Pe tablă sunt scrise 100 de numere întregi diferite.

Postat pe 14.03.2018

5 (100%) 1 vot

Sunt 100 de lucruri diferite scrise pe tablă. numere naturale, și se știe că suma acestor numere este 5120.

a) Se poate scrie pe tablă numărul 230?

b) Este posibil ca pe tablă să nu fie scris numărul 14?

c) Care este cel mai mic număr de multipli de 14 scris pe tablă?

Cum să decizi? De preferat sub toate literele.

matematică,

educaţie

Răspuns

cometariu

La favorite

tristeţe

acum 2 minute

A) Să calculăm opțiunea în care suma va fi cea mai mică. Desigur, aceasta este doar suma primelor sute de numere, adică. 1+2+3…+100 . Puteți număra sortând sau puteți folosi formula " sume progresie aritmetică ".

Acum să calculăm suma. S100=((1+100)/2)*1-00=5050;

Trebuie să încercăm cumva, să înlocuim orice număr din seria noastră cu 230 . Să aflăm ce sumă ne lipsește din cea dată în condiția: 5120-5050=70 , da, și care a fost cel mai mare număr din seria noastră? Dreapta, 100 . Se pare că cel mai mare număr cu care putem înlocui orice număr din seria noastră este 170 . Deci numerele 230 consecutiv nu poate exista nicio cale.

Nici un raspuns;

b) Să luăm, toate în același rând, de la 1 la 100, dar haideți să eliminăm numărul de acolo 14 și încercați să-l înlocuiți cu altul. De exemplu, să încercăm să luăm cel mai mic număr după 100 , și anume 101 și faceți un înlocuitor. Suma primelor sute de numere am găsit, ceea ce înseamnă că pentru înlocuire, avem nevoie scade 14 din elȘi adăugați o nouă valoare 101: 5050-14+101=5137 -. Din păcate, condiția spune că suma este egală cu 5120 deci, vai, numărul 14 nu poate fi exclus din lista noastră.

Răspuns: b) Nu;

V) Găsiți toți multiplii 14 din seria noastră de la 1 la 100). Există multe modalități de a găsi mai multe valori, dar în cazul nostru, numărul nu este atât de mare, ele pot fi sortate manual, obținem o serie adăugând: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Total 7 multipli de 14. Acum să încercăm să le înlocuim cu mai multe mari valori nu multipli de 14, pentru că pe acest moment, suma noastră este 5050. Să înlocuim cel mai mare număr multiplu cu cel mai mic dintre cele neutilizate: 98 la 101;

Suma noastră devine: (101-98)+5050=5053- ;

Sumă: (102-84)+5053=5071-;

Mai este loc, să continuăm. Să înlocuim 70 cu 103;

Sumă: (103-70)+5071=5104-;

5104 , încă mai puțin de 5120, deci să mergem mai departe. Să înlocuim 56 cu 104;

Sumă: (104-56)+5104=5152-;

Am primit mai mult decât era necesar, ceea ce înseamnă că ai nevoie

Pe tablă sunt scrise 100 de numere naturale diferite cu suma 5120.

a) Se poate scrie numărul 230?

b) Se poate face fără numărul 14?

c) Care este cel mai mic număr de multipli de 14 care poate fi pe tablă?

Soluţie.

a) Să se scrie pe tablă numărul 230 și 99 de alte numere naturale diferite. Suma minimă posibilă de numere de pe tablă se realizează cu condiția ca suma a 99 de numere naturale diferite să fie minimă. Și acest lucru, la rândul său, este posibil dacă 99 de numere naturale diferite sunt o progresie aritmetică cu primul membru și o diferență.Suma acestor numere, conform formulei pentru suma unei progresii aritmetice, va fi:

Suma tuturor numerelor de pe tablă S va fi egal cu:

Este ușor de observat că suma rezultată este mai mare decât 5120, ceea ce înseamnă că orice sumă a 100 de numere naturale diferite, printre care sunt 230, este mai mare decât 5120, prin urmare, numărul 230 nu poate fi pe tablă.

b) Să nu se scrie pe tablă numărul 14. În acest caz, suma minimă posibilă S numerele de pe tablă vor consta din două sume de progresii aritmetice: suma primilor 13 termeni ai progresiei cu primul termen, diferența (adică seria 1,2,3,..13) și suma primii 87 de termeni ai progresiei cu primul membru, diferență (adică seria 15,16,17,..101). Să găsim această sumă:

Este ușor de observat că suma rezultată este mai mare decât 5120, ceea ce înseamnă că orice sumă de 100 de numere naturale diferite, printre care nu există 14, este mai mare decât 5120, prin urmare, nu se poate face fără numărul 14 de pe tablă.

c) Să presupunem că pe tablă sunt scrise toate numerele de la 1 la 100. Apoi rezultă că seria rezultată este o progresie aritmetică cu primul membru, diferența. Folosind formula pentru suma unei progresii aritmetice, găsim suma tuturor numerelor de pe tablă:

Suma rezultată nu satisface condiția problemei. Acum, pentru a crește suma tuturor numerelor scrise pe tablă la cea indicată în condiție, să încercăm să înlocuim numerele care sunt multipli de 14 cu alte numere care urmează sutei: 70 va fi înlocuit cu 110, 84. cu 104 și 98 cu 108. Suma rezultată S va fi egal cu:

Odată cu înlocuirea suplimentară a numerelor care sunt multipli de 14 cu numere mai mari de 100, suma va crește și nu va corespunde stării problemei. Deci cel mai mic număr de multipli ai lui 14 este 4.

Să dăm o altă soluție la partea c).

Să dăm un exemplu când patru numere care sunt multipli ai lui 14 (14, 28, 42, 56) sunt scrise pe tablă:

1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.

Să demonstrăm că nu pot exista trei numere care sunt multipli ai lui 14. Pentru a elimina numărul maxim de numere care sunt multipli ai lui 14, este necesar ca diferențele dintre numerele noi și cele vechi să fie minime. Adică, este necesar să înlocuim cele mai mari numere, multipli de 14, cu cele mai mici numere posibile, mai mari de o sută. Fie numărul de numere care sunt multipli ai lui 14 3. Atunci suma minimă a numerelor scrise pe tablă este:

Suma rezultată este mai mare decât 5120. Odată cu înlocuirea ulterioară a numerelor care sunt multipli de 14 cu numere mai mari de 100, suma va crește, ceea ce înseamnă că nu pot exista mai puțin de patru numere care sunt multipli de 14 pe tablă.

A) nu b) nu c) 4.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicație vizuală concepte complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Sursa misiunii: Decizia 3754. Examenul de stat unificat 2016. Matematică, I. V. Yashchenko. 30 de variante ale sarcinilor tipice de testare.

Sarcina 19. Pe tablă au fost scrise 20 de numere naturale (nu neapărat diferite), fiecare dintre ele nu depășește 40. În loc de unele numere (poate unul), au fost scrise pe tablă numere care erau cu unul mai puțin decât cele originale. Numerele care după aceea s-au dovedit a fi egale cu 0 au fost șterse de pe tablă.

a) S-ar putea ca media aritmetică a numerelor de pe tablă să fi crescut?

b) Media aritmetică a numerelor scrise inițial a fost 27. Media aritmetică a numerelor rămase pe tablă ar putea fi 34?

c) Media aritmetică a numerelor scrise inițial a fost 27. Aflați cea mai mare medie posibilă a mediei aritmetice a numerelor rămase pe tablă.

Soluţie.

A) Da, poate, de exemplu, dacă luați 19 numere egale cu 10, iar al 20-lea este egal cu 1, atunci după ce reduceți al 20-lea număr cu 1, acesta devine 0 și valoarea medie nu mai este 20 de numere, ci 19, atunci avem:

Valoarea medie inițială: ;

Valoarea medie după modificare: .

După cum puteți vedea, a doua valoare medie a devenit mai mare decât cea inițială.

b) Să presupunem că pentru a îndeplini această condiție, trebuie să luați unele, apoi să luați numere și un număr, pentru un total de 20 de numere. Media lor aritmetică va fi

iar după ștergere unitățile ar trebui să obțină

adică avem un sistem de ecuații:

Scăzând a doua ecuație din prima ecuație, obținem:

Astfel, pentru a îndeplini condiția acestui paragraf, trebuie să luați un număr fracționar de numere, ceea ce este imposibil în cadrul acestei sarcini.

Răspuns: Nu.

V) Pentru a obține media maximă a numerelor rămase pe tablă, trebuie mai întâi să notați un set de numere format din cel mai mare număr unități (care, apoi, vor fi șterse de pe tablă), iar numerele rămase ar trebui să fie maxime. Scriem această condiție în formă

unde este numărul de unități; - al 20-lea număr (se alege astfel încât să ofere o medie de 27). Prin urmare avem:

Din expresia rezultată se poate observa că valoarea minimă , la care obținem valoarea maximă . Astfel, avem o succesiune de numere a căror sumă este egală cu

Ar putea fi util să citiți: