Пучок площин у просторі. Пучок прямих, рівняння пучка прямих

У цій статті ми дамо визначення пучка площин, отримаємо рівняння пучка площин щодо заданої прямокутної системи координат та докладно розглянемо розв'язання характерних завдань, пов'язаних із поняттям пучка площин.

Навігація на сторінці.

Пучок площин – визначення.

З аксіом геометрії випливає, що в тривимірному просторі через пряму і точку, що не лежить на ній, проходить єдина площина. А з цього твердження випливає, що існує безліч площин, що містять заздалегідь задану пряму. Обґрунтуємо це.

Нехай нам задано пряму a . Візьмемо точку М 1 , яка не лежить на прямій a . Тоді через пряму і точку М 1 ми можемо провести площину, причому тільки одну. Позначимо її. Тепер візьмемо точку М 2 , що не лежить у площині. Через пряму і точку М 2 проходить єдина площина . Якщо взяти точку М 3 , що не лежить ні в площині , ні в площині , можна побудувати площину , що проходить через пряму a і точку М 3 . Очевидно, цей процес побудови площин, що проходять через задану пряму a можна продовжувати нескінченно.

Так ми підійшли до визначення пучка площин.

Визначення.

Пучок площин- Це безліч всіх площин в тривимірному просторі, що проходять через одну дану пряму.

Пряму, яку містять усі площини пучка, називають центром цього пучка площин. Таким чином, має місце вираз «пучок площин із центром a».

Конкретний пучок площин можна визначити або вказавши його центр, або вказавши будь-які дві площини цього пучка, що по суті те саме. З іншого боку будь-які дві площини, що перетинаються, задають деякий пучок площин.

Рівняння пучка площин – розв'язання задач.

Для практичних цілей цікавить не стільки пучок площин у його геометричному образі скільки.

Давайте відразу відповімо на логічне запитання: «Що таке рівняння пучка площин»?

Для цього вважатимемо, що в тривимірному просторі введено Oxyz і заданий пучок площин за допомогою вказівки двох площин і з нього. Нехай площині відповідає загальне рівняння площини виду, а площині виду. Так от рівнянням пучка площин називають рівняння, яке задає рівняння всіх площин цього пучка.

Виникає таке логічне питання: «Який вид має рівняння пучка площин у прямокутній системі координат Oxyz»?

Вигляд рівняння пучка площин дає таку теорему.

Теорема.

Площина належить пучку площин, який визначають дві площини, що перетинаються і , задані рівняннями і відповідно, тоді і тільки тоді, коли її загальне рівняння має вигляд , де і - довільні дійсні числа, одночасно не рівні нулю (остання умова еквівалентна нерівності ).

Доведення.

Для доказу достатності треба показати:

Перепишемо рівняння у вигляді. Отримане рівняння є загальним рівнянням площини, якщо вирази та одночасно не дорівнюють нулю.

Доведемо, що вони справді не звертаються до нуля одночасно методом від протилежного. Припустимо, що . Тоді, якщо, то, якщо ж, то. Отримані рівності означають, що вектори та пов'язані співвідношеннями або (за потреби дивіться статтю ), отже, виконується і . Так як - нормальний вектор площини, - нормальний вектор площини і вектори і колінеарні, то площини і паралельні або збігаються (див. статтю умова паралельності двох площин). А цього бути не може, тому що площини і задають пучок площин, а отже, перетинаються.

Отже, рівняння справді є загальним рівнянням площини. Покажемо, що площина, яка визначається цим рівнянням, проходить через лінію перетину площин і .

Якщо це дійсно так, то система рівнянь виду має безліч рішень. (Якщо записана система рівнянь має єдине рішення, то площини, з рівнянь яких складена система, мають єдину загальну точку, отже, площина перетинає пряму, що визначається площинами, що перетинаються і . Якщо записана система рівнянь не має рішень, то не існує точки, одночасно належить усім трьом площинам, отже, площина паралельна прямий, заданої площинами, що перетинаються, і ).

Так як перше рівняння записаної системи рівнянь є лінійною комбінацією другого і третього рівнянь, то воно зайве і його можна без наслідків виключити з системи (про це ми говорили в статті). Тобто, вихідна система рівнянь еквівалентна системі рівнянь виду . А ця система має безліч рішень, оскільки площини і мають безліч спільних точок через те, що вони перетинаються.

Достатність доведено.

Переходимо до підтвердження необхідності.

Для доказу необхідності потрібно показати, що, яка б не була наперед задана площина, що проходить через лінію перетину площин і вона визначається рівнянням при деяких значеннях параметрів і .

Візьмемо площину, яка проходить через точку і через лінію перетину площин і (М 0 не лежить на лінії перетину цих площин). Покажемо, що завжди можна вибрати такі значення і параметрів і , у яких координати точки М 0 задовольняти рівнянню , тобто, буде справедливо рівність . Цим буде доведено достатність.

Підставимо в рівняння координати точки М0: . Так як площини і одночасно не проходять через точку М 0 (інакше ці площини збігалися б), то хоча б один із виразів або відмінно від нуля. Якщо , то рівняння можна вирішити щодо параметра як і, надавши параметру довільне ненульове значення обчислюємо . Якщо, то надавши параметру довільне ненульове значення, обчислюємо .

Теорему повністю доведено.

Отже, має вигляд. Воно задає всі площини пучка. Якщо ж узяти деяку пару значень і підставити в рівняння пучка площин, ми отримаємо загальне рівняння однієї площини з цього пучка.

Так як в рівнянні пучка площин параметри і одночасно не дорівнюють нулю, то його можна записати у вигляді , якщо , і у вигляді , якщо .

Однак ці рівняння не еквівалентні рівнянню пучка площин виду, тому що ні при яких значеннях із рівняння не можна отримати рівняння площини виду, а з рівняння ні при яких значеннях не отримати рівняння площини виду.

Переходимо до вирішення прикладів.

приклад.

Напишіть рівняння пучка площин, який у прямокутній системі координат Oxyz задають дві площини, що перетинаються. та .

Рішення.

Задане рівняння площини у відрізках рівнозначне загальному рівнянню площини виду. Тепер ми можемо записати потрібне рівняння пучка площин: .

Відповідь:

приклад.

Чи належить площину пучку площин з центром?

Рішення.

Якщо площина належить пучку, то пряма, що є центром пучка, лежить у цій площині. Таким чином, можна взяти дві різні точки прямої і перевірити, чи вони лежать у площині . Якщо так, то площина належить вказаному пучку площин, якщо ні – не належить.

Параметричні рівняння прямої у просторі дозволяють легко визначити координати точок, що лежать на ній. Візьмемо два значення параметра (наприклад, і) і обчислимо координати двох точок М1 і М2 прямий:

Власним пучком площин називається множина всіх площин, що проходять через одну пряму.

Невласним пучком площин називається безліч усіх паралельних між собою площин.

Теорема 1.Для того щоб три площини, задані загальними рівняннями

щодо загальної декартової системи координат, що належали одному пучку, власному або невласному, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці

дорівнював або двом, або одиниці.

Доказ необхідності. Нехай три площини (1) належать одному пучку. Потрібно довести, що

Припустимо спочатку, що три дані поверхні належать своєму пучку. Тоді система (1) має безліч рішень (т.к. за визначенням власного пучка: три площини належать пучку, якщо вони проходять через одну пряму); це буде тоді і тільки тоді, коли, оскільки, то система (1) або має єдине рішення, або несумісна, зважаючи на те, чи буде визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, відмінний від нуля або дорівнює нулю.

Якщо три дані площини належать невласному пучку, то ранг матриці

дорівнює 1, а значить, ранг матриці Мдорівнює або двом або одиниці.

Доказ достатності. Дано: Потрібно довести, що три дані площини належать одному пучку.

Якщо, то й. Нехай. Тоді система (1) спільна, має безліч рішень, а серед даних площин є перетинаються, (т.к. якби не було перетинаються, то вони були б всі паралельні і ранг матриці був би дорівнює 1), тому три дані площини належать власному пучку.

Якщо; всі площини колінеарні (дві з них неодмінно паралельні, а третя може і збігатися з однією з паралельних площин).

Якщо, то і всі площини збігаються.

Теорема 2. Нехай у загальній декартовій системі координат задані дві різні площини та загальними рівняннями: ; .

Для того, щоб третя площина, задана також загальним рівнянням

щодо тієї ж системи координат, належала пучку, що визначається площинами і, необхідно і достатньо, щоб ліва частина рівняння площини була лінійною комбінацією лівих частин рівнянь площин і.

Доказ необхідності. Дано: площина належить пучку площин, що визначається площинами та. Потрібно довести, що існують числа і такі, що буде виконано тотожність, справедлива при всіх значеннях х, у, z:

Справді, якщо три площини, і належать одному пучку, то де

Перші два рядки цієї матриці лінійно незалежні (оскільки площини і різні), тому що, третій рядок є лінійна комбінація двох перших, тобто. існують число і такі, що

Помножуючи обидві частини першої рівності на х, обидві частини другої на у, обидві частини третьої на zі складаючи почленно отримані рівності і рівність, отримаємо тожність, що доводиться.

Доказ достатності.Нехай тотожність

справедливо за всіх значень х, уі z. Потрібно довести, що площина належить пучку, що визначається площинами та.

З цього тотожності випливають співвідношення,

так що третій рядок матриці Мє лінійна комбінація двох перших, а тому. Ч.т.д.

Рівняння де і не рівні нулю одночасно, називаються рівнянням пучка площин, що визначається двома різними площинами і рівняння яких у загальній декартовій системі координат такі:

Як було доведено, рівняння будь-якої площини пучка, що визначається різними площинами і може бути записано у вигляді.

Назад якщо рівняння, в якому хоча б одне з чисел і не дорівнює нулю, є рівняння першого ступеня, воно є рівнянням площини, що належить пучку, що визначається площинами і. Справді, третій рядок матриці М, Складеної з коефіцієнтів рівнянь і має вигляд

тобто. є лінійною комбінацією двох інших, тому.

Якщо площини і перетинаються, а й не дорівнюють нулю одночасно, то всі коефіцієнти при х, у, zв рівнянні не можуть дорівнювати нулю, так як якби мали місце співвідношення

то площини і були б колінеарними всупереч припущенню.

Але якщо площини і паралельні, то існують такі числа і, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю, і такі, що в рівнянні всі коефіцієнти при х, уі zрівні нулю. Але тоді це буде невласний пучок, і як і у разі пучка прямих, тут треба бути дуже уважним.

Насамперед ми скажемо, що площина

є лінійна комбінація площин

якщо рівняння (1) є лінійною комбінацією рівнянь (2) і (3), тобто якщо знайдуться такі і , що має місце тотожність

З тотожності (4) випливає, що будь-яка точка ), яка задовольняє обох рівнянь (2) і (3), задовольняє і рівнянню (1) - будь-яка точка, що належить обох площин (2) і (3), належить і площині (1) . Іншими словами:

Площина, що є лінійною комбінацією двох даних площин, що перетинаються (2) і (3), проходить через пряму перетину цих площин. Доведемо, що й, назад, будь-яка площина (1), що проходить через пряму перетину d двох даних площин (2) і (3), є лннейпо комбінацією цих площин.

Без обмеження спільності можемо припустити, що площина (1) не збігається з жодною з площин (2) і (3). Доказ такий самий, як у прямих (гл. V, § 5).

Площина, що проходить через пряму d, буде повністю визначена, якщо ми вкажемо якусь її точку (рис. 122), що не лежить на прямій d.

Візьмемо таку точку на нашій площині (1) і напишемо рівняння з двома невідомими і :

Так як за припущенням точка не лежить на прямій d, хоча б одна з дужок в лівій частині рівняння (5) відмінна від нуля; із цього рівняння (5) однозначно визначається відношення

Нехай тепер і якісь числа, що задовольняють пропорції (6). Тоді виконано і рівність (5), що означає, що точка лежить на площині

Але ця площина, будучи лінійною комбінацією площин (2) і (3), проходить через пряму d і містить точку , що належить площині (означає, площина (1) збігається з площиною (7) і є лінійною комбінацією площин (2) і ( 3).Твердження доведено.

Отже, щоб площина (1) проходила через пряму перетину двох площин (2) і (3), необхідно і достатньо, щоб рівняння (1) було лінійною комбінацією рівнянь (2) і (3).

Нехай тепер площини (2) та (3) паралельні. Так само як і в § 5 глави V, ми переконуємося в тому, що будь-яка площина, що є лінійною комбінацією площин (2) і (3), буде їм паралельна і що, назад, будь-яка площина, паралельна двом (паралельним між собою) площин (2) і (3), є їх лінійною комбінацією.

Назвемо сукупність всіх площин, що проходять через дану пряму d, власним пучком площин з віссю назвемо невласним пучком площин сукупність усіх площин, паралельних (у широкому значенні слова) однієї якоїсь площини. Нарешті, назвемо безліч всіх площин, що є лінійними комбінаціями двох яких-небудь площин і одновимірним різноманіттям площин, породженим двома своїми елементами і . Ми довели, що будь-який пучок площин (власний чи невласний) є одномірним різноманіттям, породженим будь-якими двома своїми елементами.

Назад, всяке одновимірне різноманіття площин (породжене якими-небудь двома площинами і 62) є пучок площин - власний, якщо площини і 62 перетинаються, невласний, якщо вони паралельні.

У розділі XXIII цих «Лекцій» ми побудуємо проектний простір, поповнивши звичайний простір нескінченно віддаленими (невласними) точками таким чином, що сукупність цих нескінченно віддалених точок утворює нескінченно віддалену (невласну) площину;

Всі прямі, що лежать у цій площині, також будуть називатися нескінченно віддаленими або невласними. Кожна «власна» (тобто звичайна) площину простору перетинається з невласною площиною по невласної прямий - по єдиної невласної прямий цієї площині. При цьому виявляється, що дві власні площини тоді і тільки тоді паралельні, коли вони перетинаються (своєю загальною) нескінченно віддаленої прямої. Таким чином, у проективному просторі різницю між власними та невласними пучками площин зникає: невласний пучок – це пучок площин, віссю якого є одна з невласних прямих проективного простору.

Лекції з алгебри та геометрії. Семестр 1

Лекція 14. Рівняння пучка прямих на площині, пучка площин та зв'язки площин.

Глава 14. Рівняння пучка прямих на площині, пучка площин та зв'язки площин.

п.1. Рівняння прямих пучка на площині.

Визначення. Пучком прямих на площині називається множина всіх прямих даної площини, що мають одну загальну точку, яка називається центром пучка.

На рис.1 точка
- Центр пучка.

Теорема. Нехай

- Дві прямі в координатній площині Оху, що перетинаються в точці
. Тоді рівняння

де
- Довільні дійсні числа одночасно не рівні нулю, є рівняння пучка прямих з центром пучка в точці
.

Доведення.

Нехай L – довільна пряма цього пучка з центром пучка у точці
і - Її нормальний вектор. Тоді векторне рівняння прямої L має вигляд:

, (2)

де – радіус-вектор точки
, - Текучий радіус-вектор, тобто. радіус-вектор поточної точки
.

Оскільки прямі і
за умовою теореми перетинаються, їх нормальні вектори не колінеарні і, отже, утворюють базис.

Тоді вектор може бути розкладений за цим базисом:

де
- Коефіцієнти цього розкладання одночасно не рівні нулю, т.к. за визначенням нормальний вектор
. Підставляючи в (2) отримуємо або

Але
і
- Векторні рівняння прямих і
, тобто. ,

Підставляючи (3), отримуємо рівність (1).

Таким чином, ми довели, що рівняння будь-якої прямої з цього пучка має вигляд (1).

Назад, доведемо, що за будь-яких
, Одночасно не рівних нулю, рівняння (1) є рівняння деякої прямої з даного пучка.

Дійсно, з одного боку, за будь-яких
, одночасно не рівних нулю, рівняння (1) є загальне рівняння прямої

З іншого боку, нехай у рівнянні (1)
- довільні дійсні числа, одночасно не рівні нулю, і нехай
- Координати центру пучка. Так як
і
координати центру пучка задовольняють рівнянням прямих і
:

Тоді, підставляючи координати точки
в рівняння (1), отримуємо

Тобто. рівняння (1) є рівняння прямої, що проходить через точку
, Отже пряма належить даному пучку, ч.т.д.

Теорему доведено.

Зауваження. Якщо в (1)

. Якщо
, то рівняння (1) є рівняння прямої . Тому, якщо рівняння (1) рахувати на
, то отримаємо рівняння будь-якої прямої з даного пучка, крім прямої
:

приклад. Написати рівняння довільної прямої, яка проходить через задану точку
.

Рішення. Шукана пряма є пряма пучка прямих з центром пучка в точці
. Очевидно, що наступні дві прямі належать цьому пучку:

Або
,
. Тоді рівняння будь-якої прямої цього пучка має вигляд

Якщо замінити у цьому рівнянні грецькі літери на латинські, отримуємо

- Рівняння прямої, що проходить через задану точку
. Зокрема, при
, Отримуємо рівняння пучка прямих з центром пучка на початку координат:
.

Розділивши рівняння (5) на
отримуємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через задану точку
:

, (6)

а при
отримуємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через початок координат:

Іншими словами, рівняння
, де
, Є рівняння пучка прямих з центром пучка на початку координат.

п.2. Рівняння зв'язування площин.

Визначення. Зв'язуванням площин називається безліч всіх площин, що мають одну загальну точку, яка називається центром зв'язування.

Теорема. Нехай , ,

– три площини в ПДСК Охуz, які мають єдину загальну точку.
. Тоді рівняння , (7)

де
- довільні дійсні числа одночасно не рівні нулю, є рівняння зв'язки площин з центром зв'язки в точці
.

Доказ практично один одного повторює доказ попередньої теореми про рівняння пучка прямих.

приклад. Знайти рівняння зв'язування площин з центром зв'язування в точці
.

Рішення. Очевидно, що наступні три площини перетинаються в єдиній точці
:

,
,
.

Тоді рівняння

де
і одночасно не дорівнюють нулю, є шукане рівняння.

Зокрема, якщо
, то рівняння

(9)

є рівняння зв'язування площин із центром зв'язки на початку координат.

п.3. Рівняння пучка площин.

Визначення. Пучком площин називається безліч всіх площин, що перетинаються по одній і тій же прямій, званій віссю пучка.

Теорема. Нехай

– дві площини, що перетинаються по прямій L. Тоді рівняння

де
- Довільні дійсні числа одночасно не рівні нулю, є рівняння пучка площин з віссю пучка L.

Доказ аналогічний доведенню теореми про рівняння пучка прямих і надається читачеві.

приклад. Знайти рівняння пучка площин, віссю якого є вісь абсцис.

Рішення. Очевидно, що координатні площини

і
перетинаються по осі Ох.

Тоді рівняння (10) у цьому випадку набуває вигляду

. Замінивши грецькі літери на латинські, отримуємо

, (11)

де
- Довільні дійсні числа, одночасно не рівні нулю. Рівняння (11) є шуканим рівнянням пучка площин з віссю пучка Ох.

Аналогічно, рівняння

, (12)

є рівняння пучка площин з віссю пучка Оу, а рівняння

(13)

є рівняння пучка площин із віссю пучка Оz.

п.4. Основні завдання на прямі та площині.

Завдання 1. Знайти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
і
.

Це завдання нами вже вирішено, див. лекцію 11, параграф 4, задача 1:

Завдання 2. Знайти кут між двома прямими

і
.

Це завдання було вирішено у лекції 11, параграф 4:

Шуканий кут дорівнює або куту між їх напрямними векторами

або
.

Завдання 3. Знайти загальне рівняння площини, якщо відомі координати її нормального вектора
та координати точки
, що лежить на даній поверхні.

Рішення. Одне рішення цієї задачі наведено у параграфі 2, формула (8).

Це ж рівняння можна здобути і інакше. Загальне рівняння площини має вигляд

де
- Координати її нормального вектора. Залишилося знайти коефіцієнт D. З цією метою підставимо в рівняння координати точки
: , звідки .

Підставляючи в рівняння отримуємо:

- Шукане рівняння площини.

Завдання 4. Знайти рівняння площини через три задані точки
,
і
.

Як ми бачили в задачі 3, для складання загального рівняння площини достатньо знати координати її нормального вектора та координати будь-якої точки, що лежить на даній площині.

Як нормальний вектор площини можна взяти векторний добуток вектора
на вектор
, а як точка, що лежить на площині можна взяти точку
. Отримуємо

Шукане рівняння площини можна отримати і в іншому вигляді. Рівняння площини у векторній формі має вигляд

Завдання 5. Знайти кут між двома площинами.

Рішення. З геометрії відомо, що двогранний кут між двома площинами вимірюється лінійним кутом (Див. рис.12).

Неважко бачити, що лінійний кут , що вимірює двогранний кут між двома площинами дорівнює куту
між нормальними векторами цих площин або дорівнює
. Тут використовується ознака рівності кутів із взаємно перпендикулярними сторонами.

або
.

Таким чином, завдання обчислення кута між площинами зводиться до обчислення задачі кута між векторами.

Завдання 6. Знайти відстань від заданої точки
до заданої площини

Рішення. Виберемо довільну точку
, що лежить на даній поверхні. Зауважимо, що якщо
, то початок координат лежить на площині і його можна взяти як точку
. Якщо ж
, то як така точка можна взяти точку перетину площини з однією з координатних осей. Так як площина не може бути паралельною всім трьом координатним осям, то хоча б одна координатна вісь перетинає цю площину.

Нехай, наприклад,
- Точка перетину площини з координатною віссю Ох. Тут
, якщо
.

Отже, нехай крапка
тим чи іншим способом обрана, тоді відстань
від заданої точки
до заданої площини дорівнює модулю проекції вектора
на нормальний вектор площині :

Оскільки , то цю формулу можна записати у вигляді

. (14)

Визначення. Нехай дано довільне загальне рівняння площини та довільна точка простору
. Число

називається нев'язкою точки
щодо площини .

За допомогою введеного поняття нев'язки, формула відстані від точки до площини може бути записана у вигляді:

Визначення. Величина

(15)

називається відхиленням точки
від площини .

З останнього визначення випливає, що відстань від точки
до площини одно модулю відхилення точки
від площини :

З формули (21) видно, що відхилення та нев'язка мають однаковий знак.

Зауваження. Формули (14) - (16) можна записати в іншому вигляді. Наведемо дане рівняння площини до нормального вигляду:

і мінус, інакше.

Тепер, формула (14) відстані від точки до площини набуває вигляду:

- Відхилення точки
від площини .

Завдання 7. Знайти відстань від цієї точки
до цієї прямої
.

Рішення. Завдання вирішується аналогічно попередньому.

. Так як
, то

Аналогічно вводяться поняття нев'язки точки щодо прямої та відхилення точки від прямої.

Визначення. Нехай дано довільне загальне рівняння прямої
та довільна точка площини
. Число

називається нев'язкою точки
щодо прямої L.

Визначення. Величина

називається відхиленням точки
від площини .

Якщо привести рівняння прямого до нормального вигляду:

, причому знак плюс береться у разі, коли
і мінус, в іншому випадку, то формула відстані від точки до прямої набуває вигляду:

- Відхилення точки
від прямої L.

Завдання 8. Знайти відстань між двома паралельними площинами.

Рішення. 1-й спосіб. Знайти одній площині довільну точку і відстань від неї до другої площині, тобто. звести це завдання до задачі 6.

2-й спосіб. Наведемо обидва рівняння паралельних площин до нормального вигляду:

де
і
– нормальні вектори площин і
відповідно,
,
– відстані від початку координат до площин і
відповідно.

Так як нормальні вектори і спрямовані від початку координат до площини, то можливі 2 випадки:

а)
. На наступному малюнку схематично зображені дві паралельні площині і
та їх поодинокі нормальні вектори, відкладені від початку координат.

Тут,
,
- Відстань від початку координат до відповідних площин. Оскільки невідомо, яка площина ближче до початку координат, то відстань між площинами

б)
. Так як нормальні вектори і спрямовані від початку координат до площин і протилежні, то початок координат знаходиться між площинами, див. наступний малюнок.

Тут, як і в попередньому випадку,
,
- Відстань від початку координат до відповідних площин. Звідси випливає, що відстань між площинами

Завдання 9. Знайти відстань між двома паралельними прямими.

Можливо, буде корисно почитати: