მოქმედებები მატრიცებით. მატრიცები

მატრიცის რიგები აფორმა ხაზის სივრცე R(A T).

მატრიცის სვეტები აფორმა სვეტის სივრცემატრიცები და აღინიშნება R(A).

მატრიცის ბირთვი ან ნულოვანი სივრცე

განტოლების ყველა ამონახსნის სიმრავლე Ax=0, სად Ვარ x ნ- მატრიცა, x- სიგრძის ვექტორი ნ- ფორმები null სივრცეან ბირთვიმატრიცები ადა აღინიშნება Ker(A)ან N(A).

საპირისპირო მატრიცა

ნებისმიერი მატრიცისთვის აარსებობს საპირისპირო მატრიცა -აისეთივე როგორც A+(-A)=0.ცხადია, როგორც მატრიცა -ათქვენ უნდა აიღოთ მატრიცა (-1)A, რომლის ელემენტები განსხვავდება ელემენტებისაგან ანაცნობი.

დახრილ-სიმეტრიული (დახრილ-სიმეტრიული) მატრიცა

კვადრატულ მატრიქსს ეწოდება skew-symmetric, თუ იგი განსხვავდება მისი გადაცემული მატრიქსიდან −1 ფაქტორით:

დახრილ-სიმეტრიულ მატრიცაში ნებისმიერი ორი ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში სიმეტრიულად, განსხვავდება ერთმანეთისგან −1-ის კოეფიციენტით, ხოლო დიაგონალური ელემენტები ნულის ტოლია.

დახრილ-სიმეტრიული მატრიცის მაგალითი:

მატრიცის განსხვავება

განსხვავებით Cორი მატრიცა ადა ბიგივე ზომის განისაზღვრება თანასწორობა

ორ მატრიცას შორის განსხვავების აღსანიშნავად, გამოიყენება შემდეგი ნოტაცია:

მატრიცის ხარისხი

მოდით კვადრატული მატრიცა ზომის n×n.შემდეგ მატრიქსის ხარისხი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

სადაც E არის პირადობის მატრიცა.

გამრავლების ასოციაციური საკუთრებიდან გამომდინარეობს:

სად p,q- თვითნებური არაუარყოფითი მთელი რიცხვები.

სიმეტრიული (სიმეტრიული) მატრიცა

მატრიცა, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას A=A Tეწოდება სიმეტრიული მატრიცა.

სიმეტრიული მატრიცებისთვის ტოლობა მოქმედებს:

a ij =a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

ხაზოვანი ალგებრა

მატრიცები

მატრიცაზომა M x n არის მართკუთხა მაგიდა, რომელიც შეიცავს M მწკრივებს და N სვეტებს. რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან მატრიცას, ეწოდება მატრიცის ელემენტები.

მატრიცები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით, ხოლო ელემენტები იგივე, მაგრამ მცირე ასოებით ორმაგი ინდექსირებით.

მაგალითად, განიხილეთ 2 x 3 მატრიცა A:

ამ მატრიქსს აქვს ორი მწკრივი (M = 2) და სამი სვეტი (n = 3), ე.ი. იგი შედგება ექვსი ელემენტისგან a ij, სადაც i არის მწკრივის ნომერი, j არის სვეტის ნომერი. ამ შემთხვევაში, იგი იღებს მნიშვნელობებს 1 -დან 2 -მდე, ხოლო ერთიდან სამამდე (დაწერილი). კერძოდ, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a21 = 0; a22 = 1.5; a 23 = 5.

ერთნაირი ზომის A და B მატრიცები (m x n) ეწოდება თანაბარი, თუ ისინი ემთხვევა ელემენტს ელემენტს, ე.ი. a ij = b ij for , ე.ი. ნებისმიერი i და j-სთვის (შეგიძლიათ დაწეროთ "i, j").

მატრიცა-სტრიქონიარის მატრიცა, რომელიც შედგება ერთი მწკრივისაგან და მატრიცა-სვეტიარის მატრიცა, რომელიც შედგება ერთი სვეტისგან.

Მაგალითად, არის მწკრივის მატრიცა და.

კვადრატული მატრიცა n-ე რიგი არის მატრიცა, მწკრივების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას და უდრის n-ს.

მაგალითად, მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა.

დიაგონალიმატრიცის ელემენტები არის ელემენტები, რომელთა მწკრივის ნომერი უდრის სვეტის რიცხვს (a ij, i = j). ეს ელემენტები ყალიბდება მთავარი დიაგონალიმატრიცები. წინა მაგალითში, მთავარი დიაგონალი იქმნება ელემენტებით a 11 = 3 და a 22 = 5.

დიაგონალური მატრიცაარის კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ყველა არადიაგონალური ელემენტი ნულის ტოლია. Მაგალითად, - მესამე რიგის დიაგონალური მატრიცა. თუ ყველა დიაგონალური ელემენტი ერთის ტოლია, მაშინ მატრიცა ეწოდება მარტოხელა(ჩვეულებრივ აღნიშნავს ასო E). Მაგალითად, არის მესამე რიგის იდენტურობის მატრიცა.

მატრიცა ეწოდება null, თუ მისი ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.

კვადრატული მატრიცა ეწოდება სამკუთხა, თუ მისი ყველა ელემენტი მთავარი დიაგონალის ქვემოთ (ან ზემოთ) ნულის ტოლია. Მაგალითად, - მესამე რიგის სამკუთხა მატრიცა.

ოპერაციები მატრიცებზე

მატრიცებზე შეიძლება შესრულდეს შემდეგი ოპერაციები:

1. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე. A მატრიცისა და l რიცხვის ნამრავლი არის მატრიცა B = lA, რომლის ელემენტები b ij = la ij ნებისმიერი i და j.

მაგალითად, თუ, მაშინ .

2. მატრიცის დამატება. A და B ერთი და იგივე ზომის ორი მატრიცის ჯამი m x n არის მატრიცა C = A + B, რომლის ელემენტებია ij = a ij + b ij "i, j".

მაგალითად, თუ რომ

.

გაითვალისწინეთ, რომ წინა ოპერაციების საშუალებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ მატრიცის გამოკლებაიგივე ზომის: განსხვავება A-B = A + (-1)*B.

3. მატრიცული გამრავლება. M x n ზომის A მატრიცის ნამრავლი n x p ზომის B მატრიცით არის C მატრიცა, რომლის თითოეული ელემენტი ij-ით უდრის A მატრიცის i-ე რიგის ელემენტების ნამრავლების ჯამს შესაბამისი ელემენტებით. მატრიქსის B- ის სვეტი, ე.ი. .

მაგალითად, თუ

, მაშინ პროდუქტის მატრიცის ზომა იქნება 2 x 3 და ასე გამოიყურება:

ამ შემთხვევაში, მატრიცა A შეესაბამება B მატრიცას.

კვადრატული მატრიცების გამრავლების მოქმედების საფუძველზე განისაზღვრება ოპერაცია ექსპონენტაცია. A კვადრატული მატრიცის დადებითი მთელი რიცხვი A m (m > 1) არის A-ს ტოლი m მატრიცების ნამრავლი, ე.ი.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ იმას, რომ მატრიცების შეკრება (გამოკლება) და გამრავლება არ არის განსაზღვრული რომელიმე ორი მატრიცისთვის, არამედ მხოლოდ მათთვის, ვინც აკმაყოფილებს გარკვეულ მოთხოვნებს მათი განზომილებისთვის. მატრიცების ჯამის ან სხვაობის დასადგენად, მათი ზომა უნდა იყოს იგივე. მატრიცების ნამრავლის საპოვნელად, მათგან პირველის სვეტების რაოდენობა უნდა ემთხვეოდეს მეორის მწკრივების რაოდენობას (ასეთ მატრიცებს ე.წ. შეთანხმებული).

განვიხილოთ განხილული ოპერაციების ზოგიერთი თვისება, რიცხვებზე მოქმედებების თვისებების მსგავსი.

1) მიმატების კომუტაციური (კომუტაციური) კანონი:

A + B = B + A

2) დამატების ასოციაციური (კომბინატიური) კანონი:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) გამრავლების გამანაწილებელი (გამანაწილებელი) კანონი შეკრების მიმართ:

l(A + B) = lA + lB

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) გამრავლების ასოციაციური (კომბინატიური) კანონი:

l(AB) = (lA)B = A(lB)

A(BC) = (AB)C

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ მატრიცებისთვის გამრავლების კომუტაციური კანონი არ არის დაკმაყოფილებული ზოგად შემთხვევაში, ე.ი. AB¹BA. უფრო მეტიც, AB-ს არსებობა სულაც არ ნიშნავს BA-ს არსებობას (მატრიცები შეიძლება არ იყოს თანმიმდევრული და მაშინ მათი ნამრავლი საერთოდ არ არის განსაზღვრული, როგორც მატრიცის გამრავლების ზემოთ მოცემულ მაგალითში). მაგრამ მაშინაც კი, თუ ორივე ნამუშევარი არსებობს, ისინი ჩვეულებრივ განსხვავდებიან.

კონკრეტულ შემთხვევაში, ნებისმიერი კვადრატული მატრიცის A და იგივე რიგის იდენტურობის მატრიცის ნამრავლს აქვს კომუტაციური კანონი და ეს ნამრავლი უდრის A-ს (იდენტურობის მატრიცით გამრავლება აქ ჰგავს ერთზე გამრავლებას რიცხვების გამრავლებისას):

AE = EA = A

Ნამდვილად,

მოდით ხაზგასმით აღვნიშნოთ კიდევ ერთი განსხვავება მატრიცის გამრავლებასა და რიცხვის გამრავლებას შორის. რიცხვთა ნამრავლი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათგან ერთი მაინც უდრის ნულს. ეს არ შეიძლება ითქვას მატრიცებზე, ე.ი. ნულოვანი მატრიცების ნამრავლი შეიძლება ტოლი იყოს ნულოვანი მატრიცის. Მაგალითად,

მოდით გავაგრძელოთ მატრიცებზე მოქმედებების განხილვა.

4. მატრიცის ტრანსპოზირებაწარმოადგენს A მატრიციდან m x n ზომის მატრიციდან n x m ზომით A T მატრიცაზე გადასვლის ოპერაციას, რომელშიც რიგები და სვეტები იცვლება:

%.

ტრანსპოზის ოპერაციის თვისებები:

1) განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მატრიცა ორჯერ არის ტრანსპონირებული, ჩვენ ვუბრუნდებით თავდაპირველ მატრიცას: (A T) T = A.

2) მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ტრანსპოზიციის ნიშნიდან: (lA) T = lA T .

3) ტრანსპოზა არის გამანაწილებელი მატრიცის გამრავლებისა და შეკრების მიმართ: (AB) T = B T A T და (A + B) T = B T + A T .

მატრიცის დეტერმინანტები

თითოეული კვადრატული მატრიცისთვის A შემოტანილია რიცხვი |A|, რომელიც ე.წ განმსაზღვრელი. ზოგჯერ იგი ასევე აღინიშნება ასო D.

ეს კონცეფცია მნიშვნელოვანია მთელი რიგი პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად. მოდით განვსაზღვროთ ის გაანგარიშების მეთოდით.

პირველი რიგის A მატრიცისთვის მისი განმსაზღვრელი არის მისი ერთადერთი ელემენტი |A| = D 1 = a 11 .

მეორე რიგის A მატრიცისთვის მისი განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით |A| = D 2 = a 11 * a 22 - a 21 * a 12

მესამე რიგის მატრიცისთვის A, მისი განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

იგი წარმოადგენს ალგებრულ ჯამს, რომელიც შედგება 6 ტერმინისგან, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ზუსტად ერთ ელემენტს თითოეული მწკრივიდან და მატრიცის თითოეული სვეტიდან. განმსაზღვრელი ფორმულის დასამახსოვრებლად, ჩვეულებრივ გამოიყენება ეგრეთ წოდებული სამკუთხედის წესი ან სარრუსის წესი (სურათი 6.1).

სურათზე 6.1, დიაგრამა მარცხნივ გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა აირჩიოთ ელემენტები პლუსის ნიშნის მქონე ტერმინებისთვის - ისინი განლაგებულია ტოლფერდა სამკუთხედების მთავარ დიაგონალზე და წვეროებზე, რომელთა ფუძეები პარალელურია მის მიმართ. მარცხნივ დიაგრამა გამოიყენება მინუს ნიშნის მქონე ტერმინებისთვის; მასზე მთავარი დიაგონალის ნაცვლად აღებულია გვერდითი დიაგონალი ე.წ.

უმაღლესი ორდერების განმსაზღვრელი გამოითვლება რეკურენტულად, ე.ი. მეოთხე რიგის განმსაზღვრელი მესამე რიგის დეტერმინანტის მეშვეობით, მეხუთე რიგის განმსაზღვრელი მეოთხე რიგის განმსაზღვრელი და ა.შ. ამ მეთოდის აღწერისთვის აუცილებელია მატრიცის ელემენტის მცირე და ალგებრული დანამატის ცნებების შემოღება (ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ თავად მეთოდი, რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული, ასევე შესაფერისია მესამე და მეორე რიგის განმსაზღვრელებისთვის).

მცირეწლოვანი n-ე რიგის მატრიცის a ij ელემენტის M ij ეწოდება (n-1)-ე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელს, რომელიც მიღებულია A მატრიციდან i-ე რიგისა და j-ე სვეტის წაშლით.

n-ე რიგის ყველა მატრიცას აქვს (n-1) რიგის n 2 მინორი.

ალგებრული დანამატიელემენტის ij-ს და n-ე რიგის მატრიცის ij-ს ეწოდება მისი მინორი, აღებული (-1) (i+j) ნიშნით:

A ij = (-1) (i+ j) *M ij

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ A ij = M ij, თუ მწკრივისა და სვეტის რიცხვების ჯამი ლუწია, და A ij = -M ij, თუ ის კენტია.

მაგალითად, თუ , ეს ; და ა.შ.

განმსაზღვრელი გაანგარიშების მეთოდიარის შემდეგი: კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამს მათი ალგებრული დანამატებით:

(დაშლა მე-ე რიგის ელემენტებით; );

(დაშლა j-ე სვეტის ელემენტებით; ).

Მაგალითად,

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგად შემთხვევაში სამკუთხა მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები.

1. თუ მატრიცის რომელიმე მწკრივი ან სვეტი შედგება მხოლოდ ნულებისაგან, მაშინ განმსაზღვრელი უდრის 0-ს (გამოთვლის მეთოდიდან გამომდინარე).

2. თუ მატრიცის რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი გამრავლებულია ერთსა და იმავე რიცხვზე, მაშინ მისი განმსაზღვრელიც გამრავლდება ამ რიცხვზე (ასევე გამოთვლის მეთოდიდან გამომდინარე - საერთო ფაქტორი არ მოქმედებს ალგებრულის გამოთვლაზე. დამატებები და ყველა სხვა ტერმინი მრავლდება ზუსტად ამ რიცხვზე).

შენიშვნა: დეტერმინანტის ნიშანი შეიძლება მივიღოთ მწკრივის ან სვეტის საერთო კოეფიციენტად (განსხვავებით მატრიცისგან, რომლის ნიშანი შეიძლება მივიღოთ, როგორც მისი ყველა ელემენტის საერთო ფაქტორი). მაგალითად, მაგრამ .

3. მატრიცის გადატანისას მისი განმსაზღვრელი არ იცვლება: |A T | = |A| (ჩვენ არ განვახორციელებთ მტკიცებულებას).

4. როდესაც მატრიცის ორი მწკრივი (სვეტი) ერთმანეთს ენაცვლება, მისი განმსაზღვრელი ცვლის საპირისპირო ნიშანს.

ამ თვისების დასამტკიცებლად ჯერ ვივარაუდოთ, რომ მატრიცის ორი მიმდებარე მწკრივი გადალაგებულია: i-th და (i+1)-th. თავდაპირველი მატრიცის დეტერმინანტის გამოსათვლელად ვასრულებთ გაფართოებას i-ე მწკრივის გასწვრივ, ხოლო ახალი მატრიცის განმსაზღვრელისთვის (გადაწყობილი რიგებით) - (i+1) რიგის გასწვრივ (რომელიც მასში იგივეა. , ანუ ემთხვევა ელემენტ-ელემენტს). შემდეგ, მეორე განმსაზღვრელი გამოთვლისას, თითოეულ ალგებრულ დამატებას ექნება საპირისპირო ნიშანი, რადგან (-1) არ იქნება ამაღლებული (i + j), არამედ ხარისხზე (i + 1+ j), წინააღმდეგ შემთხვევაში ფორმულები არ განსხვავდება. ამრიგად, დეტერმინანტის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.

ახლა დავუშვათ, რომ არა მიმდებარე, არამედ ორი თვითნებური მწკრივია გადაწყობილი, მაგალითად, i-th და (i+t)-th. ასეთი პერმუტაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც i-ე რიგის თანმიმდევრული ცვლა t ხაზებით ქვემოთ, ხოლო (i+t)-ე რიგის (t-1) ხაზებით ზემოთ. ამ შემთხვევაში, განმსაზღვრელი ნიშანი შეიცვლება (t + t – 1) = 2t – 1 რაოდენობის ჯერ, ე.ი. კენტი რაოდენობის ჯერ. ამიტომ, ის საბოლოოდ შეიცვლება.

მსგავსი მსჯელობა შეიძლება შეიცვალოს სვეტებისთვის.

5. თუ მატრიცა შეიცავს ორ იდენტურ მწკრივს (სვეტს), მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის 0.

ფაქტობრივად, თუ იდენტური რიგები (სვეტები) გადალაგდება, მაშინ მიიღება იგივე მატრიცა იგივე დეტერმინანტებით. მეორე მხრივ, წინა თვისების მიხედვით, მან უნდა შეიცვალოს ნიშანი, ე.ი. D = -D Û D = 0.

6. თუ მატრიცის ორი რიგის (სვეტის) ელემენტები პროპორციულია, მაშინ განმსაზღვრელი 0-ის ტოლია.

ეს თვისება დაფუძნებულია წინა თვისებაზე და საერთო ფაქტორზე ბრეკეტირებაზე (პროპორციულობის კოეფიციენტის ფრჩხილებში შეყვანის შემდეგ მატრიცაში იქნება იდენტური რიგები ან სვეტები და შედეგად ეს კოეფიციენტი გამრავლდება ნულზე).

7. მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამი იმავე მატრიცის სხვა რიგის (სვეტის) ელემენტების ალგებრული დანამატებით ყოველთვის 0-ის ტოლია: მე ¹ j-სთვის.

ამ თვისების დასამტკიცებლად საკმარისია A მატრიცის j-ე მწკრივი შევცვალოთ i-ით. მიღებულ მატრიცას ექნება ორი იდენტური მწკრივი, ამიტომ მისი განმსაზღვრელი არის 0. მეორეს მხრივ, მისი გამოთვლა შესაძლებელია j-ე რიგის ელემენტების დაშლით: .

8. მატრიცის განმსაზღვრელი არ იცვლება, თუ მატრიცის მწკრივის ან სვეტის ელემენტებს დაემატება იმავე რიცხვით გამრავლებული სხვა რიგის (სვეტის) ელემენტები.

ფაქტიურად, j-ე რიგის ელემენტები, გამრავლებული l-ზე, დაემატოს i-ე რიგის ელემენტებს. შემდეგ ახალი i-ე რიგის ელემენტები მიიღებს ფორმას
(a ik + la jk , "k). გამოვთვალოთ ახალი მატრიცის განმსაზღვრელი i-ე რიგის ელემენტების დაშლით (გაითვალისწინეთ, რომ მისი ელემენტების ალგებრული მიმატებები არ შეიცვლება):

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ეს განმსაზღვრელი არ განსხვავდება საწყისი მატრიცის განმსაზღვრელისაგან.

9. მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია მათი დეტერმინანტების ნამრავლის: |AB| = |A| * |B| (ჩვენ არ განვახორციელებთ მტკიცებულებას).

ზემოთ განხილული დეტერმინანტების თვისებები გამოიყენება მათი გაანგარიშების გასამარტივებლად. ჩვეულებრივ, ისინი ცდილობენ მატრიცას გადააქციონ ისეთ ფორმაში, რომ ნებისმიერი სვეტი ან მწკრივი შეიცავდეს რაც შეიძლება მეტ ნულს. ამის შემდეგ, განმსაზღვრელი ადვილად მოიძებნება ამ მწკრივის ან სვეტის გაფართოებით.

ინვერსიული მატრიცა

მატრიცა A -1 ეწოდება საპირისპირო A კვადრატულ მატრიცასთან მიმართებაში, თუ ამ მატრიცის A მატრიცით გამრავლებისას, როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ, მიიღება იდენტურობის მატრიცა: A -1 * A = A * A -1 = E.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ინვერსიული მატრიცა არის იგივე რიგის კვადრატული მატრიცა, როგორც მატრიცა A.

შეიძლება აღინიშნოს, რომ ინვერსიული მატრიცის კონცეფცია მსგავსია შებრუნებული რიცხვის კონცეფციის (ეს არის რიცხვი, რომელიც მოცემულ რიცხვზე გამრავლებისას იძლევა ერთს: a*a -1 = a*(1/ ა) = 1).

ყველა რიცხვს ნულის გარდა აქვს ორმხრივი.

საკითხის გადასაჭრელად, აქვს თუ არა კვადრატულ მატრიცას შებრუნებული, აუცილებელია ვიპოვოთ მისი განმსაზღვრელი. თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული, მაშინ ასეთი მატრიცა ეწოდება დეგენერატი, ან განსაკუთრებული.

ინვერსიული მატრიცის არსებობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა: ინვერსიული მატრიცა არსებობს და უნიკალურია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავდაპირველი მატრიცა არ არის სინგულარული.

დავამტკიცოთ აუცილებლობა. მატრიცა A-ს ჰქონდეს შებრუნებული მატრიცა A -1, ე.ი. A -1 * A = E. შემდეგ |A -1 * A| = |A -1 | * |A| = |E| = 1. ამიტომ,
|ა| No 0.

დავამტკიცოთ საკმარისობა. ამის დასამტკიცებლად, ჩვენ უბრალოდ უნდა აღვწეროთ შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის მეთოდი, რომელიც ყოველთვის შეგვიძლია გამოვიყენოთ არასინგულარული მატრიცისთვის.

ასე რომ, მოდით |A| ¹ 0. გადავიტანთ A მატრიცას. A T თითოეული ელემენტისთვის ვპოულობთ ალგებრულ დანამატს და ვადგენთ მათგან მატრიცას, რომელიც ე.წ. ანექსირებული(ორმხრივი, მოკავშირე): .

მოდი ვიპოვოთ მიმდებარე მატრიცის ნამრავლი და ორიგინალი. ვიღებთ . ამრიგად, B მატრიცა დიაგონალურია. მის მთავარ დიაგონალზე არის ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელი, ხოლო ყველა სხვა ელემენტი არის ნულები:

ანალოგიურად, შეიძლება იმის ჩვენება, რომ .

თუ მატრიცის ყველა ელემენტს გაყოფთ |A|-ზე, მიიღებთ იდენტურობის მატრიცას E.

ამგვარად , ე.ი. .

მოდით დავამტკიცოთ ინვერსიული მატრიცის უნიკალურობა. დავუშვათ, რომ არსებობს A-სთვის სხვა შებრუნებული მატრიცა, რომელიც განსხვავდება A -1-ისგან. ავღნიშნოთ ის X. შემდეგ A * X = E. გავამრავლოთ ტოლობის ორივე მხარე A -1-ზე მარცხნივ.

A -1 * A * X = A -1 * E

უნიკალურობა დადასტურებულია.

ასე რომ, ინვერსიული მატრიცის გამოთვლის ალგორითმი შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1. იპოვეთ მატრიცის განმსაზღვრელი |A| . თუ |A| = 0, მაშინ მატრიცა A არის სინგულარული და შებრუნებული მატრიცა ვერ მოიძებნება. თუ |A| ¹ 0, შემდეგ გადადით შემდეგ ეტაპზე.

2. ააგეთ ტრანსპონირებული მატრიცა A T.

3. იპოვეთ გადატანილი მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატები და ააგეთ მიმდებარე მატრიცა.

4. გამოთვალეთ შებრუნებული მატრიცა მიმდებარე მატრიცის |A|-ზე გაყოფით.

5. შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის სისწორე შეგიძლიათ შეამოწმოთ განმარტების შესაბამისად: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. იპოვეთ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი სამკუთხედების წესის გამოყენებით:

მოდით გამოტოვოთ შემოწმება.

მატრიცის ინვერსიის შემდეგი თვისებები შეიძლება დადასტურდეს:

1) |A -1 | = 1/|A|

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) მ

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T = (A T) -1

მატრიცის რანგი

მცირე kth შეკვეთა m x n ზომის A მატრიცებს ეწოდება kth რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება A მატრიციდან ნებისმიერი მწკრივისა და სვეტის წაშლით.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მინორის რიგი არ აღემატება მის ზომებს უფრო მცირეს, ე.ი. k £ წთ (მ; n). მაგალითად, 5x3 მატრიციდან A შეგიძლიათ მიიღოთ პირველი, მეორე და მესამე რიგის კვადრატული ქვემატრიცები (შესაბამისად, გამოთვალეთ ამ ბრძანებების მცირე რაოდენობა).

წოდებამატრიცები არის ამ მატრიცის არა-ნულოვანი მინორების უმაღლესი რიგი (აღნიშნული რანგით A, ან r(A)).

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

1) მატრიცის რანგი არ აღემატება მისი ზომების უფრო მცირეს, ე.ი.
r(A) £ წთ (მ; n);

2) r(A) = 0 თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მატრიცა არის ნული (მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია), ე.ი. r(A) = 0 Û A = 0;

3) n-ე რიგის კვადრატული მატრიცისთვის r(A) = n თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს მატრიცა A არაერთგულოვანია, ე.ი. r(A) = n Û |A| No 0.

ფაქტობრივად, ამისათვის საკმარისია მხოლოდ ერთი ასეთი მინორის გამოთვლა (ის, რომელიც მიღებულია მესამე სვეტის გადაკვეთით (რადგან დანარჩენს ექნება ნული მესამე სვეტი და შესაბამისად ნულის ტოლია).

სამკუთხედის წესის მიხედვით = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

ვინაიდან ყველა მესამე რიგის მინორი არის ნული, r(A) £ 2. ვინაიდან არსებობს არანულოვანი მეორე რიგის მინორი, მაგალითად,

ცხადია, ჩვენ მიერ გამოყენებული მეთოდები (ყველა სახის არასრულწლოვანთა გათვალისწინებით) არ არის შესაფერისი უფრო რთულ შემთხვევებში წოდების დასადგენად მათი მაღალი სირთულის გამო. ჩვეულებრივ, მატრიცის რანგის საპოვნელად გამოიყენება გარკვეული ტრანსფორმაციები, რომლებსაც ე.წ ელემენტარული:

1). ნულოვანი მწკრივების (სვეტების) გაუქმება.

2). მატრიცის მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტის გამრავლება ნულის გარდა სხვა რიცხვზე.

3). მატრიცის მწკრივების (სვეტების) რიგის შეცვლა.

4). ერთი რიგის (სვეტის) თითოეულ ელემენტს ემატება მეორე რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე.

5). ტრანსპოზიცია.

თუ მატრიცა A მიიღება მატრიციდან B ელემენტარული გარდაქმნებით, მაშინ ამ მატრიცებს უწოდებენ ექვივალენტიდა აღვნიშნო A ~ B.

თეორემა. ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები არ ცვლის მის წოდებას.

თეორემის დადასტურება გამომდინარეობს მატრიცის დეტერმინანტის თვისებებიდან. სინამდვილეში, ამ გარდაქმნების დროს კვადრატული მატრიცების განმსაზღვრელი ან ინახება ან მრავლდება რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. შედეგად, ორიგინალური მატრიცის არა-ნულოვანი მინორების უმაღლესი რიგი იგივე რჩება, ე.ი. მისი წოდება არ იცვლება.

ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მატრიცა გადადის ეგრეთ წოდებულ ეტაპობრივ ფორმაში (გადაიქცევა ნაბიჯის მატრიცა), ე.ი. ისინი უზრუნველყოფენ, რომ ეკვივალენტურ მატრიცაში არის მხოლოდ ნულოვანი ელემენტები მთავარი დიაგონალის ქვეშ, ხოლო არანულოვანი ელემენტები მთავარ დიაგონალზე:

ნაბიჯის მატრიცის წოდება უდრის r-ს, რადგან მისგან სვეტების წაშლით, დაწყებული (r + 1)-დან და შემდგომ, შეიძლება მიიღოთ rth რიგის სამკუთხა მატრიცა, რომლის განმსაზღვრელი იქნება არა- ნულოვანი, რადგან ეს იქნება არანულოვანი ელემენტების ნამრავლი (აქედან გამომდინარე, არის rth რიგის უმნიშვნელო, რომელიც არ არის ნულის ტოლი):

მაგალითი. იპოვეთ მატრიცის რანგი

1). თუ 11 = 0 (როგორც ჩვენს შემთხვევაში), მაშინ სტრიქონების ან სვეტების გადალაგებით ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ არის 11 ¹ 0. აქ ჩვენ ვცვლით მატრიცის 1-ლი და მე-2 სტრიქონებს:

2). ახლა არის 11 ¹ 0. ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ პირველი სვეტის ყველა სხვა ელემენტი ნულის ტოლია. მეორე სტრიქონში a 21 = 0. მესამე ხაზზე a 31 = -4. ისე, რომ (-4)-ის ნაცვლად იყოს 0, დაამატეთ მესამე სტრიქონს პირველი სტრიქონი გამრავლებული 2-ზე (ანუ (-a 31 / a 11) = -(-4)/2 =
= 2). ანალოგიურად, მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს (გამრავლებული ერთით, ანუ (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1-ით).

3). მიღებულ მატრიცაში არის 22 ¹ 0 (თუ 22 = 0, მაშინ რიგები შეიძლება ხელახლა გადაიწყოს). მოდით დავრწმუნდეთ, რომ მეორე სვეტში ასევე არის ნულები დიაგონალის ქვემოთ. ამისათვის დაამატეთ მეორე სტრიქონი მე-3 და მე-4 ხაზებს, გამრავლებული -3-ზე ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). მიღებულ მატრიცაში ბოლო ორი მწკრივი არის ნული და მათი გაუქმება შესაძლებელია:

მიიღება საფეხურის მატრიცა, რომელიც შედგება ორი მწკრივისაგან. ამიტომ, r(A) = 2.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• დემოგრაფიული მდგომარეობის ანალიზი და შრომითი რესურსების გამოყენების შეფასება რუსეთში რა ხსნის შობადობის ზრდას ბოლო წლებში;
• ჩვენი დროის დემოგრაფიული პრობლემები;
• სოციალურ-დემოგრაფიული პრობლემები;
• მოსახლეობის ბუნებრივი ზრდა და რეპროდუქცია მოსახლეობის მექანიკური მოძრაობა;
• გახსენით მარცხენა მენიუ ციმბირი რამდენი ქალაქია მილიონზე მეტი მოსახლეობით აღმოსავლეთ ციმბირში;
• გუბერნატორებისთვის ვალის ხვრელი რეგიონული ვალის ტვირთის რეიტინგი;
• მშენებლობის სამინისტრომ ერთის კომუნალურ გადასახადებთან დაკავშირებით ახალი განმარტებები მისცა;
• მოქალაქეთა მებაღეობის (დაჩის) გაერთიანებების, შენობებისა და ნაგებობების ტერიტორიების დაგეგმვა და განვითარება;