Які числа є цілими числами? Види чисел
Словосполучення « числові множини» Досить часто зустрічається в підручниках математики. Там дуже часто можна зустріти фрази такого плану:
«Бла-бла-бла, де належить множині натуральних чисел».
Часто замість закінчення фрази можна побачити такий запис. Вона означає те саме, що і текст трохи вище — число належить множині натуральних чисел. Багато хто досить часто не надає уваги в якій множині визначено ту чи іншу змінну. Через війну застосовуватися абсолютно неправильні методи під час вирішення завдання чи доказ теореми. Це відбувається через те, що властивості чисел, що належать різним множинам, можуть мати відмінності.
Числових множин не так вже й багато. Нижче можна побачити визначення різних числових множин.
Безліч натуральних чисел включає всі цілі числа більше нуля — позитивні цілі числа.
Наприклад: 1, 3, 20, 3057. Безліч не включає цифру 0.
У це числове безлічвходять усі цілі числа більше і менше нуля, а так само нуль.
Наприклад: -15, 0, 139.
Раціональні числа, взагалі кажучи, є безліч дробів, які не скорочуються (якщо дріб скорочується, то це вже буде ціле число, і для цього випадку не варто вводити ще одне числове безліч).
Приклад чисел, що входять до раціональної множини: 3/5, 9/7, 1/2.
,
де - Кінцева послідовність цифр цілої частини числа, що належить множині дійсних чисел. Ця послідовність є кінцевою, тобто кількість цифр у цілій частині речового числа кінцева кількість.
– нескінченна послідовність чисел, що стоять у дробовій частині речового числа. Виходить, що в дрібній частині присутня нескінченна кількість чисел.
Такі числа неможливо уявити у вигляді дробу. В іншому випадку, подібне число можна було б віднести до багатьох раціональних чисел.
Приклади дійсних чисел:
Давайте розглянемо значення кореня з двох уважніше. У цілій частині представлена лише одна цифра — 1, тому ми можемо записати:
У дробовій частині (після точки) послідовно йдуть числа 4, 1, 4, 2 і так далі. Тому для перших чотирьох цифр можна записати:
Смію сподіватися, що тепер запис визначення безлічі дійсних чисел став зрозумілішим.
Висновок
Слід пам'ятати, що одна й та сама функція може виявляти зовсім різні властивості залежно від того, до якої множини належатиме змінна. Так що пам'ятайте основи – вони стануть вам у пригоді.
Post Views: 5 198
Якщо до ряду натуральних чисел приписати ліворуч число 0, то вийде ряд позитивних цілих чисел:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Цілі негативні числа
Розглянемо невеликий приклад. На малюнку ліворуч зображено термометр, який показує температуру 7° тепла. Якщо температура знизиться на 4°, то термометр показуватиме 3° тепла. Зменшенню температури відповідає дія віднімання:
Якщо температура знизиться на 7°, то термометр показуватиме 0°. Зменшенню температури відповідає дія віднімання:
Якщо температура знизиться на 8°, то термометр покаже -1° (1° морозу). Але результат віднімання 7 - 8 не можна записати за допомогою натуральних чисел та нуля.
Проілюструємо віднімання ряду цілих позитивних чисел:
1) Від числа 7 відрахуємо вліво 4 числа та отримаємо 3:
2) Від числа 7 відрахуємо вліво 7 чисел і отримаємо 0:
Відрахувати серед позитивних цілих чисел від числа 7 вліво 8 чисел не можна. Щоб дія 7 - 8 стала здійсненною, розширимо ряд позитивних цілих чисел. Для цього ліворуч від нуля запишемо (праворуч ліворуч) по порядку всі натуральні числа, додаючи до кожного з них знак - , що показує, що це число стоїть ліворуч від нуля.
Записи -1, -2, -3, ... читають мінус 1, мінус 2, мінус 3 і т. д.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Отриманий ряд чисел називають поруч цілих чисел. Точки ліворуч і праворуч у цьому записі означають, що ряд можна продовжувати необмежено праворуч і ліворуч.
Праворуч від числа 0 у цьому ряду розташовані числа, які називають натуральнимиабо цілими позитивними(коротко - позитивними).
Ліворуч від числа 0 у цьому ряду розташовані числа, які називають цілими негативними(коротко - негативними).
Число 0 ціле, але не є ні позитивним, ні негативним числом. Воно поділяє позитивні та негативні числа.
Отже, ряд цілих чисел складається з цілих негативних чисел, нуля та цілих позитивних чисел.
Порівняння цілих чисел
Порівняти два цілих числа- означає дізнатися, яке з них більше, яке менше, або визначити, що числа рівні.
Порівнювати цілі числа можна за допомогою ряду цілих чисел, тому що числа в ньому розташовані від меншого до більшого, якщо рухатися рядом зліва направо. Тому в ряді цілих чисел можна замінити коми на знак менше:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Отже, з двох цілих чисел більше те число, яке в ряду стоїть правіше, і менше те, що стоїть ліворуч, значить:
1) Будь-яке позитивне число більше нуля і більше будь-якого негативного числа:
1 > 0; 15 > -16
2) Будь-яке від'ємне число менше нуля:
7 < 0; -357 < 0
3) З двох негативних чисел більше те, що в ряді цілих чисел стоїть правіше.
Вчитель вищої категорії
Які числа називаються цілими?
Цілі уроку:
-Розширити поняття числа запровадженням негативних чисел:
-Сформувати навичку запису позитивних та негативних чисел.
Завдання уроку.
Освітні – сприяти розвитку вміння узагальнювати та систематизувати, сприяти розвитку математичного кругозору, мислення та мови, уваги та пам'яті.
Виховні - Виховання установки на самоосвіту, самовиховання, точну старанність, творче ставлення до діяльності, критичність мислення.
Розвиваючі – розвивати у школярів вміння порівнювати та узагальнювати, логічно викладати думки, розвивати математичний кругозір, мислення та мовлення, увагу та пам'ять.
Хід уроку:
1. Вступна розмова.
Досі на уроках математики ми розглядали якісь числа?
-Натуральні та дробові.
Які числа називаються натуральними?
- Це числа, що використовуються при рахунку предметів.
Скільки їх можна сказати?
- Безкінечно багато.
Нуль є натуральним числом? Чому?
-Для чого потрібні дробові числа?
-Ми не тільки рахуємо предмети, але частини деяких величин.
Які дроби ви знаєте?
- Звичайні та десяткові.
Завдання №1.
Серед чисел назвіть натуральні? Звичайні дроби? Десяткові дроби?
10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .
2. Пояснення нового матеріалу:
Однак у житті ви вже, напевно, зустрічалися і з іншими числами, якими? Де?
-Негативними. Наприклад, у зведенні погоди.
Перед тим, як перейти до вивчення нової темидавайте обговоримо знаки, які допоможуть у розширенні безлічі чисел. Це знаки плюс та мінус. Подумайте, з чим у житті асоціюються ці знаки. Це може бути все, що завгодно: біле – чорне, гарне – погане. Ваші приклади ми запишемо як таблиці.
Як багато думок викликають лише два знаки. Насправді ці два знаки дають можливість йти в різні сторони. Такі числа, схожі на натуральні, але зі знаком мінус, потрібні в тих випадках, коли величина може змінюватися в двох протилежних напрямках. Для вираження величини негативним числом вводять деяку початкову, нульову позначку. Подивимося приклади, які зробили інші, а вдома подумаєте та зробимо свою презентацію. Слайд №2-7.
Використання знака є дуже зручним. Його використання прийнято у всьому світі. Але так не завжди. Слайд №8.
Отже, поряд із натуральними числами
1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …
Ми розглядатимемо негативні числа, кожне з яких виходить приписуванням до відповідного натурального числа мінус:
-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …
Натуральне число та відповідне йому негативне число називають протилежними. Наприклад, числа15 та -15. Можна -15 і 15. Про протилежний собі.
Правило: Натуральні числа, протилежні їм негативні та число 0 називають цілими числами.Всі ці числа разом становлять безліч цілих чисел.
Відкрийте підручник стор 159, знайдіть правило, прочитайте ще раз, вдома його вчимо напам'ять.
Натуральне число прийнято називати також позитивним цілим, тобто це те саме. Перед ним, щоб підкреслити зовнішню відмінність від негативного, іноді ставиться знак плюс. +5 = 5.
3. Формування умінь та навичок:
1) № 000.
2) Випишіть дані числа у дві групи: позитивні та негативні:
-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.
3) Гра «мій настрій».
Зараз ви оцінюватимете свій настрій зараз за наступною шкалою:
Гарний настрій: +1, +2, +3, +4, +5.
Поганий настрій: -1, -2, -3, -4, -5.
Одна людина писатиме результати на дошці, а решта вголос по черзі говоритиме: «У мене гарний настрійна4бали»
4) Гра «хлопушка»
Я називатиму пари чисел, якщо пара є протилежною, то ви плескаєте в долоні, якщо ж ні, то в класі має бути тиша:
5 та -5; 6 та 0,6; -300 та 300; 3 та 1/3; 8 та 80; 14 та -14; 5/7 та 7/5; -1 та 1.
5) Пропедевтика вивчення складання цілих чисел:
№ 000(а).
Рішення дивимося за допомогою презентації. Слайд №8.
4. Підсумки уроку:
-Які числа називаються позитивними? Негативними?
-Що дізналися про?
- Навіщо потрібні негативні числа?
-Як записуються позитивні та негативні числа?
5. Д/З: п. 8.1 № 000, 721(б), 715(б). Творче завдання: написати вірш для всіх цифр, малюнок, презентацію, казку.
З цифри віднімемо ми іншу,
Ставимо рису пряму.
Цей знак ми дізнаємось,
"Мінус" ми його кличемо.
1.
Коштує одиниця,
Схожа на сірник.
Вона просто рисочка
З маленькою челочкою.
2.
По воді ковзає ледве,
Мов лебідь, цифра два.
Шию вигнула дугою,
Гонить хвилі за собою.
3.
Два гачки, подивися,
Вийшла цифра три.
Але на ці два гачки
Чи не насадиш черв'ячка.
4.
Вилку якось упустили,
Один зубчик відламали.
Виделка ця в цілому світі
Називається "чотири".
5.
Цифра п'ять - з великим черевцем,
Носить кепку з козирком.
У школі цю цифру п'ять
Діти люблять отримувати.
6.
Що за вишенька, друже,
Догори загнутий стеблинка?
Ти спробуй її з'їсти,
Ця вишня – цифра шість.
7.
Я таку кочергу
Сунути в грубку не зможу.
Про неї відомо всім,
Що вона зветься "сім".
8.
Вилася мотузочка, вилася,
У дві петельки заплелася.
"Що за цифра?" - маму спитаємо.
Мама нам відповість: "Вісім".
9.
Вітер сильний дулі дув,
Вишеньку перевернув.
Цифра шість, скажи на милість,
На цифру дев'ять перетворилася.
10.
Немов старша сестричка,
Веде нуль одиночка.
Тільки разом пішли,
Одразу цифрою десять стали.
Вірші про математику
Математика – основа та цариця всіх наук, Аржнікова Світлана, Складна наука математика: Розборів Роман, | Швидкість свою знайти , Раз, два, три, чотири, п'ять, Вітютнева Марина, |
· Багато з математики не залишається в пам'яті, але коли зрозумієш її, тоді легко при нагоді згадати забуте.
Число - абстракція, яка використовується для кількісної характеристики об'єктів. Числа виникли ще первісному суспільстві у зв'язку з потребою людей вважати предмети. З часом у міру розвитку науки число перетворилося на найважливіше математичне поняття.
Для розв'язання завдань та доказів різних теорем необхідно розуміти, які бувають види чисел. Основні види чисел включають: натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, дійсні числа.
Натуральні числа- це числа, одержувані за природного рахунку предметів, а вірніше за її нумерації («перший», «другий», «третій»...). Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N (можна запам'ятати, спираючись на англійське слово natural). Можна сказати, що N ={1,2,3,....}
Цілі числа- Це числа з множини (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ця множина складається з трьох частин - натуральні числа, негативні цілі числа (протилежні натуральним числам) та число 0 (нуль). Цілі числа позначаються латинською літерою Z . Можна сказати, що Z ={1,2,3,....}.
Раціональні числа- Це числа, представлені у вигляді дробу, де m - ціле число, а n - натуральне число. Для позначення раціональних чисел використовується латинська літера Q . Усі натуральні та цілі числа – раціональні. Також як приклади раціональних чисел можна навести: ,,.
Дійсні (речові) числа- Це числа, які застосовуються для вимірювання безперервних величин. Безліч дійсних чисел позначається латинською літерою R. Дійсні числа включають раціональні числа та ірраціональні числа. Ірраціональні числа - це числа, які у результаті виконання різних операцій із раціональними числами (наприклад, вилучення кореня, обчислення логарифмів), але при цьому не є раціональними. Приклади ірраціональних чисел - це,.
Будь-яке дійсне число можна відобразити на числовій прямій:
Для перелічених вище множин чисел справедливе наступне висловлювання:
Тобто безліч натуральних чисел входить до множини цілих чисел. Безліч цілих чисел входить у безліч раціональних чисел. А безліч раціональних чисел входить до множини дійсних чисел. Цей вислів можна проілюструвати за допомогою кіл Ейлера.
Безліч- це набір будь-яких об'єктів, які називаються елементами цієї множини.
Наприклад: безліч школярів, безліч машин, безліч чисел .
У математиці безліч розглядається набагато ширше. Ми не будемо сильно заглиблюватися в цю тему, оскільки вона відноситься до вищої математики і спочатку може створювати труднощі для навчання. Ми розглянемо лише ту частину теми, з якою мали справу.
Зміст урокуПозначення
Безліч найчастіше позначають великими літерами латинського алфавіту, яке елементи - малими. При цьому елементи полягають у фігурних дужках.
Наприклад, якщо наших друзів звуть Том, Джон та Лео , то ми можемо встановити безліч друзів, елементами якого будуть Том, Джон та Лео.
Позначимо безліч наших друзів через заголовну латинську букву F(friends), потім поставимо знак рівності та у фігурних дужках перерахуємо наших друзів:
F = ( Том, Джон, Лео )
Приклад 2. Запишемо багато дільників числа 6.
Позначимо через будь-яку заголовну латинську літеру цю множину, наприклад, через букву D
потім поставимо знак рівності та у фігурних дужках перерахуємо елементи даної множини, тобто перерахуємо дільники числа 6
D = (1, 2, 3, 6)
Якщо якийсь елемент належить заданій множині, то ця приналежність вказується за допомогою знака ∈ . Наприклад, дільник 2 належить множині дільників числа 6 (множині D). Записується це так:
Читається як: «2 належить безлічі дільників числа 6»
Якщо якийсь елемент не належить заданій множині, то ця не приналежність зазначається за допомогою закресленого знака приналежності ∉. Наприклад, дільник 5 не належить множині D. Записується це так:
Читається як: «5 не належитьбезлічі дільників числа 6″
Крім того, безліч можна записувати прямим перерахуванням елементів, без великих літер. Це може бути зручним, якщо множина складається з невеликої кількості елементів. Наприклад, поставимо безліч з одного елемента. Нехай цим елементом буде наш друг Том:
( Том )
Задамо множину, що складається з одного числа 2
{ 2 }
Задамо безліч, що складається з двох чисел: 2 та 5
{ 2, 5 }
Безліч натуральних чисел
Це перше безліч з яким ми почали працювати. Натуральними числами називають числа 1, 2, 3 тощо.
Натуральні числа виникли через потребу людей порахувати інші об'єкти. Наприклад, порахувати кількість курей, корів, коней. Натуральні числа виникають природним чином.
У минулих уроках, коли ми вживали слово «число», Найчастіше передбачалося саме натуральне число.
У математиці безліч натуральних чисел позначається великою латинською літерою N.
Наприклад, зазначимо, що число 1 належить множині натуральних чисел. Для цього записуємо число 1, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказуємо, що одиниця належить до множини N
1 ∈ N
Читається як: «одиниця належить безлічі натуральних чисел»
Безліч цілих чисел
Безліч цілих чисел включає всі позитивні і , а також число 0.
Безліч цілих чисел позначається великою латинською літерою Z .
Вкажемо, наприклад, що число −5 належить множині цілих чисел:
−5 ∈ Z
Вкажемо, що 10 належить безлічі цілих чисел:
10 ∈ Z
Вкажемо, що 0 належить безлічі цілих чисел:
У майбутньому всі позитивні та негативні числа ми називатимемо одним словосполученням. цілі числа.
Безліч раціональних чисел
Раціональні числа, це ті самі звичайні дроби, які ми вивчаємо до цього дня.
Раціональне число - це число, яке може бути представлене у вигляді дробу , де a- чисельник дробу, b- Знаменник.
У ролі чисельника та знаменника можуть бути будь-які числа, у тому числі й цілі (за винятком нуля, оскільки на нуль ділити не можна).
Наприклад, уявімо, що замість aкоштує число 10, а натомість b- Число 2
10 розділити на 2 і 5. Бачимо, що число 5 може бути представлене у вигляді дробу , а значить число 5 входить до множини раціональних чисел.
Легко помітити, що число 5 відноситься і до безлічі цілих чисел. Отже безліч цілих чисел входить до безлічі раціональних чисел. Отже, до множини раціональних чисел входять як звичайні дроби, а й цілі числа виду −2, −1, 0, 1, 2.
Тепер уявімо, що замість aстоїть число 12, а натомість b- Число 5.
12 розділити на 5 і 2,4. Бачимо, що десятковий дріб 2,4 може бути представлена у вигляді дробу, а значить вона входить до множини раціональних чисел. Звідси робимо висновок, що у безліч раціональних чисел входять як прості дроби і цілі числа, а й десяткові дроби.
Ми вирахували дріб і отримали відповідь 2,4. Але ми могли б виділити в цьому дробі цілу частину:
При виділенні цілої частини в дробі виходить змішане число. Бачимо, що змішане число також може бути представлене у вигляді дробу . Значить до множини раціональних чисел входять і змішані числа.
У підсумку ми приходимо до висновку, що безліч раціональних чисел містять у собі:
- цілі числа
- звичайні дроби
- десяткові дроби
- змішані числа
Безліч раціональних чисел позначається великою латинською літерою Q.
Наприклад, вкажемо, що дріб належить безлічі раціональних чисел. Для цього записуємо саму дріб, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказуємо, що дріб належить безлічі раціональних чисел:
∈ Q
Вкажемо, що десятковий дріб 4,5 належить безлічі раціональних чисел:
4,5 ∈ Q
Вкажемо, що змішане число належить до безлічі раціональних чисел:
∈ Q
Вступний урок по безлічі завершено. У майбутньому ми розглянемо безліч набагато краще, а поки що розглянутого в даному уроцібуде достатньо.
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки
Можливо, буде корисно почитати:
- Римська імперія. Стародавній Рим. Римська імперія: прапор, герб, імператори, події Що виникло на місці римської імперії;
- До чого сниться, що хлопець кидає мене;
- Сир філадельфія Домашні рецепти сиру «Філадельфія»;
- Ворожіння на кавовій гущі значення півень;
- Кулемети Росії Калашніков - провідний післявоєнний розробник ссср;
- Гени мітохондріальної днк;
- Сумісність Риб і Риб: безкорислива любов чи нестабільні відносини Сумісність по гороскопу риби немов;
- Як повернути коханого чоловіка без спілкування - перевірені змови сильних відунів Як повернути людину до себе;