Matrike. Osnovne definicije in vrste matrik
Matrike. Vrste matrik. Operacije na matrikah in njihove lastnosti.
Determinanta matrike n-tega reda. N, Z, Q, R, C,
Matrika reda m*n je pravokotna tabela števil, ki vsebuje m vrstic in n stolpcev.
Matrična enakost:
Dve matriki se imenujeta enaki, če je število vrstic in stolpcev ene od njiju enako številu vrstic in stolpcev druge oz. elementi teh matrik so enaki.
Opomba: Elementi z enakimi indeksi se ujemajo.
Vrste matrik:
Kvadratna matrika: Za matriko pravimo, da je kvadratna, če je število vrstic enako številu stolpcev.
Pravokotna: Za matriko pravimo, da je pravokotna, če število vrstic ni enako številu stolpcev.
Vrstna matrika: matrika reda 1*n (m=1) ima obliko a11,a12,a13 in se imenuje vrstna matrika.
Matrični stolpec:………….
Diagonala: diagonala kvadratne matrike, ki poteka od zgornjega levega kota do spodnjega desnega kota, to je sestavljena iz elementov a11, a22 ...... - se imenuje glavna diagonala. (definicija: kvadratna matrika, katere vsi elementi so enaki nič, razen tistih, ki se nahajajo na glavni diagonali, se imenuje diagonalna matrika.
Identiteta: Diagonalna matrika se imenuje identiteta, če se vsi elementi nahajajo na glavni diagonali in so enaki 1.
Zgornji trikotnik: A=||aij|| se imenuje zgornja trikotna matrika, če je aij=0. Pod pogojem i>j.
Spodnji trikotnik: aij=0. jaz Nič: To je matrika, katere Els je 0. Operacije na matricah. 1. Prenos. 2. Množenje matrike s številom. 3. Matrični dodatek. 4. Matrično množenje. Osnovno delovanje sv-va na matrice. 1.A+B=B+A (komutativnost) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (asociativnost) 3.a(A+B)=aA+aB (distributivnost) 4.(a+b)A=aA+bA (razdelitev) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.) 6.AB≠BA (brez komunikacije) 7.A(BC)=(AB)C (asociativno) – izvedeno, če je def. Izvajajo se matrični izdelki. 8.A(B+C)=AB+AC (distribucija) (B+C)A=BA+CA (distribucijski) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Determinanta kvadratne matrike - definicija in njene lastnosti. Razčlenitev determinante v vrstice in stolpce. Metode za izračun determinant. Če ima matrika A vrstni red m>1, potem je determinanta te matrike število. Algebraični komplement Aij elementa aij matrike A je minor Mij, pomnožen s številom IZREK1: Determinanta matrike A je enaka vsoti zmnožkov vseh elementov poljubne vrstice (stolpca) in njihovih algebrskih komplementov. Osnovne lastnosti determinant. 1. Determinanta matrike se ne bo spremenila, ko jo transponiramo. 2. Pri permutaciji dveh vrstic (stolpcev) determinanta spremeni predznak, njena absolutna vrednost pa se ne spremeni. 3. Determinant matrike, ki ima dve enaki vrstici (stolpcu), je 0. 4. Pri množenju vrstice (stolpca) matrike s številom se njen determinant pomnoži s tem številom. 5. Če je ena od vrstic (stolpcev) matrike sestavljena iz 0, potem je determinanta te matrike 0. 6. Če so vsi elementi i-te vrstice (stolpca) matrike predstavljeni kot vsota dveh členov, potem lahko njeno determinanto predstavimo kot vsoto determinant dveh matrik. 7. Determinant se ne spremeni, če se elementi enega stolpca (vrstice) dodajo elementom drugega stolpca (vrstice) s predmnoženjem. za isto številko. 8. Vsota poljubnih elementov kateregakoli stolpca (vrstice) determinante k ustreznemu algebrskemu komplementu elementov drugega stolpca (vrstice) je 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Metode za izračun determinante: 1. Po definiciji ali izreku 1. 2. Zmanjšanje na trikotno obliko. Definicija in lastnosti inverzne matrike. Izračun inverzne matrike. Matrične enačbe. Definicija: Kvadratno matriko reda n imenujemo inverzna matrika A istega reda in jo označimo Da ima matrika A inverzno matriko, je nujno in zadostno, da je determinanta matrike A različna od 0. Lastnosti inverzne matrike: 1. Edinstvenost: za dano matriko A je njen inverz edinstven. 2. matrična determinanta 3. Operacija prevzema transpozicije in prevzema inverzne matrike. Matrične enačbe: Naj sta A in B dve kvadratni matriki istega reda. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Koncept linearne odvisnosti in neodvisnosti stolpcev matrike. Lastnosti linearne odvisnosti in linearne neodvisnosti sistema stebrov. Stolpci А1, А2…An se imenujejo linearno odvisni, če obstaja njihova netrivialna linearna kombinacija, ki je enaka 0. stolpcu. Stolpci А1, А2…An se imenujejo linearno neodvisni, če obstaja njihova netrivialna linearna kombinacija, ki je enaka 0. stolpcu. Linearna kombinacija se imenuje trivialna, če so vsi koeficienti С(l) enaki 0, sicer pa netrivialna. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2. Da bi bili stolpci linearno odvisni, je nujno in zadostno, da je nek stolpec linearna kombinacija drugih stolpcev. Naj bo 1 od stolpcev https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> linearna kombinacija drugih stolpcev. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> so linearno odvisni, potem so vsi stolpci linearno odvisni. 4. Če je sistem stolpcev linearno neodvisen, potem je tudi kateri koli njegov podsistem linearno neodvisen. (Vse, kar je povedano o stolpcih, velja tudi za vrstice). Matrix minori. Bazični minori. Matrični rang. Metoda obrobnih minorov za izračun ranga matrike. Redni minor matrike A je determinanta, katere elementi se nahajajo na presečišču k-vrstic in k-vrstic matrike A. Če so vsi minori reda k matrike A = 0, potem je tudi vsak minor reda k + 1 enak 0. Osnovni mol. Rang matrike A je vrstni red njenega baznega minora. Metoda mejnih manjših: - Izberemo neničelni element matrike A (če tak element ne obstaja, potem je rang A \u003d 0) Prejšnji minor 1. reda obrobimo z minorjem 2. reda. (Če ta minor ni enak 0, potem je rang >=2.) Če je rang tega minora =0, potem izbrani minor 1. reda obrobimo z drugimi minorji 2. reda. (Če so vsi minori 2. reda = 0, potem je rang matrike = 1). Matrični rang. Metode za iskanje ranga matrike. Rang matrike A je vrstni red njenega baznega minora. Metode izračuna: 1) Metoda obrobljanja minorjev: -Izberite neničelni element matrike A (če takega elementa ni, potem rang = 0) - Obrobite prejšnji minor 1. reda z minorjem 2. reda..gif" width= "40" višina="22" >r+1 Mr+1=0. 2) Priprava matrike v stopničasto obliko: ta metoda temelji na elementarnih transformacijah. Pri elementarnih transformacijah se rang matrike ne spremeni. Naslednje transformacije imenujemo elementarne transformacije: Permutacija dveh vrstic (stolpcev). Množenje vseh elementov nekega stolpca (vrstice) s številom, ki ni =0. Dodatek k vsem elementom določenega stolpca (vrstice) elementov drugega stolpca (vrstice), predhodno pomnoženih z istim številom. Bazični manjši izrek. Nujen in zadosten pogoj, da je determinanta enaka nič. Bazni minor matrike A je minor največjega k-tega reda, ki je različen od 0. Bazični manjši izrek: Osnovne vrstice (stolpci) so linearno neodvisne. Vsaka vrstica (stolpec) matrike A je linearna kombinacija osnovnih vrstic (stolpcev). Opombe: Vrstice in stolpce, v presečišču katerih je osnovni minor, imenujemo osnovne vrstice oziroma stolpci. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Nujni in zadostni pogoji, da je determinanta enaka nič: Da je determinanta n-tega reda = 0, je nujno in zadostno, da so njene vrstice (stolpci) linearno odvisne. Sistemi linearnih enačb, njihova klasifikacija in zapisne oblike. Cramerjevo pravilo. Razmislite o sistemu treh linearnih enačb s tremi neznankami: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} se imenuje determinanta sistema. Še tri determinante sestavimo takole: v determinanti D zaporedno zamenjamo 1, 2 in 3 stolpce s stolpcem prostih členov. https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} Dokaz. Torej, razmislite o sistemu treh enačb s tremi neznankami. 1. enačbo sistema pomnožimo z algebraičnim komplementom A11 elementa a11, 2. enačbo z A21 in 3. z A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} Razmislite o vsakem od oklepajev in desni strani te enačbe. Po izreku o razširitvi determinante glede na elemente 1. stolpca https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} Podobno se lahko pokaže, da in . Končno je to enostavno videti Tako dobimo enakost: . Zato,. Enakosti in izpeljemo podobno, od koder sledi trditev izreka. Sistemi linearnih enačb. Pogoj združljivosti za linearne enačbe. Kronecker-Capellijev izrek. Rešitev sistema algebrskih enačb je taka množica n števil C1,C2,C3……Cn, ki ob zamenjavi v prvotni sistem namesto x1,x2,x3…..xn spremeni vse enačbe sistem v identitete. Sistem linearnih algebrskih enačb se imenuje konsistenten, če ima vsaj eno rešitev. Zglobni sistem imenujemo določen, če ima enolično rešitev, in nedoločen, če ima neskončno veliko rešitev. Pogoji združljivosti sistemov linearnih algebrskih enačb. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn IZREK: Da je sistem m linearnih enačb z n neznankami konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang razširjene matrike enak rangu matrike A. Opomba: Ta izrek podaja samo merila za obstoj rešitve, ne nakazuje pa načina, kako najti rešitev. 10 vprašanje. Sistemi linearnih enačb. Bazična manjša metoda je splošna metoda za iskanje vseh rešitev sistemov linearnih enačb. A=a21 a22…..a2n Osnovna manjša metoda: Naj bo sistem konsistenten in RgA=RgA'=r. Naj bo osnovni minor naslikan v zgornjem levem kotu matrike A. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Opombe: Če je rang glavne matrike in obravnavane enak r=n, potem je v tem primeru dj=bj in ima sistem edinstveno rešitev. Homogeni sistemi linearnih enačb. Sistem linearnih algebrskih enačb se imenuje homogen, če so vsi njegovi prosti členi enaki nič. AX=0 je homogen sistem. AX = B je nehomogen sistem. Homogeni sistemi so vedno združljivi. X1 =x2 =..=xn =0 1. izrek. Homogeni sistemi imajo nehomogene rešitve, ko je rang sistemske matrike manjši od števila neznank. 2. izrek. Homogen sistem n-linearnih enačb z n-neznankami ima rešitev, ki ni nič, če je determinanta matrike A enaka nič. (detA=0) Lastnosti raztopin homogenih sistemov. Vsaka linearna kombinacija rešitve homogenega sistema je sama rešitev tega sistema. α1C1 +α2C2; α1 in α2 sta nekatera števila. A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, tj. k (A C1) = 0; (AC2) = 0 Za nehomogen sistem ta lastnost ne velja. Temeljni sistem odločanja. Izrek 3. Če je rang matričnega sistema enačbe z n-neznankami r, potem ima ta sistem n-r linearno neodvisnih rešitev. Bazični minor naj bo v zgornjem levem kotu. Če je r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Sistem n-r linearno neodvisnih rešitev homogenega sistema linearnih enačb z n-neznankami ranga r imenujemo temeljni sistem rešitev. Izrek 4. Vsaka rešitev sistema linearnih enačb je linearna kombinacija rešitve osnovnega sistema. С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r Če je r 12 vprašanje. Splošna rešitev nehomogenega sistema. Spanje (gen. neenotno) \u003d COO + SCH (zasebno) AX=B (heterogeni sistem); AX=0 (ASoo) + ASch = ASch = B, ker je (ASoo) = 0 Spanje \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid Gaussova metoda. To je metoda zaporednega izločanja neznank (spremenljivk) - sestoji iz dejstva, da se s pomočjo elementarnih transformacij izvorni sistem enačb reducira na enakovreden sistem stopenjske oblike, iz katerega se zaporedno najdejo vse druge spremenljivke. , začenši z zadnjimi spremenljivkami. Naj bo a≠0 (če temu ni tako, se to doseže s preureditvijo enačb). 1) izključimo spremenljivko x1 iz druge, tretje ... n-te enačbe, pomnožimo prvo enačbo z ustreznimi številkami in dodamo dobljene rezultate 2., 3. ... n-ti enačbi, potem dobimo: Dobimo sistem, enakovreden originalnemu. 2) izključite spremenljivko x2 3) izločimo spremenljivko x3 itd. Z nadaljevanjem postopka sekvenčnega izločanja spremenljivk x4;x5...xr-1 dobimo za (r-1)-ti korak. Število nič zadnjih n-r v enačbah pomeni, da je njihova leva stran videti takole: 0x1 +0x2+..+0xn Če vsaj eno od števil вr+1, вr+2… ni enako nič, potem je ustrezna enakost nekonsistentna in sistem (1) ni konsistenten. Tako je za vsak konsistenten sistem ta vr+1 … vm enak nič. Zadnjih n-r enačb v sistemu (1;r-1) so identitete in jih je mogoče prezreti. Možna sta dva primera: a) število enačb sistema (1; r-1) je enako številu neznank, tj. r \u003d n (v tem primeru ima sistem trikotno obliko). b)r Prehod iz sistema (1) v enakovredni sistem (1; r-1) imenujemo neposredni premik Gaussove metode. O iskanju spremenljivke iz sistema (1; r-1) - po obratnem poteku Gaussove metode. Gaussove transformacije se priročno izvajajo tako, da se ne izvajajo z enačbami, temveč z razširjeno matriko njihovih koeficientov. 13 vprašanje. podobne matrice. Upoštevali bomo samo kvadratne matrike reda n/ Matrika A naj bi bila podobna matriki B (A~B), če obstaja nesingularna matrika S, taka da je A=S-1BS. Lastnosti podobnih matrik. 1) Matrika A je podobna sama sebi. (A~A) Če je S=E, potem je EAE=E-1AE=A 2) Če je A~B, potem B~A Če je A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) Če je A~B in hkrati B~C, potem A~C Glede na to, da je A=S1-1BS1 in B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, kjer je S3 = S2S1 4) Determinante podobnih matrik so enake. Glede na to, da je A~B, je treba dokazati, da je detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (zmanjšaj) = detB. 5) Rangi podobnih matrik so enaki. Lastni vektorji in lastne vrednosti matrik. Število λ imenujemo lastna vrednost matrike A, če obstaja različen od nič vektor X (stolpec matrike), tako da je AX = λ X, vektor X imenujemo lastni vektor matrike A, množico vseh lastnih vrednosti pa se imenuje spekter matrike A. Lastnosti lastnih vektorjev. 1) Pri množenju lastnega vektorja s številom dobimo lastni vektor z enako lastno vrednostjo. AX \u003d λ X; Х≠0 α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X) 2) Lastni vektorji s parno različnimi lastnimi vrednostmi so linearno neodvisni λ1, λ2,.. λk. Naj sistem sestoji iz 1. vektorja, naredimo induktivni korak: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - pomnožimo z A. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Pomnožimo z λn+1 in odštejemo C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Potrebno je, da C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0 Cn+1 Xn+1 λn+1 =0 Karakteristična enačba. A-λE se imenuje značilna matrika za matriko A. Da bi bil neničelni vektor X lastni vektor matrike A, ki ustreza lastni vrednosti λ, mora biti rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (A - λE)X = 0 Sistem ima netrivialno rešitev, ko je det (A - XE) = 0 - to je značilna enačba. Izjava! Karakteristične enačbe podobnih matrik sovpadajo. det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ) Karakteristični polinom. det(A – λЕ) - funkcija glede na parameter λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Ta polinom se imenuje karakteristični polinom matrike A. Posledica: 1) Če sta matriki A~B, potem je vsota njunih diagonalnih elementov enaka. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Niz lastnih vrednosti podobnih matrik sovpada. Če so značilne enačbe matrik enake, potem niso nujno podobne. Za matriko A Za matriko B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Da je matrika A reda n diagonalizabilna, je potrebno, da obstajajo linearno neodvisni lastni vektorji matrike A. Posledica. Če so vse lastne vrednosti matrike A različne, jo je mogoče diagonalizirati. Algoritem za iskanje lastnih vektorjev in lastnih vrednosti. 1) sestavite značilno enačbo 2) poiščite korenine enačb 3) sestavite sistem enačb za določitev lastnega vektorja. λi (A-λi E)X = 0 4) najti temeljni sistem rešitev x1,x2..xn-r, kjer je r rang karakteristične matrike. r = Rg(A - λi E) 5) lastni vektor, lastne vrednosti λi so zapisane kot: X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, kjer C12 + C22 + ... C2n ≠0 6) preverimo, ali je matriko možno reducirati na diagonalno obliko. 7) poiščite Ag Ag = S-1AS S= 15 vprašanje. Osnova premice, ravnine, prostora. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Vektorski modul je enak nič, ko je ta vektor enak nič (│ō│=0) 4.Smerni vektor. Orth danega vektorja je vektor, ki ima isto smer kot dani vektor in ima modul enak ena. Enaki vektorji imajo enake orte. 5. Kot med dvema vektorjema. To je manjši del območja, omejen z dvema žarkoma, ki izhajata iz iste točke in sta usmerjena v isto smer kot dani vektorji. Seštevanje vektorjev. Množenje vektorja s številom. 1) Seštevanje dveh vektorjev https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Množenje vektorja s skalarjem. Produkt vektorja in skalarja je nov vektor, ki ima: a) = zmnožek modula pomnoženega vektorja z absolutno vrednostjo skalarja. b) smer je enaka pomnoženemu vektorju, če je skalar pozitiven, in nasprotna, če je skalar negativen. λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Lastnosti linearnih operacij na vektorjih. 1. Zakon skupnosti. 2. Zakon asociativnosti. 3. Seštevanje z ničlo. a(vektor)+ō= a(vektor) 4. Seštevanje z nasprotjem. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7 Zakon distribucije. Izraz vektorja z njegovim modulom in enotskim vektorjem. Največje število linearno neodvisnih vektorjev imenujemo baza. Osnova na premici je vsak neničelni vektor. Osnova na ravnini sta katera koli dva nekalenarna vektorja. Baza v prostoru je sistem poljubnih treh nekoplanarnih vektorjev. Koeficient raztezanja vektorja v neki bazi imenujemo komponente ali koordinate vektorja v dani bazi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> izvede seštevanje in množenje s skalarjem, nato kot rezultat poljubnega števila takih dejanj, ki jih dobimo: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> se imenujejo linearno odvisni, če obstaja njihova netrivialna linearna kombinacija, ki je enaka ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> se imenujejo linearno neodvisni, če ne obstaja nobena njihova netrivialna linearna kombinacija. Lastnosti linearno odvisnih in neodvisnih vektorjev: 1) sistem vektorjev, ki vsebuje ničelni vektor, je linearno odvisen. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> so linearno odvisni, mora biti nek vektor linearna kombinacija drugih vektorjev. 3) če so nekateri vektorji iz sistema a1 (vektor), a2 (vektor) ... ak (vektor) linearno odvisni, potem so vsi vektorji linearno odvisni. 4) če so vsi vektorji https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Linearne operacije v koordinatah. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Lastnosti pikčastega izdelka: 1. Komutativnost 3. (a;b)=0, če in samo če sta vektorja pravokotna ali je kateri koli od vektorjev enak 0. 4. Distributivnost (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Izraz skalarnega produkta a in b z njunima koordinatama https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Ko je izpolnjen pogoj (), h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> in pokličemo tretji vektor, ki izpolnjuje naslednje enačbe: 3. - prav Lastnosti vektorskega izdelka: 4. Vektorski produkt koordinatnih vektorjev ortonormirana osnova. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Pogosto se za označevanje ortov ortonormirane baze uporabljajo 3 simboli https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Če je ortonormirana osnova, potem https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- enačba neposredne vzporedne osi OX 2) - enačba ravne črte, vzporedne z osjo OS 2. Medsebojna razporeditev 2 ravnih črt. Izrek 1. Naj so enačbe premic podane glede na afini koordinatni sistem A) Potem je nujen in zadosten pogoj, ko se sekata: B) Potem je nujen in zadosten pogoj za to, da sta premici vzporedni pogoj: B) Potem je nujen in zadosten pogoj, da se vrstici združita v eno, pogoj: 3. Razdalja od točke do premice. Izrek. Razdalja od točke do premice glede na kartezični koordinatni sistem: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Kot med dvema premicama. Pravokotno stanje. Naj sta 2 premici podani glede na kartezični koordinatni sistem s splošnimi enačbami. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Če , potem sta črti pravokotni. 24 vprašanje. letalo v vesolju. Pogoj komplonarnosti za vektor in ravnino. Razdalja od točke do ravnine. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnin. 1. Pogoj komplonarnosti za vektor in ravnino. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Untitled4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Untitled5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Kot med 2 ravninama. Pravokotno stanje. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Če , potem sta ravnini pravokotni. 25 vprašanje. Ravna črta v prostoru. Različne vrste enačb premice v prostoru. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Vektorska enačba premice v prostoru. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Kanonična enačba je direktna. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Brez naslova3.jpg" width="56" height="51">!} Problemi linearne algebre. Koncept matrike. Vrste matrik. Operacije z matricami. Reševanje problemov transformacije matrik. Pri reševanju različnih matematičnih problemov se moramo pogosto soočiti s tabelami števil, imenovanimi matrike. S pomočjo matrik je priročno reševati sisteme linearnih enačb, izvajati številne operacije z vektorji, reševati različne probleme računalniške grafike in druge inženirske naloge. Matrica se imenuje
pravokotna tabela števil, ki vsebuje število mčrte in nekaj p stolpce. Številke T in p se imenujejo matrični ukazi. če T = P, matriko imenujemo kvadrat, število pa m = n- njeno naročilo. V nadaljevanju bodo za pisanje matrik uporabljeni dvojni pomišljaji ali oklepaji: oz Za kratko oznako matrike bo pogosto uporabljena ena velika latinična črka (na primer A) ali simbol || a ij || in včasih z razlago: A = || a ij || = (aij), Kje (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n). Številke aij, ki so del te matrike, se imenujejo njeni elementi. V snemanju aij prvo kazalo і
pomeni številko vrstice in drugi indeks j- številka stolpca. V primeru kvadratne matrike uvedeni so pojmi glavne in stranske diagonale. Glavna diagonala matrike (1.1) je diagonala od 11 do 12 …
ann od zgornjega levega kota te matrike do spodnjega desnega kota. Stranska diagonala iste matrike se imenuje diagonala a n 1 a (n -1) 2…
a 1 n , od spodnjega levega kota do zgornjega desnega kota. Osnovne operacije na matrikah in njihove lastnosti. Preidimo k definiciji osnovnih operacij na matrikah. Dodatek matrike. Vsota dveh matrik A = || a ij || , Kje in B = || b ij || , Kje (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) ista naročila T in p se imenuje matrika C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) ista naročila T in P, elementi z ij ki jih določa formula ,
Kje (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.2) Za označevanje vsote dveh matrik uporabljamo zapis C \u003d A + B. Operacija sestavljanja vsote matrik se imenuje njihovo seštevanje. Torej, po definiciji: Iz definicije vsote matrik, oziroma iz formul (1.2), neposredno sledi, da ima operacija seštevanja matrik enake lastnosti kot operacija seštevanja realnih števil, in sicer: 1) komutativna lastnost: A + B = B + A, 2) lastnost kombinacije: ( A + B) + C = A + (B + C). Te lastnosti omogočajo, da pri seštevanju dveh ali več matrik ni vseeno za vrstni red členov matrik. Množenje matrike s številom. Produkt matrike A = || a ij || , kjer je (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) z realnim številom l, se imenuje matrika C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), katerega elementi so določeni s formulo: ,
Kje (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.3) Za označevanje produkta matrike s številom se uporablja zapis C \u003d l A oz C \u003d A l. Operacija sestavljanja produkta matrike s številom se imenuje množenje matrike s tem številom. Iz formule (1.3) je razvidno, da ima množenje matrike s številom naslednje lastnosti: 1) asociativna lastnost glede na numerični faktor: (l m) A = l (m A); 2) porazdelitvena lastnost glede na vsoto matrik: l (A + B) = l A + l B; 3) razdelilna lastnost glede na vsoto števil: (l + m) A = l A + m A Komentiraj. Razlika dveh matrik A in IN ista naročila T in p naravno je tako matriko imenovati Z ista naročila T in P, ki skupaj z matriko B daje matriko A. Naravni zapis se uporablja za označevanje razlike dveh matrik: C \u003d A - B. To razliko je zelo enostavno preveriti Z dve matriki A in IN je mogoče dobiti po pravilu C \u003d A + (-1) B. Izdelek matrik oz matrično množenje. Izdelek Matrix A = || a ij || , kjer je (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) z naročili, ki so enaka T in n, v matrico B = || b ij || , Kje (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), z enakimi naročili n in R, imenovana matrika C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), ki ima naročila enaka T in R katere elemente določa formula: Za označevanje produkta matrike A v matrico IN uporabite zapis C = A × B. Delovanje matričnega izdelka A v matrico IN imenujemo množenje teh matrik. Iz zgornje definicije izhaja, da matrike A ni mogoče pomnožiti z nobeno matriko B, potrebno je, da število stolpcev matrike A je bilo enako številu vrstic matrike IN. Formula (1.4) je pravilo za sestavljanje elementov matrike C, ki je produkt matrike A v matrico IN. To pravilo je mogoče oblikovati tudi ustno: element c i j, ki stoji na presečišču i-te vrstice in j-tega stolpca matrike C = A B, je enak vsoti parnih produktov ustreznih elementov i-te vrstice matrike A in j-ti stolpec matrike B. Kot primer uporabe tega pravila predstavljamo formulo za množenje kvadratnih matrik drugega reda. × = Formula (1.4) implicira naslednje lastnosti matričnega produkta A na matrici IN: 1) asociativna lastnost: (A B) C = A (B C); 2) porazdelitvena lastnost glede na vsoto matrik: (A + B) C = A C + B C ali A (B + C) = A B + A C. Vprašanje permutacijske (komutativne) lastnosti produkta matrike A v matrico IN smiselno je nastaviti samo za kvadratne matrike A in B enak vrstni red. Predstavljamo pomembne posebne primere matrik, za katere velja tudi lastnost permutacije. Dve matriki, za produkt katerih je veljavna permutacijska lastnost, običajno imenujemo komuting. Med kvadratnimi matrikami izpostavljamo razred tako imenovanih diagonalnih matrik, od katerih ima vsaka elemente zunaj glavne diagonale enake nič. Vsaka diagonalna matrika reda p ima obliko D= Kje d1, d2,…
,dn- poljubno število. Preprosto je videti, da če so vsa ta števila med seboj enaka, tj. d1=d2=… =
d n potem za poljubno kvadratno matriko A naročilo p poštena enakost A D = D A. Med vsemi diagonalnimi matrikami (1.5) s sovpadajočimi vnosi d1=d2=… =
d n = = d posebno pomembno vlogo imata dve matriki. Prvo od teh matrik dobimo z d=1 se imenuje identitetna matrika n E. Druga matrika je pridobljena z d=0, se imenuje ničelna matrika n vrstnem redu in je označen s simbolom Oh torej E= Na podlagi zgoraj dokazanega A E = E A in A O = O A. Poleg tega je to enostavno pokazati A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6) Prva od formul (1.6) označuje posebno vlogo identitetne matrike E, podobno vlogi, ki jo ima število 1 pri množenju realnih števil. Kar zadeva posebno vlogo ničelne matrike O, potem je razkriva ne samo druga od formul (1.7), temveč tudi elementarno preverljiva enakost A + 0 = 0 + A = A. Na koncu omenimo, da lahko koncept ničelne matrike uvedemo tudi za nekvadratne matrike (ničla se imenuje kaj matrika, katere vsi elementi so enaki nič). Blokovne matrike Recimo nekaj matrike A = || a ij || z vodoravnimi in navpičnimi črtami je razdeljen na ločene pravokotne celice, od katerih je vsaka matrika manjših velikosti in se imenuje blok izvirne matrike. V tem primeru postane mogoče upoštevati izvirno matriko A kot neko novo (t.i. blok) matriko A = || A a b ||, katerega elementi so navedeni bloki. Te elemente označujemo z veliko latinično črko, da poudarimo, da gre na splošno za matrike, ne za številke, in (kot običajni numerični elementi) dodamo dva indeksa, od katerih prvi označuje številko "blok" vrstice in drugi - številka vrstice "blok". » stolpec. Na primer matrica lahko gledamo kot blokovno matriko katerega elementi so naslednji bloki: Zanimivo je dejstvo, da se osnovne operacije z bločnimi matrikami izvajajo po enakih pravilih, po katerih se izvajajo z običajnimi numeričnimi matrikami, le bloki delujejo kot elementi. Koncept determinante. Razmislite o poljubni kvadratni matriki poljubnega reda P: A= Vsaki takšni matriki pripišemo točno določeno numerično karakteristiko, ki jo imenujemo determinanta, ki ustreza tej matriki. Če naročite n matrika (1.7) enaka ena, potem je ta matrika sestavljena iz enega elementa a i j determinanta prvega reda, ki ustreza takšni matriki, bomo imenovali vrednost tega elementa. potem je determinanta drugega reda, ki ustreza takšni matriki, število, ki je enako a 11 a 22 - a 12 a 21 in označen z enim od simbolov: Torej po definiciji Formula (1.9) je pravilo za sestavljanje determinante drugega reda iz elementov matrike, ki ji ustreza. Besedna formulacija tega pravila je naslednja: determinanta drugega reda, ki ustreza matriki (1.8), je enaka razliki med zmnožkom elementov na glavni diagonali te matrike in zmnožkom elementov na njeni sekundarni diagonali. Determinante drugega in višjega reda se pogosto uporabljajo pri reševanju sistemov linearnih enačb. Poglejmo, kako deluje operacije z matrikami v sistemu MathCad
. Najenostavnejše operacije matrične algebre so v MathCadu implementirane kot operatorji. Pisanje operatorjev po pomenu je čim bližje njihovemu matematičnemu delovanju. Vsak operator je izražen z ustreznim simbolom. Razmislite o matričnih in vektorskih operacijah MathCad 2001. Vektorji so poseben primer matrik dimenzij n x 1, zato zanje veljajo vse enake operacije kot za matrike, razen če so posebej določene omejitve (npr. nekatere operacije veljajo samo za kvadratne matrike n x n). Nekatera dejanja veljajo le za vektorje (na primer skalarni produkt), nekatera pa kljub istemu črkovanju delujejo drugače na vektorje in matrike. q Po pritisku na tipko OK se odpre polje za vnos elementov matrike. Za vnos elementa matrike postavite kazalec na označeno mesto in s tipkovnice vnesite številko ali izraz. Če želite izvesti katero koli operacijo z orodno vrstico, morate: q izberite matriko in kliknite operacijski gumb na plošči, q ali kliknite na gumb v panelu in na označeno mesto vnesite ime matrike. Meni "Simboli" vsebuje tri operacije - transpose, invert, determinanta. To na primer pomeni, da lahko izračunate matrično determinanto z izvedbo ukaza Simboli/Matrike/Determinanta. Številka prve vrstice (in prvega stolpca) matrike MathCAD je shranjena v spremenljivki ORIGIN. Privzeto je odštevanje od nič. V matematičnem zapisu je bolj običajno štetje od 1. Da bi MathCAD štel številke vrstic in stolpcev od 1, morate nastaviti spremenljivko ORIGIN:=1. Funkcije, namenjene delu s problemi linearne algebre, so zbrane v razdelku »Vektorji in matrike« v pogovornem oknu »Vstavi funkcijo« (spomnimo vas, da ga pokliče gumb na plošči »Standardno«). Glavne od teh funkcij bodo opisane kasneje. prenos Podobne informacije. Ta tema bo zajemala operacije, kot so seštevanje in odštevanje matrik, množenje matrike s številom, množenje matrike z matriko, transpozicija matrike. Vsi simboli, uporabljeni na tej strani, so vzeti iz prejšnje teme. Vsota $A+B$ matrik $A_(m\times n)=(a_(ij))$ in $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrika $C_(m \times n) =(c_(ij))$, kjer je $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ za vse $i=\overline(1,m)$ in $j=\overline( 1,n) $. Podobna definicija je uvedena za razliko matrik: Razlika $A-B$ matrik $A_(m\times n)=(a_(ij))$ in $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrika $C_(m\times n)=( c_(ij))$, kjer je $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ za vse $i=\overline(1,m)$ in $j=\overline(1, n)$. Razlaga za vnos $i=\overline(1,m)$: pokaži\skrij Vnos "$i=\overline(1,m)$" pomeni, da se parameter $i$ spremeni iz 1 v m. Na primer, vnos $i=\overline(1,5)$ pravi, da ima parameter $i$ vrednosti 1, 2, 3, 4, 5. Omeniti velja, da sta operaciji seštevanja in odštevanja definirani samo za matrike enake velikosti. Na splošno sta seštevanje in odštevanje matrik intuitivno jasni operaciji, saj dejansko pomenita samo seštevanje ali odštevanje ustreznih elementov. Primer #1 Podane so tri matrike: $$ A=\levo(\začetek(matrika) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(matrika) \desno)\;\; B=\levo(\začetek(matrika) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(matrika) \desno); \;\; F=\levo(\begin(matrika) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(matrika) \desno). $$ Ali je mogoče najti matriko $A+F$? Poišči matriki $C$ in $D$, če je $C=A+B$ in $D=A-B$. Matrika $A$ vsebuje 2 vrstici in 3 stolpce (z drugimi besedami, velikost matrike $A$ je $2\krat 3$), matrika $F$ pa vsebuje 2 vrstici in 2 stolpca. Dimenziji matrik $A$ in $F$ se ne ujemata, zato ju ne moremo seštevati, tj. operacija $A+F$ za te matrike ni definirana. Velikosti matrik $A$ in $B$ sta enaki, tj. matrični podatki vsebujejo enako število vrstic in stolpcev, zato je zanje uporabna operacija seštevanja. $$ C=A+B=\levo(\begin(matrika) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(matrika) \desno)+ \levo(\begin(matrika) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(matrika) \desno)=\\= \levo(\začetek(matrika) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(matrika) \desno)= \levo(\začetek(matrika) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$ Poiščite matriko $D=A-B$: $$ D=A-B=\levo(\začetek(matrika) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(matrika) \desno)- \levo(\začetek(matrika) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(matrika) \desno)=\\= \levo(\začetek(matrika) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(matrika) \desno)= \levo(\začetek(matrika) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(matrika) \desno) $$ Odgovori: $C=\levo(\begin(matrika) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(matrika) \desno)$, $D=\levo(\begin(matrika) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(matrika) \desno)$. Produkt matrike $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ in števila $\alpha$ je matrika $B_(m\krat n)=(b_(ij))$, kjer je $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ za vse $i=\overline(1,m)$ in $j=\overline(1,n)$. Preprosto povedano, pomnožiti matriko z nekim številom pomeni pomnožiti vsak element dane matrike s tem številom. Primer #2 Podana je matrika: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Poiščite matrike $3\cdot A$, $-5\cdot A$ in $-A$. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matrika) \desno) =\left(\begin( polje) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(matrika) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(matrika) \desno).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrika) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matrika) \desno) =\levo(\začetek(matrika) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(matrika) \desno)= \left(\begin(matrika) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(matrika) \desno). $$ Zapis $-A$ je okrajšava za $-1\cdot A$. Če želite najti $-A$, morate vse elemente matrike $A$ pomnožiti z (-1). Dejansko to pomeni, da se bo predznak vseh elementov matrike $A$ spremenil v nasprotno: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matrika) \desno)= \ levo (\začetek(matrika) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(matrika) \desno) $$ Odgovori: $3\cdot A=\levo(\begin(matrika) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(matrika) \desno);\; -5\cdot A=\levo(\begin(matrika) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(matrika) \desno);\; -A=\levo(\begin(matrika) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(matrika) \desno)$. Definicija te operacije je okorna in na prvi pogled nerazumljiva. Zato bom najprej navedel splošno definicijo, nato pa bomo podrobno analizirali, kaj pomeni in kako delati z njo. Produkt matrike $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ in matrike $B_(n\krat k)=(b_(ij))$ je matrika $C_(m\krat k )=(c_( ij))$, pri čemer je vsak element $c_(ij)$ enak vsoti produktov ustreznih elementov i-te vrstice matrike $A$ in elementov matrike $A$. j-ti stolpec matrike $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$ Korak za korakom bomo na primeru analizirali množenje matrik. Vendar morate takoj opozoriti, da vseh matrik ni mogoče pomnožiti. Če želimo matriko $A$ pomnožiti z matriko $B$, se moramo najprej prepričati, da je število stolpcev matrike $A$ enako številu vrstic matrike $B$ (take matrike pogosto imenujemo dogovorjeno). Na primer, matrike $A_(5\krat 4)$ (matrika vsebuje 5 vrstic in 4 stolpce) ni mogoče pomnožiti z matriko $F_(9\krat 8)$ (9 vrstic in 8 stolpcev), saj je število stolpcev v matrika $A $ ni enaka številu vrstic matrike $F$, tj. 4 $\neq 9 $. Možno pa je pomnožiti matriko $A_(5\krat 4)$ z matriko $B_(4\krat 9)$, saj je število stolpcev matrike $A$ enako številu vrstic matrike $A$. matriko $B$. V tem primeru je rezultat množenja matrik $A_(5\times 4)$ in $B_(4\times 9)$ matrika $C_(5\times 9)$, ki vsebuje 5 vrstic in 9 stolpcev: Primer #3 Dane matrike: $ A=\levo(\begin(matrika) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrika) \right)$ in $ B=\levo(\begin(matrika) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(matrika) \desno) $. Poiščite matriko $C=A\cdot B$. Za začetek takoj določimo velikost matrike $C$. Ker ima matrika $A$ velikost $3\krat 4$ in matrika $B$ velikost $4\krat 2$, je velikost matrike $C$ $3\krat 2$: Kot rezultat produkta matrik $A$ in $B$ bi torej morali dobiti matriko $C$, sestavljeno iz treh vrstic in dveh stolpcev: $C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(matrika) \desno)$. Če poimenovanja elementov sprožajo vprašanja, si lahko ogledate prejšnjo temo: "Matrike. Vrste matrik. Osnovni izrazi", na začetku katere je razloženo poimenovanje elementov matrike. Naš cilj je najti vrednosti vseh elementov matrike $C$. Začnimo z elementom $c_(11)$. Da bi dobili element $c_(11)$, morate najti vsoto produktov elementov prve vrstice matrike $A$ in prvega stolpca matrike $B$: Da bi našli sam element $c_(11)$, morate elemente prve vrstice matrike $A$ pomnožiti z ustreznimi elementi prvega stolpca matrike $B$, tj. prvi element prvemu, drugi drugemu, tretji tretjemu, četrti četrtemu. Povzemamo dobljene rezultate: $$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$ Nadaljujmo z rešitvijo in poiščimo $c_(12)$. Če želite to narediti, morate pomnožiti elemente prve vrstice matrike $A$ in drugega stolpca matrike $B$: Podobno kot prejšnji imamo: $$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$ Najdeni so vsi elementi prve vrstice matrike $C$. Preidemo v drugo vrstico, ki se začne z elementom $c_(21)$. Če ga želite najti, morate pomnožiti elemente druge vrstice matrike $A$ in prvega stolpca matrike $B$: $$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$ Naslednji element $c_(22)$ dobimo tako, da pomnožimo elemente druge vrstice matrike $A$ z ustreznimi elementi drugega stolpca matrike $B$: $$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$ Da bi našli $c_(31)$, pomnožimo elemente tretje vrstice matrike $A$ z elementi prvega stolpca matrike $B$: $$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$ In končno, da bi našli element $c_(32)$, morate elemente tretje vrstice matrike $A$ pomnožiti z ustreznimi elementi drugega stolpca matrike $B$: $$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$ Vsi elementi matrike $C$ so najdeni, ostane nam samo zapisati, da je $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \desno)$ . Ali če napišem v celoti: $$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(matrika) \desno)\cdot \left(\begin(matrika) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(matrika) \desno) =\left(\begin(matrika) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(matrika) \desno). $$ Odgovori: $C=\levo(\begin(matrika) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(matrika) \desno)$. Mimogrede, pogosto ni razloga, da bi podrobno opisali lokacijo vsakega elementa matrike rezultatov. Za matrice, katerih velikost je majhna, lahko naredite naslednje: $$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(matrika) \desno) =\levo (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$ Omeniti velja tudi, da je matrično množenje nekomutativno. To pomeni, da na splošno $A\cdot B\neq B\cdot A$. Samo za nekatere vrste matrik, ki se imenujejo permutacijski(ali prevoz na delo), enakost $A\cdot B=B\cdot A$ velja. Na podlagi nekomutativnosti množenja je treba natančno navesti, kako množimo izraz z eno ali drugo matriko: na desni ali na levi. Na primer, stavek "pomnoži obe strani enakosti $3E-F=Y$ z matriko $A$ na desni" pomeni, da želite dobiti naslednjo enakost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$. Transponirana glede na matriko $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ je matrika $A_(n\krat m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, za elemente, kjer je $a_(ij)^(T)=a_(ji)$. Preprosto povedano, da bi dobili transponirano matriko $A^T$, morate zamenjati stolpce v izvirni matriki $A$ z ustreznimi vrsticami po tem principu: bila je prva vrstica - prvi stolpec bo postal; bila je druga vrstica - postal bo drugi stolpec; bila je tretja vrstica - bo tretji stolpec in tako naprej. Na primer, poiščimo transponirano matriko v matriko $A_(3\krat 5)$: Skladno s tem, če je imela prvotna matrika velikost $3\krat 5$, potem ima transponirana matrika velikost $5\krat 3$. Tu se predpostavlja, da so $\alpha$, $\beta$ nekatera števila, $A$, $B$, $C$ pa matrike. Za prve štiri lastnosti sem navedel imena, ostale lahko poimenujemo po analogiji s prvimi štirimi. Predavanje 1. “Matrike in osnovne akcije na njih. Determinante
Opredelitev.
Matrix velikost m
n, Kje m- število vrstic, n- število stolpcev, imenovano tabela številk, urejenih v določenem vrstnem redu. Te številke imenujemo matrični elementi. Mesto vsakega elementa je enolično določeno s številko vrstice in stolpca, na presečišču katerih se nahaja. Elementi matrike so označenia ij, Kje jaz je številka vrstice in j- številka stolpca. A = Osnovne operacije na matricah.
Matrika ima lahko eno vrstico ali en stolpec. Na splošno je lahko matrika celo sestavljena iz enega elementa. Opredelitev.
Če je število stolpcev matrike enako številu vrstic (m=n), se matrika imenuje kvadrat.
Opredelitev.
Ogled matrike: klical identitetna matrika.
Opredelitev.
če a
mn
=
a
nm
, potem se pokliče matrika simetrično.
Primer. Opredelitev.
Matrica kvadratnega pogleda Seštevanje in odštevanje matrik reducira na ustrezne operacije na njihovih elementih. Najpomembnejša lastnost teh operacij je, da jih definirana samo za matrike enake velikosti. Tako je mogoče definirati operaciji seštevanja in odštevanja matrik: Opredelitev.
Vsota (razlika) matrike je matrika, katere elementi so vsota (razlika) elementov izvirnih matrik. cij = aij
b ij C \u003d A + B \u003d B + A. Delovanje množenje (deljenje) matriko katere koli velikosti s poljubnim številom zmanjšamo na množenje (deljenje) vsakega elementa matrike s tem številom. (A + B) \u003d A B A ( ) \u003d A A Primer. Dani matriki A = 2A = Operacija množenja matrik.
definicija:
delo matrike se imenuje matrika, katere elemente je mogoče izračunati po naslednjih formulah: A
B =
C;
Iz zgornje definicije je razvidno, da je operacija množenja matrik definirana samo za matrike, število stolpcev prvega je enako številu vrstic drugega.
Lastnosti operacije množenja matrik.
1) Matrično množenjeni komutativno
, tj. AB VA, tudi če sta definirana oba izdelka. Če pa je za katero koli matriko izpolnjeno razmerje AB = BA, se takšne matrike imenujejopremenljiv.
Najbolj značilen primer je
matriko, ki permutira s katero koli drugo matriko enake velikosti. Samo kvadratne matrike istega reda so lahko permutabilne. Očitno velja naslednja lastnost za vse matrike: A
O =
O;
O
A =
O,
kjer O - nič matrica. 2) Operacija matričnega množenja asociativno tiste. če sta produkta AB in (AB)C definirana, potem sta BC in A(BC) definirana in velja enakost: (AB)C=A(BC). 3) Operacija matričnega množenja razdelilni glede na dodajanje, tj. če sta izraza A (B + C) in (A + B) C smiselna, potem: (A + B) C = AC + BC. 4) Če je produkt AB definiran, potem za poljubno število
pravilno razmerje: (AB) = (
A)
B =
A(
B).
5) Če je produkt AB definiran, potem je produkt B T A T definiran in je izpolnjena enakost: (AB) T = B T A T, kjer je indeks T označuje prestavljeno matrica. 6) Upoštevajte tudi, da je za poljubne kvadratne matrike det (AB) = detA detB. Kaj se je zgodilo o tem bomo razpravljali v nadaljevanju. Opredelitev
.
Matrika B se imenuje prestavljeno matriko A in prehod iz A v B prenos, če so elementi vsake vrstice matrike A zapisani v enakem vrstnem redu v stolpcih matrike B. A = z drugimi besedami, b ji = a ij. Kot posledico prejšnje lastnosti (5) lahko zapišemo, da: (ABC ) T = C T B T A T , pod pogojem, da je definiran matrični produkt ABC. Primer.
Dani matriki A = A T =
C =
Primer. Poiščite produkt matrik A = in B = AB = VA = Primer. Poiščite produkt matrik A= AB = Determinante(determinante). Opredelitev.
determinanta kvadratna matrika A= det A = M 1 do je determinanta matrike, dobljena iz izvirne z izbrisom prve vrstice in k-tega stolpca. Upoštevati je treba, da imajo determinante le kvadratne matrike, tj. matrike, ki imajo enako število vrstic kot število stolpcev. F det A = Na splošno lahko determinanto izračunamo iz katere koli vrstice ali stolpca matrike, tj. pravilna formula je: detA= Očitno imajo lahko različne matrike enake determinante. Identitetna matrika ima determinanto 1. Za določeno matriko A se imenuje število M 1k dodatni mladoletnik matrični element a 1 k . Tako lahko sklepamo, da ima vsak element matrike svoj dodatni minor. Ekstra minori obstajajo le v kvadratnih matricah. Opredelitev.
Dodatni manjše poljubnega elementa kvadratne matrike a ij je enaka determinanti matrike, ki jo dobimo iz prvotne z brisanjem i -te vrstice in j -tega stolpca. Lastnina1.
Pomembna lastnost determinant je naslednja relacija: det A = det A T ; Lastnina
2.
det (A
B) = detA
det B. Nepremičnina 3.
det (AB) =
detA
detB Lastnina 4.
Če v kvadratni matriki zamenjamo katerikoli dve vrstici (ali stolpcu), bo determinanta matrike spremenila predznak, ne da bi se spremenila absolutna vrednost. Lastnina 5.
Ko se stolpec (ali vrstica) matrike pomnoži s številom, se njegova determinanta pomnoži s tem številom. Lastnina 6.
Če so vrstice ali stolpci matrike A linearno odvisni, potem je njena determinanta nič. definicija:
Imenujejo se stolpci (vrstice) matrike linearno odvisen, če obstaja njihova linearna kombinacija enaka nič, ki ima netrivialne (ni enake nič) rešitve. Lastnina 7.
Če matrika vsebuje ničelni stolpec ali ničelno vrstico, je njena determinanta enaka nič. (Ta izjava je očitna, saj je determinanto mogoče natančno izračunati z ničelno vrstico ali stolpcem.) lastnina 8.
Determinanta matrike se ne bo spremenila, če elemente druge vrstice (stolpca) dodamo (odštejemo) elementom ene od njenih vrstic (stolpcev), pomnoženih z nekim neničelnim številom. Lastnina 9.
Če je razmerje resnično za elemente katere koli vrstice ali stolpca matrike:d
=
d
1
d
2
,
e
=
e
1
e
2
,
f
= det(AB).
1. metoda: det A \u003d 4 - 6 \u003d -2; det B = 15 – 2 = 13; det(AB) = det A det B = -26. 2. način: AB =
– 152 = -26.
Matrike, osnovni pojmi. Matrika je pravokotna tabela A, sestavljena iz elementov nekega niza in sestavljena iz m vrstic in n stolpcev. Kvadratna matrika - kjer je m=n. Vrstica (vektorska vrstica) - matrika je sestavljena iz ene vrstice. Stolpec (vektor stolpca) - matriko sestavlja en stolpec. Transponirana matrika – matrika, pridobljena iz matrike A z zamenjavo vrstic s stolpci. Diagonalna matrika je kvadratna matrika, v kateri so vsi vnosi, ki niso na glavni diagonali, enaki nič. Dejanja na matricah. 1) Množenje deljenje matrike s številom. Produkt matrike A s številom α imenujemo matrika Axα, katere elemente dobimo iz elementov matrike A z množenjem s številom α. Primer: 7xA, , 2) Matrično množenje. Operacija množenja dveh matrik je uvedena samo za primer, ko je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Primer: ,, AxB= Lastnosti množenja matrik: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) \u003d AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B, (A+B) T =A T +B T (AB) T = B T A T 3) Seštevanje, odštevanje. Vsota (razlika) matrik je matrika, katere elementi so vsota (razlika) elementov izvirnih matrik. c ij = a ij b ij C \u003d A + B \u003d B + A. Zveznost funkcij v točki, na intervalu, segmentu. Prelomne točke funkcij in njihova klasifikacija. Funkcija f(x), definirana v okolici neke točke x 0 , se imenuje zvezna v točki x 0, če sta limita funkcije in njena vrednost v tej točki enaki, tj. Funkcija f(x) se imenuje zvezna v točki x 0, če za katero koli pozitivno število e>0 obstaja takšno število D>0, da za vsak x, ki izpolnjuje pogoj prava neenakost Funkcija f (x) se imenuje zvezna v točki x \u003d x 0, če je prirastek funkcije v točki x 0 neskončno majhna vrednost. f(x) = f(x 0) +a(x) kjer je a(x) neskončno majhen za x®x 0 . Lastnosti zveznih funkcij. 1) Vsota, razlika in produkt funkcij, zveznih v točki x 0, je funkcija, zvezna v točki x 0. 2) Kvocient dveh zveznih funkcij je zvezna funkcija, če g (x) v točki x 0 ni enak nič. 3) Superpozicija zveznih funkcij je zvezna funkcija. To lastnost lahko zapišemo na naslednji način: Če so u=f(x),v=g(x) zvezne funkcije v točki x = x 0 , potem je tudi funkcija v=g(f(x)) zvezna funkcija v tej točki. funkcija f(x) je poklican neprekinjeno na intervalu(a,b), če je zvezen v vsaki točki tega intervala. Lastnosti funkcij, zveznih na intervalu. Funkcija, ki je zvezna na intervalu, je na tem intervalu omejena, tj. na segmentu je izpolnjen pogoj –M f(x) M. Dokaz te lastnosti temelji na dejstvu, da je funkcija, ki je zvezna v točki x 0, omejena v neki njeni okolici, in če odsek razdelimo na neskončno število odsekov, ki se »krčijo« v točko x 0 , potem nastane neka okolica točke x 0. Funkcija, ki je zvezna na intervalu, zavzame največjo in najmanjšo vrednost. Tisti. obstajajo takšne vrednosti x 1 in x 2, da je f (x 1) = m, f (x 2) = M in m f(x) M Opažamo te največje in najmanjše vrednosti, ki jih funkcija lahko prevzame na segmentu in večkrat (na primer f (x) = sinx). Razliko med največjo in najmanjšo vrednostjo funkcije na odseku imenujemo nihanje funkcije na odseku. Funkcija, ki je zvezna na segmentu, prevzame na tem segmentu vse vrednosti med dvema poljubnima vrednostma. Če je funkcija f(x) zvezna v točki x = x 0 , potem obstaja neka okolica točke x 0, v kateri funkcija ohrani svoj predznak. Če je funkcija f(x) zvezna na segmentu in ima na koncih segmenta vrednosti nasprotnih predznakov, potem znotraj tega segmenta obstaja točka, kjer je f(x) = 0. Morda bi bilo koristno prebrati:
(1.1) + 
= 
Kje (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
V pogovornem oknu, ki se prikaže, nastavite število vrstic in stolpcev matrike.
Slika 2 Transpozicija matrice
V MathCAD-u lahko matrike seštevate in odštevate eno od druge. Ti operaterji uporabljajo simbole <+>
oz <->
oz. Matriki morata biti enake dimenzije, sicer bo generirano sporočilo o napaki. Vsak element vsote dveh matrik je enak vsoti ustreznih elementov členov matrike (primer na sliki 3).
Poleg seštevanja matrike MathCAD podpira seštevanje matrike s skalarno vrednostjo, tj. številko (primer na sliki 4). Vsak element nastale matrike je enak vsoti ustreznega elementa prvotne matrike in skalarne vrednosti.
Če želite vnesti simbol za množenje, morate pritisniti tipko z zvezdico<*>ali uporabite orodno vrstico Matrix (Matrix), pritiskom na gumb na njem Pikčasti produkt (množenje)(slika 1). Matrično množenje je privzeto označeno s piko, kot je prikazano v primeru na sliki 6. Simbol za matrično množenje lahko izberete na enak način kot pri skalarnih izrazih.
Drug primer, povezan z množenjem vektorja z vrstično matriko in, obratno, vrstice z vektorjem, je prikazan na sl. 7. Druga vrstica tega primera prikazuje, kako izgleda formula, ko izberete prikaz operatorja množenja Ni prostora (skupaj). Vendar isti operator množenja deluje različno na dva vektorja. .
Seštevanje in odštevanje matrik.
Množenje matrike s številom.
Produkt dveh matrik.
Nekatere lastnosti operacij na matrikah.
= E
,
- simetrična matrika
klical diagonala matrica.
; B= 
, poiščite 2A + B.
, 2A + B = 
.
.
A E = E A = A
A(B + C) = AB + AC
; B = A T = 
;
, B = , C = 
in število = 2. Poišči A T B + C.
;
A T B =
=
=
;
; A T B+ C = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, V = 
= 
= 
.
imenujemo število, ki ga lahko izračunamo z elementi matrike po formuli:
, kjer (1)
formula (1) omogoča izračun determinante matrike po prvi vrstici, velja tudi formula za izračun determinante po prvem stolpcu:
(2)
, i = 1,2,…,n . (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.2. vprašanje
.