Nima uchun damping paydo bo'ladi? o'chirilgan tebranishlar

UMUMIY MA'LUMOT

tebranishlar vaqt o'tishi bilan ma'lum bir takrorlash bilan tavsiflangan harakatlar yoki jarayonlar deb ataladi. Dalgalanishlar deyiladi ozod, agar ular tebranish tizimiga tashqi ta'sirlarning keyinchalik yo'qligi bilan dastlab aloqa qilingan energiya hisobiga amalga oshirilsa. Tebranishlarning eng oddiy turi garmonik tebranishlar - tebranish qiymati sinus yoki kosinus qonuniga muvofiq vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan tebranishlardir.

Garmonik tebranishlarning differentsial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

qayerda tebranuvchi qiymat, siklik chastota.

bu tenglamaning yechimidir. Bu erda - amplituda , - boshlang'ich faza.

Tebranish bosqichi.

Amplituda - o'zgaruvchan miqdorning maksimal qiymati.

Tebranish davri - bu tananing harakati takrorlanadigan vaqt davri. Davr uchun tebranish bosqichi o'sish oladi. . , tebranishlar soni.

Tebranish chastotasi - vaqt birligidagi to'liq tebranishlar soni. . . U gerts (Hz) da o'lchanadi.

Tsiklik chastota - soniyada tebranishlar soni. . Birlik.

Tebranish fazasi - bu kosinus belgisi ostida bo'lgan va har qanday vaqtda tebranish tizimining holatini tavsiflovchi qiymat.

Dastlabki faza - vaqtning dastlabki momentidagi tebranishlar fazasi. Faza va boshlang'ich faza radyanlarda o'lchanadi ().

Erkin o'chirilgan tebranishlar- tebranishlar, ularning amplitudasi, haqiqiy tebranish tizimi tomonidan energiya yo'qotishlari tufayli vaqt o'tishi bilan kamayadi. Tebranishlar energiyasini kamaytirishning eng oddiy mexanizmi mexanik tebranish tizimlarida ishqalanish tufayli issiqlikka aylanishi, shuningdek, elektr tebranish tizimlarida elektromagnit energiyaning ohmik yo'qotishlari va nurlanishidir.

- logarifmik dampingning kamayishi.

Qiymat N e- bu amplitudaning pasayishi paytida sodir bo'lgan tebranishlar soni e bir marta. Logarifmik damping dekrementi berilgan tebranish sistemasi uchun doimiy qiymatdir.

Tebranish tizimini tavsiflash uchun sifat omili tushunchasidan foydalaniladi Q, logarifmik kamayishning kichik qiymatlari uchun bu tengdir

Sifat omili bo'shashish vaqtida tizim tomonidan amalga oshiriladigan tebranishlar soniga mutanosibdir.

QAYTA MAYATKAN FOYDALANISH ISHIQISH KOFEFISIENTINI ANIQLASH.

Ishqalanish koeffitsientini aniqlash usulini nazariy asoslash

Nishabli mayatnik - uzun ipga osilgan va qiya tekislikda yotgan shar.

Agar to'p muvozanat holatidan chiqarilsa (o'q OO 1) a burchagiga va keyin qo'yib yuboring, keyin mayatnik tebranadi. Bunday holda, to'p muvozanat holatiga yaqin joylashgan moyil tekislik bo'ylab aylanadi (1-rasm, a). To'p va qiya tekislik o'rtasida aylanuvchi ishqalanish kuchi ta'sir qiladi. Natijada mayatnikning tebranishlari asta-sekin yemirilib boradi, ya'ni vaqt o'tishi bilan tebranishlar amplitudasining pasayishi kuzatiladi.

Ishqalanish kuchi va dumalab ishqalanish koeffitsientini tebranishlarni susaytirishdan aniqlash mumkin, deb taxmin qilish mumkin.

Tebranish amplitudasining kamayishini aylanma ishqalanish koeffitsienti m bilan bog'lovchi formulani chiqaramiz.Koptok tekislik bo'ylab aylanganda ishqalanish kuchi ishlaydi. Bu ish to'pning umumiy energiyasini kamaytiradi. Umumiy energiya kinetik va potentsial energiyalarning yig'indisidir. Mayatnik muvozanat holatidan maksimal og'ish bo'lgan pozitsiyalarda uning tezligi va shuning uchun kinetik energiya nolga teng bo'ladi.

Bu nuqtalar burilish nuqtalari deb ataladi. Ularda mayatnik to'xtaydi, aylanadi va orqaga harakat qiladi. Aylanish momentida mayatnikning energiyasi potentsial energiyaga teng, shuning uchun mayatnik bir burilish nuqtasidan ikkinchisiga o'tganda uning potentsial energiyasining kamayishi ishqalanish kuchining yo'ldagi ishiga teng bo'ladi. burilish nuqtalari orasida.

Mayli A- burilish nuqtasi (1-rasm, a). Bu holatda mayatnik ipi o'q bilan a burchak hosil qiladi OO 1. Agar ishqalanish bo'lmasa, davrning yarmidan keyin mayatnik nuqtada bo'lar edi N, va burilish burchagi a ga teng bo'ladi. Ammo ishqalanish tufayli to'p nuqtaga ozgina aylanmaydi N va nuqtada to'xtang IN.Bu yangi burilish nuqtasi bo'ladi. Bu nuqtada, ipning burchagi Bilan o'qi OO 1 ga teng bo'ladi. Davrning yarmida mayatnikning burilish burchagi ga kamaydi. Nuqta IN nuqtadan bir oz pastroqda joylashgan A, va shuning uchun nuqtadagi mayatnikning potentsial energiyasi IN nuqtadan kamroq A. Shuning uchun, mayatnik nuqtadan harakatlanayotganda balandligini yo'qotdi A aynan IN.

Burchakning yo'qolishi va balandlikning yo'qolishi o'rtasidagi bog'liqlikni topamiz. Buning uchun biz nuqtalarni loyihalashtiramiz A Va B aks boshiga OO 1 (1, a-rasmga qarang). Bu nuqtalar bo'ladi A 1 va B mos ravishda 1. Shubhasiz, segmentning uzunligi A 1 IN 1

ipning uzunligi qayerda.

O'qdan beri OO 1 vertikalga burchak ostida moyil bo'lib, segmentning vertikal o'qga proektsiyasi balandlikning yo'qolishi (1-rasm, b):

Bunday holda, mayatnik pozitsiyasidan o'tish paytida uning potentsial energiyasining o'zgarishi A holatiga IN teng:

, (3)

Qayerda m- to'pning massasi;

g- tortishishning tezlashishi.

Biz ishqalanish kuchining ishini hisoblaymiz.

Ishqalanish kuchi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Mayatnikning tebranish davrining yarmida to'p bosib o'tgan yo'l yoy uzunligiga teng. AB:

Yo'lda ishqalanish kuchining ishi:

Ammo, shuning uchun (2), (3), (4) tenglamalarni hisobga olgan holda, bu chiqadi

. (6)

(6) ifoda burchakning juda kichik (10 -2 radian tartibida) ekanligini hisobga olgan holda juda soddalashtirilgan. Shunday qilib, . Lekin . Shunung uchun .

Shunday qilib, (6) formula quyidagi shaklni oladi:

. (7)

(7) formuladan ko'rinib turibdiki, davrning yarmida burchakning yo'qolishi ishqalanish koeffitsienti m va burchak a bilan aniqlanadi. Biroq, a burchakka bog'liq bo'lmagan sharoitlarni topish mumkin. Keling, dumalab ishqalanish koeffitsienti kichik (10-3 ga teng) ekanligini hisobga olamiz. Agar mayatnik a tebranishlarining etarlicha katta amplitudalarini hisobga olsak, shunday , u holda (7) formulaning maxrajidagi atama shu holatda ham e'tiborsiz qolishi mumkin:

Boshqa tomondan, a burchagi shunday deb taxmin qilish uchun etarlicha kichik bo'lsin. Keyin tebranish davrining yarmi uchun burchakni yo'qotish formula bilan aniqlanadi:

. (8)

Formula (8) amal qiladi, agar:

. (9)

m 10 -2 tartibli bo'lgani uchun (9) tengsizlik 10 -2 -10 -1 radian tartibli a burchaklar bilan qanoatlantiriladi.

Shunday qilib, bitta to'liq tebranish paytida burchakning yo'qolishi quyidagicha bo'ladi:

lekin uchun n tebranishlar - .

Formula (10) dumalab ishqalanish koeffitsientini aniqlashning qulay usulini beradi. Da burchakning pasayishini o'lchash kerak n 10-15 tebranish uchun, keyin (10) formuladan foydalanib, m ni hisoblang.

(10) formulada Da qiymati radianlarda ifodalanadi. Da qiymatlarini darajalarda ishlatish uchun formula (10) o'zgartirilishi kerak:

. (11)

Keling, dumalab ishqalanish koeffitsientining fizik ma'nosini bilib olaylik. Avval umumiy muammoni ko'rib chiqing. To'p massasi m va inersiya momenti Tushunarli massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan silliq sirt bo'ylab harakatlanadi (2-rasm).

Guruch. 2

Massa markaziga C eksa bo'ylab qo'llaniladigan kuch ho'kiz va bu koordinataning funktsiyasidir x. Ishqalanish kuchi tanaga sirt tomondan ta'sir qiladi F TR. Markazdan o'tadigan o'qga nisbatan ishqalanish kuchining momenti bo'lsin C to'p, ga teng M TR.

Bu holda to'pning harakat tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega:

; (12)

, (13)

Qayerda - massa markazining tezligi;

w - burchak tezligi.

(12) va (13) tenglamalarda to'rtta noma'lum mavjud: , w F TR, M TR . Umuman olganda, vazifa aniqlanmagan.

Faraz qilaylik:

1) gavda sirpanmasdan aylanadi. Keyin:

Qayerda R- to'p radiusi;

2) tanasi va tekisligi mutlaqo qattiq, ya'ni. tana deformatsiyalanmaydi, lekin bir nuqtada tekislikka tegadi HAQIDA(nuqta aloqasi), u holda ishqalanish kuchi momenti va ishqalanish kuchi o'rtasida bog'liqlik mavjud:

. (15)

(14) va (15) formulalarni hisobga olgan holda (12) va (13) tenglamalardan ishqalanish kuchining ifodasini olamiz:

. (16)

Ifoda (16) ishqalanish koeffitsientini o'z ichiga olmaydi m, bu to'p va tekislikning aloqa yuzalarining fizik xususiyatlari, masalan, pürüzlülük yoki to'p va tekislik yasalgan materiallarning turi bilan belgilanadi. Bu natija (14) va (15) munosabatlarda aks ettirilgan qabul qilingan idealizatsiyaning bevosita natijasidir. Bundan tashqari, qabul qilingan modelda ishqalanish kuchi ishlamasligini ko'rsatish oson. Haqiqatan ham, biz (12) tenglamani ko'paytiramiz , va w bo'yicha (13) tenglama. Sharti bilan; inobatga olgan holda

va (12) va (13) iboralarni qo'shib, biz hosil qilamiz

Qayerda V(x) to'pning kuch maydonidagi potentsial energiyasi F(x). Shuni hisobga olish kerak

Agar (14) va (15) formulalar hisobga olinsa, tenglikning o'ng tomoni (17) yo'qoladi. Tenglikning chap tomonida (17) to'pning tarjima harakatining kinetik energiyasidan iborat bo'lgan tizimning umumiy energiyasining vaqt hosilasi. , aylanish harakatining kinetik energiyasi va potentsial energiya V(X). Bu shuni anglatadiki, tizimning umumiy energiyasi doimiy qiymatdir, ya'ni. ishqalanish kuchi ishlamaydi.

Shubhasiz, bu biroz g'alati natija ham qabul qilingan idealizatsiyaning natijasidir. Bu qabul qilingan idealizatsiya jismoniy haqiqatga mos kelmasligini ko'rsatadi. Darhaqiqat, harakat jarayonida to'p tekislik bilan o'zaro ta'sir qiladi, shuning uchun uning mexanik energiyasi kamayishi kerak, ya'ni (14) va (15) munosabatlar faqat energiya tarqalishini e'tiborsiz qoldiradigan darajada to'g'ri bo'lishi mumkin.

Bu holda bunday idealizatsiyani qabul qilib bo'lmasligi aniq, chunki bizning maqsadimiz mayatnik energiyasining o'zgarishidan ishqalanish koeffitsientini aniqlashdir. Shuning uchun biz to'p va sirtning mutlaq qattiqligi va shuning uchun adolatli aloqa (15) haqidagi taxminni adolatli deb hisoblaymiz. Biroq, keling, to'p sirpanmasdan harakat qiladi degan taxmindan voz kechaylik. Biz ozgina siljish bor deb taxmin qilamiz.

To'pning teginish nuqtalarining tezligi (2-rasmdagi O nuqta) (slip tezligi):

. (19)

Keyin (17) tenglamaga almashtiramiz. va (15) va (20) shartlarni hisobga olgan holda, biz tenglamaga kelamiz:

, (21)

undan ko'rinib turibdiki, energiyaning tarqalish tezligi ishqalanish kuchining kuchiga teng. Natija juda tabiiy, chunki. jism sirt ustida tezlik bilan siljiydi Va, ishqalanish kuchi unga ta'sir qiladi, ishni bajaradi, buning natijasida tizimning umumiy energiyasi kamayadi.

(21) tenglamada differentsiatsiyani bajarib, (18) munosabatni hisobga olgan holda, biz to'pning massa markazining harakat tenglamasini olamiz:

. (22)

Bu massali moddiy nuqtaning harakat tenglamasiga o'xshaydi:

, (23)

tashqi kuch ta'siri ostida F va aylanma ishqalanish kuchlari:

Bundan tashqari, F TR odatiy surma ishqalanish kuchidir. Shuning uchun, to'p aylanayotganda, dumaloq ishqalanish kuchi deb ataladigan samarali ishqalanish kuchi oddiygina sirpanish tezligining tananing massa markazining tezligiga nisbati bilan ko'paytiriladigan odatiy surma ishqalanish kuchidir. Amalda, ko'pincha dumalab ishqalanish kuchi tananing tezligiga bog'liq bo'lmaganda kuzatiladi.

Ko'rinib turibdiki, bu holda, slip tezligi Va tananing tezligiga mutanosib:

Haqiqiy tebranish sistemalarida kvazelastik kuchlardan tashqari muhitning qarshilik kuchlari ham mavjud. Ishqalanish kuchlarining mavjudligi energiyaning tarqalishiga (tarqalishi) va tebranish amplitudasining pasayishiga olib keladi. Harakatni sekinlashtirib, ishqalanish kuchlari davrni oshiradi, ya'ni. tebranish chastotasini pasaytiradi. Bunday tebranishlar garmonik bo'lmaydi.

Energiyaning tarqalishi tufayli vaqt o'tishi bilan amplitudasi doimiy ravishda kamayib boruvchi tebranishlar deyiladi. so'nish . Etarlicha past tezlikda ishqalanish kuchi tananing tezligiga mutanosib bo'lib, harakatga qarshi yo'naltiriladi.

bu erda r - ishqalanish koeffitsienti, u muhitning xususiyatlariga, harakatlanuvchi jismning shakli va hajmiga bog'liq. Ishqalanish kuchlari ishtirokidagi so'ndirilgan tebranishlarning differensial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

yoki
(21)

Qayerda
- zaiflashuv koeffitsienti,

- ishqalanish kuchlari bo'lmaganda erkin tebranishlarning tabiiy dumaloq chastotasi.

Kam damping (21) tenglamaning umumiy yechimi.
) bu:

U garmonik (8) dan tebranish amplitudasi bilan farq qiladi:

(23)

vaqtning kamayuvchi funksiyasi va aylana chastotasidir tabiiy chastota bilan bog'liq va damping omili nisbat:

. (24)

Söndürülmüş tebranishlar davri quyidagilarga teng:

. (25)

X siljishning t so'yilgan tebranishlarga bog'liqligi 4-rasmda ko'rsatilgan.

C amplitudaning pasayish darajasi susaytirish koeffitsienti bilan belgilanadi .

davomida
amplituda (23) e ≈ 2,72 marta kamayadi. Bu safar tabiiy parchalanish deyiladi dam olish vaqti. Shunday qilib, damping omili bo'shashish vaqtining o'zaro bog'liqligidir:

.(26)

Tebranishlar amplitudasining pasayish tezligi bilan tavsiflanadi logarifmik dampingning kamayishi. A(t) va A(t+T) bir davr bilan farq qiluvchi vaqt nuqtalariga mos keluvchi ikkita ketma-ket tebranishlarning amplitudalari bo'lsin. Keyin munosabat:

(27)

chaqirdi dampingning pasayishi, bu davrga teng vaqt ichida tebranishlar amplitudasining necha marta kamayishini ko'rsatadi. Bu nisbatning natural logarifmi:

(28)

logarifmik damping omili deyiladi. Bu erda N e - amplituda e faktoriga kamaygan vaqt davomida bajariladigan tebranishlar soni, ya'ni. dam olish vaqtida.

Shunday qilib, logarifmik damping kamayishi tebranishlar sonining o'zaro nisbati bo'lib, undan keyin tebranish amplitudasi e marta kamayadi.

Tebranish sistemasi energiyasining kamayish tezligi Q sifat omili bilan tavsiflanadi. Tebranish tizimining sifat omili- tebranish tizimining umumiy energiyasi E(t) ning energiyaga nisbatiga proportsional qiymat (- E) T davrida yo'qotilgan:

(29)

Vaqtning ixtiyoriy momentida va X ning har qanday qiymati uchun tebranish tizimining umumiy energiyasi quyidagi shaklga ega:

(30)

Energiya amplitudaning kvadratiga proportsional bo'lganligi sababli, so'yilgan tebranishlarning energiyasi qiymatga mutanosib ravishda kamayadi.
, yozishingiz mumkin:

. (31)

Keyin, ta'rifga ko'ra, tebranish tizimining sifat omilining ifodasi quyidagicha bo'ladi:

Bu erda hisobga olinadiki, past zaiflashuvlarda (1): 1 -2   2.

Shuning uchun sifat omili bo'shashish vaqtida tizim tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar soniga N e proportsionaldir.

Tebranish sistemalarining sifat koeffitsienti juda xilma-xil bo'lishi mumkin, masalan, fizik mayatnikning sifat omili Q~ 10 2 bo'lsa, tebranish sistemasi ham bo'lgan atomning sifat omili Q~ 10 8 ga etadi.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, damping koeffitsienti b=ō 0 bo'lganda, davr cheksiz T =∞ (kritik damping) bo'ladi. b ning yanada ortishi bilan T davri xayoliy holga keladi va harakatning susayishi tebranishlarsiz, ular aytganidek, aperiodik tarzda sodir bo'ladi. Ushbu harakat holati 5-rasmda ko'rsatilgan. Kritik damping (tinchlanish) minimal vaqt ichida sodir bo'ladi va o'lchash asboblarida, masalan, ballistik galvanometrlarda muhim ahamiyatga ega. .

IN MAJBUR VASKULYASYON VA REZONANS

Agar F y \u003d -kX elastik kuch m massali jismga ta'sir etsa, ishqalanish kuchi
va tashqi davriy kuch
, keyin u majburiy tebranishlarni amalga oshiradi. Bunday holda, harakatning differentsial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Qayerda
,
- zaiflashuv koeffitsienti,
- tananing erkin so'nmagan tebranishlarining tabiiy chastotasi, F 0 - amplituda, ō - davriy kuchning chastotasi.

Vaqtning dastlabki momentida tashqi kuchning ishi ishqalanish uchun sarflanadigan energiyadan oshib ketadi (6-rasm). Jismning tebranishlarining energiyasi va amplitudasi tashqi kuch tomonidan berilgan barcha energiya tezlikka mutanosib bo'lgan ishqalanishni engish uchun to'liq sarflanmaguncha ortadi. Shuning uchun, kinetik va potensial energiya yig'indisi doimiy bo'lgan muvozanat o'rnatiladi. Bu holat tizimning statsionar holatini tavsiflaydi.

Bu holatda tananing harakati tashqi qo'zg'alish chastotasiga teng chastota bilan garmonik bo'ladi, lekin tananing inertsiyasi tufayli uning tebranishlari tashqi davriyning oniy qiymatiga nisbatan fazada siljiydi. kuch:

X = ACos(ōt + ph). (34)

Erkin tebranishlardan farqli o'laroq, majburiy tebranishlarning amplitudasi A va fazasi  harakatning boshlang'ich shartlariga bog'liq emas, balki faqat tebranish tizimining xususiyatlari, harakatlantiruvchi kuchning amplitudasi va chastotasi bilan belgilanadi:

, (35)

. (36)

Ko'rinib turibdiki, amplituda va faza siljishi harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq (7, 8-rasm).

Majburiy tebranishlarning xarakterli xususiyati rezonansning mavjudligi. Fenomen harakatlantiruvchi kuch chastotasi jismning erkin so‘nmagan tebranishlarining tabiiy chastotasiga ō 0 yaqinlashganda majburiy tebranishlar amplitudasining keskin oshishi deyiladi. mexanik rezonans . Rezonans chastotada tananing tebranish amplitudasi
maksimal qiymatga etadi:

(37)

Rezonans egri chiziqlariga (7-rasmga qarang) keling, quyidagi fikrlarni aytaylik. Agar ō → 0 bo'lsa, barcha egri chiziqlar (shuningdek, (35) ga qarang) bir xil noldan farqli chegara qiymatiga keladi.
, deb atalmish statistik og'ish. Agar ō→ ∞ bo'lsa, barcha egri chiziqlar asimptotik tarzda nolga intiladi.

Kam damping (b 2 ‹‹ō 0 2) sharoitida rezonans amplitudasi (qarang (37))

(37a)

Ushbu shartda biz rezonans siljishining statik og'ish nisbatini olamiz:

shundan ko'rinadiki, rezonansda tebranishlar amplitudasining nisbiy ortishi tebranish tizimining sifat omili bilan belgilanadi. Bu erda sifat omili, aslida, javobning daromadidir
tizim va past zaiflashuvda katta qiymatlarga erishishi mumkin.

Bu holat fizika va texnikada rezonans hodisasining katta ahamiyatini belgilaydi. Agar ular tebranishlarni kuchaytirmoqchi bo'lsalar, masalan, akustikada - musiqa asboblari ovozini kuchaytirish uchun, radiotexnikada - chastotada farq qiluvchi boshqa ko'plab signallardan kerakli signalni ajratish uchun ishlatiladi. Agar rezonans tebranishlarning istalmagan o'sishiga olib kelishi mumkin bo'lsa, sifat omili past bo'lgan tizim qo'llaniladi.

BOG'LIQ VIBRASYONLAR

Birinchisi bilan elastik bog'langan ikkinchi tebranish tizimi tashqi davriy kuch manbai bo'lib xizmat qilishi mumkin. Ikkala tebranish tizimi bir-birining ustiga harakat qilishi mumkin. Masalan, ikkita bog'langan mayatnik holati (9-rasm).

Tizim fazada (9b-rasm) va fazaga qarshi (9c-rasm) tebranishlarni ham bajarishi mumkin. Bunday tebranishlar normal tip yoki tebranishning normal rejimi deb ataladi va o'zining normal chastotasi bilan tavsiflanadi. Faza ichidagi tebranishlarda mayatniklarning har doim siljishi X 1 \u003d X 2 va chastota ō 1 bitta mayatnikning chastotasi bilan bir xil bo'ladi.
. Buning sababi shundaki, yorug'lik bulog'i erkin holatda bo'lib, harakatga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi. Har doim antifazali tebranishlar bilan - X 1 \u003d X 2. Bunday tebranishlarning chastotasi dan katta va tengdir
, chunki qattiqlik k ga ega bo'lgan va ulanishni amalga oshiradigan bahor har doim cho'zilgan, keyin esa siqilgan holatda bo'ladi.

L
Birlashtirilgan tizimimizning har qanday holati, shu jumladan X boshlang'ich siljishi (9a-rasm), ikkita normal rejimning superpozitsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin:

Agar biz tizimni X 1 = 0 boshlang'ich holatidan harakatga keltirsak,
, X 2 \u003d 2A,
,

u holda mayatniklarning siljishlari quyidagi iboralar bilan tavsiflanadi:

Shaklda. 10-rasmda vaqt o'tishi bilan alohida mayatniklarning siljishi o'zgarishi ko'rsatilgan.

Mayatniklarning tebranish chastotasi ikkita oddiy rejimning o'rtacha chastotasiga teng:

, (39)

va ularning amplitudasi sinus yoki konus qonuniga ko'ra, oddiy rejimlarning chastotalar farqining yarmiga teng bo'lgan past chastota bilan o'zgaradi:

. (40)

Oddiy rejimlarning chastotalari orasidagi farqning yarmiga teng chastotali amplitudaning sekin o'zgarishi deyiladi. “ uradi ” deyarli bir xil chastotali ikkita tebranish. "Urilishlar" chastotasi ō 1 - ō 2 chastotalar farqiga teng (va bu farqning yarmi emas), chunki maksimal amplituda 2A chastotaga mos keladigan davrda ikki marta erishiladi.

Shunday qilib, urish davri quyidagilarga teng:

(41)

Mayatniklar urilganda energiya almashinadi. Biroq, to'liq energiya almashinuvi faqat ikkala massa bir xil bo'lganda va nisbat (ō 1 + ŉ 2 / ō 1 -ō 2) butun songa teng bo'lganda mumkin bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, alohida mayatniklar energiya almashishi mumkin bo'lsa-da, oddiy rejimlar o'rtasida energiya almashinuvi yo'q.

Bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiluvchi va o'z energiyasini bir-biriga o'tkaza oladigan bunday tebranish tizimlarining mavjudligi to'lqin harakatining asosini tashkil qiladi.

Elastik muhitga joylashtirilgan tebranuvchi moddiy jism o'ziga tutash muhit zarralarini o'ziga tortadi va tebranuvchi harakatga o'rnatadi. Zarrachalar o'rtasida elastik bog'lanishlar mavjudligi sababli, tebranishlar butun muhit bo'ylab ma'lum muhitga xos tezlik bilan tarqaladi.

Elastik muhitda tebranishning tarqalish jarayoni deyiladi to'lqin .

To'lqinlarning ikkita asosiy turi mavjud: uzunlamasına va ko'ndalang. Uzunlamasına to'lqinlarda muhitning zarralari to'lqin tarqalish yo'nalishi bo'yicha tebranadi va ko'ndalang holatda to'lqin tarqalish yo'nalishiga perpendikulyar. Har bir elastik muhit ko'ndalang to'lqinni tarqata olmaydi. Ko'ndalang elastik to'lqin faqat elastik siljish deformatsiyasi sodir bo'ladigan muhitda mumkin. Masalan, gazlar va suyuqliklarda faqat uzunlamasına elastik to'lqinlar (tovush) tarqaladi.

Tebranish vaqt bo'yicha ma'lum bir nuqtaga yetgan muhit nuqtalarining joylashuvi deyiladi to'lqin old . To'lqin jabhasi kosmosning to'lqin jarayonida ishtirok etgan qismini hali tebranishlar paydo bo'lmagan hududdan ajratib turadi. Old qismining shakliga ko'ra, to'lqinlar tekis, sferik, silindrsimon va boshqalar.

Bir hil muhitda yo'qotishsiz tarqaladigan tekis to'lqinning tenglamasi:
, (42)

Bu yerda p(X,t) - koordinatasi X bo‘lgan muhit zarrachalarining t vaqtda muvozanat holatidan siljishi, A - amplituda,
- to'lqin fazasi,
- muhit zarrachalarining dumaloq tebranish chastotasi, v - to'lqin tarqalish tezligi.

To'lqin uzunligi λ 2p fazalar farqi bilan tebranuvchi nuqtalar orasidagi masofa deyiladi, boshqacha qilib aytganda, to'lqin uzunligi bir tebranish davridagi to'lqinning istalgan fazasi bosib o'tgan yo'ldir:

faza tezligi, ya'ni. Ushbu fazaning tarqalish tezligi:

l / T (44)

to'lqin raqami 2p birlik uzunligiga mos keladigan to'lqin uzunliklari soni:

k = ō / v = 2p / l. (45)

Ushbu belgilarni (42) ga almashtirsak, tekislik harakatlanuvchi monoxromatik to'lqin tenglamasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

(46)

E'tibor bering, to'lqin tenglamasi (46) koordinata va vaqt bo'yicha qo'sh davriylikni namoyon qiladi. Haqiqatan ham, koordinata l ga o'zgarganda va vaqt T davriga o'zgarganda tebranishlarning fazalari bir-biriga to'g'ri keladi. Shuning uchun tekislikda to'lqinni grafik tarzda tasvirlab bo'lmaydi. Vaqt t ko'pincha sobit bo'ladi va joy almashishning p ning X koordinatasiga bog'liqligi grafikda ko'rsatilgan, ya'ni. muhit zarralari siljishlarining to'lqin tarqalish yo'nalishi bo'yicha bir lahzada taqsimlanishi (11-rasm). Muhit nuqtalarining tebranishlarining Dph fazalari farqi ushbu nuqtalar orasidagi DX \u003d X 2 - X 1 masofaga bog'liq:

(47)

Agar to'lqin X yo'nalishiga qarama-qarshi tarqalsa, u holda teskari to'lqin tenglamasi quyidagicha yoziladi:

p (X,t) = ACos(ōt + kX). (48)

TURGAN TO'lqinlar maxsus turdagi to'lqin aralashuvining natijasidir. Ular ikkita harakatlanuvchi to'lqinlar bir xil chastotalar va amplitudalar bilan bir-biriga yo'naltirilganda hosil bo'ladi.

X o'qi bo'ylab qarama-qarshi yo'nalishda tarqaladigan ikkita tekis to'lqinning tenglamalari:

p 1 \u003d ACos (ōt - kX)

p 2 = ACos(ōt + kX). (49)

Ushbu tenglamalarni kosinuslar yig'indisi formulasidan foydalanib qo'shib, k = 2p / l ekanligini hisobga olsak, biz doimiy to'lqin tenglamasini olamiz:

. (50)

Cos ōt ko'paytmasi shuni ko'rsatadiki, bir xil chastotali ō tebranishlari amplitudali muhit nuqtalarida sodir bo'ladi.
, ko'rib chiqilayotgan nuqtaning X-koordinatasiga qarab. Atrof-muhit nuqtalarida:
, (51)

tebranish amplitudasi 2A maksimal qiymatga etadi. Bu nuqtalar deyiladi antinodlar.

(51) ifodadan antinod koordinatalarini topish mumkin:
(52)

Qaysi nuqtalarda
(53) tebranish amplitudasi yo'qoladi. Bu nuqtalar deyiladi tugunlar.

Tugun koordinatalari:
. (54)

R qo'shni antinodlar va qo'shni tugunlar orasidagi masofalar bir xil va l / 2 ga teng. Tugun va qo'shni antinod orasidagi masofa l / 4 ga teng. Tugundan o'tayotganda, ko'paytiruvchi
belgisini o'zgartiradi, shuning uchun tugunning qarama-qarshi tomonlaridagi tebranishlarning fazalari p bilan farqlanadi, ya'ni. tugunning qarama-qarshi tomonlarida yotgan nuqtalar antifazada tebranadi. Ikki qo'shni tugun o'rtasida joylashgan nuqtalar turli amplitudalar bilan tebranadi, lekin bir xil fazalar bilan.

Turg'un to'lqinda tugunlar va antinodlarning taqsimlanishi ikki muhit o'rtasidagi interfeysda sodir bo'ladigan sharoitlarga bog'liq bo'lib, ular aks ettirish sodir bo'ladi. Agar to'lqin zichroq muhitdan aks ettirilsa, u holda to'lqin aks ettirilgan joydagi tebranishlar fazasi teskari tomonga o'zgaradi yoki ular aytganidek, to'lqinning yarmi yo'qoladi. Shuning uchun, qarama-qarshi yo'nalishdagi tebranishlarning qo'shilishi natijasida chegaradagi siljish nolga teng, ya'ni. tugun mavjud (12-rasm). To'lqin kamroq zich muhit chegarasidan aks ettirilganda, ko'zgu joyidagi tebranishlar fazasi o'zgarishsiz qoladi va chegara yaqinida bir xil fazali tebranishlar qo'shiladi - antinod olinadi.

Turg'un to'lqinda faza harakati, to'lqin tarqalishi, energiya almashinuvi yo'q, bu to'lqinning bu turining nomiga sabab bo'ladi.

1.21. CHIRILGAN, MAJBUR TABLONISHLAR

Söndürülmüş tebranishlarning differensial tenglamasi va uning yechimi. Zaiflash koeffitsienti. logarifmik dekabrdamping tasmasi.Q omiltana tizimi.aperiodik jarayon. Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi va uning yechimi.Majburiy tebranishlarning amplitudasi va fazasi. Tebranishlarni o'rnatish jarayoni. Rezonans holati.O'z-o'zidan tebranishlar.

Tebranishlarni susaytirish - tebranishlar amplitudasining vaqt o'tishi bilan, tebranish tizimining energiyani yo'qotishi tufayli asta-sekin kamayishi.

Dampingsiz tabiiy tebranishlar idealizatsiya hisoblanadi. Xiralashish sabablari boshqacha bo'lishi mumkin. Mexanik tizimda tebranishlar ishqalanish mavjudligi bilan susayadi. Tebranish tizimida saqlanadigan barcha energiya sarflanganda, tebranishlar to'xtaydi. Shuning uchun amplituda sönümli tebranishlar nolga tenglashguncha kamayadi.

Tabiatan har xil bo'lgan tizimlardagi sönümli tebranishlar, shuningdek, tabiiy tebranishlarni bir nuqtai nazardan - umumiy xususiyatlardan ko'rib chiqish mumkin. Biroq, amplituda va davr kabi xarakteristikalar qayta belgilashni talab qiladi, boshqalari esa tabiiy so'ndirilmagan tebranishlar uchun bir xil xususiyatlarga nisbatan qo'shimchalar va aniqlashtirishlarni talab qiladi. Söndürülmüş tebranishlarning umumiy belgilari va tushunchalari quyidagilardan iborat:

Differensial tenglama tebranishlar jarayonida tebranish energiyasining kamayishini hisobga olgan holda olinishi kerak.

Tebranish tenglamasi differensial tenglamaning yechimidir.

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi vaqtga bog'liq.

Chastotasi va davri tebranishlarni susaytirish darajasiga bog'liq.

Faza va boshlang'ich faza so'ndirilmagan tebranishlar bilan bir xil ma'noga ega.

Mexanik sönümli tebranishlar.

mexanik tizim : prujinali mayatnik ishqalanish kuchlariga ta'sir qiladi.

Mayatnikga ta'sir qiluvchi kuchlar :

Elastik kuch., bu yerda k - prujinaning qattiqlik koeffitsienti, x - mayatnikning muvozanat holatidan siljishi.

Qarshilik kuchi. Harakat tezligi v ga proportsional qarshilik kuchini ko'rib chiqing (bunday bog'liqlik qarshilik kuchlarining katta sinfiga xosdir): . Minus belgisi qarshilik kuchining yo'nalishi tananing tezligining yo'nalishiga qarama-qarshi ekanligini ko'rsatadi. Qarshilik koeffitsienti r son jihatdan tananing birlik tezligida yuzaga keladigan tortish kuchiga teng:

Harakat qonuni prujinali mayatnik Nyutonning ikkinchi qonunidir:

m a = F masalan. + F qarshilik ko'rsatish.

Shuni hisobga olgan holda va , Nyutonning ikkinchi qonunini quyidagicha yozamiz:

. (21.1)

Tenglamaning barcha shartlarini m ga bo'lib, ularning barchasini o'ng tomonga o'tkazsak, biz olamiz differensial tenglama sönümli tebranishlar:

Qaerni belgilaymiz β – damping omili , , Qayerda ω 0 - tebranish tizimida energiya yo'qotishlari bo'lmaganda so'nmagan erkin tebranishlar chastotasi.

Yangi yozuvda sönümli tebranishlarning differentsial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

. (21.2)

Bu ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama.

Ushbu chiziqli differensial tenglama o'zgaruvchilarning o'zgarishi bilan echiladi. Biz x funksiyani t vaqtga qarab quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:

z funksiya ham vaqtning funksiyasi ekanligini hisobga olib, bu funksiyaning birinchi va ikkinchi marta hosilalari topilsin:

, .

Differensial tenglamadagi ifodalarni almashtiring:

Biz tenglamaga o'xshash shartlarni keltiramiz va har bir a'zoni ga kamaytiramiz, biz tenglamani olamiz:

Keling, miqdorni belgilaylik .

Tenglama yechimi funktsiyalari hisoblanadi, .

X o'zgaruvchisiga qaytsak, so'yilgan tebranishlar tenglamalari uchun formulalarni olamiz:

Shunday qilib , sönümli tebranishlar tenglamasi(21.2) differensial tenglamaning yechimi:

Söndürülmüş tebranish chastotasi :

(faqat haqiqiy ildiz jismoniy ma'noga ega, shuning uchun).

Söndürülmüş tebranishlar davri :

(21.5)

Soʻnmagan tebranishlar davri tushunchasiga kiritilgan maʼno soʻndirilgan tebranishlar uchun mos emas, chunki tebranish energiyasini yoʻqotganligi sababli tebranish tizimi hech qachon asl holatiga qaytmaydi. Ishqalanish mavjud bo'lganda tebranishlar sekinroq bo'ladi: .

Söndürülmüş tebranishlar davri tizim bir xil yo'nalishda muvozanat holatidan ikki marta o'tadigan minimal vaqt oralig'i deb ataladi.

Prujina mayatnikining mexanik tizimi uchun bizda:

, .

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi :

Bahor mayatnik uchun.

Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi doimiy qiymat emas, balki vaqt o'tishi bilan qanchalik tez o'zgaradi, b koeffitsienti shunchalik katta bo'ladi. Shuning uchun, so'rilmagan erkin tebranishlar uchun ilgari berilgan amplituda ta'rifi, so'nishli tebranishlar uchun o'zgartirilishi kerak.

Kichik zaiflashtirish uchun sönümli tebranishlar amplitudasi davr uchun muvozanat holatidan eng katta og'ish deb ataladi.

Grafiklar ofset va vaqt va amplituda va vaqt egri chiziqlari 21.1 va 21.2-rasmlarda ko'rsatilgan.

21.1-shakl - Söndürülmüş tebranishlar uchun siljishning vaqtga bog'liqligi.

Shakl 21.2 - Söndürülmüş tebranishlar uchun amplitudaning vaqtga bog'liqligi

Söndürülmüş tebranishlarning xarakteristikalari.

1. Zaiflashtiruvchi omil β .

Söndürülmüş tebranishlar amplitudasining o'zgarishi eksponensial qonunga muvofiq sodir bo'ladi:

Vaqt o'tishi bilan tebranish amplitudasi "e" marta kamaysin t ("e" - natural logarifmning asosi, e ≈ 2,718). Keyin, bir tomondan, , va boshqa tomondan, amplitudalarni bo'yab A zat. (t) va A da. (t+t), bizda bor . Bu munosabatlar bt = 1 ni bildiradi, demak, .

Vaqt oralig'i τ , buning uchun amplituda "e" marta kamayadi, gevşeme vaqti deb ataladi.

Zaiflashtiruvchi omil β dam olish vaqtiga teskari proportsional qiymatdir.

2. Logarifmik dampingning kamayishi δ - vaqt bo'yicha davr bilan ajratilgan ketma-ket ikki amplituda nisbatining natural logarifmasiga son jihatdan teng bo'lgan jismoniy miqdor.

Agar zaiflashuv kichik bo'lsa, ya'ni. b ning qiymati kichik bo'lsa, u holda amplituda davr davomida biroz o'zgaradi va logarifmik pasayish quyidagicha aniqlanishi mumkin:

qaerda A. (t) va A da. (t + NT) - tebranish amplitudalari e vaqtida va N davrdan keyin, ya'ni vaqtda (t + NT).

3. Sifat omili Q tebranish tizimi - o'lchovsiz fizik kattalik (2p) na qiymatining mahsulotiga teng bo'lgan ixtiyoriy vaqt momentida tizimning W(t) energiyasining bir so'ndirilgan tebranishlar davridagi energiya yo'qotilishiga nisbati:

Energiya amplitudaning kvadratiga proportsional bo'lgani uchun, demak

Logarifmik dekrement d ning kichik qiymatlari uchun tebranish tizimining sifat omili tengdir.

bu erda N e - tebranishlar soni, uning davomida amplituda "e" marta kamayadi.

Demak, prujinali mayatnikning sifat koeffitsienti - tebranish sistemasining sifat koeffitsienti qanchalik katta bo'lsa, zaiflashuv shunchalik kam bo'lsa, bunday tizimdagi davriy jarayon shunchalik uzoq davom etadi. Tebranish tizimining sifat omili - vaqt ichida energiyaning tarqalishini tavsiflovchi o'lchovsiz miqdor.

4. b koeffitsienti ortishi bilan sönümli tebranishlar chastotasi kamayadi, davr esa ortadi. ō 0 = b da sönümli tebranishlar chastotasi ō zat nolga teng bo'ladi. = 0 va T zat. = ∞. Bunday holda, tebranishlar davriy xarakterini yo'qotadi va chaqiriladi aperiodik.

ō 0 = b da, tebranish energiyasining pasayishi uchun mas'ul bo'lgan tizim parametrlari deb ataladigan qiymatlarni oladi. tanqidiy . Prujinali mayatnik uchun ō 0 = b sharti quyidagicha yoziladi:, qiymatni qaerdan topamiz. kritik qarshilik koeffitsienti:

Guruch. 21.3. Aperiodik tebranishlar amplitudasining vaqtga bog'liqligi

Majburiy tebranishlar.

Barcha haqiqiy tebranishlar so'ndiriladi. Haqiqiy tebranishlar etarlicha uzoq vaqt davomida sodir bo'lishi uchun tebranish tizimining energiyasini vaqti-vaqti bilan unga tashqi davriy o'zgaruvchan kuch bilan ta'sir qilish orqali to'ldirish kerak.

Tashqi bo'lsa, tebranishlar hodisasini ko'rib chiqing (majburlash) kuch garmonik qonunga ko'ra vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Bunday holda, tizimlarda tebranishlar paydo bo'ladi, ularning tabiati u yoki bu darajada harakatlantiruvchi kuchning tabiatini takrorlaydi. Bunday tebranishlar deyiladi majbur .

Majburiy mexanik tebranishlarning umumiy belgilari.

1. Prujinali mayatnikning majburiy mexanik tebranishlarini ko'rib chiqamiz, unga tashqi ta'sir qiladi. (majburlovchi ) davriy kuch . Mayatnikga ta'sir etuvchi kuchlar muvozanatdan chiqarilgandan so'ng, tebranish tizimining o'zida rivojlanadi. Bular elastik kuch va tortish kuchidir.

Harakat qonuni (Nyutonning ikkinchi qonuni) quyidagicha yozilgan:

(21.6)

Tenglamaning ikkala tomonini m ga bo'ling, buni hisobga oling va oling differensial tenglama majburiy tebranishlar:

Belgilash ( β – damping omili ), (ō 0 - so'nmagan erkin tebranishlar chastotasi), massa birligiga ta'sir qiluvchi kuch. Ushbu belgilarda differensial tenglama Majburiy tebranishlar quyidagi shaklda bo'ladi:

(21.7)

Bu o'ng tomoni nolga teng bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglama. Bunday tenglamaning yechimi ikkita yechimning yig'indisidir

bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimidir, ya'ni. nolga teng bo'lganda o'ng tomoni bo'lmagan differentsial tenglama. Biz bunday yechimni bilamiz - bu sobit bo'lgan tebranishlar tenglamasi bo'lib, uning qiymati tebranish tizimining boshlang'ich shartlari bilan belgilanadi:

Yuqorida biz yechimni sinus funksiyalar asosida yozish mumkinligini muhokama qildik.

Agar harakatlantiruvchi kuch yoqilgandan so‘ng yetarlicha uzoq vaqt Dt vaqt o‘tgandan keyin mayatnik tebranishlari jarayonini ko‘rib chiqsak (21.2-rasm), u holda tizimdagi sönümli tebranishlar amalda to‘xtaydi. Va keyin o'ng tomoni bilan differensial tenglamaning yechimi bo'ladi.

Yechim bir hil bo'lmagan differensial tenglamaning alohida yechimidir, ya'ni. o'ng tomoni bilan tenglamalar. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki, o'ng tomoni garmonik qonunga muvofiq o'zgarganda, yechim o'ng tomonning o'zgarish chastotasi Ō ga mos keladigan o'zgarish chastotasi bilan garmonik funktsiya (sin yoki cos) bo'ladi:

bu erda A ampl. – majburiy tebranishlar amplitudasi, ph 0 – faza almashinuvi , bular. harakatlantiruvchi kuch fazasi va majburiy tebranishlar fazasi o'rtasidagi fazalar farqi. Va amplituda A amplituda. , va faza almashinuvi ph 0 tizimning parametrlariga (b, ō 0) va harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga Ō bog'liq.

Majburiy tebranish davri teng (21.9)

4.1-rasmdagi majburiy tebranishlar jadvali.

21.3-rasm. Majburiy tebranishlar jadvali

Barqaror majburiy tebranishlar ham garmonikdir.

Majburiy tebranishlar amplitudasi va faza siljishining tashqi ta'sir chastotasiga bog'liqligi. Rezonans.

1. Garmonik qonunga muvofiq o'zgaruvchan tashqi kuch ta'sirida bo'lgan prujinali mayatnikning mexanik tizimiga qaytaylik. Bunday tizim uchun differentsial tenglama va uning yechimi mos ravishda quyidagi ko'rinishga ega:

, .

Tebranish amplitudasi va faza siljishining tashqi harakatlantiruvchi kuch chastotasiga bog'liqligini tahlil qilaylik, buning uchun x ning birinchi va ikkinchi hosilalarini topamiz va ularni differentsial tenglamaga almashtiramiz.

Vektor diagramma usulidan foydalanamiz. Tenglamadan ko'rinib turibdiki, tenglamaning chap tomonidagi uchta tebranish yig'indisi (4.1-rasm) o'ng tomonidagi tebranishga teng bo'lishi kerak. Vektor diagrammasi ixtiyoriy t vaqt uchun tuzilgan. Undan aniqlash mumkin.

21.4-rasm.

, (21.10)

. (21.11)

, , qiymatini hisobga olgan holda ph 0 va A ampl uchun formulalarni olamiz. Mexanik tizim:

2. Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga va tebranish mexanik tizimdagi qarshilik kuchining kattaligiga bog'liqligini tekshiramiz, bu ma'lumotlardan foydalanib, grafik tuzamiz. . Tadqiqot natijalari 21.5-rasmda ko'rsatilgan, ular harakatlantiruvchi kuchning ma'lum bir chastotasida ekanligini ko'rsatadi tebranishlar amplitudasi keskin ortadi. Va bu o'sish qanchalik katta bo'lsa, zaiflashuv koeffitsienti b shunchalik past bo'ladi. da, tebranish amplitudasi cheksiz katta bo'ladi.

Amplitudaning keskin o'sishi fenomeni ga teng harakatlantiruvchi kuch chastotasidagi majburiy tebranishlar rezonans deb ataladi.

(21.12)

21.5-rasmdagi egri chiziqlar munosabatlarni aks ettiradi va chaqiriladi amplitudali rezonans egri chiziqlari .

21.5-rasm - Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga bog'liqligi grafiklari.

Rezonans tebranishlarning amplitudasi quyidagi shaklda bo'ladi:

Majburiy tebranishlar siqilmagan tebranishlar. Ishqalanish tufayli energiyaning muqarrar yo'qotishlari davriy ta'sir qiluvchi kuchning tashqi manbasidan energiya ta'minoti bilan qoplanadi. Shunday tizimlar mavjudki, ularda o'zgarmas tebranishlar davriy tashqi ta'sir tufayli emas, balki bunday tizimlarning doimiy manbadan energiya oqimini tartibga solish qobiliyati natijasida paydo bo'ladi. Bunday tizimlar deyiladi o'z-o'zidan tebranish, va bunday tizimlarda so'nmagan tebranishlar jarayoni o'z-o'zidan tebranishlar.

O'z-o'zidan tebranish tizimida uchta xarakterli elementni ajratish mumkin - tebranish tizimi, energiya manbai va tebranish tizimi va manba o'rtasidagi qayta aloqa qurilmasi. Tebranish tizimi sifatida o'zining sönümli tebranishlarini amalga oshirishga qodir bo'lgan har qanday mexanik tizimdan (masalan, devor soatining mayatnikidan) foydalanish mumkin.

Energiya manbai bahorning deformatsiya energiyasi yoki tortishish maydonidagi yukning potentsial energiyasi bo'lishi mumkin. Qayta aloqa qurilmasi o'z-o'zidan tebranish tizimi manbadan energiya oqimini tartibga soluvchi mexanizmdir. Shaklda. 21.6 o'z-o'zidan tebranuvchi tizimning turli elementlarining o'zaro ta'siri diagrammasi ko'rsatilgan.

Mexanik o'z-o'zidan tebranuvchi tizimga misol - soat mexanizmi langar harakatlantiring (21.7-rasm). Qiyma tishlari bo'lgan yugurish g'ildiragi tishli tamburga qattiq mahkamlanadi, u orqali og'irlik bilan zanjir tashlanadi. Mayatnikning yuqori uchida langar (langar) mayatnik o'qiga markazlashtirilgan aylana yoyi bo'ylab egilgan ikkita qattiq material plastinkasi bilan o'rnatiladi. Qo'l soatlarida og'irlik prujinaga almashtiriladi, mayatnik esa muvozanatlashtiruvchi - spiral prujinaga mahkamlangan qo'l g'ildiragi bilan almashtiriladi.

21.7-rasm. Sarkaçli soat mexanizmi.

Balanslashtiruvchi o'z o'qi atrofida burilish tebranishlarini amalga oshiradi. Soatdagi tebranish tizimi mayatnik yoki muvozanatlashtiruvchidir. Energiya manbai yuqoriga ko'tarilgan og'irlik yoki yarali buloqdir. Qayta aloqa moslamasi ishlaydigan g'ildirakni bir yarim tsiklda bir tishni aylantirish imkonini beruvchi langardir.

Teskari aloqa langarning ishlaydigan g'ildirak bilan o'zaro ta'siri bilan ta'minlanadi. Mayatnikning har bir tebranishida sayohat g'ildiragi tishi langar vilkasini mayatnik harakati yo'nalishi bo'yicha itaradi va unga energiyaning ma'lum bir qismini o'tkazadi, bu ishqalanish tufayli energiya yo'qotishlarini qoplaydi. Shunday qilib, og'irlikning (yoki o'ralgan kamonning) potentsial energiyasi asta-sekin, alohida qismlarda, sarkaçga o'tkaziladi.

Mexanik o'z-o'zidan tebranish tizimlari atrofimizdagi hayotda va texnologiyada keng tarqalgan. Oʻz-oʻzidan tebranishlar bugʻ dvigatellari, ichki yonuv dvigatellari, elektr qoʻngʻiroqlari, kamonli cholgʻu asboblarining torlari, puflama cholgʻu asboblari quvurlaridagi havo ustunlari, gapirganda yoki qoʻshiq aytayotganda ovoz paychalarining va boshqalar tomonidan amalga oshiriladi.

Haqiqatda erkin tebranishlar qarshilik kuchlari ta'sirida sodir bo'ladi. Dissipativ kuchlar tebranish amplitudasining pasayishiga olib keladi. Vaqt o'tishi bilan energiya yo'qotilishi natijasida amplitudasi kichik bo'ladigan tebranishlar sönümli deb ataladi.

Söndürülmüş mexanik tebranishlar

TA'RIF

Tebranishlarning susaytirish tezligini tavsiflovchi fizik miqdor deyiladi damping omili. Zaiflash koeffitsienti turli yo'llar bilan belgilanishi mumkin: va hokazo. Ishqalanish kuchlari tananing tezligiga mutanosib bo'lishi sharti bilan:

Bu erda - umumiy ishqalanish koeffitsienti, damping koeffitsienti quyidagilarga teng deb hisoblanadi:

tebranayotgan jismning massasi qayerda.

Damping mavjud bo'lgan tebranishlarning differentsial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

ishqalanish bo'lmaganda tizimning erkin tebranishlarining siklik chastotasi.

Dampingli tebranish tenglamasi:

Qayerda - sönümli tebranishlar chastotasi, sönümli tebranishlarning amplitudasi. vaqt mos yozuvlar nuqtasini tanlashga bog'liq bo'lgan doimiy qiymatdir.

Damping koeffitsientini amplitudalar (A) e marta kamayadigan vaqtning () o'zaro nisbati sifatida aniqlash mumkin:

dam olish vaqti qayerda. Ya'ni, siz yozishingiz mumkin:

Söndürülmüş tebranishlar davri quyidagilarga teng:

muhitning ahamiyatsiz qarshiligi bilan, agar tengsizlik qondirilsa: tebranish davri quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:

Damping omili ortishi bilan tebranish davri ortadi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'chirilgan tebranishlar davri tushunchasi o'chirilgan tebranishlar tushunchasi bilan mos kelmaydi, chunki damping mavjud bo'lgan tizim hech qachon asl holatiga qaytmaydi. Söndürülmüş tebranishlar davri - bu tizim muvozanat holatidan bir xil yo'nalishda ikki marta o'tgan minimal vaqt davri.

Tebranishlarning zaiflashuv koeffitsienti ortishi bilan tebranishlar chastotasi kamayadi. Agar bo'lsa, u holda sönümli tebranishlar chastotasi nolga teng bo'ladi, shu bilan birga davr cheksizgacha oshadi. Bunday tebranishlar davriyligini yo'qotadi va aperiodik deb ataladi. Damping koeffitsienti tebranishlarning tabiiy chastotasiga teng bo'lsa, tizimning parametrlari kritik deb ataladi.

Tebranishlarni yumshatish koeffitsienti logarifmik pasaytirish () bilan quyidagi ifoda bilan bog'liq:

Söndürülmüş elektr tebranishlari

Haqiqatda mavjud bo'lgan har qanday elektr zanjiri faol qarshilikka ega, shuning uchun vaqt o'tishi bilan unda saqlanadigan energiya bu qarshilikka sarflanadi, chunki u isitiladi.

Bunday holda, elektr zanjiri uchun zaiflashuv koeffitsienti quyidagicha hisoblanadi:

bu erda R - qarshilik, L - kontaktlarning zanglashiga olib keladigan induktivligi.

Elektromagnit zanjirdagi chastota quyidagi formula bilan ifodalanadi:

RLC zanjiri uchun tebranishlar aperiodik bo'ladigan kritik qarshilik () qarshilik quyidagilarga teng:

da topiladi

Damping nisbati birliklari

SI tizimidagi zaiflashuv koeffitsientining asosiy o'lchov birligi:

Muammoni hal qilishga misollar

MISOL 1

Mashq qilish

Mayatnikning amplitudasi t=10 s vaqt ichida tebranish koeffitsienti qanday bo'ladi. 4 marta kamayadi?

Yechim

Mayatnikning sönümli tebranishlar tenglamasini yozamiz:

Zaiflash koeffitsientining ta'riflaridan biriga ko'ra:

Keling, hisob-kitoblarni bajaramiz:

Javob

2-MISA

Mashq qilish	Tebranish sxemasi induktor L, kondansatör C va qarshilik R dan iborat (1-rasm). Qancha to‘liq tebranishlardan keyin (N) zanjirdagi tokning amplitudasi e marta kamayadi?
Yechim	Biz quyidagi yozuvni kiritamiz: - oqim kuchi amplitudasining boshlang'ich qiymati, - N tebranish orqali oqim kuchining amplitudasi, keyin yozishimiz mumkin:

UMUMIY MA'LUMOT

tebranishlar vaqt o'tishi bilan ma'lum bir takrorlash bilan tavsiflangan harakatlar yoki jarayonlar deb ataladi. Dalgalanishlar deyiladi ozod, agar ular tebranish tizimiga tashqi ta'sirlarning keyinchalik yo'qligi bilan dastlab aloqa qilingan energiya hisobiga amalga oshirilsa. Tebranishlarning eng oddiy turlari garmonik tebranishlar- tebranish qiymati sinus yoki kosinus qonuniga muvofiq vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan tebranishlar.

Garmonik tebranishlarning differentsial tenglamasi shaklga ega

qayerda tebranuvchi qiymat, siklik chastota.

bu tenglamaning yechimidir. Bu erda - amplituda, - boshlang'ich faza.

Tebranish bosqichi.

Amplituda - o'zgaruvchan miqdorning maksimal qiymati.

Tebranish davri - bu tananing harakati takrorlanadigan vaqt davri. Davr uchun tebranish bosqichi o'sish oladi. . , tebranishlar soni.

Tebranish chastotasi - vaqt birligidagi to'liq tebranishlar soni. . . U gerts (Hz) da o'lchanadi.

Tsiklik chastota - soniyada tebranishlar soni. . Birlik.

Tebranish fazasi kosinus belgisi ostidagi qiymat bo'lib, har qanday vaqtda tebranish tizimining holatini tavsiflaydi.

Dastlabki faza - vaqtning dastlabki momentidagi tebranishlar fazasi. Faza va boshlang'ich faza radyanlarda o'lchanadi ().

Erkin sönümli tebranishlarning differensial tenglamasi shaklga ega

, (1)

Kam zaiflashuv holatida (1) tenglamaning yechimi (d 2<< ) имеет вид

Amplituda pasayadigan vaqt oralig'i e marta, deyiladi dam olish vaqti.

Damping tebranishlarning davriyligini buzadi, shuning uchun sönümli tebranishlar davriy emas. Biroq, agar zaiflashuv kichik bo'lsa, unda tebranish miqdorining ketma-ket ikkita maksimal (yoki minimal) orasidagi vaqt oralig'i sifatida davr tushunchasidan shartli foydalanish mumkin. Keyin sönümli tebranishlar davri formula bo'yicha hisoblanadi

Agar A(t) Va A(t+T) - bir davr bilan farq qiluvchi vaqtlarga to'g'ri keladigan ikkita ketma-ket tebranishlarning amplitudalari, keyin nisbati

chaqirdi dampingning pasayishi, va uning logarifmi

– logarifmik dampingning kamayishi.

Qiymat N e dagi amplitudaning kamayishi paytida sodir bo'lgan tebranishlar soni e bir marta. Logarifmik damping dekrementi berilgan tebranish sistemasi uchun doimiy qiymatdir.

Tebranish tizimini tavsiflash uchun kontseptsiyadan foydalaniladi sifat omili Q, logarifmik kamayishning kichik qiymatlari uchun bu tengdir

O'qish foydali bo'lishi mumkin: