Ce este inclus în conceptul de număr. Cel mai mare multiplu comun și cel mai mic divizor comun

În acest articol vom începe să explorăm numere rationale. Aici vom da definiții numere rationale, vom da explicațiile necesare și vom da exemple de numere raționale. După aceasta, ne vom concentra asupra modului de a determina dacă un anumit număr este rațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere raționale

În această secțiune vom da mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și fracții, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, contrariile lor și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și fracționale.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale, care este perceput cel mai natural.

Din definiția menționată rezultă că un număr rațional este:

Orice număr natural n. Într-adevăr, puteți reprezenta orice număr natural ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1.
Orice număr întreg, în special numărul zero. De fapt, orice număr întreg poate fi scris fie pozitiv fracție comună, fie ca fracție negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1, .
Orice fracție comună (pozitivă sau negativă). Acest lucru este confirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.
Orice număr mixt. Într-adevăr, cineva se poate imagina întotdeauna număr mixt ca fracție improprie. De exemplu, și.
Orice fracție zecimală finită sau fracție periodică infinită. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale indicate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, și 0,(3)=1/3.

De asemenea, este clar că orice infinit neperiodic zecimal NU este un număr rațional pentru că nu poate fi reprezentat ca o fracție.

Acum putem da cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4, 903, 100.321 sunt numere raționale deoarece sunt numere naturale. Numerele întregi 58, −72, 0, −833.333.333 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Fracțiile comune 4/9, 99/3 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Din exemplele de mai sus este clar că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai concisă.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție z/n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera linia unei fracții ca un semn de împărțire, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi, urmează validitatea următoarelor egalități și. Deci asta este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale bazate pe această definiție. Numerele −5, 0, 3 și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și, respectiv, un numitor natural de forma și.

Definiția numerelor raționale poate fi dată în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece fiecare fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5, 0, -13 sunt exemple de numere raționale deoarece pot fi scrise ca următoarele fracții zecimale 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 și -7, (18).

Să încheiem teoria acestui punct cu următoarele afirmații:

numerele întregi și fracții (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;
fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional;
fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un număr rațional.

Este acest număr rațional?

În paragraful anterior, am aflat că orice număr natural, orice număr întreg, orice fracție obișnuită, orice număr mixt, orice fracție zecimală finită, precum și orice fracție zecimală periodică este un număr rațional. Această cunoaștere ne permite să „recunoaștem” numerele raționale dintr-un set de numere scrise.

Dar dacă numărul este dat sub forma unor , sau ca , etc., cum să răspunzi la întrebarea dacă acest număr este rațional? În multe cazuri, este foarte greu să răspunzi. Să indicăm câteva direcții de gândire.

Dacă un număr este dat ca expresie numerică care conține numai numere raționale și semne aritmetice (+, −, · și:), atunci valoarea acestei expresii este un număr rațional. Aceasta rezultă din modul în care sunt definite operațiile cu numere raționale. De exemplu, după efectuarea tuturor operațiilor din expresie, obținem numărul rațional 18.

Uneori, după ce am simplificat expresiile și le-am făcut mai complexe, devine posibil să se determine dacă un anumit număr este rațional.

Să mergem mai departe. Numărul 2 este un număr rațional, deoarece orice număr natural este rațional. Dar numărul? Este rațional? Rezultă că nu, nu este un număr rațional, este un număr irațional (dovada acestui fapt prin contradicție este dată în manualul de algebră pentru clasa a VIII-a, enumerat mai jos în lista de referințe). De asemenea, s-a dovedit că rădăcina pătrată a unui număr natural este un număr rațional numai în acele cazuri când sub rădăcină există un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, și sunt numere raționale, deoarece 81 = 9 2 și 1 024 = 32 2, iar numerele și nu sunt raționale, deoarece numerele 7 și 199 nu sunt pătrate perfecte numere naturale.

Numărul este rațional sau nu? ÎN în acest caz, Este ușor de observat că, prin urmare, acest număr este rațional. Este numărul rațional? S-a dovedit că rădăcina k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea k a unui număr întreg. Prin urmare, nu este un număr rațional, deoarece nu există un număr întreg a cărui putere a cincea este 121.

Metoda prin contradicție permite să se demonstreze că logaritmii unor numere nu sunt numere raționale din anumite motive. De exemplu, să demonstrăm că - nu este un număr rațional.

Să presupunem contrariul, adică să spunem că este un număr rațional și poate fi scris ca o fracție obișnuită m/n. Atunci dăm următoarele egalități: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece în partea stângă există numar impar 5 n, iar în partea dreaptă este numărul par 2 m. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă, deci nu este un număr rațional.

În concluzie, este de remarcat în special faptul că atunci când se determină raționalitatea sau iraționalitatea numerelor, ar trebui să se abțină de la a face concluzii bruște.

De exemplu, nu ar trebui să afirmați imediat că produsul numerelor iraționale π și e este un număr irațional; acest lucru este „aparent evident”, dar nu este dovedit. Aceasta ridică întrebarea: „De ce ar fi un produs un număr rațional?” Și de ce nu, pentru că poți da un exemplu de numere iraționale, al căror produs dă un număr rațional: .

De asemenea, nu se știe dacă numerele și multe alte numere sunt raționale sau nu. De exemplu, există numere iraționale a căror putere irațională este un număr rațional. Pentru ilustrare, prezentăm un grad de forma , baza acestui grad și exponentul nu sunt numere raționale, ci , iar 3 este un număr rațional.

Bibliografie.

Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Simbioza modernă dintre fizică și matematică duce și la o regândire radicală a conceptelor de bază folosite în matematică, dintre care acest concept are cea mai fundamentală semnificație.

Ce este inclus în conceptul de număr

Numărul este subiectul principal al cunoștințelor fizice. Număr studii de fizică. Fizica studiază efectele care apar din cauza existenței numărului. Numărul este forma existenței timpului în natură. Numărul este un obiect real al fizicii. Un număr este o undă și o particulă în același timp. Un număr este un obiect real, un element de timp, un lucru, un obiect de timp, care, din punctul de vedere al cercetătorului, este atât o undă, cât și o particulă. Prin urmare, numărul este un obiect care desfășoară procese oscilatorii și ondulatorii. Numărul radiază.

Forma de existență a unui număr este oscilația - oscilații armonice, oscilații armonice mecanice, oscilații armonice libere într-un circuit oscilator electric, amortizate și oscilații forțate.

Conceptul de număr. Fizica cuantică s-a apropiat mai mult decât orice altă ramură a fizicii de obiectul adevărat, dar nu evident al fizicii moderne - de a număra. Obiectul real al fizicii este numărul.

Spațiul este format din numere. O infinitate reală a unei serii de numere (infinitul numărabil) este spațiul în sine.

O infinitate reală a unei serii de numere este un „câmp”. Seria infinită de numere este consistența „naturii”; este procesul timpului ca materie de implementare. Numărul, universal și concret, este realitatea ascunsă sub denumirea de „corp” în mecanica clasică. Există doar un număr. Relațiile interne ale seriei de numere formează spațiul transparent al fizicii.

V. I. Shilov

„Viteză”, „accelerare”, „impuls”, „inerție”, „energie”, „mișcare termică”, „muncă”, „fluctuație”, „câmp electric”, „ incarcare electrica„”, „curent electric”, „dielectric”, „semiconductor”, „plasmă”, „câmp magnetic”, „atom”, „inducție”, „curent electric”, „oscilații”, „unde”, „radiație termică” , „foton”, „radioactivitate”, „interacțiuni fundamentale ale particulelor elementare” - și toate acestea sunt măsurate prin număr.

Prin urmare, numărul este subiectul inițial al fizicii, care coincide cu esența matematicii. Toate experimentele fizice sunt experimente „în interiorul” unei serii de numere, experimente cu numere specifice, experimente în domeniul interacțiunii numerelor, experimente bazate pe infinitatea reală a unuia, dar serii de numere cu adevărat existente.

Însăși diferența dintre tipurile de numere este realitatea fizică reală a proceselor fizice prezentate în ramurile fizicii moderne. Diferența de tipuri de numere este o formă reală de diferență în interacțiunile fizice și tipurile de materie fizică.

Tipurile de numere reflectă întreaga diversitate a proceselor fizice și sunt forma studiată a acestei diversități. Asa de:

Divizibilitatea unui număr este esența fizică specifică a unui proces fizic.

Numărul prim indivizibil este ultimul obiect adevărat al fizicii.

Cel mai simplu număr este numar natural. Sunt folosite în Viata de zi cu zi pentru numărare obiecte, adică pentru a calcula numărul și ordinea acestora.

Ce este un număr natural: numere naturale numiți numerele cu care sunt obișnuite numărarea articolelor sau pentru a indica numărul de serie al oricărui articol din toate omogene articole.

numere întregi- acestea sunt numere care incep de la unu. Ele se formează în mod natural la numărare.De exemplu, 1,2,3,4,5... -primele numere naturale.

Cel mai mic număr natural- unu. Nu există cel mai mare număr natural. La numărarea numărului Zero nu este folosit, deci zero este un număr natural.

Seria de numere naturale este succesiunea tuturor numerelor naturale. Scrierea numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul câte unul.

Câte numere sunt în seria naturală? Seria naturală este infinită; cel mai mare număr natural nu există.

Decimală deoarece 10 unități din orice cifră formează 1 unitate din cea mai mare cifră. Pozițional așa modul în care semnificația unei cifre depinde de locul ei în număr, adică din categoria unde este scris.

Clase de numere naturale.

Orice număr natural poate fi scris folosind 10 cifre arabe:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pentru a citi numerele naturale, acestea sunt împărțite, începând din dreapta, în grupuri de câte 3 cifre. 3 primul numerele din dreapta sunt clasa unităților, următoarele 3 sunt clasa miilor, apoi clasele milioanelor, miliardelor șietc. Fiecare dintre cifrele clasei se numește eideversare.

Comparația numerelor naturale.

Dintre 2 numere naturale, cu atât mai mic este numărul care este numit mai devreme la numărare. De exemplu, număr 7 Mai puțin 11 (scris astfel:7 < 11 ). Când un număr mai mult decât al doilea, este scris astfel:386 > 99 .

Tabel de cifre și clase de numere.


unitate de clasa I	Prima cifră a unității a 2-a cifră zeci Locul 3 sute
clasa a II-a mie	Prima cifră a unității de mii A doua cifră zeci de mii Categoria a 3-a sute de mii
milioane de clasa a 3-a	Prima cifră a unității de milioane Categoria a 2-a zeci de milioane Categoria a 3-a sute de milioane
miliarde de clasa a 4-a	Prima cifră a unității de miliarde Categoria a 2-a zeci de miliarde Categoria a 3-a sute de miliarde

Numerele din clasa a V-a și mai sus se referă la numere mari. Unitățile din clasa a 5-a sunt trilioane, a 6-a clasa - cvadrilioane, clasa a 7-a - chintilioane, clasa a 8-a - sextilioane, clasa a 9-a - eptilioane.

Proprietățile de bază ale numerelor naturale.

Comutativitatea adunării . a + b = b + a
Comutativitatea înmulțirii. ab = ba
Asociativitatea adunării. (a + b) + c = a + (b + c)
Asociativitatea înmulțirii.
Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

Operatii pe numere naturale.

4. Împărțirea numerelor naturale este operația inversă a înmulțirii.

Dacă b ∙ c = a, Acea

Formule de împărțire:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Expresii numerice și egalități numerice.

O notație în care numerele sunt conectate prin semne de acțiune este expresie numerică.

De exemplu, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Înregistrările în care 2 expresii numerice sunt combinate cu un semn egal sunt egalități numerice. Egalitatea are partea stângă și dreaptă.

Ordinea efectuării operațiilor aritmetice.

Adunarea și scăderea numerelor sunt operații de gradul I, în timp ce înmulțirea și împărțirea sunt operații de gradul doi.

Când expresie numerică constă în acțiuni de un singur grad, acestea sunt efectuate secvenţial de la stanga la dreapta.

Când expresiile constau din acțiuni de gradul I și II, atunci acțiunile sunt efectuate mai întâi al doilea grad, iar apoi - acțiuni de gradul întâi.

Când există paranteze într-o expresie, acțiunile din paranteze sunt efectuate mai întâi.

De exemplu, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Pentru a-ți face viața MULT mai ușoară când trebuie să calculezi ceva, pentru a câștiga timp prețios la Examenul Unificat de Stat sau Examenul Unificat de Stat, pentru a face mai puține greșeli stupide - citește această secțiune!

Iată ce vei învăța:

cum să numărați mai rapid, mai ușor și mai precis folosindgruparea numerelorla adunare si scadere,
cum să înmulțiți și să împărțiți rapid fără erori folosind reguli de înmulțire și semne de divizibilitate,
cum să accelerezi semnificativ calculele folosind cel mai mic multiplu comun(NOK) și cel mai mare divizor comun(DA DIN CAP).

Stăpânirea tehnicilor din această secțiune poate înclina balanța într-o direcție sau alta... indiferent dacă intri la universitatea de vis sau nu, tu sau părinții tăi va trebui să plătești o mulțime de bani pentru educație sau te vei înscrie la buget .

Să ne scufundăm chiar în... (Hai să mergem!)

P.S. ULTIMUL SFAT PREȚIOS...

Notă importantă!Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

O multime de numere întregi constă din 3 părți:

numere întregi(le vom privi mai detaliat mai jos);
numere opuse numerelor naturale(totul se va pune la punct de îndată ce știi ce sunt numerele naturale);
zero - " " (Unde am fi noi fără el?)

litera Z.

numere întregi

„Dumnezeu a creat numerele naturale, orice altceva este opera mâinilor umane” (c) matematicianul german Kronecker.

Numerele naturale sunt numere pe care le folosim pentru a număra obiectele și pe asta se bazează istoria lor de origine – nevoia de a număra săgeți, piei etc.

1, 2, 3, 4...n

litera N.

În consecință, această definiție nu include (nu poți număra ceva care nu există?) și, cu atât mai mult, nu include valori negative(există un măr?).

În plus, nu sunt incluse toate numerele fracționale (nu putem spune nici „Am un laptop” sau „Am vândut mașini”)

Orice numar natural poate fi scris folosind 10 cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Deci 14 nu este un număr. Acesta este numărul. Din ce numere constă? Așa e, din cifre și...

Plus. Gruparea la adăugare pentru a număra mai repede și a face mai puține greșeli

Ce lucruri interesante poți spune despre această procedură? Desigur, acum vei răspunde „valoarea sumei nu se schimbă prin rearanjarea termenilor”. S-ar părea că aceasta este o regulă primitivă, familiară încă din clasa întâi, totuși, atunci când rezolvăm exemple mari, uitat instantaneu!

Nu uita de el -utilizați gruparea, pentru a vă ușura procesul de numărare și pentru a reduce probabilitatea de greșeli, deoarece nu veți avea un calculator pentru examenul unificat de stat.

Vedeți singur ce expresie este mai ușor de adunat?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Desigur, al doilea! Deși rezultatul este același. Dar! Avand in vedere a doua metoda ai mai putine sanse sa gresesti si vei face totul mai repede!

Deci, în mintea ta gândești așa:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Scădere. Gruparea la scădere pentru a număra mai repede și a face mai puține greșeli

Când scădem, putem grupa și numerele pe care le scădem, de exemplu:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Ce se întâmplă dacă scăderea alternează cu adunarea în exemplu? Puteți, de asemenea, să grupați, să răspundeți și este corect. Vă rugăm doar să nu uitați de semnele dinaintea numerelor, de exemplu: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Amintiți-vă: semnele plasate incorect vor duce la un rezultat eronat.

Multiplicare. Cum să vă înmulțiți în cap

Evident, schimbarea locurilor factorilor nu va schimba nici valoarea produsului:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nu vă voi spune „folosește asta când rezolvi exemple” (ai înțeles tu însuți ideea, nu?), ci mai degrabă îți voi spune cum să înmulți rapid câteva numere în cap. Deci, uitați-vă cu atenție la tabel:

Și mai multe despre înmulțire. Bineînțeles că vă amintiți două ocazii speciale... Poţi ghici ce vreau să spun? Iată despre asta:

Da, hai să ne uităm din nou semne de divizibilitate. Sunt 7 reguli in total bazate pe criterii de divizibilitate, dintre care le cunosti deja pe primele 3!

Dar restul nu sunt deloc greu de reținut.

7 semne de divizibilitate a numerelor care te vor ajuta să numeri rapid în capul tău!

Desigur, cunoașteți primele trei reguli.
Al patrulea și al cincilea sunt ușor de reținut - atunci când împărțim cu și ne uităm să vedem dacă suma cifrelor care alcătuiesc numărul este divizibilă cu aceasta.
Când împărțim cu, ne uităm la ultimele două cifre ale unui număr - este numărul prin care fac divizibil?
Când se împarte cu, un număr trebuie să fie divizibil cu și cu în același timp. Asta e toată înțelepciunea.

Acum te gândești „de ce am nevoie de toate astea”?

În primul rând, are loc examenul de stat unificat fara calculator iar aceste reguli vă vor ajuta să navigați printre exemple.

Și în al doilea rând, ați auzit despre probleme GCDȘi NOC? Este cunoscut acest acronim? Să începem să ne amintim și să înțelegem.

Cel mai mare divizor comun (GCD) - necesar pentru reducerea fracțiilor și efectuarea de calcule rapide

Să presupunem că aveți două numere: și. Pentru ce cel mai mare număr Sunt ambele numere divizibile? Vei răspunde fără ezitare, pentru că știi că:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Care sunt numerele comune în expansiune? Așa este, 2 * 2 = 4. Acesta a fost răspunsul tău. Ținând cont de acest exemplu simplu, nu veți uita algoritmul de găsire GCD. Încearcă să-l „construiești” în capul tău. S-a întâmplat?

Pentru a găsi un GCD trebuie să:

Împărțiți numerele în factori primi (acele numere care nu pot fi împărțite cu nimic altceva decât cu ele însele sau cu, de exemplu, 3, 7, 11, 13 etc.).
Înmulțiți-le.

Înțelegi de ce aveam nevoie de semne de divizibilitate? Astfel încât să vă uitați la număr și să începeți să împărțiți fără rest.

De exemplu, să găsim GCD-ul numerelor 290 și 485

Primul număr -.

Privind-o, puteți spune imediat că este divizibil cu, să-l notăm:

Este imposibil să vă împărțiți în altceva, dar puteți - și obținem:

290 = 29 * 5 * 2

Să luăm un alt număr - 485.

Conform criteriilor de divizibilitate, trebuie să fie divizibil cu fără rest, deoarece se termină cu. Divide:

Să analizăm numărul inițial.

Nu poate fi împărțit la (ultima cifră este impară),
- nu este divizibil cu, ceea ce înseamnă că numărul nu este, de asemenea, divizibil cu,
cu și prin, de asemenea, nu este divizibil (suma cifrelor incluse într-un număr nu este divizibil cu și cu)
nu este, de asemenea, divizibil cu, deoarece nu este divizibil cu și,
de asemenea, nu este divizibil cu și, deoarece nu este divizibil cu și.
nu poate fi divizat complet

Aceasta înseamnă că numărul poate fi descompus doar în și.

Acum să găsim GCD aceste numere(e). Ce număr este acesta? Dreapta, .

Să exersăm?

Sarcina nr. 1. Aflați mcd-ul numerelor 6240 și 6800

1) Împărțim imediat la, deoarece ambele numere sunt divizibile 100% cu:

Sarcina nr. 2. Aflați mcd-ul numerelor 345 și 324

Nu pot găsi rapid cel puțin un divizor comun aici, așa că îl descompun în factori primi (cât mai mici posibil):

Cel mai mic multiplu comun (LCM) - economisește timp, ajută la rezolvarea problemelor într-un mod nestandard

Să presupunem că aveți două numere - și. Care este cel mai mic număr care poate fi împărțit la fără urmă(adică complet)? Greu de imaginat? Iată un indiciu vizual pentru tine:

Îți amintești ce înseamnă scrisoarea? Așa este, doar numere întregi. Deci, care este cel mai mic număr care se potrivește în locul lui x? :

În acest caz.

Din această exemplu simplu Urmează mai multe reguli.

Reguli pentru găsirea rapidă a NOC

Regula 1: Dacă unul dintre cele două numere naturale este divizibil cu un alt număr, atunci cel mai mare dintre cele două numere este cel mai mic multiplu comun al acestora.

Găsiți următoarele numere:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

Desigur, ai făcut față acestei sarcini fără dificultate și ai primit răspunsurile - , și.

Vă rugăm să rețineți că în regulă vorbim despre DOUA numere; dacă sunt mai multe numere, atunci regula nu funcționează.

De exemplu, LCM (7;14;21) nu este egal cu 21, deoarece nu este divizibil cu.

Regula 2. Dacă două (sau mai multe) numere sunt între prime, atunci cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul lor.

Găsi NOC următoarele numere:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

ai numarat? Iată răspunsurile - , ; .

După cum înțelegeți, nu este întotdeauna posibil să luați același x atât de ușor, așa că pentru numere puțin mai complexe există următorul algoritm:

Să exersăm?

Să găsim cel mai mic multiplu comun - LCM (345; 234)

Găsiți singur cel mai mic multiplu comun (LCM).

Ce răspunsuri ai primit?

Iată ce am primit:

Cât timp ai petrecut găsind NOC? Timpul meu este de 2 minute, chiar știu un truc, pe care vă sugerez să-l deschideți chiar acum!

Dacă ești foarte atent, atunci probabil ai observat asta numere date ne-am uitat deja GCDși ai putea lua factorizarea acestor numere din acel exemplu, simplificându-ți astfel sarcina, dar asta nu este tot.

Uită-te la poză, poate îți vor veni și alte gânduri:

Bine? Vă dau un indiciu: încercați să înmulțiți NOCȘi GCDîntre ele și notează toți factorii care vor apărea la înmulțire. Ai reușit? Ar trebui să ajungi cu un lanț ca acesta:

Aruncați o privire mai atentă: comparați multiplicatorii cu modul în care sunt așezați.

Ce concluzie poți trage din asta? Dreapta! Dacă înmulțim valorile NOCȘi GCDîntre ele, atunci obținem produsul acestor numere.

În consecință, având numere și semnificație GCD(sau NOC), noi putem gasi NOC(sau GCD) conform acestei scheme:

1. Găsiți produsul numerelor:

2. Împărțiți produsul rezultat la al nostru GCD (6240; 6800) = 80:

Asta e tot.

Să scriem regula în formă generală:

Încerca să găsească GCD, dacă se știe că:

Ai reușit? .

Numerele negative sunt „numere false” și recunoașterea lor de către umanitate.

După cum ați înțeles deja, acestea sunt numere opuse celor naturale, adică:

Numerele negative pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite - la fel ca în numerele naturale. S-ar părea, ce este atât de special la ei? Dar adevărul este că numerele negative și-au „câștigat” locul de drept în matematică până în secolul al XIX-lea (până în acel moment a existat o mulțime de controverse despre existența sau nu).

Numărul negativ însuși a apărut din cauza unei astfel de operații cu numere naturale ca „scădere”. Într-adevăr, scădeți din ea și obțineți un număr negativ. De aceea, mulțimea numerelor negative este adesea numită „extensia mulțimii numere naturale».

Numerele negative nu au fost recunoscute de oameni multă vreme. Astfel, Egiptul Antic, Babilonul și Grecia antică- luminarii vremii lor, nu recunoșteau numere negative, iar în cazul obținerii de rădăcini negative într-o ecuație (de exemplu, ca a noastră), rădăcinile erau respinse ca imposibile.

Numerele negative și-au câștigat mai întâi dreptul de a exista în China, iar apoi în secolul al VII-lea în India. Care credeți că este motivul acestei recunoașteri? Așa este, numerele negative au început să desemneze datorii (în caz contrar, lipsuri). Se credea că numerele negative sunt o valoare temporară, care, ca urmare, se va schimba în pozitivă (adică banii vor fi în continuare returnați creditorului). Cu toate acestea, matematicianul indian Brahmagupta a considerat deja numerele negative în mod egal cu cele pozitive.

În Europa, utilitatea numerelor negative, precum și faptul că pot denota datorii, a fost descoperită mult mai târziu, poate un mileniu. Prima mențiune a fost observată în 1202 în „Cartea Abacului” a lui Leonard de Pisa (voi spune imediat că autorul cărții nu are nicio legătură cu Turnul înclinat din Pisa, dar numerele Fibonacci sunt opera lui (porecla lui Leonardo din Pisa este Fibonacci)). În plus, europenii au ajuns la concluzia că numerele negative pot însemna nu numai datorii, ci și lipsa a ceva, deși nu toată lumea a recunoscut acest lucru.

Deci, în secolul al XVII-lea, Pascal credea asta. Cum crezi că a justificat asta? Este adevărat, „nimic nu poate fi mai puțin decât NIMIC”. Un ecou al acelor timpuri rămâne faptul că un număr negativ și operația de scădere sunt notate cu același simbol - minus „-”. Și adevărul: . Numărul „ ” este pozitiv, din care se scade, sau negativ, cu care se însumează?... Ceva din seria „ce vine mai întâi: găina sau oul?” Aceasta este o filozofie matematică atât de specială.

Numerele negative și-au asigurat dreptul de a exista odată cu apariția geometriei analitice, cu alte cuvinte, atunci când matematicienii au introdus un astfel de concept precum axa numerelor.

Din acest moment a venit egalitatea. Cu toate acestea, au existat încă mai multe întrebări decât răspunsuri, de exemplu:

proporţie

Această proporție se numește „paradoxul lui Arnaud”. Gândește-te, ce este îndoielnic la asta?

Să ne certăm împreună „” este mai mult decât „” nu? Astfel, conform logicii, partea stângă a proporției ar trebui să fie mai mare decât dreapta, dar sunt egale... Acesta este paradoxul.

Drept urmare, matematicienii au fost de acord până la punctul în care Karl Gauss (da, da, acesta este același care a calculat suma (sau) numerele) a pus capăt acesteia în 1831 - el a spus că numerele negative au aceleași drepturi ca cele pozitive. cele, iar faptul că nu se aplică tuturor lucrurilor nu înseamnă nimic, deoarece nici fracțiile nu se aplică la multe lucruri (nu se întâmplă ca un săpător să sape o groapă, să nu poți cumpăra un bilet de film etc. .).

Matematicienii s-au calmat abia în secolul al XIX-lea, când teoria numerelor negative a fost creată de William Hamilton și Hermann Grassmann.

Sunt atât de controversate, aceste numere negative.

Apariția „golului” sau biografia lui zero.

La matematică este un număr special. La prima vedere, acest lucru nu este nimic: adăugați sau scădeți - nimic nu se va schimba, dar trebuie doar să îl adăugați la dreapta la „ ”, iar numărul rezultat va fi de câteva ori mai mare decât cel inițial. Înmulțind cu zero transformăm totul în nimic, dar împărțind la „nimic”, adică nu putem. Într-un cuvânt, numărul magic)

Istoria lui zero este lungă și complicată. O urmă de zero a fost găsită în scrierile chinezilor în mileniul II d.Hr. și chiar mai devreme printre mayași. Prima utilizare a simbolului zero, așa cum este astăzi, a fost văzută printre astronomii greci.

Există multe versiuni ale motivului pentru care a fost aleasă această denumire „nimic”. Unii istorici sunt înclinați să creadă că acesta este un omicron, i.e. Prima literă a cuvântului grecesc pentru nimic este ouden. Potrivit unei alte versiuni, cuvântul „obol” (o monedă aproape fără valoare) a dat viață simbolului zero.

Zero (sau nul) ca simbol matematic apare pentru prima dată printre indieni (rețineți că numerele negative au început să se „dezvolte” acolo). Prima dovadă de încredere a înregistrării lui zero datează din 876, iar în ele „ ” este o componentă a numărului.

Zero a venit și în Europa târziu - abia în 1600 și, la fel ca numerele negative, a întâmpinat rezistență (ce puteți face, așa sunt ei, europeni).

„Zero a fost adesea urât, temut de mult timp sau chiar interzis”, scrie matematicianul american Charles Safe. Astfel, sultanul turc Abdul Hamid al II-lea la sfârșitul secolului al XIX-lea. le-a ordonat cenzorilor săi să șteargă formula apei H2O din toate manualele de chimie, luând litera „O” drept zero și nu dorind ca inițialele lui să fie discreditate prin apropierea de zeroul disprețuit.”

Pe Internet puteți găsi fraza: „Zero este cea mai puternică forță din Univers, el poate face orice! Zero creează ordine în matematică și, de asemenea, introduce haos în ea.” Punct absolut corect :)

Rezumatul secțiunii și formulele de bază

Setul de numere întregi este format din 3 părți:

numere naturale (le vom analiza mai detaliat mai jos);
numere opuse numerelor naturale;
zero - " "

Se notează mulțimea numerelor întregi litera Z.

1. Numerele naturale

Numerele naturale sunt numere pe care le folosim pentru a număra obiecte.

Se notează mulțimea numerelor naturale litera N.

În operațiunile cu numere întregi, veți avea nevoie de capacitatea de a găsi GCD și LCM.

Cel mai mare divizor comun (GCD)

Pentru a găsi un GCD trebuie să:

Descompuneți numerele în factori primi (acele numere care nu pot fi împărțite cu nimic altceva decât cu ele însele sau, de exemplu, etc.).
Notați factorii care fac parte din ambele numere.
Înmulțiți-le.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Pentru a găsi NOC aveți nevoie de:

Împărțiți numerele în factori primi (știți deja să faceți acest lucru foarte bine).
Notați factorii incluși în extinderea unuia dintre numere (este mai bine să luați cel mai lung lanț).
Adaugă la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase.
Aflați produsul factorilor rezultați.

2. Numerele negative

Acestea sunt numere opuse celor naturale, adică:

Acum vreau sa te aud...

Sper că ați apreciat „trucurile” super-utile din această secțiune și ați înțeles cum vă vor ajuta la examen.

Și mai important - în viață. Nu vorbesc despre asta, dar crede-mă, acesta este adevărat. Capacitatea de a număra rapid și fără erori vă salvează în multe situații de viață.

Acum e rândul tău!

Scrieți, veți folosi metode de grupare, teste de divizibilitate, GCD și LCM în calcule?

Poate le-ai mai folosit? Unde și cum?

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii cum vă place articolul.

Și mult succes la examene!

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - Cumpărați articol - 299 rub.
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Sursă de primire: GOST 111 90: Sticlă. Specificații document original Vezi și termeni înrudiți: 109. Numărul de oscilații betatron...

Verb., nsv., folosit. comparaţie adesea Morfologie: eu intru, tu intri, el/ea intră, noi intrăm, tu intri, ei intră, intră, intră, intră, intră, intră, intră, intră, intră, intră, intră, intră; substantiv, m. intrare... Dicţionar Dmitrieva

Numărul de curse ale pachetului de bobine- 9. Numărul de curse ale unui pachet de bobine Număr de grupuri de bobine conectate în serie caracterizate printr-o direcție comună de mișcare în raport cu mediul de spălare mediu intern Notă. Pe baza numărului de mișcări, ele disting, de exemplu, o singură mișcare,... ... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Un tip special de activitate cognitivă care vizează dezvoltarea cunoştinţelor obiective, sistematic organizate şi fundamentate despre lume. Interacționează cu alte tipuri de activitate cognitivă: cotidiană, artistică, religioasă, mitologică... Enciclopedie filosofică

Cuprins: 1) Definiția Ts. 2) Originea Ts. 3) caracteristici generale Ts. 4) Organizarea Ts. 5) Structura economică Ts. 6) Rolul politic Ts. 7) Evoluția organizării breslelor medievale. 8) Declinul C. 9) Literatura. 1) Definiția lui C.... ... Dicţionar enciclopedic F. Brockhaus și I.A. Efron

Acest termen are alte semnificații, vezi Calendar revoluționar. Calendar Informații calendar Tip calendar Solar, lunar, lunisolar Era calendaristică Inserarea anilor bisecți... Wikipedia

Acest articol nu are link-uri către surse de informații. Informațiile trebuie să fie verificabile, altfel pot fi puse sub semnul întrebării și șterse. Poți... Wikipedia

Uranus... Wikipedia

Uranus Fotografie cu Uranus de pe Voyager 2. Informații despre descoperire Data descoperirii 13 martie 1781 Descoperitor ... Wikipedia

Danny Phantom ... Wikipedia

Cărți

Cosmoritmuri în istoria Imperiului Rus (1671-1918), V. I. Vasiliev. Această carte prezintă tehnica originala calcularea relaţiilor planetare între diferite date din istorie. Unitățile de timp folosite peste tot sunt convenționale, sunt legate de...
13 porți ale ezoterismului. Istoria învățăturilor ezoterice de la Adam până în zilele noastre, Evgeniy Kolesov. Această carte a luat naștere dintr-un curs de prelegeri susținute de autor în anii 1994-95. la Universitatea de Istorie Culturală. Autoarea are de multă vreme ideea de a încerca să prezinte povestea în mod coerent și obiectiv...

Ar putea fi util să citiți: