ტანგენტის ტრიგონომეტრიის ფორმულა. ტრიგონომეტრიული განტოლებები - ფორმულები, ამონახსნები, მაგალითები

ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს ტრიგონომეტრიაში ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმულების შესახებ. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანია დამატების ფორმულები.

განმარტება 1

დამატების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ორი კუთხის სხვაობის ან ჯამის ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით.

დასაწყისისთვის, ჩვენ მივცემთ დამატების ფორმულების სრულ ჩამონათვალს, შემდეგ დავამტკიცებთ მათ და გავაანალიზებთ რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ძირითადი დამატების ფორმულები ტრიგონომეტრიაში

არსებობს რვა ძირითადი ფორმულა: ჯამის სინუსი და ორი კუთხის სხვაობის სინუსი, ჯამისა და სხვაობის კოსინუსები, ჯამისა და სხვაობის ტანგენტები და კოტანგენტები, შესაბამისად. ქვემოთ მოცემულია მათი სტანდარტული ფორმულირებები და გამოთვლები.

1. ორი კუთხის ჯამის სინუსი შეიძლება მივიღოთ შემდეგნაირად:

ვიანგარიშებთ პირველი კუთხის სინუსის და მეორის კოსინუსის ნამრავლს;

გავამრავლოთ პირველი კუთხის კოსინუსი პირველის სინუსზე;

დაამატეთ მიღებული მნიშვნელობები.

ფორმულის გრაფიკული ჩაწერა ასე გამოიყურება: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. განსხვავების სინუსი გამოითვლება თითქმის ერთნაირად, მხოლოდ მიღებული პროდუქცია არ უნდა დაემატოს, არამედ გამოკლდეს ერთმანეთს. ამგვარად, ჩვენ გამოვთვლით პირველი კუთხის სინუსების ნამრავლებს მეორის კოსინუსით და პირველი კუთხის კოსინუსების მეორის სინუსებით და ვპოულობთ მათ განსხვავებას. ფორმულა ასე იწერება: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. ჯამის კოსინუსი. ამისთვის ვპოულობთ პირველი კუთხის კოსინუსის ნამრავლებს მეორეს და პირველი კუთხის სინუსების შესაბამისად მეორეს სინუსებით და ვპოულობთ მათ განსხვავებას: cos (α + β) = cos α. · cos β - sin α · sin β

4. განსხვავების კოსინუსი: გამოთვალეთ ამ კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლები, როგორც ადრე და დაამატეთ ისინი. ფორმულა: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. ჯამის ტანგენტი. ეს ფორმულა გამოიხატება წილადის სახით, რომლის მრიცხველი არის საჭირო კუთხეების ტანგენტების ჯამი, ხოლო მნიშვნელი არის ერთეული, რომელსაც აკლდება სასურველი კუთხეების ტანგენტების ნამრავლი. ყველაფერი ნათელია მისი გრაფიკული აღნიშვნებიდან: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. განსხვავების ტანგენტი. ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ კუთხეების ტანგენტების სხვაობისა და ნამრავლის მნიშვნელობებს და ვაგრძელებთ მათ ანალოგიურად. მნიშვნელში ვამატებთ ერთს და არა პირიქით: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. ჯამის კოტანგენსი. ამ ფორმულის გამოყენებით გამოსათვლელად დაგვჭირდება ნამრავლი და ამ კუთხეების კოტანგენტების ჯამი, რომელსაც ვაგრძელებთ შემდეგნაირად: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. განსხვავების კოტანგენსი . ფორმულა წინა მსგავსია, მაგრამ მრიცხველი და მნიშვნელი არის მინუს, არა პლუს c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

თქვენ ალბათ შენიშნეთ, რომ ეს ფორმულები წყვილებში მსგავსია. ± (პლუს-მინუს) და ∓ (მინუს-პლუს) ნიშნების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია დავაჯგუფოთ ისინი ჩაწერის გასაადვილებლად:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

შესაბამისად, გვაქვს ერთი ჩაწერის ფორმულა თითოეული მნიშვნელობის ჯამისა და სხვაობისთვის, მხოლოდ ერთ შემთხვევაში ვაქცევთ ყურადღებას ზედა ნიშანს, მეორეში - ქვედა ნიშანს.

განმარტება 2

ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ნებისმიერი α და β კუთხეები და კოსინუსის და სინუსის შეკრების ფორმულები იმუშავებს მათზე. თუ ჩვენ შეგვიძლია სწორად განვსაზღვროთ ამ კუთხეების ტანგენტებისა და კოტანგენტების მნიშვნელობები, მაშინ მათთვის მოქმედი იქნება ტანგენტებისა და კოტანგენტების დამატების ფორმულებიც.

ალგებრაში ცნებების უმეტესობის მსგავსად, დამატების ფორმულები შეიძლება დადასტურდეს. პირველი ფორმულა, რომელსაც ჩვენ დავამტკიცებთ, არის განსხვავება კოსინუსების ფორმულა. დანარჩენი მტკიცებულებები შეიძლება ადვილად გამოიტანოს მისგან.

მოდით განვმარტოთ ძირითადი ცნებები. ჩვენ დაგვჭირდება ერთეული წრე. გამოვა, თუ ავიღებთ გარკვეულ A წერტილს და მოვატრიალებთ α და β კუთხეებს ცენტრის გარშემო (O წერტილი). მაშინ კუთხე O A 1 → და O A → 2 ვექტორებს შორის ტოლი იქნება (α - β) + 2 π · z ან 2 π - (α - β) + 2 π · z (z არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი). შედეგად მიღებული ვექტორები ქმნიან კუთხეს, რომელიც უდრის α - β ან 2 π - (α - β), ან შეიძლება განსხვავდებოდეს ამ მნიშვნელობებისგან სრული რევოლუციების მთელი რიცხვით. დააკვირდით სურათს:

ჩვენ გამოვიყენეთ შემცირების ფორმულები და მივიღეთ შემდეგი შედეგები:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

შედეგი: O A 1 → და O A 2 → ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი უდრის α - β კუთხის კოსინუსს, შესაბამისად, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

გავიხსენოთ სინუსის და კოსინუსის განმარტებები: სინუსი არის კუთხის ფუნქცია, რომელიც უდრის მოპირდაპირე კუთხის ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსი არის დამატებითი კუთხის სინუსი. ამიტომ, ქულები A 1და A 2აქვს კოორდინატები (cos α, sin α) და (cos β, sin β).

ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

O A 1 → = (cos α, sin α) და O A 2 → = (cos β, sin β)

თუ გაუგებარია, შეხედეთ ვექტორების დასაწყისში და ბოლოს მდებარე წერტილების კოორდინატებს.

ვექტორების სიგრძეები 1-ის ტოლია, რადგან ჩვენ გვაქვს ერთეული წრე.

ახლა გავაანალიზოთ O A 1 → და O A 2 → ვექტორების სკალარული ნამრავლი. კოორდინატებში ასე გამოიყურება:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

აქედან შეგვიძლია გამოვიტანოთ თანასწორობა:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

ამრიგად, დადასტურებულია განსხვავების კოსინუსის ფორმულა.

ახლა დავამტკიცებთ შემდეგ ფორმულას - ჯამის კოსინუსს. ეს უფრო ადვილია, რადგან ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ წინა გამოთვლები. ავიღოთ წარმოდგენა α + β = α - (- β) . Ჩვენ გვაქვს:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

ეს არის კოსინუსების ჯამის ფორმულის დასტური. ბოლო სტრიქონი იყენებს მოპირდაპირე კუთხის სინუსის და კოსინუსის თვისებას.

ჯამის სინუსის ფორმულა შეიძლება იყოს მიღებული სხვაობის კოსინუსის ფორმულიდან. ავიღოთ შემცირების ფორმულა ამისათვის:

ფორმის sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Ისე
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

და აი განსხვავების დასტური სინუს ფორმულა:

sin (α - β) = ცოდვა (α + (- β)) = ცოდვა α cos (- β) + cos α sin (- β) = = ცოდვა α cos β - cos α sin β
ყურადღება მიაქციეთ საპირისპირო კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების თვისებების გამოყენებას ბოლო გამოთვლაში.

შემდეგ ჩვენ გვჭირდება მტკიცებულებები ტანგენტისა და კოტანგენტის დამატების ფორმულების შესახებ. გავიხსენოთ ძირითადი განმარტებები (ტანგენსი არის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან და კოტანგენსი პირიქით) და ავიღოთ წინასწარ უკვე მიღებული ფორმულები. Ჩვენ გავაკეთეთ ეს:

t g (α + β) = ცოდვა (α + β) cos (α + β) = ცოდვა α cos β + cos α sin β cos α cos β - ცოდვა α sin β

ჩვენ გვაქვს რთული წილადი. შემდეგი, ჩვენ უნდა გავყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი cos α · cos β-ზე, იმის გათვალისწინებით, რომ cos α ≠ 0 და cos β ≠ 0, მივიღებთ:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - ცოდვა α · sin β cos α · cos β = ცოდვა α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - ცოდვა α · sin β cos α · cos β

ახლა ვამცირებთ წილადებს და ვიღებთ შემდეგ ფორმულას: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
მივიღეთ t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. ეს არის ტანგენტის დამატების ფორმულის დასტური.

შემდეგი ფორმულა, რომელსაც ჩვენ დავამტკიცებთ, არის სხვაობის ფორმულის ტანგენსი. ყველაფერი ნათლად არის ნაჩვენები გამოთვლებში:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

კოტანგენტის ფორმულები დადასტურებულია ანალოგიურად:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - ცოდვა α · ცოდვა β sin α · ცოდვა β sin α · cos β + cos α · ცოდვა β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · ცოდვა β - 1 ცოდვა α · cos β sin α · ცოდვა β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Უფრო:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

ორიენტირებულია წერტილზე ა.
α - რადიანებში გამოხატული კუთხე.

განმარტება
სინუსი (sin α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

კოსინუსი (cos α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

მიღებული აღნიშვნები

;
;
.

სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = sin x

კოსინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = cos x

სინუსის და კოსინუსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y = ცოდვა xდა y = cos xპერიოდული პერიოდით 2π.

პარიტეტი

სინუსური ფუნქცია უცნაურია. კოსინუს ფუნქცია ლუწია.

განსაზღვრებისა და მნიშვნელობების დომენი, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

სინუსური და კოსინუსური ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების დომენში, ანუ ყველა x-ისთვის (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). მათი ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში (n - მთელი რიცხვი).

	y = ცოდვა x	y = cos x
ფარგლები და უწყვეტობა	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
მზარდი
Დაღმავალი
მაქსიმა, y = 1
მინიმალური, y = - 1
ნულები, y = 0
კვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძით, x = 0	y = 0	y = 1

ძირითადი ფორმულები

სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი

სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულები ჯამიდან და სხვაობიდან

;
;

სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ჯამის და სხვაობის ფორმულები

სინუსის გამოხატვა კოსინუსის მეშვეობით

;
;
;
.

კოსინუსის გამოხატვა სინუსის მეშვეობით

;
;
;
.

გამოხატვა ტანგენტის საშუალებით

; .

როდის, გვაქვს:
; .

ზე:
; .

სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი, ტანგენტები და კოტანგენტები

ეს ცხრილი გვიჩვენებს სინუსების და კოსინუსების მნიშვნელობებს არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.

გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით

;

ეილერის ფორმულა

გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით

;
;

წარმოებულები

; . ფორმულების გამოყვანა > > >

n-ე რიგის წარმოებულები:
{ -∞ < x < +∞ }

სეკანტი, კოსეკანტი

ინვერსიული ფუნქციები

სინუსის და კოსინუსის შებრუნებული ფუნქციებია რკალი და არკოზინი, შესაბამისად.

არქსინი, რკალი

არკოზინი, არკოზი

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

ძირითადი ტრიგონომეტრიის ფორმულები არის ფორმულები, რომლებიც ამყარებენ კავშირებს ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ურთიერთდაკავშირებულია მრავალი ურთიერთობით. ქვემოთ წარმოგიდგენთ მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფორმულებს და მოხერხებულობისთვის დავაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით. ამ ფორმულების გამოყენებით თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ თითქმის ნებისმიერი პრობლემა სტანდარტული ტრიგონომეტრიის კურსიდან. დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ქვემოთ მოცემულია მხოლოდ თავად ფორმულები და არა მათი დასკვნა, რომელიც განხილული იქნება ცალკეულ სტატიებში.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტობები

ტრიგონომეტრიული იდენტობები უზრუნველყოფს ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას აძლევს ერთი ფუნქციის გამოხატვას მეორის თვალსაზრისით.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

ეს იდენტობები პირდაპირ გამომდინარეობს ერთეული წრის, სინუსის (sin), კოსინუსის (cos), ტანგენტის (tg) და კოტანგენტის (ctg) განმარტებებიდან.

შემცირების ფორმულები

შემცირების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური და თვითნებურად დიდი კუთხით სამუშაოდან 0-დან 90 გრადუსამდე კუთხით მუშაობაზე.

შემცირების ფორმულები

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

შემცირების ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის შედეგია.

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში დამატების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ კუთხეების ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით.

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულები

sin α ± β = ცოდვა α · cos β ± cos α · ცოდვა β cos α + β = cos α · cos β - ცოდვა α · ცოდვა β cos α - β = cos α · cos β + ცოდვა α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

მიმატების ფორმულებზე დაყრდნობით, მიღებულია ტრიგონომეტრიული ფორმულები მრავალი კუთხისთვის.

ფორმულები მრავალი კუთხისთვის: ორმაგი, სამმაგი და ა.შ.

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ფორმულები

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α t g 2 α = t g 2 α - 1 2 · t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

ნახევარკუთხის ფორმულები

ნახევარკუთხის ფორმულები ტრიგონომეტრიაში არის ორკუთხა ფორმულების შედეგი და გამოხატავს ურთიერთობას ნახევარკუთხის ძირითად ფუნქციებსა და მთელი კუთხის კოსინუსს შორის.

ნახევარკუთხის ფორმულები

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

ხარისხის შემცირების ფორმულები

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

გამოთვლების გაკეთებისას ხშირად მოუხერხებელია რთული ძალებით მუშაობა. ხარისხის შემცირების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ხარისხი თვითნებურად დიდიდან პირველამდე. აქ არის მათი ზოგადი შეხედულება:

ხარისხის შემცირების ფორმულების ზოგადი ხედი

თუნდაც ნ

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

კენტი n-სთვის

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სხვაობა და ჯამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით. სინუსებისა და კოსინუსების განსხვავებების ფაქტორინგი ძალიან მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისა და გამოსახულებების გამარტივებისას.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პროდუქტი

თუ ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულები საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს მათ ნამრავლზე, მაშინ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ფორმულები ახორციელებენ საპირისპირო გადასვლას - ნამრავლიდან ჯამზე. განიხილება სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ფორმულები

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი - შეიძლება გამოისახოს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 ტ გ α 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ვიდეოკურსი „მიიღე A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. მათემატიკაში პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ყველა დავალება 1-13 სრულად. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში ძირითადი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. და ეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე არც 100-ქულიანი და არც ჰუმანიტარული სტუდენტი არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხარვეზები და საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების მკაფიო ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის საფუძველი.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: