინორი მიიღება ძირითადში.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს:


სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ძირითად მინორში მონაწილე ტერმინებს, ხოლო დანარჩენს საპირისპირო ნიშნებით გადავცემთ მარჯვენა მხარეს:


ჩვენ ვაძლევთ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს x 2 და x 5 თვითნებურ მნიშვნელობებს, ანუ ვიღებთ , სადაც არის თვითნებური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, SLAE იღებს ფორმას


წრფივი ალგებრული განტოლებების მიღებულ ელემენტარულ სისტემას ვხსნით კრამერის მეთოდით:


აქედან გამომდინარე,.

პასუხში არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ უფასო უცნობი ცვლადები.

პასუხი:

სად არის თვითნებური რიცხვები.

შეაჯამეთ.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, პირველ რიგში გავარკვევთ მის თავსებადობას კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით. თუ მთავარი მატრიცის რანგი არ არის გაფართოებული მატრიცის რანგის ტოლი, მაშინ დავასკვნით, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია.

თუ ძირითადი მატრიცის წოდება ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ ძირითად მინორს და ვტოვებთ სისტემის განტოლებებს, რომლებიც არ მონაწილეობენ არჩეული ძირითადი მინორის ფორმირებაში.

თუ საბაზისო მინორის რიგი უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ SLAE-ს აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომლის პოვნაც ჩვენთვის ცნობილი ნებისმიერი მეთოდით შეიძლება.

თუ საბაზისო მინორის რიგი ნაკლებია უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ ტერმინებს ვტოვებთ ძირითად უცნობი ცვლადებით სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს, დანარჩენ წევრებს გადავცემთ მარჯვენა მხარეს და ვანიჭებთ თვითნებურ მნიშვნელობებს. თავისუფალ უცნობ ცვლადებს. მიღებული წრფივი განტოლებათა სისტემიდან ჩვენ ვპოულობთ მთავარ უცნობ ცვლადებს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდის გამოყენებით, შესაძლებელია ნებისმიერი სახის წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემების ამოხსნა მათი წინასწარი გამოკვლევის გარეშე. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესი შესაძლებელს ხდის დასკვნის გამოტანას როგორც SLAE-ის თავსებადობის, ასევე შეუსაბამობის შესახებ და თუ გამოსავალი არსებობს, შესაძლებელს ხდის მის პოვნას.

გამოთვლითი მუშაობის თვალსაზრისით, სასურველია გაუსის მეთოდი.

მისი დეტალური აღწერა და გაანალიზებული მაგალითები იხილეთ სტატიაში გაუსის მეთოდი ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის.

ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი ალგებრული სისტემების ზოგადი ამოხსნის ჩაწერა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით.

ამ განყოფილებაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთობლივ ერთგვაროვან და არაერთგვაროვან სისტემებზე, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ჯერ ერთგვაროვან სისტემებს გავუმკლავდეთ.

ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა p წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემა n უცნობი ცვლადებით არის ამ სისტემის (n – r) წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების სიმრავლე, სადაც r არის სისტემის მთავარი მატრიცის საბაზისო მინორის რიგი.

თუ ერთგვაროვანი SLAE-ის წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს დავნიშნავთ, როგორც X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) არის n განზომილების მატრიცების სვეტები. 1-ით), მაშინ ამ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია თვითნებური მუდმივი კოეფიციენტებით С 1 , С 2 , …, С (n-r), ანუ .

რას ნიშნავს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ტერმინი (ოროსლაუ)?

მნიშვნელობა მარტივია: ფორმულა განსაზღვრავს ორიგინალური SLAE-ს ყველა შესაძლო გადაწყვეტას, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აღებულია თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობების ნებისმიერი ნაკრები C 1 , C 2 , ..., C (n-r), ჩვენ მიერ ფორმულის მიხედვით. მიიღებს ორიგინალური ერთგვაროვანი SLAE-ის ერთ-ერთ ხსნარს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ვიპოვით ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავაყენოთ ამ ერთგვაროვანი SLAE-ის ყველა ამონახსნები, როგორც .

მოდით ვაჩვენოთ ხსნარების ფუნდამენტური სისტემის აგების პროცესი ერთგვაროვანი SLAE-სთვის.

ჩვენ ვირჩევთ წრფივი განტოლებათა ორიგინალური სისტემის ძირითად მინორს, გამოვრიცხავთ ყველა სხვა განტოლებას სისტემიდან და გადავიტანთ სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნებით ყველა ტერმინს, რომელიც შეიცავს თავისუფალ უცნობი ცვლადებს. მოდით, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცეთ მნიშვნელობები 1,0,0,…,0 და გამოვთვალოთ მთავარი უცნობი წრფივი განტოლებათა ელემენტარული სისტემის ნებისმიერი გზით ამოხსნით, მაგალითად, კრამერის მეთოდით. ამრიგად, მიიღება X (1) - ფუნდამენტური სისტემის პირველი ამონახსნი. თუ თავისუფალ უცნობებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,1,0,0,…,0 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (2) . Და ასე შემდეგ. თუ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,0,…,0,1 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (n-r) . ასე აშენდება ერთგვაროვანი SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და მისი ზოგადი ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს სახით.

წრფივი ალგებრული განტოლებების არაჰომოგენური სისტემებისთვის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და წრფივი ალგებრული განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნი .

გამოსავალი.

წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემების მთავარი მატრიცის რანგი ყოველთვის ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის. მოდი ვიპოვოთ მთავარი მატრიცის რანგი არასრულწლოვანთა ფრინგის მეთოდით. როგორც პირველი რიგის არანულოვანი მინორი, ვიღებთ ელემენტს a 1 1 = 9 სისტემის მთავარი მატრიციდან. იპოვნეთ მეორე რიგის მოსაზღვრე არა-ნულოვანი მინორი:

ნაპოვნია მეორე რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან. მოდით გავიაროთ მესამე რიგის არასრულწლოვანები, რომლებიც მას ესაზღვრება არა-ნულოვანი ერთის მოსაძებნად:

მესამე რიგის ყველა მოსაზღვრე მცირეწლოვანი ტოლია ნულის ტოლი, შესაბამისად, მთავარი და გაფართოებული მატრიცის წოდება არის ორი. ავიღოთ ძირითადი მინორი. სიცხადისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ სისტემის ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მას:

ორიგინალური SLAE-ის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, შესაბამისად, შეიძლება გამოირიცხოს:

ჩვენ ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ძირითად უცნობებს განტოლებების მარჯვენა მხარეს, ხოლო ტერმინებს გადავიტანთ თავისუფალი უცნობიებით მარჯვენა მხარეს:

მოდით ავაშენოთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი ერთგვაროვანი სისტემისთვის. ამ SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ამონახსნისაგან, ვინაიდან თავდაპირველი SLAE შეიცავს ოთხ უცნობ ცვლადს და მისი ძირითადი მინორის რიგია ორი. X (1) საპოვნელად, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს ვაძლევთ მნიშვნელობებს x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, შემდეგ ვპოულობთ მთავარ უცნობებს განტოლებების სისტემიდან.
.

მოდით გადავჭრათ კრემერის მეთოდით:

ამრიგად, .

ახლა ავაშენოთ X (2). ამისათვის ჩვენ ვაძლევთ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მნიშვნელობებს x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1, შემდეგ ვპოულობთ მთავარ უცნობებს ხაზოვანი განტოლებების სისტემიდან.
.

კიდევ ერთხელ გამოვიყენოთ კრამერის მეთოდი:

ჩვენ ვიღებთ.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ორი ვექტორი და ახლა შეგვიძლია დავწეროთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნები:

, სადაც C 1 და C 2 არის თვითნებური რიცხვები., ნულის ტოლია. ჩვენ ასევე ვიღებთ მინორს, როგორც ძირითადს, გამოვრიცხავთ მესამე განტოლებას სისტემიდან და გადავიტანთ ტერმინებს თავისუფალი უცნობიებით სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეს:

საპოვნელად, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს ვაძლევთ მნიშვნელობებს x 2 \u003d 0 და x 4 \u003d 0, შემდეგ განტოლებათა სისტემა იღებს ფორმას , საიდანაც ვპოულობთ მთავარ უცნობ ცვლადებს კრამერის მეთოდის გამოყენებით:

Ჩვენ გვაქვს , შესაბამისად,

სადაც C 1 და C 2 არის თვითნებური რიცხვები.

უნდა აღინიშნოს, რომ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების განუსაზღვრელი ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები წარმოქმნის ხაზოვანი სივრცე

გამოსავალი.

ელიფსოიდის კანონიკურ განტოლებას მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში აქვს ფორმა . ჩვენი ამოცანაა განვსაზღვროთ a , b და c პარამეტრები . ვინაიდან ელიფსოიდი გადის A, B და C წერტილებში, მაშინ მათი კოორდინატების ელიფსოიდის კანონიკურ განტოლებაში ჩანაცვლებისას ის უნდა იქცეს იდენტურობაში. ასე რომ, ჩვენ მივიღებთ სამი განტოლების სისტემას:

აღნიშნეთ , მაშინ სისტემა ხდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა .

მოდით გამოვთვალოთ სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი:

ვინაიდან ის არ არის ნულოვანი, გამოსავალი შეგვიძლია ვიპოვოთ კრამერის მეთოდით:
). ცხადია, x = 0 და x = 1 არის ამ მრავალწევრის ფესვები. კოეფიციენტი გაყოფიდან on არის . ამრიგად, ჩვენ გვაქვს დაშლა და ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს ფორმას .

გამოვიყენოთ განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი.

მრიცხველების შესაბამისი კოეფიციენტების გავატოლებით მივიღებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას. . მისი ამოხსნა მოგვცემს სასურველ განუსაზღვრელ კოეფიციენტებს A, B, C და D.

ჩვენ ვხსნით სისტემას გაუსის მეთოდით:

გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსში ვხვდებით D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 .

ვიღებთ

პასუხი:

.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, პოპულაციის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახულებით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. სისტემაში განტოლებების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. მათემატიკის სასკოლო კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

ზოგადსაგანმანათლებლო სასკოლო პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დეტალურად არის ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ იგი მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, შემცვლელი გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდით სისტემების ამოხსნის ძიებისას ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღება, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი ამოხსნა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალური გზით ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, ნაპოვნია y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნა: 0,5x-y+2=0 და 0,5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითებიდან 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივები არ განმეორდეს პროდუქტში.

წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის უხერხული ჩანაწერების შემცირებას ცვლადებისა და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემების ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება ამოხსნის გაუს-კრამერის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის განვითარებისთვის.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რაოდენობას.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლებით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• როგორ გავარკვიოთ ალიმენტის დავალიანება გვარის მიხედვით;
• პენსიონერის სამსახურიდან გათავისუფლების პროცედურა: არსებული საფუძველი და შეზღუდვები და როგორ შეგიძლიათ დაიცვათ თქვენი უფლებები?;
• სახლის მშენებლობისთვის სამშობიარო კაპიტალის მოპოვების პროცედურა;
• ბინის ყიდვისას გადასახადის გამოქვითვის მიღების ვადები;
• როგორ გავარკვიოთ როდის გადაირიცხება ბინის გადასახადის გამოქვითვა;
• როგორ და ვის მიერ იზიარებდნენ ევროპის ქვეყნები მეორე მსოფლიო ომამდე და შემდეგ;
• იცხოვრე და ისწავლე, ვინ თქვა ეს;
• ნაცისტები აიძულებდნენ პატიმარ ქალებს პროსტიტუციაში - არქივი;