چه نیروهایی روی آونگ وارد می شوند؟یک نقاشی بکشید. اسرار آونگ

آونگ ریاضییک نقطه مادی معلق روی یک نخ بی وزن و غیر قابل امتداد متصل به سیستم تعلیق و در میدان گرانش (یا نیروی دیگر) نامیده می شود.

اجازه دهید نوسانات یک آونگ ریاضی را در یک چارچوب مرجع اینرسی مطالعه کنیم، که نسبت به آن نقطه تعلیق آن در حالت سکون است یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم حرکت می کند. از نیروی مقاومت هوا (آونگ ریاضی ایده آل) غفلت خواهیم کرد. در ابتدا، آونگ در وضعیت تعادل C قرار دارد. در این حالت، نیروی گرانش \(\vec F\) وارد بر آن و نیروی کشسان \(\vec F_(ynp)\) رزوه متقابل هستند. جبران کرد.

بیایید آونگ را از حالت تعادل خارج کنیم (مثلاً با انحراف آن به موقعیت A) و بدون سرعت اولیه آن را رها کنیم (شکل 13.11). در این حالت، نیروهای \(\vec F\) و \(\vec F_(ynp)\) یکدیگر را متعادل نمی کنند. مولفه مماسی گرانش \(\vec F_\tau\) که بر روی آونگ اثر می گذارد، به آن شتاب مماسی می دهد \(\vec a_\tau\) (جزئی از کل شتاب هدایت شده در امتداد مماس به مسیر آونگ ریاضی). ) و آونگ با افزایش سرعت در مقدار مطلق شروع به حرکت به سمت وضعیت تعادل می کند. مولفه مماسی گرانش \(\vec F_\tau\) بنابراین یک نیروی بازگرداننده است. مولفه نرمال \(\vec F_n\) نیروی گرانش در امتداد نخ در برابر نیروی کشسان \(\vec F_(ynp)\) هدایت می شود. حاصل نیروهای \(\vec F_n\) و \(\vec F_(ynp)\) شتاب نرمال \(~a_n\) را به آونگ می دهد که جهت بردار سرعت را تغییر می دهد و آونگ حرکت می کند. در امتداد یک قوس آ ب پ ت.

هرچه آونگ به موقعیت تعادل C نزدیکتر شود، مقدار مولفه مماسی \(~F_\tau = F \sin \alpha\) کوچکتر می شود. در حالت تعادل برابر با صفر است و سرعت به حداکثر مقدار خود می رسد و آونگ با اینرسی بیشتر حرکت می کند و در یک قوس رو به بالا بالا می رود. در این حالت، کامپوننت \(\vec F_\tau\) بر خلاف سرعت هدایت می شود. با افزایش زاویه انحراف a، مدول نیرو \(\vec F_\tau\) افزایش می یابد و مدول سرعت کاهش می یابد و در نقطه D سرعت آونگ برابر با صفر می شود. آونگ برای لحظه ای می ایستد و سپس شروع به حرکت در جهت مخالف وضعیت تعادل می کند. آونگ با اینرسی دوباره از آن عبور کرده و حرکت خود را کند می کند و به نقطه A می رسد (اصطکاک وجود ندارد) یعنی. یک نوسان کامل را تکمیل خواهد کرد. پس از این، حرکت آونگ به ترتیبی که قبلاً توضیح داده شد تکرار می شود.

اجازه دهید معادله ای به دست آوریم که نوسانات آزاد یک آونگ ریاضی را توصیف می کند.

بگذارید آونگ در یک لحظه معین از زمان در نقطه B باشد. جابجایی S آن از موقعیت تعادل در این لحظه برابر با طول قوس SV است (یعنی S = |SV|). اجازه دهید طول نخ تعلیق را مشخص کنیم ل، و جرم آونگ است متر.

از شکل 13.11 واضح است که \(~F_\tau = F \sin \alpha\)، جایی که \(\alpha =\frac(S)(l).\) در زوایای کوچک \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

علامت منفی در این فرمول قرار می گیرد زیرا جزء مماسی گرانش به سمت وضعیت تعادل هدایت می شود و جابجایی از وضعیت تعادل محاسبه می شود.

با توجه به قانون دوم نیوتن \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) بیایید کمیت های برداری این معادله را بر روی جهت مماس بر مسیر آونگ ریاضی طرح کنیم.

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

از این معادلات به دست می آوریم

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - معادله دینامیکی حرکت یک آونگ ریاضی. شتاب مماسی یک آونگ ریاضی متناسب با جابجایی آن است و به سمت موقعیت تعادل هدایت می شود. این معادله را می توان به صورت \ نوشت. با مقایسه آن با معادله نوسانات هارمونیک \(~a_x + \omega^2x = 0\) (به § 13.3 مراجعه کنید)، می‌توان نتیجه گرفت که آونگ ریاضی نوسانات هارمونیک را انجام می‌دهد. و از آنجایی که نوسانات در نظر گرفته شده آونگ تنها تحت تأثیر نیروهای داخلی رخ داده است، اینها نوسانات آزاد آونگ بودند. از این رو، نوسانات آزاد یک آونگ ریاضی با انحرافات کوچک هارمونیک هستند.

اجازه دهید \(\frac(g)(l) = \omega^2 را نشان دهیم. از آنجا \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) فرکانس چرخه‌ای آونگ است.

دوره نوسان آونگ \(T = \frac(2 \pi)(\omega) است.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g))\)

این عبارت نامیده می شود فرمول هویگنسدوره نوسانات آزاد یک آونگ ریاضی را تعیین می کند. از این فرمول برمی آید که در زوایای کوچک انحراف از موقعیت تعادل، دوره نوسان یک آونگ ریاضی: 1) به جرم و دامنه نوسانات آن بستگی ندارد. 2) متناسب با جذر طول آونگ و نسبت معکوس با جذر شتاب گرانش. این با قوانین تجربی نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی که توسط جی. گالیله کشف شد مطابقت دارد.

ما تأکید می کنیم که اگر دو شرط به طور همزمان برآورده شوند، می توان از این فرمول برای محاسبه دوره استفاده کرد: 1) نوسانات آونگ باید کوچک باشد. 2) نقطه تعلیق آونگ باید در حالت استراحت باشد یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم نسبت به چارچوب مرجع اینرسی که در آن قرار دارد حرکت کند.

اگر نقطه تعلیق یک آونگ ریاضی با شتاب \(\vec a\) حرکت کند، نیروی کشش نخ تغییر می کند که منجر به تغییر در نیروی بازگرداننده و در نتیجه فرکانس و دوره نوسانات می شود. همانطور که محاسبات نشان می دهد، دوره نوسان آونگ در این حالت را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

که در آن \(~g"\) شتاب "موثر" آونگ در یک چارچوب مرجع غیر اینرسی است. برابر است با مجموع هندسی شتاب گرانش \(\vec g\) و بردار مقابل بردار \(\vec a\)، یعنی با استفاده از فرمول قابل محاسبه است

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

ادبیات

Aksenovich L. A. فیزیک در دبیرستان: نظریه. وظایف. تست ها: کتاب درسی. کمک هزینه برای مؤسسات ارائه دهنده آموزش عمومی. محیط زیست، آموزش / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; اد. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.

هرچند باور نکن مورد.همه این مقالات را با دقت بخوانید. سپس مانند خورشید درخشان روشن می شود.

همانطور که دست و مغز همه افراد دارای قدرت اسرارآمیز نیست، آونگ نیز در دست همه افراد نمی تواند مرموز شود. این قدرت اکتسابی نیست، بلکه با یک فرد متولد می شود. در یک خانواده یکی ثروتمند به دنیا می آید و دیگری فقیر. هیچ کس این قدرت را ندارد که ثروتمندان طبیعی را فقیر کند یا برعکس. حالا با این حرف می فهمی که می خواستم بهت بگم. اگر نمی‌فهمی، خودت را سرزنش کن، این‌گونه به دنیا آمده‌ای.

آونگ چیست؟ این از چه چیزی ساخته شده است؟ آونگ هر جسمی است که آزادانه به یک رشته متصل است. در دستان استاد، حتی یک نی ساده مانند بلبل می خواند. همچنین در دستان یک بیومستر با استعداد، یک آونگ تاثیرات باورنکردنی در سپهر وجود و هستی انسان ایجاد می کند.

همیشه این اتفاق نمی افتد که یک آونگ با خود حمل کنید. بنابراین من مجبور شدم یک حلقه گمشده از یک خانواده پیدا کنم، اما آونگ را با خودم نداشتم. به اطراف نگاه کردم و چوب پنبه ای چشمم را جلب کرد. تقریبا از وسط چوب پنبه با چاقو یک برش کوچک زدم و نخ را وصل کردم. آونگ آماده است.
از او پرسیدم: آیا صادقانه با من کار می کنی؟ او به شدت در جهت عقربه های ساعت می چرخید، گویی با خوشحالی پاسخ می دهد. به طور ذهنی به او بگویید: "پس بیایید حلقه گم شده را پیدا کنیم." آونگ دوباره به نشانه توافق حرکت کرد. شروع کردم به قدم زدن تو حیاط.

چون عروس می گفت هنوز وارد خانه نشده بود که متوجه شد انگشتری در انگشتش نیست. او همچنین گفت که مدتها بود که می خواست به جواهرفروشی برود، زیرا انگشتانش نازک شده بود و انگشتر شروع به افتادن کرده بود. ناگهان در دستانم آونگ کمی حرکت کرد، کمی به عقب برگشت، آونگ ساکت شد. جلو رفتم اما آونگ دوباره حرکت کرد. راه رفت، دوباره ساکت شد، من متحیر شدم. در سمت چپ آونگ ساکت است، به سمت جلو ساکت است. سمت راست به جایی نرو یک خندق کوچک در آنجا جاری است. ناگهان متوجه شدم و آونگ را درست بالای آب نگه داشتم. آونگ شروع به چرخش شدید در جهت عقربه های ساعت کرد. به عروسم زنگ زدم و محل حلقه را به من نشان دادم.
با شادی در چشمانش، شروع به زیر و رو کردن در خندق کرد و به سرعت حلقه را پیدا کرد. معلوم شد که او دست های خود را در یک گودال می شست و در آن زمان حلقه افتاد، اما او متوجه نشد. همه حاضران کار چوب پنبه شراب را تحسین کردند.

همه مردم فالگیر یا فالگیر به دنیا نمی آیند. همه فالگیرها یا فالگیرها موفق نیستند. چند پیش بینی کننده با خطاهای کوچکتر کار می کنند، اما بسیاری مانند کولی ها تقلب می کنند. آونگ هم همینطور. شخص نااهل آن را به عنوان چیز بیهوده ای دارد، هر چند از طلا باشد، معنایی ندارد. در دستان یک استاد واقعی، یک تکه سنگ یا مهره معمولی معجزه می کند.
مثل دیروز یادمه در یکی از جمع ها کاپشنم را درآوردم و کمی بیرون رفتم. وقتی برگشتم احساس کردم چیزی در قلبم اشتباه است. به طور مکانیکی شروع به زیر و رو کردن جیبش کرد. معلوم شد که یکی آونگ نقره ای من را گرفت. ساکت شدم و چیزی که اتفاق افتاد را به کسی نگفتم.
روزها گذشت و یک روز یکی از کسانی که در آن جمعی که آونگ من گم شده بود با ما نشسته بود به خانه من آمد. عمیقا عذرخواهی کرد و آونگ را به من داد. معلوم شد که فکر می‌کرد تمام قدرت روی آونگ من است و فکر می‌کرد که این آونگ هم مثل من برای او کار می‌کند.
وقتی متوجه اشتباهش شد، وجدانش برای مدتی طولانی او را عذاب داد و سرانجام تصمیم گرفت آونگ را به صاحبش برگرداند. عذر او را پذیرفتم و او را با چای پذیرفتم و حتی تشخیص دادم. من با پاندول در او بیماری های زیادی یافتم و داروهای مناسب برایش تهیه کردم.
برخی از افراد استعداد طبیعی برای شفا و پیشگویی دارند. این استعداد سال ها به چشم نمی خورد. گاهی اوقات به طور اتفاقی با یک متخصص مواجه می شوند و او مسیر زندگی را به او نشان می دهد.
اخیراً یک زن میانسال برای تشخیص مراجعه کرده است. از ظاهرش نمی توان فهمید که بیمار است. او از گرمی زیاد در اندام‌هایش شکایت داشت، گرما دائماً از کف دست و پاهایش بیرون می‌آمد و اغلب در ناحیه تاج سرش دردهای شدیدی را احساس می‌کرد. اولین بار که آن را با نبض تشخیص دادم، متوجه افزایش تون عروق شدم، شروع به اندازه گیری فشار خون با یک دستگاه نیمه اتوماتیک کردم. مقادیر در نهایت از مقیاس خارج شدند، هم سیستولیک و هم دیاستولیک. آنها 135 تا 241 را نشان دادند و معلوم شد که ضربان قلب برای چنین فشار خونی کمتر از حد معمول است: 62 ضربه در دقیقه. زنی با چنین فشار خونی آرام جلوی من نشست. انگار بدون احساس ناراحتی از وضعیت عروقی ام. فشار خون ضروری (غیر قابل توضیح) او را افسرده نکرد.

من هیچ مشکلی در نبض او و در حین تشخیص نبض متوجه نشدم. من او را با یک فشار خون ضروری (علت غیرقابل توضیح) کمتر شایع تشخیص دادم. اگر یک پزشک معمولی فشار خون او را اندازه می گرفت، بلافاصله با آمبولانس تماس می گرفت و او را روی برانکارد می گذاشت. حتی به او اجازه حرکت نمی داد. واقعیت این است که فردی با چنین افزایشی در فشار خون دچار بحران فشار خون در نظر گرفته می شود. ممکن است به دنبال آن سکته مغزی یا حمله قلبی ایجاد شود.
به گفته او، داروهای ضد فشار خون منظم آنقدر حال او را بدتر می کند که حتی حالت تهوع در او ایجاد می کند. به اصرار پسرش یاد گرفت که از آونگ استفاده کند؛ وقتی سرش به شدت درد می‌کند از آونگ می‌پرسد که آسپرین یا پنتالژین بخورد یا نه. به ندرت با رضایت آونگ جوشانده برگ بید یا جوشانده برگ به را می خورد که دکتر محدین چهار سال پیش به او توصیه کرده بود. اگر سرش به شدت درد می‌کند، آسپرین می‌نوشد؛ در موارد بسیار شدید، پنتالژین مصرف می‌کند. پزشکان و همسایگان یک بیمار مبتلا به فشار خون به خود درمانی او می خندند.
من از آونگم برای بررسی تمام داروهایی که او برای سردرد و فشار خون مصرف می کند استفاده کردم. همه آنها مؤثر واقع شدند.از آونگ هم پرسیدم. آونگ فوراً به شدت در جهت عقربه های ساعت و به طور مثبت چرخید: «اگر او شروع به شفای مردم با گرمای خود کند، سلامت او بهبود می یابد؟» بنابراین من درمان او را برای خودش تجویز کردم، برای رهایی از فشار خون ضروری، او باید بیماری های افراد دیگر را با گذاشتن دست یا پا روی آنها درمان کند. اکنون اغلب بیماران را به او ارجاع می دهم و او با موفقیت آنها را درمان می کند پاس های روانی. او گرمای دست خود را به سمت بیماری های تا کمر، به بیماری های زیر کمر هدایت می کند، در حالت خوابیده روی بیمار، پای راست یا چپ را به ترتیب در ناحیه مشکل نگه می دارد.
هم او و هم بیماران از نتایج راضی هستند. دو سال است که او نه آسپرین مصرف می کند و نه پنتالژین، و آونگ گاهی اوقات به او اجازه می دهد جوشانده برگ بید یا به را برای سردردهای جزئی بنوشد.
کسی که به کمک او نیاز دارد، برای من بنویسید، او با هزینه ناچیزی به شما کمک می کند. من حتی به او یاد دادم که چگونه با مردم در فواصل دور و بدون تماس رفتار کند.
شخصی که در حین کار با آونگ واقعاً با آونگ کار می کند باید با آن در ارتباط همزمان باشد و باید از قبل بداند و احساس کند که اعمال پاندول در لحظه به کدام سمت هدایت می شود. فردی که نخ پاندول را در دست دارد، با قدرت پرانرژی مغز خود، باید به صورت ناخودآگاه و نه به صورت حدس و گمان، در اقدامات بعدی روی این جسم به او کمک کند و به عنوان یک تماشاگر به عمل آونگ بی تفاوت نگاه نکند.
آونگ تقریباً توسط همه افراد مشهور در بین النهرین، آشور، اورارتو، هند، چین، ژاپن، روم باستان، مصر، یونان، آسیا، آفریقا، آمریکا، اروپا، شرق و بسیاری از کشورهای جهان استفاده می شود.
با توجه به اینکه بسیاری از نهادهای برجسته بین المللی، شخصیت های برجسته در عرصه های مختلف علمی هنوز به اندازه کافی از عمل و هدف آونگ به نفع همزیستی بشریت با طبیعت اطراف به صورت همزیستی و هماهنگ قدردانی نکرده اند. بشریت هنوز به طور کامل دیدگاه های شبه علمی در مورد جهان عادی جهانی در سطح علوم طبیعی مدرن را کنار نگذاشته است. مرحله ای از محو شدن خط معرفت بین دین، باطن گرایی و علوم طبیعی وجود دارد. طبیعتاً علم طبیعی باید مبنای همه علوم بنیادی بدون هیچ گونه دیدگاه جانبی قرار گیرد.
این امید وجود دارد که علم آونگ نیز در کنار علم اطلاعات جایگاه شایسته خود را در زندگی مردم باز کند. گذشته از این، زمانی بود که رهبران کشور چند ملیتی ما سایبرنتیک را یک شبه علم اعلام کردند و اجازه ندادند آن را نه تنها مطالعه کنند، بلکه حتی در مؤسسات آموزشی نیز مطالعه کنند.
بنابراین اکنون، در سطح بالاترین رده علم مدرن، به ایده آونگ طوری نگاه می کنند که گویی یک صنعت عقب مانده است. لازم است که آونگ، دوزینگ و قاب تحت یک بخش واحد علوم کامپیوتر سیستماتیک شود و لازم است یک ماژول برنامه کامپیوتری ایجاد شود.
با کمک این ماژول، هر کسی می تواند چیزهای گم شده را پیدا کند، مکان اشیا را مشخص کند و در نهایت، افراد، حیوانات، پرندگان، حشرات و به طور کلی تمام طبیعت را تشخیص دهد.
برای انجام این کار، شما نیاز به مطالعه ایده های L. G. Puchko در مورد پزشکی چند بعدی و کار گلر روان، و همچنین ایده های درمانگر بلغاری Kanaliev و کار بسیاری از افراد دیگر دارید که با کمک به نتایج شگفت انگیزی دست یافته اند. یک آونگ

آونگ ریاضییک نقطه مادی معلق روی یک نخ بی وزن و غیر قابل امتداد متصل به سیستم تعلیق و در میدان گرانش (یا نیروی دیگر) نامیده می شود.

اجازه دهید نوسانات یک آونگ ریاضی را در یک چارچوب مرجع اینرسی مطالعه کنیم، که نسبت به آن نقطه تعلیق آن در حالت سکون است یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم حرکت می کند. از نیروی مقاومت هوا (آونگ ریاضی ایده آل) غفلت خواهیم کرد. در ابتدا، آونگ در موقعیت تعادل C قرار دارد. در این حالت، نیروی گرانش و نیروی کشسان F?ynp نخ وارد بر آن متقابلاً جبران می‌شوند.

بیایید آونگ را از حالت تعادل خارج کنیم (مثلاً با انحراف آن به موقعیت A) و بدون سرعت اولیه آن را رها کنیم (شکل 1). در این حالت نیروها یکدیگر را متعادل نمی کنند. جزء مماسی گرانش که بر روی آونگ اثر می گذارد، به آن شتاب مماسی می دهد a?? (جزئی از شتاب کل هدایت شده در امتداد مماس بر مسیر آونگ ریاضی) و آونگ با افزایش سرعت در مقدار مطلق شروع به حرکت به سمت موقعیت تعادل می کند. بنابراین مؤلفه مماسی گرانش یک نیروی بازگرداننده است. جزء طبیعی گرانش در امتداد نخ در برابر نیروی کشسان هدایت می شود. برآیند نیروها به آونگ شتاب طبیعی می دهد که جهت بردار سرعت را تغییر می دهد و آونگ در امتداد قوس ABCD حرکت می کند.

هرچه آونگ به موقعیت تعادل C نزدیکتر شود، مقدار مولفه مماسی کوچکتر می شود. در حالت تعادل برابر با صفر است و سرعت به حداکثر مقدار خود می رسد و آونگ با اینرسی بیشتر حرکت می کند و در یک قوس رو به بالا بالا می رود. در این حالت، کامپوننت بر خلاف سرعت هدایت می شود. با افزایش زاویه انحراف a، قدر نیرو افزایش می یابد و مقدار سرعت کاهش می یابد و در نقطه D سرعت آونگ صفر می شود. آونگ برای لحظه ای می ایستد و سپس شروع به حرکت در جهت مخالف وضعیت تعادل می کند. آونگ با اینرسی دوباره از آن عبور کرده و حرکت خود را کند می کند و به نقطه A می رسد (اصطکاک وجود ندارد) یعنی. یک نوسان کامل را تکمیل خواهد کرد. پس از این، حرکت آونگ به ترتیبی که قبلاً توضیح داده شد تکرار می شود.

اجازه دهید معادله ای به دست آوریم که نوسانات آزاد یک آونگ ریاضی را توصیف می کند.

بگذارید آونگ در یک لحظه معین از زمان در نقطه B باشد. جابجایی S آن از موقعیت تعادل در این لحظه برابر با طول قوس SV است (یعنی S = |SV|). اجازه دهید طول نخ تعلیق را l و جرم آونگ را m نشان دهیم.

از شکل 1 مشخص است که در کجا . بنابراین در زوایای کوچک () آونگ منحرف می شود

طبق قانون دوم نیوتن. اجازه دهید کمیت های برداری این معادله را بر روی جهت مماس بر مسیر آونگ ریاضی طرح کنیم.

از این معادلات به دست می آوریم

معادله دینامیکی حرکت یک آونگ ریاضی. شتاب مماسی یک آونگ ریاضی متناسب با جابجایی آن است و به سمت موقعیت تعادل هدایت می شود. این معادله را می توان به صورت زیر نوشت

مقایسه آن با معادله ارتعاش هارمونیک ، می توان نتیجه گرفت که آونگ ریاضی نوسانات هارمونیک را انجام می دهد. و از آنجایی که نوسانات در نظر گرفته شده آونگ تنها تحت تأثیر نیروهای داخلی رخ داده است، اینها نوسانات آزاد آونگ بودند. در نتیجه، نوسانات آزاد یک آونگ ریاضی با انحرافات کوچک، هارمونیک هستند.

بیایید نشان دهیم

فرکانس چرخه ای نوسانات آونگ.

دوره نوسان آونگ. از این رو،

این عبارت فرمول هویگنس نامیده می شود. دوره نوسانات آزاد یک آونگ ریاضی را تعیین می کند. از فرمول به دست می آید که در زوایای کوچک انحراف از موقعیت تعادل، دوره نوسان یک آونگ ریاضی است:

به جرم و دامنه ارتعاش آن بستگی ندارد.
با جذر طول آونگ متناسب و با جذر شتاب گرانش نسبت معکوس دارد.

این با قوانین تجربی نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی که توسط جی. گالیله کشف شد مطابقت دارد.

ما تأکید می کنیم که اگر دو شرط به طور همزمان برآورده شوند، می توان از این فرمول برای محاسبه دوره استفاده کرد:

نوسانات آونگ باید کوچک باشد.
نقطه تعلیق آونگ باید در حالت استراحت باشد یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم نسبت به قاب مرجع اینرسی که در آن قرار دارد حرکت کند.

اگر نقطه تعلیق یک آونگ ریاضی با شتاب حرکت کند، نیروی کشش نخ تغییر می کند که منجر به تغییر در نیروی بازگرداننده و در نتیجه فرکانس و دوره نوسانات می شود. همانطور که محاسبات نشان می دهد، دوره نوسان آونگ در این حالت را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

شتاب "موثر" آونگ در یک قاب مرجع غیر اینرسی کجاست. برابر است با مجموع هندسی شتاب سقوط آزاد و بردار مقابل بردار، یعنی. با استفاده از فرمول قابل محاسبه است

سیستم مکانیکی که شامل یک نقطه مادی (جسم) است که در یک میدان گرانشی یکنواخت بر روی یک نخ بی وزن غیر قابل امتداد آویزان است (جرم آن در مقایسه با وزن بدن ناچیز است) آونگ ریاضی نامیده می شود (نام دیگر نوسانگر است). انواع دیگری از این دستگاه وجود دارد. به جای نخ می توان از میله بدون وزن استفاده کرد. یک آونگ ریاضی می تواند به وضوح ماهیت بسیاری از پدیده های جالب را آشکار کند. وقتی دامنه ارتعاش کم باشد، حرکت آن هارمونیک نامیده می شود.

نمای کلی سیستم مکانیکی

فرمول دوره نوسان این آونگ توسط دانشمند هلندی هویگنس (1629-1695) به دست آمد. این هم عصر آی نیوتن به این سیستم مکانیکی علاقه زیادی داشت. او در سال 1656 اولین ساعت را با مکانیزم آونگی ساخت. آنها زمان را با دقت استثنایی برای آن زمان ها اندازه گیری کردند. این اختراع به مرحله اصلی در توسعه آزمایشات فیزیکی و فعالیت های عملی تبدیل شد.

اگر آونگ در حالت تعادل باشد (به صورت عمودی آویزان) با نیروی کشش نخ متعادل می شود. آونگ مسطح روی یک نخ غیر قابل امتداد، سیستمی با دو درجه آزادی با جفت است. وقتی فقط یک جزء را تغییر می دهید، ویژگی های تمام قطعات آن تغییر می کند. بنابراین، اگر نخ با یک میله جایگزین شود، این سیستم مکانیکی تنها 1 درجه آزادی خواهد داشت. آونگ ریاضی چه ویژگی هایی دارد؟ در این ساده ترین سیستم، هرج و مرج تحت تأثیر اختلالات دوره ای به وجود می آید. در حالتی که نقطه تعلیق حرکت نمی کند، اما نوسان می کند، آونگ موقعیت تعادل جدیدی پیدا می کند. با نوسانات سریع بالا و پایین، این سیستم مکانیکی یک موقعیت "وارونه" پایدار به دست می آورد. اسم خودش را هم دارد. به آن آونگ کاپیتسا می گویند.

خواص آونگ

آونگ ریاضی خواص بسیار جالبی دارد. همه آنها توسط قوانین فیزیکی شناخته شده تایید شده اند. دوره نوسان هر آونگ دیگری به شرایط مختلفی مانند اندازه و شکل بدنه، فاصله بین نقطه تعلیق و مرکز ثقل و توزیع جرم نسبت به این نقطه بستگی دارد. به همین دلیل است که تعیین دوره آویزان شدن بدن یک کار بسیار دشوار است. محاسبه دوره یک آونگ ریاضی بسیار ساده تر است که فرمول آن در زیر آورده شده است. در نتیجه مشاهدات سیستم های مکانیکی مشابه، الگوهای زیر را می توان ایجاد کرد:

اگر با حفظ طول یکسان آونگ، وزن‌های مختلف را به حالت تعلیق درآوریم، دوره نوسان آنها یکسان خواهد بود، اگرچه جرم آنها بسیار متفاوت است. در نتیجه، دوره چنین آونگی به جرم بار بستگی ندارد.

اگر هنگام راه اندازی سیستم، آونگ در زوایای نه خیلی بزرگ، اما متفاوت منحرف شود، آنگاه با همان دوره، اما با دامنه های مختلف شروع به نوسان می کند. تا زمانی که انحراف از مرکز تعادل خیلی زیاد نباشد، ارتعاشات در شکل آنها کاملاً نزدیک به هارمونیک خواهند بود. دوره چنین آونگی به هیچ وجه به دامنه نوسانی بستگی ندارد. این خاصیت یک سیستم مکانیکی معین ایزوکرونیسم نامیده می شود (ترجمه شده از یونانی "chronos" - زمان، "isos" - برابر).

دوره یک آونگ ریاضی

این شاخص نشان دهنده دوره است با وجود فرمولاسیون پیچیده، خود فرآیند بسیار ساده است. اگر طول نخ یک آونگ ریاضی L باشد و شتاب سقوط آزاد g باشد، این مقدار برابر است با:

دوره نوسانات طبیعی کوچک به هیچ وجه به جرم آونگ و دامنه نوسانات بستگی ندارد. در این حالت، آونگ به صورت یک عدد ریاضی با طول معین حرکت می کند.

نوسانات یک آونگ ریاضی

یک آونگ ریاضی نوسان می کند که می توان آن را با یک معادله دیفرانسیل ساده توصیف کرد:

x + ω2 sin x = 0،

که در آن x (t) یک تابع مجهول است (این زاویه انحراف از موقعیت تعادل پایین تر در لحظه t است که بر حسب رادیان بیان می شود). ω یک ثابت مثبت است که از پارامترهای آونگ تعیین می شود (ω = √g/L، که g شتاب گرانش است، و L طول آونگ ریاضی (تعلیق) است.

معادله ارتعاشات کوچک نزدیک به موقعیت تعادل (معادله هارمونیک) به صورت زیر است:

x + ω2 sin x = 0

حرکات نوسانی آونگ

یک آونگ ریاضی که نوسانات کوچکی ایجاد می کند، در امتداد یک سینوسی حرکت می کند. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تمام الزامات و پارامترهای چنین حرکتی را برآورده می کند. برای تعیین مسیر، لازم است سرعت و مختصات را تنظیم کنید، که سپس ثابت های مستقل از آن تعیین می شوند:

x = یک گناه (θ 0 + ωt)،

که در آن θ 0 فاز اولیه است، A دامنه نوسان است، ω فرکانس چرخه ای است که از معادله حرکت تعیین می شود.

آونگ ریاضی (فرمول برای دامنه های بزرگ)

این سیستم مکانیکی که با دامنه قابل توجهی نوسان می کند، تابع قوانین پیچیده تری از حرکت است. برای چنین آونگی طبق فرمول محاسبه می شوند:

sin x/2 = u * sn(ωt/u)،

که در آن sn سینوس Jacobi است که برای u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2،

که در آن ε = E/mL2 (mL2 انرژی آونگ است).

دوره نوسان یک آونگ غیر خطی با استفاده از فرمول تعیین می شود:

که در آن Ω = π/2 * ω/2K(u)، K انتگرال بیضوی، π است - 3,14.

حرکت آونگ در امتداد جدایی

Separatrix مسیر یک سیستم دینامیکی است که دارای یک فضای فاز دو بعدی است. یک آونگ ریاضی به صورت غیر تناوبی در امتداد آن حرکت می کند. در یک لحظه بی نهایت دور از زمان، از بالاترین موقعیت خود با سرعت صفر به پهلو می افتد، سپس به تدریج آن را به دست می آورد. در نهایت متوقف می شود و به موقعیت اولیه خود باز می گردد.

اگر دامنه نوسانات آونگ به عدد نزدیک شود π ، این نشان می دهد که حرکت در صفحه فاز به جدایی نزدیک می شود. در این حالت، تحت تأثیر یک نیروی دوره ای کوچک محرک، سیستم مکانیکی رفتار آشفته ای از خود نشان می دهد.

هنگامی که یک آونگ ریاضی از موقعیت تعادل با یک زاویه φ مشخص منحرف می شود، یک نیروی مماس از گرانش Fτ = -mg sin φ ایجاد می شود. علامت منفی به این معنی است که این جزء مماسی در جهت مخالف انحراف آونگ هدایت می شود. هنگامی که جابجایی آونگ در امتداد یک قوس دایره ای با شعاع L را با x نشان می دهیم، جابجایی زاویه ای آن برابر با φ = x/L است. قانون دوم که برای پیش بینی ها و نیرو در نظر گرفته شده است، مقدار مورد نظر را می دهد:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

بر اساس این رابطه، واضح است که این آونگ یک سیستم غیر خطی است، زیرا نیرویی که تمایل دارد آن را به موقعیت تعادل برگرداند، همیشه نه با جابجایی x، بلکه با sin x/L متناسب است.

تنها زمانی که یک آونگ ریاضی نوسانات کوچکی انجام می دهد، نوسانگر هارمونیک است. به عبارت دیگر، به یک سیستم مکانیکی تبدیل می شود که قادر به انجام نوسانات هارمونیک است. این تقریب عملا برای زوایای 15-20 درجه معتبر است. نوسانات آونگ با دامنه های زیاد هارمونیک نیستند.

قانون نیوتن برای نوسانات کوچک آونگ

اگر یک سیستم مکانیکی معین نوسانات کوچکی انجام دهد، قانون دوم نیوتن به شکل زیر خواهد بود:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

بر این اساس می توان نتیجه گرفت که یک آونگ ریاضی متناسب با جابجایی آن با علامت منفی است. این شرایطی است که به دلیل آن سیستم به یک نوسان ساز هارمونیک تبدیل می شود. مدول ضریب تناسب بین جابجایی و شتاب برابر است با مجذور فرکانس دایره ای:

ω02 = گرم بر لیتر؛ ω0 = √ گرم در لیتر.

این فرمول منعکس کننده فرکانس طبیعی نوسانات کوچک این نوع آونگ است. بر این اساس،

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

محاسبات بر اساس قانون بقای انرژی

خواص آونگ را می توان با استفاده از قانون بقای انرژی نیز توصیف کرد. باید در نظر داشت که آونگ در میدان گرانشی برابر است با:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

مجموع برابر است با پتانسیل جنبشی یا حداکثر: Epmax = Ekmsx = E

پس از نوشتن قانون بقای انرژی، مشتق سمت راست و چپ معادله را بگیرید:

از آنجایی که مشتق مقادیر ثابت برابر با 0 است، پس (Ep + Ek)" = 0. مشتق حاصل از مجموع برابر است با مجموع مشتقات:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α،

از این رو:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

بر اساس آخرین فرمول، متوجه می شویم: α = - g/L*x.

کاربرد عملی آونگ ریاضی

شتاب با عرض جغرافیایی متفاوت است زیرا چگالی پوسته زمین در سراسر سیاره یکسان نیست. در جایی که سنگ هایی با چگالی بالاتر رخ می دهند، اندکی بیشتر خواهد بود. شتاب یک آونگ ریاضی اغلب برای اکتشافات زمین شناسی استفاده می شود. برای جستجوی مواد معدنی مختلف استفاده می شود. به سادگی با شمارش تعداد نوسانات یک آونگ، می توانید زغال سنگ یا سنگ معدن را در روده های زمین تشخیص دهید. این به این دلیل است که چنین فسیل‌هایی چگالی و جرمی بیشتر از سنگ‌های سست زیرین دارند.

آونگ ریاضی توسط دانشمندان برجسته ای مانند سقراط، ارسطو، افلاطون، پلوتارک، ارشمیدس استفاده شد. بسیاری از آنها معتقد بودند که این سیستم مکانیکی می تواند بر سرنوشت و زندگی یک فرد تأثیر بگذارد. ارشمیدس در محاسبات خود از یک آونگ ریاضی استفاده کرد. امروزه بسیاری از غیبت شناسان و روانشناسان از این سیستم مکانیکی برای تحقق پیشگویی های خود یا جستجوی افراد گمشده استفاده می کنند.

K. Flammarion ستاره شناس و طبیعت شناس مشهور فرانسوی نیز از یک آونگ ریاضی برای تحقیقات خود استفاده کرد. او ادعا کرد که با کمک آن توانسته است کشف یک سیاره جدید، ظهور شهاب سنگ Tunguska و سایر رویدادهای مهم را پیش بینی کند. در طول جنگ جهانی دوم، یک موسسه تخصصی آونگ در آلمان (برلین) فعالیت می کرد. امروزه موسسه فراروانشناسی مونیخ به تحقیقات مشابهی مشغول است. کارمندان این مؤسسه به کار خود با آونگ «رادیس‌تزیا» می‌گویند.

آونگ های نشان داده شده در شکل. 2، بدنه های کشیده با اشکال و اندازه های مختلف هستند که در اطراف یک نقطه تعلیق یا تکیه گاه در نوسان هستند. به چنین سیستم هایی پاندول فیزیکی می گویند. در حالت تعادل، هنگامی که مرکز ثقل روی عمودی زیر نقطه تعلیق (یا تکیه گاه) قرار دارد، نیروی گرانش (از طریق نیروهای الاستیک آونگ تغییر شکل یافته) با واکنش تکیه گاه متعادل می شود. هنگام انحراف از موقعیت تعادل، نیروهای گرانش و الاستیک شتاب زاویه‌ای آونگ را در هر لحظه از زمان تعیین می‌کنند، یعنی ماهیت حرکت آن (نوسان) را تعیین می‌کنند. اکنون پویایی نوسانات را با جزییات بیشتری با استفاده از ساده ترین مثال یک آونگ ریاضی به اصطلاح، که وزنه کوچکی است که بر روی یک نخ بلند و نازک معلق است، بررسی خواهیم کرد.

در یک آونگ ریاضی می‌توان از جرم نخ و تغییر شکل وزنه غفلت کرد، یعنی می‌توان فرض کرد که جرم آونگ در وزن متمرکز است و نیروهای کشسان در نخ متمرکز می‌شوند که غیر قابل امتداد در نظر گرفته می‌شود. . اکنون ببینیم که آونگ ما پس از اینکه به نحوی از وضعیت تعادل خود خارج شد (فشار، انحراف) تحت چه نیروهایی نوسان می کند.

هنگامی که آونگ در حالت تعادل قرار دارد، نیروی گرانشی که بر وزن آن وارد می شود و به صورت عمودی به سمت پایین هدایت می شود، توسط نیروی کشش نخ متعادل می شود. در موقعیت انحراف (شکل 15)، نیروی گرانش در زاویه ای نسبت به نیروی کششی هدایت شده در امتداد نخ عمل می کند. بیایید نیروی گرانش را به دو جزء تقسیم کنیم: در جهت نخ () و عمود بر آن (). هنگامی که آونگ نوسان می کند، نیروی کشش نخ کمی از مؤلفه بیشتر می شود - با مقدار نیروی مرکزگرا که بار را مجبور به حرکت در یک قوس می کند. جزء همیشه به سمت موقعیت تعادل هدایت می شود. به نظر می رسد که او در تلاش برای بازگرداندن این وضعیت است. بنابراین، اغلب به آن نیروی بازگرداننده می گویند. هر چه آونگ بیشتر منحرف شود، قدر مطلق بیشتر است.

برنج. 15. بازگرداندن نیرو هنگام انحراف آونگ از وضعیت تعادل

بنابراین، به محض اینکه آونگ در حین نوسانات خود شروع به انحراف از وضعیت تعادلی مثلاً به سمت راست کرد، نیرویی ظاهر می شود که حرکت آن را کاهش می دهد و هر چه بیشتر منحرف می شود. در نهایت این نیرو او را متوقف می کند و او را به حالت تعادل می کشاند. با این حال، هر چه به این موقعیت نزدیک می شویم، نیرو کمتر و کمتر می شود و در موقعیت تعادل خود صفر می شود. بنابراین آونگ با اینرسی از موقعیت تعادل عبور می کند. به محض اینکه شروع به انحراف به چپ می کند، دوباره نیرویی ظاهر می شود که با افزایش انحراف رشد می کند، اما اکنون به سمت راست هدایت می شود. حرکت به سمت چپ دوباره کند می شود، سپس آونگ برای لحظه ای متوقف می شود، پس از آن حرکت شتاب به سمت راست آغاز می شود و غیره.

انرژی یک آونگ هنگام نوسان چه اتفاقی می افتد؟

دو بار در طول دوره - در بیشترین انحراف به چپ و به راست - آونگ متوقف می شود، یعنی در این لحظات سرعت صفر است، یعنی انرژی جنبشی صفر است. اما دقیقاً در این لحظات است که مرکز ثقل آونگ به بیشترین ارتفاع خود می رسد و بنابراین، انرژی پتانسیل بیشترین مقدار را دارد. برعکس، در لحظه های عبور از موقعیت تعادل، انرژی پتانسیل کمترین است و سرعت و انرژی جنبشی به بیشترین مقدار خود می رسند.

فرض می کنیم که نیروهای اصطکاک آونگ در برابر هوا و اصطکاک در نقطه تعلیق را می توان نادیده گرفت. سپس طبق قانون بقای انرژی، این حداکثر انرژی جنبشی دقیقاً برابر با مازاد انرژی پتانسیل در موقعیت بیشترین انحراف نسبت به انرژی پتانسیل در موقعیت تعادل است.

بنابراین، هنگامی که آونگ نوسان می کند، انتقال متناوب انرژی جنبشی به انرژی پتانسیل و بالعکس رخ می دهد و دوره این فرآیند نصف دوره نوسان خود آونگ است. با این حال، انرژی کل آونگ (مجموع انرژی پتانسیل و جنبشی) همیشه ثابت است. این برابر با انرژی است که در هنگام پرتاب به آونگ داده شد، فرقی نمی کند به شکل انرژی پتانسیل (انحراف اولیه) یا به شکل انرژی جنبشی (فشار اولیه) باشد.

این مورد در مورد هر نوسان در غیاب اصطکاک یا هر فرآیند دیگری است که انرژی را از سیستم نوسانی می گیرد یا به آن انرژی می دهد. به همین دلیل است که دامنه بدون تغییر باقی می ماند و با انحراف یا نیروی فشار اولیه تعیین می شود.

اگر به جای آویزان کردن توپ به نخ، آن را در یک صفحه عمودی در یک فنجان کروی یا در یک شیار منحنی در امتداد محیط بغلطانیم، همان تغییرات نیروی بازیابی و همان انتقال انرژی را خواهیم داشت. در این صورت، نقش کشش نخ با فشار دیواره های فنجان یا فرورفتگی بر عهده می گیرد (باز هم از اصطکاک توپ در برابر دیواره ها و هوا غافل می شویم).

شاید خواندن آن مفید باشد: