Care este înălțimea unui trapez isoscel. Diagonalele figurii și unghiurile pe care le intersectează. Aflați înălțimea unui trapez isoscel

Un trapez cu mai multe laturi... Poate fi arbitrar, isoscel sau dreptunghiular. Și în fiecare caz, trebuie să știți cum să găsiți aria unui trapez. Desigur, cel mai simplu mod de a vă aminti formulele de bază. Dar uneori este mai ușor să îl utilizați pe cel derivat ținând cont de toate caracteristicile unei anumite figuri geometrice.

Câteva cuvinte despre trapez și elementele sale

Orice patrulater cu două laturi paralele poate fi numit trapez. În general, ele nu sunt egale și se numesc baze. Cel mai mare dintre ele este mai jos, iar celălalt este superior.

Celelalte două laturi sunt laterale. Într-un trapez arbitrar, ele au lungimi diferite. Dacă sunt egale, atunci cifra devine isoscelă.

Dacă brusc unghiul dintre orice latură și bază este egal cu 90 de grade, atunci trapezul este dreptunghiular.

Toate aceste caracteristici pot ajuta la rezolvarea problemei cum să găsiți zona unui trapez.

Dintre elementele figurii, care pot fi indispensabile în rezolvarea problemelor, putem distinge următoarele:

  • înălțime, adică un segment perpendicular pe ambele baze;
  • linia de mijloc, care are la capete mijlocul laturilor.

Care este formula de calcul a ariei dacă se cunosc bazele și înălțimea?

Această expresie este dată ca principală deoarece este cel mai adesea posibil să se cunoască aceste cantități chiar și atunci când nu sunt date explicit. Deci, pentru a înțelege cum să găsiți aria unui trapez, trebuie să adăugați ambele baze și să le împărțiți la două. Valoarea rezultată este apoi înmulțită în continuare cu valoarea înălțimii.

Dacă notăm bazele cu literele a 1 și a 2, înălțimea este n, atunci formula pentru zonă va arăta astfel:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formula de calcul a zonei, având în vedere înălțimea și linia mediană a acesteia

Dacă te uiți cu atenție la formula anterioară, este ușor de observat că conține clar valoarea linia de mijloc. Și anume, suma bazelor împărțită la doi. Fie ca linia din mijloc să fie notată cu litera l, apoi formula pentru zonă va deveni:

S \u003d l * n.

Abilitatea de a găsi suprafața pe diagonale

Această metodă va ajuta dacă unghiul format de ei este cunoscut. Să presupunem că diagonalele sunt notate cu literele d 1 și d 2 , iar unghiurile dintre ele - &alpha- și &beta-. Apoi formula pentru a găsi aria unui trapez va fi scrisă după cum urmează:

S = ((d 1 * d 2) / 2) * sin &alfa-.

În această expresie, puteți înlocui cu ușurință &alpha- cu &beta-. Rezultatul nu se va schimba.

Cum să aflați zona dacă toate laturile figurii sunt cunoscute?

Există și situații în care în această figură se cunosc exact laturile. Această formulă este greoaie și greu de reținut. Dar probabil. Lăsa laturi au denumirea: în 1 și în 2, baza a 1 este mai mare decât a 2. Apoi formula zonei ia următoarea formă:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * &radic- (în 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + în 1 2 - în 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) )] 2 ).

Metode de calcul a ariei unui trapez isoscel

Prima este legată de faptul că în el poate fi înscris un cerc. Și, cunoscând raza acesteia (se notează cu litera r), precum și unghiul de la bază - &gamma-, puteți folosi următoarea formulă:

S \u003d (4 * r 2) / sin &gamma-.

Ultima formulă generală, care se bazează pe cunoașterea tuturor laturilor figurii, este mult simplificată datorită faptului că laturile au aceeași valoare:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * &radic- (în 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Metode de calcul a ariei unui trapez dreptunghiular

Este clar că orice va face dintre cele enumerate pentru o cifră arbitrară. Dar uneori este util să știți despre o caracteristică a unui astfel de trapez. Constă în faptul că diferența pătratelor lungimilor diagonalelor este egală cu diferența formată din pătratele bazelor.

Adesea, formulele pentru un trapez sunt uitate, în timp ce expresiile pentru ariile unui dreptunghi și ale unui triunghi sunt amintite. Apoi puteți aplica o metodă simplă. Împărțiți trapezul în două figuri dacă este dreptunghiular sau trei. Unul va fi cu siguranță un dreptunghi, iar al doilea, sau celelalte două, vor fi triunghiuri. După calcularea suprafețelor acestor cifre, rămâne doar să le adunăm.

Aceasta este o modalitate destul de simplă de a găsi aria unui trapez dreptunghiular.

Ce se întâmplă dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor trapezului?

În acest caz, va trebui să utilizați o expresie care vă permite să determinați distanța dintre puncte. Se poate aplica de trei ori: pentru a cunoaste ambele baze si o singura inaltime. Și apoi aplicați doar prima formulă, care este descrisă puțin mai sus.

Un exemplu poate fi dat pentru a ilustra această metodă. Sunt date vârfuri cu coordonatele A(5-7), B(8-7), C(10-1), D(1-1). Trebuie să cunoaștem zona figurii.

Înainte de a găsi aria unui trapez, trebuie să calculați lungimile bazelor din coordonate. Veți avea nevoie de această formulă:

lungimea segmentului = &radic-((diferența primelor coordonate ale punctelor) 2 + (diferența coordonatelor secunde a punctelor) 2 ).

Baza superioară este desemnată AB, ceea ce înseamnă că lungimea sa va fi egală cu &radic-(((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = &radic-9 = 3. Cea inferioară este SD = &radic- (( 10-1) 2 + ( 1-1) 2 ) = &radic-81 = 9.

Acum trebuie să desenați o înălțime de sus în jos. Să fie începutul său în punctul A. Sfârșitul segmentului va fi pe baza inferioară în punctul cu coordonatele (5-1), să fie punctul H. Lungimea segmentului AH va fi egală cu &radic-(( 5-5) 2 + (7-1) 2 ) = &radic-36 = 6.

Rămâne doar să înlocuiți valorile rezultate în formula pentru aria unui trapez:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problema este rezolvată fără unități de măsură, deoarece scara grilei de coordonate nu este specificată. Poate fi milimetru sau metru.

Exemple de sarcini

Nr. 1. Stare. Unghiul dintre diagonalele unui trapez arbitrar este cunoscut, este egal cu 30 de grade. Diagonala mai mică are o valoare de 3 dm, iar a doua este de 2 ori mai mare decât ea. Trebuie să calculați aria trapezului.

Soluţie. Mai întâi trebuie să aflați lungimea celei de-a doua diagonale, deoarece fără aceasta nu va fi posibil să calculați răspunsul. Calculul este ușor, 3 * 2 = 6 (dm).

Acum trebuie să utilizați formula potrivită pentru zonă:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30 º- \u003d 18/2 * & frac12- \u003d 4,5 (dm 2). Problema rezolvata.

Răspuns: aria trapezului este de 4,5 dm 2 .

Nr. 2. Stare.În trapezul ABCD bazele sunt segmentele AD și BC. Punctul E este punctul de mijloc al laturii SD. Din aceasta se trasează o perpendiculară pe dreapta AB, capătul acestui segment este indicat cu litera H. Se știe că lungimile lui AB și EH sunt de 5, respectiv 4 cm. Este necesar să se calculeze aria lui trapezul.

Soluţie. Mai întâi trebuie să faci un desen. Deoarece valoarea perpendicularei este mai mică decât latura pe care este trasată, trapezul va fi ușor extins în sus. Deci EH va fi în interiorul figurii.

Pentru a vedea clar progresul rezolvării problemei, va trebui să efectuați o construcție suplimentară. Și anume, trageți o dreaptă care va fi paralelă cu latura AB. Punctele de intersecție ale acestei linii cu AD - P și cu continuarea BC - X. Figura rezultată VKhRA este un paralelogram. În plus, aria sa este egală cu cea necesară. Acest lucru se datorează faptului că triunghiurile care au fost obținute în timpul construcției suplimentare sunt egale. Aceasta rezultă din egalitatea laturii și a celor două unghiuri adiacente acesteia, unul vertical, celălalt întins transversal.

Puteți găsi aria unui paralelogram folosind o formulă care conține produsul laturii și înălțimea coborâtă pe acesta.

Astfel, aria unui trapez este de 5 * 4 = 20 cm 2.

Răspuns: S \u003d 20 cm 2.

Nr. 3. Stare. Elemente trapez isoscel au următoarele semnificații: baza inferioară - 14 cm, superioară - 4 cm, unghi ascuțit - 45 º-. Trebuie să-i calculăm aria.

Soluţie. Fie ca baza mai mică să fie notată BC. Înălțimea trasă din punctul B se va numi BH. Deoarece unghiul este de 45 º-, atunci triunghiul ABH se va dovedi dreptunghiular și isoscel. Deci AH=BH. Și AN este foarte ușor de găsit. Este egal cu jumătate din diferența bazelor. Adică (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Se cunosc bazele, se numără înălțimile. Puteți folosi prima formulă, care a fost considerată aici pentru un trapez arbitrar.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Răspuns: Suprafața dorită este de 45 cm 2.

Nr. 4. Stare. Există un trapez ABCD arbitrar. Punctele O și E sunt luate pe laturile sale, astfel încât OE este paralel cu baza lui AD. Zona trapezoidală a AOED este de cinci ori mai mare decât cea a CFE. Calculați valoarea OE dacă lungimile bazei sunt cunoscute.

Soluţie. Va fi necesar să se traseze două drepte paralele cu AB: prima prin punctul C, intersecția sa cu OE - punctul T; a doua prin E și punctul de intersecție cu AD va fi M.

Fie necunoscutul OE=x. Înălțimea trapezului mai mic OVSE - n 1 , AOED - n 2 mai mare .

Deoarece ariile acestor două trapeze sunt legate de la 1 la 5, putem scrie următoarea egalitate:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Înălțimile și laturile triunghiurilor sunt proporționale în construcție. Prin urmare, putem scrie o altă egalitate:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

In doi intrări recente valori egale sunt în partea stângă, ceea ce înseamnă că putem scrie că (x + a 1) / (5 (x + a 2)) este egal cu (x - a 2) / (a ​​​​1) - X).

Aici sunt necesare o serie de transformări. Înmulțirea încrucișată mai întâi. Vor apărea paranteze care indică diferența de pătrate, după aplicarea acestei formule obțineți o scurtă ecuație.

Trebuie să deschidă parantezele și să mute toți termenii de la „x” necunoscut în partea stanga si apoi extrage

Răspuns: x \u003d &radic- ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

ALTE

Pentru a te simți încrezător și pentru a rezolva cu succes problemele din lecțiile de geometrie, nu este suficient să înveți formule. Al lor…

Matematica este o materie școlară care este studiată de toată lumea, indiferent de profilul clasei. Cu toate acestea, ea nu este iubită de toată lumea. Uneori...

Matematica este o știință uimitoare. Cu toate acestea, un astfel de gând vine doar atunci când îl înțelegi. Pentru a realiza acest lucru,…

Programa școlară prevede predarea geometriei copiilor de la o vârstă fragedă. Una dintre cele mai de bază cunoștințe despre asta...

Perimetrul oricărui triunghi este lungimea dreptei care delimitează figura. Pentru a o calcula, trebuie să știți suma tuturor...

Cubul este o figură uimitoare. Este la fel din toate părțile. Oricare dintre fețele sale poate deveni instantaneu bază sau laterală. Și din…

După ce au studiat subiectul triunghiurilor dreptunghiulare, elevii deseori aruncă din cap toate informațiile despre ele. În…

Adesea, studenții întreabă indignați: „Cum îmi va fi de folos în viață?”. Pe orice subiect al fiecărui subiect. Nu…

Cel mai simplu poligon care este studiat la școală este un triunghi. Este mai de înțeles pentru studenți și întâlnește...

La o întrebare simplă „Cum să găsești înălțimea unui trapez?” există mai multe răspunsuri și toate pentru că pot exista...

Găsiți zonă triunghi echilateral este posibil prin orice formulă pentru o cifră arbitrară de acest tip sau…

Adesea, pe Internet puteți găsi ridicol despre modul în care cunoștințele de matematică - integrale, diferențiale, ...

Geometria este una dintre științele, cu ajutorul căreia o persoană se întâlnește în practică aproape zilnic. Printre diversitate forme geometrice Trapezul merită și el o atenție specială. Este o figură convexă cu patru laturi, dintre care două sunt paralele una cu cealaltă. Acestea din urmă sunt numite baze, iar celelalte două sunt numite laturi. Segmentul perpendicular pe baze și care determină dimensiunea spațiului dintre ele va fi înălțimea trapezului. Cum ii poti calcula lungimea?

Aflați înălțimea unui trapez arbitrar

Pe baza datelor inițiale, determinarea înălțimii unei figuri este posibilă în mai multe moduri.

Zona cunoscuta

Dacă lungimea laturilor paralele este cunoscută și este indicată și aria figurii, atunci următoarea relație poate fi utilizată pentru a determina perpendiculara necesară:

S=h*(a+b)/2,
h este valoarea dorită (înălțimea),
S este aria figurii,
a și b sunt laturi paralele între ele.
Din formula de mai sus rezultă că h=2S/(a+b).

Valoarea liniei mediane este cunoscută

Dacă printre datele inițiale, pe lângă aria trapezului (S), este cunoscută și lungimea liniei mediane (l), atunci o altă formulă este utilă pentru calcule. În primul rând, merită să clarificăm care este linia de mijloc pentru acest tip de patrulater. Termenul definește partea dreptei care leagă punctele medii ale laturilor figurii.

Pe baza proprietăților trapezului l=(a+b)/2,
l - linia mediană,
a, b sunt laturile-baze ale patrulaterului.
Prin urmare h=2S/(a+b)=S/l.


Sunt cunoscute 4 laturi ale figurii

ÎN acest caz teorema lui Pitagora va ajuta. După ce ați coborât perpendicularele pe baza laterală mare, utilizați-o pentru cele două triunghiuri dreptunghiulare rezultate. Expresia finală va arăta astfel:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,


c și d sunt alte 2 laturi.


Colțuri la bază

Dacă aveți date despre unghiul de bază, utilizați funcții trigonometrice.

h = c*sinα = d*sinβ,

α și β sunt colțurile de la baza patrulaterului,
c și d sunt laturile sale.


Diagonalele unei figuri și unghiurile pe care le intersectează

Lungimea diagonalei este lungimea segmentului care leagă vârfurile opuse ale figurii. Să notăm aceste mărimi prin simbolurile d1 și d2 și unghiurile dintre ele γ și φ. Apoi:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a și b sunt laturile de bază ale figurii,
d1 și d2 sunt diagonalele trapezului,
γ și φ sunt unghiurile dintre diagonale.


Înălțimea figurii și raza cercului care este înscris în ea

După cum rezultă din definiția acestui tip de cerc, acesta atinge fiecare bază în 1 punct, care fac parte dintr-o linie dreaptă. Prin urmare, distanța dintre ele - diametrul - înălțimea dorită a figurii. Și deoarece diametrul este de două ori mai mare decât raza, atunci:

h = 2 * r,
r este raza cercului care este înscris în trapezul dat.


Aflați înălțimea unui trapez isoscel

  • După cum reiese din formulare, o caracteristică distinctivă a unui trapez isoscel este egalitatea laturilor sale. Prin urmare, pentru a afla înălțimea figurii, utilizați formula pentru a determina această valoare în cazul în care laturile trapezului sunt cunoscute.

Deci, dacă c \u003d d, atunci h \u003d √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 \u003d √c 2 - (a-b) 2 / 4,
a, b - bazele laterale ale patrulaterului,
c = d sunt laturile sale.

  • În prezența mărimii unghiurilor formate de cele două laturi (bază și latură), înălțimea trapezului este determinată de următorul raport:

h = c*sinα,
h = c * tgα *cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α este unghiul de la baza figurii,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d sunt laturile sale.

  • Dacă sunt date valorile diagonalelor figurii, atunci expresia pentru găsirea înălțimii figurii se va schimba, deoarece d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.


În viața noastră, de foarte multe ori trebuie să ne confruntăm cu aplicarea geometriei în practică, de exemplu, în construcții. Printre cele mai comune forme geometrice se numără un trapez. Și pentru ca proiectul să fie de succes și frumos, este necesar un calcul corect și precis al elementelor pentru o astfel de cifră.

Ce este un patrulater convex care are o pereche de laturi paralele, numite bazele unui trapez. Dar există alte două părți care leagă aceste baze. Se numesc laterale. Una dintre întrebările referitoare la această cifră este: „Cum să găsești înălțimea trapezului?” Este imediat necesar să acordați atenție faptului că înălțimea este un segment care determină distanța de la o bază la alta. Există mai multe modalități de a determina această distanță, în funcție de valorile cunoscute.

1. Sunt cunoscute valorile ambelor baze, le notăm b și k, precum și aria acestui trapez. Folosind valori cunoscute, este foarte ușor să găsiți înălțimea trapezului în acest caz. După cum se știe din geometrie, se calculează ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea. Din această formulă, puteți obține cu ușurință valoarea dorită. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți zona la jumătate din suma bazelor. Sub formă de formulă, ar arăta astfel:

S=((b+k)/2)*h, deci h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Se cunoaște lungimea liniei mediane, să o notăm d, și aria. Pentru cei care nu știu, numesc linia de mijloc distanța dintre punctele de mijloc ale laturilor. Cum să găsiți înălțimea trapezului în acest caz? După proprietatea trapezului, linia de mijloc corespunde la jumătate din suma bazelor, adică d=(b+k)/2. Din nou, folosim formula zonei. Înlocuind jumătate din suma bazelor cu valoarea liniei mediane, obținem următoarele:

După cum puteți vedea, este foarte ușor să obțineți înălțimea din formula rezultată. Împărțind zona la valoarea liniei mediane, găsim valoarea dorită. Să scriem această formulă:

3. Se cunosc lungimea unei laturi (b) si unghiul format intre aceasta latura si cea mai mare baza. Răspunsul la întrebarea cum să găsiți înălțimea unui trapez este și în acest caz. Să considerăm un trapez ABCD, unde AB și CD sunt laturi și AB=b. Cea mai mare bază este AD. Unghiul format de AB și AD va fi notat cu α. Din punctul B coborâm înălțimea h până la baza AD. Acum luați în considerare triunghiul rezultat ABF, care este un triunghi dreptunghic. Latura AB este ipotenuza iar BF este catetul. Din proprietate triunghi dreptunghic raportul dintre valoarea catetei și valoarea ipotenuzei corespunde sinusului unghiului opus catetei (BF). Prin urmare, pe baza celor de mai sus, pentru a calcula înălțimea trapezului, înmulțim valoarea laturii cunoscute și sinusul unghiului α. Sub formă de formulă, arată astfel:

4. În mod similar, se consideră cazul dacă se cunosc mărimea laturii și unghiul, îl notăm cu β, care se formează între această latură și baza mai mică. La rezolvarea unei astfel de probleme, unghiul dintre latura laterală cunoscută și înălțimea desenată va fi de 90 ° - β. Din proprietățile triunghiurilor - raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza corespunde cosinusului unghiului situat între ele. Din această formulă este ușor de obținut valoarea înălțimii:

h = b *cos(β-90°)

5. Cum se află înălțimea unui trapez dacă se cunoaște doar raza cercului înscris? Din definiția unui cerc, atinge un punct pe fiecare bază. În plus, aceste puncte sunt pe aceeași linie cu centrul cercului. De aici rezultă că distanța dintre ele este diametrul și, în același timp, înălțimea trapezului. Arata asa:

6. Adesea există probleme în care este necesar să se găsească înălțimea unui trapez isoscel. Amintiți-vă că un trapez cu laturile egale se numește isoscel. Cum se află înălțimea unui trapez isoscel? Pentru diagonalele perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor.

Dar dacă diagonalele nu sunt perpendiculare? Să considerăm un trapez isoscel ABCD. După proprietățile sale, bazele sunt paralele. De aici rezultă că unghiurile de la baze vor fi și ele egale. Să desenăm două înălțimi BF și CM. Pe baza celor de mai sus, se poate argumenta că triunghiurile ABF și DCM sunt egale, adică AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Acum, pe baza condiției problemei, vom determinați valorile cunoscute și abia atunci găsim înălțimea, ținând cont de toate proprietățile unui trapez isoscel.



 

Ar putea fi util să citiți: