თვითმფრინავების შეკვრა კოსმოსში. ხაზების ფანქარი, ხაზების შეკვრის განტოლება


ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ სიბრტყეების ფანქრის განმარტებას, მივიღებთ სიბრტყეების ფანქრის განტოლებას მოცემულ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მიმართ და დეტალურად განვიხილავთ სიბრტყეების ფანქრის კონცეფციასთან დაკავშირებული ტიპიური ამოცანების გადაწყვეტილებებს. .

გვერდის ნავიგაცია.

თვითმფრინავების შეკვრა - განმარტება.

გეომეტრიის აქსიომებიდან გამომდინარეობს, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში ერთი სიბრტყე გადის წრფეზე და მასზე არ დევს წერტილზე. და ამ განცხადებიდან გამომდინარეობს, რომ უსასრულოდ ბევრი სიბრტყეა, რომელიც შეიცავს წინასწარ განსაზღვრულ ხაზს. დავამტკიცოთ ეს.

მოდით მივცეთ სწორი ხაზი a. ავიღოთ წერტილი M 1, რომელიც არ დევს a წრფეზე. შემდეგ a წრფის და M 1 წერტილის მეშვეობით შეგვიძლია დავხატოთ სიბრტყე და მხოლოდ ერთი. მოდით დავასახელოთ. ახლა ავიღოთ წერტილი M 2, რომელიც არ დევს სიბრტყეში. A წრფის და M 2 წერტილის გავლით გადის ერთადერთი სიბრტყე. თუ ავიღებთ M 3 წერტილს, რომელიც არც სიბრტყეშია და არც სიბრტყეში, მაშინ შეგვიძლია ავაგოთ სიბრტყე, რომელიც გადის a წრფეზე და M 3 წერტილზე. ცხადია, მოცემულ სწორ ხაზზე გამავალი თვითმფრინავების აგების პროცესი შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით.

ამრიგად, ჩვენ მივედით თვითმფრინავების შეკვრის განსაზღვრებამდე.

განმარტება.

თვითმფრინავის შეკვრაარის ყველა სიბრტყის ერთობლიობა სამგანზომილებიან სივრცეში, რომელიც გადის ერთ მოცემულ ხაზზე.

სწორ ხაზს, რომელსაც შეიცავს შეკვრის ყველა სიბრტყე, სიბრტყეების ამ შეკვრის ცენტრს უწოდებენ. ამრიგად, ხდება გამოთქმა "სიბრტყეების შეკვრა a ცენტრით".

თვითმფრინავების კონკრეტული შეკვრა შეიძლება განისაზღვროს ან მისი ცენტრის მითითებით, ან ამ შეკვრის ნებისმიერი ორი სიბრტყის მითითებით, რაც არსებითად იგივეა. მეორეს მხრივ, ნებისმიერი ორი გადამკვეთი სიბრტყე განსაზღვრავს სიბრტყეების გარკვეულ შეკვრას.

სიბრტყეების სხივის განტოლება - ამოცანების ამოხსნა.

პრაქტიკული მიზნებისთვის, საინტერესოა არა იმდენად თვითმფრინავების შეკვრა მისი გეომეტრიული ფორმით, არამედ.

დაუყოვნებლივ ვუპასუხოთ ლოგიკურ კითხვას: „რა არის სიბრტყეების სხივის განტოლება“?

ამისათვის ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ Oxyz შემოტანილია სამგანზომილებიან სივრცეში და თვითმფრინავების შეკვრა მითითებულია ორი სიბრტყის და მისგან. დაე, სიბრტყე შეესაბამებოდეს ფორმის სიბრტყის ზოგად განტოლებას, ხოლო სიბრტყე - ფორმის. ასე რომ, სიბრტყეების სხივის განტოლება არის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ამ სხივის ყველა სიბრტყის განტოლებებს.

ჩნდება შემდეგი ლოგიკური კითხვა: „რა არის სიბრტყეების სხივის განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxyz“?

სიბრტყეების ფანქრის განტოლების ფორმა მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა.

სიბრტყე მიეკუთვნება სიბრტყეების ფანქარს, რომლებიც განსაზღვრულია ორი გადამკვეთი სიბრტყით და მოცემულია განტოლებებით და შესაბამისად, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც და არის თვითნებური რეალური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი. (ბოლო პირობა უტოლობის ტოლფასია).

მტკიცებულება.

საკმარისობის დასადასტურებლად, თქვენ უნდა აჩვენოთ:

მოდით გადავიწეროთ განტოლება ფორმით. შედეგად მიღებული განტოლება არის სიბრტყის ზოგადი განტოლება, თუ გამონათქვამები და არ არის ერთდროულად ნულის ტოლი.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ისინი ნამდვილად არ ქრება ამავე დროს წინააღმდეგობებით. მოდით ვიფიქროთ, რომ. მაშინ თუ , მაშინ თუ , მაშინ . მიღებული ტოლობები ნიშნავს იმას, რომ ვექტორები და დაკავშირებულია ურთიერთობებით ან (საჭიროების შემთხვევაში, იხილეთ სტატია), შესაბამისად, და მოქმედებს. ვინაიდან სიბრტყის ნორმალური ვექტორია, - სიბრტყის ნორმალური ვექტორი , და ვექტორები და არის კოლინარული, შემდეგ სიბრტყეები და პარალელურია ან ემთხვევა (იხილეთ სტატია ორი სიბრტყის პარალელურობის პირობა). და ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან სიბრტყეები განსაზღვრავენ თვითმფრინავების შეკვრას და, შესაბამისად, იკვეთებიან.

ასე რომ, განტოლება მართლაც სიბრტყის ზოგადი განტოლებაა. ვაჩვენოთ, რომ ამ განტოლებით განსაზღვრული სიბრტყე გადის სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს და .

თუ ეს მართალია, მაშინ ფორმის განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. (თუ განტოლებათა წერილობით სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, მაშინ სიბრტყეებს, რომელთა განტოლებიდანაც სისტემა შედგება, აქვთ ერთი საერთო წერტილი, შესაბამისად, სიბრტყე კვეთს გადამკვეთი სიბრტყეებით განსაზღვრულ სწორ ხაზს და. თუ განტოლებათა წერილობითი სისტემა აქვს. არ არის ამონახსნები, მაშინ არ არსებობს წერტილი, რომელიც ერთდროულად მიეკუთვნება სამივე სიბრტყეს, მაშასადამე, სიბრტყე პარალელურია გადამკვეთი სიბრტყეების მიერ მოცემული სწორი ხაზისა და ).

ვინაიდან განტოლებათა წერილობითი სისტემის პირველი განტოლება არის მეორე და მესამე განტოლებების წრფივი კომბინაცია, ის ზედმეტია და შეიძლება გამორიცხული იყოს სისტემიდან შედეგების გარეშე (ამაზე ვისაუბრეთ სტატიაში). ანუ განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა ფორმის განტოლებათა სისტემის ტოლფასია . და ამ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები, რადგან სიბრტყეები და აქვს უსასრულოდ ბევრი საერთო წერტილი იმის გამო, რომ ისინი იკვეთებიან.

საკმარისობა დადასტურებულია.

გადავიდეთ აუცილებლობის მტკიცებულებაზე.

აუცილებლობის დასამტკიცებლად აუცილებელია იმის ჩვენება, რომ როგორიც არ უნდა იყოს წინასწარ განსაზღვრული სიბრტყე, რომელიც გადის სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს და , იგი განისაზღვრება პარამეტრების ზოგიერთი მნიშვნელობის განტოლებით და .

აიღეთ თვითმფრინავი, რომელიც გადის წერტილს და სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის მეშვეობით და (M 0 არ დევს ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე). მოდით ვაჩვენოთ, რომ ყოველთვის შესაძლებელია ისეთი მნიშვნელობებისა და პარამეტრების არჩევა და რომლებშიც M 0 წერტილის კოორდინატები დააკმაყოფილებს განტოლებას, ანუ თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი. ეს დაადასტურებს საკმარისობას.

შევცვალოთ М 0 : წერტილის კოორდინატები განტოლებაში. ვინაიდან სიბრტყეები და ერთდროულად არ გადიან M 0 წერტილს (წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს სიბრტყეები დაემთხვა), მაშინ ერთ-ერთი მაინც ან ნულისაგან განსხვავებული. თუ , მაშინ განტოლება შეიძლება ამოიხსნას როგორც პარამეტრთან მიმართებაში და, პარამეტრს მივცემთ თვითნებურ არანულოვან მნიშვნელობას, ვიანგარიშებთ. თუ , მაშინ პარამეტრს ვაძლევთ თვითნებურ არანულოვან მნიშვნელობას, ვიანგარიშებთ .

თეორემა სრულიად დადასტურებულია.

ასე გამოიყურება. ის განსაზღვრავს სხივის ყველა სიბრტყეს. თუ ავიღებთ რამდენიმე წყვილ მნიშვნელობას და ჩაანაცვლეთ ისინი სიბრტყეების შეკვრის განტოლებაში, შემდეგ ამ შეკვრიდან მივიღებთ ერთი სიბრტყის ზოგად განტოლებას.

ვინაიდან სიბრტყეების სხივის განტოლებაში პარამეტრები და ნულის ტოლი არ არის, ის შეიძლება დაიწეროს სახით , თუ , და სახით , თუ .

თუმცა, ეს განტოლებები არ არის ფორმის სიბრტყის სხივის განტოლების ექვივალენტი, რადგან ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის შეუძლებელია ფორმის სიბრტყის განტოლების მიღება განტოლებიდან და განტოლებიდან ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ფორმის სიბრტყის განტოლების მიღება შეუძლებელია.

მოდით გადავიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე.

მაგალითი.

დაწერეთ განტოლება სიბრტყის შეკვრისთვის, რომელიც მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxyz მოცემულია ორი გადამკვეთი სიბრტყით. და .

გამოსავალი.

სიბრტყის მოცემული განტოლება სეგმენტებში უდრის ფორმის სიბრტყის ზოგად განტოლებას. ახლა შეგვიძლია ჩამოვწეროთ სიბრტყეების ნაკრებისთვის საჭირო განტოლება: .

პასუხი:

მაგალითი.

მიეკუთვნება თუ არა თვითმფრინავი ცენტრის მქონე თვითმფრინავების შეკვრას?

გამოსავალი.

თუ თვითმფრინავი ეკუთვნის ფანქარს, მაშინ ხაზი, რომელიც არის ფანქრის ცენტრი, დევს ამ სიბრტყეში. ამრიგად, შეგიძლიათ აიღოთ ხაზის ორი განსხვავებული წერტილი და შეამოწმოთ, დევს თუ არა ისინი სიბრტყეში. თუ კი, მაშინ თვითმფრინავი მიეკუთვნება მითითებულ თვითმფრინავის პაკეტს, თუ არა, მაშინ არა.

სივრცეში სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები აადვილებს მასზე მდებარე წერტილების კოორდინატების განსაზღვრას. ავიღოთ პარამეტრის ორი მნიშვნელობა (მაგალითად, და ) და გამოვთვალოთ სწორი ხაზის ორი წერტილის M 1 და M 2 კოორდინატები:

სიბრტყეების სწორი ფანქარი არის ყველა სიბრტყის ერთობლიობა, რომელიც გადის ერთ სწორ ხაზზე.

სიბრტყეების არასწორი ფანქარი არის ყველა პარალელური სიბრტყის ნაკრები.

თეორემა 1.რათა ზოგადი განტოლებებით მოცემული სამი სიბრტყე

საერთო დეკარტის კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით, ერთსა და იმავე სხივს ეკუთვნოდა, სათანადო თუ არასათანადო, აუცილებელია და საკმარისია მატრიცის რანგი

ტოლი იყო ან ორი ან ერთი.

აუცილებლობის მტკიცებულება. მოდით სამი სიბრტყე (1) მიეკუთვნებოდეს იმავე პაკეტს. ამის დამტკიცებაა საჭირო

ჯერ ვივარაუდოთ, რომ სამი მოცემული თვითმფრინავი ეკუთვნის საკუთარ ფანქარს. მაშინ სისტემას (1) აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები (რადგან სათანადო ფანქრის განმარტებით: სამი სიბრტყე ეკუთვნის ფანქარს, თუ ისინი გადიან ერთ სწორ ხაზს); ეს იქნება თუ და მხოლოდ მაშინ, რადგან თუ, მაშინ სისტემა (1) ან აქვს უნიკალური ამონახსნი ან არათანმიმდევრულია, იმისდა მიხედვით, უცნობის კოეფიციენტებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან თუ ნულის ტოლი.

თუ სამი მოცემული სიბრტყე ეკუთვნის არასათანადო ლილვას, მაშინ მატრიცის რანგი

უდრის 1-ს, რაც ნიშნავს, რომ მატრიცის რანგი მუდრის ორს ან ერთს.

საკმარისობის მტკიცებულება. მოცემული: საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ სამი მოცემული სიბრტყე ეკუთვნის ერთსა და იმავე ფანქარს.

თუ, მაშინ და. დაე იყოს. მაშინ სისტემა (1) თავსებადია, აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა და ამ სიბრტყეებს შორის არის გადამკვეთები (რადგან გადამკვეთები რომ არ არსებობდეს, ისინი ყველა პარალელური იქნებოდა და მატრიცის რანგი 1-ის ტოლი იქნებოდა). სამი მოცემული თვითმფრინავი ეკუთვნის საკუთარ პაკეტს.

თუ; , მაშინ ყველა სიბრტყე არის კოლინარული (ორი მათგანი აუცილებლად პარალელურია, ხოლო მესამე შეიძლება ემთხვეოდეს ერთ-ერთ პარალელურ სიბრტყეს).

თუ, მაშინ და, და ყველა თვითმფრინავი ემთხვევა.

თეორემა 2. ზოგად დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში მოცემული იყოს ორი განსხვავებული სიბრტყე და ზოგადი განტოლება: ; .

მესამე სიბრტყისთვის, ასევე მოცემულია ზოგადი განტოლებით

იგივე კოორდინატთა სისტემის მიმართ, ეკუთვნის სიბრტყეებით განსაზღვრულ ფანქარს და აუცილებელია და საკმარისია, რომ სიბრტყის განტოლების მარცხენა მხარე იყოს სიბრტყეების განტოლებების მარცხენა გვერდების წრფივი კომბინაცია და.

აუცილებლობის მტკიცებულება. მოცემული: სიბრტყე ეკუთვნის u სიბრტყეებით განსაზღვრულ სიბრტყეთა შეკვრას. საჭიროა დაამტკიცოს, რომ არსებობს რიცხვები და ისეთი, რომ იდენტურობა ჭეშმარიტი იქნება ყველა მნიშვნელობისთვის X, ზე, ზ:

მართლაც, თუ სამი თვითმფრინავი და ეკუთვნის ერთ შეკვრას, მაშინ სად

ამ მატრიცის პირველი ორი მწკრივი წრფივად დამოუკიდებელია (რადგან სიბრტყეები და განსხვავებულია), და რადგან მესამე რიგი პირველი ორის წრფივი კომბინაციაა, ე.ი. არის რიცხვები და ისეთი რომ



პირველი ტოლობის ორივე მხარის გამრავლება X, მეორე ნაწილის ორივე ნაწილი ზე, მესამე ნაწილის ორივე ნაწილი ზდა მიღებული ტოლობებისა და ტოლობის ტერმინების მიხედვით შეჯამებით მივიღებთ დასამტკიცებელ იდენტობას.

საკმარისობის დამადასტურებელი საბუთი.დაე, ვინაობა

მოქმედებს ყველა ღირებულებისთვის X, ზედა ზ. საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ თვითმფრინავი მიეკუთვნება u სიბრტყეებით განსაზღვრულ ფანქარს.

ამ იდენტობიდან გამომდინარეობს ურთიერთობები

ასე რომ, მატრიცის მესამე რიგი მარის პირველი ორის წრფივი კომბინაცია და ამიტომ. ჩ.ტ.დ.

განტოლებას, სადაც და არ არის ერთდროულად ნულის ტოლი, ეწოდება სიბრტყეების შეკვრის განტოლებას, რომელიც განისაზღვრება ორი განსხვავებული სიბრტყით და რომლის განტოლებები საერთო დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში ასეთია:

როგორც დადასტურდა, სხივის ნებისმიერი სიბრტყის განტოლება განისაზღვრება სხვადასხვა სიბრტყით და შეიძლება დაიწეროს ფორმით

პირიქით, თუ განტოლება, რომელშიც მინიმუმ ერთი რიცხვი და არ არის ნულის ტოლი, არის პირველი ხარისხის განტოლება, მაშინ ეს არის u სიბრტყეებით განსაზღვრული ფანქრის კუთვნილი სიბრტყის განტოლება. მართლაც, მატრიცის მესამე რიგი მ, შედგება განტოლებების კოეფიციენტებისგან და აქვს ფორმა

იმათ. არის დანარჩენი ორის წრფივი კომბინაცია, შესაბამისად.

თუ სიბრტყეები და ერთმანეთს კვეთენ, და და არ არიან ნულის ტოლი ერთდროულად, მაშინ ყველა კოეფიციენტი X, ზე, ზგანტოლებაში არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ვინაიდან თუ მიმართებები

მაშინ თვითმფრინავები იქნება კოლინარული, ვარაუდის საწინააღმდეგოდ.

მაგრამ თუ სიბრტყეები და პარალელურია, მაშინ არის ისეთი რიცხვები და, რომელთა შორის ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი და ისეთი, რომ განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი X, ზედა ზნულის ტოლია. მაგრამ მაშინ ეს იქნება არასათანადო ფანქარი და ისევე, როგორც ხაზების ფანქრის შემთხვევაში, აქაც ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ.

პირველ რიგში ვიტყვით, რომ თვითმფრინავი

არსებობს თვითმფრინავების ხაზოვანი კომბინაცია

თუ განტოლება (1) არის (2) და (3) განტოლებების წრფივი კომბინაცია, ანუ, თუ არსებობს ისეთი და , ისეთი, რომ იდენტურობა

იდენტურობიდან (4) გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე განტოლებას (2) და (3) ასევე აკმაყოფილებს განტოლებას (1) - ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ორივე სიბრტყეს (2) და (3) ასევე ეკუთვნის სიბრტყეს (1). Სხვა სიტყვებით:

სიბრტყე, რომელიც არის ამ ორი გადამკვეთი სიბრტყის (2) და (3) წრფივი კომბინაცია, გადის ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზში. დავამტკიცოთ, რომ პირიქით, ნებისმიერი სიბრტყე (1), რომელიც გადის ორი მოცემული სიბრტყის (2) და (3) d გადაკვეთის წრფეზე, არის ამ სიბრტყეების წრფივი კომბინაცია.

ზოგადობის დაკარგვის გარეშე შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ სიბრტყე (1) არ ემთხვევა არცერთ სიბრტყეს (2) და (3). მტკიცებულება ზუსტად იგივეა, რაც სტრიქონების შემთხვევაში (თავი V, §5).

d წრფეზე გამავალი სიბრტყე სრულად იქნება განსაზღვრული, თუ მივუთითებთ მის ზოგიერთ წერტილს (სურ. 122), რომლებიც არ დევს d წრფეზე.

ავიღოთ ასეთი წერტილი ჩვენს სიბრტყეზე (1) და დავწეროთ განტოლება ორი უცნობით და:

ვინაიდან, ვარაუდით, წერტილი არ დევს d წრფეზე, მაშინ (5) განტოლების მარცხენა მხარეს ერთ-ერთი ფრჩხილის მაინც არ არის ნულოვანი; ამ განტოლებიდან (5) თანაფარდობა ცალსახად არის განსაზღვრული

მოდით ახლა და რამდენიმე რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს პროპორციას (6). მაშინ ასევე მოქმედებს ტოლობა (5), რაც ნიშნავს, რომ წერტილი დევს სიბრტყეზე

მაგრამ ეს სიბრტყე, როგორც სიბრტყეების (2) და (3) წრფივი კომბინაცია, გადის d წრფეზე და შეიცავს სიბრტყის კუთვნილ წერტილს (-რაც ნიშნავს, რომ სიბრტყე (1) ემთხვევა სიბრტყეს (7) და არის წრფივი კომბინაცია. სიბრტყეების (2) და (3) მტკიცება დადასტურებულია.

ასე რომ, იმისთვის, რომ სიბრტყემ (1) გაიაროს ორი სიბრტყის (2) და (3) გადაკვეთის ხაზში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ განტოლება (1) იყოს (2) და (3) განტოლებების წრფივი კომბინაცია. .

მოდით, სიბრტყეები (2) და (3) იყოს პარალელური. ზუსტად ისევე, როგორც V თავის მე-5 პუნქტში, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ნებისმიერი სიბრტყე, რომელიც წარმოადგენს სიბრტყეების (2) და (3) წრფივ კომბინაციას, იქნება მათი პარალელური და რომ, პირიქით, ნებისმიერი სიბრტყე პარალელურად ორის (პარალელური). ერთმანეთს) სიბრტყეები (2) და (3) არის მათი წრფივი კომბინაცია.

მოცემულ დ წრფეზე გამავალი ყველა სიბრტყის კრებულს ვუწოდოთ ღერძის მქონე სიბრტყეების სათანადო ფანქარი, სიბრტყეების არასწორ ფანქარს ვუწოდოთ ყველა სიბრტყის პარალელური (სიტყვის ფართო გაგებით) ერთ-ერთი სიბრტყის შეკრება. და ბოლოს, ჩვენ ვუწოდებთ ყველა სიბრტყის ერთობლიობას, რომლებიც წარმოადგენენ ნებისმიერი ორი სიბრტყის წრფივ კომბინაციას და , სიბრტყეების ერთგანზომილებიან მრავალფეროვნებას, რომლებიც წარმოიქმნება მისი ორი ელემენტის და . ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ სიბრტყეების ნებისმიერი ფანქარი (სწორი თუ არასათანადო) არის ერთგანზომილებიანი მრავალმხრივი, რომელიც წარმოიქმნება მისი ნებისმიერი ორი ელემენტისგან.

პირიქით, სიბრტყეების ნებისმიერი ერთგანზომილებიანი მრავალმხრივი (წარმოქმნილი ორი სიბრტყის და 62-ის მიერ) არის სიბრტყეების შეკვრა - სწორია, თუ სიბრტყეები და 62 იკვეთება, არასწორია, თუ ისინი პარალელური არიან.

ამ „ლექციების“ XXIII თავში ჩვენ ავაშენებთ პროექციულ სივრცეს ჩვეულებრივი სივრცისთვის უსასრულოდ დაშორებული (არასათანადო) წერტილების მიმატებით ისე, რომ ამ უსასრულოდ დაშორებული წერტილების მთლიანობა ქმნის უსასრულოდ შორეულ (არასწორ) სიბრტყეს;

ამ სიბრტყეში მდებარე ყველა ხაზი ასევე იქნება უსასრულოდ ან არასწორად. სივრცის თითოეული "სწორი" (ანუ ჩვეულებრივი) სიბრტყე კვეთს არასწორ სიბრტყეს არასწორი სწორი ხაზის გასწვრივ - მოცემული სწორი სიბრტყის ერთადერთი არასწორი სწორი ხაზის გასწვრივ. გამოდის, რომ ორი სწორი სიბრტყე პარალელურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ისინი იკვეთებიან (მათი საერთო) ხაზის გასწვრივ უსასრულობაში. ამრიგად, საპროექტო სივრცეში ქრება განსხვავება სიბრტყეების სათანადო და არასწორ ფანქრებს შორის: არასათანადო ფანქარი არის თვითმფრინავების ფანქარი, რომლის ღერძი არის საპროექტო სივრცის ერთ-ერთი არასწორი ხაზი.

ლექციები ალგებრასა და გეომეტრიაზე. სემესტრი 1.

ლექცია 14

თავი 14

პუნქტი 1. სიბრტყეზე სწორი ხაზების ფანქრის განტოლება.

განმარტება. სიბრტყეში ხაზების ფანქარი არის მოცემულ სიბრტყეში ყველა წრფის ერთობლიობა, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი, რომელსაც ფანქრის ცენტრი ეწოდება.

ნახ.1 პუნქტში
არის სხივის ცენტრი.

თეორემა. დაე

არის ორი სწორი ხაზი Oxy-ის კოორდინატულ სიბრტყეში, რომლებიც კვეთენ წერტილს
. შემდეგ განტოლება

სად
არის თვითნებური რეალური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, არსებობს ხაზების ფანქრის განტოლება ფანქრის ცენტრით წერტილში
.

მტკიცებულება.

მოდით L იყოს ამ ფანქრის თვითნებური ხაზი ფანქრის ცენტრით წერტილში
და არის მისი ნორმალური ვექტორი. მაშინ L წრფის ვექტორულ განტოლებას აქვს ფორმა:

, (2)

სად არის წერტილის რადიუსის ვექტორი
, არის დენის რადიუსის ვექტორი, ე.ი. მიმდინარე წერტილის რადიუსის ვექტორი
.

მას შემდეგ რაც პირდაპირ და
თეორემის ჰიპოთეზის მიხედვით იკვეთება, მაშინ მათი ნორმალური ვექტორები არ არის კოლინარული და, შესაბამისად, ქმნიან საფუძველს.

შემდეგ ვექტორი ამის საფუძველზე შეიძლება გაფართოვდეს:

,

სად
– ამ გაფართოების კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, რადგან განსაზღვრებით ნორმალური ვექტორი
. ჩანაცვლებით (2) ვიღებთ ან

მაგრამ
და
არის წრფეების ვექტორული განტოლებები და
, ე.ი. ,

ჩანაცვლებით (3) მივიღებთ ტოლობას (1).

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მოცემული ფანქრიდან ნებისმიერი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა (1).

პირიქით, ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ ნებისმიერი
, ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, განტოლება (1) არის მოცემული ფანქრის რომელიღაც სწორი ხაზის განტოლება.

მართლაც, ერთი მხრივ, ნებისმიერი
, ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, განტოლება (1) არის სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება

მეორეს მხრივ, შევიტანოთ განტოლება (1)
არის თვითნებური რეალური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ უდრის ნულს და მოდით
არის სხივის ცენტრის კოორდინატები. იმიტომ რომ
და
, მაშინ სხივის ცენტრის კოორდინატები აკმაყოფილებს ხაზების განტოლებებს და
:

შემდეგ წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლება
განტოლებაში (1), ვიღებთ

იმათ. განტოლება (1) არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წერტილში
, რაც ნიშნავს, რომ ხაზი ეკუთვნის მოცემულ პაკეტს და ა.შ.

თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი. თუ (1)

. თუ
, მაშინ განტოლება (1) არის სწორი ხაზის განტოლება . ამიტომ, თუ განტოლება (1) იყოფა
, მაშინ მოცემული ფანქრიდან ვიღებთ ნებისმიერი წრფის განტოლებას, წრფის გარდა
:

მაგალითი. დაწერეთ მოცემულ წერტილში გამავალი თვითნებური წრფის განტოლება
.

გამოსავალი. სასურველი ხაზი არის ხაზების ფანქრის ხაზი ფანქრის ცენტრით წერტილში
. ცხადია, შემდეგი ორი სტრიქონი ეკუთვნის ამ ფანქარს:

და

ან
,
. მაშინ ამ ფანქრის ნებისმიერი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა

თუ ამ განტოლებაში ბერძნულ ასოებს შევცვლით ლათინურით, მივიღებთ

- მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება
. კერძოდ, როცა
, ვიღებთ ხაზების ფანქრის განტოლებას ფანქრის ცენტრით საწყისზე:
.

განტოლების (5) გაყოფა
, ვიღებთ მოცემულ წერტილში გამავალი დახრილობის სწორი ხაზის განტოლებას
:

, (6)

და ზე
, ვიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას საწყისზე გამავალი დახრილობით:

.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლება
, სად
, არის ხაზების ფანქრის განტოლება ფანქრის ცენტრით საწყისზე.

პუნქტი 2. სიბრტყეების შეკვრის განტოლება.

განმარტება. სიბრტყეების თაიგული არის ყველა სიბრტყის ერთობლიობა, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი, რომელსაც ეწოდება მტევნის ცენტრი.

თეორემა. დაე,

არის სამი სიბრტყე PDCS Oxyz-ში, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო წერტილი
. შემდეგ განტოლება, (7)

სად
- თვითნებური რეალური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ უდრის ნულს, არის სიბრტყეების მტევნის განტოლება მტევნის ცენტრით წერტილში
.

მტკიცებულება თითქმის ერთი-ერთზე იმეორებს წინა თეორემის მტკიცებულებას ხაზების ფანქრის განტოლებაზე.

მაგალითი. იპოვეთ სიბრტყეების მტევნის განტოლება მტევნის ცენტრით წერტილში
.

გამოსავალი. აშკარაა, რომ შემდეგი სამი სიბრტყე იკვეთება ერთ წერტილში
:

,
,
.

შემდეგ განტოლება

სად
და ამავე დროს ნულის ტოლი არ არის, ეს არის სასურველი განტოლება.

კერძოდ, თუ
, შემდეგ განტოლება

(9)

არის სიბრტყეების მტევნის განტოლება საწყისზე მტევნის ცენტრით.

პუნქტი 3. სიბრტყეების სხივის განტოლება.

განმარტება. სიბრტყეების შეკვრა არის ყველა სიბრტყის ერთობლიობა, რომლებიც იკვეთება იმავე სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელსაც ეწოდება შეკვრის ღერძი.

თეორემა. დაე

არის ორი სიბრტყე, რომლებიც იკვეთება L ხაზის გასწვრივ. შემდეგ განტოლება

სად
არის თვითნებური რეალური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ უდრის ნულს, არსებობს სიბრტყეების შეკვრის განტოლება შეკვრის ღერძით L.

მტკიცებულება წრფეთა ფანქრის განტოლებაზე თეორემის მტკიცების მსგავსია და მკითხველს უტოვებს.

მაგალითი. იპოვეთ სიბრტყეების ფანქრის განტოლება, რომლის ღერძი არის x ღერძი.

გამოსავალი. ცხადია, კოორდინატთა თვითმფრინავები

და
იკვეთება x-ღერძის გასწვრივ.

შემდეგ განტოლება (10) ამ შემთხვევაში იღებს ფორმას

. ბერძნული ასოების ლათინური ასოებით ჩანაცვლებით, ვიღებთ

, (11)

სად
არის თვითნებური რეალური რიცხვები, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი. განტოლება (11) არის სასურველი განტოლება თვითმფრინავების შეკვრისთვის Ox-ის ღერძით.

ანალოგიურად, განტოლება

, (12)

არის თვითმფრინავების შეკვრის განტოლება შეკვრის ღერძით Oy და განტოლება

(13)

არის სიბრტყეების შეკვრის განტოლება ოზის შეკვრის ღერძთან.

პუნქტი 4. ძირითადი პრობლემები ხაზებსა და თვითმფრინავებზე.

ამოცანა 1. იპოვეთ ორ მოცემულ წერტილზე გამავალი სწორი წრფის განტოლება
და
.

ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს პრობლემა, იხილეთ ლექცია 11, პუნქტი 4, ამოცანა 1:

.

დავალება 2. იპოვეთ კუთხე ორ წრფეს შორის

და
.

ეს პრობლემა მოგვარდა მე-11 ლექციაში, მე-4 პუნქტში:

სასურველი კუთხე უდრის ან კუთხეს მათ მიმართულების ვექტორებს შორის

ან
.

ამოცანა 3. იპოვეთ სიბრტყის ზოგადი განტოლება, თუ ცნობილია მისი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები
და წერტილის კოორდინატები
იწვა ამ თვითმფრინავში.

გამოსავალი. ამ პრობლემის ერთი გამოსავალი მოცემულია მე-2 პუნქტში, ფორმულა (8).

იგივე განტოლება შეიძლება სხვა გზით მივიღოთ. სიბრტყის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა

სად
არის მისი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები. რჩება D კოეფიციენტის პოვნა. ამ მიზნით ვანაცვლებთ წერტილის კოორდინატებს
: , სად .

განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ:

არის სიბრტყის სასურველი განტოლება.

ამოცანა 4. იპოვეთ სამ მოცემულ წერტილზე გამავალი სიბრტყის განტოლება
,
და
.

როგორც მე-3 ამოცანაში ვნახეთ, სიბრტყის ზოგადი განტოლების შესადგენად საკმარისია ვიცოდეთ მისი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები. და მოცემულ სიბრტყეზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები.

როგორც სიბრტყის ნორმალური ვექტორი, შეგვიძლია ავიღოთ ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი
ვექტორზე
, და როგორც წერტილი წევს თვითმფრინავში, ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ წერტილი
. ვიღებთ

თვითმფრინავის სასურველი განტოლება შეიძლება მიღებულ იქნას სხვა ფორმით. სიბრტყის განტოლებას ვექტორული სახით აქვს ფორმა

,

.

დავალება 5. იპოვეთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის.

გამოსავალი. გეომეტრიიდან ვიცით, რომ ორ სიბრტყეს შორის დიედრული კუთხე იზომება წრფივი კუთხით (იხ. სურ. 12).

ადვილი დასანახია, რომ წრფივი კუთხე ორ სიბრტყეს შორის დიჰედრული კუთხის გაზომვა ტოლია კუთხის
ამ სიბრტყეების ნორმალურ ვექტორებს შორის ან უდრის
. აქ გამოყენებულია ორმხრივად პერპენდიკულარულ გვერდებთან კუთხეების თანასწორობის ნიშანი.

ან
.

ამრიგად, სიბრტყეებს შორის კუთხის გამოთვლის პრობლემა მცირდება ვექტორებს შორის კუთხის გამოთვლის პრობლემამდე.

ამოცანა 6. იპოვეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან
მოცემულ თვითმფრინავზე

გამოსავალი. აირჩიე თვითნებური წერტილი
იწვა ამ თვითმფრინავში. გაითვალისწინეთ, რომ თუ
, მაშინ საწყისი დევს თვითმფრინავზე და შეიძლება მივიღოთ როგორც წერტილი
. თუ
, მაშინ ასეთ წერტილად შეგვიძლია ავიღოთ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი ერთ-ერთ კოორდინატულ ღერძთან. ვინაიდან სიბრტყე არ შეიძლება იყოს სამივე კოორდინატთა ღერძის პარალელური, ერთი კოორდინატთა ღერძი მაინც კვეთს მოცემულ სიბრტყეს.

მოდით, მაგალითად,
- სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი კოორდინატთა ღერძთან Ox. Აქ
, თუ
.

ასე რომ, მოდით წერტილი
არჩეულია ასე თუ ისე, შემდეგ მანძილი
მოცემული წერტილიდან
მოცემულ თვითმფრინავზე ვექტორული პროექციის მოდულის ტოლი
თვითმფრინავის ნორმალურ ვექტორზე :

.

ვინაიდან ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც

. (14)

განმარტება. მიეცით სიბრტყის თვითნებური ზოგადი განტოლება და სივრცეში თვითნებური წერტილი
. ნომერი

მოუწოდა არაბლანტი წერტილი
თვითმფრინავთან შედარებით .

ნარჩენის შემოღებული კონცეფციის გამოყენებით, წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც:

.

განმარტება. ღირებულება

(15)

წერტილის გადახრა ეწოდება
თვითმფრინავიდან .

ბოლო განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მანძილი წერტილიდან
თვითმფრინავამდე წერტილის გადახრის მოდულის ტოლი
თვითმფრინავიდან :

ფორმულიდან (21) ჩანს, რომ გადახრასა და შეუსაბამობას აქვს იგივე ნიშანი.

კომენტარი. ფორმულები (14) - (16) შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა ფორმით. სიბრტყის ეს განტოლება ნორმალურ ფორმამდე მივყავართ:


და მინუს სხვაგვარად.

ახლა, ფორმულა (14) წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის ფორმას იღებს:

- წერტილის გადახრა
თვითმფრინავიდან .

ამოცანა 7. იპოვეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან
ამ ხაზამდე
.

გამოსავალი. პრობლემა მოგვარებულია ისევე, როგორც წინა.

. იმიტომ რომ
, ეს

.

ანალოგიურად არის შემოტანილი წერტილის ნარჩენის ცნებები სწორი ხაზის მიმართ და წერტილის გადახრა სწორი ხაზიდან.

განმარტება. მიეცით სწორი ხაზის თვითნებური ზოგადი განტოლება
და თვითმფრინავის თვითნებური წერტილი
. ნომერი

მოუწოდა არაბლანტი წერტილი
L ხაზთან მიმართებაში.

განმარტება. ღირებულება

წერტილის გადახრა ეწოდება
თვითმფრინავიდან .

თუ სწორი ხაზის განტოლებას მივიღებთ ნორმალურ ფორმაში:

,

და პლუს ნიშანი მიიღება როცა
და მინუს, წინააღმდეგ შემთხვევაში, წერტილიდან ხაზამდე მანძილის ფორმულა იღებს ფორმას:

- წერტილის გადახრა
ხაზიდან L.

ამოცანა 8. იპოვეთ მანძილი ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის.

გამოსავალი. 1 გზა. იპოვეთ თვითნებური წერტილი ერთ სიბრტყეზე და იპოვეთ მანძილი მისგან მეორე სიბრტყემდე, ე.ი. შეამცირეთ ეს პრობლემა მე-6 პრობლემამდე.

მე-2 გზა. პარალელური სიბრტყეების ორივე განტოლებას ვიღებთ ნორმალურ ფორმაში:

სად
და
თვითმფრინავების ნორმალური ვექტორებია და
შესაბამისად,
,
არის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან სიბრტყემდე და
შესაბამისად.

რადგან ნორმალური ვექტორები და მიმართული საწყისიდან თვითმფრინავამდე, მაშინ შესაძლებელია 2 შემთხვევა:

ა)
. ქვემოთ მოყვანილი სურათი სქემატურად აჩვენებს ორ პარალელურ სიბრტყეს და
და მათი ერთეული ნორმალური ვექტორები გამოსახულია საწყისი O-დან.

Აქ,
,
არის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან შესაბამის სიბრტყემდე. ვინაიდან უცნობია რომელი თვითმფრინავი უფრო ახლოს არის საწყისთან, მანძილი თვითმფრინავებს შორის

ბ)
. რადგან ნორმალური ვექტორები და მიმართულია საწყისიდან სიბრტყემდე და საპირისპიროდ, მაშინ საწყისი არის სიბრტყეებს შორის, იხილეთ შემდეგი სურათი.

აქაც, როგორც წინა შემთხვევაში,
,
არის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან შესაბამის სიბრტყემდე. აქედან გამომდინარეობს, რომ მანძილი თვითმფრინავებს შორის

ამოცანა 9. იპოვეთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის.

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: