Aktionen mit Matrizen. Matrizen

Matrixzeilen A bilden Zeilenabstand R(A T).

Matrixspalten A bilden Spaltenraum Matrizen und werden mit bezeichnet R(A).

Kernel oder Nullraum einer Matrix

Die Menge aller Lösungen der Gleichung Ax=0, Wo Bin X N-Matrix, X- Längenvektor N- Formen Nullraum oder Kern Matrizen A und wird mit bezeichnet Ker(A) oder N / A).

Gegenüberliegende Matrix

Für jede Matrix A es gibt eine Gegenmatrix -A so dass A+(-A)=0. Offensichtlich als Matrix -A Du solltest die Matrix nehmen (-1)A, deren Elemente sich von den Elementen unterscheiden A vertraut.

Skew-symmetrische (schiefsymmetrische) Matrix

Eine quadratische Matrix heißt schiefsymmetrisch, wenn sie sich von ihrer transponierten Matrix um den Faktor −1 unterscheidet:

In einer schiefsymmetrischen Matrix unterscheiden sich zwei beliebige Elemente, die symmetrisch zur Hauptdiagonale liegen, um den Faktor −1 voneinander und die Diagonalelemente sind gleich Null.

Ein Beispiel für eine schiefsymmetrische Matrix:

Matrixunterschied

Durch Differenz C zwei Matrizen A Und B gleicher Größe wird durch die Gleichheit bestimmt

Um den Unterschied zwischen zwei Matrizen zu bezeichnen, wird die folgende Notation verwendet:

Matrix-Abschluss

Sei eine quadratische Matrix der Größe n×n. Dann ist der Grad der Matrix wie folgt definiert:

wobei E die Identitätsmatrix ist.

Aus der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation folgt:

Wo p,q- beliebige nicht negative ganze Zahlen.

Symmetrische (symmetrische) Matrix

Matrix, die die Bedingung erfüllt A=A T heißt symmetrische Matrix.

Für symmetrische Matrizen gilt die Gleichheit:

a ij =a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Lineare Algebra

Matrizen

Matrix Größe m x n ist eine rechteckige Zahlentabelle mit m Zeilen und n Spalten. Die Zahlen, aus denen eine Matrix besteht, werden Matrixelemente genannt.

Matrizen werden normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben und Elemente mit denselben, aber mit Kleinbuchstaben mit doppelter Indizierung bezeichnet.

Betrachten Sie beispielsweise eine 2 x 3-Matrix A:

Diese Matrix hat zwei Zeilen (m = 2) und drei Spalten (n = 3), d.h. Es besteht aus sechs Elementen a ij, wobei i die Zeilennummer und j die Spaltennummer ist. In diesem Fall werden Werte von 1 bis 2 und von eins bis drei (geschrieben) angenommen. Nämlich a 11 = 3; ein 12 = 0; a 13 = -1; a21 = 0; a22 = 1,5; a 23 = 5.

Es werden Matrizen A und B gleicher Größe (m x n) aufgerufen gleich, wenn sie Element für Element übereinstimmen, d.h. a ij = b ij für , d.h. für jedes i und j (Sie können „i, j“ schreiben).

Matrixzeile ist eine Matrix, die aus einer Zeile besteht, und Matrixspalte ist eine Matrix, die aus einer Spalte besteht.

Zum Beispiel, ist eine Zeilenmatrix und .

Quadratische Matrix n-te Ordnung ist eine Matrix, die Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spalten und gleich n.

Zum Beispiel eine quadratische Matrix zweiter Ordnung.

Diagonale Matrixelemente sind Elemente, deren Zeilennummer gleich der Spaltennummer ist (a ij, i = j). Diese Elemente bilden sich Hauptdiagonale Matrizen. Im vorherigen Beispiel wird die Hauptdiagonale durch die Elemente a 11 = 3 und a 22 = 5 gebildet.

Diagonale Matrix ist eine quadratische Matrix, in der alle nichtdiagonalen Elemente Null sind. Zum Beispiel, - Diagonalmatrix dritter Ordnung. Wenn alle Diagonalelemente gleich eins sind, heißt die Matrix einzel(normalerweise mit dem Buchstaben E gekennzeichnet). Zum Beispiel, ist eine Identitätsmatrix dritter Ordnung.

Die Matrix heißt Null, wenn alle seine Elemente gleich Null sind.

Die quadratische Matrix heißt dreieckig, wenn alle seine Elemente unterhalb (oder oberhalb) der Hauptdiagonale gleich Null sind. Zum Beispiel, - Dreiecksmatrix dritter Ordnung.

Operationen auf Matrizen

Die folgenden Operationen können auf Matrizen ausgeführt werden:

1. Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren. Das Produkt aus Matrix A und Zahl l ist die Matrix B = lA, deren Elemente b ij = la ij für jedes i und j sind.

Wenn zum Beispiel, dann .

2. Matrixaddition. Die Summe zweier Matrizen A und B gleicher Größe m x n ist die Matrix C = A + B, deren Elemente mit ij = a ij + b ij für „i, j“ sind.

Zum Beispiel, wenn Das

.

Beachten Sie, dass durch die vorherigen Operationen ermittelt werden kann Matrixsubtraktion gleicher Größe: Differenz A-B = A + (-1)*B.

3. Matrix-Multiplikation. Das Produkt der Matrix A der Größe m x n durch die Matrix B der Größe n x p ist eine Matrix C, deren jedes Element mit ij gleich der Summe der Produkte der Elemente der i-ten Zeile der Matrix A mit den entsprechenden Elementen von ist die j-te Spalte der Matrix B, d.h. .

Zum Beispiel, wenn

, dann beträgt die Größe der Produktmatrix 2 x 3 und sie sieht folgendermaßen aus:

In diesem Fall soll Matrix A mit Matrix B konsistent sein.

Basierend auf der Multiplikationsoperation für quadratische Matrizen wird die Operation definiert Potenzierung. Die positive ganzzahlige Potenz A m (m > 1) einer quadratischen Matrix A ist das Produkt von m Matrizen gleich A, d. h.

Wir betonen, dass Addition (Subtraktion) und Multiplikation von Matrizen nicht für zwei beliebige Matrizen definiert sind, sondern nur für diejenigen, die bestimmte Anforderungen an ihre Dimension erfüllen. Um die Summe oder Differenz von Matrizen zu ermitteln, muss ihre Größe gleich sein. Um das Produkt von Matrizen zu finden, muss die Anzahl der Spalten der ersten mit der Anzahl der Zeilen der zweiten übereinstimmen (solche Matrizen werden als Matrizen bezeichnet). vereinbart).

Betrachten wir einige Eigenschaften der betrachteten Operationen, ähnlich den Eigenschaften von Operationen mit Zahlen.

1) Kommutatives (kommutatives) Additionsgesetz:

A + B = B + A

2) Assoziatives (kombinatives) Additionsgesetz:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributives (distributives) Gesetz der Multiplikation relativ zur Addition:

l(A + B) = lA + lB

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Assoziatives (kombinatives) Gesetz der Multiplikation:

l(AB) = (lA)B = A(lB)

A(BC) = (AB)C

Wir betonen, dass das kommutative Gesetz der Multiplikation für Matrizen im allgemeinen Fall NICHT erfüllt ist, d. h. AB¹BA. Darüber hinaus impliziert die Existenz von AB nicht unbedingt die Existenz von BA (die Matrizen sind möglicherweise nicht konsistent und dann ist ihr Produkt überhaupt nicht definiert, wie im obigen Beispiel der Matrixmultiplikation). Aber selbst wenn beide Werke existieren, sind sie meist unterschiedlich.

In einem bestimmten Fall hat das Produkt einer beliebigen quadratischen Matrix A und einer Identitätsmatrix derselben Ordnung ein Kommutativgesetz, und dieses Produkt ist gleich A (die Multiplikation mit der Identitätsmatrix ähnelt hier der Multiplikation mit eins beim Multiplizieren von Zahlen):

AE = EA = A

Tatsächlich,

Lassen Sie uns einen weiteren Unterschied zwischen Matrixmultiplikation und Zahlenmultiplikation hervorheben. Ein Produkt von Zahlen kann genau dann Null sein, wenn mindestens eine davon gleich Null ist. Über Matrizen kann man das nicht sagen, d.h. Das Produkt von Nicht-Null-Matrizen kann einer Nullmatrix entsprechen. Zum Beispiel,

Lassen Sie uns unsere Betrachtung der Operationen auf Matrizen fortsetzen.

4. Matrixtransponierung stellt die Operation des Übergangs von einer Matrix A der Größe m x n zu einer Matrix A T der Größe n x m dar, bei der die Zeilen und Spalten vertauscht werden:

%.

Eigenschaften der Transponierungsoperation:

1) Aus der Definition folgt, dass wir bei zweimaliger Transponierung der Matrix zur ursprünglichen Matrix zurückkehren: (A T) T = A.

2) Der konstante Faktor kann aus dem Transpositionszeichen entnommen werden: (lA) T = lA T .

3) Transponieren ist distributiv in Bezug auf Matrixmultiplikation und -addition: (AB) T = B T A T und (A + B) T = B T + A T .

Matrixdeterminanten

Für jede quadratische Matrix A wird eine Zahl |A| eingeführt, die aufgerufen wird bestimmend. Manchmal wird es auch mit dem Buchstaben D bezeichnet.

Dieses Konzept ist wichtig für die Lösung einer Reihe praktischer Probleme. Definieren wir es durch die Berechnungsmethode.

Für eine Matrix erster Ordnung A ist ihre Determinante ihr einziges Element |A| = D 1 = a 11 .

Für eine Matrix zweiter Ordnung A ist ihre Determinante die Zahl, die mit der Formel |A| berechnet wird = D 2 = a 11 * a 22 – a 21 * a 12

Für eine Matrix dritter Ordnung A ist ihre Determinante die Zahl, die mit der Formel berechnet wird

Es stellt eine algebraische Summe dar, die aus 6 Termen besteht, von denen jeder genau ein Element aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix enthält. Um sich die Determinantenformel zu merken, ist es üblich, die sogenannte Dreiecksregel oder Sarrus-Regel zu verwenden (Abbildung 6.1).

In Abbildung 6.1 zeigt das Diagramm links, wie Elemente für Terme mit einem Pluszeichen ausgewählt werden – sie befinden sich auf der Hauptdiagonale und an den Eckpunkten gleichschenkliger Dreiecke, deren Basen parallel dazu sind. Das Diagramm links wird für Begriffe mit Minuszeichen verwendet; darauf wird anstelle der Hauptdiagonale die sogenannte Seitendiagonale genommen.

Determinanten höherer Ordnung werden rekurrent berechnet, d.h. eine Determinante vierter Ordnung durch eine Determinante dritter Ordnung, eine Determinante fünfter Ordnung durch eine Determinante vierter Ordnung usw. Um diese Methode zu beschreiben, ist es notwendig, die Konzepte des Moll- und algebraischen Komplements eines Matrixelements einzuführen (wir stellen sofort fest, dass die Methode selbst, auf die weiter unten eingegangen wird, auch für Determinanten dritter und zweiter Ordnung geeignet ist).

Unerheblich M ij des Elements a ij einer Matrix n-ter Ordnung wird als Determinante einer Matrix (n-1)-ter Ordnung bezeichnet, die aus Matrix A durch Löschen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten wird.

Jede Matrix n-ter Ordnung hat n 2 Minderjährige (n-1)-ter Ordnung.

Algebraisches Komplement Ein ij eines Elements und ij einer Matrix n-ter Ordnung wird als ihr Minor bezeichnet, angenommen mit dem Vorzeichen (-1) (i+ j) :

A ij = (-1) (i+ j) *M ij

Aus der Definition folgt, dass A ij = M ij, wenn die Summe der Zeilen- und Spaltennummern gerade ist, und A ij = -M ij, wenn sie ungerade ist.

Zum Beispiel, wenn , Das ; usw.

Determinante Berechnungsmethode ist wie folgt: Die Determinante einer quadratischen Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) durch ihre algebraischen Komplemente:

(Zerlegung nach Elementen der i-ten Zeile; );

(Zerlegung nach Elementen der j-ten Spalte; ).

Zum Beispiel,

Beachten Sie, dass im allgemeinen Fall die Determinante einer Dreiecksmatrix gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale ist.

Lassen Sie uns die grundlegenden Eigenschaften von Determinanten formulieren.

1. Wenn eine Zeile oder Spalte der Matrix nur aus Nullen besteht, ist die Determinante gleich 0 (ergibt sich aus der Berechnungsmethode).

2. Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer Matrix mit derselben Zahl multipliziert werden, wird auch ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert (ergibt sich auch aus der Berechnungsmethode – der gemeinsame Faktor hat keinen Einfluss auf die Berechnung der Algebra). Additionen und alle anderen Terme werden mit genau dieser Zahl multipliziert).

Hinweis: Das Vorzeichen der Determinante kann als gemeinsamer Faktor einer Zeile oder Spalte angesehen werden (im Gegensatz zu einer Matrix, deren Vorzeichen als gemeinsamer Faktor aller ihrer Elemente angesehen werden kann). Zum Beispiel, aber .

3. Beim Transponieren einer Matrix ändert sich ihre Determinante nicht: |A T | = |A| (Der Beweis wird von uns nicht durchgeführt).

4. Wenn zwei Zeilen (Spalten) einer Matrix vertauscht werden, ändert ihre Determinante das Vorzeichen in das entgegengesetzte.

Um diese Eigenschaft zu beweisen, gehen wir zunächst davon aus, dass zwei benachbarte Zeilen der Matrix neu angeordnet werden: die i-te und die (i+1)-te. Um die Determinante der ursprünglichen Matrix zu berechnen, führen wir die Erweiterung entlang der i-ten Zeile und für die Determinante der neuen Matrix (mit neu angeordneten Zeilen) entlang der (i+1)-ten Zeile durch (die darin gleich ist). , also Element für Element übereinstimmt). Dann hat bei der Berechnung der zweiten Determinante jede algebraische Addition das umgekehrte Vorzeichen, da (-1) nicht mit (i + j), sondern mit (i + 1+ j) potenziert wird, andernfalls die Formeln werden sich nicht unterscheiden. Dadurch ändert sich das Vorzeichen der Determinante ins Gegenteil.

Nehmen wir nun an, dass nicht benachbarte, sondern zwei beliebige Zeilen neu angeordnet werden, zum Beispiel i-te und (i+t)-te. Eine solche Permutation kann als sequentielle Verschiebung der i-ten Zeile um t Zeilen nach unten und der (i+t)-ten Zeile um (t-1) Zeilen nach oben dargestellt werden. In diesem Fall ändert sich das Vorzeichen der Determinante (t + t – 1) = 2t – 1 Mal, d. h. eine ungerade Anzahl von Malen. Deshalb wird es sich irgendwann umkehren.

Ähnliche Überlegungen können für Spalten geändert werden.

5. Wenn eine Matrix zwei identische Zeilen (Spalten) enthält, ist ihre Determinante 0.

Wenn identische Zeilen (Spalten) neu angeordnet werden, erhält man tatsächlich dieselbe Matrix mit denselben Determinanten. Andererseits muss es entsprechend der bisherigen Eigenschaft das Vorzeichen wechseln, d.h. D = -D Û D = 0.

6. Wenn die Elemente zweier Zeilen (Spalten) der Matrix proportional sind, dann ist die Determinante gleich 0.

Diese Eigenschaft basiert auf der vorherigen Eigenschaft und der Klammerung des gemeinsamen Faktors (nach der Klammerung des Proportionalitätskoeffizienten gibt es identische Zeilen oder Spalten in der Matrix, und als Ergebnis wird dieser Koeffizient mit Null multipliziert).

7. Die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer Matrix durch die algebraischen Komplemente der Elemente einer anderen Zeile (Spalte) derselben Matrix ist immer gleich 0: für i ¹ j.

Um diese Eigenschaft zu beweisen, reicht es aus, die j-te Zeile in Matrix A durch die i-te zu ersetzen. Die resultierende Matrix hat zwei identische Zeilen, daher ist ihre Determinante 0. Andererseits kann sie durch Zerlegen der Elemente der j-ten Zeile berechnet werden: .

8. Die Determinante der Matrix ändert sich nicht, wenn zu den Elementen einer Zeile oder Spalte der Matrix Elemente einer anderen Zeile (Spalte) multipliziert mit derselben Zahl addiert werden.

Tatsächlich sollen die Elemente der j-ten Zeile, multipliziert mit l, zu den Elementen der i-ten Zeile addiert werden. Dann nehmen die Elemente der neuen i-ten Reihe die Form an
(a ik + la jk , "k). Berechnen wir die Determinante der neuen Matrix, indem wir die Elemente der i-ten Zeile zerlegen (beachten Sie, dass sich die algebraischen Additionen ihrer Elemente nicht ändern):

Wir haben festgestellt, dass sich diese Determinante nicht von der Determinante der Originalmatrix unterscheidet.

9. Die Determinante des Produkts von Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten: |AB| = |A| * |B| (Der Beweis wird von uns nicht durchgeführt).

Die oben diskutierten Eigenschaften von Determinanten werden verwendet, um ihre Berechnung zu vereinfachen. Normalerweise versuchen sie, die Matrix so umzuwandeln, dass jede Spalte oder Zeile so viele Nullen wie möglich enthält. Danach kann die Determinante leicht gefunden werden, indem man über diese Zeile oder Spalte expandiert.

inverse Matrix

Matrix A -1 wird aufgerufen umkehren in Bezug auf eine quadratische Matrix A, wenn man diese Matrix mit der Matrix A sowohl rechts als auch links multipliziert, erhält man die Identitätsmatrix: A -1 * A = A * A -1 = E.

Aus der Definition folgt, dass die inverse Matrix eine quadratische Matrix derselben Ordnung wie Matrix A ist.

Es kann festgestellt werden, dass das Konzept einer inversen Matrix dem Konzept einer inversen Zahl ähnelt (dies ist eine Zahl, die, wenn sie mit einer bestimmten Zahl multipliziert wird, eins ergibt: a*a -1 = a*(1/ a) = 1).

Alle Zahlen außer Null haben Kehrwerte.

Um die Frage zu lösen, ob eine quadratische Matrix eine Umkehrung hat, muss ihre Determinante ermittelt werden. Wenn die Determinante einer Matrix Null ist, dann heißt eine solche Matrix degenerieren, oder besonders.

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix: Die inverse Matrix existiert und ist genau dann eindeutig, wenn die ursprüngliche Matrix nicht singulär ist.

Lassen Sie uns die Notwendigkeit beweisen. Lassen Sie Matrix A eine inverse Matrix A -1 haben, d.h. A -1 * A = E. Dann ist |A -1 * A| = |A -1 | * |A| = |E| = 1. Daher gilt:
|A| Nr. 0.

Lassen Sie uns die Suffizienz beweisen. Um dies zu beweisen, müssen wir lediglich eine Methode zur Berechnung der inversen Matrix beschreiben, die wir immer auf eine nicht singuläre Matrix anwenden können.

Sei also |A| ¹ 0. Wir transponieren die Matrix A. Für jedes Element A T finden wir ein algebraisches Komplement und bilden daraus eine Matrix, die aufgerufen wird beigefügt(gegenseitig, verbündet): .

Finden wir das Produkt der adjungierten Matrix und der Originalmatrix. Wir bekommen . Somit ist Matrix B diagonal. Auf ihrer Hauptdiagonale liegen Determinanten der ursprünglichen Matrix, alle anderen Elemente sind Nullen:

Ebenso lässt sich zeigen, dass .

Wenn Sie alle Elemente der Matrix durch |A| dividieren, erhalten Sie die Identitätsmatrix E.

Auf diese Weise , d.h. .

Lassen Sie uns die Eindeutigkeit der inversen Matrix beweisen. Angenommen, es gibt eine andere inverse Matrix für A, die sich von A -1 unterscheidet. Bezeichnen wir es mit X. Dann ist A * X = E. Multiplizieren wir links beide Seiten der Gleichheit mit A -1.

A -1 * A * X = A -1 * E

Einzigartigkeit ist bewiesen.

Der Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix besteht also aus den folgenden Schritten:

1. Finden Sie die Determinante der Matrix |A| . Wenn |A| = 0, dann ist Matrix A singulär und die inverse Matrix kann nicht gefunden werden. Wenn |A| ¹ 0, dann fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.

2. Konstruieren Sie die transponierte Matrix A T.

3. Finden Sie die algebraischen Komplemente der Elemente der transponierten Matrix und konstruieren Sie die adjungierte Matrix.

4. Berechnen Sie die inverse Matrix, indem Sie die adjungierte Matrix durch |A| dividieren.

5. Sie können die Richtigkeit der Berechnung der inversen Matrix gemäß der Definition überprüfen: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Finden Sie die Determinante dieser Matrix mithilfe der Dreiecksregel:

Lass uns den Scheck überspringen.

Folgende Eigenschaften der Matrixinversion können nachgewiesen werden:

1) |A -1 | = 1/|A|

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T = (A T) -1

Matrixrang

Kleinere k-te Ordnung Matrizen A der Größe m x n werden als Determinante einer quadratischen Matrix k-ter Ordnung bezeichnet, die aus Matrix A durch Löschen beliebiger Zeilen und Spalten erhalten wird.

Aus der Definition folgt, dass die Ordnung des Minderjährigen die kleinere seiner Größen nicht überschreitet, d.h. k £ min (m; n). Beispielsweise können Sie aus einer 5x3-Matrix A quadratische Untermatrizen erster, zweiter und dritter Ordnung erhalten (berechnen Sie dementsprechend die Nebenmatrizen dieser Ordnungen).

Rang Matrizen sind die höchste Ordnung der von Null verschiedenen Minderjährigen dieser Matrix (gekennzeichnet durch Rang A oder r(A)).

Aus der Definition ergibt sich das

1) Der Rang der Matrix überschreitet nicht die kleinere ihrer Dimensionen, d.h.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 genau dann, wenn die Matrix Null ist (alle Elemente der Matrix sind gleich Null), d.h. r(A) = 0 Û A = 0;

3) für eine quadratische Matrix n-ter Ordnung r(A) = n genau dann, wenn diese Matrix A nicht singulär ist, d. h. r(A) = n Û |A| Nr. 0.

Um dies zu erreichen, reicht es tatsächlich aus, nur einen solchen Minor zu berechnen (denjenigen, der durch Durchstreichen der dritten Spalte erhalten wird (da der Rest in der dritten Spalte eine Null hat und daher gleich Null ist).

Nach der Dreiecksregel = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Da alle Minderjährigen dritter Ordnung Null sind, ist r(A) £ 2. Da es beispielsweise einen Minderjährigen zweiter Ordnung ungleich Null gibt,

Offensichtlich sind die von uns verwendeten Methoden (unter Berücksichtigung aller Arten von Minderjährigen) aufgrund ihrer hohen Komplexität nicht für die Rangbestimmung in komplexeren Fällen geeignet. Um den Rang einer Matrix zu ermitteln, werden normalerweise einige Transformationen verwendet, die aufgerufen werden elementar:

1). Verwerfen von Nullzeilen (Spalten).

2). Multiplizieren aller Elemente einer Zeile oder Spalte einer Matrix mit einer Zahl ungleich Null.

3). Ändern der Reihenfolge der Zeilen (Spalten) einer Matrix.

4). Addition zu jedem Element einer Zeile (Spalte) der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte), multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

5). Umsetzung.

Wenn die Matrix A durch Elementartransformationen aus der Matrix B gewonnen wird, heißen diese Matrizen Äquivalent und bezeichnen A ~ B.

Satz. Elementare Matrixtransformationen ändern ihren Rang nicht.

Der Beweis des Satzes folgt aus den Eigenschaften der Determinante der Matrix. Tatsächlich bleiben bei diesen Transformationen die Determinanten quadratischer Matrizen entweder erhalten oder werden mit einer Zahl ungleich Null multipliziert. Infolgedessen bleibt die höchste Ordnung der Nicht-Null-Minderjährigen der ursprünglichen Matrix gleich, d. h. Ihr Rang ändert sich nicht.

Durch elementare Transformationen wird die Matrix in die sogenannte Stufenform gebracht (transformiert in Schrittmatrix), d.h. Sie stellen sicher, dass es in der äquivalenten Matrix nur Nullelemente unter der Hauptdiagonale und Nicht-Null-Elemente auf der Hauptdiagonale gibt:

Der Rang einer Stufenmatrix ist gleich r, da man durch Entfernen von Spalten daraus, beginnend mit dem (r + 1)-ten und darüber hinaus, eine Dreiecksmatrix r-ter Ordnung erhalten kann, deren Determinante nicht- Null, da es das Produkt von Elementen ungleich Null ist (daher gibt es ein Nebenelement r-ter Ordnung, das ungleich Null ist):

Beispiel. Finden Sie den Rang einer Matrix

1). Wenn a 11 = 0 (wie in unserem Fall), dann stellen wir durch Neuanordnen der Zeilen oder Spalten sicher, dass a 11 ¹ 0. Hier vertauschen wir die 1. und 2. Zeile der Matrix:

2). Jetzt a 11 ¹ 0. Mithilfe elementarer Transformationen stellen wir sicher, dass alle anderen Elemente in der ersten Spalte gleich Null sind. In der zweiten Zeile a 21 = 0. In der dritten Zeile a 31 = -4. Damit statt (-4) 0 steht, addiere zur dritten Zeile die erste Zeile multipliziert mit 2 (also mit (-a 31 / a 11) = -(-4)/2 =
= 2). Ebenso fügen wir zur vierten Zeile die erste Zeile hinzu (multipliziert mit eins, also mit (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1).

3). In der resultierenden Matrix a 22 ¹ 0 (wenn a 22 = 0, dann könnten die Zeilen erneut neu angeordnet werden). Stellen wir sicher, dass in der zweiten Spalte auch unter der Diagonale Nullen stehen. Fügen Sie dazu die zweite Zeile zur 3. und 4. Zeile hinzu, multipliziert mit -3 ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). In der resultierenden Matrix sind die letzten beiden Zeilen Null und können verworfen werden:

Man erhält eine Stufenmatrix bestehend aus zwei Zeilen. Daher ist r(A) = 2.

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