III. პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

Კლასი: 11

პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის მიზანი:

მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფისა და ჰორნერის სქემის გამოყენების უნარ-ჩვევების განვითარების ხელშეწყობა;
უნარების კონსოლიდაცია ცხრილებში OpenOffice.org Calc;
მოსწავლეთა საქმიანობის ორგანიზება ახალი ცოდნის აღქმაში, გააზრებასა და პირველად დამახსოვრებაში;
პრობლემური სიტუაციის ამოხსნისას გაანალიზოს და დაამტკიცოს ბეზუტის თეორემა: შესაძლებელია თუ არა მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორებად დაშლა;
განვიხილოთ ბეზუტის თეორემის გამოყენება უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად;
ხელი შეუწყოს ლოგიკური აზროვნების, ყურადღების, მეტყველების და დამოუკიდებლად მუშაობის უნარის განვითარებას.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის გაცნობა.

აღჭურვილობა:მულტიმედიური პროექტორი, პრეზენტაცია გაკვეთილზე, კომპიუტერული კლასი.

"გონების გასაუმჯობესებლად, ადამიანმა უფრო მეტი უნდა მსჯელობა, ვიდრე დამახსოვრება."
დეკარტი (1596 -1650). ფრანგი მათემატიკოსი, ფიზიკოსი, ფილოლოგი, ფილოსოფოსი.

გაკვეთილების დროს

მე. ორგანიზების დრო

ჩვენი ამოცანა დღეს ერთობლივ აქტივობებში არის დეკარტის სიტყვების დადასტურება (სლაიდი 1). ჩვენი გაკვეთილის თემა (სლაიდი 2) „ბეზოუთის თეორემა“ იმდენად მნიშვნელოვანია, რომ გამოიყენება USE დავალებებსა და სხვადასხვა ოლიმპიადებში. ბეზუტის თეორემა აადვილებს მრავალი ამოცანის ამოხსნას, რომელიც შეიცავს უმაღლესი ხარისხის განტოლებებს. სამწუხაროდ, ის მხოლოდ პროფილის დონეზეა შესწავლილი.

II. პრობლემური სიტუაციის გაჩენა

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უმაღლესი ხარისხის განტოლებები და თავად გამოვიყვანთ ამოხსნის ალგორითმს.

ამოხსენით განტოლება: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(სლაიდი 3). ჩნდება პრობლემა: ჩვენ გვესმის, რომ მოსახერხებელი იქნება განტოლების მარცხენა მხარის წარმოდგენა ნამრავლის სახით და რადგან ნამრავლი არის ნულის ტოლი, მაშინ თითოეული ფაქტორი გავუტოლოთ ნულს. ამისათვის თქვენ უნდა დაშალოთ მე-3 ხარისხის პოლინომი ფაქტორებად. Მაგრამ როგორ?შესაძლებელია თუ არა ჩვენს შემთხვევაში საერთო ფაქტორის დაჯგუფება ან ფრჩხილიდან ამოღება? (არა).

III. საბაზისო ცოდნის განახლება

გავიხსენოთ, როგორ გავამრავლოთ მრავალწევრი x 2 - 5x - 6? (სლაიდი 4).

(კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულის მიხედვით:

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x-x 2), სადაც x 1 და x 2 არის ტრინომის ფესვები).

იპოვეთ ტრინომის ფესვები ორი გზით. Რა?

(კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით და ვიეტას თეორემით).

ამოხსნის დაფაზე თითოეული ჯგუფიდან, თითო მოსწავლე. დანარჩენი მოსწავლეები რვეულებში არიან. მიიღეთ: x 2 - 5x - 6 \u003d (x - 6) (x + 1).

ეს ნიშნავს, რომ ტრინომი იყოფა თითოეულ ორანზე: x - 6 და x + 1.

ყურადღება მიაქციეთ ჩვენი ტრინომის თავისუფალ წევრს და იპოვეთ მისი გამყოფები (±1, ±2, ±3, ±6).

გამყოფებიდან რომელია ტრინომის ფესვები? (-1 და 6)

რა დასკვნის გაკეთება შეიძლება? (ტრინომის ფესვები თავისუფალი ტერმინის გამყოფია).

IV. ჰიპოთეზა

მაშ, რომელი მონომი დაგეხმარებათ იპოვოთ მრავალწევრის ფესვები?

P(x) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

(თავისუფალი წევრი).

ჩაწერეთ მისი გამყოფები: ±1; ±2; ±4.

იპოვეთ მრავალწევრის მნიშვნელობები თითოეული გამყოფისთვის. ცხრილებით და პირდაპირ:

ჯგუფი 1 ითვლის ნოუთბუქებში, მეორე ჯგუფი იყენებს კომპიუტერებს OpenOffice.org Calc-ში.

P(1)= -3
P(-1)=7
P(2)=-8
P(-2)=0
P(4)=12
P(-4)=-68

(ელცხრილებში გაანგარიშებისას, უჯრედში B2, სტუდენტები შედიან ფორმულას: \u003d A1 ^ 3-2 * A1 ^ 2-6 * A1 + 4. ავტომატური შევსების მარკერის გამოყენებით, ისინი იღებენ მნიშვნელობებს. მრავალწევრი მთელ სვეტში).

რომელი გამყოფია მრავალწევრის ფესვი? (-2)

ამრიგად, გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორი იქნება x-(-2) = x + 2.

როგორ მოვძებნოთ სხვა მულტიპლიკატორები?

(„სვეტაში“ დაყავით ბინომად x + 2)

სხვანაირად როგორ შეგიძლია? (ჰორნერის სქემის მიხედვით). (სლაიდი 5)

რა არის ჰორნერის სქემა? ( ჰორნერის სქემა არის პოლინომიური გაყოფის ალგორითმი, რომელიც დაწერილია სპეციალური შემთხვევისთვის, როდესაც გამყოფი არის ბინომი. x-a).

ჩვენ ვახორციელებთ დაყოფას: პირველი ჯგუფი არის "სვეტი", მეორე - ჰორნერის სქემის მიხედვით.

უკვალოდ გაიყო.

დავუბრუნდეთ განტოლებას: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 არის კვადრატული განტოლება. მოაგვარეთ:

D 1 \u003d 4 - 2 \u003d 2;

პასუხი: -2,.

შეიძლება იყოს ნარჩენი გაყოფისას?ამ კითხვას მოგვიანებით გავცემთ პასუხს. ახლა დაასახელეთ მრავალწევრის მნიშვნელობა x = - 2. (მნიშვნელობა არის ნული).

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ x = - 2 არის მრავალწევრის ფესვი, ხოლო მრავალწევრის x-(-2)-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის 0.

განვიხილოთ x=1 - არ არის განტოლების ფესვი.

ვცადოთ მრავალწევრის დაყოფა x-1. მეორე ჯგუფი ასრულებს დაყოფას "სვეტში". პირველი, ჰორნერის სქემის მიხედვით, ავსებს ცხრილს კიდევ ერთი რიგით.

ასე რომ, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 \u003d (x - 1) ∙ (x 2 - x - 7) - 3.

გაითვალისწინეთ, რომ x=1 არ არის მრავალწევრის ფესვი და მრავალწევრის (x-1)-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის მრავალწევრის მნიშვნელობას x=1-ზე.

აქ არის პასუხი კითხვაზე დანარჩენზე. დიახ, დანარჩენი აღმოჩნდა, x მნიშვნელობით, რომელიც არ არის მრავალწევრის ფესვი.

გავაგრძელოთ ჰორნერის სქემა დარჩენილი მუდმივი ტერმინების გამყოფებისთვის. ახლა მოდით, პირველმა ჯგუფმა გამოთვალოს კომპიუტერში, მეორე კი ნოუთბუქებში.

ვ. ვარაუდის მტკიცებულება

(სლაიდი 6) თქვენ შენიშნეთ ნიმუში დანარჩენის შესახებ. Რა? (ნარჩენი აღმოჩნდა, x მნიშვნელობით, რომელიც არ არის მრავალწევრის ფესვი).

და ჩამოვწეროთ ეს კანონზომიერება ზოგადი ფორმით.

მოდით P(x) იყოს მრავალწევრი და გარკვეული რიცხვი.

დავამტკიცოთ განცხადება: P(x)-ზე (x - a)-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის P(a-ს).

მტკიცებულება. P(x) ნაშთით გავყოთ (x - a).

ჩვენ ვიღებთ P (x) \u003d (x - a) Q (x) + R; ნარჩენის განმარტებით, პოლინომი r ან ტოლია 0-ის, ან აქვს ხარისხი ნაკლები (x - a), ე.ი. 1-ზე ნაკლები. მაგრამ მრავალწევრის ხარისხი 1-ზე ნაკლებია მხოლოდ მაშინ, როცა ის 0-ის ტოლია და ამიტომ ორივე შემთხვევაში R არის ფაქტობრივად რიცხვი - ნული ან არა-ნული.

ახლა შევცვლით ტოლობაში P (x) \u003d (x - a) Q (x) + R მნიშვნელობა x \u003d a, მივიღებთ P (a) \u003d (a - a) Q (x) + R, P (a) \u003d R , ისე რომ მართლაც R = P(a).

ეს ნიმუში ასევე აღნიშნა მათემატიკოსმა ბეზოუტმა.

სტუდენტის შეტყობინება

(სლაიდი 7) ეტიენ ბეზუ - ფრანგი მათემატიკოსი, პარიზის მეცნიერებათა აკადემიის წევრი (1758 წლიდან), დაიბადა ნემურში 1730 წლის 31 მარტს და გარდაიცვალა 1783 წლის 27 სექტემბერს. 1763 წლიდან ბეზუტი ასწავლიდა მათემატიკას შუაგულის სკოლაში, ხოლო 1768 წლიდან სამეფო საარტილერიო კორპუსში.

ეტიენ ბეზუტის ძირითადი ნაშრომები დაკავშირებულია უმაღლეს ალგებრასთან, ისინი ეძღვნება ალგებრული განტოლებების ამოხსნის თეორიის შექმნას.

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის თეორიაში მან ხელი შეუწყო დეტერმინანტების თეორიის გაჩენას, შეიმუშავა უცნობების აღმოფხვრის თეორია უმაღლესი ხარისხის განტოლებათა სისტემებიდან, დაამტკიცა თეორემა (პირველად ჩამოყალიბებული მაკლარინის მიერ), რომ m რიგის ორი მრუდი. და n იკვეთება არაუმეტეს mn წერტილზე.

საფრანგეთში და მის ფარგლებს გარეთ 1848 წლამდე დიდი პოპულარობით სარგებლობდა მის მიერ 1764-69 წლებში დაწერილი ექვსტომეული მათემატიკის კურსი.

ბეზუტმა შეიმუშავა განუსაზღვრელი ფაქტორების მეთოდი. ელემენტარულ ალგებრაში მის სახელს ატარებს ამ მეთოდის საფუძველზე განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდი.

ბეზუტის ნაშრომის ნაწილი ეძღვნება გარე ბალისტიკას.

ალგებრის ერთ-ერთი მთავარი თეორემა მეცნიერის სახელს ატარებს.

შედეგი

რა უნდა იყოს ნაშთი ისე, რომ P (x) მრავალწევრი მთლიანად გაიყოს ორწევრზე (x - a)? (უდრის 0-ს).

ბეზოუთის თეორემიდან ვიღებთ შედეგს: იმისათვის, რომ P(x) პოლინომი მთლიანად გაიყოს ბინომალზე (x - a), აუცილებელია და საკმარისია P(a) = 0 ტოლობის დაკმაყოფილება.

VI. შესწავლილის ათვისება

(სლაიდი 8) ამოხსენით განტოლება: x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

P (x) \u003d x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 მრავალწევრის მთელი რიცხვი ფესვები უნდა იყოს თავისუფალი წევრის გამყოფები, ასე რომ ეს შეიძლება იყოს რიცხვები -1, 1, 3, -3.

ჩვენ ვირჩევთ ფესვს ჰორნერის სქემის მიხედვით:

VII. შედეგი:

რას გვაძლევს ბეზუტის თეორემა? (სლაიდი 9)

ბეზუტის თეორემა შესაძლებელს ხდის მრავალწევრის ერთი ფესვის აღმოჩენის შემდეგ, მოძებნოთ მრავალწევრის ფესვები, რომელთა ხარისხი 1-ით ნაკლებია: თუ P(a) = 0, მაშინ P(x) = (x - a. )Q(x), და რჩება განტოლების ამოხსნა Q (x) = 0. ზოგჯერ ამ ტექნიკით - მას ხარისხის დაწევას უწოდებენ - შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალწევრის ყველა ფესვი.

ადრე მრავალწევრის ცნება განისაზღვრა, როგორც მონომების ალგებრული ჯამი. თუ მრავალწევრის ყველა მსგავსი მონომი მოცემულია და დალაგებულია ცვლადის ხარისხის კლებადობით, მაშინ მიღებული აღნიშვნა ე.წ. კანონიკური აღნიშვნამრავალწევრი.

განმარტება.ფორმის გამოხატვა

სად xარის რაღაც ცვლადი, რეალური რიცხვები და , ეწოდება ხარისხის მრავალწევრი ნ ცვლადიდან x . ხარისხიმრავალწევრი არის ცვლადის უდიდესი ხარისხი მის კანონიკურ აღნიშვნით. თუ ცვლადი არ გვხვდება მრავალწევრულ აღნიშვნაში, ე.ი. მრავალწევრი ტოლია მუდმივის, მისი ხარისხი ითვლება 0-ის ტოლი. შემთხვევა, როდესაც მრავალწევრი ცალკე უნდა განიხილებოდეს. ამ შემთხვევაში ითვლება, რომ მისი ხარისხი არ არის განსაზღვრული.

მაგალითები.მეორე ხარისხის მრავალწევრი,

მეხუთე ხარისხის მრავალწევრი.

განმარტება.ორი მრავალწევრი თანაბარითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ იგივე კოეფიციენტები კანონიკურ ფორმებში იგივე უფლებამოსილებით.

განმარტება. ნომერზე იწოდება მრავალწევრი ფესვი, თუ ამ ნომრის დაყენებისას ნაცვლად xპოლინომი იღებს მნიშვნელობას 0, ე.ი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს იქნება განტოლების ფესვი

ამრიგად, მრავალწევრის ყველა ფესვის და რაციონალური განტოლების ფესვების პოვნის ამოცანა ერთი და იგივე ამოცანაა.

პირველი და მეორე ხარისხის რაციონალური განტოლებები ამოხსნილია ცნობილი ალგორითმებით. ასევე არსებობს ფორმულები მესამე და მეოთხე ხარისხის მრავალწევრების ფესვების საპოვნელად (კარდანოსა და ფერარის ფორმულები), თუმცა, მათი დატვირთულობის გამო, ისინი არ შედის ელემენტარული მათემატიკის კურსში.

უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრების ფესვების პოვნის ზოგადი იდეა არის მრავალწევრის ფაქტორიზირება და განტოლების შეცვლა ქვედა ხარისხის განტოლებების ექვივალენტური სიმრავლით.

წინა თემებში აღინიშნა მრავალწევრების ფაქტორინგის ძირითადი გზები: საერთო ფაქტორის ამოღება; დაჯგუფება; შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.

თუმცა, დაჯგუფების მეთოდი არ არის ალგორითმული ხასიათის, ამიტომ ძნელია მისი გამოყენება დიდი ხარისხის მრავალწევრებზე. განვიხილოთ რამდენიმე დამატებითი თეორემა და მეთოდი, რომლებიც შესაძლებელს ხდის უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრების ფაქტორიზირებას.

გაყოფის თეორემა ნაშთით.მიეცით მრავალწევრები და ხარისხი განსხვავდება 0-დან და ხარისხი ხარისხზე მეტია. მაშინ არის პოლინომები ისეთი, რომ ტოლობა

უფრო მეტიც, ხარისხი ხარისხზე ნაკლებია. მრავალწევრი ეწოდება გაყოფადი, მრავალწევრი გამყოფი,მრავალწევრი არასრული პირადიდა მრავალწევრი ნარჩენი .

თუ გაყოფის ნაშთი არის 0, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ გაყოფილია on მთლიანად, ხოლო თანასწორობა იღებს ფორმას:

მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფის ალგორითმი მსგავსია რიცხვის რიცხვზე სვეტით ან კუთხით გაყოფის ალგორითმისა. მოდით აღვწეროთ ალგორითმის ნაბიჯები.

ჩაწერეთ დივიდენდი სტრიქონში, ცვლადის ყველა ხარისხების ჩათვლით (ისინი, რომლებიც აკლია, ჩაწერეთ 0-ის კოეფიციენტით).

ჩაწერეთ "კუთხეში" დივიდენდი, ცვლადის ყველა ძალაუფლების ჩათვლით.

პირველი წევრის (მონომის) საპოვნელად არასრულ ნაწილებში, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდის წამყვანი მონომი გამყოფის წამყვან მონომზე.

მიღებული კოეფიციენტის პირველი წევრი გაამრავლეთ მთელ გამყოფზე და ჩაწერეთ შედეგი დივიდენდის ქვეშ და ჩაწერეთ ცვლადის იგივე გრადუსები ერთმანეთის ქვეშ.

გამოვაკლოთ მიღებული პროდუქტი დივიდენდს.

გამოიყენეთ ალგორითმი მიღებულ ნარჩენზე, დაწყებული 1 წერტილიდან).

ალგორითმი წყდება, როდესაც მიღებულ განსხვავებას აქვს გამყოფის ხარისხზე ნაკლები ხარისხი. ეს არის დარჩენილი.

მაგალითი. გავყოთ მრავალწევრი.

დაწერეთ დივიდენდი და გამყოფი

ჩვენ ვიმეორებთ პროცედურას

ხარისხი ნაკლებია გამყოფის ხარისხზე. ასე რომ, ეს არის დარჩენილი. გაყოფის შედეგი ასე იწერება:

ჰორნერის სქემა.თუ გამყოფი არის პირველი ხარისხის მრავალწევრი, მაშინ გაყოფის პროცედურა შეიძლება გამარტივდეს. განვიხილოთ მრავალწევრის ორწევრზე გაყოფის ალგორითმი.

მაგალითი. გაყავით მრავალწევრი ჰორნერის სქემით. Ამ შემთხვევაში ა=2. მოდით დავწეროთ ალგორითმის შესრულების შედეგები ეტაპობრივად.

Პირველი ნაბიჯი.

ნაბიჯი ორი

ნაბიჯი სამი

ნაბიჯი მეოთხე

ამრიგად, ჩვენ ვწერთ გაყოფის შედეგს შემდეგნაირად

კომენტარი.თუ დაგჭირდებათ გაყოფა ორობით

შემდეგ ის გარდაიქმნება შემდეგ ფორმაში. ეს გვიჩვენებს, რომ ჰორნერის სქემის მიხედვით გაყოფით ვიპოვით. ა. დანარჩენი იგივე რჩება.

ბეზუტის თეორემა. მრავალწევრის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის პოლინომის მნიშვნელობას წერტილში x = ა, ე.ი. . მრავალწევრი იყოფა ნარჩენის გარეშე თუ და მხოლოდ მაშინ x = აარის მრავალწევრის ფესვი.

ამრიგად, მრავალწევრის ერთი ფესვის პოვნა ა , შეგვიძლია მისი ფაქტორიზირება ისეთი ფაქტორის არჩევით , რომელსაც აქვს ხარისხი ერთით ნაკლები . თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ეს მულტიპლიკატორი ან ჰორნერის სქემის მიხედვით, ან "კუთხეზე" გაყოფით.

ფესვის პოვნის საკითხი წყდება ან შერჩევით ან მრავალწევრის რაციონალური ფესვების თეორემის გამოყენებით.

თეორემა.მოდით მრავალწევრი აქვს მთელი კოეფიციენტები. თუ შეუქცევადი წილადი არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ მისი მრიცხველი გვარის თავისუფალი წევრის გამყოფი და მნიშვნელი ქარის წამყვანი კოეფიციენტის გამყოფი .

ეს თეორემა საფუძვლად უდევს რაციონალური ფესვების პოვნის ალგორითმიმრავალწევრი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

ალგებრული წილადის დაშლა მარტივი წილადების ჯამად

განმარტებაწილადს, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია, ეწოდება ალგებრული წილადი .

განვიხილოთ ალგებრული წილადები ერთ ცვლადში. ზოგადად, ისინი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: , სადაც მრიცხველი არის ხარისხის მრავალწევრი ნ, მნიშვნელი არის ხარისხის მრავალწევრი კ. თუ , მაშინ წილადი ეწოდება სწორი .

TO უმარტივესი ალგებრული წილადებიარსებობს ორი სახის სწორი წილადი:

თეორემა.ნებისმიერი ალგებრული წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი ალგებრული წილადების ჯამის სახით.

ალგებრული წილადის გაფართოების ალგორითმი მარტივი წილადების ჯამად.

მნიშვნელის ფაქტორიზაცია.

დაადგინეთ სწორი წილადების რაოდენობა და მათი მნიშვნელების ტიპი.

ჩაწერეთ განტოლება, რომლის მარცხენა მხარეს არის თავდაპირველი წილადი, მარჯვენა მხარეს არის მარტივი წილადების ჯამი განუსაზღვრელი კოეფიციენტებით.

მიიტანეთ წილადები მარჯვენა მხარეს საერთო მნიშვნელთან.

გაატოლეთ მრავალწევრები წილადების მრიცხველებში. მრავალწევრთა ტოლობის განმარტების გამოყენებით შეადგინეთ წრფივი განტოლებათა სისტემა და ამოხსენით იგი განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მოძიებით.

ბეზუტის თეორემა, მიუხედავად მისი აშკარა სიმარტივისა და აშკარაობისა, პოლინომიური თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი თეორემაა. ამ თეორემაში, მრავალწევრების ალგებრული მახასიათებლები (ისინი საშუალებას აძლევენ იმუშაონ მრავალწევრებთან, როგორც მთელი რიცხვები) დაკავშირებულია მათ ფუნქციურ მახასიათებლებთან (რაც საშუალებას აძლევს ადამიანს განიხილოს პოლინომები ფუნქციებად).

ბეზუტის თეორემააცხადებს, რომ მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფის ნაშთი არის .

პოლინომის კოეფიციენტები დევს ერთიანობასთან შეცვლილ რგოლში (მაგალითად, რეალური ან რთული რიცხვების ველში).

ბეზუტის თეორემა - მტკიცებულება.

მრავალწევრის გაყოფა ნაშთზე P(x)მრავალწევრამდე (x-a):

გამომდინარე იქიდან, რომ გრადუსი (x)< deg (x-a) = 1 არის ნულის არაუმეტეს ხარისხის მრავალწევრი. ჩვენ ვცვლით, ვინაიდან ვიღებთ .

მაგრამ ეს არ არის ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორემა, არამედ ბეზუტის თეორემის შედეგი:

1. რიცხვი მრავალწევრის ფესვია P(x)თუ და მხოლოდ თუ P(x)ნარჩენების გარეშე იყოფა ორწევად x-a.

ამის საფუძველზე - მრავალწევრის ფესვთა სიმრავლე P(x)იდენტურია შესაბამისი განტოლების ფესვთა სიმრავლისა x-a.

2. მრავალწევრის თავისუფალი წევრი იყოფა მრავალწევრის ნებისმიერ მთელ ფესვზე მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით (როდესაც წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია, ყველა რაციონალური ფესვი მთელი რიცხვია).

3. დავუშვათ, რომ ეს არის შემცირებული მრავალწევრის მთელი რიცხვი ფესვი P(x)მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ასე რომ, ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის რიცხვი იყოფა .

ბეზოუთის თეორემა შესაძლებელს ხდის მრავალწევრის ერთი ფესვის აღმოჩენის შემდეგ, მოძებნოთ მრავალწევრის ფესვები, რომლის ხარისხი უკვე 1-ით ნაკლებია: თუ , მაშინ ეს პოლინომი P(x)ასე გამოიყურება:

ბეზოუთის თეორემის მაგალითები:

იპოვეთ მრავალწევრის ორწევრზე გაყოფის ნაშთი.

ბეზოუთის თეორემის ამოხსნის მაგალითები:

ბეზოუთის თეორემიდან გამომდინარე, სასურველი ნაშთი შეესაბამება პოლინომის მნიშვნელობას წერტილში. შემდეგ ჩვენ ვპოულობთ, ამისთვის ჩვენ გამოვხატავთ მნიშვნელობას მრავალწევრს ნაცვლად . ჩვენ ვიღებთ:

უპასუხე: დარჩენილი = 5.

ჰორნერის სქემა.

ჰორნერის სქემა- ეს არის მრავალწევრების გაყოფის ალგორითმი (ჰორნერის სქემით გაყოფა), დაწერილი სპეციალური შემთხვევისთვის, თუ კოეფიციენტი უდრის ბინომილს.

მოდით ავაშენოთ ეს ალგორითმი:

დავუშვათ, რომ - იყოფა

კოეფიციენტი (მისი ხარისხი სავარაუდოდ ერთით ნაკლები იქნება), რ- ნაშთი (რადგან გაყოფა ხორციელდება მრავალწევრით 1-ლიხარისხი, მაშინ ნარჩენის ხარისხი იქნება ერთით ნაკლები, ე.ი. ნულოვანი, ასე რომ, ნაშთი არის მუდმივი).

ნაშთით გაყოფის განმარტებით P(x) = Q(x) (x-a) + r. პოლინომიური გამოსახულებების ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ:

ვხსნით ფრჩხილებს და ვაიგივებთ კოეფიციენტებს იმავე სიმძლავრეებით, რის შემდეგაც გამოვხატავთ კოეფიციენტებს დივიდენდის და გამყოფის კოეფიციენტებით:

მოსახერხებელია გამოთვლების შეჯამება შემდეგ ცხრილში:

იგი ხაზს უსვამს იმ უჯრედებს, რომელთა შიგთავსი მონაწილეობს გამოთვლებში მომდევნო ეტაპზე.

ჰორნერის სქემის მაგალითები:

დაე, საჭირო იყოს მრავალწევრის ორობით გაყოფა x-2.

შექმენით ცხრილი ორი მწკრივით. 1 სტრიქონში ვწერთ ჩვენი მრავალწევრის კოეფიციენტებს. მეორე სტრიქონში მივიღებთ არასრული კოეფიციენტის კოეფიციენტებს შემდეგი სქემის მიხედვით: ჯერ ამ მრავალწევრის უმაღლეს კოეფიციენტს გადავწერთ, შემდეგ მომდევნო კოეფიციენტის მისაღებად ვამრავლებთ ბოლო ნაპოვნი კოეფიციენტს. a=2და დავამატოთ მრავალწევრის შესაბამისი კოეფიციენტით F(x). უახლესი კოეფიციენტი იქნება დარჩენილი და ყველა წინა კოეფიციენტი იქნება არასრული კოეფიციენტის კოეფიციენტები.

რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა

მოდით _ იყოს მრავალწევრის ფესვი, ე.ი. გაყავით, სადაც ხარისხი ხარისხზე ნაკლებია, რაც ტოლია, შესაბამისად, ხარისხი ტოლია, ე.ი. . ნიშნავს,. ვინაიდან, ბოლო თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ ე.ი. .

პირიქით, გაყოფს, ე.ი. . მერე.

შედეგი.ნარჩენი მრავალწევრის გაყოფის შემდეგ ტოლია.

პირველი ხარისხის მრავალწევრებს წრფივი მრავალწევრები ეწოდება. ბეზუტის თეორემა აჩვენებს, რომ მრავალწევრის ფესვების პოვნა უდრის მისი წრფივი გამყოფების პოვნას წამყვანი კოეფიციენტით 1.

პოლინომი შეიძლება დაიყოს წრფივ პოლინომად გაყოფა-ნარჩენით ალგორითმის გამოყენებით, მაგრამ არსებობს უფრო მოსახერხებელი დაყოფა, რომელიც ცნობილია როგორც ჰორნერის სქემა.

მიეცით და სად. უცნობის იგივე სიმძლავრის კოეფიციენტების შედარებისას ბოლო ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს მივიღებთ:

რიცხვს ეწოდება მრავალწევრის სიმრავლის ფესვი, თუ ის იყოფა, მაგრამ აღარ იყოფა.

იმის დასაჯერებლად, იქნება თუ არა რიცხვი მრავალწევრის ფესვი და რა სიმრავლე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჰორნერის სქემა. ჯერ გავყოთ შემდეგზე, თუ ნაშთი არის ნული, მიღებული კოეფიციენტი იყოფა და ა.შ. სანამ არ მიიღება ნულოვანი ნაშთი.

მრავალწევრის განსხვავებული ფესვების რაოდენობა არ აღემატება მის ხარისხს.

შემდეგი ძირითადი თეორემა დიდი მნიშვნელობა აქვს.

მთავარი თეორემა. ნებისმიერ მრავალწევრს არანულოვანი ხარისხის რიცხვითი კოეფიციენტებით აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი (შესაძლოა რთული).

შედეგი. გრადუსის ყველა მრავალწევრს აქვს იმდენი ფესვი C-ში (კომპლექსური რიცხვების სიმრავლე), რამდენიც მისი ხარისხი, თითოეულ ფესვს ითვლის იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის მისი სიმრავლე.

სადაც _ ფესვები, ე.ი. C სიმრავლეში ყველა მრავალწევრი იშლება წრფივი ფაქტორების ნამრავლად. თუ ერთი და იგივე ფაქტორები ერთად შევა, მაშინ:

სადაც უკვე განსხვავებული ფესვები, _ არის ფესვის სიმრავლე.

თუ რეალური კოეფიციენტების მქონე მრავალწევრს აქვს ფესვი, მაშინ რიცხვიც არის ფესვი

ეს ნიშნავს, რომ რეალური კოეფიციენტების მქონე მრავალწევრს რთული ფესვები აქვს წყვილებში.

შედეგი.კენტი ხარისხის რეალური კოეფიციენტების მქონე მრავალწევრს აქვს ნამდვილი ფესვების უცნაური რაოდენობა.

Let და ფესვები მაშინ იყოფა და მაგრამ რადგან და არ აქვს საერთო გამყოფები, მაშინ იყოფა ნამრავლზე.

განცხადება 2.პოლინომი რეალური ხარისხის კოეფიციენტებით ყოველთვის იშლება რეალურ რიცხვთა სიმრავლეზე წრფივი მრავალწევრების ნამრავლად, რომელიც შეესაბამება მის ნამდვილ ფესვებს და მე-2 ხარისხის მრავალწევრებს, რომლებიც შეესაბამება წყვილი კონიუგირებული რთული ფესვებს.

რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალების გამოთვლისას გვჭირდება რაციონალური წილადის წარმოდგენა უმარტივესთა ჯამის სახით.

რაციონალური წილადი არის წილადი, სადაც და _ არის მრავალწევრები რეალური კოეფიციენტებით და მრავალწევრი. რაციონალურ წილადს მართებული ეწოდება, თუ მრიცხველის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელის ხარისხზე. თუ რაციონალური წილადი არარეგულარულია, მაშინ მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით მრავალწევრების გაყოფის წესის მიხედვით, ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით, სადაც და არის რამდენიმე მრავალწევრი და არის სათანადო რაციონალური წილადი.

ლემა 1.თუ არის სწორი რაციონალური წილადი და რიცხვი არის მრავალწევრის სიმრავლის ნამდვილი ფესვი, ე.ი. და, მაშინ არის რეალური რიცხვი და პოლინომი რეალური კოეფიციენტებით, რომ სადაც არის ასევე სწორი წილადი.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ მიღებული გამოხატულება არის რაციონალური წილადი რეალური კოეფიციენტებით.

ლემა 2.თუ არის სწორი რაციონალური წილადი და რიცხვი (და არიან ნამდვილები) არის მრავალწევრის სიმრავლის ფესვი, ე.ი. და, და თუ, მაშინ არის რეალური რიცხვები და და მრავალწევრი რეალური კოეფიციენტებით ისეთი, რომ სადაც არის ასევე სწორი წილადი.

ფორმის რაციონალურ წილადებს, _ ტრინომს უძრავი კოეფიციენტებით, რომლებსაც არ აქვთ ნამდვილი ფესვები, მარტივი (ან ელემენტარული) წილადები ეწოდება.

ყოველი სწორი რაციონალური წილადი ცალსახად არის წარმოდგენილი, როგორც მარტივი წილადების ჯამი.

ასეთი გაფართოების პრაქტიკული მიღებისას მოსახერხებელი გამოდის ე.წ. განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი. იგი შედგება შემდეგი:

მოცემული წილადისთვის იწერება გაფართოება, რომელშიც კოეფიციენტები უცნობია;
ამის შემდეგ ტოლობის ორივე ნაწილი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე და მრიცხველში მიღებული მრავალწევრების კოეფიციენტები გაიგივებულია.

უფრო მეტიც, თუ მრავალწევრის ხარისხი ტოლია, მაშინ მრიცხველში, საერთო მნიშვნელზე შემცირების შემდეგ, მიიღება ხარისხის მრავალწევრი, ე.ი. მრავალწევრი კოეფიციენტებით.

უცნობის რაოდენობაც უდრის: .

ამრიგად, მიიღება უცნობებთან განტოლებათა სისტემა. ამ სისტემის ამოხსნის არსებობა ზემოაღნიშნული თეორემიდან გამომდინარეობს.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: