سه قانون برای یافتن ضد مشتقات خلاصه درس ریاضی: "قوانین یافتن پاد مشتق" 3 قانون برای یافتن پاد مشتق تدوین کنید.

برای هر عمل ریاضی یک عمل معکوس وجود دارد. برای عمل تمایز (یافتن مشتقات توابع)، یک عمل معکوس - یکپارچه سازی نیز وجود دارد. از طریق یکپارچه سازی، یک تابع از مشتق یا دیفرانسیل داده شده آن پیدا می شود (بازسازی می شود). تابع یافت شده نامیده می شود ضد مشتق.

تعریف.تابع متمایز F(x)ضد مشتق تابع نامیده می شود f(x)در یک بازه زمانی معین، اگر برای همه ایکساز این بازه تساوی زیر برقرار است: F′(x)=f (x).

مثال ها. یافتن پاد مشتق برای توابع: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) از آنجایی که (x²)′=2x، پس طبق تعریف، تابع F (x)=x² پاد مشتق تابع f (x)=2x خواهد بود.

2) (sin3x)′=3cos3x. اگر f (x)=3cos3x و F (x)=sin3x را نشان دهیم، با تعریف یک پاد مشتق، داریم: F'(x)=f (x) و بنابراین، F (x)=sin3x است. یک پاد مشتق برای f (x)=3cos3x.

توجه داشته باشید که (sin3x +5 )′= 3cos3x، و (sin3x -8,2 )′= 3cos3x، ... به شکل کلی می توانیم بنویسیم: (sin3x +C)′= 3cos3x، جایی که با- مقداری ثابت این مثال ها نشان دهنده ابهام عمل ادغام است، در مقابل عمل تمایز، زمانی که هر تابع متمایز دارای یک مشتق واحد است.

تعریف.اگر تابع F(x)ضد مشتق تابع است f(x)در یک بازه زمانی مشخص، مجموعه تمام ضد مشتقات این تابع به شکل زیر است:

F(x)+C، که در آن C هر عدد واقعی است.

مجموعه تمام پاد مشتق های F (x) + C تابع f (x) در بازه مورد نظر را انتگرال نامعین می نامند و با نماد نشان می دهند. ∫ (علامت انتگرال). بنویس: 🔻f (x) dx=F (x)+C.

اصطلاح 🔻f(x)dxبخوانید: "ef انتگرال از x به de x."

f(x)dx- بیان یکپارچه،

f(x)- تابع یکپارچه،

ایکسمتغیر ادغام است.

F(x)- ضد مشتق یک تابع f(x),

با- مقداری ثابت

حال می توان نمونه های در نظر گرفته شده را به صورت زیر نوشت:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

علامت d به چه معناست؟

د-علامت دیفرانسیل - هدف دوگانه دارد: اولاً این علامت انتگرال را از متغیر انتگرال گیری جدا می کند. ثانیاً هر چیزی که بعد از این علامت می آید به طور پیش فرض متمایز می شود و در انتگرال ضرب می شود.

مثال ها. انتگرال ها را بیابید: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) بعد از نماد دیفرانسیل دهزینه ها ایکسایکس، آ آر

∫ 2хрdx=рх²+С. با مثال مقایسه کنید 1).

بیا چک کنیم F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) بعد از نماد دیفرانسیل دهزینه ها آر. این بدان معناست که متغیر ادغام آرو ضریب ایکسباید مقداری ثابت در نظر گرفته شود.

∫ 2xrdr=р²х+С. با مثال مقایسه کنید 1) و 3).

بیا چک کنیم F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

تابع ضد مشتق f(x)در بین (الف؛ ب)این تابع نامیده می شود F(x)، این برابری برای هر کسی صادق است ایکساز یک بازه معین

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق یک ثابت بابرابر با صفر است، پس برابری درست است. بنابراین تابع f(x)ابتدایی های زیادی دارد F(x)+C، برای یک ثابت دلخواه باو این ضد مشتقات با یک مقدار ثابت دلخواه با یکدیگر تفاوت دارند.

تعریف انتگرال نامعین

کل مجموعه توابع ضد مشتق f(x)انتگرال نامعین این تابع نامیده می شود و نشان داده می شود .

عبارت نامیده می شود یکپارچه، آ f(x) – تابع انتگرال. انتگرال نشان دهنده دیفرانسیل تابع است f(x).

عمل یافتن یک تابع مجهول با توجه به دیفرانسیل آن نامیده می شود نا معلومادغام، زیرا نتیجه ادغام بیش از یک تابع است F(x)، و مجموعه ای از بدوی آن F(x)+C.

معنای هندسی انتگرال نامعین. نمودار ضد مشتق D(x) منحنی انتگرال نامیده می شود. در سیستم مختصات x0y، نمودارهای همه پادمشتق‌های یک تابع معین، خانواده‌ای از منحنی‌ها را نشان می‌دهند که به مقدار ثابت C بستگی دارند و با یک جابجایی موازی در امتداد محور 0y از یکدیگر به دست می‌آیند. برای مثالی که در بالا بحث شد، داریم:

J 2 x^x = x2 + C.

خانواده ضد مشتقات (x + C) از نظر هندسی توسط مجموعه ای از سهمی ها تفسیر می شوند.

اگر نیاز به پیدا کردن یکی از خانواده ضد مشتقات دارید، شرایط اضافی تنظیم می شود که به شما امکان می دهد ثابت C را تعیین کنید. معمولاً برای این منظور شرایط اولیه تنظیم می شود: وقتی آرگومان x = x0، تابع مقدار D را دارد. (x0) = y0.

مثال. باید پیدا شود که یکی از پاد مشتق های تابع y = 2 x که مقدار 3 را در x0 = 1 می گیرد.

پاد مشتق مورد نیاز: D(x) = x2 + 2.

راه حل. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. ویژگی های اساسی انتگرال نامعین

1. مشتق انتگرال نامعین برابر تابع انتگرال است:

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر است با عبارت انتگرال:

3. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع معین برابر است با مجموع خود این تابع و یک ثابت دلخواه:

4. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

5. انتگرال مجموع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرالها:

6. اموال ترکیبی از خواص 4 و 5 است:

7. خاصیت تغییرناپذیری انتگرال نامعین:

اگر ، آن

8. اموال:

اگر ، آن

در واقع این ویژگی یک مورد خاص از ادغام با استفاده از روش تغییر متغیر است که در قسمت بعدی به طور مفصل به آن پرداخته می شود.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

3. روش یکپارچه سازیکه در آن یک انتگرال معین به یک یا چند انتگرال جدول با استفاده از تبدیل های یکسان انتگرال (یا عبارت) و اعمال ویژگی های انتگرال نامعین کاهش می یابد، نامیده می شود. ادغام مستقیم. هنگام کاهش این انتگرال به جدولی، اغلب از تبدیل های دیفرانسیل زیر استفاده می شود (عملیات " عضویت در علامت دیفرانسیل»):

اصلا، f’(u)du = d(f(u)).این (فرمول اغلب هنگام محاسبه انتگرال استفاده می شود.

انتگرال را پیدا کنید

راه حل.بیایید از ویژگی های انتگرال استفاده کنیم و این انتگرال را به چندین جدول کاهش دهیم.

4. ادغام با روش جایگزینی

ماهیت روش این است که یک متغیر جدید معرفی می کنیم، انتگرال را از طریق این متغیر بیان می کنیم و در نتیجه به شکل جدولی (یا ساده تر) انتگرال می رسیم.

اغلب اوقات روش جایگزینی هنگام ادغام توابع و توابع مثلثاتی با رادیکال ها کمک می کند.

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید .

راه حل.

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم. بیان کنیم ایکساز طریق z:

ما عبارات به دست آمده را با انتگرال اصلی جایگزین می کنیم:

از جدول ضد مشتقات داریم .

باقی مانده است که به متغیر اصلی برگردیم ایکس:

پاسخ:

در این صفحه خواهید یافت:

1. در واقع، جدول ضد مشتقات - می توان آن را در قالب PDF دانلود و چاپ کرد.

2. ویدئو در مورد نحوه استفاده از این جدول.

3. دسته ای از مثال های محاسبه ضد مشتق از کتاب های درسی و تست های مختلف.

در خود ویدیو، ما بسیاری از مشکلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که در آن شما باید ضد مشتقات توابع را محاسبه کنید، اغلب بسیار پیچیده هستند، اما مهمتر از همه، آنها توابع قدرت نیستند. تمام توابع خلاصه شده در جدول پیشنهادی در بالا، مانند مشتقات، باید به طور خلاصه شناخته شوند. بدون آنها، مطالعه بیشتر انتگرال ها و کاربرد آنها برای حل مسائل عملی غیرممکن است.

امروز ما به مطالعه اصول اولیه ادامه می دهیم و به موضوع کمی پیچیده تر می رویم. اگر دفعه قبل فقط به ضد مشتق‌های توابع قدرت و ساختارهای کمی پیچیده‌تر نگاه کردیم، امروز به مثلثات و موارد دیگر خواهیم پرداخت.

همانطور که در درس گذشته گفتم، ضد مشتقات، بر خلاف مشتقات، هرگز با استفاده از قوانین استاندارد "فورا" حل نمی شوند. علاوه بر این، خبر بد این است که بر خلاف مشتق، ممکن است ضد مشتق اصلاً در نظر گرفته نشود. اگر یک تابع کاملاً تصادفی بنویسیم و سعی کنیم مشتق آن را پیدا کنیم، با احتمال بسیار زیاد موفق خواهیم شد، اما ضد مشتق تقریباً هرگز در این مورد محاسبه نخواهد شد. اما یک خبر خوب وجود دارد: دسته نسبتاً بزرگی از توابع به نام توابع ابتدایی وجود دارد که محاسبه ضد مشتقات آن بسیار آسان است. و تمام ساختارهای پیچیده‌تر دیگری که در انواع تست‌ها، تست‌ها و امتحانات مستقل داده می‌شوند، در واقع از این توابع ابتدایی از طریق جمع، تفریق و سایر اقدامات ساده تشکیل شده‌اند. نمونه های اولیه چنین توابعی مدت هاست که محاسبه و در جداول ویژه جمع آوری شده اند. این توابع و جداول هستند که امروز با آنها کار خواهیم کرد.

اما ما مانند همیشه با یک تکرار شروع می کنیم: بیایید به یاد بیاوریم که ضد مشتق چیست، چرا تعداد بی نهایت آنها وجود دارد و چگونه می توان ظاهر کلی آنها را تعیین کرد. برای انجام این کار، من دو مشکل ساده را انتخاب کردم.

حل مثال های آسان

مثال شماره 1

اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ و به طور کلی وجود $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ بلافاصله به ما اشاره می کند که ضد مشتق مورد نیاز تابع مربوط به مثلثات است. و در واقع، اگر به جدول نگاه کنیم، متوجه خواهیم شد که $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ چیزی بیش از $\text(arctg)x$ نیست. پس بیایید آن را بنویسیم:

برای پیدا کردن، باید موارد زیر را یادداشت کنید:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

مثال شماره 2

در اینجا در مورد توابع مثلثاتی نیز صحبت می کنیم. اگر به جدول نگاه کنیم، در واقع، این چیزی است که اتفاق می افتد:

ما باید در بین کل مجموعه ضد مشتقات موردی را پیدا کنیم که از نقطه مشخص شده عبور می کند:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

در نهایت آن را بنویسیم:

ساده است. تنها مشکل این است که برای محاسبه ضد مشتقات توابع ساده، باید جدولی از ضد مشتقات را یاد بگیرید. با این حال، پس از مطالعه جدول مشتق برای شما، فکر می کنم این مشکلی نخواهد داشت.

حل مسائل حاوی تابع نمایی

برای شروع، بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((e)^(x))\به ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

بیایید ببینیم این همه در عمل چگونه کار می کند.

مثال شماره 1

اگر به محتویات براکت ها نگاه کنیم، متوجه می شویم که در جدول آنتی مشتق ها چنین عبارتی وجود ندارد که $((e)^(x))$ در یک مربع باشد، بنابراین این مربع باید گسترش یابد. برای این کار از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می کنیم:

بیایید پاد مشتق را برای هر یک از اصطلاحات پیدا کنیم:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

حالا بیایید تمام اصطلاحات را در یک عبارت جمع کنیم و آنتی مشتق کلی را بدست آوریم:

مثال شماره 2

این بار درجه بزرگتر است، بنابراین فرمول ضرب اختصاری بسیار پیچیده خواهد بود. پس بیایید پرانتزها را باز کنیم:

حالا بیایید سعی کنیم ضد مشتق فرمول خود را از این ساختار بگیریم:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده یا فراطبیعی در ضد مشتقات تابع نمایی وجود ندارد. همه آنها از طریق جداول محاسبه می شوند، اما دانش آموزان با دقت احتمالا متوجه خواهند شد که ضد مشتق $((e)^(2x))$ بسیار نزدیکتر به $((e)^(x))$ است تا $((a) )^(x))$. بنابراین، شاید یک قانون خاص تری وجود داشته باشد که با دانستن ضد مشتق $((e)^(x))$، اجازه می دهد $((e)^(2x))$ را پیدا کنید؟ بله، چنین قانونی وجود دارد. و علاوه بر این، بخشی جدایی ناپذیر از کار با جدول ضد مشتقات است. اکنون با استفاده از همان عباراتی که به عنوان مثال با آنها کار کردیم، آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

قوانین کار با جدول ضد مشتقات

بیایید دوباره تابع خود را بنویسیم:

در مورد قبلی از فرمول زیر برای حل استفاده کردیم:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

اما اکنون اجازه دهید این کار را کمی متفاوت انجام دهیم: به یاد بیاوریم که بر چه مبنایی $((e)^(x))\ به ((e)^(x))$. همانطور که قبلاً گفتم، چون مشتق $((e)^(x))$ چیزی بیش از $((e)^(x))$ نیست، بنابراین ضد مشتق آن برابر با همان $((e) ^ خواهد بود. (x)) دلار. اما مشکل این است که ما $((e)^(2x))$ و $((e)^(-2x))$ داریم. حالا بیایید سعی کنیم مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \راست))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

بیایید دوباره ساختمان را بازنویسی کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac((((e)^(2x)))(2) \راست))^(\prime ))\]

این بدان معنی است که وقتی ما ضد مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا می کنیم، به شکل زیر می رسیم:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

همانطور که می بینید، ما همان نتیجه قبلی را گرفتیم، اما از فرمول برای پیدا کردن $((a)^(x))$ استفاده نکردیم. اکنون ممکن است احمقانه به نظر برسد: چرا وقتی یک فرمول استاندارد وجود دارد محاسبات را پیچیده کنیم؟ با این حال، در عبارات کمی پیچیده تر خواهید دید که این تکنیک بسیار موثر است، به عنوان مثال. استفاده از مشتقات برای یافتن ضد مشتقات.

به عنوان گرم کردن، بیایید ضد مشتق $((e)^(2x))$ را به روشی مشابه پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(-2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \راست)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \راست))^(\prime ))\]

هنگام محاسبه، ساخت ما به صورت زیر نوشته می شود:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

ما دقیقاً همان نتیجه را گرفتیم، اما مسیر دیگری را در پیش گرفتیم. این مسیر است که اکنون برای ما کمی پیچیده تر به نظر می رسد که در آینده برای محاسبه آنتی مشتق های پیچیده تر و استفاده از جداول موثرتر خواهد بود.

توجه داشته باشید! این یک نکته بسیار مهم است: ضد مشتقات، مانند مشتقات، به روش های مختلف قابل شمارش هستند. اما اگر همه محاسبات و محاسبات برابر باشند، پاسخ یکسان خواهد بود. ما به تازگی این را با مثال $((e)^(-2x))$ مشاهده کردیم - از یک طرف، ما این ضد مشتق را "راست از طریق" محاسبه کردیم، با استفاده از تعریف و محاسبه آن با استفاده از تبدیل، از سوی دیگر، ما به یاد آوردیم که $ ((e)^(-2x))$ را می توان به صورت $((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))$ نشان داد و فقط پس از آن استفاده کردیم ضد مشتق برای تابع $( (a)^(x))$. با این حال، پس از همه تحولات، نتیجه همان بود که انتظار می رفت.

و اکنون که همه اینها را فهمیدیم، وقت آن است که به چیز مهمتری برویم. اکنون ما دو ساختار ساده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، اما تکنیکی که هنگام حل آنها استفاده می شود، ابزار قدرتمندتر و مفیدتر از "اجرا کردن" بین پاد مشتق های همسایه از جدول است.

حل مسئله: پیدا کردن یک ضد عامل یک تابع

مثال شماره 1

بیایید مبلغی را که در شمارنده ها قرار دارد به سه بخش جداگانه تقسیم کنیم:

این یک انتقال نسبتاً طبیعی و قابل درک است - بیشتر دانش آموزان با آن مشکلی ندارند. بیایید عبارت خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

حالا بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:

در مورد ما موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:

برای خلاص شدن از شر این بخش های سه طبقه ، پیشنهاد می کنم موارد زیر را انجام دهید:

مثال شماره 2

بر خلاف کسر قبلی، مخرج یک حاصل ضرب نیست، بلکه یک جمع است. در این حالت، دیگر نمی‌توانیم کسر خود را به مجموع چند کسر ساده تقسیم کنیم، اما باید به نحوی تلاش کنیم که صورت‌گر تقریباً همان عبارت مخرج را داشته باشد. در این مورد، انجام آن بسیار ساده است:

این نماد، که در زبان ریاضی به آن "جمع یک صفر" می گویند، به ما امکان می دهد دوباره کسر را به دو قسمت تقسیم کنیم:

حالا بیایید آنچه را که دنبالش بودیم پیدا کنیم:

تمام محاسبات همین است. علیرغم پیچیدگی ظاهری بیشتر نسبت به مشکل قبلی، مقدار محاسبات حتی کمتر بود.

تفاوت های ظریف راه حل

و اینجاست که مشکل اصلی کار با ضد مشتقات جدولی نهفته است، این به ویژه در کار دوم قابل توجه است. واقعیت این است که برای انتخاب برخی از عناصر که به راحتی از طریق جدول محاسبه می شوند، باید بدانیم دقیقاً به دنبال چه چیزی هستیم و در جستجوی این عناصر است که کل محاسبه ضد مشتقات را تشکیل می دهد.

به عبارت دیگر، فقط به خاطر سپردن جدول ضد مشتقات کافی نیست - شما باید بتوانید چیزی را ببینید که هنوز وجود ندارد، اما منظور نویسنده و گردآورنده این مشکل چیست. به همین دلیل است که بسیاری از ریاضیدانان، معلمان و استادان دائماً استدلال می کنند: "مصرف ضد مشتقات یا ادغام چیست - آیا این فقط یک ابزار است یا یک هنر واقعی است؟" در واقع، به نظر شخصی من، یکپارچگی اصلاً یک هنر نیست - هیچ چیز عالی در آن وجود ندارد، فقط تمرین است و تمرین بیشتر. و برای تمرین، بیایید سه مثال جدی دیگر را حل کنیم.

ما در عمل یکپارچه سازی را آموزش می دهیم

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

بیایید موارد زیر را بنویسیم:

مشکل شماره 2

بیایید آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

کل ضد مشتق برابر خواهد بود با:

مشکل شماره 3

مشکل این کار این است که بر خلاف توابع قبلی در بالا، هیچ متغیر $x$ اصلا وجود ندارد، i.e. برای ما روشن نیست که چه چیزی را اضافه یا کم کنیم تا حداقل چیزی شبیه آنچه در زیر آمده است به دست آوریم. با این حال، در واقع، این عبارت حتی ساده تر از هر یک از عبارات قبلی در نظر گرفته می شود، زیرا این تابع را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

اکنون ممکن است بپرسید: چرا این توابع برابر هستند؟ بیایید بررسی کنیم:

بیایید دوباره آن را بنویسیم:

بیایید بیان خود را کمی تغییر دهیم:

و وقتی همه اینها را برای شاگردانم توضیح می‌دهم، تقریباً همیشه همین مشکل پیش می‌آید: با تابع اول همه چیز کم و بیش روشن است، با عملکرد دوم نیز می‌توانید با شانس یا تمرین آن را بفهمید، اما چه نوع آگاهی جایگزینی دارید. برای حل مثال سوم باید داشته باشید؟ در واقع، نترسید. تکنیکی که ما هنگام محاسبه آخرین ضد مشتق استفاده کردیم "تجزیه یک تابع به ساده ترین آن" نامیده می شود و این یک تکنیک بسیار جدی است و یک درس ویدیویی جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد.

در همین حال، من پیشنهاد می کنم به آنچه که اخیراً مطالعه کردیم، یعنی به توابع نمایی برگردیم و مشکلات محتوای آنها را تا حدودی پیچیده کنیم.

مسائل پیچیده تر برای حل توابع نمایی ضد مشتق

وظیفه شماره 1

به موارد زیر توجه کنیم:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \راست))^(x))=((10)^(x) )\]

برای یافتن ضد مشتق این عبارت، به سادگی از فرمول استاندارد - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ استفاده کنید.

در مورد ما، ضد مشتق به این صورت خواهد بود:

البته، در مقایسه با طرحی که به تازگی حل کرده ایم، این طرح ساده تر به نظر می رسد.

مشکل شماره 2

باز هم، به راحتی می توان فهمید که این تابع را می توان به راحتی به دو عبارت جداگانه تقسیم کرد - دو کسر جداگانه. بیایید بازنویسی کنیم:

باقی مانده است که ضد مشتق هر یک از این اصطلاحات را با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا پیدا کنیم:

با وجود پیچیدگی ظاهری بیشتر توابع نمایی در مقایسه با توابع توان، حجم کلی محاسبات و محاسبات بسیار ساده‌تر بود.

البته، برای دانش‌آموزان آگاه، آنچه که اخیراً مورد بحث قرار گرفتیم (مخصوصاً در پس زمینه آنچه قبلاً بحث کردیم) ممکن است عباراتی ابتدایی به نظر برسد. با این حال، هنگام انتخاب این دو مشکل برای درس ویدیویی امروز، هدفم این نبود که تکنیک پیچیده و پیچیده دیگری را به شما بگویم - تنها چیزی که می‌خواستم به شما نشان دهم این است که از استفاده از تکنیک‌های جبر استاندارد برای تبدیل توابع اصلی نترسید. .

استفاده از تکنیک "مخفی"

در پایان ، می خواهم به تکنیک جالب دیگری نگاه کنم ، که از یک طرف فراتر از آنچه امروز عمدتاً مورد بحث قرار گرفتیم است ، اما از طرف دیگر ، اولاً اصلاً پیچیده نیست ، یعنی. حتی دانش‌آموزان مبتدی نیز می‌توانند به آن تسلط پیدا کنند، و ثانیاً، اغلب در انواع آزمون‌ها و کارهای مستقل یافت می‌شود، یعنی. آگاهی از آن علاوه بر آگاهی از جدول آنتی مشتقات بسیار مفید خواهد بود.

وظیفه شماره 1

بدیهی است که ما چیزی بسیار شبیه به تابع قدرت داریم. در این صورت باید چکار کنیم؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم: $x-5$ تفاوت زیادی با $x$ ندارد - آنها فقط $-5$ را اضافه کردند. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

\ [((x)^(4)) \ to \ frac (((x)^(5))) (5) \]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \راست))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

بیایید سعی کنیم مشتق $((\left(x-5 \right))^(5))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((\left(x-5 \راست))^(5)) \راست))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست))^(4))\]

این دلالت می کنه که:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ راست))^(\prime ))\]

چنین مقداری در جدول وجود ندارد، بنابراین ما اکنون خودمان این فرمول را با استفاده از فرمول استاندارد ضد مشتق برای تابع توان استخراج کرده ایم. بیایید جواب را اینگونه بنویسیم:

مشکل شماره 2

بسیاری از دانش آموزانی که به راه حل اول نگاه می کنند ممکن است فکر کنند که همه چیز بسیار ساده است: فقط $x$ را در تابع power با یک عبارت خطی جایگزین کنید، و همه چیز در جای خود قرار می گیرد. متأسفانه همه چیز به این سادگی نیست و اکنون این را خواهیم دید.

با قیاس با عبارت اول، موارد زیر را می نویسیم:

\ [((x)^(9)) \ to \ frac (((x)^(10))) (10) \]

\[((\left((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9)) \ cdot ((\ چپ (4-3x \ راست))^(\ prime)) = \]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \راست))^(9)\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9))\]

با بازگشت به مشتق خود ، می توانیم بنویسیم:

\[((\left(((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \راست) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \راست))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \راست))^(10)))(-30) \راست))^(\prime ))\]

این بلافاصله به شرح زیر است:

تفاوت های ظریف راه حل

لطفاً توجه داشته باشید: اگر بار گذشته اساساً چیزی تغییر نکرد ، در حالت دوم به جای -10 دلار ، -30 دلار ظاهر شد. تفاوت بین $ -10 $ و -30 $ چیست؟ بدیهی است که با یک عامل -3 $ $. سوال: از کجا آمده است؟ اگر دقت کنید، می بینید که در نتیجه محاسبه مشتق یک تابع مختلط گرفته شده است - ضریبی که برابر با $x$ بود در ضد مشتق زیر ظاهر می شود. این یک قانون بسیار مهم است که من در ابتدا اصلاً قصد نداشتم در درس ویدیویی امروز درباره آن صحبت کنم، اما بدون آن ارائه ضد مشتقات جدولی ناقص خواهد بود.

پس بیایید دوباره این کار را انجام دهیم. اجازه دهید عملکرد اصلی قدرت ما وجود داشته باشد:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

حال به جای $x$، عبارت $kx+b$ را جایگزین می کنیم. آن وقت چه خواهد شد؟ ما باید موارد زیر را پیدا کنیم:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k)\]

بر چه اساسی این ادعا را داریم؟ بسیار ساده. بیایید مشتق ساختار نوشته شده در بالا را پیدا کنیم:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \راست))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k) \راست))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \راست))^ (n))\cdot k=((\چپ(kx+b \راست))^(n))\]

این همان عبارتی است که در ابتدا وجود داشت. بنابراین، این فرمول نیز صحیح است و می توان از آن برای تکمیل جدول ضد مشتقات استفاده کرد یا بهتر است به سادگی کل جدول را حفظ کرد.

نتیجه گیری از تکنیک "secret:"

هر دو تابعی که اکنون به آنها نگاه کردیم، در واقع می‌توانند با گسترش درجه‌ها به پاد مشتق‌های نشان‌داده‌شده در جدول تقلیل یابند، اما اگر بتوانیم کم و بیش به نحوی با درجه چهارم کنار بیاییم، آنگاه حتی درجه نهم را هم در نظر نمی‌گیرم. جرات کرد فاش کرد
اگر بخواهیم درجات را گسترش دهیم، در نهایت با حجمی از محاسبات مواجه می‌شویم که یک کار ساده، زمان زیادی را از ما می‌گیرد.
به همین دلیل است که چنین مسائلی که حاوی عبارات خطی هستند، نیازی به حل "سرسخت" ندارند. به محض اینکه با یک پاد مشتق روبرو شدید که فقط با وجود عبارت $kx+b$ در داخل آن با نمونه موجود در جدول متفاوت است، فوراً فرمول نوشته شده در بالا را به خاطر بسپارید، آن را با آنتی مشتق جدول خود جایگزین کنید، و همه چیز بسیار خوب خواهد شد. سریع تر و راحت تر

طبیعتاً به دلیل پیچیدگی و جدی بودن این تکنیک، بارها در درس‌های ویدیویی آینده به بررسی آن برمی‌گردیم، اما این همه برای امروز است. امیدوارم این درس واقعا به آن دسته از دانش‌آموزانی که می‌خواهند آنتی‌مشتق‌ها و ادغام را درک کنند، کمک کند.

خلاصه درس جبر و اصول تحلیل برای دانش آموزان پایه یازدهم موسسات آموزشی متوسطه

با موضوع: "قوانین یافتن ضد مشتقات"

هدف از درس:

آموزشی: قوانینی را برای یافتن ضد مشتقات با استفاده از مقادیر جدول آنها معرفی کنید و از آنها در هنگام حل مسائل استفاده کنید.

وظایف:

تعریف عملیات یکپارچه سازی را معرفی کنید.

دانش آموزان را با جدول ضد مشتقات آشنا کنید.

دانش آموزان را با قوانین ادغام معرفی کنید.

به دانش آموزان آموزش دهید که از جدول ضد مشتقات و قوانین ادغام هنگام حل مسائل استفاده کنند.

رشدی: به توسعه توانایی دانش آموزان برای تجزیه و تحلیل، مقایسه داده ها و نتیجه گیری کمک می کند.

آموزشی: شکل گیری مهارت ها در کار جمعی و مستقل را تقویت می کند، توانایی انجام دقیق و شایسته یادداشت های ریاضی را توسعه می دهد.

روش های تدریس: القاء کننده ، تولیدکننده ، مولد

tive

نوع درس: تسلط بر دانش جدید

الزامات ZUN:

دانش آموزان باید بدانند:

- تعریف عملیات یکپارچه سازی؛

جدول آنتی مشتقات;

دانش آموزان باید بتوانند:

هنگام حل مسائل، جدول ضد مشتقات را اعمال کنید.

حل مسائلی که در آنها یافتن ضد مشتقات ضروری است.

تجهیزات: کامپیوتر، صفحه نمایش، پروژکتور چند رسانه ای، ارائه.

ادبیات:

1. A.G. موردکوویچ و همکاران «جبر و آغاز تحلیل. کتاب مسئله برای کلاس های 10-11" M.: Mnemosyne، 2001.

2. ش.الف. علیموف "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل. کلاس 10-11. کتاب درسی" م.: آموزش و پرورش، 1383. - 384 ص.

3. روش ها و فن آوری تدریس ریاضی. M.: Bustard, 2005. – 416 p.

ساختار درس:

من. لحظه سازمانی (2 دقیقه)

II. به روز رسانی دانش (7 دقیقه)

III. یادگیری مطالب جدید (15 دقیقه)

VI. تقویت مطالب آموخته شده (17 دقیقه)

V. جمع بندی و D/Z (4 دقیقه)

در طول کلاس ها

من . زمان سازماندهی

سلام کردن به دانش آموزان، بررسی غیبت ها و آمادگی اتاق برای درس.

II . به روز رسانی دانش

نوشتن روی تخته (در دفترچه یادداشت)

تاریخ.

کار کلاسی

قوانینی برای یافتن آنتی مشتقات

معلم: موضوع درس امروز: "قوانین یافتن ضد مشتقات" (اسلاید 1). اما قبل از اینکه به مطالعه یک موضوع جدید بپردازیم، بیایید مطالبی را که پوشش دادیم به خاطر بسپاریم.

دو دانش آموز به هیئت مدیره فراخوانده می شوند ، به هر یک وظیفه فردی داده می شود (اگر دانش آموز کار را بدون خطا انجام دهد ، وی علامت "5" را دریافت می کند).

کارت های وظیفه

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

f ( ایکس )=3 ایکس 2 +4 ایکس –1 در نقطه ایکس =3.

№ 2

2) مقدار مشتق تابع را بیابیدf ( ایکس )=5 ایکس 2 +5 ایکس – 5 در نقطه ایکس =1.

راه حل

کارت شماره 1

1) بازه های تابع افزایش و کاهش را بیابیدy = 6x – 2x 3 .

; پس حتماً اینطور باشد. ایکس 1 و ایکس 2 نقاط ثابت؛

2. نقاط ثابت خط مختصات را به سه بازه تقسیم می کنند. در بازه هایی که مشتق تابع مثبت است، خود تابع افزایش می یابد و در جایی که منفی است کاهش می یابد.

- + -

در -1 1

از این رو دردر کاهش می یابد ایکس (- ;-1) (1; ) و با افزایش می یابدایکس (-1;1).

2) f ( ایکس )=3 ایکس 2 +4 ایکس –1 ; ; .

کارت شماره 2

1) نقاط انتهایی تابع را پیدا کنید .

1. بیایید نقاط ثابت پیدا کنیم ، برای این کار مشتق این عملکرد را پیدا خواهیم کرد ، سپس آن را با صفر برابر خواهیم کرد و معادله حاصل را حل خواهیم کرد که ریشه های آن نقاط ثابت خواهد بود.

; اجازه دهید، پس، بنابراین، و .

2. نقاط ثابت خط مختصات را به چهار بازه تقسیم می کنند. آن نقاطی که مشتق تابع از طریق آنها علامت تغییر می دهد، نقاط منتهی هستند.

+ - - +

در -3 0 3

به معنای - نقاط افراطی، و حداکثر نقطه است، و - حداقل امتیاز

2) f ( ایکس )=5 ایکس 2 +5 ایکس – 5; ; .

در حالی که دانش آموزانی که به تخته فراخوانده می شوند نمونه هایی را حل می کنند، از بقیه کلاس سؤالات نظری پرسیده می شود. در طول فرآیند سؤال، معلم نظارت می کند که آیا دانش آموزان تکلیف را انجام داده اند یا خیر.

معلم: پس بیایید به چند سوال پاسخ دهیم. بیایید به یاد بیاوریم که به چه تابعی آنتی مشتق می گویند؟ (اسلاید 2)

دانشجو: تابع اف ( ایکس ) پاد مشتق تابع نامیده می شودf ( ایکس ) در یک فاصله زمانی، اگر برای همهایکس از این شکاف .

(اسلاید 2).

معلم: درست. فرآیند یافتن مشتق تابع چیست؟ (اسلاید 3)

دانشجو: تفکیک.

پس از پاسخ دانش آموز، پاسخ صحیح در اسلاید تکرار می شود (اسلاید 3).

معلم: نحوه نشان دادن آن یک تابعاف ( ایکس ) ضد مشتق تابع استf ( ایکس ) ? (اسلاید 4).

دانشجو: مشتق یک تابع را پیدا کنیداف ( ایکس ) .

پس از پاسخ دانش آموز، پاسخ صحیح در اسلاید تکرار می شود (اسلاید 4).

معلم: خوب. سپس به من بگو که آیا تابع استاف ( ایکس )=3 ایکس 2 +11 ایکس ضد مشتق تابعf ( ایکس )=6x+10? (اسلاید 5)

دانشجو: نه، زیرا مشتق از یک تابعاف ( ایکس )=3 ایکس 2 +11 ایکس مساوی با 6x+11، اما نه 6x+10 .

پس از پاسخ دانش آموز، پاسخ صحیح در اسلاید تکرار می شود (اسلاید 5).

معلم: چند ضد مشتق برای یک تابع خاص می توان یافت؟f ( ایکس ) ? پاسخت رو توجیه کن. (اسلاید 6)

دانشجو: بی نهایت زیاد، زیرا ما همیشه یک ثابت به تابع حاصل اضافه می کنیم که می تواند هر عدد واقعی باشد.

پس از پاسخ دانش آموز، پاسخ صحیح در اسلاید تکرار می شود (اسلاید 6).

معلم: درست. حالا بیایید راه حل های دانش آموزانی که در هیئت مدیره کار می کنند را با هم بررسی کنیم.

دانش آموزان با معلم راه حل را بررسی می کنند.

III . یادگیری مطالب جدید

معلم: عمل معکوس یافتن پاد مشتق برای یک تابع معین، یکپارچه سازی (از کلمه لاتینintegrare - بازگرداندن). جدولی از ضد مشتقات برای برخی توابع را می توان با استفاده از جدول مشتقات گردآوری کرد. مثلاً دانستن آن، ما گرفتیم ، که از آن نتیجه می شود که همه توابع ضد مشتق در فرم نوشته شده اند، جایی که سی - ثابت دلخواه

نوشتن روی تخته (در دفترچه یادداشت)

ما گرفتیم،

از این رو نتیجه می شود که همه توابع ضد مشتق در فرم نوشته شده اند، جایی که سی - ثابت دلخواه

معلم: کتابهای درسی خود را به صفحه 290 باز کنید. در اینجا جدولی از آنتی مشتقات وجود دارد. در اسلاید نیز ارائه شده است. (اسلاید 7)

معلم: قوانین ادغام را می توان با استفاده از قوانین تمایز به دست آورد. قوانین ادغام زیر را در نظر بگیرید: letاف ( ایکس ) و جی ( ایکس ) - به ترتیب ضد مشتقات توابعf ( ایکس ) و g ( ایکس ) در یک فاصله زمانی سپس:

1) عملکرد؛

2) عملکرد ضد مشتق تابع است. (اسلاید 8)

نوشتن روی تخته (در دفترچه یادداشت)

1) عملکرد ضد مشتق تابع است ;

2) عملکرد ضد مشتق تابع است .

VI . تقویت مطالب آموخته شده

معلم: بیایید به قسمت عملی درس برویم. یکی از پاد مشتق های تابع را پیدا کنیدما در هیئت مدیره تصمیم می گیریم.

دانشجو: برای یافتن پاد مشتق این تابع، باید از قانون ادغام استفاده کنید: تابع ضد مشتق تابع است .

معلم: درست است، برای یافتن ضد مشتق یک تابع معین چه چیز دیگری باید بدانید؟

دانشجو: همچنین از جدول ضد مشتقات برای توابع استفاده خواهیم کرد، در پ =2 و برای تابع است.

2) عملکرد ضد مشتق تابع است .

معلم: همه چیز درست است.

مشق شب

§55، شماره 988 (2، 4، 6)، شماره 989 (2، 4، 6، 8)، شماره 990 (2، 4، 6)، شماره 991 (2، 4، 6، 8) . (اسلاید 9)

علامت گذاری.

معلم: درس تمام شد. شما می توانید آزاد باشید.

این درس اولین درس از سری ویدیوهای یکپارچه سازی است. در آن ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که ضد مشتق یک تابع چیست و همچنین روش های ابتدایی محاسبه این ضد مشتقات را مطالعه خواهیم کرد.

در حقیقت ، هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد: اساساً همه اینها به مفهوم مشتق می رسد ، که باید از قبل با آن آشنا باشید. :)

من بلافاصله توجه خواهم کرد که از آنجا که این اولین درس در موضوع جدید ما است ، امروز هیچ محاسبه و فرمول پیچیده ای وجود نخواهد داشت ، اما آنچه امروز ما یاد خواهیم گرفت ، مبنای محاسبات و ساخت و سازهای بسیار پیچیده تر هنگام محاسبه انتگرال ها و مناطق پیچیده را تشکیل می دهد. .

علاوه بر این ، هنگام شروع مطالعه به طور خاص ، به طور ضمنی فرض می کنیم که دانش آموز در حال حاضر حداقل با مفاهیم مشتقات آشنا است و حداقل مهارت های اساسی در محاسبه آنها دارد. بدون درک روشنی از این، مطلقاً هیچ کاری برای ادغام وجود ندارد.

با این حال، یکی از رایج ترین و موذی ترین مشکلات در اینجا نهفته است. واقعیت این است که بسیاری از دانش‌آموزان هنگام شروع محاسبه اولین پاد مشتق‌ها، آنها را با مشتقات اشتباه می‌گیرند. در نتیجه اشتباهات احمقانه و توهین آمیز در هنگام امتحانات و کار مستقل انجام می شود.

بنابراین، اکنون تعریف روشنی از ضد مشتق ارائه نمی کنم. در عوض، من به شما پیشنهاد می کنم با استفاده از یک مثال عینی ساده، نحوه محاسبه آن را ببینید.

آنتی مشتق چیست و چگونه محاسبه می شود؟

ما این فرمول را می دانیم:

\[((\left(((x)^(n)) \راست))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

این مشتق به سادگی محاسبه می شود:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \راست))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

بیایید به دقت به عبارت حاصل نگاه کنیم و $((x)^(2))$ را بیان کنیم:

\[((x)^(2))=\frac(((\چپ(((x)^(3)) \راست))^(\prime )))(3)\]

اما با توجه به تعریف مشتق می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \راست))^(\prime ))\]

و اکنون توجه کنید: آنچه که ما نوشتیم، تعریف ضد مشتق است. اما برای درست نوشتن باید موارد زیر را بنویسید:

بیایید عبارت زیر را به همین ترتیب بنویسیم:

اگر این قانون را تعمیم دهیم، می توانیم فرمول زیر را استخراج کنیم:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

اکنون می‌توانیم تعریف روشنی ارائه کنیم.

پاد مشتق تابع تابعی است که مشتق آن برابر تابع اصلی باشد.

سوالاتی در مورد تابع ضد مشتق

به نظر می رسد تعریف نسبتاً ساده و قابل درک باشد. با این حال، پس از شنیدن آن، دانش آموز توجه بلافاصله چندین سوال خواهد داشت:

بیایید بگوییم، خوب، این فرمول درست است. با این حال، در این مورد، با $n=1$، مشکلاتی داریم: "صفر" در مخرج ظاهر می شود و نمی توانیم بر "صفر" تقسیم کنیم.
فرمول فقط به درجه محدود می شود. نحوه محاسبه ضد مشتق، به عنوان مثال، سینوس، کسینوس و هر مثلثات دیگر، و همچنین ثابت.
سوال وجودی: آیا همیشه می توان یک ضد مشتق پیدا کرد؟ اگر بله، پس در مورد ضد مشتق جمع، تفاوت، محصول و غیره چطور؟

من بلافاصله به سوال آخر پاسخ خواهم داد. متأسفانه، ضد مشتق، بر خلاف مشتق، همیشه در نظر گرفته نمی شود. هیچ فرمول جهانی وجود ندارد که به موجب آن از هر ساخت اولیه تابعی برابر با این ساختار مشابه بدست آوریم. در مورد توان ها و ثابت ها، اکنون در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

حل مسائل با توابع قدرت

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

همانطور که می بینید، این فرمول برای $((x)^(-1))$ کار نمی کند. این سوال مطرح می شود: پس چه چیزی کار می کند؟ آیا نمی توانیم $((x)^(-1))$ را بشماریم؟ البته که میتونیم. بیایید ابتدا این را به خاطر بسپاریم:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

حالا بیایید فکر کنیم: مشتق کدام تابع برابر با $\frac(1)(x)$ است. بدیهی است ، هر دانشجویی که حداقل این موضوع را مطالعه کرده است ، به یاد خواهد آورد که این عبارت برابر با مشتق لگاریتم طبیعی است:

\[((\چپ(\ln x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

بنابراین، می توانیم با اطمینان موارد زیر را بنویسیم:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

شما باید این فرمول را درست مانند مشتق تابع توان بدانید.

بنابراین آنچه تاکنون می دانیم:

برای تابع توان - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
برای یک ثابت - $=const\to \cdot x$
یک مورد خاص از یک تابع توان $\frac(1)(x)\to \ln x$ است

و اگر شروع به ضرب و تقسیم ساده ترین توابع کنیم، چگونه می توانیم ضد مشتق یک محصول یا ضریب را محاسبه کنیم. متأسفانه، قیاس با مشتق یک محصول یا ضریب در اینجا کار نمی کند. هیچ فرمول استانداردی وجود ندارد. برای برخی موارد، فرمول های ویژه ای وجود دارد - ما در درس های ویدیویی آینده با آنها آشنا خواهیم شد.

با این حال، به یاد داشته باشید: هیچ فرمول کلی مشابه فرمول برای محاسبه مشتق یک ضریب و یک محصول وجود ندارد.

حل مشکلات واقعی

وظیفه شماره 1

بیایید هر یک از توابع توان را جداگانه محاسبه کنیم:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

با بازگشت به بیان خود، ساختار کلی را می نویسیم:

مشکل شماره 2

همانطور که قبلاً گفتم، نمونه های اولیه آثار و جزئیات "تا نقطه" در نظر گرفته نمی شوند. با این حال، در اینجا می توانید کارهای زیر را انجام دهید:

کسر را به مجموع دو کسر تقسیم کردیم.

بیایید حساب کنیم:

خبر خوب این است که با دانستن فرمول های محاسبه ضد مشتقات، می توانید ساختارهای پیچیده تری را محاسبه کنید. با این حال، بیایید بیشتر پیش برویم و دانش خود را کمی بیشتر گسترش دهیم. واقعیت این است که بسیاری از سازه ها و عبارات ، که در نگاه اول هیچ ارتباطی با $ ((x)^(n)) $ ندارند ، می توانند به عنوان یک قدرت با یک نماینده منطقی ، یعنی:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

همه این تکنیک ها می توانند و باید با هم ترکیب شوند. عبارات قدرت می تواند باشد

ضرب (افزودن درجات)؛
تقسیم (درجات کم می شوند)؛
ضرب در یک ثابت؛
و غیره.

حل عبارات قدرت با توان گویا

مثال شماره 1

بیایید هر ریشه را جداگانه محاسبه کنیم:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

در کل، کل ساخت و ساز ما را می توان به صورت زیر نوشت:

مثال شماره 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \راست))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \راست))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

بنابراین دریافت می کنیم:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

در کل، با جمع آوری همه چیز در یک عبارت، می توانیم بنویسیم:

مثال شماره 3

برای شروع، توجه می کنیم که قبلاً $\sqrt(x)$ را محاسبه کرده ایم:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4)))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\به \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

بیایید بازنویسی کنیم:

من امیدوارم که اگر بگویم آنچه که ما به تازگی مطالعه کرده ایم ، فقط ساده ترین محاسبات آنتی بادی ها ، ابتدایی ترین سازه ها است. حال بیایید به نمونه های کمی پیچیده تر نگاه کنیم ، که در آن ، علاوه بر آنتی بادی های جدولی ، باید برنامه درسی مدرسه را نیز به خاطر بسپارید ، یعنی فرمول های ضرب به اختصار.

حل مثال های پیچیده تر

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول اختلاف مجذور را به یاد بیاوریم:

\[((\left(a-b \راست))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

بیایید تابع خود را بازنویسی کنیم:

اکنون باید نمونه اولیه چنین تابعی را پیدا کنیم:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3)))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]

بیایید همه چیز را با هم در یک طرح مشترک قرار دهیم:

مشکل شماره 2

در این مورد، ما باید مکعب اختلاف را گسترش دهیم. به یاد داشته باشیم:

\[((\left(a-b \راست))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ب)^(3))\]

با در نظر گرفتن این واقعیت، می توانیم آن را اینگونه بنویسیم:

بیایید تابع خود را کمی تغییر دهیم:

ما مثل همیشه حساب می کنیم - برای هر ترم به طور جداگانه:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\به \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\به \ln x\]

اجازه دهید ساختار حاصل را بنویسیم:

مشکل شماره 3

در بالا مربع مجموع را داریم، بیایید آن را گسترش دهیم:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \راست))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\چپ(\sqrt(x) \راست))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]

بیایید راه حل نهایی را بنویسیم:

حالا توجه! یک چیز بسیار مهم که با سهم شیر از اشتباهات و سوء تفاهم همراه است. واقعیت این است که تا کنون با شمردن ضد مشتق ها به کمک مشتق و آوردن تبدیل، به این فکر نمی کردیم که مشتق یک ثابت با چه چیزی برابر است. اما مشتق یک ثابت برابر با "صفر" است. یعنی می توانید گزینه های زیر را بنویسید:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

درک این موضوع بسیار مهم است: اگر مشتق یک تابع همیشه یکسان باشد، همان تابع دارای تعداد بی نهایت پاد مشتق است. ما به سادگی می توانیم هر عدد ثابتی را به پاد مشتق های خود اضافه کنیم و اعداد جدیدی دریافت کنیم.

تصادفی نیست که در توضیح مشکلاتی که به تازگی حل کردیم، نوشته شده بود «شکل کلی ضد مشتقات را بنویسید». آن ها قبلاً فرض بر این است که یکی از آنها وجود ندارد، بلکه تعداد زیادی وجود دارد. اما، در واقع، آنها تنها در ثابت $C$ در پایان متفاوت هستند. بنابراین، در وظایف خود آنچه را که کامل نکرده ایم اصلاح خواهیم کرد.

یک بار دیگر ساختارهای خود را بازنویسی می کنیم:

در چنین مواردی، باید اضافه کنید که $C$ یک ثابت است - $C=const$.

در تابع دوم ما ساختار زیر را دریافت می کنیم:

و آخرین مورد:

و اکنون ما واقعاً آنچه را که در شرایط اولیه مشکل از ما خواسته بود، دریافت کردیم.

حل مسائل یافتن ضد مشتقات با یک نقطه داده شده

اکنون که در مورد ثابت ها و ویژگی های نوشتن پاد مشتق ها می دانیم، کاملاً منطقی است که نوع بعدی مسئله زمانی ایجاد می شود که از مجموعه همه پاد مشتق ها، لازم است یکی و تنها موردی را که از یک نقطه معین عبور می کند پیدا کنیم. . این تکلیف چیست؟

واقعیت این است که همه پاد مشتق‌های یک تابع معین فقط از این جهت متفاوت هستند که با یک عدد معین به صورت عمودی جابه‌جا می‌شوند. و این بدان معنی است که مهم نیست در چه نقطه ای از صفحه مختصات انتخاب می کنیم، یک پاد مشتق قطعا عبور می کند، و علاوه بر این، فقط یک.

بنابراین ، مشکلاتی که اکنون حل خواهیم کرد به شرح زیر تدوین شده است: نه فقط آنتی بادی را پیدا کنید ، با دانستن فرمول عملکرد اصلی ، بلکه دقیقاً موردی را انتخاب کنید که از نقطه معین عبور می کند ، مختصات آن در مشکل ارائه می شود بیانیه.

مثال شماره 1

اول، بیایید به سادگی هر عبارت را بشماریم:

\ [((x)^(4)) \ to \ frac (((x)^(5))) (5) \]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

اکنون این عبارات را در ساخت خود جایگزین می کنیم:

این تابع باید از نقطه $M\left(-1;4 \right)$ عبور کند. عبور از نقطه ای به چه معناست؟ این بدان معنی است که اگر به جای $ x $ ، ما -1 $ $ را در همه جا قرار دهیم ، و به جای $ f \ سمت چپ (x \ راست) $-$ -4 $ ، پس باید برابری عددی صحیح را بدست آوریم. بیا انجامش بدیم:

می بینیم که معادله ای برای $C$ داریم، پس بیایید سعی کنیم آن را حل کنیم:

بیایید همان راه حلی را که به دنبال آن بودیم بنویسیم:

مثال شماره 2

اول از همه، لازم است مربع تفاوت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری آشکار کنیم:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ساختار اصلی به صورت زیر نوشته می شود:

حالا بیایید $C$ را پیدا کنیم: مختصات نقطه $M$ را جایگزین کنیم:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

ما $C$ را بیان می کنیم:

برای نمایش عبارت نهایی باقی می ماند:

حل مسائل مثلثاتی

به عنوان آخرین تماس با آنچه که اخیراً بحث کردیم، پیشنهاد می‌کنم دو مسئله پیچیده‌تر را که شامل مثلثات هستند، در نظر بگیریم. در آنها ، به همان روش ، شما باید برای همه کارکردها ضد دارویی پیدا کنید ، سپس از این مجموعه تنها موردی را انتخاب کنید که از نقطه $ m $ در هواپیمای مختصات عبور می کند.

با نگاهی به آینده ، می خواهم توجه داشته باشم که تکنیکی که اکنون برای یافتن آنتی بادی از عملکردهای مثلثاتی استفاده خواهیم کرد ، در واقع یک تکنیک جهانی برای خودآزمایی است.

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول زیر را به خاطر بسپاریم:

\[((\left(\text(tg)x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

بر این اساس می توانیم بنویسیم:

بیایید مختصات نقطه $M$ را در عبارت خود جایگزین کنیم:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

بیایید عبارت را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی کنیم:

مشکل شماره 2

این کمی دشوارتر خواهد بود. حالا خواهید دید که چرا.

بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:

\[((\left(\text(ctg)x \راست))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

برای خلاص شدن از شر "منفی"، باید موارد زیر را انجام دهید:

\[((\left(-\text(ctg)x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

طراحی ما اینجاست

بیایید مختصات نقطه $M$ را جایگزین کنیم:

در مجموع، ساخت نهایی را می نویسیم:

این تمام چیزی است که امروز می خواستم به شما بگویم. ما اصطلاح ضد مشتقات، نحوه محاسبه آنها را از توابع ابتدایی، و همچنین چگونگی پیدا کردن یک پاد مشتق که از یک نقطه خاص در صفحه مختصات عبور می کند، مطالعه کردیم.

امیدوارم این درس حداقل به شما در درک این موضوع پیچیده کمک کند. در هر صورت، بر روی پاد مشتق ها است که انتگرال های نامعین و نامعین ساخته می شوند، بنابراین محاسبه آنها کاملاً ضروری است. این همه برای من است. دوباره می بینمت!

شاید خواندن آن مفید باشد: