Das Volumen des kleineren Kegels. Kegelvolumen

Um das Volumen des Kegels zu ermitteln, müssen zusätzliche Konstruktionen vorgenommen werden.

Wir konstruieren eine regelmäßige n-eckige Pyramide, die in einen Kegel eingeschrieben ist, und beschreiben eine regelmäßige n-eckige Pyramide um diesen Kegel herum.
In einem Kegel ist eine beschriftete Pyramide enthalten. Daraus folgt, dass sein Volumen nicht größer ist als das Volumen des Kegels.
Die beschriebene Pyramide enthält einen Kegel, was bedeutet, dass ihr Volumen nicht kleiner ist als das Volumen des Kegels.

Schreiben wir einen Kreis in die Basis der beschrifteten Pyramide.
Wenn der Radius des eingeschriebenen regelmäßigen n-Ecks gleich R ist, dann ist der Radius des darin eingeschriebenen Kreises gleich:


Das Volumen der beschrifteten Pyramide wird nach folgender Formel berechnet:

wobei S die Basis der Pyramide ist.

Die Fläche der Basis der beschrifteten Pyramide ist nicht kleiner als die Fläche des darin enthaltenen Kreises
Daher ist die Aussage, dass das in einen Kegel eingeschriebene Volumen einer Pyramide mindestens beträgt Rechts.
Daher können wir behaupten, dass das Volumen des Kegels, der diese Pyramide enthält, größer oder gleich sein wird
V≥

Jetzt beschreiben wir einen Kreis um die Basis der Pyramide, die um den Kegel herum beschrieben wird.
Der Radius dieses Kreises beträgt:

Die Fläche dieses Kreises wird nach folgender Formel berechnet:
Die Basis der beschriebenen Pyramide ist von einem sie umgebenden Kreis umgeben. Daher beträgt die Grundfläche der Pyramide nicht mehr als
Daher ist die Aussage, dass das Volumen der umschriebenen Pyramide nicht mehr wahr ist.
Daher können wir behaupten, dass das Volumen des Kegels, der diese Pyramide enthält, kleiner oder gleich sein wird

Die beiden resultierenden Ungleichungen sind für jedes n gleich. Wenn, dann
Dann folgt aus der ersten Ungleichung, dass V≥
Aus der zweiten Ungleichung

Dreht man ein rechtwinkliges Dreieck um einen seiner Schenkel, so erhält man einen geometrischen Körper, den man als Rotationskegel oder geraden Kreiskegel betrachtet. Der Kegel wird durch die Grund- und Seitenfläche begrenzt. An der Basis des Kegels befindet sich ein Kreis, dessen Radius dem Wert des zweiten Schenkels entspricht. Eine gerade Linie, die senkrecht von der Spitze des Kegels zur Basis verläuft, ist seine Höhe. Das Volumen eines Kegels wird mit mehreren Formeln berechnet. Die erste Methode besteht darin, das Volumen eines Kegels zu bestimmen, wenn die Höhe und die Fläche seiner Basis bekannt sind, gemäß der Formel:

die Fläche der Basis wird mit S bezeichnet;
die Höhe des Kegels durch H.

Das Volumen eines Kegels wird als Produkt aus der Höhe des Kegels mal der Fläche seiner Grundfläche dividiert durch 3 berechnet.

Mit Hilfe Online-Rechner Mit jeder der oben genannten Methoden können Sie das Volumen eines Kegels schnell und korrekt berechnen.

Berechnung des Volumens eines Kegels durch die Grundfläche

Die zweite Methode schlägt die Berechnung des Volumens eines Kegels anhand des Wertes seines Radius gemäß der Formel vor:


r ist der Radius des Kegels;
h ist die Höhe.

Der Wert des Volumens eines Kegels wird als ein Drittel des Produkts aus dem Quadrat des Radius der Basis und der Höhe und der Zahl Pi berechnet, gleich 3,1415...

Wir kamen zu den Kegeln und Zylindern. Zusätzlich zu den bereits veröffentlichten Artikeln wird es etwa neun Artikel geben, wir werden alle Arten von Aufgaben berücksichtigen. Wenn im Laufe des Jahres offene Bank Es werden neue Aufgaben hinzugefügt, die natürlich auch im Blog veröffentlicht werden. Dieser Artikel enthält mehrere Beispiele zur Volumenberechnung. Es reicht übrigens nicht aus, die Formel für das Volumen eines Kegels zu kennen, hier ist sie:

Wir können schreiben:

Sie müssen auch verstehen, wie die Volumina ähnlicher Körper zusammenhängen. Es geht darum, die Formel zu verstehen und nicht nur zu lernen. Hier ist sie:



Das heißt, wenn wir die linearen Abmessungen des Körpers um das k-fache vergrößern (verkleinern), dann ist das Verhältnis des Volumens des resultierenden Körpers zum Volumen des Originals gleich k 3 .

BEACHTEN SIE! Es spielt keine Rolle, wie Sie die Volumes definieren:

Tatsache ist, dass einige bei der Lösung von Problemen bei der Betrachtung solcher Körper mit dem Koeffizienten k verwechselt werden können. Es kann sich die Frage stellen: Womit ist es gleich?

(abhängig vom in der Bedingung angegebenen Wert)

Es hängt alles davon ab, welche Seite Sie betrachten. Es ist wichtig, das zu verstehen! Betrachten Sie ein Beispiel – ein Würfel ist gegeben, die Kante des zweiten Würfels ist dreimal größer:

IN dieser Fall, der Ähnlichkeitskoeffizient ist gleich drei (die Kante wird dreimal vergrößert), was bedeutet, dass das Verhältnis wie folgt aussieht:

Das heißt, das Volumen des resultierenden (größeren) Würfels wird 27-mal größer sein.

Sie können von der anderen Seite schauen.

Bei einem gegebenen Würfel ist die Kante des zweiten Würfels dreimal kleiner:

Der Ähnlichkeitskoeffizient beträgt ein Drittel (Verringerung der Kante um den Faktor drei), was bedeutet, dass das Verhältnis wie folgt aussieht:

Das heißt, das Volumen des resultierenden Würfels wird 27-mal kleiner sein.

Abschluss! Bei der Bezeichnung von Volumina sind Indizes nicht wichtig, es ist wichtig zu verstehen, wie Körper relativ zueinander betrachtet werden.

Es ist klar, dass:

- Wenn der ursprüngliche Körper zunimmt, ist der Koeffizient größer als eins.

- Wenn der ursprüngliche Körper abnimmt, ist der Koeffizient kleiner als eins.

Über das Volumenverhältnis können wir Folgendes sagen:

- Wenn wir in der Aufgabe das Volumen eines größeren Körpers durch einen kleineren dividieren, erhalten wir die Potenz des Ähnlichkeitskoeffizienten, und der Koeffizient selbst ist größer als eins.

- Wenn wir das Volumen eines kleineren Körpers durch einen größeren dividieren, erhalten wir die dritte Potenz des Ähnlichkeitskoeffizienten, und der Koeffizient selbst ist kleiner als eins.

Das Wichtigste, was Sie beachten sollten, ist, dass der Ähnlichkeitskoeffizient beim VOLUMEN ähnlicher Körper den DRITTEN Grad hat und nicht den zweiten Grad, wie im Fall von Flächen.

Noch ein Punkt bzgl.

Die Bedingung enthält so etwas wie eine Erzeugende eines Kegels. Dies ist ein Segment, das die Spitze des Kegels mit den Punkten des Umfangs der Basis verbindet (in der Abbildung durch den Buchstaben L gekennzeichnet).

An dieser Stelle ist zu beachten, dass wir Probleme nur mit einem direkten Kegel (im Folgenden einfach als Kegel bezeichnet) analysieren. Die Generatoren eines rechten Kegels sind gleich.

Betrachten Sie die Aufgaben:

72353. Das Volumen eines Kegels beträgt 10. Ein Schnitt wird durch die Mitte der Höhe parallel zur Basis des Kegels gezeichnet, die die Basis eines kleineren Kegels mit derselben Spitze ist. Finden Sie das Volumen des kleineren Kegels.

Wir stellen sofort fest, dass das Original und der Kegelstumpf ähnlich sind, und wenn wir den Kegelstumpf im Verhältnis zum Original betrachten, können wir Folgendes sagen: Der kleinere Kegel ähnelt dem größeren mit einem Koeffizienten von einer Sekunde oder 0,5. Wir können schreiben:

Es könnte geschrieben werden:

Das könnte man meinen!

Betrachten Sie den ursprünglichen Kegel im Verhältnis zum geschnittenen. Wir können sagen, dass ein größerer Kegel einem geschnittenen Kegel mit dem Faktor zwei ähnelt, wir schreiben:

Schauen Sie sich nun die Lösung an, ohne Ähnlichkeitseigenschaften zu verwenden.

Das Volumen eines Kegels entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche seiner Grundfläche und seiner Höhe:

Betrachten Sie eine Seitenprojektion (Seitenansicht) mit dem angegebenen Abschnitt:

Der Radius des größeren Kegels sei R, die Höhe sei H. Der Abschnitt (die Basis des kleineren Kegels) verläuft durch die Mitte der Höhe, sodass seine Höhe gleich H / 2 ist. Und der Radius der Basis beträgt R / 2, dies folgt aus der Ähnlichkeit von Dreiecken.

Schreiben wir das Volumen des ursprünglichen Kegels:

Das Volumen des abgeschnittenen Kegels beträgt:

So detaillierte Lösungen präsentiert, damit Sie sehen können, wie Sie Ihre Argumentation aufbauen können. Handeln Sie in irgendeiner Weise – Hauptsache, Sie verstehen den Kern der Entscheidung. Lassen Sie den von Ihnen gewählten Weg nicht rational sein, das Ergebnis ist wichtig (das richtige Ergebnis).

Antwort: 1,25

318145. In einem kegelförmigen Gefäß erreicht der Flüssigkeitsspiegel die halbe Höhe. Das Flüssigkeitsvolumen beträgt 70 ml. Wie viele Milliliter Flüssigkeit müssen hinzugefügt werden, um das Gefäß vollständig zu füllen?

Diese Aufgabe ähnelt der vorherigen. Obwohl es sich hier um eine Flüssigkeit handelt, ist das Prinzip der Lösung dasselbe.

Wir haben zwei Kegel – das ist das Gefäß selbst und der „kleine“ Kegel (gefüllt mit Flüssigkeit), sie sind ähnlich. Es ist bekannt, dass die Volumina ähnlicher Körper wie folgt zusammenhängen:

Der ursprüngliche Kegel (Gefäß) ähnelt einem mit Flüssigkeit gefüllten Kegel mit einem Koeffizienten von 2, da man sagt, dass der Flüssigkeitsspiegel die halbe Höhe erreicht. Sie können detaillierter schreiben:

Wir berechnen:

Daher müssen Sie Folgendes hinzufügen:

Antwort: 490

Andere Flüssigkeitsprobleme.

74257. Finden Sie das Volumen V eines Kegels, dessen Erzeugende 44 beträgt und in einem Winkel von 30 0 zur Ebene der Grundfläche geneigt ist. Geben Sie als Antwort V/Pi an.

Kegelvolumen:

Die Höhe des Kegels ermitteln wir anhand der Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der Schenkel gegenüber dem Winkel von 30° entspricht der Hälfte der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist in diesem Fall die Erzeugende des Kegels. Daher beträgt die Höhe des Kegels 22.

Wir ermitteln das Quadrat des Radius der Basis mithilfe des Satzes des Pythagoras:

*Wir benötigen das Quadrat des Radius, nicht den Radius selbst.

Dann beträgt die Lautstärke:

Eine Kugel mit einem Volumen von 8π ist in einen Würfel eingeschrieben. Finden Sie das Volumen des Würfels.

Lösung

Sei a die Seite des Würfels. Dann ist das Volumen des Würfels V = a 3 .

Da die Kugel in einen Würfel eingeschrieben ist, ist der Radius der Kugel gleich der halben Würfelkante, also R = a/2 (siehe Abb.).

Das Volumen der Kugel beträgt V w \u003d (4/3)πR 3 und ist daher gleich 8π

(4/3)πR 3 = 8π,

Und das Volumen des Würfels ist V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Aufgabe B9 (Fallstudie 2015)

Das Volumen des Kegels beträgt 32. Durch die Mitte der Höhe wird ein Abschnitt parallel zur Basis des Kegels gezeichnet, der die Basis eines kleineren Kegels mit derselben Spitze ist. Finden Sie das Volumen des kleineren Kegels.

Lösung

Das Volumen des größeren Kegels beträgt V k1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.

Das Volumen des kleineren Kegels beträgt V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

Das bedeutet, dass das Volumen des kleineren Kegels achtmal kleiner ist und 4 beträgt.

Aufgabe B9 (Fallstudie 2015)

Das Volumen des Kegels beträgt 40. Durch die Mitte der Höhe wird ein Abschnitt parallel zur Basis des Kegels gezeichnet, der die Basis eines kleineren Kegels mit derselben Spitze ist. Finden Sie das Volumen des kleineren Kegels.

Lösung

Da der Schnitt durch die Mitte der Kegelhöhe gezeichnet wird, gilt AP = 1/2 AO und PK = 1/2 OB. Das heißt, die Höhe und der Radius des kleineren Kegels sind jeweils zweimal kleiner als die Höhe und der Radius des größeren Kegels.

Das Volumen des größeren Kegels ist gleich V k1 = (1/3) π (OB) 2 * AO = 40.

Das Volumen des kleineren Kegels beträgt V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

Unter den verschiedenen geometrischen Körpern ist der Kegel einer der interessantesten. Es entsteht durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um eines seiner Beine.

So ermitteln Sie das Volumen eines Kegels – Grundkonzepte

Bevor Sie mit der Berechnung des Volumens eines Kegels beginnen, sollten Sie sich mit den Grundkonzepten vertraut machen.

  • Kreiskegel – die Basis eines solchen Kegels ist ein Kreis. Ist die Grundfläche eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, so nennt man die Figuren elliptische, parabolische oder hyperbolische Kegel. Es sei daran erinnert, dass die letzten beiden Kegeltypen ein unendliches Volumen haben.
  • Ein Kegelstumpf ist ein Teil eines Kegels, der sich zwischen der Basis und einer zu dieser Basis parallelen Ebene zwischen der Oberseite und der Basis befindet.
  • Die Höhe ist ein Segment senkrecht zur Basis, losgelöst von der Oberseite.
  • Die Erzeugende eines Kegels ist ein Segment, das den Rand der Basis und der Spitze verbindet.

Kegelvolumen

Um das Volumen eines Kegels zu berechnen, wird die Formel V=1/3*S*H verwendet, wobei S die Grundfläche und H die Höhe ist. Da die Basis des Kegels ein Kreis ist, wird seine Fläche durch die Formel S= nR^2 ermittelt, wobei n = 3,14 und R der Radius des Kreises ist.

Es kann vorkommen, dass einige Parameter unbekannt sind: Höhe, Radius oder Erzeugende. In diesem Fall lohnt es sich, auf den Satz des Pythagoras zurückzugreifen. Der axiale Abschnitt des Kegels ist ein gleichschenkliges Dreieck, bestehend aus zwei rechtwinkliges Dreieck, wobei l die Hypotenuse und H und R die Beine sind. Dann ist l=(H^2+R^2)^1/2.


Kegelstumpfvolumen

Ein Kegelstumpf ist ein Kegel mit abgeschnittener Spitze.


Um das Volumen eines solchen Kegels zu ermitteln, benötigen Sie die Formel:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),


wobei n=3,14, r der Radius des Schnittkreises, R der Radius der großen Basis und H die Höhe ist.

Der axiale Abschnitt des Kegelstumpfes wird sein gleichschenkliges Trapez. Wenn es daher notwendig ist, die Länge der Erzeugenden eines Kegels oder den Radius eines der Kreise zu ermitteln, lohnt es sich, Formeln zum Ermitteln der Seiten und Basen eines Trapezes zu verwenden.

Ermitteln Sie das Volumen eines Kegels, wenn seine Höhe 8 cm und der Basisradius 3 cm beträgt.

Gegeben: H=8 cm, R=3 cm.

Ermitteln Sie zunächst die Fläche der Basis, indem Sie die Formel S=nR^2 anwenden.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Mit der Formel V=1/3*S*H ermitteln wir nun das Volumen des Kegels.

V=1/3*28,26*8=75,36cm^3


Überall findet man kegelförmige Figuren: Parkkegel, Bautürme, Lampenschirme. Daher kann es sowohl im Berufsleben als auch im Alltag von Nutzen sein, zu wissen, wie man das Volumen eines Kegels ermittelt.



 

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