Ce sunt numerele naturale și zero? numere întregi

numere întregi este unul dintre cele mai vechi concepte matematice.

În trecutul îndepărtat, oamenii nu știau numerele și atunci când aveau nevoie să numere obiecte (animale, pești etc.), o făceau altfel decât noi acum.

Numărul de obiecte a fost comparat cu părți ale corpului, de exemplu, cu degetele pe o mână, și au spus: „Am atâtea nuci câte degete sunt pe mâna mea”.

De-a lungul timpului, oamenii și-au dat seama că cinci nuci, cinci capre și cinci iepuri au o proprietate comună - numărul lor este egal cu cinci.

Tine minte!

numere întregi- acestea sunt numere, incepand de la 1, obtinute prin numararea obiectelor.

1, 2, 3, 4, 5…

Cel mai mic număr natural — 1 .

Cel mai mare număr natural nu exista.

La numărare, numărul zero nu este folosit. Prin urmare, zero nu este considerat un număr natural.

Oamenii au învățat să scrie numere mult mai târziu decât să numere. În primul rând, au început să înfățișeze unul cu un bețișor, apoi cu două bețe - numărul 2, cu trei - numărul 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Apoi au apărut semne speciale pentru a desemna numere - predecesorii numerelor moderne. Cifrele pe care le folosim pentru a scrie numere au apărut în India cu aproximativ 1.500 de ani în urmă. Arabii i-au adus în Europa, motiv pentru care sunt numiti cifre arabe.

Sunt zece numere în total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosind aceste numere puteți scrie orice număr natural.

Tine minte!

Seria naturală este o succesiune a tuturor numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul cu 1.

Seria naturală este infinită; nu există cel mai mare număr natural în ea.

Sistemul de numărare pe care îl folosim se numește pozițional zecimal.

Decimală deoarece 10 unități din fiecare cifră formează 1 unitate din cifra cea mai semnificativă. Pozițional deoarece semnificația unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului, adică de cifra în care este scrisă.

Important!

Clasele care urmează miliardului sunt denumite după denumirile latine ale numerelor. Fiecare unitate ulterioară conține o mie de unități anterioare.

  • 1.000 de miliarde = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („trei” înseamnă în latină „trei”)
  • 1.000 trilion = 1.000.000.000.000.000 = 1 cvadrilion („quadra” înseamnă „patru”)
  • 1.000 de cvadrilion = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 chintilion („quinta” este latină pentru „cinci”)

Cu toate acestea, fizicienii au găsit un număr care depășește numărul tuturor atomilor ( particule minuscule materie) în tot Universul.

Acest număr a primit un nume special - googol. Googol este un număr cu 100 de zerouri.

„Funcția cadranică” - Proprietăți: -Intervale de monotonitate pentru a > 0 pentru a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

„Power function grad 9” - Suntem familiarizați cu funcțiile. Funcția de putere. U. 0. Profesorul clasa a IX-a Ladoshkina I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... Indicatorul este un număr natural par (2n). Y = x. Parabolă. Parabolă cubică. Funcția y=x2n este pară, deoarece (–x)2n = x2n.

„Funcția pătratică de clasa a VIII-a” - 1) Construiți vârful unei parabole. -1. Construiți un grafic al funcției. 2) Construiți axa de simetrie x=-1. y. Algebră clasa a VIII-a Profesor 496 Bovina T.V. Reprezentarea grafică a unei funcții pătratice. X. -7. Plan de construcție.

„Graficul funcției Y X” - Graficul funcției y=x2 + n este o parabolă cu vârful în punctul (0; n). Graficul funcției y=(x - m)2 este o parabolă cu vârful său în punctul (m; 0). Pentru a vedea graficele, faceți clic cu mouse-ul. Pagina este afișată la clic. Din cele de mai sus rezultă că graficul funcției y=(x - m)2 + n este o parabolă cu vârful său în punctul (m; n).

„Logaritm natural” - 0,1. „Darts logaritmici” 0,04. 121. Logaritmi naturali. 7.4.

„Funcția cadranică și graficul acesteia” - Autor: Ilya Granov. Rezolvarea problemelor: Rezolvare.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-apartine. 4. Graficul funcției este y=4x punct: A(0,5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0,1:0,4)? Când a=1, formula y=ax ia forma.

Există un total de 25 de prezentări în acest subiect

Există două abordări pentru definirea numerelor naturale:

  • numărare (numerotare) articole ( primul, al doilea, al treilea, Al patrulea, a cincea…);
  • numerele naturale sunt numere care apar atunci când desemnarea cantității articole ( 0 articole, 1 articol, 2 articole, 3 articole, 4 articole, 5 articole…).

În primul caz, seria numerelor naturale începe de la unu, în al doilea - de la zero. Nu există un consens în rândul majorității matematicienilor dacă prima sau a doua abordare este de preferat (adică dacă zero ar trebui considerat un număr natural sau nu). Majoritatea covârșitoare a surselor rusești adoptă în mod tradițional prima abordare. A doua abordare, de exemplu, este folosită în lucrări Nicolas Bourbaki, unde numerele naturale sunt definite ca putere multimi finite.

Faptul fundamental este că aceste axiome definesc în mod esențial numerele naturale (natura categorială a sistemului de axiome Peano). Și anume, se poate dovedi (vezi, precum și o scurtă dovadă) că dacă (N, 1, S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))Și (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- două modele pentru sistemul de axiome Peano, atunci sunt necesare izomorfă, adică există o mapare inversabilă ( bijectie) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) astfel încât f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))Și f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) pentru toți x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Prin urmare, este suficient să fixați ca oricare model specific al mulțimii de numere naturale.

Zero ca număr natural

Uneori, mai ales în literatura străină și tradusă, în prima și a treia axiomă Peano, unu este înlocuit cu zero. În acest caz, zero este considerat un număr natural. Când este definit prin clase de seturi de echipower, zero este un număr natural prin definiție. Ar fi nefiresc să o respingem în mod deliberat. În plus, acest lucru ar complica semnificativ construcția și aplicarea ulterioară a teoriei, deoarece în majoritatea construcțiilor zero, ca și mulțimea goală, nu este ceva separat. Un alt avantaj de a trata zero ca număr natural este că acesta N (\displaystyle \mathbb (N) ) forme monoid.

În literatura rusă, zero este de obicei exclus din lista numerelor naturale ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), iar mulțimea numerelor naturale cu zero se notează ca N 0 (\displaystyle \mathbb (N)_(0)). Dacă zero este inclus în definiția numerelor naturale, atunci mulțimea numerelor naturale se scrie ca N (\displaystyle \mathbb (N) ), și fără zero - ca N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

În literatura matematică internațională, ținând cont de cele de mai sus și pentru a evita ambiguitățile, sunt multe ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) de obicei numită mulţimea numerelor întregi pozitive şi notate Z + (\displaystyle \mathbb (Z)_(+)). O multime de ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) este adesea numită mulțimea numerelor întregi nenegative și denotă Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z)_(\geqslant 0)).

Astfel, numerele naturale sunt introduse și pe baza conceptului de mulțime, după două reguli:

Numerele date în acest fel sunt numite ordinal.

Să descriem primele câteva numere ordinale și numerele naturale corespunzătoare:

Mărimea mulțimii numerelor naturale

Mărimea unui set infinit este caracterizată de conceptul „ cardinalitatea setului", care este o generalizare a numărului de elemente ale unei mulțimi finite la mulțimi infinite. În mărime (adică cardinalitate), mulțimea numerelor naturale este mai mare decât orice mulțime finită, dar mai mică decât orice interval, de exemplu, intervalul (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Mulțimea numerelor naturale este aceeași ca cardinalitate cu mulțimea numere rationale. Se numește o mulțime de aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor naturale set numărabil. Deci, setul de membri ai oricărui secvente numărabile. În același timp, există o succesiune în care fiecare număr natural apare de un număr infinit de ori, deoarece mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentată ca numărabilă Uniune seturi numărabile disjunse (de exemplu, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty)\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Operatii pe numere naturale

LA operațiuni închise(operațiile care nu derivă un rezultat din mulțimea numerelor naturale) asupra numerelor naturale includ următoarele operații aritmetice:

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toata lumea perechi de numere (uneori există, alteori nu)):

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special, inel numere întregi este determinată tocmai prin operatii binare adunare si inmultire.

Proprietăți de bază

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).
  • Comutativitatea înmulțirii:
a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a). (a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).
  • Asociativitatea înmulțirii:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)). ( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Structura algebrică

Adunarea transformă setul de numere naturale în semigrup cu unitatea, rolul unitatii este jucat de 0 . Înmulțirea transformă și mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu identitate, elementul de identitate fiind 1 . Prin utilizarea închideriÎn ceea ce privește operațiile de adunare-scădere și înmulțire-împărțire se obțin grupuri de numere întregi Z (\displaystyle \mathbb (Z) )și numere pozitive raționale Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) respectiv.

Definiții teoretice de mulțimi

Să folosim definiția numerelor naturale ca clase de echivalenţă multimi finite. Dacă notăm clasa de echivalență a unei mulțimi A, generat prin bijecții, folosind paranteza patrata: [A], operațiile aritmetice de bază sunt definite după cum urmează:

Se poate demonstra că operațiile rezultate pe clase sunt introduse corect, adică nu depind de alegerea elementelor de clasă și coincid cu definițiile inductive.

Vezi si

Note

Literatură

  • Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M.: Nauka, 1978.
    • Retipărire: M.: AST, 2006,

Matematica a apărut din filosofia generală în jurul secolului al VI-lea î.Hr. e., iar din acel moment a început marșul ei victorios în jurul lumii. Fiecare etapă de dezvoltare a introdus ceva nou - numărătoarea elementară a evoluat, s-a transformat în calcul diferențial și integral, au trecut secolele, formulele au devenit din ce în ce mai confuze și a venit momentul în care „a început cea mai complexă matematică - toate numerele au dispărut din ea”. Dar care a fost baza?

Începutul timpului

Numerele naturale au apărut odată cu primele operații matematice. O coloană, doi țepi, trei țepi... Au apărut datorită oamenilor de știință indieni care au dezvoltat primul

Cuvântul „poziționalitate” înseamnă că locația fiecărei cifre dintr-un număr este strict definită și corespunde rangului său. De exemplu, numerele 784 și 487 sunt aceleași numere, dar numerele nu sunt echivalente, deoarece primul include 7 sute, în timp ce al doilea doar 4. Inovația indiană a fost preluată de arabi, care au adus numerele la forma pe care le știm acum.

În antichitate, se dădeau numere sens mistic, Pitagora credea că numărul stă la baza creării lumii împreună cu elementele de bază - foc, apă, pământ, aer. Dacă luăm în considerare totul doar din partea matematică, atunci ce este un număr natural? Câmpul numerelor naturale se notează cu N și este o serie infinită de numere care sunt întregi și pozitive: 1, 2, 3, … + ∞. Zero este exclus. Folosit în principal pentru a număra articolele și a indica ordinea.

Ce este la matematică? Axiomele lui Peano

Câmpul N este cel de bază pe care se bazează matematica elementară. De-a lungul timpului, câmpurile de numere întregi, raționale,

Lucrarea matematicianului italian Giuseppe Peano a făcut posibilă structurarea ulterioară a aritmeticii, a atins formalitatea acesteia și a pregătit calea pentru concluzii ulterioare care au depășit domeniul de câmp N.

Ce este un număr natural a fost clarificat mai devreme într-un limbaj simplu, mai jos vom lua în considerare o definiție matematică bazată pe axiomele lui Peano.

  • Unul este considerat un număr natural.
  • Numărul care urmează unui număr natural este un număr natural.
  • Nu există un număr natural înainte de unu.
  • Dacă numărul b urmează atât numărul c cât și numărul d, atunci c=d.
  • O axiomă de inducție, care arată la rândul său ce este un număr natural: dacă o afirmație care depinde de un parametru este adevărată pentru numărul 1, atunci presupunem că funcționează și pentru numărul n din câmpul numerelor naturale N. Atunci afirmația este valabilă și pentru n =1 din câmpul numerelor naturale N.

Operații de bază pentru domeniul numerelor naturale

Întrucât câmpul N a fost primul pentru calcule matematice, îi aparțin atât domeniile de definiție, cât și intervalele de valori ale unui număr de operații de mai jos. Sunt inchise si nu. Principala diferență este că operațiile închise sunt garantate pentru a lăsa rezultatul în mulțimea N, indiferent de ce numere sunt implicate. Este suficient ca sunt naturale. Rezultatul altor interacțiuni numerice nu mai este atât de clar și depinde direct de ce fel de numere sunt implicate în expresie, deoarece poate contrazice definiția principală. Deci, operațiuni închise:

  • adăugare - x + y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
  • înmulțire - x * y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
  • exponentiație - x y, unde x, y sunt incluse în câmpul N.

Operațiunile rămase, al căror rezultat poate să nu existe în contextul definiției „ce este un număr natural”, sunt următoarele:


Proprietățile numerelor aparținând câmpului N

Toate raționamentele matematice ulterioare se vor baza pe următoarele proprietăți, cele mai banale, dar nu mai puțin importante.

  • Proprietatea comutativă a adunării este x + y = y + x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N. Sau binecunoscutul „suma nu se schimbă prin schimbarea locurilor termenilor”.
  • Proprietatea comutativă a înmulțirii este x * y = y * x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N.
  • Proprietatea combinațională a adunării este (x + y) + z = x + (y + z), unde x, y, z sunt incluse în câmpul N.
  • Proprietatea de potrivire a înmulțirii este (x * y) * z = x * (y * z), unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.
  • proprietate distributivă - x (y + z) = x * y + x * z, unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.

Masa lui Pitagora

Unul dintre primii pași în cunoașterea de către elevi a întregii structuri a matematicii elementare după ce au înțeles singuri care numere se numesc numere naturale este tabelul lui Pitagora. Poate fi considerat nu numai din punct de vedere al științei, ci și ca un monument științific cel mai valoros.

Această masă de înmulțire a suferit o serie de modificări de-a lungul timpului: zero a fost eliminat din ea, iar numerele de la 1 la 10 se reprezintă, fără a ține cont de ordine (sute, mii...). Este un tabel în care titlurile rândurilor și coloanelor sunt numere, iar conținutul celulelor în care se intersectează este egal cu produsul lor.

În practica predării din ultimele decenii, a fost nevoie de memorarea tabelului pitagoreic „în ordine”, adică memorarea a fost pe primul loc. Înmulțirea cu 1 a fost exclusă deoarece rezultatul a fost un multiplicator de 1 sau mai mare. Între timp, în tabelul cu ochiul liber puteți observa un model: produsul numerelor crește cu un pas, care este egal cu titlul liniei. Astfel, al doilea factor ne arată de câte ori trebuie să-l luăm pe primul pentru a obține produsul dorit. Acest sistem este mult mai convenabil decât cel care se practica în Evul Mediu: chiar și înțelegând ce este un număr natural și cât de banal este, oamenii au reușit să-și complice numărarea de zi cu zi folosind un sistem care se baza pe puterile a doi.

Subset ca leagăn al matematicii

Pe acest moment domeniul numerelor naturale N este considerat doar una dintre submulțimile numerelor complexe, dar acest lucru nu le face mai puțin valoroase în știință. Numărul natural este primul lucru pe care îl învață un copil când se studiază pe sine și lumea. Un deget, două degete... Datorită lui, o persoană se dezvoltă gandire logica, precum și capacitatea de a determina cauza și de a deduce efectul, deschizând calea unor mari descoperiri.



 

Ar putea fi util să citiți: