Katere sile delujejo na nihalo vzdolž vrvice? Matematično nihalo: perioda, pospešek in formule

Matematično nihalo imenujemo materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki je pritrjena na vzmetenje in se nahaja v polju gravitacije (ali druge sile).

Oglejmo si nihanje matematičnega nihala v inercialnem referenčnem sistemu, glede na katerega točka njegovega vzmetenja miruje ali se giblje enakomerno premočrtno. Silo zračnega upora (idealno matematično nihalo) bomo zanemarili. Na začetku nihalo miruje v ravnotežnem položaju C. V tem primeru sta sila težnosti \(\vec F\), ki deluje nanj, in prožnostna sila \(\vec F_(ynp)\) niti medsebojni. nadomestilo.

Odmaknimo nihalo iz ravnotežnega položaja (z odklonom npr. v položaj A) in ga spustimo brez začetne hitrosti (slika 13.11). V tem primeru se sili \(\vec F\) in \(\vec F_(ynp)\) ne uravnovesita. Tangencialna komponenta gravitacije \(\vec F_\tau\), ki deluje na nihalo, mu daje tangencialni pospešek \(\vec a_\tau\) (komponenta celotnega pospeška, usmerjenega vzdolž tangente na trajektorijo matematičnega nihala ), in nihalo se začne premikati v ravnotežni položaj s hitrostjo, ki narašča v absolutni vrednosti. Tangencialna komponenta gravitacije \(\vec F_\tau\) je torej obnovitvena sila. Normalna komponenta \(\vec F_n\) gravitacijske sile je usmerjena vzdolž niti proti elastični sili \(\vec F_(ynp)\). Rezultanta sil \(\vec F_n\) in \(\vec F_(ynp)\) posreduje nihalu normalni pospešek \(~a_n\), ki spremeni smer vektorja hitrosti in nihalo se premika po loku ABCD.

Bolj kot se nihalo približuje ravnotežnemu položaju C, manjša postane vrednost tangencialne komponente \(~F_\tau = F \sin \alpha\). V ravnotežnem položaju je enaka nič, hitrost pa doseže največjo vrednost, nihalo pa se po vztrajnosti premika naprej in se dviga v loku navzgor. V tem primeru je komponenta \(\vec F_\tau\) usmerjena proti hitrosti. Z večanjem odklonskega kota a se modul sile \(\vec F_\tau\) povečuje, modul hitrosti pa zmanjšuje, v točki D pa postane hitrost nihala enaka nič. Nihalo se za trenutek ustavi, nato pa se začne premikati v nasprotni smeri od ravnotežnega položaja. Ko ga ponovno preleti po vztrajnosti, bo nihalo, upočasnjeno gibanje, doseglo točko A (ni trenja), tj. bo dokončal popoln zamah. Po tem se bo gibanje nihala ponovilo v že opisanem zaporedju.

Dobimo enačbo, ki opisuje prosta nihanja matematičnega nihala.

Naj bo nihalo v danem trenutku v točki B. Njegov odmik S od ravnotežnega položaja v tem trenutku je enak dolžini loka SV (tj. S = |SV|). Označimo dolžino obešalne niti l, masa nihala pa je m.

Iz slike 13.11 je jasno, da \(~F_\tau = F \sin \alpha\), kjer \(\alpha =\frac(S)(l).\) Pri majhnih kotih \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

V tej formuli je znak minus postavljen, ker je tangencialna komponenta gravitacije usmerjena proti ravnotežnemu položaju, premik pa se šteje od ravnotežnega položaja.

V skladu z drugim Newtonovim zakonom \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projicirajmo vektorske količine te enačbe na smer tangente na trajektorijo matematičnega nihala

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Iz teh enačb dobimo

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - dinamična enačba gibanja matematičnega nihala. Tangencialni pospešek matematičnega nihala je sorazmeren z njegovim premikom in je usmerjen proti ravnotežnemu položaju. To enačbo lahko zapišemo kot\. Če jo primerjamo z enačbo harmoničnih nihanj \(~a_x + \omega^2x = 0\) (glej § 13.3), lahko sklepamo, da matematično nihalo izvaja harmonična nihanja. In ker so obravnavana nihanja nihala nastala pod vplivom samo notranjih sil, so bila to prosta nihanja nihala. torej prosta nihanja matematičnega nihala z majhnimi odstopanji so harmonična.

Označimo \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Od koder je \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) ciklična frekvenca nihala.

Nihajna doba nihala je \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Zato je

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Ta izraz se imenuje Huygensova formula. Določa periodo prostih nihanj matematičnega nihala. Iz formule sledi, da pri majhnih kotih odstopanja od ravnotežnega položaja obdobje nihanja matematičnega nihala: 1) ni odvisno od njegove mase in amplitude nihanj; 2) sorazmeren kvadratnemu korenu dolžine nihala in obratno sorazmeren kvadratnemu korenu gravitacijskega pospeška. To je v skladu z eksperimentalnimi zakoni majhnih nihanj matematičnega nihala, ki jih je odkril G. Galileo.

Poudarjamo, da lahko to formulo uporabimo za izračun periode, če sta hkrati izpolnjena dva pogoja: 1) nihanje nihala mora biti majhno; 2) vzmetna točka nihala mora mirovati ali se gibati enakomerno premočrtno glede na inercialni referenčni okvir, v katerem se nahaja.

Če se točka vzmetenja matematičnega nihala premika s pospeškom \(\vec a\), se spremeni natezna sila niti, kar povzroči spremembo obnovitvene sile in posledično frekvence in obdobja nihanj. Kot kažejo izračuni, lahko obdobje nihanja nihala v tem primeru izračunamo po formuli

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

kjer je \(~g"\) "dejanski" pospešek nihala v neinercialnem referenčnem sistemu. Enak je geometrijski vsoti gravitacijskega pospeška \(\vec g\) in vektorja, ki je nasproten vektor \(\vec a\), kar pomeni, da ga je mogoče izračunati s formulo

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Literatura

Aksenovich L. A. Fizika v srednji šoli: Teorija. Naloge. Testi: Učbenik. dodatek za ustanove, ki izvajajo splošno izobraževanje. okolje, izobraževanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - Str. 374-376.

Matematično nihalo imenujemo materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki je pritrjena na vzmetenje in se nahaja v polju gravitacije (ali druge sile).

Oglejmo si nihanje matematičnega nihala v inercialnem referenčnem sistemu, glede na katerega točka njegovega vzmetenja miruje ali se giblje enakomerno premočrtno. Silo zračnega upora (idealno matematično nihalo) bomo zanemarili. Sprva nihalo miruje v ravnotežnem položaju C. Pri tem se sila težnosti in prožnostna sila F?ynp niti, ki deluje nanj, medsebojno kompenzirata.

Odmaknimo nihalo iz ravnotežnega položaja (z odklonom npr. v položaj A) in ga spustimo brez začetne hitrosti (slika 1). V tem primeru sile med seboj niso uravnotežene. Tangencialna komponenta gravitacije, ki deluje na nihalo, mu daje tangencialni pospešek a?? (komponenta celotnega pospeška, usmerjena vzdolž tangente na trajektorijo matematičnega nihala), in nihalo se začne premikati proti ravnotežnemu položaju s hitrostjo, ki narašča v absolutni vrednosti. Tangencialna komponenta gravitacije je torej obnovitvena sila. Normalna komponenta gravitacije je usmerjena vzdolž niti proti prožni sili. Rezultanta sil daje nihalu normalni pospešek, ki spremeni smer vektorja hitrosti in nihalo se giblje po loku ABCD.

Bolj kot se nihalo približuje ravnotežnemu položaju C, manjša postaja vrednost tangencialne komponente. V ravnotežnem položaju je enaka nič, hitrost pa doseže največjo vrednost, nihalo pa se po vztrajnosti premika naprej in se dviga v loku navzgor. V tem primeru je komponenta usmerjena proti hitrosti. Z večanjem odklonskega kota a se velikost sile povečuje, velikost hitrosti pa zmanjšuje, v točki D pa postane hitrost nihala enaka nič. Nihalo se za trenutek ustavi, nato pa se začne premikati v nasprotni smeri od ravnotežnega položaja. Ko ga ponovno preleti po vztrajnosti, bo nihalo, upočasnjeno gibanje, doseglo točko A (ni trenja), tj. bo dokončal popoln zamah. Po tem se bo gibanje nihala ponovilo v že opisanem zaporedju.

Dobimo enačbo, ki opisuje prosta nihanja matematičnega nihala.

Naj bo nihalo v danem trenutku v točki B. Njegov odmik S od ravnotežnega položaja v tem trenutku je enak dolžini loka SV (tj. S = |SV|). Dolžino obešalne niti označimo z l, maso nihala pa z m.

Iz slike 1 je razvidno, da je , kjer je . Pri majhnih kotih () se nihalo odkloni, torej

V tej formuli je znak minus postavljen, ker je tangencialna komponenta gravitacije usmerjena proti ravnotežnemu položaju, premik pa se šteje od ravnotežnega položaja.

Po drugem Newtonovem zakonu. Projicirajmo vektorske količine te enačbe na smer tangente na trajektorijo matematičnega nihala

Iz teh enačb dobimo

Dinamična enačba gibanja matematičnega nihala. Tangencialni pospešek matematičnega nihala je sorazmeren z njegovim premikom in je usmerjen proti ravnotežnemu položaju. To enačbo lahko zapišemo kot

Primerjava z enačbo harmoničnih vibracij , lahko sklepamo, da matematično nihalo izvaja harmonična nihanja. In ker so obravnavana nihanja nihala nastala pod vplivom samo notranjih sil, so bila to prosta nihanja nihala. Posledično so prosta nihanja matematičnega nihala z majhnimi odstopanji harmonična.

Označimo

Ciklična frekvenca nihanja nihala.

Obdobje nihanja nihala. torej

Ta izraz se imenuje Huygensova formula. Določa periodo prostih nihanj matematičnega nihala. Iz formule sledi, da je pri majhnih kotih odstopanja od ravnotežnega položaja obdobje nihanja matematičnega nihala:

  1. ni odvisen od njegove mase in amplitude vibracij;
  2. je sorazmeren kvadratnemu korenu dolžine nihala in obratno sorazmeren kvadratnemu korenu gravitacijskega pospeška.

To je v skladu z eksperimentalnimi zakoni majhnih nihanj matematičnega nihala, ki jih je odkril G. Galileo.

Poudarjamo, da je to formulo mogoče uporabiti za izračun obdobja, če sta hkrati izpolnjena dva pogoja:

  1. nihanje nihala mora biti majhno;
  2. vzmetna točka nihala mora mirovati ali se gibati enakomerno premočrtno glede na inercialni referenčni sistem, v katerem se nahaja.

Če se točka vzmetenja matematičnega nihala premika s pospeševanjem, se spremeni natezna sila niti, kar povzroči spremembo obnovitvene sile in posledično frekvence in obdobja nihanj. Kot kažejo izračuni, lahko obdobje nihanja nihala v tem primeru izračunamo po formuli

kjer je "efektivni" pospešek nihala v neinercialnem referenčnem sistemu. Enak je geometrijski vsoti pospeška prostega pada in vektorju nasprotnega vektorja, tj. lahko izračunamo s formulo

Matematično nihalo.

Matematično nihalo je materialna točka, obešena na neraztegljivo breztežno nit, ki pod vplivom gravitacije izvaja nihajno gibanje v eni navpični ravnini.

Tako nihalo lahko štejemo za težko kroglo z maso m, obešeno na tanki niti, katere dolžina l je veliko večja od velikosti krogle. Če jo od navpičnice odklonimo za kot α (slika 7.3.), potem pod vplivom sile F, ene od komponent uteži P, zaniha. Druga komponenta, usmerjena vzdolž niti, se ne upošteva, ker je uravnotežena z napetostjo niti. Pri majhnih kotih pomika in lahko koordinato x merimo v vodoravni smeri. Iz slike 7.3 je razvidno, da je komponenta teže, pravokotna na nit, enaka

Moment sile glede na točko O: in vztrajnostni moment:
M=FL .
Vztrajnostni moment J v tem primeru
Kotni pospešek:

Ob upoštevanju teh vrednosti imamo:

(7.8)

Njegova odločitev
,

kje in (7.9)

Kot lahko vidimo, je nihajna doba matematičnega nihala odvisna od njegove dolžine in gravitacijskega pospeška in ni odvisna od amplitude nihanja.

Fizikalno nihalo.

Fizikalno nihalo je togo telo, pritrjeno na nepremični vodoravni osi (osi vzmetenja), ki ne poteka skozi težišče in niha okoli te osi pod vplivom gravitacije. Za razliko od matematičnega nihala mase takega telesa ni mogoče obravnavati kot točkasto.

Pri majhnih odklonskih kotih α (slika 7.4) fizikalno nihalo izvaja tudi harmonična nihanja. Predpostavili bomo, da je teža fizičnega nihala pritrjena na njegovo težišče v točki C. Sila, ki vrne nihalo v ravnotežni položaj, bo v tem primeru komponenta gravitacije - sila F.

Znak minus na desni strani pomeni, da je sila F usmerjena proti zmanjševanju kota α. Ob upoštevanju majhnosti kota α

Za izpeljavo zakona gibanja matematičnega in fizikalnega nihala uporabimo osnovno enačbo dinamike rotacijskega gibanja

Moment sile: ni mogoče eksplicitno določiti. Ob upoštevanju vseh količin, vključenih v izvirno diferencialno enačbo nihanj fizičnega nihala, ima obliko:

Nihala, prikazana na sl. 2, so razširjena telesa različnih oblik in velikosti, ki nihajo okoli točke obešanja ali opore. Takšni sistemi se imenujejo fizična nihala. V stanju ravnovesja, ko je težišče na navpičnici pod točko obešanja (ali opore), se sila težnosti uravnoteži (preko prožnostnih sil deformiranega nihala) z reakcijo opore. Pri odstopanju od ravnotežnega položaja gravitacijske in elastične sile določajo kotni pospešek nihala v vsakem trenutku, tj. določajo naravo njegovega gibanja (nihanja). Zdaj si bomo podrobneje ogledali dinamiko nihanj na najpreprostejšem primeru tako imenovanega matematičnega nihala, ki je majhna utež, obešena na dolgi tanki niti.

Pri matematičnem nihalu lahko zanemarimo maso niti in deformacijo uteži, torej lahko predpostavimo, da je masa nihala koncentrirana v uteži, prožnostne sile pa so koncentrirane v niti, ki velja za neraztegljivo. . Poglejmo zdaj, pod kakšnimi silami niha naše nihalo, potem ko ga na nek način premaknemo iz ravnotežnega položaja (potisk, odklon).

Ko nihalo miruje v ravnotežnem položaju, se sila težnosti, ki deluje na njegovo težo in je usmerjena navpično navzdol, uravnoteži z natezno silo niti. V odklonjeni legi (slika 15) sila težnosti deluje pod kotom na natezno silo, usmerjeno vzdolž niti. Gravitacijsko silo razdelimo na dve komponenti: v smeri niti () in pravokotno nanjo (). Pri nihanju nihala natezna sila niti nekoliko presega komponento - za količino centripetalne sile, ki sili breme v ločno gibanje. Komponenta je vedno usmerjena proti ravnotežnemu položaju; zdi se, da si prizadeva obnoviti to stanje. Zato se pogosto imenuje obnovitvena sila. Bolj kot je nihalo odklonjeno, večja je absolutna vrednost.

riž. 15. Obnovitev sile, ko nihalo odstopa od ravnotežnega položaja

Torej, takoj ko se nihalo med svojim nihanjem začne odmikati od ravnotežnega položaja, recimo v desno, se pojavi sila, ki njegovo gibanje upočasnjuje, čim bolj se odmika. Končno ga bo ta sila ustavila in potegnila nazaj v ravnotežni položaj. Ko pa se približujemo temu položaju, bo sila postajala vse manjša in v samem ravnotežnem položaju nič. Tako gre nihalo skozi ravnotežni položaj po vztrajnosti. Takoj, ko začne odstopati v levo, se spet pojavi sila, ki narašča z naraščajočim odklonom, vendar je zdaj usmerjena v desno. Gibanje v levo se bo spet upočasnilo, nato se bo nihalo za trenutek ustavilo, nato pa se bo začelo pospešeno gibanje v desno itd.

Kaj se zgodi z energijo nihala med nihanjem?

Dvakrat v obdobju - pri največjih odstopanjih v levo in desno - se nihalo ustavi, torej v teh trenutkih je hitrost enaka nič, kar pomeni, da je kinetična energija enaka nič. Toda ravno v teh trenutkih je težišče nihala dvignjeno na največjo višino in je zato potencialna energija največja. Nasprotno, v trenutkih prehoda skozi ravnotežni položaj je potencialna energija najmanjša, hitrost in kinetična energija pa dosežeta največje vrednosti.

Predpostavili bomo, da lahko sile trenja nihala ob zrak in trenje v viseči točki zanemarimo. Potem je po zakonu o ohranitvi energije ta največja kinetična energija natanko enaka presežku potencialne energije na mestu največjega odstopanja nad potencialno energijo na ravnotežnem položaju.

Torej, ko nihalo niha, pride do periodičnega prehoda kinetične energije v potencialno energijo in obratno, obdobje tega procesa pa je za polovico krajše od obdobja nihanja samega nihala. Vendar je celotna energija nihala (vsota potencialne in kinetične energije) ves čas konstantna. Enaka je energiji, ki je bila posredovana nihalu ob izstrelitvi, ne glede na to, ali je v obliki potencialne energije (začetni odklon) ali v obliki kinetične energije (začetni sunek).

To velja za vsa nihanja brez trenja ali kakršnih koli drugih procesov, ki nihajočemu sistemu jemljejo energijo ali mu dajejo energijo. Zato amplituda ostane nespremenjena in je določena z začetnim odklonom oziroma silo potiska.

Enake spremembe v obnovitveni sili in enak prenos energije bomo dobili, če namesto da bi kroglico obesili na nit, naredimo, da se kotali v navpični ravnini v kroglasti skodelici ali v utoru, ki je ukrivljen vzdolž oboda. V tem primeru bo vlogo napetosti niti prevzel pritisk sten skodelice ali žleba (spet zanemarimo trenje krogle ob stene in zrak).

Mehanski sistem, ki ga sestavlja materialna točka (telo), ki visi na neraztegljivi breztežnostni niti (njena masa je v primerjavi s težo telesa zanemarljiva) v enotnem gravitacijskem polju, se imenuje matematično nihalo (drugo ime je oscilator). Obstajajo še druge vrste te naprave. Namesto niti lahko uporabimo breztežno palico. Matematično nihalo lahko jasno razkrije bistvo mnogih zanimivih pojavov. Kadar je amplituda nihanja majhna, se njegovo gibanje imenuje harmonično.

Pregled mehanskega sistema

Formulo za obdobje nihanja tega nihala je izpeljal nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Ta sodobnik I. Newtona je bil zelo zainteresiran za ta mehanski sistem. Leta 1656 je ustvaril prvo uro z nihalnim mehanizmom. Čas so merili za tiste čase izjemno natančno. Ta izum je postal pomembna faza v razvoju fizičnih poskusov in praktičnih dejavnosti.

Če je nihalo v ravnotežnem položaju (visi navpično), ga uravnoteži natezna sila niti. Ploščato nihalo na neraztegljivi niti je sistem z dvema prostostnima stopnjama s sklopko. Ko spremenite samo eno komponento, se spremenijo lastnosti vseh njenih delov. Torej, če nit zamenjamo s palico, bo ta mehanski sistem imel samo 1 stopnjo svobode. Kakšne lastnosti ima matematično nihalo? V tem najpreprostejšem sistemu nastane kaos pod vplivom periodičnih motenj. V primeru, ko se točka vzmetenja ne premika, ampak niha, ima nihalo nov ravnotežni položaj. S hitrim nihanjem navzgor in navzdol ta mehanski sistem pridobi stabilen položaj "na glavo". Ima tudi svoje ime. Imenuje se Kapitsovo nihalo.

Lastnosti nihala

Matematično nihalo ima zelo zanimive lastnosti. Vse potrjujejo znani fizikalni zakoni. Obdobje nihanja katerega koli drugega nihala je odvisno od različnih okoliščin, kot so velikost in oblika telesa, razdalja med točko obešanja in težiščem ter porazdelitev mase glede na to točko. Zato je določitev dobe visenja telesa precej težka naloga. Veliko lažje je izračunati obdobje matematičnega nihala, katerega formula bo podana spodaj. Kot rezultat opazovanja podobnih mehanskih sistemov je mogoče ugotoviti naslednje vzorce:

Če ob enaki dolžini nihala obesimo različne uteži, bo obdobje njihovega nihanja enako, čeprav se bodo njihove mase zelo razlikovale. Posledično obdobje takega nihala ni odvisno od mase bremena.

Če se pri zagonu sistema nihalo odkloni pod ne prevelikimi, ampak različnimi koti, bo začelo nihati z enakim obdobjem, vendar z različnimi amplitudami. Dokler odstopanja od središča ravnovesja niso prevelika, bodo nihanja po obliki precej blizu harmoničnim. Perioda takega nihala ni v ničemer odvisna od nihajne amplitude. Ta lastnost danega mehanskega sistema se imenuje izohronizem (v prevodu iz grščine "chronos" - čas, "isos" - enak).

Perioda matematičnega nihala

Ta indikator predstavlja obdobje Kljub zapleteni formulaciji je sam proces zelo preprost. Če je dolžina niti matematičnega nihala L, pospešek prostega pada pa g, potem je ta vrednost enaka:

Perioda majhnih lastnih nihanj ni v ničemer odvisna od mase nihala in amplitude nihanj. V tem primeru se nihalo giblje kot matematično z določeno dolžino.

Nihanje matematičnega nihala

Matematično nihalo niha, kar lahko opišemo s preprosto diferencialno enačbo:

x + ω2 sin x = 0,

kjer je x (t) neznana funkcija (to je kot odstopanja od spodnjega ravnotežnega položaja v trenutku t, izražen v radianih); ω je pozitivna konstanta, ki jo določimo iz parametrov nihala (ω = √g/L, kjer je g gravitacijski pospešek, L pa dolžina matematičnega nihala (vzmetenja).

Enačba za majhne vibracije blizu ravnotežnega položaja (harmonična enačba) izgleda takole:

x + ω2 sin x = 0

Nihajna gibanja nihala

Matematično nihalo, ki dela majhne nihaje, se giblje vzdolž sinusoide. Diferencialna enačba drugega reda izpolnjuje vse zahteve in parametre takega gibanja. Za določitev trajektorije je potrebno nastaviti hitrost in koordinato, iz katerih se nato določijo neodvisne konstante:

x = A sin (θ 0 + ωt),

kjer je θ 0 začetna faza, A je amplituda nihanja, ω je ciklična frekvenca, določena iz enačbe gibanja.

Matematično nihalo (formule za velike amplitude)

Ta mehanski sistem, ki niha z veliko amplitudo, je podvržen bolj zapletenim zakonom gibanja. Za takšno nihalo se izračunajo po formuli:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

kjer je sn Jacobijev sinus, ki za u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

kjer je ε = E/mL2 (mL2 je energija nihala).

Obdobje nihanja nelinearnega nihala se določi po formuli:

kjer je Ω = π/2 * ω/2K(u), K eliptični integral, π - 3,14.

Gibanje nihala po separatrisi

Separatrix je tirnica dinamičnega sistema, ki ima dvodimenzionalni fazni prostor. Vzdolž njega se giblje matematično nihalo neperiodično. V neskončno oddaljenem trenutku pade z najvišjega položaja na stran z ničelno hitrostjo, nato pa jo postopoma pridobiva. Sčasoma se ustavi in ​​se vrne v prvotni položaj.

Če se amplituda nihanja nihala približa številu π , to pomeni, da se gibanje na fazni ravnini približuje separatrisi. V tem primeru se mehanski sistem pod vplivom majhne pogonske periodične sile obnaša kaotično.

Ko matematično nihalo odstopi od ravnotežnega položaja za določen kot φ, nastane tangencialna gravitacijska sila Fτ = -mg sin φ. Predznak minus pomeni, da je ta tangencialna komponenta usmerjena v smeri, ki je nasprotna odklonu nihala. Če z x označimo premik nihala vzdolž krožnega loka s polmerom L, je njegov kotni premik enak φ = x/L. Drugi zakon, namenjen projekcijam in sili, bo dal želeno vrednost:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Na podlagi tega razmerja je jasno, da je to nihalo nelinearen sistem, saj je sila, ki stremi k vrnitvi v ravnotežni položaj, vedno sorazmerna ne s premikom x, ampak s sin x/L.

Samo takrat, ko matematično nihalo izvaja majhna nihanja, je harmonični oscilator. Z drugimi besedami, postane mehanski sistem, ki je sposoben izvajati harmonična nihanja. Ta približek je praktično veljaven za kote 15-20°. Nihanja nihala z velikimi amplitudami niso harmonična.

Newtonov zakon za majhna nihanja nihala

Če dani mehanski sistem izvaja majhna nihanja, bo Newtonov 2. zakon videti takole:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Na podlagi tega lahko sklepamo, da je matematično nihalo sorazmerno s svojim premikom s predznakom minus. To je stanje, zaradi katerega sistem postane harmonični oscilator. Modul sorazmernega koeficienta med premikom in pospeškom je enak kvadratu krožne frekvence:

ω02 = g/l; ω0 = √ g/l.

Ta formula odraža lastno frekvenco majhnih nihanj te vrste nihala. Na podlagi tega,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Izračuni na podlagi zakona o ohranitvi energije

Lastnosti nihala lahko opišemo tudi z zakonom o ohranitvi energije. Upoštevati je treba, da je nihalo v gravitacijskem polju enako:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Skupaj je enak kinetičnemu ali največjemu potencialu: Epmax = Ekmsx = E

Ko je zakon o ohranitvi energije napisan, vzemite odvod desne in leve strani enačbe:

Ker je odvod konstantnih količin enak 0, potem je (Ep + Ek)" = 0. Odvod vsote je enak vsoti odvodov:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

torej:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Na podlagi zadnje formule ugotovimo: α = - g/L*x.

Praktična uporaba matematičnega nihala

Pospešek se spreminja glede na zemljepisno širino, ker gostota zemeljske skorje ni enaka po vsem planetu. Tam, kjer se pojavljajo kamnine z večjo gostoto, bo nekoliko višja. Pospešek matematičnega nihala se pogosto uporablja za geološka raziskovanja. Uporablja se za iskanje različnih mineralov. Preprosto s štetjem števila nihanj nihala lahko odkrijete premog ali rudo v črevesju Zemlje. To je posledica dejstva, da imajo takšni fosili večjo gostoto in maso od spodaj ležečih kamnin.

Matematično nihalo so uporabljali tako izjemni znanstveniki, kot so Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih so verjeli, da lahko ta mehanski sistem vpliva na usodo in življenje osebe. Arhimed je pri svojih izračunih uporabil matematično nihalo. Dandanes mnogi okultisti in jasnovidci uporabljajo ta mehanični sistem za izpolnjevanje svojih prerokb ali iskanje pogrešanih ljudi.

Znani francoski astronom in naravoslovec K. Flammarion je za svoje raziskave uporabljal tudi matematično nihalo. Trdil je, da je z njegovo pomočjo lahko napovedal odkritje novega planeta, pojav Tunguškega meteorita in druge pomembne dogodke. Med drugo svetovno vojno je v Nemčiji (Berlin) deloval specializiran Inštitut za nihalo. Danes se s podobnimi raziskavami ukvarja Münchenski inštitut za parapsihologijo. Zaposleni v tej ustanovi svoje delo z nihalom imenujejo »radiestezija«.



 

Morda bi bilo koristno prebrati: