Z цілі числа n натуральні. Числові множини - визначення
У цій статті визначимо безліч цілих чисел, розглянемо які цілі називаються позитивними, а які негативними. Також покажемо, як цілі числа використовуються для опису зміни деяких величин. Почнемо з визначення та прикладів цілих чисел.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Цілі числа. Визначення, приклади
Спочатку згадаємо про натуральні числа ℕ. Сама назва говорить про те, що це такі числа, які природно використовувалися для рахунку з давніх-давен. Щоб охопити поняття цілих чисел, нам потрібно розширити визначення натуральних чисел.
Визначення 1. Цілі числа
Цілі числа - це натуральні числа, числа, протилежні їм, і нуль.
Безліч цілих чисел позначається буквою ℤ.
Безліч натуральних чисел ℕ - підмножина цілих чисел ℤ. Будь-яке натуральне числоє цілим, але не будь-яке ціле число є натуральним.
З визначення випливає, що цілим є будь-яке число 1 , 2 , 3 . . , Число 0 , а також числа - 1 , - 2 , - 3 , . .
Відповідно до цього, наведемо приклади. Числа 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 є цілими числами.
Нехай координатна пряма проведена горизонтально та направлена вправо. Погляньмо на неї, щоб наочно уявити розташування цілих чисел на прямій.
Початку відліку на координатній прямій відповідає число 0 , а точкам, що лежать по обидва боки від нуля, відповідають позитивні і негативні цілі числа. Кожній точці відповідає єдине ціле число.
У будь-яку точку прямої, координатою якої є ціле число, можна потрапити, відклавши від початку координат кілька одиничних відрізків.
Позитивні та негативні цілі числа
З усіх цілих чисел логічно виділити позитивні та негативні цілі числа. Дамо їх визначення.
Визначення 2. Позитивні цілі числа
Позитивні цілі числа – це цілі числа зі знаком "плюс".
Наприклад, число 7 – ціле число зі знаком плюс, тобто позитивне ціле число. На координатній прямій це число лежить праворуч від точки відліку, яку прийнято число 0 . Інші приклади позитивних цілих чисел: 12, 502, 42, 33, 100500.
Визначення 3. Негативні цілі числа
Негативні цілі числа – це цілі числа зі знаком "мінус".
Приклади цілих негативних чисел: - 528 - 2568 - 1 .
Число 0 поділяє позитивні та негативні цілі числа і саме не є ні позитивним, ні негативним.
Будь-яке число, протилежне до позитивного цілого числа, з визначення, є негативним цілим числом. Справедливе та протилежне. Число, зворотне будь-якого негативного цілого числа, є позитивне ціле число.
Можна дати інші формулювання визначень негативних і позитивних цілих чисел, використовуючи порівняння з нулем.
Визначення 4. Позитивні цілі числа
Позитивні цілі числа - це цілі числа, які більші за нуль.
Визначення 5. Негативні цілі числа
Негативні цілі числа - це цілі числа, які менші за нуль.
Відповідно, позитивні числа лежать правіше початку відліку на координатній прямій, а негативні цілі числа знаходяться ліворуч від нуля.
Раніше ми вже говорили, що натуральні числа – це підмножина цілих. Уточнимо цей момент. Безліч натуральних чисел становлять цілі позитивні числа. Натомість, безліч негативних цілих чисел є безліччю чисел, протилежних натуральним.
Важливо!
Будь-яке натуральне число можна назвати цілим, але будь-яке ціле число не можна назвати натуральним. Відповідаючи на запитання, чи є негативні числа натуральними, потрібно сміливо говорити – ні, не є.
Непозитивні та невід'ємні цілі числа
Дамо визначення.
Визначення 6. Невід'ємні цілі числа
Невід'ємні цілі числа – це позитивні цілі числа та число нуль.
Визначення 7. Непозитивні цілі числа
Непозитивні цілі числа – це негативні цілі числа та число нуль.
Як бачимо, число нуль не є ні позитивним, ні негативним.
Приклади невід'ємних цілих чисел: 52, 128, 0.
Приклади непозитивних цілих чисел: - 52, - 128,0.
Невід'ємне число - це число, більше або дорівнює нулю. Відповідно, непозитивне ціле число - це число, що менше або дорівнює нулю.
Терміни "непозитивне число" та "невід'ємне число" використовуються для стислості. Наприклад, замість того, щоб говорити, що число a - ціле число, яке більше або дорівнює нулю, можна сказати: a - ціле невід'ємне число.
Використання цілих чисел при описі зміни величин
Навіщо використовуються цілі числа? Насамперед, з їх допомогою зручно описувати та визначати зміну кількості будь-яких предметів. Наведемо приклад.
Нехай на складі зберігається якась кількість колінвалів. Якщо на склад привезуть ще 500 колінвалів, то їхня кількість збільшиться. Число 500 якраз і виражає зміну (збільшення) кількості деталей. Якщо потім зі складу відвезуть 200 деталей, то це число також характеризуватиме зміну кількості колінвалів. На цей раз, у бік зменшення.
Якщо ж зі складу нічого не забиратимуть, і нічого не привозитимуть, то число 0 вкаже на незмінність кількості деталей.
Очевидне зручність використання цілих чисел на відміну натуральних у цьому, що й знак явно свідчить про напрям зміни величини (збільшення чи спадання).
Зниження температури на 30 градусів можна охарактеризувати негативним числом - 30, а збільшення на 2 градуси - позитивним цілим числом 2 .
Наведемо ще один приклад із використанням цілих чисел. Цього разу уявимо, що ми повинні віддати комусь 5 монет. Тоді, можна сказати, що ми маємо – 5 монет. Число 5 описує розмір боргу, а знак мінус говорить про те, що ми повинні віддати монети.
Якщо ми повинні дві монети одній людині, а три - іншій, то загальний борг (5 монет) можна обчислити за правилом складання негативних чисел:
2 + (- 3) = - 5
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Вчитель вищої категорії
Які числа називаються цілими?
Цілі уроку:
-Розширити поняття числа запровадженням негативних чисел:
-Сформувати навичку запису позитивних та негативних чисел.
Завдання уроку.
Освітні – сприяти розвитку вміння узагальнювати та систематизувати, сприяти розвитку математичного кругозору, мислення та мови, уваги та пам'яті.
Виховні - Виховання установки на самоосвіту, самовиховання, точну старанність, творче ставлення до діяльності, критичність мислення.
Розвиваючі – розвивати у школярів вміння порівнювати та узагальнювати, логічно викладати думки, розвивати математичний кругозір, мислення та мовлення, увагу та пам'ять.
Хід уроку:
1. Вступна розмова.
Досі на уроках математики ми розглядали якісь числа?
-Натуральні та дробові.
Які числа називаються натуральними?
- Це числа, що використовуються при рахунку предметів.
Скільки їх можна сказати?
- Безкінечно багато.
Нуль є натуральним числом? Чому?
-Для чого потрібні дробові числа?
-Ми не тільки рахуємо предмети, але частини деяких величин.
Які дроби ви знаєте?
- Звичайні та десяткові.
Завдання №1.
Серед чисел назвіть натуральні? Звичайні дроби? Десяткові дроби?
10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .
2. Пояснення нового матеріалу:
Однак у житті ви вже, напевно, зустрічалися і з іншими числами, якими? Де?
-Негативними. Наприклад, у зведенні погоди.
Перед тим, як перейти до вивчення нової темидавайте обговоримо знаки, які допоможуть у розширенні безлічі чисел. Це знаки плюс та мінус. Подумайте, з чим у житті асоціюються ці знаки. Це може бути все, що завгодно: біле – чорне, добре – погане. Ваші приклади ми запишемо як таблиці.
Як багато думок викликають лише два знаки. Насправді ці два знаки дають можливість йти в різні сторони. Такі числа, схожі на натуральні, але зі знаком мінус, потрібні в тих випадках, коли величина може змінюватися в двох протилежних напрямках. Для виразу величини негативним числом вводять деяку початкову нульову позначку. Подивимося приклади, які зробили інші, а вдома подумаєте та зробимо свою презентацію. Слайд №2-7.
Використання знака є дуже зручним. Його використання прийнято у всьому світі. Але так не завжди. Слайд №8.
Отже, поряд із натуральними числами
1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …
Ми розглядатимемо негативні числа, кожне з яких виходить приписуванням до відповідного натурального числа мінус:
-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …
Натуральне число та відповідне йому негативне число називають протилежними. Наприклад, числа15 та -15. Можна -15 і 15. Про протилежний собі.
Правило: Натуральні числа, протилежні їм негативні та число 0 називають цілими числами.Всі ці числа разом становлять безліч цілих чисел.
Відкрийте підручник стор 159, знайдіть правило, прочитайте ще раз, вдома його вчимо напам'ять.
Натуральне число прийнято називати також позитивним цілим, тобто це те саме. Перед ним, щоб підкреслити зовнішню відмінність від негативного, іноді ставиться знак плюс. +5 = 5.
3. Формування умінь та навичок:
1) № 000.
2) Випишіть дані числа у дві групи: позитивні та негативні:
-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.
3) Гра «мій настрій».
Зараз ви оцінюватимете свій настрій зараз за наступною шкалою:
Гарний настрій: +1, +2, +3, +4, +5.
Поганий настрій: -1, -2, -3, -4, -5.
Одна людина писатиме результати на дошці, а решта вголос по черзі говоритиме: «У мене гарний настрійна4бали»
4) Гра «хлопушка»
Я називатиму пари чисел, якщо пара є протилежною, то ви плескаєте в долоні, якщо ж ні, то в класі має бути тиша:
5 та -5; 6 та 0,6; -300 та 300; 3 та 1/3; 8 та 80; 14 та -14; 5/7 та 7/5; -1 та 1.
5) Пропедевтика вивчення складання цілих чисел:
№ 000(а).
Рішення дивимося за допомогою презентації. Слайд №8.
4. Підсумки уроку:
-Які числа називаються позитивними? Негативними?
-Що дізналися про?
- Навіщо потрібні негативні числа?
-Як записуються позитивні та негативні числа?
5. Д/З: п. 8.1 № 000, 721(б), 715(б). Творче завдання: написати вірш для всіх цифр, малюнок, презентацію, казку.
З цифри віднімемо ми іншу,
Ставимо рису пряму.
Цей знак ми дізнаємось,
"Мінус" ми його кличемо.
1.
Коштує одиниця,
Схожа на сірник.
Вона просто рисочка
З маленькою челочкою.
2.
По воді ковзає ледве,
Мов лебідь, цифра два.
Шию вигнула дугою,
Гонить хвилі за собою.
3.
Два гачки, подивися,
Вийшла цифра три.
Але на ці два гачки
Чи не насадиш черв'ячка.
4.
Вилку якось упустили,
Один зубчик відламали.
Виделка ця в цілому світі
Називається "чотири".
5.
Цифра п'ять - з великим черевцем,
Носить кепку з козирком.
У школі цю цифру п'ять
Діти люблять отримувати.
6.
Що за вишенька, друже,
Догори загнутий стеблинка?
Ти спробуй її з'їсти,
Ця вишня – цифра шість.
7.
Я таку кочергу
Сунути в грубку не зможу.
Про неї відомо всім,
Що вона зветься "сім".
8.
Вилася мотузочка, вилася,
У дві петельки заплелася.
"Що за цифра?" - маму спитаємо.
Мама нам відповість: "Вісім".
9.
Вітер сильний дулі дув,
Вишеньку перевернув.
Цифра шість, скажи на милість,
На цифру дев'ять перетворилася.
10.
Немов старша сестричка,
Веде нуль одиночка.
Тільки разом пішли,
Одразу цифрою десять стали.
Вірші про математику
Математика – основа та цариця всіх наук, Аржнікова Світлана, Складна наука математика: Розборів Роман, | Швидкість свою знайти , Раз, два, три, чотири, п'ять, Вітютнева Марина, |
· Багато з математики не залишається в пам'яті, але коли зрозумієш її, тоді легко при нагоді згадати забуте.
Алгебраїчні властивості
Посилання
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Міліціонери, що цілуються
- Цілі речі
Дивитись що таке "Цілі числа" в інших словниках:
Гаусові цілі числа- (Гаусові числа, цілі комплексні числа) це комплексні числа, у яких як речова, так і уявна частина цілі числа. Введені Гаусом у 1825 році. Зміст 1 Визначення та операції 2 Теорія ділимості … Вікіпедія
ЧИСЛА ЗАПОЛНЕННЯ- у квантовій механіці та квантовій статистиці, числа, що вказують ступінь заповнення квант. станів ч цями квантовомеханіч. системи багатьох тотожних часток. Для систем ч ц із напівцілим спином (ферміонів) Ч. з. можуть приймати лише два значення. Фізична енциклопедія
Числа Цукермана– Числа Цукермана такі натуральні числа, які діляться на твір своїх цифр. Приклад 212 число Цукермана, оскільки і. Послідовність Усі цілі числа від 1 до 9 є числами Цукермана. Всі числа, що включають нуль, не …
Цілі числа алгебри- Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема речові) корені багаточленів з цілими коефіцієнтами та зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці. По відношенню до додавання та множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні… … Вікіпедія
Цілі комплексні числа- гаусові числа, числа виду а + bi, де а та b цілі числа (наприклад, 4 7i). Геометрично зображуються точками комплексної площини, що мають цілі координати. Ц. до. ч. введені К. Гауссом в 1831 у зв'язку з дослідженнями з теорії…
Числа Каллена- У математиці числами Каллена називають натуральні числа виду n 2n + 1 (пишається Cn). Числа Каллена вперше були вивчені Джеймсом Калленом в 1905 році. особливий виглядчисел Прота. Властивості У 1976 році Крістофер Хулей (Christopher… … Вікіпедія
Числа з фіксованою точкою- Число з фіксованою комою формат подання речового числа в пам'яті ЕОМ у вигляді цілого числа. При цьому саме число x та його ціле уявлення x′ пов'язані формулою, де z ціна молодшого розряду. Найпростіший прикладарифметики з… … Вікіпедія
Числа заповнення- у квантовій механіці та квантовій статистиці, числа, що вказують ступінь заповнення квантових станів частинками квантово-механічної системи багатьох тотожних частинок. Для системи частинок з напівцілим Спіном. Велика радянська енциклопедія
Числа Лейланду- Число Лейланда це натуральне число, представлене у вигляді xy + yx, де x і y цілі числа більші за 1. Перші 15 чисел Лейланду: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 послідовність A076980 в OEIS.
Цілі числа алгебри- Числа, що є корінням рівнянь виду xn + a1xn 1 + ... + an = 0, де a1, ..., an цілі раціональні числа. Наприклад, x1 = 2 + Ц. а. год., оскільки x12 4x1 + 1 = 0. Теорія Ц. а. ч. виникла у 30 40 х рр. 19 ст. у зв'язку з дослідженнями К.… … Велика радянська енциклопедія
Книги
- Арифметика: Цілі числа. Про подільність чисел. Вимірювання величин. Метрична система заходів. Прості , Кисельов, Андрій Петрович. До уваги читачів пропонується книга видатного вітчизняного педагога та математика А. П. Кисельова (1852–1940), що містить систематичний курс арифметики. Книга включає шість розділів.
Безліч- це набір будь-яких об'єктів, які називаються елементами цієї множини.
Наприклад: безліч школярів, безліч машин, безліч чисел .
У математиці безліч розглядається набагато ширше. Ми не будемо сильно заглиблюватися в цю тему, оскільки вона відноситься до вищої математики і спочатку може створювати труднощі для навчання. Ми розглянемо лише ту частину теми, з якою мали справу.
Зміст урокуПозначення
Безліч найчастіше позначають великими літерами латинського алфавіту, яке елементи - малими. При цьому елементи полягають у фігурних дужках.
Наприклад, якщо наших друзів звуть Том, Джон та Лео , то ми можемо встановити безліч друзів, елементами якого будуть Том, Джон та Лео.
Позначимо безліч наших друзів через велику латинську букву F(friends), потім поставимо знак рівності та у фігурних дужках перерахуємо наших друзів:
F = ( Том, Джон, Лео )
Приклад 2. Запишемо багато дільників числа 6.
Позначимо через будь-яку заголовну латинську літеру цю множину, наприклад, через букву D
потім поставимо знак рівності та у фігурних дужках перерахуємо елементи даної множини, тобто перерахуємо дільники числа 6
D = (1, 2, 3, 6)
Якщо якийсь елемент належить заданій множині, то ця приналежність вказується за допомогою знака ∈ . Наприклад, дільник 2 належить множині дільників числа 6 (множині D). Записується це так:
Читається як: «2 належить безлічі дільників числа 6»
Якщо якийсь елемент не належить заданій множині, то ця не приналежність зазначається за допомогою закресленого знака приналежності ∉. Наприклад, дільник 5 не належить множині D. Записується це так:
Читається як: «5 не належитьбезлічі дільників числа 6″
Крім того, безліч можна записувати прямим перерахуванням елементів, без великих літер. Це може бути зручним, якщо множина складається з невеликої кількості елементів. Наприклад, поставимо безліч з одного елемента. Нехай цим елементом буде наш друг Том:
( Том )
Задамо множину, що складається з одного числа 2
{ 2 }
Задамо безліч, що складається з двох чисел: 2 та 5
{ 2, 5 }
Безліч натуральних чисел
Це перше безліч з яким ми почали працювати. Натуральними числами називають числа 1, 2, 3 тощо.
Натуральні числа виникли через потребу людей порахувати інші об'єкти. Наприклад, порахувати кількість курей, корів, коней. Натуральні числа виникають природним чином.
У минулих уроках, коли ми вживали слово «число», Найчастіше передбачалося саме натуральне число.
У математиці безліч натуральних чисел позначається великою латинською літерою N.
Наприклад, вкажемо, що число 1 належить множині натуральних чисел. Для цього записуємо число 1, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказуємо, що одиниця належить до множини N
1 ∈ N
Читається як: «одиниця належить безлічі натуральних чисел»
Безліч цілих чисел
Безліч цілих чисел включає всі позитивні і , а також число 0.
Безліч цілих чисел позначається великою латинською літерою Z .
Вкажемо, наприклад, що число −5 належить множині цілих чисел:
−5 ∈ Z
Вкажемо, що 10 належить безлічі цілих чисел:
10 ∈ Z
Вкажемо, що 0 належить безлічі цілих чисел:
У майбутньому всі позитивні та негативні числа ми називатимемо одним словосполученням. цілі числа.
Безліч раціональних чисел
Раціональні числа, це ті самі звичайні дроби, які ми вивчаємо до цього дня.
Раціональне число - це число, яке може бути представлене у вигляді дробу , де a- чисельник дробу, b- Знаменник.
У ролі чисельника та знаменника можуть бути будь-які числа, у тому числі й цілі (за винятком нуля, оскільки на нуль ділити не можна).
Наприклад, уявімо, що замість aкоштує число 10, а натомість b- Число 2
10 розділити на 2 і 5. Бачимо, що число 5 може бути представлене у вигляді дробу , а значить число 5 входить до множини раціональних чисел.
Легко помітити, що число 5 відноситься і до безлічі цілих чисел. Отже безліч цілих чисел входить до безлічі раціональних чисел. Отже, до множини раціональних чисел входять як звичайні дроби, а й цілі числа виду −2, −1, 0, 1, 2.
Тепер уявімо, що замість aстоїть число 12, а замість b- Число 5.
12 розділити на 5 і 2,4. Бачимо, що десятковий дріб 2,4 може бути представлена у вигляді дробу, а значить вона входить до множини раціональних чисел. Звідси робимо висновок, що у безліч раціональних чисел входять як прості дроби і цілі числа, а й десяткові дроби.
Ми вирахували дріб і отримали відповідь 2,4. Але ми могли б виділити в цьому дробі цілу частину:
При виділенні цілої частини в дробі виходить змішане число. Бачимо, що змішане число також може бути представлене у вигляді дробу . Значить до множини раціональних чисел входять і змішані числа.
У підсумку ми приходимо до висновку, що безліч раціональних чисел містять у собі:
- цілі числа
- звичайні дроби
- десяткові дроби
- змішані числа
Безліч раціональних чисел позначається великою латинською літерою Q.
Наприклад, вкажемо, що дріб належить безлічі раціональних чисел. Для цього записуємо саму дріб, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказуємо, що дріб належить безлічі раціональних чисел:
∈ Q
Вкажемо, що десятковий дріб 4,5 належить безлічі раціональних чисел:
4,5 ∈ Q
Вкажемо, що змішане число належить до безлічі раціональних чисел:
∈ Q
Вступний урок по безлічі завершено. У майбутньому ми розглянемо безліч набагато краще, а поки що розглянутого в даному уроцібуде достатньо.
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки
Натуральні числа
Натуральні числа визначення – це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів та багатьох інших цілей. Ось ці числа:
Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яким є найменше натуральне число? Одиниця – це найменше натуральне число.
Яким є найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.
Сума натуральних чисел є натуральним числом. Отже, додавання натуральних чисел a і b:
Добуток натуральних чисел є натуральним числом. Отже, добуток натуральних чисел a і b:
с – це завжди натуральне число.
Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше віднімається, то різниця натуральних чисел є натуральним числом, інакше - ні.
Частина натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a та b
де з - натуральне число, це означає, що a ділиться на b націло. У цьому прикладі a - подільне, b - дільник, c - приватне.
Дільник натурального числа - це натуральне число, яке перше число ділиться націло.
Кожне натуральне число поділяється на одиницю та на себе.
Прості натуральні числа поділяються лише на одиницю та на себе. Тут мається на увазі діляться повністю. Наприклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться лише з одиницю і він. Це найпростіші натуральні числа.
Одиницю не вважають простим числом.
Числа, які більші за одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складових чисел:
Одиницю не вважають складовим числом.
Безліч натуральних чисел становлять одиниця, прості числа та складові числа.
Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N.
Властивості додавання та множення натуральних чисел:
переміщувальна властивість додавання
сполучна властивість додавання
(a + b) + c = a + (b + c);
переміщувальна властивість множення
сполучна властивість множення
(ab) c = a (bc);
розподільна властивість множення
A(b+c) = ab+ac;
Цілі числа
Цілі числа – це натуральні числа, нуль та числа, протилежні натуральним.
Числа, протилежні натуральним – це цілі негативні числа, наприклад:
1; -2; -3; -4;...
Безліч цілих чисел позначається латинською літерою Z.
Раціональні числа
Раціональні числа - це цілі числа та дроби.
Будь-яке раціональне числоможе бути представлено у вигляді періодичного дробу. Приклади:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
З прикладів видно, будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.
Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді дробу m/n, де m ціле число,n натуральнечисло. Подаємо у вигляді такого дробу число 3,(6) з попереднього прикладу.
Можливо, буде корисно почитати:
- План дослідницької роботи та проекту;
- Актуальність теми дослідження приклади;
- Бухгалтер з розрахунку заробітної плати (розширений курс) Курси з розрахунку заробітної плати в 1с;
- НТГ – порушення толерантності до глюкози: причини прояву, симптоми та методи корекції;
- Римська імперія. Стародавній Рим. Римська імперія: прапор, герб, імператори, події Що виникло на місці римської імперії;
- До чого сниться, що хлопець кидає мене;
- Сир філадельфія Домашні рецепти сиру «Філадельфія»;
- Ворожіння на кавовій гущі значення півень;