So finden Sie die Fläche eines Dreiecks. Beweisen Sie, was die Fläche des Dreiecks ist

Das Dreieck ist eine bekannte Figur. Und das bei aller Formenvielfalt. Rechteckig, gleichseitig, spitz, gleichschenklig, stumpf. Jeder von ihnen ist etwas anders. Aber für jeden ist es erforderlich, die Fläche des Dreiecks zu kennen.

Gemeinsame Formeln für alle Dreiecke, die Seitenlängen oder Höhen verwenden

Die darin angenommenen Bezeichnungen: Seiten - a, b, c; Höhen auf den entsprechenden Seiten auf a, n in, n s.

1. Die Fläche eines Dreiecks errechnet sich als Produkt aus ½, der Seite und der darauf abgesenkten Höhe. S = ½ * ein * n ein. Ebenso sollte man Formeln für die anderen beiden Seiten schreiben.

2. Herons Formel, in der der Halbumfang vorkommt (im Gegensatz zum vollen Umfang ist es üblich, ihn mit einem kleinen Buchstaben p zu bezeichnen). Der Halbumfang muss wie folgt berechnet werden: Addieren Sie alle Seiten und teilen Sie sie durch 2. Die Halbumfangsformel: p \u003d (a + b + c) / 2. Dann die Gleichheit für die Fläche von \ u200b\u200bdie Abbildung sieht so aus: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Wenn Sie keinen Halbumfang verwenden möchten, ist eine solche Formel hilfreich, in der nur die Längen der Seiten vorhanden sind: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Es ist etwas länger als das vorherige, aber es wird Ihnen helfen, wenn Sie vergessen haben, wie Sie den Halbumfang finden.

Allgemeine Formeln, in denen die Winkel eines Dreiecks vorkommen

Notation, die zum Lesen der Formeln erforderlich ist: α, β, γ - Winkel. Sie liegen jeweils den Seiten a, b, c gegenüber.

1. Demnach ist die Hälfte des Produkts zweier Seiten und des Sinus des Winkels zwischen ihnen gleich der Fläche des Dreiecks. Das heißt: S = ½ a * b * sin γ. Die Formeln für die anderen beiden Fälle sollten auf ähnliche Weise geschrieben werden.

2. Die Fläche eines Dreiecks kann aus einer Seite und drei berechnet werden bekannte Ecken. S \u003d (a 2 * Sünde β * Sünde γ) / (2 Sünde α).

3. Es gibt auch eine Formel mit einer bekannten Seite und zwei angrenzenden Winkeln. Es sieht so aus: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Die letzten beiden Formeln sind nicht die einfachsten. Es ist ziemlich schwer, sich an sie zu erinnern.


Allgemeine Formeln für den Fall, dass die Radien von ein- oder umschriebenen Kreisen bekannt sind

Zusätzliche Bezeichnungen: r, R — Radien. Der erste wird für den Radius des einbeschriebenen Kreises verwendet. Der zweite ist für den beschriebenen.

1. Die erste Formel, nach der die Fläche eines Dreiecks berechnet wird, bezieht sich auf den Halbumfang. S = r * r. Auf andere Weise kann es wie folgt geschrieben werden: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Im zweiten Fall müssen Sie alle Seiten des Dreiecks multiplizieren und durch den vierfachen Radius des Umkreises dividieren. Wörtlich sieht es so aus: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Die dritte Situation ermöglicht es Ihnen, auf die Kenntnis der Seiten zu verzichten, aber Sie benötigen die Werte aller drei Winkel. S \u003d 2 R 2 * Sünde α * Sünde β * Sünde γ.

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

Dies ist die einfachste Situation, da nur die Länge beider Beine benötigt wird. Sie werden mit den lateinischen Buchstaben a und b bezeichnet. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte der Fläche des hinzugefügten Rechtecks.

Mathematisch sieht das so aus: S = ½ a * b. Sie ist am einfachsten zu merken. Da es wie die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​aussieht, erscheint nur ein Bruchteil, der die Hälfte bezeichnet.

Sonderfall: gleichschenkliges Dreieck

Da seine beiden Seiten gleich sind, sehen einige Formeln für seine Fläche etwas vereinfacht aus. Die Formel von Heron, die die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnet, hat beispielsweise die folgende Form:

S = ½ Zoll √((a + ½ Zoll)*(a - ½ Zoll)).

Wenn Sie es konvertieren, wird es kürzer. In diesem Fall lautet die Formel von Heron für ein gleichschenkliges Dreieck wie folgt:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Etwas einfacher als für ein beliebiges Dreieck sieht die Flächenformel aus, wenn Sie es wissen Seiten und der Winkel zwischen ihnen. S \u003d ½ a 2 * Sünde β.

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

Meist ist bei Problemen über ihn die Seite bekannt oder irgendwie erkennbar. Dann lautet die Formel zum Ermitteln der Fläche eines solchen Dreiecks wie folgt:

S = (a 2 √3) / 4.


Aufgaben zum Finden der Fläche, wenn das Dreieck auf kariertem Papier abgebildet ist

Die einfachste Situation ist, wenn ein rechtwinkliges Dreieck so gezeichnet wird, dass seine Beine mit den Linien des Papiers übereinstimmen. Dann müssen Sie nur noch die Anzahl der Zellen zählen, die in die Beine passen. Dann multipliziere sie und teile sie durch zwei.

Wenn das Dreieck spitz oder stumpf ist, muss es zu einem Rechteck gezeichnet werden. Dann gibt es in der resultierenden Figur 3 Dreiecke. Einer ist der in der Aufgabe angegebene. Und die anderen beiden sind hilfsweise und rechteckig. Die Flächen der letzten beiden müssen nach der oben beschriebenen Methode bestimmt werden. Berechnen Sie dann die Fläche des Rechtecks ​​​​und subtrahieren Sie davon die für die Hilfsfelder berechneten. Die Fläche des Dreiecks wird bestimmt.

Viel schwieriger ist die Situation, in der keine der Seiten des Dreiecks mit den Linien des Papiers zusammenfällt. Dann muss es in ein Rechteck eingeschrieben werden, so dass die Eckpunkte der ursprünglichen Figur auf seinen Seiten liegen. In diesem Fall gibt es drei rechtwinklige Hilfsdreiecke.


Ein Beispiel für ein Problem mit der Heron-Formel

Zustand. Manche Dreiecke haben Seiten. Sie sind gleich 3, 5 und 6 cm, Sie müssen ihre Fläche kennen.

Jetzt können Sie die Fläche eines Dreiecks mit der obigen Formel berechnen. Unter der Quadratwurzel steht das Produkt aus vier Zahlen: 7, 4, 2 und 1. Das heißt, die Fläche ist √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Wenn Sie nicht mehr Genauigkeit benötigen, können Sie die Quadratwurzel aus 14 ziehen. Sie beträgt 3,74. Dann ist die Fläche gleich 7,48.

Antworten. S \u003d 2 √14 cm 2 oder 7,48 cm 2.

Ein Beispiel für ein Problem mit einem rechtwinkligen Dreieck

Zustand. Ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks ist 31 cm länger als das zweite, dessen Länge ermittelt werden muss, wenn die Fläche des Dreiecks 180 cm 2 beträgt.
Lösung. Du musst ein System aus zwei Gleichungen lösen. Das erste hat mit der Fläche zu tun. Die zweite ist mit dem Verhältnis der Beine, das in der Aufgabe angegeben ist.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Zuerst muss der Wert von "a" in die erste Gleichung eingesetzt werden. Es stellt sich heraus: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Es hat nur eine unbekannte Größe und ist daher leicht zu lösen. Nach dem Öffnen der Klammern erhält man eine quadratische Gleichung: in 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Sie gibt zwei Werte für "in": 9 und - 40. Die zweite Zahl ist als Antwort nicht geeignet , da die Seitenlänge des Dreiecks kein negativer Wert sein kann.

Es bleibt die zweite Etappe zu berechnen: Addieren Sie 31 zur resultierenden Zahl, es ergibt sich 40. Dies sind die in der Aufgabe gesuchten Größen.

Antworten. Die Beine des Dreiecks sind 9 und 40 cm lang.

Die Aufgabe, die Seite durch Fläche, Seite und Winkel eines Dreiecks zu finden

Zustand. Die Fläche eines Dreiecks beträgt 60 cm2. Es ist notwendig, eine seiner Seiten zu berechnen, wenn die zweite Seite 15 cm lang ist und der Winkel zwischen ihnen 30º beträgt.

Lösung. Basierend auf den akzeptierten Bezeichnungen ist die gewünschte Seite „a“, das bekannte „b“, der vorgegebene Winkel ist „γ“. Dann kann die Flächenformel wie folgt umgeschrieben werden:

60 \u003d ½ a * 15 * Sünde 30º. Hier beträgt der Sinus von 30 Grad 0,5.

Nach Transformationen stellt sich heraus, dass "a" gleich 60 / (0,5 * 0,5 * 15) ist. Das ist 16.

Antworten. Die gewünschte Seite ist 16 cm.

Das Problem eines Quadrats, das einem rechtwinkligen Dreieck einbeschrieben ist

Zustand. Die Spitze eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 24 cm fällt mit dem rechten Winkel des Dreiecks zusammen. Die anderen beiden liegen auf den Beinen. Der dritte gehört zur Hypotenuse. Die Länge eines der Beine beträgt 42 cm. Was ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks?

Lösung. Betrachten Sie zwei rechtwinklige Dreiecke. Der erste wird in der Aufgabe angegeben. Der zweite basiert auf dem bekannten Bein des ursprünglichen Dreiecks. Sie sind ähnlich, weil sie einen gemeinsamen Winkel haben und durch parallele Linien gebildet werden.

Dann sind die Verhältnisse ihrer Beine gleich. Die Beine des kleineren Dreiecks sind 24 cm (Seite des Quadrats) und 18 cm (bei gegebenem Bein 42 cm minus der Seite des Quadrats 24 cm). Die entsprechenden Beine des großen Dreiecks sind 42 cm und x cm. Dieses "x" wird benötigt, um die Fläche des Dreiecks zu berechnen.

18/42 \u003d 24 / x, dh x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Dann ist die Fläche gleich dem Produkt aus 56 und 42, geteilt durch zwei, also 1176 cm 2.

Antworten. Die gewünschte Fläche beträgt 1176 cm 2.

Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner Seite und der zu dieser Seite gezogenen Höhe. Die Seite, zu der die Höhe gezeichnet wird, heißt dann Basis. Somit kann man das sagen Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus seiner Grundfläche mal seiner Höhe..

Wenn wir die Länge der Seitenbasis des Dreiecks mit a und die Höhe mit h bezeichnen, erhalten wir die Formel für die Fläche des Dreiecks:

Um diese Formel zu beweisen, sollte man alle Möglichkeiten für die Lage der Höhe im Dreieck berücksichtigen. Es gibt nur drei von ihnen. Das:

  1. Die Höhe fällt mit einer der Seiten des Dreiecks zusammen. In diesem Fall haben wir es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun, bei dem eines der Beine als Basis genommen wird. Die zu diesem Bein gezogene Höhe ist das andere Bein.
  2. Die Höhe liegt innerhalb des Dreiecks. In diesem Fall schneidet sie die Basis und teilt sie in zwei Segmente. Dieses Dreieck wird in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt.
  3. Die Höhe liegt außerhalb des Dreiecks. In diesem Fall schneidet sie sich nicht mit der Basis selbst, sondern mit ihrer Fortsetzung (der Geraden, auf der die Basis liegt).

Betrachten wir den ersten Fall. Gegeben sei das Dreieck ABC. Darin ist eine Höhe h zur Basis AC der Länge a eingezeichnet, die mit der Seite BC zusammenfällt:

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Rechtecks ​​gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Wenn wir ein Rechteck mit den Seitenlängen a und h hätten, dann wäre seine Fläche gleich ah. Wenn eine Diagonale in ein Rechteck gezeichnet wird, teilt sie es in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke (bei denen alle drei Seiten gleich sind). Die Flächen dieser Dreiecke sind ebenfalls gleich und jeweils ½ der Fläche des gesamten Rechtecks. Damit ist bewiesen, dass die Fläche eines Dreiecks in dieser Fall wird gleich ½ah sein.

Betrachten wir den zweiten Fall. Die Höhe BH der Länge h darin schneide die Seite AC der Länge a .

In diesem Fall erhalten wir zwei rechtwinklige Dreiecke: ABH und CBH. Aus dem ersten betrachteten Fall wissen wir, dass ihre Flächen ½ · AH · h bzw. ½ · CH · h sind.

Die Fläche des gesamten Dreiecks ABC ist die Summe dieser beiden Flächen:

S = ½ AH h + ½ CH h

Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren aus Klammern heraus:

S = ½ h (AH + CH)

Aber AH und CH ergeben zusammen die Länge a. Damit kommen wir zu der Formel, die wir beweisen wollten:

S = ½ h ein

Betrachten Sie nun den dritten Fall, in dem die Höhe außerhalb des Dreiecks liegt:

Auch hier sehen wir zwei rechtwinklige Dreiecke. Dies sind ∆ABH und ∆CBH. Und das Erste beinhaltet das Zweite. Das gesuchte Dreieck ABC ist das Komplement des Dreiecks CBH zum Dreieck ABH. Somit können wir schreiben, dass die Fläche ∆ABH gleich der Summe der Flächen ∆CBH und ∆ABC ist:

S∆ABH = S∆CBH + S∆ABC

Wo finden wir die Fläche des gewünschten Dreiecks ABC:

S∆ABC = S∆ABH – S∆CBH

Die Fläche des Dreiecks ABH ist ½ AH h, die Fläche des Dreiecks CBH ist ½ CH h:

S ∆ABC = ½ AH h – ½ CH h

Wir nehmen die gemeinsamen Faktoren aus der Klammer:

S ∆ABC = ½ h (AH - CH)

Aber immerhin, wenn wir die Strecke CH von der Strecke AH abziehen, erhalten wir die Strecke AC, deren Länge gleich a ist. Daher können wir schreiben, dass in diesem Fall die Fläche des Dreiecks auch ½ ah beträgt.

Um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, können Sie verschiedene Formeln verwenden. Von allen Methoden ist die Multiplikation der Höhe mit der Länge der Basis und die anschließende Division des Ergebnisses durch zwei die einfachste und am häufigsten verwendete Methode. Diese Methode ist jedoch bei weitem nicht die einzige. Unten können Sie lesen, wie Sie die Fläche eines Dreiecks mit verschiedenen Formeln finden.

Separat werden wir Methoden zur Berechnung der Fläche bestimmter Dreieckstypen betrachten - rechteckig, gleichschenklig und gleichseitig. Wir begleiten jede Formel mit einer kurzen Erklärung, die Ihnen hilft, ihre Essenz zu verstehen.

Universelle Wege, um die Fläche eines Dreiecks zu finden

Die folgenden Formeln verwenden eine spezielle Notation. Wir werden jeden von ihnen entschlüsseln:

  • a, b, c sind die Längen der drei Seiten der betrachteten Figur;
  • r ist der Radius eines Kreises, der in unser Dreieck eingeschrieben werden kann;
  • R ist der Radius des Kreises, der um ihn herum beschrieben werden kann;
  • α - der Wert des Winkels, der von den Seiten b und c gebildet wird;
  • β ist der Winkel zwischen a und c;
  • γ - der Wert des Winkels, der von den Seiten a und b gebildet wird;
  • h ist die Höhe unseres Dreiecks, abgesenkt vom Winkel α zur Seite a;
  • p ist die Hälfte der Summe der Seiten a, b und c.

Es ist logisch klar, warum man auf diese Weise die Fläche eines Dreiecks finden kann. Das Dreieck lässt sich leicht zu einem Parallelogramm vervollständigen, bei dem eine Seite des Dreiecks als Diagonale fungiert. Die Fläche eines Parallelogramms wird ermittelt, indem die Länge einer seiner Seiten mit dem Wert der darauf gezeichneten Höhe multipliziert wird. Die Diagonale teilt dieses bedingte Parallelogramm in 2 identische Dreiecke. Daher ist es ziemlich offensichtlich, dass die Fläche unseres ursprünglichen Dreiecks gleich der Hälfte der Fläche dieses Hilfsparallelogramms sein sollte.

S=½ a b sin γ

Nach dieser Formel wird die Fläche eines Dreiecks ermittelt, indem die Längen seiner beiden Seiten, dh a und b, mit dem Sinus des Winkels, den sie bilden, multipliziert werden. Diese Formel leitet sich logisch von der vorherigen ab. Wenn wir die Höhe vom Winkel β auf die Seite b senken, erhalten wir gemäß den Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks beim Multiplizieren der Länge der Seite a mit dem Sinus des Winkels γ die Höhe des Dreiecks, dh h.

Die Fläche der betrachteten Figur ergibt sich aus der Multiplikation des halben Radius des Kreises, der darin eingeschrieben werden kann, mit seinem Umfang. Mit anderen Worten, wir finden das Produkt aus dem Halbumfang und dem Radius des erwähnten Kreises.

S= a b c/4R

Nach dieser Formel kann der benötigte Wert ermittelt werden, indem das Produkt der Seiten der Figur durch 4 Radien des umschriebenen Kreises dividiert wird.

Diese Formeln sind universell, da sie es ermöglichen, die Fläche eines beliebigen Dreiecks (ungleichseitig, gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig) zu bestimmen. Dies kann mit Hilfe komplexerer Berechnungen erfolgen, auf die wir nicht näher eingehen werden.

Flächen von Dreiecken mit bestimmten Eigenschaften


Wie findet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? Ein Merkmal dieser Figur ist, dass ihre beiden Seiten gleichzeitig ihre Höhe sind. Wenn a und b Beine sind und c zur Hypotenuse wird, dann wird die Fläche wie folgt gefunden:

Wie findet man die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks? Es hat zwei Seiten mit der Länge a und eine Seite mit der Länge b. Daher kann seine Fläche bestimmt werden, indem das Produkt des Quadrats der Seite a durch den Sinus des Winkels γ durch 2 geteilt wird.

So finden Sie das Gebiet gleichseitiges Dreieck? Darin ist die Länge aller Seiten a und der Wert aller Winkel ist α. Seine Höhe ist das halbe Produkt aus Seitenlänge a mal Quadratwurzel aus 3. Um die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks zu ermitteln, musst du das Quadrat der Seitenlänge a mit der Quadratwurzel aus 3 multiplizieren und durch 4 dividieren.

Fläche eines Dreiecks. Bei sehr vielen Geometrieproblemen im Zusammenhang mit der Berechnung von Flächen, einschließlich Aufgaben für die Prüfung, werden Dreiecksflächenformeln verwendet. Es gibt mehrere davon, hier werden wir die wichtigsten betrachten.

Es wäre zu einfach, diese Formeln aufzulisten, diese Güte gibt es bereits genug in Nachschlagewerken und auf diversen Seiten. Ich möchte die Essenz einiger von ihnen vermitteln. Nachdem Sie das Material des Artikels studiert haben, werden Sie verstehen, dass Sie nicht alle Formeln lernen müssen, sie müssen verstanden werden.

Sie können den Speicher leicht wiederherstellen, wenn sie plötzlich zur richtigen Zeit "herausfliegen". Schauen wir uns also zuerst ein Parallelogramm an. Die Definition lautet:



Warum so? Alles ist einfach! Um klar zu zeigen, was die Formel bedeutet, führen wir einige zusätzliche Konstruktionen durch:

Die Fläche des Dreiecks (2) ist gleich der Fläche des Dreiecks (1), „schneiden“ Sie das zweite mental ab und übertragen Sie es, indem Sie es auf das erste legen, wir erhalten ein Rechteck, dessen Fläche gleich ist die Fläche des ursprünglichen Parallelogramms:



Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Rechtecks ​​gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Wie aus der Skizze ersichtlich, ist eine Seite des resultierenden Rechtecks ​​gleich der Seite des Parallelogramms, und die andere ist seine Höhe, die zu dieser Seite gezogen wird. Daher erhalten wir die Formel für die Fläche eines Parallelogramms S = a∙h A

Fahren wir fort, eine andere Formel für ihren Bereich. Wir haben:

Drücken Sie die Höhe h a in aus rechtwinkliges Dreieck wobei b die Hypotenuse ist:



Setzen wir h a in die Flächenformel ein, erhalten wir:



Wir haben das Parallelogramm herausgefunden. Kommen wir zum Dreieck.

Fläche eines Dreiecks. Sechs Formeln!

Erste Formel

Die Diagonale eines Parallelogramms teilt es in zwei gleich große Dreiecke:



Daher entspricht die Fläche des Dreiecks der Hälfte der Fläche des Parallelogramms:



* Das heißt, wenn wir eine Seite des Dreiecks und die auf diese Seite abgesenkte Höhe kennen, können wir immer die Fläche dieses Dreiecks berechnen.

Formel zwei

Wie bereits erwähnt lautet die Formel für die Fläche eines Parallelogramms:

Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte seiner Fläche, also:



*Das heißt, wenn zwei beliebige Seiten in einem Dreieck und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, können wir immer die Fläche eines solchen Dreiecks berechnen.

Heron-Formel (dritte)

Diese Formel ist schwer abzuleiten und Sie brauchen sie nicht. Schau, wie schön sie ist, wir können sagen, dass sie in Erinnerung bleibt.

*Wenn drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind, dann können wir mit dieser Formel immer seine Fläche berechnen.

Formel vier

Wo Rist der Radius des Inkreises

*Wenn drei Seiten eines Dreiecks und der Radius des darin eingeschriebenen Kreises bekannt sind, können wir immer die Fläche dieses Dreiecks finden.

Formel fünf

Wo Rist der Radius des umschriebenen Kreises.

*Wenn drei Seiten eines Dreiecks und der Radius des umschriebenen Kreises bekannt sind, dann können wir immer die Fläche eines solchen Dreiecks finden.

Es stellt sich die Frage: Wenn drei Seiten eines Dreiecks bekannt sind, ist es nicht einfacher, seine Fläche mit der Heron-Formel zu finden!

Ja, es ist einfacher, aber nicht immer, manchmal wird es schwierig. Es hat mit Wurzelextraktion zu tun. Darüber hinaus sind diese Formeln sehr praktisch bei Problemen zu verwenden, bei denen die Fläche eines Dreiecks gegeben ist, seine Seiten gegeben sind und es erforderlich ist, den Radius eines eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises zu finden. Solche Aufgaben sind in der Prüfung enthalten.

 

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