O întâmplare amuzantă din viață. Geometrie sferică Proprietăți ale cercului numeric

Am asistat odată la o conversație între doi solicitanți:

– Când ar trebui să adăugați 2πn și când să adăugați πn? Pur și simplu nu-mi amintesc!

— Și am aceeași problemă.

Am vrut doar să le spun: „Nu trebuie să memorați, ci să înțelegeți!”

Acest articol se adresează în primul rând elevilor de liceu și, sper, îi va ajuta să rezolve cele mai simple ecuații trigonometrice cu „înțelegere”:

Cercul numeric

Alături de conceptul de dreptă numerică, există și conceptul de cerc numeric. După cum știm, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, un cerc cu centrul în punctul (0;0) și raza 1 se numește cerc unitar. Să ne imaginăm o linie numerică ca un fir subțire și să o înfășurăm în jurul acestui cerc: vom atașa originea (punctul 0) la punctul „dreapta” al cercului unitar, vom înfășura semiaxa pozitivă în sens invers acelor de ceasornic și semiaxa negativă. -axa in directie (Fig. 1). Un astfel de cerc unitar se numește cerc numeric.

Proprietățile cercului numeric

Fiecare număr real se află pe un punct al cercului numeric.
Există infinit de multe numere reale în fiecare punct al cercului numeric. Deoarece lungimea cercului unitar este 2π, diferența dintre oricare două numere dintr-un punct al cercului este egală cu unul dintre numerele ±2π; ±4π; ±6π; ...

Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele punctului A, putem găsi toate numerele punctului A.

Să desenăm diametrul AC (Fig. 2). Deoarece x_0 este unul dintre numerele punctului A, atunci numerele x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... și numai ele vor fi numerele punctului C. Să alegem unul dintre aceste numere, să zicem, x_0+π, și să îl folosim pentru a scrie toate numerele punctului C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Rețineți că numerele din punctele A și C pot fi combinate într-o singură formulă: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (pentru k = 0; ±2; ±4; ... obținem numerele de punctul A, iar pentru k = ±1 … – numerele punctului C);

Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul din punctele A sau C ale diametrului AC, putem găsi toate numerele în aceste puncte.

Două numere opuse sunt situate în puncte ale cercului care sunt simetrice față de axa absciselor.

Să desenăm o coardă verticală AB (Fig. 2). Deoarece punctele A și B sunt simetrice față de axa Ox, numărul -x_0 este situat în punctul B și, prin urmare, toate numerele punctului B sunt date prin formula: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Scriem numerele din punctele A și B folosind o formulă: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul dintre punctele A sau B ale coardei verticale AB, putem găsi toate numerele în aceste puncte. Să considerăm coarda orizontală AD și să găsim numerele punctului D (Fig. 2). Deoarece BD este un diametru și numărul -x_0 aparține punctului B, atunci -x_0 + π este unul dintre numerele punctului D și, prin urmare, toate numerele acestui punct sunt date prin formula x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Numerele din punctele A și D pot fi scrise folosind o singură formulă: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pentru k= 0; ±2; ±4; … obținem numerele punctului A, iar pentru k = ±1; ±3; ±5; … – numerele punctului D).

Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul din punctele A sau D ale coardei orizontale AD, putem găsi toate numerele în aceste puncte.

Șaisprezece puncte principale ale cercului numeric

În practică, rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice implică șaisprezece puncte pe un cerc (Fig. 3). Ce sunt aceste puncte? Punctele roșii, albastre și verzi împart cercul în 12 părți egale. Deoarece lungimea semicercului este π, atunci lungimea arcului A1A2 este π/2, lungimea arcului A1B1 este π/6, iar lungimea arcului A1C1 este π/3.

Acum putem indica câte un număr:

π/3 pe C1 și

Vârfurile pătratului portocaliu sunt punctele mijlocii ale arcelor fiecărui sfert, prin urmare, lungimea arcului A1D1 este egală cu π/4 și, prin urmare, π/4 este unul dintre numerele punctului D1. Folosind proprietățile cercului numeric, putem folosi formule pentru a scrie toate numerele din toate punctele marcate ale cercului nostru. Coordonatele acestor puncte sunt de asemenea marcate în figură (vom omite descrierea achiziției lor).

După ce stăpânim cele de mai sus, avem acum suficientă pregătire pentru a rezolva cazuri speciale (pentru nouă valori ale numărului A) cele mai simple ecuații.

Rezolvați ecuații

1)sinx=1⁄(2).

– Ce ni se cere?

– Găsiți toate acele numere x al căror sinus este 1/2.

Să ne amintim definiția sinusului: sinx – ordonata punctului de pe cercul numeric pe care se afla numarul x. Avem două puncte pe cerc a căror ordonată este egală cu 1/2. Acestea sunt capetele coardei orizontale B1B2. Aceasta înseamnă că cerința „rezolvați ecuația sinx=1⁄2” este echivalentă cu cerința „găsiți toate numerele din punctul B1 și toate numerele din punctul B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Trebuie să găsim toate numerele în punctele C4 și C3.

3) sinx=1. Pe cerc avem un singur punct cu ordonata 1 - punctul A2 și, prin urmare, trebuie să găsim doar toate numerele acestui punct.

Răspuns: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Doar punctul A_4 are ordonata -1. Toate numerele acestui punct vor fi caii ecuației.

Răspuns: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Pe cerc avem doua puncte cu ordonata 0 - punctele A1 si A3. Puteți indica numerele de la fiecare dintre puncte separat, dar având în vedere că aceste puncte sunt diametral opuse, este mai bine să le combinați într-o singură formulă: x=πk,k∈Z.

Răspuns: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Să ne amintim definiția cosinusului: cosx este abscisa punctului de pe cercul numeric pe care se află numărul x. Pe cerc avem două puncte cu abscisa √2⁄2 - capetele coardei orizontale D1D4. Trebuie să găsim toate numerele din aceste puncte. Să le notăm, combinându-le într-o singură formulă.

Răspuns: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Trebuie să găsim numerele în punctele C_2 și C_3.

Răspuns: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Doar punctele A2 și A4 au o abscisă de 0, ceea ce înseamnă că toate numerele din fiecare dintre aceste puncte vor fi soluții ale ecuației.
.

Soluțiile ecuației sistemului sunt numerele din punctele B_3 și B_4 La inegalitatea cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Răspuns: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Rețineți că pentru orice valoare admisibilă a lui x, al doilea factor este pozitiv și, prin urmare, ecuația este echivalentă cu sistemul

Soluțiile ecuației sistemului sunt numărul de puncte D_2 și D_3. Numerele punctului D_2 nu satisfac inegalitatea sinx≤0,5, dar numerele punctului D_3 satisfac.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Găsiți punctele corespunzătoare numerelor următoare

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z Găsiți punctele corespunzătoare următoarelor numere

1. Cărui sfert din cerc numeric îi aparține primul? B. În al doilea rând. V. În al treilea rând. G. În al patrulea rând. 2. Cărui sfert din cerc numeric îi aparține primul? B. În al doilea rând. V. În al treilea rând. G. În al patrulea rând. 3. Determinați semnele numerelor a și b dacă: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Care sfert din cerc numeric face punctul A. Mai întâi. B. În al doilea rând, D. În al patrulea rând, care aparține punctului A. În al treilea rând, determină semnele a și b >0."> title="1. Cărui sfert din cerc numeric îi aparține primul? B. În al doilea rând. V. În al treilea rând. G. În al patrulea rând. 2. Cărui sfert din cerc numeric îi aparține primul? B. În al doilea rând. V. În al treilea rând. G. În al patrulea rând. 3. Determinaţi semnele numerelor a şi b dacă: A. a>0"> !}

Aparent, primul apel al omenirii la ceea ce va fi numit mai târziu geometrie sferică a fost teoria planetară a matematicianului grec Eudoxus (c. 408–355), unul dintre participanții la Academia lui Platon. A fost o încercare de a explica mișcarea planetelor în jurul Pământului cu ajutorul a patru sfere concentrice rotative, fiecare dintre acestea având o axă specială de rotație cu capetele fixate pe sfera înconjurătoare, la care, la rândul lor, stelele erau. „bătut în cuie”. În acest fel, au fost explicate traiectoriile complicate ale planetelor (tradus din greacă, „planetă” înseamnă rătăcire). Datorită acestui model, oamenii de știință greci antici au putut să descrie și să prezică destul de precis mișcările planetelor. Acest lucru a fost necesar, de exemplu, în navigație, precum și în multe alte sarcini „pământene”, unde a fost necesar să se țină cont de faptul că Pământul nu este o clătită plată sprijinită pe trei stâlpi. Contribuții semnificative la geometria sferică au fost aduse de Menelau din Alexandria (c. 100 d.Hr.). Munca lui Sferice a devenit punctul culminant al realizărilor grecești în acest domeniu. ÎN Sferike sunt considerate triunghiuri sferice - subiect care nu se găsește la Euclid. Menelaus a transferat teoria euclidiană a triunghiurilor plate în sferă și, printre altele, a obținut o condiție în care trei puncte de pe laturile unui triunghi sferic sau prelungirile lor se află pe aceeași linie dreaptă. Teorema corespunzătoare pentru plan era deja cunoscută pe scară largă la acea vreme, dar a intrat în istoria geometriei tocmai ca teorema lui Menelaus și, spre deosebire de Ptolemeu (c. 150), care a avut multe calcule în lucrările sale, tratatul lui Menelaus este geometric strict în spiritul tradiţiei euclidiene .

Principii de bază ale geometriei sferice.

Orice plan care intersectează o sferă produce un cerc în secțiune transversală. Dacă planul trece prin centrul sferei, atunci secțiunea transversală are ca rezultat un așa-numit cerc mare. Prin oricare două puncte de pe o sferă, cu excepția celor care sunt diametral opuse, poate fi trasat un singur cerc mare. (Pe glob, un exemplu de cerc mare este ecuatorul și toate meridianele.) Un număr infinit de cercuri mari trec prin puncte diametral opuse. Arc mai mic AmB(Fig. 1) a cercului mare este cea mai scurtă dintre toate liniile de pe sferă care leagă punctele date. Această linie se numește geodezic. Liniile geodezice joacă același rol pe o sferă ca și liniile drepte în planimetrie. Multe prevederi ale geometriei pe plan sunt valabile și pe sferă, dar, spre deosebire de plan, două drepte sferice se intersectează în două puncte diametral opuse. Astfel, conceptul de paralelism pur și simplu nu există în geometria sferică. O altă diferență este că linia sferică este închisă, adică. deplasându-ne de-a lungul ei în aceeași direcție, ne vom întoarce la punctul de plecare; punctul nu împarte linia în două părți. Și un alt fapt surprinzător din punct de vedere al planimetriei este că un triunghi pe o sferă poate avea toate cele trei unghiuri drepte.

Linii, segmente, distanțe și unghiuri pe o sferă.

Cercurile mari de pe o sferă sunt considerate drepte. Dacă două puncte aparțin unui cerc mare, atunci lungimea celui mai mic dintre arcele care leagă aceste puncte este definită ca distanta sfericaîntre aceste puncte, iar arcul în sine este ca un segment sferic. Punctele diametral opuse sunt conectate printr-un număr infinit de segmente sferice - semicercuri mari. Lungimea unui segment sferic se determină prin măsura în radian a unghiului central a și a razei sferei R(Fig. 2), conform formulei lungimii arcului este egal cu R A. Orice punct CU segment sferic ABîl împarte în două, iar suma lungimilor lor sferice, ca în planimetrie, este egală cu lungimea întregului segment, adică. R AOC+ R BUFNIŢĂ= P AOB. Pentru orice punct Dîn afara segmentului AB există o „inegalitate triunghiulară sferică”: suma distanțelor sferice de la D inainte de A iar din D inainte de ÎN Mai mult AB, adică R AOD+ R DOB> R AOB, – corespondență completă între geometriile sferice și plate. Inegalitatea triunghiului este una dintre cele fundamentale în geometria sferică, rezultă din aceasta că, ca și în planimetrie, un segment sferic este mai scurt decât orice linie întreruptă sferică și, prin urmare, orice curbă de pe sfera care îi leagă capetele.

În același mod, multe alte concepte de planimetrie pot fi transferate în sferă, în special cele care pot fi exprimate prin distanțe. De exemplu, cerc sferic– un set de puncte de pe sferă echidistante de un punct dat R. Este ușor de arătat că cercul se află într-un plan perpendicular pe diametrul sferei RR` (Fig. 3), i.e. acesta este un cerc plat obișnuit cu un centru pe diametru RR`. Dar are două centre sferice: RȘi R`. Aceste centre sunt de obicei numite stâlpi. Dacă ne întoarcem spre glob, putem vedea că vorbim de cercuri precum paralele, iar centrele sferice ale tuturor paralelelor sunt Polul Nord și Polul Sud. Dacă diametrul r al unui cerc sferic este egal cu p/2, atunci cercul sferic se transformă într-o dreaptă sferică. (Pe glob este ecuatorul). În acest caz, se numește un astfel de cerc polar fiecare dintre puncte RȘi P`.

Unul dintre cele mai importante concepte din geometrie este egalitatea figurilor. Cifrele sunt considerate egale dacă una poate fi afișată peste alta în așa fel (prin rotație și translație) încât distanțele să fie păstrate. Acest lucru este valabil și pentru geometria sferică.

Unghiurile pe o sferă sunt definite după cum urmează. Când două linii sferice se intersectează AȘi b Pe sferă se formează patru bigon sferici, la fel cum două linii care se intersectează pe un plan o împart în patru unghiuri plane (Fig. 4). Fiecare dintre diagoane corespunde unui unghi diedru format din planurile diametrale care conțin AȘi b. Iar unghiul dintre liniile drepte sferice este egal cu cel mai mic dintre unghiurile diagoanelor pe care le formează.

De asemenea, rețineți că unghiul P ABC, format pe o sferă de două arce de cerc mare, se măsoară prin unghiul P A`B.C.` între tangente la arcele corespunzătoare într-un punct ÎN(Fig. 5) sau un unghi diedru format din plane diametrale care conțin segmente sferice ABȘi Soare.

La fel ca în stereometrie, fiecare punct de pe sferă este asociat cu o rază trasă din centrul sferei până în acest punct, iar orice figură de pe sferă este asociată cu unirea tuturor razelor care o intersectează. Astfel, o dreaptă sferică corespunde planului diametral care o conține, un segment sferic corespunde unui unghi plan, un digon corespunde unui unghi diedru, iar un cerc sferic corespunde unei suprafețe conice a cărei axă trece prin polii cercului.

Un unghi poliedric cu un vârf în centrul sferei intersectează sfera de-a lungul unui poligon sferic (Fig. 6). Aceasta este o zonă pe o sferă delimitată de o linie întreruptă de segmente sferice. Legăturile liniei întrerupte sunt laturile unui poligon sferic. Lungimile lor sunt egale cu valorile unghiurilor plane corespunzătoare ale unghiului poliedric și valoarea unghiului la orice vârf A egal cu unghiul diedric la margine OA.

Triunghi sferic.

Dintre toate poligoanele sferice, triunghiul sferic prezintă cel mai mare interes. Trei cercuri mari, care se intersectează în perechi în două puncte, formează opt triunghiuri sferice pe sferă. Cunoscând elementele (laturile și unghiurile) unuia dintre ele, este posibil să se determine elementele tuturor celorlalte, deci avem în vedere relațiile dintre elementele unuia dintre ele, cel ale cărui laturi sunt mai mici de jumătate din marele cerc. Laturile unui triunghi sunt măsurate prin unghiurile plane ale unghiului triedric OABC, unghiurile triunghiului sunt unghiuri diedrice ale aceluiași unghi triedric (Fig. 7).

Multe proprietăți ale unui triunghi sferic (și sunt, de asemenea, proprietăți ale unghiurilor triedrice) repetă aproape complet proprietățile unui triunghi obișnuit. Printre acestea se numără inegalitatea triunghiului, care, în limbajul unghiurilor triedrice, afirmă că orice unghi plan al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două. Sau, de exemplu, trei semne de egalitate de triunghiuri. Toate consecințele planimetrice ale teoremelor menționate, împreună cu demonstrațiile lor, rămân valabile pe sferă. Astfel, multimea punctelor echidistante de capetele segmentului se va afla si pe sfera perpendiculara pe aceasta, o dreapta trecand prin mijlocul acesteia, din care rezulta ca bisectoarele sunt perpendiculare pe laturile unui triunghi sferic. ABC au un punct comun, sau mai bine zis, două puncte comune diametral opuse RȘi R`, care sunt polii singurului său cerc circumscris (Fig. 8). În stereometrie, aceasta înseamnă că un con poate fi descris în jurul oricărui unghi triedric. Este ușor să transferați în sferă teorema că bisectoarele unui triunghi se intersectează în centrul cercului său.

Teoremele privind intersecția înălțimilor și medianelor rămân și ele adevărate, dar dovezile lor uzuale în planimetrie folosesc direct sau indirect paralelismul, care nu există pe o sferă și, prin urmare, este mai ușor să le demonstrăm din nou, în limbajul stereometriei. Orez. Figura 9 ilustrează demonstrația teoremei medianei sferice: planuri care conțin medianele unui triunghi sferic ABC, intersectează un triunghi plan cu aceleași vârfuri de-a lungul medianelor sale obișnuite, prin urmare, toate conțin raza sferei care trece prin punctul de intersecție al medianelor plane. Capătul razei va fi punctul comun al celor trei mediane „sferice”.

Proprietățile triunghiurilor sferice diferă în multe feluri de proprietățile triunghiurilor pe un plan. Astfel, celor cunoscute trei cazuri de egalitate de triunghiuri rectilinii se adaugă un al patrulea: două triunghiuri ABCȘi А`В`С` sunt egale dacă trei unghiuri P sunt, respectiv, egale A= P A`, R ÎN= P ÎN`, R CU= P CU`. Astfel, nu există triunghiuri asemănătoare pe sferă în plus, în geometria sferică nu există prea mult concept de asemănare, deoarece Nu există transformări care modifică toate distanțele de același număr (nu este egal cu 1) de ori. Aceste caracteristici sunt asociate cu o încălcare a axiomei euclidiene a liniilor paralele și sunt, de asemenea, inerente geometriei lui Lobachevsky. Triunghiurile care au elemente egale și orientări diferite sunt numite simetrice, cum ar fi triunghiurile AC`CUȘi VSS` (Fig. 10).

Suma unghiurilor oricărui triunghi sferic este întotdeauna mai mare de 180°. Diferența P A+P ÎN+P CU - p = d (măsurată în radiani) este o mărime pozitivă și se numește exces sferic a unui triunghi sferic dat. Aria unui triunghi sferic: S = R 2 d unde R este raza sferei, iar d este excesul sferic. Această formulă a fost publicată pentru prima dată de olandezul A. Girard în 1629 și a fost numită după el.

Dacă luăm în considerare un diagonal cu unghiul a, atunci la 226 = 2p/ n (n –întreg) sfera poate fi tăiată exact în P copii ale unui astfel de diagramă, iar aria sferei este de 4 nR 2 = 4p la R= 1, deci aria diagonului este 4p/ n= 2a. Această formulă este valabilă și pentru a = 2p t/nși prin urmare adevărat pentru toți a. Dacă continuăm laturile unui triunghi sferic ABCși exprimă aria sferei prin zonele bigonilor rezultați cu unghiuri A,ÎN,CUși propria sa zonă, atunci putem ajunge la formula Girard de mai sus.

Coordonate pe sferă.

Fiecare punct de pe sferă este determinat complet prin specificarea a două numere; aceste numere ( coordonate) se determină după cum urmează (Fig. 11). Un cerc mare este fix QQ` (ecuator), unul dintre cele două puncte de intersecție ale diametrului sferei PP`, perpendicular pe planul ecuatorial, cu suprafața unei sfere, de exemplu R (pol), și unul dintre semicercurile mari PAP` ieșind din stâlp ( primul meridian). Semicercuri mari care ies din P, numite meridiane, cercuri mici paralele cu ecuatorul, cum ar fi LL`, – paralele. Ca una dintre coordonatele punctului M pe sferă se ia unghiul q = POM (înălțimea punctului), ca al doilea – unghiul j = AONîntre primul meridian şi meridianul care trece prin punct M (longitudine puncte, numărate în sens invers acelor de ceasornic).

În geografie (pe glob), se obișnuiește să se folosească meridianul Greenwich ca prim meridian, trecând prin sala principală a Observatorului Greenwich (Greenwich este un cartier londonez), împarte Pământul în emisfera estică și respectiv vestică. , iar longitudinea este estică sau vestică și este măsurată de la 0 la 180° în ambele direcții de la Greenwich. Și în loc de înălțimea unui punct din geografie, se obișnuiește să se folosească latitudinea la, adică colţ NOM = 90° – q, măsurată de la ecuator. Deoarece Deoarece ecuatorul împarte Pământul în emisfera nordică și sudică, latitudinea este fie nordică, fie sudică și variază de la 0 la 90°.

Marina Fedosova

Lucrare finală la MATEMATICĂ
Clasa 10
28 aprilie 2017
Opțiunea MA00602
(un nivel de bază de)
Completat de: Nume complet_______________________________________ clasa ______
Instrucțiuni pentru efectuarea lucrării
Ai 90 de minute pentru a finaliza lucrarea finală de matematică. Loc de munca
include 15 sarcini și constă din două părți.
Răspunsul în sarcinile primei părți (1-10) este un număr întreg,
fracție zecimală sau succesiune de numere. Scrieți răspunsul în câmp
răspuns în textul lucrării.
În sarcina 11 din partea a doua trebuie să scrieți răspunsul într-o formă specială
câmpul alocat pentru aceasta.
În sarcinile 12-14 din partea a doua trebuie să scrieți soluția și să răspundeți
în domeniul prevăzut în acest scop. Răspunsul la sarcina 15 este
graficul funcției.
Fiecare dintre sarcinile 5 și 11 este prezentată în două versiuni, dintre care
Trebuie doar să selectați și să executați unul.
Când lucrezi, nu poți folosi manuale, lucrează
caiete, cărți de referință, calculator.
Dacă este necesar, puteți folosi o schiță. Intrările în schiță nu vor fi revizuite sau notate.
Puteți finaliza sarcinile în orice ordine, principalul lucru este să o faceți corect
rezolva cât mai multe sarcini. Vă sfătuim să economisiți timp
omiteți o sarcină care nu poate fi finalizată imediat și continuați
la urmatorul. Dacă după finalizarea tuturor lucrărilor mai ai timp,
Veți putea reveni la sarcinile ratate.
Vă dorim succes!

Partea 1
În sarcinile 1-10, dați răspunsul ca număr întreg, fracție zecimală sau
succesiuni de numere. Scrieți răspunsul dvs. în câmpul de răspuns din text
muncă.
1

Pretul pentru un ceainic electric a fost majorat cu 10% si s-a ridicat la
1980 de ruble. Câte ruble a costat ibricul înainte de creșterea prețului?

Oleg și Tolya au părăsit școala în același timp și au plecat acasă în același timp
Scump. Băieții locuiesc în aceeași casă. Figura prezintă un grafic
mișcările fiecăruia: Oleg - cu o linie continuă, Tolya - cu o linie punctată. De
axa verticală arată distanța (în metri), axa orizontală arată distanța
timpul de călătorie pentru fiecare în minute.

Folosind graficul, alegeți afirmațiile corecte.
1)
2)
3)

Oleg a venit acasă înaintea lui Tolya.
La trei minute după ce a părăsit școala, Oleg a ajuns din urmă pe Tolya.
Pe tot parcursul călătoriei, distanța dintre băieți a fost mai mică
100 de metri.
4) În primele șase minute băieții au parcurs aceeași distanță.

Răspuns: ___________________________

Găsiți sensul expresiei

π
π
- 2 păcat 2.
8
8

Răspuns: ___________________________
StatGrad anul universitar 2016−2017. Publicare online sau tipărită
fără acordul scris al StatGrad este interzis

Matematică. Clasa 10. Opțiunea 00602 (nivel de bază)

Sunt două marcate pe cercul unității
puncte diametral opuse Pα şi
Pβ corespunzătoare rotațiilor prin unghiuri α și
β (vezi figura).
Se poate spune ca:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

În răspunsul dvs., indicați numerele afirmațiilor corecte fără spații, virgule și
alte personaje suplimentare.
Răspuns: ___________________________
Selectați și finalizați numai UNA dintre sarcinile 5.1 sau 5.2.
5.1

Figura prezintă un grafic
funcţia y  f (x) definită pe intervalul   3;11 .
Găsiți cea mai mică valoare
funcții pe segmentul  1; 5 .

Răspuns: ___________________________
5.2

Rezolvați ecuația log 2 4 x5  6.

Răspuns: ___________________________

StatGrad anul universitar 2016−2017. Publicare online sau tipărită
fără acordul scris al StatGrad este interzis

Matematică. Clasa 10. Opțiunea 00602 (nivel de bază)

Un plan care trece prin punctele A, B și C (vezi.
figura), împarte cubul în două poliedre. Unul dintre
are patru laturi. Câte fețe are al doilea?

Răspuns: ___________________________
7

Alegeți numerele afirmațiilor corecte.
1)
2)
3)
4)

În spațiu, printr-un punct care nu se află pe o linie dată, poți
desenați un plan care nu intersectează o dreaptă dată și, în plus, numai
unu.
O linie înclinată trasată pe un plan formează același unghi cu
toate liniile drepte situate în acest plan.
Un plan poate fi trasat prin oricare două linii care se intersectează.
Printr-un punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, se poate
Desenați două linii drepte care nu intersectează o linie dată.

În răspunsul dvs., indicați numerele afirmațiilor corecte fără spații, virgule și
alte personaje suplimentare.
Răspuns: ___________________________
8

În ferma de păsări sunt doar găini și rațe și sunt de 7 ori mai mulți pui decât
rațe Găsiți probabilitatea ca o fermă selectată aleatoriu
pasărea se dovedește a fi o rață.
Răspuns: ___________________________

Acoperișul baldachinului este situat la un unghi de 14
la orizontală. Distanța dintre două suporturi
este de 400 de centimetri. Folosind masa,
determinați câți centimetri are un suport
mai lung decât celălalt.
α
13
14
15
16
17
18
19

Sin α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Răspuns: ___________________________
StatGrad anul universitar 2016−2017. Publicare online sau tipărită
fără acordul scris al StatGrad este interzis

Matematică. Clasa 10. Opțiunea 00602 (nivel de bază)

Găsiți cel mai mic număr natural de șapte cifre care este divizibil cu 3,
dar nu este divizibil cu 6 și fiecare cifră, începând cu a doua, este mai mică
precedentul.
Răspuns: ___________________________
Partea 2
În sarcina 11, scrieți răspunsul în spațiul oferit. În sarcini
12-14 trebuie să scrieți soluția și să răspundeți în cele special desemnate
pentru acest domeniu. Răspunsul la sarcina 15 este graficul funcției.
Selectați și finalizați doar UNA dintre sarcini: 11.1 sau 11.2.

2
. Notați trei valori posibile diferite
2
astfel de unghiuri. Dați răspunsul în radiani.

Aflați cel mai mic număr natural care este mai mare decât log 7 80 .

Cosinusul unghiului este 

StatGrad anul universitar 2016−2017. Publicare online sau tipărită
fără acordul scris al StatGrad este interzis

Matematică. Clasa 10. Opțiunea 00602 (nivel de bază)

În triunghiul ABC sunt marcate laturile AB și BC
punctele M și respectiv K, astfel încât BM: AB  1: 2 și
BK:BC  2:3. De câte ori aria triunghiului ABC?
mai mare decât aria triunghiului MVK?

Alegeți o pereche de numere a și b astfel încât inegalitatea ax  b  0
satisfăcut exact trei dintre cele cinci puncte marcate în figură.
-1

StatGrad anul universitar 2016−2017. Publicare online sau tipărită
fără acordul scris al StatGrad este interzis

Matematică. Clasa 10. Opțiunea 00602 (nivel de bază)

Pretul fierului de calcat a fost majorat de doua ori cu acelasi procent. Pe
cu câte procente a crescut prețul fierului de călcat de fiecare dată dacă acesta
costul inițial este de 2000 de ruble, iar costul final este de 3380 de ruble?

StatGrad anul universitar 2016−2017. Publicare online sau tipărită
fără acordul scris al StatGrad este interzis

Matematică. Clasa 10. Opțiunea 00602 (nivel de bază)

Funcția y  f (x) are următoarele proprietăți:
1) f (x)  3 x  4 la 2  x  1;
2) f (x)  x  2 la 1  x  0;
3) f (x)  2  2 x la 0  x  2;
4) funcția y  f (x) este periodică cu perioada 4.
Desenați un grafic al acestei funcții pe segmentul  6;4.
y

StatGrad anul universitar 2016−2017. Publicare online sau tipărită
fără acordul scris al StatGrad este interzis

Ar putea fi util să citiți: