Вимірювання відрізка за допомогою лінійки.

Відрізок. Довжина відрізка. Трикутник.

1. У цьому параграфі ви познайомитеся з деякими поняттями геометрії. Геометрія- наука про "вимір землі". Це слово походить від латинських слів: geo - земля і metr - міра, міряти. У геометрії вивчаються різні геометричні об'єкти, їх властивості, зв'язки України з навколишнім світом. Найпростіші геометричні об'єкти – це точка, лінія, поверхня. Більш складні геометричні об'єкти, наприклад, геометричні фігури та тіла, утворені з найпростіших.

Якщо додати до двох точок А і В лінійку і вздовж неї провести лінію, що з'єднує ці точки, ми отримаємо відрізок,який називають АВ або ВА (читаємо: "а - бе", "бе-а"). Точки А та В називаються кінцями відрізка(малюнок 1). Відстань між кінцями відрізка, виміряна в одиницях довжини, називається довжиноювідрізка.

Одиниці довжини: м – метр, см – сантиметр, дм – дециметр, мм – міліметр, км – кілометр та ін. (1 км = 1000 м; 1м = 10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм).Для виміру довжини відрізків використовують лінійку, рулетку. Виміряти довжину відрізка, отже, з'ясувати, скільки разів у ньому укладається той чи інший захід довжини.

Рівниминазиваються два відрізки, які можна поєднати, наклавши один на інший (рисунок 2). Наприклад, можна вирізати реально чи подумки один із відрізків і прикласти до іншого так, щоб збіглися їхні кінці. Якщо відрізки АВ та СК рівні, то пишуть АВ = СК. Рівні відрізки мають рівні довжини. Правильне зворотне: два відрізки, що мають рівні довжини, рівні. Якщо два відрізки мають різні довжини, вони не рівні. З двох нерівних відрізків менший той, який становить частину іншого відрізка. Порівнювати відрізки накладенням можна за допомогою циркуля.

Якщо подумки продовжити відрізок АВ в обидві сторони до нескінченності, то ми отримаємо уявлення про прямийАВ (рисунок 3). Будь-яка точка, що лежить на прямій, розбиває її на два променя(Малюнок 4). Точка С розбиває пряму АВ на два променяСА та СВ. Туга С називається початком променя.

2. Якщо три точки, що не лежать на одній прямій, з'єднати відрізками, то отримаємо фігуру, яка називається трикутник.Дані точки називаються вершинамитрикутника, а відрізки, що їх з'єднують, сторонамитрикутника (рисунок 5). FNM – трикутник, відрізки FN, NM, FM – сторони трикутника, точки F, N, M – вершини трикутника. Сторони всіх трикутників мають таку властивість: д Ліна будь-якої зі сторін трикутника завжди менша за суму довжин двох інших його сторін.

Якщо подумки продовжити на всі боки, наприклад, поверхню кришки столу, то отримаємо уявлення про площині. Крапки, відрізки, прямі, промені розташовуються на площині (рисунок 6).

Блок 1. Додатковий

Світ, у якому живемо, усе, що нас оточує, древні називали природою чи космосом. Простір, у якому живемо, вважається тривимірним, тобто. має три виміри. Їх часто називають: довжина, ширина та висота (наприклад, довжина кімнати 4 м, ширина кімнати 2 м та висота 3 м).

Уявлення про геометричну (математичну) точку дає нам зірка на нічному небі, точка в кінці цієї пропозиції, слід від голки і т.д. Однак усі перелічені об'єкти мають розміри, на відміну їх розміри геометричної точки вважаються рівними нулю (її виміри дорівнюють нулю). Тому реальну математичну точку можна лише уявити. Можна також сказати, де вона знаходиться. Поставивши авторучкою в зошиті точку, ми зобразимо геометричну точку, але вважатимемо, що побудований об'єкт є геометрична точка (рисунок 6). Крапки позначають великими літерами латинського алфавіту: A, B, C, D, (читають « точка а, точка бе, точка це, точка де») (рисунок 7).

Провід, що висить на стовпах, видима лінія горизонту (кордон між небом і землею або водою), русло річки, зображене на карті, гімнастичний обруч, струмінь води, що б'є з фонтану, дають нам уявлення про лінії.

Розрізняють замкнуті та незамкнуті лінії, гладкі та негладкі лінії, лінії з самоперетином і без самоперетину (рисунки 8 і 9).

Аркуш паперу, лазерний диск, оболонка футбольного м'яча, картон упаковки, новорічна пластикова маска і т.д. дають нам уявлення про поверхнях(Малюнок 10). Коли фарбують підлогу кімнати або автомобіль, покривають фарбою саме поверхню підлоги або автомобіля.

Тіло людини, камінь, цегла, голівка сиру, м'яч, крижана бурулька і т.д. дають нам уявлення про геометричнихтілах (рисунок 11).

Найбільш проста з усіх ліній - це пряма. Прикладемо до аркуша паперу лінійку і проведемо олівцем вздовж неї пряму лінію. Подумки продовживши цю лінію до нескінченності в обидві сторони, ми отримаємо уявлення про пряму. Вважають, що пряма має один вимір - довжину, а два інших її виміри дорівнюють нулю (рисунок 12).

При розв'язанні задач пряму зображують у вигляді лінії, яку проводять уздовж лінійки олівцем або крейдою. Прямі позначаються малими латинськими літерами: a, b, n, m (рисунок 13). Можна позначати пряму двома літерами, відповідними точкам, що лежать на ній. Наприклад, пряму nна малюнку 13 можна позначити: АВ чи ВА, АDабоDА,DВ або ВD.

Точки можуть лежати на прямій (належати до прямої) і не лежати на прямій (не належати до прямої). На малюнку 13 зображені точки A, D, B, що лежать на прямій AB (що належать прямій AB). При цьому пишуть. Читають: точка A належить прямий AB, точка належить AB, точка D належить АВ. Точка D належить також і пряма m, її називають загальноїточкою. У точці D прямі AB та m перетинаються. Точки P та R не належать прямим AB та m:

Через будь-які дві точки завжди можна провести пряму і причому лише одну .

З усіх видів ліній, що з'єднують будь-які дві точки, найменшу довжину має відрізок, кінцями якого є дані точки (рисунок 14).

Фігура, яка складається з точок і відрізків, що їх з'єднують, називається ламаною (Рисунок 15). Відрізки, що утворюють ламану, називаються ланкамиламаною, а їх кінці - вершинамиламаною. Називають (позначають) ламану, перераховуючи по порядку всі її вершини, наприклад, ламана ABCDEFG. Довжиною ламаною називається сума довжин її ланок. Отже, довжина ламаної ABCDEFG дорівнює сумі: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Замкнена ламана називається багатокутником, її вершини називаються вершинами багатокутника, а її ланки сторонамибагатокутника (рисунок 16). Називають (позначають) багатокутник, перераховуючи по порядку всі його вершини, починаючи з будь-якої, наприклад, багатокутник (семикутник) ABCDEFG , багатокутник (п'ятикутник) RTPKL:

Сума довжин усіх сторін багатокутника називається периметром багатокутника і позначається латинською буквоюp(читаємо: пе). Периметри багатокутників малюнку 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Подумки продовживши поверхню кришки стола або шибки до нескінченності на всі боки, отримаємо уявлення про поверхню, яка називається площиною (Рисунок 17). Позначають площини малими літерами грецького алфавіту: α, β, γ, δ, … (читаємо: площину альфа, бетта, гама, дельта і т.д.).

Блок 2. Словник.

Складіть словник нових термінів та визначень із §2. Для цього в порожні рядки таблиці впишіть слова зі списку наведеного нижче. У таблиці 2 вкажіть номери термінів відповідно до номерів рядків. Перед заповненням словника рекомендується ще раз уважно переглянути §2 і блок 2.1.

Блок 3. Встановіть відповідність (УС).

Геометричні фігури.

Блок 4. Самоперевірка.

Вимірювання відрізка за допомогою лінійки.

Нагадаємо, що виміряти відрізок АВ у сантиметрах, значить, порівняти його з відрізком довжиною 1см і дізнатися, скільки таких відрізків по 1см міститься у відрізку АВ. Щоб виміряти відрізок в інших одиницях довжини, надходять так само.

Для виконання завдань працюйте за планом, наведеним у лівій колонці таблиці. При цьому праву колонку радимо закрити аркушем паперу. Потім ви можете порівняти свої висновки з рішеннями, наведеними в таблиці праворуч.

Блок 5. Встановлення послідовності процесів (УП).

Побудова відрізка заданої довжини.

Варіант 1. У таблиці записаний переплутаний алгоритм (переплутаний порядок дій) побудови відрізка заданої довжини (наприклад, збудуємо відрізок ВС = 7см). У лівому стовпці вказівка до дії правому результат виконання цієї дії. Переставте рядки таблиці так, щоб вийшов правильний алгоритм побудови відрізка заданої довжини. Запишіть правильну послідовність дій.

Варіант 2.У наступній таблиці наведено алгоритм побудови відрізка КМ = n см, де замість nможна підставити будь-яке число. У цьому варіанті немає відповідності між дією та результатом. Тому необхідно встановити послідовність дій, потім для кожної дії вибрати результат. Відповідь запишіть у вигляді: 2а, 1в, 4б і т.д.

Варіант 3.Використовуючи алгоритм варіанта 2, збудуйте в зошиті відрізки при n = 3 см, n = 10 см, n = 12 см.

Блок 6. Фасетний тест.

Відрізок, промінь, пряма, площина.

У задачах фасетного тесту використовуються малюнки та записи під номерами 1 - 12, наведені у таблиці 1. З них формуються дані задач. Потім до них додаються вимоги завдань, які в тесті вміщені після сполучного слова "ТО". Відповіді до завдань розміщені після слова «РІВНЕ». Набір задач наведено в таблиці 2. Наприклад, задача 6.15.19 складається таким чином: «ЯКЩО в задачі використовується рисунок 6 , затем до нього додається умова під номером 15, вимога завдання стоїть під номером 19.

13) побудувати чотири точки так, щоб кожні три з них не лежали на одній прямій;

14) провести через кожні дві точки пряму;

15) кожну з поверхонь коробки продовжити подумки на всі боки до нескінченності;

16) кількість різних відрізків малюнку;

17) кількість різних променів малюнку;

18) кількість різних прямих малюнку;

19) кількість різних площин, що вийшли;

20) довжина відрізка АС у сантиметрах;

21) довжина відрізка АВ у кілометрах;

22) довжина відрізка DC у метрах;

23) периметр трикутника PRQ;

24) довжина ламаної QPRMN;

25) приватне периметрів трикутників RMN та PRQ;

26) довжина відрізка ED;

27) довжина відрізка BE;

28) кількість точок перетину прямих;

29) кількість трикутників, що вийшли;

30) кількість частин, куди виявилася розділена площину;

31) периметр багатокутника, виражений у метрах;

32) периметр багатокутника, виражений дециметрах;

33) периметр багатокутника, виражений у сантиметрах;

34) периметр багатокутника, виражений у міліметрах;

35) периметр багатокутника, виражений у кілометрах;

РІВНЕ (рівна, має вигляд):

а) 70; б) 4; в) 217; г) 8; д) 20; е) 10; ж) 8∙b; з) 800∙b; і) 8000∙b; к) 80∙b; л) 63000; м) 63; н) 63000000; о) 3; д) 6; р) 630 000; с) 6300000; т) 7; у) 5; ф) 22; х) 28

Блок 7. Давай пограємось.

7.1. Математичний лабіринт.

Лабіринт складається з десяти кімнат із трьома дверима кожна. У кожній кімнаті знаходиться по одному геометричному об'єкту (він намальований на стіні кімнати). Відомості про цей об'єкт перебувають у «путівнику» лабіринтом. Читаючи його, треба переходити до тієї кімнати, про яку написано у путівнику. Проходячи кімнатами лабіринту, малюйте свій маршрут. У двох останніх кімнатах є виходи.

Путівник лабіринтом

Увійти до лабіринту треба через кімнату, де знаходиться геометричний об'єкт, у якого немає початку, але є два кінці.
Геометричний об'єкт цієї кімнати не має розмірів, він подібний до далекої зірки на нічному небі.
Геометричний об'єкт цієї кімнати складається з чотирьох відрізків, що мають три спільні точки.
Цей геометричний об'єкт складається з чотирьох відрізків із чотирма загальними точками.
У цій кімнаті є геометричні об'єкти, кожен з яких має початок, але не має кінця.
Тут два геометричні об'єкти, які мають ні початку, ні кінця, але з однією загальною точкою.

Уявлення про цей геометричний об'єкт дає політ артилерійських снарядів

(Траєкторія руху).

У цій кімнаті є геометричний об'єкт з трьома вершинами, але це не гірські

Про цей геометричний об'єкт дає уявлення політ бумеранга (мисливське

зброю корінних мешканців Австралії). У фізиці цю лінію називають траєкторією

рухи тіла.

Уявлення про цей геометричний об'єкт дає поверхню озера в

безвітряну погоду.

Тепер можете виходити із лабіринту.

У лабіринті знаходяться геометричні об'єкти: площина, незамкнена лінія, пряма, трикутник, крапка, замкнута лінія, ламана, відрізок, промінь, чотирикутник.

7.2. Периметр геометричних фігур.

У малюнках виділіть геометричні фігури: трикутники, чотирикутники, п'яти - та шестикутники. За допомогою лінійки (у міліметрах) визначте периметри деяких із них.

7.3. Естафета геометричних об'єктів.

У завданнях естафети є пусті рамки. У них запишіть пропущене слово. Потім перенесіть це слово до іншої рамки, куди показує стрілка. При цьому можна змінювати відмінок цього слова. Проходячи по етапах естафети, виконуйте необхідні побудови. Якщо естафету пройдете правильно, то наприкінці отримаєте слово: периметр.

7.4. Фортеця геометричних об'єктів.

Прочитайте § 2, випишіть із його тексту назви геометричних об'єктів. Потім впишіть ці слова в порожні клітини "фортеці".

1.1. Методичнірекомендаціїдо формування
тривимірної твердотільної моделі в середовищі AutoCAD

До вашої уваги пропонується методика створення тривимірної твердотільної моделі на прикладі типової проекційної задачі. Ця методика може бути використана при створенні будь-яких креслень та служити основою для серйозної та регулярної роботи в середовищі AutoCAD.

Розберемо процес побудови з прикладу деталі «Кришка» (рис. 1.1).

Мал. 1.1

Крок 1. Основа кришки

Створимо шар 3 D тіло- Суцільна основна лінія товщиною 0,4 мм - і зробимо його поточним. Побудова основи кришки почнемо з кола, що має центр у точці (0,0,0) та діаметр 70 мм. Потім побудуємо два однакові кола діаметром 20 із центрами (40,0) та (–40,0) (рис. 1.2).


Мал. 1.2	Мал. 1.3	Мал. 1.4	Рис.1.5

За допомогою командивідрізок ( LINE) та об'єктної прив'язки дотична ( Tangent) проведемо чотири відрізки (AB, З D , EF, LK) дотичних до двох кіл (рис. 1.3). Для того, щоб видалити непотрібні частини кіл, використовуємо командуTRIM/ Обрізати. У відповідь на запит У виберіть об'єкти або<выбрать все>: вкажіть відрізкиAB , З D , EF іLK , Enter. (Рис. 1.4). На запит У виберіть об'єкти: Виберіть обрізний (+ Shift– об'єкт, що подовжується) або [Лінія вибору/перекреслення /Проекція/Кромка/зменшити/Змінити] : вкажіть внутрішні частини кіл, тобто. крапки 4 , 5 , 6 і 7 , Enter. (Рис. 1.3, 1.4). Для перетворення об'єктів в одну область скористаємося командою ОБЛАСТЬ ( REGION) або відповідною кнопкою панелі Малювання.

Побудована область – це основа майбутньої кришки (рис. 1.4).

Створимо два круглі отвори – кола діаметром 10 мм з центрами в точках (40,0) та (–40,0) (рис. 1.5).

За допомогою меню Вигляд ( View) або однойменної панелі інструментів встановимо СВ ізометрію.Система побудує основу кришки (рис. 1.6).

Видавимо отриману область нагору на 15 мм. Для цього скористаємося кнопкою панелі Моделювання.Цій кнопці відповідає команда ВИДАВИТИ ( EXTRUDE). На запит У виберіть об'єкти для видавлюваннявиділимо рамкою всі об'єкти та підтвердимо вибір правою кнопкою миші. На запит Висота видавлювання або [Напрямок/Траєкторія/Кут звуження]: введемо 15,Enter(Рис. 1.7).


Мал. 1.6	Мал. 1.7	Мал. 1.8

За допомогою команди Віднімання ( SUBTRAST) виконаємо отвори в основі кришки. Спочатку команда запитує зменшувані об'єкти. Виберіть тіла та області, з яких буде відніматися…

Вкажемо велику область і підтвердимо вибір клацанням правою кнопкою миші абоEnter. Виберіть тіла та області для віднімання…вкажемо обидва отвори і клацніть правою кнопкою миші. Після виконання цієї операції візуально вигляд об'єктів не зміниться, однак якщо зараз з меню Видвикликати команду Приховатилінії буде видно, що в твердотільному об'єкті утворилися отвори (рис. 1.8).

Крок 2 Вертикальні циліндри

Побудуємо циліндр, який стоїть на верхній поверхні основи, має діаметр 40 мм та висоту 65 мм. Для цього скористаємося командою ЦИЛІНДР ( CYLINDER) або піктограмою . на запит Центр основи або: введемо координати 0,0,15,Enter.

На запит Радіус основи або [Діаметр]:виберемо опцію Діаметр.

На запит Діаметр:введемо 40,Enter.

На наступний запит Висота або :введемо 65,Enter(Рис. 1.9).

Побудуємо наскрізний циліндричний отвір.

Для цього побудуємо циліндр із центром у точці (0,0,0), діаметром 30 мм та висотою 80 (рис. 1.10). Об'єднаємо циліндр (Ø 40) та основу кришки в одне тіло за допомогою команди ОБ'ЄДНАННЯ ( UNION) або кнопки на панелі інструментів Моделювання. Потімвиконаємо віднімання циліндра (Ø 30) з об'єднаного об'єкта (рис. 1.11). Відповісти на запит У виберіть об'єктиможна виділенням кожного об'єкта чи рамкою.


Мал. 1.9	Мал. 1.10	Мал. 1.11

Крок 3. Ребра жорсткості

Побудуємо допоміжний відрізок АВ за допомогою команди(Відрізок) та об'єктної прив'язки (Серєдіна)(Рис. 1.12).


Мал. 1.12	Мал. 1.13

У панелі інструментів І змінитивиберемо ( Подібність). Ця команда призначена для малювання паралельних ліній лінійних об'єктів. На запит У кажіть відстань усунення або [Через / Видалити / Шар]<Через>: введемо 3,Enter.

На запит У < Выход >: вкажемо відрізок АВ.

На запит У кажіть точку, що визначає бік зміщення, або [Вихід / Кілька / Скасувати]< Выход >: вкажемо напрямок нижче відрізка АВ.

На запит У виберіть об'єкт для зміщення або [Вихід / Скасувати]< Выход >: вкажемо відрізок АВ.

На запит У кажіть точку, що визначає бік зміщення, або [Вихід / Кілька / Скасувати]< Выход >: вкажемо напрямок вище відрізка АВ.

На запит У виберіть об'єкт для зміщення або [Вихід / Скасувати]< Выход >: Enter(Рис. 1.13). За допомогою команди ( Крапка)та об'єктної прив'язки (Найближча)позначимо точки 1, 2, 3 та 4 так, як показано на рис. 1.13. У панелі інструментів Моделюваннявиберемо ( Клин).на запит П ервий кут або [Центр]:клацанням лівої кнопки миші вкажемо будь-яку точку на екрані.

На наступний запит Д Рука кут або [Куб / Довжина]:виберемо опцію Довжина, Enter.

На запит Довжина:введемо 10,Enter.

На запит Ширина:введемо 6,Enter.

На запит Висота або :введемо 50,Enter(Рис. 1.14).

За допомогою команди та об'єктної прив'язки (Конточка)позначимо точкиK і L так, як показано на рис. 1.14. Скопіюємо щойно збудований Клинз іншого боку об'єкта, вибравши на панелі інструментів Редагування(Копіювати).


Мал.1.1 4	Мал.1. 15	Мал.1. 16	Мал. 1.17

Виберемо в меню І змінити / 3 D операції / Вирівняти.

н а запит У виберіть об'єкти:вкажемо об'єкт (Клин) і клацніть правою кнопкою миші.

На запит П ервая вихідна точка:вкажемо точкуK .

На запит П ервая цільова точка:вкажемо точку 1.

На запит У тора вихідна точка:вкажемо точкуL .

На запит У тора цільова точка:вкажемо точку 2.

На запит Третя точка або [Продовжити]<П >: Enter.

На запит М асштабувати об'єкти за точками вирівнювання? [Та ні]<Нет>: Enter(Рис. 1.15).

Аналогічно надійдемо з другим ребром жорсткості, тільки точкаK збігається з точкою 4 , а крапкаL збігається з точкою 3 .

У панелі інструментів Моделюваннявиберемо ( Об'єднання).

Після виведення запиту У виберіть об'єкти:захопимо січною рамкою обидва створені об'єкти,Enter. Вибір можна зробити за допомогою вказівки на кожен об'єкт (рис. 1.16).

Видалимо зайві лінії та точки!!!

Викличемо на екран панель інструментів Візуальні стилі.

Виберемо Візуальний стиль "Концептуальний".Об'єкт набуде вигляду, зазначений нарис. 1.17. Для порівняння виберемо Візуальний стиль "Реалістичний".

Клацнувши правою кнопкою миші на будь-якій панелі інструментів, з контекстного меню виберемо Орбіта, щоб вивести панель інструментів на поле робочого вікна програми. Виберемо на панелі інструментів Орбіта/Вільна орбітаіобертатимемо модель, буксуючи її курсором при натиснутій лівій кнопці миші (рис. 1.18). При правій натиснутій кнопці миші виберемо з контекстного меню Інші режими навігації, а потім Залежна орбіта. Повертайте модель у різних напрямках.


Мал.1 .18	Мал. 1.19

Зверніть увагу, що тепер кола режиму орбіти зникли, а модель повертається навколо однієї точки у середині видового екрану (рис. 1.19).

Відновимо ізометричний вигляд командою Вид / 3 Dвиди / СВ Ізометрія . Перейдемо до відображення моделі у вигляді двовимірного каркаса, клацнувши на кнопці 2 Dкаркаспанелі інструментів Візуальні стилі.Збережемо отриману модель, надавши ім'я файлу, Кришка. dwg ., а потім створимо його копію під ім'ям Кришка 1. dwg .

Варіант 1
6. Туго натягнута нитка послідовно закріплена у точках 1, 2, 3, 4 та 5, розташованих на стрижнях SA, SB та SC, які не належать до однієї площини (рис. 50). Скопіюйте малюнок, позначте та позначте точки, в яких відрізки нитки стикаються.
7. Відрізок AM перпендикулярний до площини квадрата ABCD, ZABM = 30°. Знайдіть тангенс кута АСМ.

Варіант 2
6. Туго натягнута нитка послідовно закріплена в точках 1, 2, 3, 4, 5 і 6, розташованих на стрижнях SA, SB і SC, які не належать одній площині (рис. 51). Скопіюйте малюнок, позначте та позначте точки, в яких відрізки нитки стикаються.
7. Сторона квадрата дорівнює 4 см. Точка, що рівно віддалена від усіх вершин квадрата, знаходиться на відстані 6 см від точки перетину його діагоналей. Знайдіть відстань від цієї точки до вершин квадрата.

Варіант 3
6. У кубі ABCDA"B"C"D" з вершини D" проведені діагоналі граней D"A, D"B" та D"C. Зробіть малюнок. Як називається багатогранник з вершинами D", А, В", С? Чи має цей багатогранник рівні ребра, рівні грані?
7. Трикутник ABC - - прямокутний і рівнобедрений з прямим кутом С і гіпотенузою 4 см. Відрізок СМ перпендикулярний до площини трикутника і дорівнює 2 см. Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ.
Варіант 4
6. У кубі ABCDA"B"C"D" зазначені наступні точки: К-центр грані ВСС"В", L - центр грані DCC"D" і М - центр грані ABCD. Зробіть малюнок. Як називається багатогранник CKLM? Чи має цей багатогранник рівні ребра? рівні грані?
7. Радіус основи циліндра дорівнює 4 см, площа бічної поверхні вдвічі більша за площу основи. Знайдіть об'єм циліндра.
Варіант 5
6. Точки перетину висот усіх граней правильної трикутної піраміди є вершинами деякого багатогранника. Як називається цей багатогранник? Чи має він рівні ребра? рівні грані?
7. Відрізок АВ має з площиною а єдину загальну точку А. Точка С ділить його щодо 2: 1, рахуючи від точки Л. Через точки С і В проведені паралельні прямі, що перетинають площину, а відповідно в точках Cj і В1. Довжина відрізка АС1 дорівнює 12 см. Знайдіть довжину
відрізка АВ.

Варіант 6
6. Вершинами деякого багатогранника є центр верхньої грані куба і середини всіх сторін його нижньої грані. Як називається цей багатогранник? Зробіть малюнок та позначте рівні ребра багатогранника; вкажіть, які межі цього багатогранника рівні між собою.
7. Трикутник ABC - прямокутний і рівнобедрений з прямим кутом С та гіпотенузою 6 см. Відрізок СМ перпендикулярний площині трикутника; відстань від точки М до прямої АВ дорівнює 5 см. Знайдіть довжину відрізка СМ.
Варіант 7
6. Площини а і Р, зображені на малюнку 52, перетинаються по прямій MN. Точка А лежить у площині а, а точка В – у площині р. Визначте, яке взаємне розташування прямих AM та BN.
7. Підстава прямої призми - рівнобічна трапеція, одна з підстав якої вдвічі більша за іншу. Непаралельні бічні грані призми – квадрати. Висота призми дорівнює б див. Площа бокової поверхні призми дорівнює 144 см. Обчисліть об'єм призми.
Варіант 8
6. На які багатогранники розбиває призму АВСА "С" площину, що проходить через вершини А, В і С"? Зробіть малюнок.
7. Відрізок АВ має з площиною а єдину загальну точку А. Через його середину С і точку В проведено паралельні прямі, що перетинають площину, а відповідно в точках С1 і Вг Довжина відрізка АС дорівнює 8 см. Знайдіть довжину.
ну відрізка ABj.
Варіант 9
6. Зображені на малюнку 53 прямі а і Ъ перетинають паралельні площині аїр відповідно в точках А, В н А, В. Визначте, яке взаємне розташування прямих а та Ь.
7. Знайдіть об'єм тіла, отриманого при обертанні прямокутного трикутника з катетом 3 см і прилеглим кутом 30° навколо меншого катета.
Варіант 10
6. Перетин паралелепіпеда ABCDA"B"C"D" проведено через точки А, В і середину ребра СС". Яким багатокутником є цей переріз? Зробіть малюнок і позначте рівні сторони багатокутника.
7. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12см, а висота бічної грані – 15см. Знайдіть бічне ребро.
Варіант 11
6. Перетин паралелепіпеда ABCDA"С"D" проведено через середини ребер АВ, AD і А"В". Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 20 см. Знайдіть площу його бічної поверхні.

Варіант 12
6. Куб ABCDA"B"C"D" розсічений на два багатогранники площиною, що проходить через середину ребра ЕЕ перпендикулярно діагоналі А"С. Яким багатокутником є перетин? Які особливості має цей багатокутник?
7. Середина З відрізка АВ належить площині а. Через кінці відрізка АВ проведені паралельні прямі, що перетинають площину а в точках А1 та ЕГ. Довжина відрізка А^С
дорівнює 8 см. Знайдіть довжину відрізка А^В^.
Варіант 13
6. Зображені на малюнку 54 прямі а і & перетинають паралельні площини аїр відповідно в точках А, В і А", В". Скопіюйте малюнок і визначте, яке взаємне розташування прямих а і 6.
7. Знайдіть об'єм тіла, отриманого при обертанні прямокутного трикутника з катетом 6 см та гіпотенузою 10 см навколо більшого катета.
Варіант 14
6. Куб розсічений площиною, що проходить через середини двох суміжних сторін нижньої основи та центр верхньої основи. Як називається багатокутник, одержаний у перерізі? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Трикутник ABC - прямокутний і рівнобедрений з прямим утлом С та гіпотенузою 8 см. Відрізок СМ перпендикулярний площині трикутника і дорівнює 3 см. Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ.
Варіант 15
6. У кубі ABCDA"B"C"D" проведено перетин через середини ребер АА" і СС" і вершину 5. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони багатокутника.
7. Основа піраміди - прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Висота піраміди проходить через середину гіпотенузи трикутника і дорівнює гіпотенузі. Знайдіть бічні ребра піраміди.
Варіант 16
6. Зображені на малюнку 55 площини а та Р паралельні. Відрізок АВ лежить у площині а, а відрізок CD – у площині р. Визначте, яке взаємне розташування прямих АС та BD.
7. Якщо бічну поверхню конуса розрізати по твірній і розгорнути на площині, то вийде круговий сектор з радіусом 4 см і центральним кутом 120°. Знайдіть обсяг цього конуса.

Варіант 17
6. Туго натягнута нитка послідовно закріплена в точках 1,2, 3, 4, 5 і 6, розташованих на чотирьох попарно паралельних стрижнях а, Ъ, с і d, жодні три з яких не належать до однієї і тієї ж площини (рис. 56). ). Скопіюйте малюнок, позначте та позначте точки, в яких відрізки нитки стикаються.
7. Площина проходить на відстані 8 см від центру кулі. Радіус перерізу дорівнює 15 см. Знайдіть площу поверхні кулі.
Варіант 18
6. Точки М та N розташовані на ребрах трикутної піраміди (рис. 57). Скопіюйте малюнок, позначте й позначте точки, в яких пряма MN перетинає прямі піраміди, що містять інші ребра.
7. Осьовим перетином циліндра є квадрат, діагональ якого дорівнює 8*/2 см. Знайдіть об'єм циліндра.
Варіант 19
6. Точки М до N розташовані на ребрах трикутної піраміди (рис. 58). Скопіюйте малюнок, позначте точки, в яких пряма MN перетинає прямі ребра піраміди, що містять інші.
7. Знайдіть площу бічної поверхні тіла, отриманого при обертанні прямокутного трикутника з катетом 3 см і протилежним кутом 30° навколо більшого катета.

Варіант 20
6. Продовження відрізка ВС, зображеного на малюнку 59, перетинає площину а в точці Е. Відрізок AD лежить у площині а. Скопіюйте малюнок та зобразіть відрізки АС та BD. Визначте, чи ці відрізки перетинаються.
7. Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетом 6 см та гострим кутом 45°. Обсяг призми
дорівнює 108 см. Знайдіть площу повної поверхні
призми.
Варіант 21
6. Відрізки АВ і CD, зображені на малюнку 60, лежать у двох площинах, що перетинаються, аїр. Скопіюйте малюнок і визначте, яке взаємне розташування прямих AD і ВС.
7. Підставою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 15 см, а один із катетів - 9 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного через середину висоти піраміди паралельно до її основи.
Варіант 22
6. На які багатогранники розбивається паралелепіпед ABCDA"B"C"D" площиною, що проходить через вершини А, В" і D? Які особливості мають ці багатогранники? Зробіть малюнок.
7. Сторона квадрата дорівнює 4 см. Точка, яка не належить площині квадрата, віддалена від кожної з його вершин на відстань 6 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини квадрата.

Варіант 23
6. Зображені на малюнку 61 площини а і (3 паралельні. Відрізок АВ лежить у площині а, а відрізок CD у площині р. Визначте, яке взаємне розташування прямих AD і ВС.
7. Основа піраміди - прямокутник зі сторонами 6 см та 8см. Усі бічні ребра дорівнюють 13см. Знайдіть обсяг піраміди.
Варіант 24
6. Туго натягнута нитка послідовно закріплена в точках 1, 2, 3, 4, 5 і 6, розташованих на паралельних стрижнях a, b і с, що не належать до однієї і тієї ж площини (рис. 62). Скопіюйте малюнок, позначте та позначте точки, в яких відрізки нитки стикаються.
*
7. Основа піраміди - ромб з діагоналями 6 см та 8 см. Висота піраміди опущена в точку перетину його діагоналей. Найменші бічні ребра піраміди дорівнюють 5 см. Знайдіть об'єм піраміди.
Варіант 25
6. У кубі проведено перетин через середини двох суміжних сторін верхньої основи та центр нижньої. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Об'єм кулі дорівнює Збя див. Знайдіть площу поверхні
кулі.

Варіант 26
6. Перетин правильної трикутної призми проходить через центри основ та одну з вершин. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Три суміжні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні і дорівнюють 6 см, 6 см і 8 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
Варіант 27
6. Точки К, L, М та N лежать на ребрах зображеної на малюнку 63 піраміди. Скопіюйте малюнок та визначте, чи мають відрізки KN та LM загальну точку.
7. Сума площ поверхонь двох куль радіусу 4 см дорівнює площі поверхні деякої більшої кулі. Який обсяг цієї більшої кулі?
Варіант 28
6. Точки К, L, М до N лежать на ребрах зображеної на малюнку 64 прямої призми. Скопіюйте малюнок і визначте, яке взаємне розташування прямих КМ і LN.
7. Знайдіть площу повної поверхні тіла, отриманого при обертанні прямокутника зі сторонами 6 см і 10 см навколо його осі симетрії, паралельній більшій стороні.

Варіант 29
6. Точки М та N розташовані на ребрах чотирикутної піраміди (рис. 65). Скопіюйте малюнок, позначте й позначте точки, в яких пряма MN перетинає прямі піраміди, що містять інші ребра.
7. Утворююча конуса дорівнює 12 см і становить з площиною основи кут 30 °. Знайдіть об'єм конуса.
Варіант 30
6. Точки М п N розташовані на ребрах чотирикутної піраміди (рис. 66). Скопіюйте малюнок, позначте й позначте точки, в яких пряма MN перетинає прямі піраміди, що містять інші ребра.
7. Знайдіть площу повної поверхні тіла, одержаного при обертанні рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом 8 см навколо його осі симетрії.
Варіант 31
6. Вершинами багатогранника є середини сторін основи та середина висоти правильної чотирикутної піраміди. Як називається цей багатогранник? Зробіть малюнок та позначте рівні ребра цього багатогранника.
7. Площа бічної поверхні конуса дорівнює 20тг см, а площа його основи на 4л см менша. Знайдіть об'єм конуса.

Варіант 32
6. Точки М та N розташовані на ребрах чотирикутної піраміди (рис. 67). Скопіюйте малюнок, позначте та побудуйте точку, в якій пряма MN перетинає площину основи піраміди.
g
7. Об'єм конуса з радіусом основи 6см дорівнює 96л см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.
Варіант 33
6. Точки М та N розташовані на ребрах чотирикутної піраміди (рис. 68). Скопіюйте малюнок, позначте та побудуйте точки, в якій пряма MN перетинає прямі піраміди, що містять ребра.
7. Відрізок АВ перетинає площину а у точці С, яка ділить
його щодо 3:1, рахуючи від точки А. Через кінці відрізка АВ проведені паралельні прямі, що перетинають площину а в точках А і В. Довжина відрізка А^С дорівнює
15 см. Знайдіть довжину відрізка А^В^.
Варіант 34
6. Точки К, L та М належать ребрам зображеної на малюнку 69 піраміди SABCD. Скопіюйте малюнок і позначте точку N на ребре CD так, щоб відрізки KN та LM мали спільну точку.
7. Висота конуса дорівнює 12 см, а кут при вершині осьового перерізу дорівнює 120 °. Знайдіть площу повної поверхні конуса.

Варіант 35
6. Точки М та N розташовані на ребрах куба (рис. 70). Скопіюйте малюнок, позначте і позначте точки, в яких пряма МЛ перетинає прямі, що містять інші ребра куба.
7. Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см вперше обертається навколо більшого катета, а в другий - навколо меншого. Порівняйте площі бічних поверхонь конусів, що виходять при цьому.
Варіант 36
6. Точки М до N розташовані на ребрах куба (рис. 71). Скопіюйте малюнок, позначте та позначте точки, у яких пряма MN перетинає прямі, що містять інші ребра куба.
7. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 10 см, а бічне ребро - 13 см. Знайдіть висоту піраміди.
Варіант 37
6. Куб ABCDA"B"C"D" розсічений на два багатогранники площиною, що проходить через середину ребра ВВ "перпендикулярно до діагоналі BD"". Яким багатокутником є перетин? Зробіть малюнок і позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Радіус основи циліндра дорівнює 8 см, площа бічної поверхні вдвічі менша за площу основи. Знайдіть об'єм циліндра.

Варіант 38
6. Точки К, L, М і N належать ребрам зображеної малюнку 72 піраміди, причому До і L - середини ребер. Скопіюйте малюнок та визначте, чи перетинаються прямі KL та MN, відрізки KN та LM.
7. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 108 см, яке утворює втричі менше діаметра основи. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
Варіант 39
6. Точки М я N розташовані на ребрах куба (рис. 73). Скопіюйте малюнок, позначте та позначте точки, у яких пряма MN перетинає прямі, що містять інші ребра куба.
7. Знайдіть площу повної поверхні тіла, отриманого при обертанні прямокутного трикутника з катетами 3 см і 4 см навколо більшого катета.
Варіант 40
6. Точки М та N розташовані на ребрах трикутної піраміди (рис. 74). Скопіюйте малюнок, позначте й позначте точки, в яких пряма MN перетинає прямі піраміди, що містять інші ребра.
7. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, висота вдвічі менша за довжину кола основи. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.

Варіант 41
6. Точки К і L - вершини куба, зображеного малюнку 75, точки М і N .- середини його ребер. Визначте, чи перетинаються відрізки KN та LM.
7. Знайдіть об'єм тіла, отриманого обертанням прямокутника зі сторонами 4 см та 6 см навколо прямої; що проходить через середини його великих сторін.
Варіант 42
6. Точки К, L, М та N належать ребрам зображеної на малюнку 76 піраміди. Скопіюйте малюнок та визначте, чи перетинаються прямі KL та MN, відрізки KN та LM.
7. Сторона квадрата ABCD дорівнює 2 см. Відрізок AM перпендикулярний до площини квадрата, ZABM = 60°. Знайдіть відстань від точки М до прямої BD.
Варіант 43
6. Точки перетину діагоналей усіх граней правильної чотирикутної призми є вершинами деякого багатогранника. Зробіть малюнок та позначте рівні ребра цього багатогранника.
7. Відрізок АВ має з площиною а єдину загальну точку А. Точка С поділяє відрізок AS щодо 3: 2, рахуючи від точки А. Через точки С і Б проведені паралельні прямі, що перетинають площину а відповідно в точках С, і Ст. Довжина відрізка АВ1 дорівнює 15 см. Знайдіть довжину відрізка АСГ

Варіант 44
6. На малюнку 77 зображені площини а і р, що перетинаються. Точки А та Б належать площині а, а точка С лежить у площині р. Скопіюйте малюнок і зобразіть на ньому точку D, що належить площині р, так, щоб прямі АС та BD виявилися паралельними.
7. Трикутник ABC - прямокутний та рівнобедрений з прямим кутом С та гіпотенузою 6 см. Відрізок AM перпендикулярний площині трикутника, Z МСА = 60°. Знайдіть довжину відрізка МБ.
Варіант 45
6. На малюнку 78 зображені площини а і р, що перетинаються. Точки А та В належать площині а, а точка С лежить у площині р. Скопіюйте малюнок і зобразіть на ньому точку D, що належить площині р, так, щоб прямі АС та BD виявилися паралельними.
7. Через кінці відрізка AJB, що не перетинає площину а, проведено паралельні прямі, що перетинають площину а в точках А1 і АВ = 5 см, В^В = 8 см. Знайдіть довжину
відрізка, що з'єднує середини відрізків АВ та А1В1.

Варіант 46
6. На малюнку 79 зображені площини а і р, що перетинаються. Точки А та В належать площині а, а точка С лежить у площині р. Скопіюйте малюнок і зобразіть на ньому точку D, що належить площині р, так, щоб відрізки AD і ВС виявилися перетинальними.
7. З точки Про перетину діагоналей квадрата ABCD до його площини відновлено перпендикуляр ОМ так, що Z ОВМ = 60°. Знайдіть косинус кута АВМ.
Варіант 47
6. На малюнку 80 зображені площини а і Р, що перетинаються. Точки А і В належать площині а, а точка С лежить у площині р. Скопіюйте малюнок і зобразіть на ньому точку D, що належить площині р, так, щоб відрізки АС і BD виявилися перетинальними.
7. Діагональ квадрата дорівнює 6 см. Точка, що рівно віддалена від усіх сторін квадрата, знаходиться на відстані 5 см від точки перетину його діагоналей. Знайдіть відстань від цієї точки до сторони квадрата.

Варіант 48
6. Туго натягнута нитка послідовно закріплена в точках 1, 2, 3, 4 і 5, розташованих на паралельних стрижнях а, Ъ і с, що не належать до однієї і тієї ж площини (рис. 81). Скопіюйте малюнок, позначте та позначте точки, в яких нитки стикаються.
7. Знайдіть об'єм тіла, отриманого при обертанні прямокутника зі сторонами 6 см та 10 см навколо більшої сторони.
Варіант 49
6. На малюнку 82 зображено паралельні площини аїр. Точка А належить площині а, точки С та D лежать у площині р, а точка М належить прямій АС. Скопіюйте малюнок і зобразіть на ньому точку В, що належить площині а, так, щоб прямі АС і BD перетиналися в точці М.
7. Основа піраміди - прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Висота піраміди, що дорівнює 12 см, ділить гіпотенузу цього трикутника навпіл. Знайдіть бічні ребра піраміди.

Варіант 50
6. На малюнку 83 зображені паралельні площини а та Р. Точки А до В належать площині а, а точка С лежить у площині р. Скопіюйте малюнок і зобразіть на ньому точку.D, що належить площині р, так, щоб прямі АС та BD виявилися паралельними.
7. Через кінці відрізка AS, що має з площиною а загальну точку, проведені паралельні прямі, що перетинають площину а в точках Ах і АА1 - 5 см. Довжина відрізка,
сполучає середини відрізків АВ і А1Б1, що дорівнює 8 см. Знайдіть довжину відрізка В^.
Варіант 51
6. На малюнку 84 зображені паралельні площині лепехи. Точки А та Б належать площині а, точка С лежить у площині р, а точка М належить прямій ВС. Скопіюйте малюнок та зобразіть на ньому точку D, що належить площині р, так, щоб прямі AD та ВС перетиналися у точці М.
7. Знайдіть об'єм тіла, отриманого при обертанні прямокутного трикутника з гіпотенузою 10 см та гострим утлом 30° навколо меншого катета.

Варіант 52
6. Точки Аі В лежать відповідно на нижній і верхній основах циліндра, зображеного на малюнку (рис. 85). Скопіюйте малюнок та проведіть відрізок АВ. Визначте, чи всі відрізки АВ лежать на поверхні циліндра.
7. У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює 10 см, а сторона основи 12 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
Варіант 53
6. Точки А та В розташовані на видимій частині бічної поверхні циліндра (рис. 86). Скопіюйте малюнок та проведіть відрізок АВ. Чи всі точки відрізка АВ належать бічній поверхні циліндра?
7. Основа піраміди – ромб з діагоналями 30 см та 40 см. Вершини піраміди віддалені від сторін основи на 13 см. Знайдіть висоту піраміди.
Варіант 54
6. Точки А та В належать бічній поверхні конуса (рис. 87). Скопіюйте малюнок та проведіть відрізок АВ. Визначте, чи всі відрізки АВ лежать на поверхні конуса.
7. У прямокутнику ABCD АВ = 2 см, AD = 5 см. Відрізок AM перпендикулярний до площини прямокутника, Z АВМ = 30°. Знайдіть обсяг багатогранника MAB.D.

Варіант 55
6. На малюнку 88 зображені відрізки АВ та CD, що лежать відповідно у площинах а та р. Прямі AD і НД перетинаються. Визначте, яке взаємне розташування площин аїр.
2
7. Площа повної поверхні куба дорівнює 24 см. Знайдіть діагональ.
Варіант 56
6. На малюнку 89 зображені відрізки AS і CD, що лежать відповідно в площинах лепелю. Прямі AD і НД перетинаються. Визначте, яке взаємне розташування площин а та р.
7. Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює 136 см, сторони основи 4 см та 6см. Обчисліть об'єм прямокутного паралелепіпеда.
Варіант 57
6. На малюнку 90 зображені відрізки AS і CD, що лежать відповідно в площинах лепелю. Прямі АС та BD паралельні. Скопіюйте малюнок і визначте, яке взаємне розташування площин аі р.
7. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 5 см, велика з діагоналей його бічних граней утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.

Варіант 58
6. Точки К, L, М та N належать відповідним ребрам куба, зображеного на малюнку 91. Визначте, чи перетинаються прямі KL та МN, відрізки KN та LM.
7. Осьовим перерізом циліндра є квадрат, діагональ
якого дорівнює 6 л/2 см. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
» Варіант 59
6. Перетин правильної трикутної призми АВСА "С" проходить через ребро АБ і точку перетину медіан основи А "С". Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Відрізок, що з'єднує кінець діаметра нижньої основи циліндра з центром його верхньої основи, дорівнює 2 см і нахилений до площини основи під кутом 30°. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
Варіант 60
6. У правильній чотирикутній піраміді проведено перетин через середини двох суміжних сторін основи та середину несуміжного з ними бокового ребра. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони багатокутника.
7. Радіус основи конуса дорівнює 5 см, а конуса, що утворює, дорівнює 13 см. Знайдіть об'єм конуса.

Варіант 61
6. Точки К і L - вершини куба, зображеного малюнку 92, точки М і N - середини його ребер. Визначте, чи перетинаються прямі KL та MN, відрізки KN та LM.
7. Відрізок АВ перетинає площину а в точці С, яка ділить його щодо 3:5, рахуючи від точки А. Через кінці відрізка АВ проведені паралельні прямі, що перетинають площину а в точках А1 і Вг. Довжина відрізка АХС дорівнює
12 см. Знайдіть довжину відрізка А1ВГ
Варіант 62
6. Точки К, L, М до N належать ребрам зображеної малюнку 93 піраміди. Скопіюйте малюнок та визначте, чи перетинаються відрізки KN та LM*.
7. Утворююча конуса дорівнює 5 см, площа його бічної поверхні дорівнює 15 см. Знайдіть об'єм конуса.
Варіант 63
6. У KyQeABCDA"B"C"D" проведено перетин через середини ребер АВ, AD і ВВ". Яким багатокутником є перетин? Зробіть малюнок і позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Висота циліндра дорівнює 6 см, а площа його бічної поверхні вдвічі менша за площу його повної поверхні. Знайдіть об'єм циліндра.

Варіант 64
6. Через середини двох сторін АВ та АС основи правильної трикутної піраміди SABC та точку перетину медіан грані SBC проведено переріз. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Сторона квадрата ABCD дорівнює 1 см. Відрізок AM перпендикулярний до площини квадрата, ZABM = 30°. Знайдіть відстань від точки М до прямої BD.
Варіант 65
6. Точки К, L, М та N належать ребрам зображеної на малюнку 94 піраміди. Визначте, чи перетинаються прямі KL та MN, відрізки KN та LM.
7. Знайдіть площу перерізу кулі радіуса 41 см площиною, проведеною на відстані 29 см від центру кулі.
Варіант 66
6. Точка М - середина ребра AD куба, зображеного на малюнку 95. Скопіюйте малюнок і зобразіть точку N, що належить ребру CD, так, щоб відрізки A"N та С"М мали спільну точку.
7. Квадрат зі стороною 3 см обертається довкола своєї діагоналі. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.

Варіант 67
6. Вершинами багатогранника є середини бічних ребер та центр основи правильної піраміди. Як називається цей багатогранник? Зробіть малюнок та позначте рівні ребра цього багатогранника.
7. Круговий сектор з радіусом 10 см згорнутий у вигляді бічної поверхні конуса. Висота конуса дорівнює 8 см. Знайдіть центральний кут кругового сектора.
Варіант 68
6. Точки К, L і М розташовані на ребрах куба ABCDA"B"C"D", зображеного на малюнку 96. Скопіюйте малюнок і зобразіть точку N, що належить ребру CD, так, щоб відрізки KN і LM мали спільну точку.
7. Квадрат зі стороною 3 см обертається довкола своєї діагоналі. Знайдіть об'єм тіла обертання.
Варіант 69
6. Точки К, L та М належать ребрам зображеної на малюнку 97 піраміди SABCD. Скопіюйте малюнок і позначте точку N на ребре CD так, щоб відрізки KN та LM мали спільну точку.
7. Знайдіть об'єм тіла, отриманого при обертанні прямокутника зі сторонами 6 см та 8 см навколо прямої, яка проходить через середини його менших сторін.

Варіант 70
6. Точки К, L і N належать ребрам зображеної малюнку 98 піраміди SASC. Скопіюйте малюнок і позначте точку М на ребері SC так, щоб відрізки KN та LM мали спільну точку.
7. Знайдіть об'єм тіла, яке отримано при обертанні квадрата зі стороною 7 см навколо прямої, що з'єднує середини протилежних сторін.
Варіант 71
6. Точки К, L і М лежать на ребрах куба ABCDA"B"C"D", зображеного на малюнку 99. Скопіюйте малюнок і позначте точку N на ребері C"D" так, щоб відрізки KN і LM перетнулися.
7. Висота конуса дорівнює 8 см, об'єм 24 см. Знайдіть площу повної поверхні конуса.
Варіант 72
6. Вершини деякого багатогранника є центрами п'яти граней куба. Як називається цей багатогранник? Зробіть малюнок та позначте рівні ребра цього багатогранника.
7. Три однакові металеві куби з ребрами по 4 см сплавлені в один куб. Визначте площу поверхні цього куба.

Варіант 73
6. Точки К, L і М належать ребрам зображеної на малюнку 100 піраміди SABCD. Скопіюйте малюнок і позначте точку N на ребері SC так, щоб відрізки KN і LM перетнулися.
7. Утворююча конуса складає з площиною його основи кут 30°, а радіус основи конуса дорівнює 6 см. Знайдіть площу повної поверхні конуса.
Варіант 74
6. Точки К, L, М та N лежать на ребрах куба (рис. 101). Скопіюйте малюнок та визначте, чи існує точка перетину відрізків KN та ML.
7. Прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 17 см, а один із катетів дорівнює 8 см, обертається навколо свого більшого катета. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
Варіант 75
6. У правильній чотирикутній піраміді проведено перетин через діагональ основи боковому ребру, що паралельно не перетинається з нею. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Висота конуса дорівнює 12 см, а його твірна дорівнює 13 см. Знайдіть площу повної поверхні конуса.

Варіант 76
6. Точки К і N лежать на ребрах зображеної малюнку 102 піраміди, а точки L і М належать відповідно до її граней CSD і A5D. Скопіюйте малюнок, зобразіть відрізки KL та MN та визначте, чи мають вони спільну точку.
7. Два металеві куби з ребрами 1 см і 2 см відповідно сплавлені в один куб. Визначте ребро цього куба.
Варіант 77
6. Точки К, L, М та N лежать на ребрах зображеної на малюнку 103 піраміди. Скопіюйте малюнок і визначте, яке взаємне розташування прямих KL і MN.
7. Два металеві куби з ребрами 1 см і 2 см сплавлені в один куб. Визначте повну поверхню цього куба.
Варіант 78
6. Правильна трикутна піраміда розсічена на два багатогранники площиною, що проходить через бік основи та середину висоти піраміди. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Висота конуса дорівнює Ь см, а кут при вершині осьового перерізу дорівнює 120 °. Знайдіть об'єм конуса.

Варіант 79
6. Точки К, L, М та N лежать на ребрах зображеної на малюнку 104 призми. Скопіюйте малюнок та визначте, чи мають відрізки KN та ML загальну точку.
7. До площини рівнобедреного трикутника ABC з основою ВС = 6 см та кутом 120° при вершині проведено перпендикуляр AM. Відстань від точки М до НД дорівнює 12 см. Знайдіть косинус лінійного кута двогранного кута, утвореного площинами трикутників ABC і МВС. ,
Варіант 80
6. Точки К, L та М лежать на ребрах зображеної на малюнку 105 призми. Скопіюйте малюнок і позначте на ребері АС точку N так, щоб відрізки KN та LM мали спільну точку.
7. Знайдіть об'єм тіла, одержання при обертанні рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом 6 см навколо його осі симетрії.
Варіант 81
6. Точка А належить підставі конуса, зображеного малюнку 106, а точка У - осі SO цього конуса. Скопіюйте малюнок і позначте точку С, у якій пряма АВ перетинає бічну поверхню конуса.
7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 24 см, площа основи 12 см. Одна сторона основи втричі більша за іншу. Обчисліть площу повної поверхні паралелепіпеда.

Варіант 82
6. Правильна чотирикутна піраміда розсічена на два багатогранники площиною, що проходить через бік основи та медіану бічної грані. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 64 см, яке утворює дорівнює діаметру основи. Знайдіть об'єм циліндра.
Варіант 83
6. Точка А належить підставі конуса, зображеного малюнку 107, а точка У - осі SO цього конуса. Скопіюйте малюнок і визначте, де, всередині або зовні конуса, розташована точка прямої АВ.
7. Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює 136см, сторони основи 4см та 6см. Обчисліть діагональ прямокутного паралелепіпеда.
Варіант 84
6. На які багатогранники розбиває пряму призму АВСА "С" площину, що проходить через вершини А, В і С"? Зробіть малюнок.
7. Куля з центром у точці Про стосується площині в точці А. Точка лежить у площині торкання. Знайдіть об'єм кулі, якщо АВ = 21 см, ВО = 29 см.

Варіант 85
6. Точка А належить підставі циліндра, зображеного на малюнку 108, а точка В - осі ГО цього циліндра. Скопіюйте малюнок і позначте точку С, в якій пряма AS перетинає бічну поверхню циліндра.
7. Півколо згорнутий у вигляді бічної поверхні конуса. Радіус основи конуса дорівнює 5 см. Знайдіть об'єм конуса.
Варіант 86
6. Точка А належить підставі циліндра, зображеного на малюнку 109, а точка В - осі ГО цього циліндра. Скопіюйте малюнок і визначте, де, всередині або зовні циліндра, розташована точка С прямої АВ.
7. Діагональ квадрата ABCD дорівнює 10 см. Відрізок AM перпендикулярний до площини квадрата, Z ASM = 60°. Знайдіть відстань від точки М до прямої BD.
Варіант 87
6. У кубі ABCDA"B"C"D" проведено перетин через середини ребер AS і AD і вершину С". Яким багатокутником є цей переріз? Зробіть малюнок і позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Знайдіть площу бічної поверхні тіла, отриманого при обертанні прямокутного трикутника з катетами 4 см і 7 см, навколо більшого катета.

Варіант 88
6. Точки А, В, С та D лежать на ребрах зображеного на малюнку 110 куба. Скопіюйте малюнок та визначте, чи перетинаються відрізки АС та BD.
7. Ромб зі стороною 5 см та кутом 60° обертається навколо своєї меншої діагоналі. Визначте об'єм тіла обертання.
Варіант 89
6. В основі піраміди SABCD, зображеної на малюнку 111, лежить прямокутник. Крапка М належить ребру SB. Скопіюйте малюнок і позначте на ребері SC точку N так, щоб відрізки AN та DM перетиналися.
7. Площа перетину кулі площиною, що проходить через її центр, дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм кулі.
Варіант 90
6. Перетин правильної трикутної призми АВСА "С" проходить через ребро АВ і точку перетину діагоналей грані АСС "А". Яким багатокутником є цей переріз? Зробіть малюнок і позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 8 см і нахилена до площини основи циліндра під кутом 30°. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.

Варіант 91
6. В основі піраміди SABCD, зображеної на малюнку 112, лежить прямокутник. Точка L належить ребру SB, а "точка К - ребру SC. Скопіюйте малюнок і позначте на ребрі CD точку М так, щоб відрізки АК і LM перетиналися.
7. Утворююча конуса дорівнює 4 см, а кут при вершині осьового перерізу дорівнює 90 °. Знайдіть об'єм конуса.
Варіант 92
6. Точка А належить основі циліндра, зображеного на малюнку 113, а точка В - осі ГО цього циліндра. Скопіюйте малюнок і визначте, де, всередині або зовні циліндра, розташована точка С прямої AS.
7. Катети СА та СВ прямокутного трикутника ABC дорівнюють 6 см та 8 см. Через вершину прямого кута С проходить площина, паралельна AS. Менший катет трикутника утворює з цією площиною кут 45°. Знайдіть синус кута, який утворює з нею інший його катет.
Варіант 93
6. Точки К, L та М - центри трьох видимих граней куба, зображеного на малюнку 114. Скопіюйте малюнок і визначте, чи відтинки DL і КМ перетинаються.
7. Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда, в основі якого прямокутник зі сторонами 9 см і 6 см, дорівнює 408 см. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда.

Варіант 94
6. У правильній чотирикутній піраміді проведено перетин через середини двох суміжних сторін основи та середину висоти піраміди. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони цього багатокутника.
7. Радіус основи циліндра дорівнює 8 см, площа бічної поверхні вдвічі менша за площу основи. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
Варіант 95
6. Точки А, В і С лежать на видимій частині бічної поверхні конуса, зображеного на малюнку 115. Один із відрізків з кінцями у цих точках повністю належить поверхні конуса. Зробіть малюнок та проведіть цей відрізок.
7. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 8 см, а бічне ребро нахилено до площини основи під кутом 45°. Знайдіть обсяг піраміди.
Варіант 96
6. У правильній трикутній піраміді SABC проведено перетин через середини ребер АВ та ВС паралельно ребру SC. Яким багатокутником є цей перетин? Зробіть малюнок та позначте рівні сторони багатокутника.
7. Радіус основи циліндра дорівнює 4 см, висота вдвічі більша за довжину кола основи. Знайдіть об'єм циліндра.

Можливо, буде корисно почитати: