Tri pravila za iskanje antiizpeljank. Povzetek lekcije matematike: “Pravila za iskanje antiizpeljank” Oblikujte 3 pravila za iskanje protiizpeljank

Za vsako matematično dejanje obstaja obratno dejanje. Za dejanje diferenciacije (iskanje odvodov funkcij) obstaja tudi obratno dejanje - integracija. Z integracijo se funkcija najde (rekonstruira) iz njenega danega odvoda ali diferenciala. Najdeno funkcijo pokličemo protiizpeljanka.

Opredelitev. Diferenciabilna funkcija F(x) imenujemo antiodvod funkcije f(x) v določenem intervalu, če za vse X iz tega intervala velja enakost: F′(x)=f (x).

Primeri. Poiščite protiodvode za funkcije: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Ker je (x²)′=2x, potem bo po definiciji funkcija F (x)=x² antiderivacija funkcije f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Če označimo f (x)=3cos3x in F (x)=sin3x, potem imamo po definiciji antiizpeljave: F′(x)=f (x), zato je F (x)=sin3x protiodvod za f ( x)=3cos3x.

Upoštevajte, da (sin3x +5 )′= 3cos3x, in (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... v splošni obliki lahko zapišemo: (sin3x +C)′= 3cos3x, Kje Z- neka konstantna vrednost. Ti primeri kažejo na dvoumnost dejanja integracije v nasprotju z dejanjem diferenciacije, ko ima katera koli funkcija, ki jo je mogoče razlikovati, en sam izvod.

Opredelitev.Če funkcija F(x) je antiderivacija funkcije f(x) na določenem intervalu, potem ima množica vseh antiizvodov te funkcije obliko:

F(x)+C, kjer je C poljubno realno število.

Množico vseh protiodvodov F (x) + C funkcije f (x) na obravnavanem intervalu imenujemo nedoločen integral in ga označujemo s simbolom ∫ (integralni znak). Zapisati: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Izraz ∫f(x)dx preberite: "integral ef od x do de x."

f(x)dx- izraz integranda,

f(x)— funkcija integranda,

X je integracijska spremenljivka.

F(x)- antiderivacija funkcije f(x),

Z- neka konstantna vrednost.

Zdaj lahko obravnavane primere zapišemo na naslednji način:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Kaj pomeni znak d?

d— diferencialni znak - ima dvojni namen: prvič, ta znak loči integrand od integracijske spremenljivke; drugič, vse, kar pride za tem znakom, je privzeto diferencirano in pomnoženo z integrandom.

Primeri. Poišči integrale: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Za ikono diferenciala d stroški XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Primerjaj s primerom 1).

Naredimo pregled. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Za ikono diferenciala d stroški R. To pomeni, da integracijska spremenljivka R, in množitelj X je treba šteti za neko konstantno vrednost.

∫ 2хрдр=р²х+С. Primerjaj s primeri 1) in 3).

Naredimo pregled. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Antiderivativna funkcija f(x) vmes (a; b) ta funkcija se imenuje F(x), da enakost velja za vse X iz danega intervala.

Če upoštevamo dejstvo, da je odvod konstante Z je enako nič, potem je enakost resnična. Torej funkcija f(x) ima veliko primitivov F(x)+C, za poljubno konstanto Z, in ti antiizvodi se med seboj razlikujejo za poljubno konstantno vrednost.

Definicija nedoločenega integrala.

Celoten niz protiizpeljanih funkcij f(x) imenujemo nedoločen integral te funkcije in ga označimo .

Izraz se imenuje integrand, A f(x) – funkcija integranda. Integrand predstavlja diferencial funkcije f(x).

Dejanje iskanja neznane funkcije glede na njen diferencial se imenuje negotova integracija, ker je rezultat integracije več kot ena funkcija F(x), in niz njegovih primitivov F(x)+C.

Geometrijski pomen nedoločenega integrala. Graf protiizpeljave D(x) imenujemo integralna krivulja. V koordinatnem sistemu x0y predstavljajo grafi vseh antiodvodov dane funkcije družino krivulj, ki so odvisne od vrednosti konstante C in so med seboj pridobljene z vzporednim premikom vzdolž osi 0y. Za zgoraj obravnavani primer imamo:

J 2 x^x = x2 + C.

Družino protiodvodov (x + C) geometrično razlaga niz parabol.

Če morate najti enega iz družine antiizpeljank, so nastavljeni dodatni pogoji, ki vam omogočajo, da določite konstanto C. Običajno so v ta namen nastavljeni začetni pogoji: ko je argument x = x0, ima funkcija vrednost D (x0) = y0.

Primer. Ugotoviti je treba, da je eden od protiodvodov funkcije y = 2 x, ki ima vrednost 3 pri x0 = 1.

Zahtevani protiodvod: D(x) = x2 + 2.

rešitev. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Osnovne lastnosti nedoločenega integrala

1. Odvod nedoločenega integrala je enak funkciji integranda:

2. Diferencial nedoločenega integrala je enak izrazu integranda:

3. Nedoločen integral diferenciala določene funkcije je enak vsoti same te funkcije in poljubne konstante:

4. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:

5. Integral vsote (razlike) je enak vsoti (razliki) integralov:

6. Lastnost je kombinacija lastnosti 4 in 5:

7. Lastnost invariantnosti nedoločenega integrala:

če , To

8. Lastnina:

če , To

Pravzaprav je ta lastnost poseben primer integracije z uporabo metode spreminjanja spremenljivke, ki je podrobneje obravnavana v naslednjem razdelku.

Poglejmo primer:

3. Metoda integracije pri kateri se dani integral reducira na enega ali več tabelnih integralov s pomočjo identičnih transformacij integranda (ali izraza) in uporabe lastnosti nedoločenega integrala, se imenuje neposredna integracija. Pri redukciji tega integrala na tabelarnega se pogosto uporabljajo naslednje diferencialne transformacije (operacija " pripisovanje diferencialnemu predznaku»):

Nasploh, f’(u)du = d(f(u)). Ta (formula se zelo pogosto uporablja pri izračunu integralov.

Poišči integral

rešitev. Uporabimo lastnosti integrala in ta integral skrčimo na več tabelarnih.

4. Integracija z metodo substitucije.

Bistvo metode je, da vnesemo novo spremenljivko, preko te spremenljivke izrazimo integrand in posledično pridemo do tabelarične (ali enostavnejše) oblike integrala.

Zelo pogosto pri integraciji trigonometričnih funkcij in funkcij z radikali pride na pomoč substitucijska metoda.

Primer.

Poiščite nedoločen integral .

rešitev.

Predstavimo novo spremenljivko. Izrazimo se X skozi z:

Dobljene izraze nadomestimo v prvotni integral:

Iz tabele antiizpeljank, ki jih imamo .

Ostaja še vrnitev na prvotno spremenljivko X:

odgovor:

Na tej strani boste našli:

1. Pravzaprav tabela protiizpeljank - lahko jo prenesete v formatu PDF in natisnete;

2. Video o uporabi te tabele;

3. Kup primerov računanja praodvoda iz različnih učbenikov in testov.

V samem videu bomo analizirali številne probleme, kjer morate izračunati antiodvode funkcij, ki so pogosto precej zapleteni, a kar je najpomembneje, niso potenčne funkcije. Vse funkcije, povzete v zgornji predlagani tabeli, je treba poznati na pamet, tako kot derivate. Brez njih je nadaljnji študij integralov in njihova uporaba pri reševanju praktičnih problemov nemogoča.

Danes nadaljujemo s preučevanjem primitivov in prehajamo na nekoliko bolj zapleteno temo. Če smo zadnjič gledali samo na praodvode potenčnih funkcij in nekoliko bolj zapletene konstrukcije, si bomo danes ogledali trigonometrijo in še marsikaj.

Kot sem rekel v zadnji lekciji, protiizpeljank, za razliko od izpeljank, nikoli ne rešimo "takoj" z uporabo standardnih pravil. Poleg tega je slaba novica ta, da za razliko od derivata antiderivat morda sploh ne bo upoštevan. Če napišemo povsem naključno funkcijo in poskušamo najti njen odvod, potem nam bo to z zelo veliko verjetnostjo uspelo, vendar protiodvod v tem primeru skoraj nikoli ne bo izračunan. Vendar obstaja dobra novica: obstaja dokaj velik razred funkcij, imenovanih elementarne funkcije, katerih protiodvode je zelo enostavno izračunati. In vse druge bolj zapletene strukture, ki so podane na vseh vrstah testov, neodvisnih testov in izpitov, so pravzaprav sestavljene iz teh elementarnih funkcij s seštevanjem, odštevanjem in drugimi preprostimi dejanji. Prototipi takšnih funkcij so že dolgo izračunani in sestavljeni v posebne tabele. Danes bomo delali s temi funkcijami in tabelami.

Začeli pa bomo, kot vedno, s ponovitvijo: spomnimo se, kaj je antiderivat, zakaj jih je neskončno veliko in kako določiti njihov splošni videz. Da bi to naredil, sem izbral dva preprosta problema.

Reševanje enostavnih primerov

Primer #1

Takoj opozorimo na $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ in na splošno prisotnost $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ nam takoj namigne, da je zahtevani antiodvod funkcije povezan s trigonometrijo. In res, če pogledamo tabelo, bomo ugotovili, da $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ni nič drugega kot $\text(arctg)x$. Torej zapišimo:

Če želite najti, morate zapisati naslednje:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Primer št. 2

Tukaj govorimo tudi o trigonometričnih funkcijah. Če pogledamo tabelo, potem se res zgodi tole:

Med celotnim naborom protiizpeljank moramo najti tistega, ki gre skozi označeno točko:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Naj končno zapišemo:

Tako preprosto je. Edina težava je, da se morate za izračun protiodvodov preprostih funkcij naučiti tabele protiodvodov. Vendar, potem ko sem preučil tabelo izpeljank za vas, mislim, da to ne bo problem.

Reševanje nalog, ki vsebujejo eksponentno funkcijo

Za začetek napišimo naslednje formule:

\[((e)^(x))\do ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Poglejmo, kako vse to deluje v praksi.

Primer #1

Če pogledamo vsebino oklepajev, opazimo, da v tabeli protiodpeljav ni takega izraza, da bi bil $((e)^(x))$ v kvadratu, zato je treba ta kvadrat razširiti. Za to uporabimo skrajšane formule za množenje:

Poiščimo protiizpeljavo za vsakega izmed izrazov:

\[((e)^(2x))=((\levo(((e)^(2)) \desno))^(x))\to \frac(((\levo(((e)^ (2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\levo(((e)^(-2)) \desno))^(x))\to \frac(((\levo(((e )^(-2)) \desno))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Zdaj pa zberimo vse izraze v en sam izraz in dobimo splošno antiizpeljavo:

Primer št. 2

Tokrat je stopnja večja, zato bo formula za skrajšano množenje precej zapletena. Pa odprimo oklepaje:

Zdaj pa poskusimo vzeti protiizpeljavo naše formule iz te konstrukcije:

Kot lahko vidite, v protiizpeljavah eksponentne funkcije ni nič zapletenega ali nadnaravnega. Vsi so izračunani s pomočjo tabel, vendar bodo pozorni učenci verjetno opazili, da je protiizpeljanka $((e)^(2x))$ veliko bližje preprosto $((e)^(x))$ kot $((a )^(x ))$. Torej, morda obstaja kakšno bolj posebno pravilo, ki omogoča, da ob poznavanju antiizpeljave $((e)^(x))$ najdemo $((e)^(2x))$? Da, tako pravilo obstaja. In poleg tega je sestavni del dela s tabelo antiizpeljank. Zdaj ga bomo analizirali z uporabo istih izrazov, s katerimi smo pravkar delali kot primer.

Pravila za delo s tabelo antiizpeljank

Ponovno napišimo našo funkcijo:

V prejšnjem primeru smo za rešitev uporabili naslednjo formulo:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Zdaj pa naredimo malo drugače: spomnimo se, na kakšni osnovi $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kot sem že rekel, ker izpeljanka $((e)^(x))$ ni nič drugega kot $((e)^(x))$, bo zato njena antiizpeljanka enaka istemu $((e) ^ (x))$. Toda težava je v tem, da imamo $((e)^(2x))$ in $((e)^(-2x))$. Zdaj pa poskusimo najti izpeljanko $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \desno))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Ponovno napišimo našo konstrukcijo:

\[((\levo(((e)^(2x)) \desno))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\levo(\frac(((e)^(2x)))(2) \desno))^(\prime ))\]

To pomeni, da ko najdemo antiizpeljavo $((e)^(2x))$, dobimo naslednje:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kot lahko vidite, smo dobili enak rezultat kot prej, vendar nismo uporabili formule za iskanje $((a)^(x))$. Zdaj se to morda zdi neumno: zakaj bi komplicirali izračune, če obstaja standardna formula? Vendar pa boste pri nekoliko bolj zapletenih izrazih ugotovili, da je ta tehnika zelo učinkovita, tj. uporaba izpeljank za iskanje antiizpeljank.

Za ogrevanje poiščimo protiizpeljavo $((e)^(2x))$ na podoben način:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \desno))^(\prime ))\]

Pri izračunu bo naša konstrukcija zapisana takole:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Dobili smo popolnoma enak rezultat, a ubrali drugačno pot. Prav ta pot, ki se nam zdaj zdi malo bolj zapletena, se bo v prihodnosti izkazala za učinkovitejšo za računanje zahtevnejših protiodvodov in uporabo tabel.

Opomba! To je zelo pomembna točka: protiizpeljanke, tako kot izpeljanke, je mogoče šteti na veliko različnih načinov. Če pa so vsi izračuni in izračuni enaki, bo odgovor enak. To smo pravkar videli na primeru $((e)^(-2x))$ - na eni strani smo to protiizpeljavo izračunali "natančno" z uporabo definicije in jo izračunali z uporabo transformacij, na drugi strani pa spomnili smo se, da je $ ((e)^(-2x))$ mogoče predstaviti kot $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ in šele nato smo uporabili protiodpeljava za funkcijo $( (a)^(x))$. Vendar je bil po vseh preobrazbah rezultat pričakovano enak.

In zdaj, ko vse to razumemo, je čas, da preidemo na nekaj pomembnejšega. Zdaj bomo analizirali dve preprosti konstrukciji, vendar je tehnika, ki jo bomo uporabili pri reševanju, močnejše in uporabnejše orodje kot preprosto "tekanje" med sosednjimi protiizpeljankami iz tabele.

Reševanje nalog: iskanje antiodvoda funkcije

Primer #1

Znesek, ki je v števcih, razdelimo na tri ločene frakcije:

To je dokaj naraven in razumljiv prehod – večina študentov s tem nima težav. Prepišimo naš izraz na naslednji način:

Zdaj pa si zapomnimo to formulo:

V našem primeru bomo dobili naslednje:

Da se znebite vseh teh trinadstropnih frakcij, predlagam, da naredite naslednje:

Primer št. 2

Za razliko od prejšnjega ulomka imenovalec ni produkt, ampak vsota. V tem primeru svojega ulomka ne moremo več razdeliti na vsoto več enostavnih ulomkov, ampak se moramo nekako potruditi, da je v števcu približno enak izraz kot v imenovalcu. V tem primeru je to zelo enostavno narediti:

Ta zapis, ki se v matematičnem jeziku imenuje "dodajanje ničle", nam bo omogočil, da ponovno razdelimo ulomek na dva dela:

Zdaj pa poiščimo, kar smo iskali:

To so vsi izračuni. Kljub navidezni večji kompleksnosti kot pri prejšnjem problemu se je izkazalo, da je količina izračunov še manjša.

Nianse rešitve

In prav v tem je glavna težava pri delu s tabelarnimi protiizpeljavami, to je še posebej opazno pri drugi nalogi. Dejstvo je, da moramo za izbiro nekaterih elementov, ki jih je enostavno izračunati skozi tabelo, vedeti, kaj točno iščemo, in v iskanju teh elementov je celoten izračun protiizpeljank.

Z drugimi besedami, ni dovolj samo, da si zapomnite tabelo antiizpeljank - morate biti sposobni videti nekaj, kar še ne obstaja, ampak kaj sta mislila avtor in prevajalec tega problema. Zato se mnogi matematiki, učitelji in profesorji nenehno prepirajo: "Kaj je jemanje protiizpeljav ali integracije - je to le orodje ali je prava umetnost?" Pravzaprav po mojem osebnem mnenju integracija sploh ni umetnost – v njej ni nič vzvišenega, je le vaja in še vaja. In za vajo rešimo še tri resnejše primere.

Integracijo usposabljamo v praksi

Naloga št. 1

Zapišimo naslednje formule:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Zapišimo naslednje:

Problem št. 2

Prepišimo ga takole:

Celotni antiderivat bo enak:

Problem št. 3

Težavnost te naloge je v tem, da za razliko od prejšnjih funkcij zgoraj sploh ni spremenljivke $x$, tj. ni nam jasno, kaj dodati ali odvzeti, da bi dobili vsaj nekaj podobnega temu, kar je spodaj. Vendar se v resnici ta izraz šteje za celo enostavnejšega od katerega koli od prejšnjih izrazov, ker je to funkcijo mogoče prepisati na naslednji način:

Zdaj se lahko vprašate: zakaj sta ti funkciji enaki? Preverimo:

Napišimo še enkrat:

Malo spremenimo naš izraz:

In ko vse to razlagam svojim študentom, se pojavi skoraj vedno isti problem: s prvo funkcijo je vse bolj ali manj jasno, z drugo lahko tudi s srečo ali prakso ugotoviš, kakšno alternativno zavest pa imaš potrebujete za rešitev tretjega primera? Pravzaprav, ne bodi prestrašen. Tehnika, ki smo jo uporabili pri izračunu zadnjega antiderivata, se imenuje "razgradnja funkcije na njeno najpreprostejšo", in to je zelo resna tehnika, ki ji bo posvečena ločena video lekcija.

Medtem predlagam, da se vrnemo k temu, kar smo pravkar preučevali, namreč k eksponentnim funkcijam in nekoliko zapletemo težave z njihovo vsebino.

Kompleksnejši problemi za reševanje antiderivacijskih eksponentnih funkcij

Naloga št. 1

Opozorimo na naslednje:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\levo(2\cdot 5 \desno))^(x))=((10)^(x) )\]

Če želite najti antiizpeljavo tega izraza, preprosto uporabite standardno formulo - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

V našem primeru bo protiizpeljanka takšna:

Seveda je v primerjavi z zasnovo, ki smo jo pravkar rešili, ta videti preprostejša.

Problem št. 2

Spet lahko vidimo, da je to funkcijo mogoče preprosto razdeliti na dva ločena člena - dva ločena ulomka. Prepišimo:

Še vedno je treba najti protiizpeljavo vsakega od teh izrazov z uporabo zgoraj opisane formule:

Kljub navidezni večji zapletenosti eksponentnih funkcij v primerjavi s potenčnimi funkcijami se je celoten obseg izračunov in izračunov izkazal za veliko enostavnejšega.

Seveda se lahko za dobro obveščene študente to, o čemer smo pravkar razpravljali (zlasti v ozadju tega, kar smo razpravljali prej), zdi kot elementarni izrazi. Ko sem izbral ta dva problema za današnjo video lekcijo, si nisem zadal cilja, da vam povem še eno zapleteno in prefinjeno tehniko – vse, kar sem vam želel pokazati, je, da se ne bi smeli bati uporabljati standardnih algebrskih tehnik za transformacijo izvirnih funkcij .

Uporaba "skrivne" tehnike

Za zaključek bi se rad osredotočil na še eno zanimivo tehniko, ki po eni strani presega tisto, o čemer smo danes večinoma razpravljali, po drugi strani pa, prvič, sploh ni zapletena, tj. Obvladajo ga lahko celo študenti začetniki, in drugič, pogosto ga najdemo v vseh vrstah testov in samostojnega dela, tj. poznavanje le-te bo zelo koristno poleg poznavanja tabele antiizpeljank.

Naloga št. 1

Očitno imamo nekaj zelo podobnega funkciji moči. Kaj storiti v tem primeru? Pomislimo: $x-5$ se ne razlikuje toliko od $x$ – pravkar so dodali $-5$. Zapišimo takole:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Poskusimo najti izpeljanko $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \desno)) ^(4))\cdot ((\levo(x-5 \desno))^(\prime ))=5\cdot ((\levo(x-5 \desno))^(4))\]

To pomeni:

\[((\levo(x-5 \desno))^(4))=((\levo(\frac(((\levo(x-5 \desno))^(5)))(5) \ desno))^(\prime ))\]

V tabeli ni takšne vrednosti, zato smo zdaj to formulo izpeljali sami z uporabo standardne formule protiizpeljave za potenčno funkcijo. Zapišimo odgovor takole:

Problem št. 2

Mnogi učenci, ki pogledajo prvo rešitev, morda mislijo, da je vse zelo preprosto: samo zamenjajte $x$ v potenčni funkciji z linearnim izrazom in vse bo postalo na svoje mesto. Na žalost vse ni tako preprosto in zdaj bomo to videli.

Po analogiji s prvim izrazom zapišemo naslednje:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \desno))^(10)) \desno))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \desno)) ^(9))\cdot ((\levo(4-3x \desno))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \desno))^(9))\cdot \left(-3 \desno)=-30\cdot ((\left(4-3x \desno)) ^(9))\]

Če se vrnemo k naši izpeljanki, lahko zapišemo:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \desno) )^(9))\]

\[((\levo(4-3x \desno))^(9))=((\levo(\frac(((\levo(4-3x \desno))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

To takoj sledi:

Nianse rešitve

Upoštevajte: če se zadnjič nič bistveno ni spremenilo, se je v drugem primeru namesto -10$ pojavilo -30$. Kakšna je razlika med -10$ in -30$? Očitno s faktorjem $-3$. Vprašanje: od kod prihaja? Če natančno pogledate, lahko vidite, da je bil vzet kot rezultat izračuna odvoda kompleksne funkcije - koeficient, ki je znašal $x$, se pojavi v spodnjem protiodvodu. To je zelo pomembno pravilo, o katerem sprva sploh nisem nameraval razpravljati v današnji video lekciji, a brez njega bi bila predstavitev tabelarnih protiodvodov nepopolna.

Torej ponovimo. Naj bo naša glavna funkcija moči:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Zdaj namesto $x$ zamenjajmo izraz $kx+b$. Kaj se bo potem zgodilo? Najti moramo naslednje:

\[((\levo(kx+b \desno))^(n))\to \frac(((\levo(kx+b \desno))^(n+1)))(\levo(n+ 1 \desno)\cdot k)\]

Na podlagi česa to trdimo? Zelo preprosto. Poiščimo izpeljanko zgoraj zapisane konstrukcije:

\[((\levo(\frac(((\left(kx+b \desno))^(n+1)))(\levo(n+1 \desno)\cdot k) \desno))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \desno)\cdot k)\cdot \left(n+1 \desno)\cdot ((\left(kx+b \desno))^ (n))\cdot k=((\levo(kx+b \desno))^(n))\]

To je isti izraz, ki je prvotno obstajal. Tako je tudi ta formula pravilna in jo lahko uporabimo za dopolnitev tabele protiizpeljank ali pa si je bolje, da si celotno tabelo preprosto zapomnimo.

Zaključki iz "skrivnosti: tehnike:

Obe funkciji, ki smo ju pravkar pogledali, je mogoče z razširitvijo stopenj pravzaprav reducirati na protiizpeljanke, navedene v tabeli, toda če se lahko bolj ali manj nekako spopademo s četrto stopnjo, potem devete stopnje ne bi naredil pri vsi upali razkriti.
Če bi razširili stopnje, bi dobili tako količino izračunov, da bi nam preprosta naloga vzela neprimerno veliko časa.
Zato takšnih problemov, ki vsebujejo linearne izraze, ni treba reševati brezglavo. Takoj, ko naletite na antiizpeljavo, ki se od tiste v tabeli razlikuje samo po prisotnosti izraza $kx+b$ v notranjosti, se takoj spomnite zgoraj napisane formule, jo nadomestite v svojo tabelo in vse se bo izkazalo hitreje in lažje.

Seveda se bomo zaradi zapletenosti in resnosti te tehnike večkrat vrnili k njeni obravnavi v prihodnjih video lekcijah, a to je vse za danes. Upam, da bo ta lekcija res pomagala študentom, ki želijo razumeti antiizpeljave in integracijo.

Povzetek lekcije o algebri in načelih analize za učence 11. razreda srednjih izobraževalnih ustanov

Na temo: "Pravila za iskanje protiizpeljank"

Namen lekcije:

Izobraževalni: uvesti pravila za iskanje antiizpeljank z uporabo njihovih vrednosti v tabeli in jih uporabiti pri reševanju problemov.

Naloge:

predstavi definicijo operacije integracije;

seznaniti učence s tabelo antiizpeljank;

seznaniti učence s pravili integracije;

učence naučiti uporabljati tabelo protiodvodov in pravila integracije pri reševanju problemov.

Razvojni: prispevati k razvoju sposobnosti učencev za analizo, primerjavo podatkov in sklepanje.

Izobraževalni: spodbujati oblikovanje spretnosti pri kolektivnem in samostojnem delu, razvijati sposobnost natančnega in kompetentnega izvajanja matematičnih zapiskov.

Učne metode: induktivno-reproduktivno, deduktivno-reproduktivno

tiv.

Vrsta lekcije: osvajanje novega znanja.

Zahteve za ZUN:

Učenci bi morali vedeti:

- opredelitev operacije integracije;

Tabela antiizpeljank;

učenci bi morali biti sposobni:

Uporabite tabelo antiizpeljank pri reševanju nalog;

Rešite naloge, v katerih je treba najti antiizpeljave.

Oprema: računalnik, platno, multimedijski projektor, predstavitev.

Literatura:

1. A.G. Mordkovich et al. “Algebra in začetki analize. Knjiga problemov za razrede 10-11" M.: Mnemosyne, 2001.

2. Sh.A. Alimov "Algebra in začetki analize. 10-11 razred. Učbenik" M.: Izobraževanje, 2004. - 384 str.

3. Metode in tehnologija poučevanja matematike. M.: Bustard, 2005. – 416 str.

Struktura lekcije:

jaz. Organizacijski trenutek (2 min.)

II. Posodabljanje znanja (7 min.)

III. Učenje nove snovi (15 min.)

VI. Utrjevanje naučene snovi (17 min.)

V. Povzetek in D/Z (4 min.)

Med poukom

jaz . Organiziranje časa

Pozdrav učencem, preverjanje odsotnosti in pripravljenosti prostora za pouk.

II . Posodabljanje znanja

Pisanje na tablo (v zvezke)

Datum.

Razred

Pravila iskanja antiizpeljank.

Učiteljica: Tema današnje lekcije: "Pravila za iskanje protiizpeljank" (diapozitiv 1). Toda preden nadaljujemo s preučevanjem nove teme, se spomnimo gradiva, ki smo ga obravnavali.

Pred tablo sta povabljena dva učenca, vsak dobi svojo nalogo (če je učenec nalogo opravil brez napak, dobi oceno »5«).

Kartice z nalogami

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

f ( x )=3 x 2 +4 x –1 na točki x =3.

№ 2

2) Poiščite vrednost odvoda funkcijef ( x )=5 x 2 +5 x – 5 na točki x =1.

rešitev

Kartica št. 1

1) Poiščite intervale naraščajoče in padajoče funkcijey = 6x – 2x 3 .

; Naj bo torej zagotovo; X 1 in X 2 stacionarne točke;

2. Stacionarne točke delijo koordinatno premico na tri intervale. V tistih intervalih, kjer je odvod funkcije pozitiven, sama funkcija narašča, kjer je negativen, pa pada.

- + -

pri -1 1

Zato pri zmanjša pri X (- ;-1) (1; ) in narašča zX (-1;1).

2) f ( x )=3 x 2 +4 x –1 ; ; .

Kartica št. 2

1) Poiščite ekstremne točke funkcije .

1. Poiščimo stacionarne točke, za to bomo našli odvod te funkcije, nato jo bomo izenačili z nič in rešili nastalo enačbo, katere korenine bodo stacionarne točke.

; Naj , Potem, torej, , In .

2. Stacionarne točke delijo koordinatno premico na štiri intervale. Tiste točke, skozi katere odvod funkcije spremeni predznak, so točke ekstrema.

+ - - +

pri -3 0 3

Pomeni - ekstremne točke in je največja točka in - najmanjša točka.

2) f ( x )=5 x 2 +5 x – 5; ; .

Medtem ko učenci, ki so poklicani pred tablo, rešujejo primere, ostalemu razredu postavljajo teoretična vprašanja. Med spraševanjem učitelj spremlja, ali so učenci opravili nalogo ali ne.

Učiteljica: Odgovorimo torej na nekaj vprašanj. Spomnimo se, katera funkcija se imenuje antiderivacija? (diapozitiv 2)

Študent: funkcija F ( x ) imenujemo antiodvod funkcijef ( x ) v določenem intervalu, če za vsex iz te vrzeli .

(diapozitiv 2).

Učiteljica: Prav. Kako se imenuje postopek iskanja odvoda funkcije? (slide 3)

Študent: Diferenciacija.

Ko študent odgovori, se pravilni odgovor podvoji na prosojnici (diapozitiv 3).

Učiteljica: Kako pokazati, da je funkcijaF ( x ) je antiderivacija funkcijef ( x ) ? (diapozitiv 4).

Študent: Poiščite odvod funkcijeF ( x ) .

Ko študent odgovori, se pravilni odgovor podvoji na prosojnici (diapozitiv 4).

Učiteljica: Globa. Potem mi povej, če je funkcijaF ( x )=3 x 2 +11 x antiderivacija funkcijef ( x )=6x+10? (diapozitiv 5)

Študent: Ne, ker odvod funkcijeF ( x )=3 x 2 +11 x enako 6x+11, vendar ne 6x+10 .

Ko študent odgovori, se pravilni odgovor podvoji na prosojnici (diapozitiv 5).

Učiteljica: Koliko antiizpeljank lahko najdemo za določeno funkcijo?f ( x ) ? Svoj odgovor utemelji. (diapozitiv 6)

Študent: Neskončno veliko, saj Nastali funkciji vedno dodamo konstanto, ki je lahko poljubno realno število.

Ko študent odgovori, se pravilni odgovor podvoji na prosojnici (diapozitiv 6).

Učiteljica: Prav. Zdaj pa skupaj preverimo rešitve učencev, ki delajo za tablo.

Učenci skupaj z učiteljem preverijo rešitev.

III . Učenje nove snovi

Učiteljica: Inverzna operacija iskanja protiodvoda za dano funkcijo se imenuje integracija (iz latinske besedeintegrare – obnoviti). Tabelo antiizpeljank za nekatere funkcije je mogoče sestaviti s pomočjo tabele izpeljank. Na primer vedeti, da, dobimo , iz česar sledi, da vse antiderivativne funkcije so zapisane v obrazcu, Kje C – poljubna konstanta.

Pisanje na tablo (v zvezke)

dobimo,

od koder sledi, da vse antiderivativne funkcije so zapisane v obrazcu, Kje C – poljubna konstanta.

Učiteljica: Odprite svoje učbenike na strani 290. Tukaj je tabela protiizpeljank. Predstavljen je tudi na diapozitivu. (diapozitiv 7)

Učiteljica: Pravila integracije lahko dobimo s pravili diferenciacije. Upoštevajte naslednja pravila integracije: letF ( x ) in G ( x ) – antiizpeljave funkcij ozf ( x ) in g ( x ) v nekem intervalu. Nato:

1) funkcija;

2) Funkcija je antiderivacija funkcije. (diapozitiv 8)

Pisanje na tablo (v zvezke)

1) Funkcija je antiderivacija funkcije ;

2) Funkcija je antiderivacija funkcije .

VI . Utrjevanje naučene snovi

Učiteljica: Preidimo na praktični del lekcije. Poiščite enega od protiodvodov funkcije Odločamo se na upravi.

Študent: Če želite najti antiizpeljavo te funkcije, morate uporabiti integracijsko pravilo: funkcija je antiderivacija funkcije .

Učiteljica: Tako je, kaj še morate vedeti, da najdete protiodvod dane funkcije?

Študent: Za funkcije bomo uporabili tudi tabelo praodvodov, pri str =2 in za je funkcija ;

2) Funkcija je antiderivacija funkcije .

Učiteljica: Vse je pravilno.

Domača naloga

§55, št. 988 (2, 4, 6), št. 989 (2, 4, 6, 8), št. 990 (2, 4, 6), št. 991 (2, 4, 6, 8) . (diapozitiv 9)

Izdelovanje oznak.

Učiteljica: Lekcije je konec. Lahko si svoboden.

Ta lekcija je prva v nizu videoposnetkov o integraciji. V njem bomo analizirali, kaj je protiodvod funkcije, in preučili tudi osnovne metode za izračun teh samih protiodvodov.

Pravzaprav tukaj ni nič zapletenega: v bistvu se vse spusti na koncept derivata, ki bi ga morali že poznati. :)

Takoj bom opozoril, da ker je to prva lekcija v naši novi temi, danes ne bo zapletenih izračunov in formul, toda to, kar se bomo danes naučili, bo osnova za veliko bolj zapletene izračune in konstrukcije pri izračunu zapletenih integralov in površin .

Poleg tega, ko začnemo študirati zlasti integracijo in integrale, implicitno predvidevamo, da je študent že vsaj seznanjen s koncepti odvodov in ima vsaj osnovne veščine njihovega računanja. Brez jasnega razumevanja tega v integraciji ni prav nič.

Vendar se tukaj skriva ena najpogostejših in zahrbtnih težav. Dejstvo je, da jih mnogi učenci, ko začnejo računati svoje prve protiodvode, zamenjujejo z odpeljankami. Posledično prihaja do neumnih in žaljivih napak pri izpitih in pri samostojnem delu.

Zato zdaj ne bom dal jasne definicije protiizpeljave. V zameno predlagam, da si ogledate, kako se izračuna na preprostem specifičnem primeru.

Kaj je antiderivat in kako se izračuna?

Poznamo to formulo:

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ta izpeljanka se preprosto izračuna:

\[(f)"\levo(x \desno)=((\levo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Pazljivo poglejmo nastali izraz in izrazimo $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\levo(((x)^(3)) \desno))^(\prime )))(3)\]

Lahko pa to zapišemo takole, glede na definicijo izpeljanke:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \desno))^(\prime ))\]

In zdaj pozor: pravkar smo zapisali definicijo protiizpeljave. Če pa ga želite pravilno napisati, morate napisati naslednje:

Na enak način zapišimo naslednji izraz:

Če posplošimo to pravilo, lahko izpeljemo naslednjo formulo:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Zdaj lahko oblikujemo jasno definicijo.

Antiodvod funkcije je funkcija, katere odvod je enak izvorni funkciji.

Vprašanja o funkciji antiderivacije

Zdi se dokaj preprosta in razumljiva definicija. Ko pa ga sliši, bo pozoren študent takoj imel več vprašanj:

Recimo, v redu, ta formula je pravilna. Toda v tem primeru, ko je $n=1$, imamo težave: v imenovalcu se pojavi »ničla« in ne moremo deliti z »ničlo«.
Formula je omejena samo na stopinje. Kako izračunati protiodvod, na primer sinusa, kosinusa in katere koli druge trigonometrije, pa tudi konstante.
Eksistencialno vprašanje: ali je vedno mogoče najti antiderivat? Če da, kaj je potem s protiodvodom vsote, razlike, produkta itd.?

Na zadnje vprašanje odgovorim takoj. Na žalost antiderivat, za razliko od derivata, ni vedno upoštevan. Ne obstaja univerzalna formula, s katero bi iz katerekoli začetne konstrukcije dobili funkcijo, ki bo enaka tej podobni konstrukciji. Kar zadeva moči in konstante, bomo o tem zdaj govorili.

Reševanje problemov s potenčnimi funkcijami

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kot lahko vidite, ta formula za $((x)^(-1))$ ne deluje. Postavlja se vprašanje: kaj potem deluje? Ali ne moremo prešteti $((x)^(-1))$? Seveda lahko. Najprej si zapomnimo tole:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Zdaj pa pomislimo: odvod katere funkcije je enak $\frac(1)(x)$. Očitno se bo vsak študent, ki je vsaj malo študiral to temo, spomnil, da je ta izraz enak odvodu naravnega logaritma:

\[((\levo(\ln x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Zato lahko z gotovostjo zapišemo naslednje:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\na \ln x\]

To formulo morate poznati, tako kot odvod potenčne funkcije.

Torej, kaj vemo do zdaj:

Za potenčno funkcijo - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Za konstanto - $=const\to \cdot x$
Poseben primer potenčne funkcije je $\frac(1)(x)\to \ln x$

In če začnemo množiti in deliti najpreprostejše funkcije, kako potem lahko izračunamo protiodvod produkta ali količnika. Žal analogije z izpeljanko produkta ali količnika tukaj ne delujejo. Standardne formule ni. Za nekatere primere obstajajo zapletene posebne formule - z njimi se bomo seznanili v prihodnjih video lekcijah.

Vendar ne pozabite: ni splošne formule, podobne formuli za izračun odvoda količnika in produkta.

Reševanje resničnih problemov

Naloga št. 1

Izračunajmo vsako potenčno funkcijo posebej:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Če se vrnemo k našemu izrazu, zapišemo splošno konstrukcijo:

Problem št. 2

Kot sem že rekel, prototipov del in podrobnosti »na piko« ne upoštevamo. Vendar pa lahko tukaj storite naslednje:

Ulomek smo razčlenili na vsoto dveh ulomkov.

Izračunajmo:

Dobra novica je, da lahko že s poznavanjem formul za izračun antiderivatov izračunate bolj zapletene strukture. Vendar pojdimo dlje in še malo razširimo naše znanje. Dejstvo je, da je veliko konstrukcij in izrazov, ki na prvi pogled nimajo nobene zveze z $((x)^(n))$, mogoče predstaviti kot potence z racionalnim eksponentom, in sicer:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Vse te tehnike je mogoče in je treba kombinirati. Izrazi moči so lahko

pomnožiti (stopinje dodati);
deliti (stopinje se odštejejo);
pomnožite s konstanto;
itd.

Reševanje potenčnih izrazov z racionalnim eksponentom

Primer #1

Izračunajmo vsak koren posebej:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Celotno našo konstrukcijo lahko zapišemo takole:

Primer št. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \desno))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Zato dobimo:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Če zberemo vse v en izraz, lahko zapišemo:

Primer št. 3

Za začetek omenimo, da smo $\sqrt(x)$ že izračunali:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Prepišimo:

Upam, da ne bom nikogar presenetil, če rečem, da so to, kar smo pravkar preučevali, le najpreprostejši izračuni antiizvodov, najbolj elementarne konstrukcije. Poglejmo zdaj malo bolj zapletene primere, v katerih se boste morali poleg tabelarnih protiodvodov spomniti tudi šolskega kurikuluma, in sicer skrajšanih formul za množenje.

Reševanje zahtevnejših primerov

Naloga št. 1

Spomnimo se formule za kvadrat razlike:

\[((\levo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Prepišimo našo funkcijo:

Zdaj moramo najti prototip takšne funkcije:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Sestavimo vse skupaj v skupno strukturo:

Problem št. 2

V tem primeru moramo diferencialno kocko razširiti. Spomnimo se:

\[((\levo(a-b \desno))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Ob upoštevanju tega dejstva lahko zapišemo takole:

Malo preoblikujemo našo funkcijo:

Štejemo kot vedno - za vsak termin posebej:

\[((x)^(-3))\do \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\do \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\do \ln x\]

Zapišimo nastalo konstrukcijo:

Problem št. 3

Na vrhu imamo kvadrat vsote, razširimo ga:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\levo(\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Zapišimo končno rešitev:

Zdaj pa pozor! Zelo pomembna stvar, ki je povezana z levjim deležem napak in nesporazumov. Dejstvo je, da do sedaj ob štetju protiodvodov s pomočjo odvodov in prinašanju transformacij nismo razmišljali, čemu je enak odvod konstante. Toda derivat konstante je enak "ničli". To pomeni, da lahko napišete naslednje možnosti:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

To je zelo pomembno razumeti: če je odvod funkcije vedno enak, potem ima ista funkcija neskončno število protiodvodov. Našim protiizpeljankam lahko preprosto dodamo poljubna konstantna števila in dobimo nove.

Ni naključje, da je v razlagi nalog, ki smo jih pravkar rešili, pisalo "Zapiši splošno obliko protiizpeljank." Tisti. Že vnaprej se domneva, da ni eden izmed njih, ampak cela množica. V bistvu pa se razlikujeta le po konstanti $C$ na koncu. Zato bomo pri svojih nalogah popravljali tisto, česar nismo dokončali.

Še enkrat prepišemo naše konstrukcije:

V takih primerih bi morali dodati, da je $C$ konstanta - $C=const$.

V naši drugi funkciji dobimo naslednjo konstrukcijo:

In še zadnja:

In zdaj smo res dobili, kar se od nas zahteva v prvotnem pogoju problema.

Reševanje problemov iskanja praodvodov z dano točko

Zdaj, ko poznamo konstante in posebnosti zapisovanja praizvodov, je povsem logično, da se pojavi naslednja vrsta problema, ko je treba iz množice vseh praizvodov najti enega in edinega, ki bi šel skozi dano točko. . Kakšna je ta naloga?

Dejstvo je, da se vsi protiodvodi določene funkcije razlikujejo le po tem, da so navpično premaknjeni za določeno število. In to pomeni, da ne glede na to, katero točko na koordinatni ravnini vzamemo, bo ena antiderivacija zagotovo prešla in poleg tega le ena.

Torej, težave, ki jih bomo zdaj rešili, so formulirane na naslednji način: ne le poiščite antiderivacijo, če poznate formulo prvotne funkcije, ampak izberite točno tisto, ki poteka skozi dano točko, katere koordinate bodo podane v problemu izjava.

Primer #1

Najprej preprosto preštejmo vsak izraz:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\v \frac(((x)^(4)))(4)\]

Zdaj te izraze nadomestimo v našo konstrukcijo:

Ta funkcija mora potekati skozi točko $M\left(-1;4 \desno)$. Kaj pomeni, da gre skozi točko? To pomeni, da če namesto $x$ povsod postavimo $-1$ in namesto $F\left(x \right)$ - $-4$, potem bi morali dobiti pravilno številsko enakost. Naredimo to:

Vidimo, da imamo enačbo za $C$, zato jo poskusimo rešiti:

Zapišimo rešitev, ki smo jo iskali:

Primer št. 2

Najprej je treba razkriti kvadrat razlike z uporabo skrajšane formule množenja:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Izvirna konstrukcija bo zapisana na naslednji način:

Zdaj poiščemo $C$: nadomestimo koordinate točke $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Izrazimo $C$:

Ostaja še prikaz končnega izraza:

Reševanje trigonometričnih problemov

Za zaključek tega, o čemer smo pravkar razpravljali, predlagam, da razmislimo o dveh kompleksnejših problemih, ki vključujeta trigonometrijo. V njih boste morali na enak način poiskati protiodvode za vse funkcije, nato pa iz tega niza izbrati edino, ki poteka skozi točko $M$ na koordinatni ravnini.

Če pogledam naprej, bi rad omenil, da je tehnika, ki jo bomo zdaj uporabili za iskanje protiodvodov trigonometričnih funkcij, pravzaprav univerzalna tehnika za samotestiranje.

Naloga št. 1

Spomnimo se naslednje formule:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na podlagi tega lahko zapišemo:

Nadomestimo koordinate točke $M$ v naš izraz:

\[-1=\besedilo(tg)\frac(\besedilo( )\!\!\pi\!\!\besedilo( ))(\besedilo(4))+C\]

Prepišimo izraz ob upoštevanju tega dejstva:

Problem št. 2

To bo malo težje. Zdaj boste videli zakaj.

Spomnimo se te formule:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Če se želite znebiti "minusa", morate storiti naslednje:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Tukaj je naš dizajn

Zamenjajmo koordinate točke $M$:

Skupaj zapišemo končno konstrukcijo:

To je vse, kar sem vam želel danes povedati. Učili smo se o samem pojmu praodvod, kako ga izračunamo iz elementarnih funkcij in kako poiščemo praodvod, ki poteka skozi določeno točko na koordinatni ravnini.

Upam, da vam bo ta lekcija vsaj malo pomagala razumeti to zapleteno temo. Vsekakor pa so nedoločeni in nedoločeni integrali skonstruirani na protiodvodih, zato jih je nujno treba izračunati. To je vse zame. Se vidiva!

Morda bi bilo koristno prebrati: