Volumul unui con mai mic. Volumul conului

Pentru a găsi volumul unui con, trebuie făcute construcții suplimentare.

Să construim o piramidă n-gonală regulată înscrisă într-un con și să descriem o piramidă n-gonală regulată în jurul acestui con.
O piramidă înscrisă este conținută într-un con. Rezultă de aici că volumul său nu este mai mare decât volumul conului.
Piramida descrisă conține un con, ceea ce înseamnă că volumul său nu este mai mic decât volumul conului.

Să înscriem un cerc la baza piramidei înscrise.
Dacă raza n-gonului regulat înscris este egală cu R, atunci raza cercului înscris în el va fi egală cu:


Volumul unei piramide înscrise se calculează prin formula:

unde S este baza piramidei.

Aria bazei unei piramide înscrise nu este mai mică decât aria cercului conținut în ea
Prin urmare, afirmația că volumul unei piramide înscris într-un con nu este mai mică dreapta.
Și, prin urmare, putem pretinde că volumul conului care conține această piramidă va fi mai mare sau egal cu
V≥

Acum să descriem un cerc în jurul bazei piramidei circumscris în jurul conului.
Raza acestui cerc va fi egală cu:

Aria unui cerc dat se calculează cu formula:
Baza piramidei descrise este cuprinsă într-un cerc circumscris în jurul acesteia. Prin urmare, aria bazei piramidei nu este mai mult de
Prin urmare, afirmația că volumul piramidei descrise nu mai este adevărată.
Și, prin urmare, putem pretinde că volumul conului care conține această piramidă va fi mai mic sau egal cu

Cele două inegalități obținute sunt egale pentru orice n. Daca atunci
Apoi din prima inegalitate rezultă că V≥
Din a doua inegalitate

Dacă un triunghi dreptunghic este rotit în jurul unuia dintre catetele sale, atunci se obține un corp geometric, care este considerat un con de revoluție sau un con circular drept. Conul este limitat de suprafața de bază și laterală. La baza conului se află un cerc a cărui rază este egală cu dimensiunea celui de-al doilea picior. O linie dreaptă trasată perpendicular de la vârful conului la bază este înălțimea acesteia. Volumul unui con este calculat folosind mai multe formule. Metoda 1 implică determinarea volumului unui con atunci când înălțimea și aria bazei sale sunt cunoscute, folosind formula:

să notăm aria bazei cu S;
înălțimea conului prin H.

Volumul unui con se calculează ca produsul dintre înălțimea conului și aria bazei acestuia și se împarte la 3.

Prin utilizarea calculator online Puteți calcula rapid și corect volumul unui con folosind oricare dintre metodele de mai sus.

Calculul volumului unui con folosind aria bazei

A doua metodă sugerează calcularea volumului unui con pe baza razei sale folosind formula:


r este raza conului;
h - înălțime.

Volumul unui con se calculează ca o treime din produsul pătratului razei bazei înmulțit cu înălțimea și pi egal cu 3,1415...

Am ajuns la conuri și cilindri. Pe lângă cele care au fost deja publicate, vor fi aproximativ nouă articole, vom lua în considerare toate tipurile de sarcini. Dacă în cursul anului banca deschisa Vor fi adăugate noi sarcini, desigur, vor fi postate și pe blog. Acest articol prezintă câteva exemple legate de calculele de volum. Apropo, nu este suficient să cunoașteți formula pentru volumul unui con, aici este:

Putem scrie:

De asemenea, trebuie să înțelegeți cum se raportează volumele unor astfel de corpuri. Este să înțelegi, și nu doar să înveți formula. Iat-o:



Adică dacă creștem (scădem) dimensiunile liniare ale corpului de k ori, atunci raportul dintre volumul corpului rezultat și volumul originalului va fi egal cu k 3 .

NOTĂ! Nu contează cum definiți volumele:

Faptul este că în procesul de rezolvare a problemelor atunci când se consideră corpuri similare, unele pot fi confundate cu coeficientul k. Poate apărea întrebarea - Cu ce ​​este egală?

(în funcție de valoarea specificată în condiție)

Totul depinde de „de ce parte” te uiți. Este important să înțelegeți acest lucru! Să ne uităm la un exemplu: având în vedere un cub, marginea celui de-al doilea cub este de trei ori mai mare:

ÎN în acest caz,, coeficientul de similaritate este de trei (muchia este mărită de trei ori), ceea ce înseamnă că raportul va arăta astfel:

Adică, volumul cubului rezultat (mai mare) va fi de 27 de ori mai mare.

Puteți privi din cealaltă parte.

Având în vedere un cub, marginea celui de-al doilea cub este de trei ori mai mică:

Coeficientul de similaritate este egal cu o treime (reducerea marginii de trei ori), ceea ce înseamnă că raportul va arăta astfel:

Adică, volumul cubului rezultat va fi de 27 de ori mai mic.

Concluzie! Indicii nu sunt importanți atunci când denotă volume, este important să înțelegem cum sunt privite corpurile unul față de celălalt.

Este clar că:

— dacă corpul inițial crește, atunci coeficientul va fi mai mare decât unu.

— dacă corpul inițial scade, atunci coeficientul va fi mai mic de unu.

Despre raporturile de volum se pot spune următoarele:

— dacă în problemă împărțim volumul unui corp mai mare la unul mai mic, vom obține cubul coeficientului de asemănare, iar coeficientul în sine va fi mai mare decât unu.

— dacă împărțim volumul unui corp mai mic la unul mai mare, vom obține cubul coeficientului de similaritate, iar coeficientul în sine va fi mai mic de unu.

Cel mai important lucru de reținut este că atunci când vine vorba de VOLUMUL corpurilor asemănătoare, coeficientul de similitudine are un grad AL TREILEA, și nu un grad al doilea, așa cum este cazul zonelor.

Încă un punct referitor.

Condiția conține un astfel de concept precum generatria unui con. Acesta este un segment care leagă partea superioară a conului cu punctele cercului de bază (indicate prin litera L în figură).

Este demn de remarcat aici că vom analiza problemele numai cu un con drept (denumit în continuare pur și simplu un con). Generatorii unui con drept sunt egali.

Să luăm în considerare sarcinile:

72353. Volumul conului este 10. Prin mijlocul înălțimii este trasată o secțiune paralelă cu baza conului, care este baza unui con mai mic cu același vârf. Aflați volumul conului mai mic.

Să remarcăm imediat că conul inițial și conul tăiat sunt similare și dacă luăm în considerare conul tăiat în raport cu cel original, putem spune așa: conul mai mic este similar cu cel mai mare cu un coeficient egal cu o jumătate sau 0,5. . Putem scrie:

S-ar putea scrie:

S-ar putea gândi așa!

Să luăm în considerare conul original în raport cu cel tăiat. Putem spune că conul mai mare este similar cu cel tăiat cu un coeficient egal cu doi, să scriem:

Acum priviți soluția fără a utiliza proprietăți de similaritate.

Volumul unui con este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea acestuia:

Luați în considerare proiecția laterală (vedere laterală) cu secțiunea transversală indicată:

Fie raza conului mai mare egală cu R, înălțimea egală cu H. Secțiunea (baza conului mai mic) trece prin mijlocul înălțimii, ceea ce înseamnă că înălțimea sa va fi egală cu H/2. Și raza bazei este egală cu R/2, aceasta rezultă din asemănarea triunghiurilor.

Să notăm volumul conului original:

Volumul conului tăiat va fi egal cu:

Asa de soluții detaliate sunt prezentate astfel încât să puteți vedea cum poate fi construit raționamentul. Acționați în orice fel - principalul lucru este că înțelegeți esența deciziei. Chiar dacă calea pe care ai ales-o nu este rațională, rezultatul (rezultatul corect) este important.

Răspuns: 1,25

318145. Într-un vas în formă de con, nivelul lichidului atinge jumătate din înălțime. Volumul lichidului este de 70 ml. Câți mililitri de lichid trebuie adăugați pentru a umple complet recipientul?

Această sarcină este similară cu cea anterioară. Chiar dacă aici vorbim despre un lichid, principiul soluției este același.

Avem două conuri - acesta este vasul în sine și conul „mic” (umplut cu lichid), sunt similare. Se știe că volumele unor astfel de corpuri sunt legate după cum urmează:

Conul (vasul) inițial este similar cu un con umplut cu lichid cu un coeficient egal cu 2, deoarece se spune că nivelul lichidului atinge jumătate din înălțime. Puteți scrie mai detaliat:

Calculam:

Astfel, trebuie să adăugați:

Raspuns: 490

Alte probleme cu lichidele.

74257. Aflați volumul V al unui con, a cărui generatrie este egală cu 44 și este înclinată față de planul bazei la un unghi de 30 0. Vă rugăm să indicați V/Pi în răspunsul dvs.

Volumul conului:

Găsim înălțimea conului folosind proprietatea unui triunghi dreptunghic.

Piciorul situat opus unghiului de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză. Ipotenuza, în acest caz, este generatorul conului. Prin urmare, înălțimea conului este de 22.

Găsim pătratul razei bazei folosind teorema lui Pitagora:

*Avem nevoie de pătratul razei, nu de raza în sine.

Apoi volumul va fi egal cu:

O sferă al cărei volum este 8π este înscrisă într-un cub. Aflați volumul cubului.

Soluţie

Fie a latura cubului. Atunci volumul cubului este V = a 3.

Deoarece bila este înscrisă într-un cub, raza bilei este egală cu jumătate din marginea cubului, adică R = a/2 (vezi figura).

Volumul bilei este egal cu V w = (4/3)πR 3 și egal cu 8π, prin urmare

(4/3)πR 3 = 8π,

Și volumul cubului este egal cu V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Sarcina B9 (Opțiuni tipice 2015)

Volumul conului este de 32. Prin mijlocul înălțimii, paralel cu baza conului, se desenează o secțiune, care este baza unui con mai mic cu același vârf. Aflați volumul conului mai mic.

Soluţie

Volumul conului mai mare este egal cu V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.

Volumul conului mai mic este egal cu V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3) )π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

Aceasta înseamnă că volumul conului mai mic este de 8 ori mai mic și este egal cu 4.

Sarcina B9 (Opțiuni tipice 2015)

Volumul conului este de 40. Prin mijlocul înălțimii, paralel cu baza conului, este trasată o secțiune, care este baza unui con mai mic cu același vârf. Aflați volumul conului mai mic.

Soluţie

Deoarece secțiunea este trasă prin mijlocul înălțimii conului, atunci AP = 1/2 AO și PK = 1/2 OB. Adică, înălțimea și raza conului mai mic sunt de 2 ori mai mici decât înălțimea și, respectiv, raza conului mai mare.

Volumul conului mai mare este egal cu V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40.

Volumul conului mai mic este egal cu V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3) )π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

Dintre varietatea de corpuri geometrice, unul dintre cele mai interesante este conul. Se formează prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioarele sale.

Cum să găsiți volumul unui con - concepte de bază

Înainte de a începe să calculați volumul unui con, merită să vă familiarizați cu conceptele de bază.

  • Con circular - baza unui astfel de con este un cerc. Dacă baza este o elipsă, o parabolă sau o hiperbolă, atunci figura se numește con eliptic, parabolic sau hiperbolic. Merită să ne amintim că ultimele două tipuri de conuri au volum infinit.
  • Un trunchi de con este o parte a unui con situată între bază și un plan paralel cu această bază, situat între vârf și bază.
  • Înălțimea este un segment perpendicular pe bază extins de sus.
  • Generatoarea unui con este un segment care leagă limita bazei și vârful.

Volumul conului

Pentru a calcula volumul unui con, utilizați formula V=1/3*S*H, unde S este aria bazei, H este înălțimea. Deoarece baza conului este un cerc, aria sa se găsește prin formula S = nR^2, unde n = 3,14, R este raza cercului.

Există o situație în care unii dintre parametrii sunt necunoscuți: înălțimea, raza sau generatria. În acest caz, ar trebui să recurgeți la teorema lui Pitagora. Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel format din doi triunghi dreptunghic, unde l este ipotenuza, iar H și R sunt catetele. Atunci l=(H^2+R^2)^1/2.


Volumul unui trunchi de con

Un trunchi de con este un con cu vârful tăiat.


Pentru a găsi volumul unui astfel de con, veți avea nevoie de formula:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),


unde n=3,14, r – raza cercului secțiunii transversale, R – raza bazei mari, H – înălțimea.

Secțiunea axială a trunchiului de con va fi trapez isoscel. Prin urmare, dacă trebuie să găsiți lungimea generatricei unui con sau raza unuia dintre cercuri, merită să utilizați formule pentru găsirea laturilor și bazelor unui trapez.

Aflați volumul unui con dacă înălțimea lui este de 8 cm și raza bazei este de 3 cm.

Dat: H=8 cm, R=3 cm.

Mai întâi, să găsim aria bazei folosind formula S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26 cm^2

Acum, folosind formula V=1/3*S*H, găsim volumul conului.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3


Figuri în formă de con se găsesc peste tot: conuri de parcare, turnuri de clădire, abajururi. Prin urmare, a ști cum să găsești volumul unui con poate fi uneori util atât în ​​viața profesională, cât și în viața de zi cu zi.



 

Ar putea fi util să citiți: