Wie hoch ist ein gleichschenkliges Trapez? Die Diagonalen der Figur und die Winkel, die sie schneiden. Finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes

Ein vielseitiges Trapez... Es kann beliebig, gleichschenklig oder rechteckig sein. Und in jedem Fall müssen Sie wissen, wie Sie die Fläche eines Trapezes finden. Natürlich ist es am einfachsten, sich die Grundformeln zu merken. Aber manchmal ist es einfacher, diejenige zu verwenden, die unter Berücksichtigung aller Merkmale einer bestimmten geometrischen Figur abgeleitet wurde.

Ein paar Worte zum Trapez und seinen Elementen

Jedes Viereck mit zwei parallelen Seiten kann als Trapez bezeichnet werden. Im Allgemeinen sind sie nicht gleich und werden Basen genannt. Der größere von ihnen ist niedriger und der andere ist höher.

Die anderen beiden Seiten sind seitlich. In einem beliebigen Trapez haben sie unterschiedliche Längen. Wenn sie gleich sind, wird die Figur gleichschenklig.

Wenn plötzlich der Winkel zwischen einer Seite und der Basis gleich 90 Grad ist, dann ist das Trapez rechteckig.

All diese Funktionen können bei der Lösung des Problems helfen, wie man die Fläche eines Trapezes findet.

Unter den Elementen der Figur, die für die Lösung von Problemen unverzichtbar sein können, können wir Folgendes unterscheiden:

  • Höhe, dh ein Segment senkrecht zu beiden Basen;
  • die mittlere Linie, die an ihren Enden die Mitte der Seiten hat.

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Fläche, wenn Grundflächen und Höhe bekannt sind?

Dieser Ausdruck wird als Hauptausdruck angegeben, weil es meistens möglich ist, diese Größen zu kennen, auch wenn sie nicht explizit angegeben sind. Um also zu verstehen, wie man die Fläche eines Trapezes findet, müssen Sie beide Basen addieren und durch zwei teilen. Der resultierende Wert wird dann weiter mit dem Höhenwert multipliziert.

Wenn wir die Basen mit den Buchstaben a 1 und a 2 bezeichnen, die Höhe n ist, dann sieht die Formel für die Fläche so aus:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Die Formel zur Berechnung der Fläche aufgrund ihrer Höhe und Mittellinie

Wenn Sie sich die vorherige Formel genau ansehen, können Sie leicht erkennen, dass sie den Wert eindeutig enthält Mittellinie. Nämlich die Summe der Basen dividiert durch zwei. Lassen Sie die mittlere Linie mit dem Buchstaben l bezeichnen, dann lautet die Formel für die Fläche:

S \u003d l * n.

Fähigkeit, Flächen durch Diagonalen zu finden

Diese Methode hilft, wenn der von ihnen gebildete Winkel bekannt ist. Nehmen wir an, dass die Diagonalen mit den Buchstaben d 1 und d 2 bezeichnet werden, und die Winkel zwischen ihnen - &alpha- und &beta-. Dann wird die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes wie folgt geschrieben:

S = ((d 1 * d 2) / 2) * sin &alpha-.

In diesem Ausdruck können Sie einfach &alpha- durch &beta- ersetzen. Das Ergebnis ändert sich nicht.

Wie finde ich die Fläche heraus, wenn alle Seiten der Figur bekannt sind?

Es gibt auch Situationen, in denen genau die Seiten in dieser Figur bekannt sind. Diese Formel ist umständlich und schwer zu merken. Aber wahrscheinlich. Lassen Seiten haben die Bezeichnung: in 1 und in 2 ist die Basis a 1 größer als a 2. Dann nimmt die Flächenformel folgende Form an:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * &radik- (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) )] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Der erste hängt damit zusammen, dass ein Kreis darin eingeschrieben werden kann. Und wenn Sie seinen Radius (er wird mit dem Buchstaben r bezeichnet) sowie den Winkel an der Basis - &gamma- kennen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S \u003d (4 * r 2) / sin &gamma-.

Die letzte allgemeine Formel, die auf der Kenntnis aller Seiten der Figur basiert, wird stark vereinfacht, da die Seiten den gleichen Wert haben:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * &radik- (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines rechteckigen Trapezes

Es ist klar, dass jeder wird tun von denen, die für eine willkürliche Zahl aufgeführt sind. Aber manchmal ist es nützlich, etwas über ein Merkmal eines solchen Trapezes zu wissen. Es liegt darin, dass die Differenz der Quadrate der Diagonalenlängen gleich der Differenz ist, die sich aus den Quadraten der Grundseiten zusammensetzt.

Oft werden die Formeln für ein Trapez vergessen, während man sich an die Ausdrücke für die Flächen eines Rechtecks ​​und eines Dreiecks erinnert. Dann können Sie eine einfache Methode anwenden. Teilen Sie das Trapez in zwei Figuren, wenn es rechteckig ist, oder in drei. Eines wird definitiv ein Rechteck sein, und das zweite oder die verbleibenden zwei werden Dreiecke sein. Nach der Berechnung der Flächen dieser Figuren müssen sie nur noch hinzugefügt werden.

Dies ist eine ziemlich einfache Methode, um die Fläche eines rechteckigen Trapezes zu ermitteln.

Was ist, wenn die Koordinaten der Ecken des Trapezes bekannt sind?

In diesem Fall müssen Sie einen Ausdruck verwenden, mit dem Sie den Abstand zwischen Punkten bestimmen können. Es kann dreimal angewendet werden: um beide Basen und eine Höhe zu kennen. Und dann wende einfach die erste Formel an, die etwas weiter oben beschrieben ist.

Ein Beispiel kann gegeben werden, um diese Methode zu veranschaulichen. Vertices mit den Koordinaten A(5-7), B(8-7), C(10-1), D(1-1) sind gegeben. Wir müssen die Fläche der Figur kennen.

Bevor Sie die Fläche eines Trapezes finden, müssen Sie die Längen der Basen aus den Koordinaten berechnen. Sie benötigen diese Formel:

Segmentlänge = &radic-((Differenz der ersten Koordinaten der Punkte) 2 + (Differenz der zweiten Koordinaten der Punkte) 2 ).

Die obere Basis wird mit AB bezeichnet, was bedeutet, dass ihre Länge gleich &radic-((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = &radic-9 = 3 ist. Die untere ist SD = &radic- (( 10-1) 2 + ( 1-1) 2 ) = &radikal-81 = 9.

Jetzt müssen Sie eine Höhe von oben nach unten zeichnen. Sein Anfang sei bei Punkt A. Das Ende des Segments befindet sich auf der unteren Basis am Punkt mit den Koordinaten (5-1), sei Punkt H. Die Länge des Segments AH ist gleich &radic-(( 5-5) 2 + (7-1) 2 ) = &radik-36 = 6.

Es bleibt nur, die resultierenden Werte in der Formel für die Fläche eines Trapezes zu ersetzen:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Das Problem wird ohne Maßeinheiten gelöst, da der Maßstab des Koordinatengitters nicht angegeben ist. Es kann entweder Millimeter oder Meter sein.

Aufgabenbeispiele

Nr. 1. Zustand. Der Winkel zwischen den Diagonalen eines beliebigen Trapezes ist bekannt, er beträgt 30 Grad. Die kleinere Diagonale hat einen Wert von 3 dm und die zweite ist doppelt so groß. Sie müssen die Fläche des Trapezes berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie die Länge der zweiten Diagonale herausfinden, denn ohne diese ist es nicht möglich, die Antwort zu berechnen. Die Berechnung ist einfach, 3 * 2 = 6 (dm).

Jetzt müssen Sie die entsprechende Formel für die Fläche verwenden:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30 º- \u003d 18/2 * & frac12- \u003d 4,5 (dm 2). Problem gelöst.

Antworten: die Fläche des Trapezes beträgt 4,5 dm 2 .

Nr. 2. Zustand. Im Trapez ABCD sind die Basen die Segmente AD und BC. Punkt E ist der Mittelpunkt der Seite SD. Daraus wird eine Senkrechte zur Geraden AB gezogen, das Ende dieses Segments ist mit dem Buchstaben H gekennzeichnet.Es ist bekannt, dass die Längen von AB und EH 5 bzw. 4 cm betragen.Es ist notwendig, die Fläche von zu berechnen das Trapez.

Lösung. Zuerst müssen Sie eine Zeichnung machen. Da der Wert der Senkrechten kleiner ist als die Seite, zu der sie gezeichnet wird, wird das Trapez leicht nach oben verlängert. Also wird EH innerhalb der Figur sein.

Um den Fortschritt bei der Lösung des Problems deutlich zu sehen, müssen Sie eine zusätzliche Konstruktion durchführen. Zeichnen Sie nämlich eine Linie, die parallel zur Seite AB ist. Die Schnittpunkte dieser Linie mit AD - P und mit der Fortsetzung des BC - X. Die resultierende Figur VKhRA ist ein Parallelogramm. Darüber hinaus ist seine Fläche gleich der erforderlichen. Dies liegt daran, dass die Dreiecke, die während der zusätzlichen Konstruktion erhalten wurden, gleich sind. Dies folgt aus der Gleichheit der Seite und der beiden daran angrenzenden Winkel, einer senkrecht, der andere querliegend.

Sie können die Fläche eines Parallelogramms mithilfe einer Formel ermitteln, die das Produkt aus der Seite und der darauf abgesenkten Höhe enthält.

Somit beträgt die Fläche eines Trapezes 5 * 4 = 20 cm 2.

Antworten: S \u003d 20 cm 2.

Nr. 3. Zustand. Elemente gleichschenkliges Trapez haben die folgenden Bedeutungen: untere Basis - 14 cm, obere - 4 cm, spitzer Winkel - 45 º-. Wir müssen seine Fläche berechnen.

Lösung. Die kleinere Basis sei mit BC bezeichnet. Die vom Punkt B gezogene Höhe wird BH genannt. Da der Winkel 45 º- beträgt, wird das Dreieck ABH rechteckig und gleichschenklig. Also AH=BH. Und AN ist sehr leicht zu finden. Es ist gleich der Hälfte der Differenz der Basen. Das heißt, (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Die Basen sind bekannt, die Höhen sind gezählt. Sie können die erste Formel verwenden, die hier für ein beliebiges Trapez betrachtet wurde.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Antworten: Die gewünschte Fläche beträgt 45 cm 2.

Nr. 4. Zustand. Es gibt ein beliebiges Trapez ABCD. Die Punkte O und E werden an seinen Seiten genommen, so dass OE parallel zur Basis von AD ist. Die Trapezfläche des AOED ist fünfmal größer als die des CFE. Berechnen Sie den Wert von OE, wenn die Basislängen bekannt sind.

Lösung. Es müssen zwei gerade Linien parallel zu AB gezogen werden: die erste durch den Punkt C, seinen Schnittpunkt mit OE - Punkt T; die zweite durch E und den Schnittpunkt mit AD wird M sein.

Sei das unbekannte OE=x. Höhe des kleineren Trapezes OVSE-n 1, des größeren AOED-n 2.

Da die Flächen dieser beiden Trapeze wie 1 bis 5 zusammenhängen, können wir die folgende Gleichheit schreiben:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Die Höhen und Seiten der Dreiecke sind proportional im Aufbau. Daher können wir eine andere Gleichheit schreiben:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

In zwei neueste Einträge Gleiche Werte stehen auf der linken Seite, was bedeutet, dass wir schreiben können, dass (x + a 1) / (5 (x + a 2)) gleich (x - a 2) / (a ​​1) ist - X).

Hier sind eine Reihe von Transformationen erforderlich. Zuerst Kreuz multiplizieren. Es erscheinen Klammern, die die Differenz der Quadrate angeben. Nach Anwendung dieser Formel erhalten Sie eine kurze Gleichung.

Sie müssen die Klammern darin öffnen und alle Begriffe mit dem unbekannten "x" auf die linke Seite verschieben und dann extrahieren

Antworten: x \u003d &radik- ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

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Geometrie ist eine der Wissenschaften, mit deren Anwendung eine Person in der Praxis fast täglich konfrontiert wird. Inmitten der Vielfalt geometrische Formen Auch das Trapez verdient besondere Aufmerksamkeit. Es ist eine konvexe Figur mit vier Seiten, von denen zwei parallel zueinander sind. Letztere werden als Basen bezeichnet, und die verbleibenden zwei werden als Seiten bezeichnet. Das Segment, das senkrecht zu den Basen steht und die Größe der Lücke zwischen ihnen bestimmt, ist die Höhe des Trapezes. Wie kann man seine Länge berechnen?

Finden Sie die Höhe eines beliebigen Trapezes

Basierend auf den Ausgangsdaten ist die Bestimmung der Höhe einer Figur auf verschiedene Arten möglich.

Bekanntes Gebiet

Wenn die Länge der parallelen Seiten bekannt ist und auch die Fläche der Figur angegeben ist, kann die folgende Beziehung verwendet werden, um die erforderliche Senkrechte zu bestimmen:

S=h*(a+b)/2,
h ist der gewünschte Wert (Höhe),
S ist die Fläche der Figur,
a und b sind zueinander parallele Seiten.
Aus obiger Formel folgt h = 2S/(a+b).

Der Wert der Mittellinie ist bekannt

Wenn unter den Anfangsdaten neben der Fläche des Trapezes (S) auch die Länge seiner Mittellinie (l) bekannt ist, ist eine andere Formel für Berechnungen nützlich. Zunächst lohnt es sich zu klären, was die Mittellinie für diese Art von Viereck ist. Der Begriff definiert den Teil der geraden Linie, die die Mittelpunkte der Seiten der Figur verbindet.

Basierend auf den Eigenschaften des Trapezes l=(a+b)/2,
l - Mittellinie,
a, b sind Seiten-Basen des Vierecks.
Also h=2S/(a+b)=S/l.


4 Seiten der Figur sind bekannt

IN dieser Fall der Satz des Pythagoras hilft. Nachdem Sie die Senkrechten auf die große Seitenbasis abgesenkt haben, verwenden Sie sie für die beiden resultierenden rechtwinkligen Dreiecke. Der endgültige Ausdruck sieht folgendermaßen aus:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,


c und d sind 2 andere Seiten.


Ecken an der Basis

Wenn Sie Basiswinkeldaten haben, verwenden Sie trigonometrische Funktionen.

h = c*sinα = d*sinβ,

α und β sind die Ecken an der Basis des Vierecks,
c und d sind seine Seiten.


Die Diagonalen einer Figur und die Winkel, die sie schneiden

Die Länge der Diagonalen ist die Länge des Segments, das die gegenüberliegenden Eckpunkte der Figur verbindet. Lassen Sie uns diese Größen mit den Symbolen d1 und d2 und den Winkeln zwischen ihnen γ und φ bezeichnen. Dann:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a und b sind die Basisseiten der Figur,
d1 und d2 sind die Diagonalen des Trapezes,
γ und φ sind die Winkel zwischen den Diagonalen.


Die Höhe der Figur und der Radius des Kreises, der ihr eingeschrieben ist

Wie aus der Definition eines solchen Kreises hervorgeht, berührt er jede Basis an 1 Punkt, die Teil einer geraden Linie sind. Daher ist der Abstand zwischen ihnen - der Durchmesser - die gewünschte Höhe der Figur. Und da der Durchmesser doppelt so groß ist wie der Radius, gilt:

h = 2 * r,
r ist der Radius des Kreises, der in das gegebene Trapez eingeschrieben ist.


Finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes

  • Wie aus dem Wortlaut hervorgeht, ist ein Unterscheidungsmerkmal eines gleichschenkligen Trapezes die Gleichheit seiner Seiten. Um die Höhe der Figur zu ermitteln, verwenden Sie daher die Formel, um diesen Wert zu bestimmen, wenn die Seiten des Trapezes bekannt sind.

Also, wenn c \u003d d, dann h \u003d √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 \u003d √c 2 - (a-b) 2 / 4,
a, b - Seitenbasen des Vierecks,
c = d sind seine Seiten.

  • Bei Vorhandensein der Größe der Winkel, die von den beiden Seiten (Basis und Seite) gebildet werden, wird die Höhe des Trapezes durch das folgende Verhältnis bestimmt:

h = c*sinα,
h = c * tgα * cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b - a) / 2,

α ist der Winkel an der Basis der Figur,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d sind seine Seiten.

  • Wenn die Werte der Diagonalen der Figur angegeben sind, ändert sich der Ausdruck zum Ermitteln der Höhe der Figur, weil d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.


In unserem Leben haben wir sehr oft mit der Anwendung von Geometrie in der Praxis zu tun, zum Beispiel im Bauwesen. Zu den häufigsten geometrischen Formen gehört ein Trapez. Und damit das Projekt erfolgreich und schön wird, ist eine korrekte und genaue Berechnung der Elemente für eine solche Figur erforderlich.

Was ist ein konvexes Viereck, das zwei parallele Seiten hat, die als Grundseiten eines Trapezes bezeichnet werden? Aber es gibt zwei andere Seiten, die diese Basen verbinden. Sie werden lateral genannt. Eine der Fragen zu dieser Figur lautet: "Wie findet man die Höhe des Trapezes?" Es ist sofort darauf zu achten, dass die Höhe ein Segment ist, das den Abstand von einer Basis zur anderen bestimmt. Abhängig von den bekannten Werten gibt es mehrere Möglichkeiten, diesen Abstand zu bestimmen.

1. Die Werte beider Basen sind bekannt, wir bezeichnen sie mit b und k sowie die Fläche dieses Trapezes. Unter Verwendung bekannter Werte ist es in diesem Fall sehr einfach, die Höhe des Trapezes zu finden. Sie errechnet sich, wie aus der Geometrie bekannt, als Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe. Aus dieser Formel lässt sich leicht der gewünschte Wert ableiten. Dazu müssen Sie die Fläche durch die Hälfte der Summe der Basen teilen. In Formelform sähe das so aus:

S=((b+k)/2)*h, also h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Die Länge der Mittellinie ist bekannt, nennen wir sie d, und die Fläche. Für diejenigen, die es nicht wissen, ich nenne die Mittellinie den Abstand zwischen den Mittelpunkten der Seiten. Wie findet man in diesem Fall die Höhe des Trapezes? Gemäß der Eigenschaft des Trapezes entspricht die Mittellinie der halben Summe der Basen, also d=(b+k)/2. Auch hier verwenden wir die Flächenformel. Wenn wir die halbe Summe der Basen durch den Wert der Mittellinie ersetzen, erhalten wir Folgendes:

Wie Sie sehen können, ist es sehr einfach, die Höhe aus der resultierenden Formel abzuleiten. Indem wir die Fläche durch den Wert der Mittellinie dividieren, finden wir den gewünschten Wert. Schreiben wir diese Formel:

3. Die Länge einer Seite (b) und der zwischen dieser Seite und der größten Basis gebildete Winkel sind bekannt. Die Antwort auf die Frage, wie man die Höhe eines Trapezes findet, ist auch in diesem Fall. Stellen Sie sich ein Trapez ABCD vor, bei dem AB und CD Seiten sind und AB=b. Die größte Basis ist AD. Der durch AB und AD gebildete Winkel wird mit α bezeichnet. Von Punkt B senken wir die Höhe h auf die Basis AD. Betrachten Sie nun das resultierende Dreieck ABF, das ein rechtwinkliges Dreieck ist. Seite AB ist die Hypotenuse und BF ist das Bein. Von Eigentum rechtwinkliges Dreieck das Verhältnis des Werts des Beins und des Werts der Hypotenuse entspricht dem Sinus des Winkels gegenüber dem Bein (BF). Um die Höhe des Trapezes zu berechnen, multiplizieren wir daher auf der Grundlage des Vorstehenden den Wert der bekannten Seite und den Sinus des Winkels α. In Formelform sieht das so aus:

4. Ähnlich wird der Fall betrachtet, wenn die Größe der Seite und der Winkel bekannt sind, nennen wir ihn mit β, der zwischen dieser Seite und der kleineren Basis gebildet wird. Bei der Lösung eines solchen Problems beträgt der Winkel zwischen der bekannten lateralen Seite und der gezeichneten Höhe 90 ° - β. Aus den Eigenschaften von Dreiecken - das Verhältnis der Beinlänge und der Hypotenuse entspricht dem Kosinus des dazwischen liegenden Winkels. Aus dieser Formel lässt sich der Höhenwert leicht ableiten:

h = b *cos(β-90°)

5. Wie findet man die Höhe eines Trapezes, wenn man nur den Radius des einbeschriebenen Kreises kennt? Von der Definition eines Kreises berührt er einen Punkt auf jeder Basis. Außerdem liegen diese Punkte auf derselben Linie wie der Mittelpunkt des Kreises. Daraus folgt, dass der Abstand zwischen ihnen der Durchmesser und gleichzeitig die Höhe des Trapezes ist. Sieht so aus:

6. Oft gibt es Probleme, bei denen es notwendig ist, die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes zu finden. Denken Sie daran, dass ein Trapez mit gleichen Seiten gleichschenklig genannt wird. Wie findet man die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes? Bei rechtwinkligen Diagonalen ist die Höhe die Hälfte der Summe der Basen.

Was aber, wenn die Diagonalen nicht senkrecht sind? Betrachten Sie ein gleichschenkliges Trapez ABCD. Gemäß seinen Eigenschaften sind die Basen parallel. Daraus folgt, dass auch die Winkel an den Basen gleich sind. Lassen Sie uns zwei Höhen BF und CM zeichnen. Auf der Grundlage des Vorstehenden kann argumentiert werden, dass die Dreiecke ABF und DCM gleich sind, dh AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Nun, basierend auf der Bedingung des Problems, wir Bestimmen Sie die bekannten Werte, und nur dann finden wir die Höhe unter Berücksichtigung aller Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes.

 

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