შემთხვევითი ცვლადი x მოცემულია განაწილების სიმკვრივის ფუნქციით. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები

Მოსალოდნელი ღირებულება

დისპერსიაუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ეკუთვნის მთელ ღერძს Ox, განისაზღვრება თანასწორობით:

სამსახურის დავალება. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია პრობლემების გადასაჭრელად, რომელშიც ან განაწილების სიმკვრივე f(x) , ან განაწილების ფუნქცია F(x) (იხ. მაგალითი). ჩვეულებრივ, ასეთ ამოცანებში საჭიროა იპოვოთ მათემატიკური მოლოდინი, სტანდარტული გადახრა, დახაზეთ ფუნქციები f(x) და F(x).

ინსტრუქცია. აირჩიეთ შეყვანის მონაცემების ტიპი: განაწილების სიმკვრივე f(x) ან განაწილების ფუნქცია F(x) .

განაწილების სიმკვრივე f(x) მოცემულია:

განაწილების ფუნქცია F(x) მოცემულია:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი განისაზღვრება ალბათობის სიმკვრივით
(რეილის განაწილების კანონი - გამოიყენება რადიოინჟინერიაში). იპოვეთ M(x) , D(x) .

შემთხვევითი ცვლადი X ეწოდება უწყვეტი , თუ მისი განაწილების ფუნქცია F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობის გამოსათვლელად:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
უფრო მეტიც, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის არ აქვს მნიშვნელობა, შედის თუ არა მისი საზღვრები ამ ინტერვალში:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
განაწილების სიმკვრივე უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს ფუნქცია ეწოდება
f(x)=F'(x) , განაწილების ფუნქციის წარმოებული.

განაწილების სიმკვრივის თვისებები

1. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე არის არაუარყოფითი (f(x) ≥ 0) x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის.
2. ნორმალიზაციის მდგომარეობა:

ნორმალიზაციის პირობის გეომეტრიული მნიშვნელობა: განაწილების სიმკვრივის მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი უდრის ერთს.
3. შემთხვევითი X ცვლადის დარტყმის ალბათობა α-დან β-მდე ინტერვალში შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

გეომეტრიულად, ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მოხვდება ინტერვალში (α, β) უდრის მრუდი ტრაპეციის ფართობს განაწილების სიმკვრივის მრუდის ქვეშ ამ ინტერვალზე დაყრდნობით.
4. განაწილების ფუნქცია გამოიხატება სიმკვრივის მიხედვით შემდეგნაირად:

განაწილების სიმკვრივის მნიშვნელობა x წერტილში არ არის ამ მნიშვნელობის მიღების ალბათობის ტოლი; უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ მხოლოდ მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობაზე. დაე:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xმიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას ინტერვალიდან [ ა; ბ], უდრის მისი ალბათობის სიმკვრივის გარკვეულ ინტეგრალს დიაპაზონში აადრე ბ:

.

ამ შემთხვევაში, ფუნქციის ზოგადი ფორმულა ფ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ ცნობილია სიმკვრივის ფუნქცია ვ(x) :

.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკს ეწოდება მისი განაწილების მრუდი (ნახ. ქვემოთ).

ფიგურის ფართობი (ნახატზე დაჩრდილული), შემოსაზღვრული მრუდით, წერტილებიდან გამოყვანილი სწორი ხაზებით ადა ბაბსცისის ღერძის პერპენდიკულარული და ღერძი ოჰ, გრაფიკულად აჩვენებს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობის ალბათობას Xარის ფარგლებში აადრე ბ.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის თვისებები

1. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს რაიმე მნიშვნელობას ინტერვალიდან (და ფიგურის ფართობიდან, რომელიც შემოიფარგლება ფუნქციის გრაფიკით ვ(x) და ღერძი ოჰ) უდრის ერთს:

2. ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას არ შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები:

ხოლო განაწილების არსებობის გარეთ მისი მნიშვნელობა ნულია

განაწილების სიმკვრივე ვ(x), ასევე განაწილების ფუნქცია ფ(x), განაწილების კანონის ერთ-ერთი ფორმაა, მაგრამ განაწილების ფუნქციისგან განსხვავებით, ის არ არის უნივერსალური: განაწილების სიმკვრივე არსებობს მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის.

მოდით აღვნიშნოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების პრაქტიკაში ორი ყველაზე მნიშვნელოვანი ტიპი.

თუ განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია ვ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი რაღაც სასრულ ინტერვალში [ ა; ბ] იღებს მუდმივ მნიშვნელობას C, და ინტერვალის გარეთ იღებს ნულის ტოლ მნიშვნელობას, მაშინ ეს განაწილებას ერთგვაროვანი ეწოდება .

თუ განაწილების სიმკვრივის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ცენტრის მიმართ, საშუალო მნიშვნელობები კონცენტრირებულია ცენტრთან ახლოს, ხოლო ცენტრიდან მოშორებისას გროვდება საშუალოდან უფრო განსხვავებული (ფუნქციის გრაფიკი წააგავს ჭრილს. ზარი), შემდეგ ეს განაწილებას ნორმალური ეწოდება .

მაგალითი 1უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების ფუნქცია ცნობილია:

იპოვნეთ ფუნქცია ვ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე. დახაზეთ გრაფიკები ორივე ფუნქციისთვის. იპოვეთ ალბათობა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 4-დან 8-მდე დიაპაზონში: .

გამოსავალი. ჩვენ ვიღებთ ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას ალბათობის განაწილების ფუნქციის წარმოებულის მოძიებით:

ფუნქციის გრაფიკი ფ(x) - პარაბოლა:

ფუნქციის გრაფიკი ვ(x) - სწორი ხაზი:

მოდით ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 4-დან 8-მდე დიაპაზონში:

მაგალითი 2უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია მოცემულია შემდეგნაირად:

გამოთვალეთ ფაქტორი C. იპოვნეთ ფუნქცია ფ(x) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება. დახაზეთ გრაფიკები ორივე ფუნქციისთვის. იპოვეთ ალბათობა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 0-დან 5-მდე დიაპაზონში: .

გამოსავალი. კოეფიციენტი Cჩვენ ვპოულობთ ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის 1 თვისებას:

ამრიგად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია არის:

ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციას ფ(x) ალბათობის განაწილება. თუ x < 0 , то ფ(x) = 0. თუ 0< x < 10 , то

.

x> 10, მაშინ ფ(x) = 1 .

ამრიგად, ალბათობის განაწილების ფუნქციის სრული ჩანაწერი არის:

ფუნქციის გრაფიკი ვ(x) :

ფუნქციის გრაფიკი ფ(x) :

მოდით ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას 0-დან 5-მდე დიაპაზონში:

მაგალითი 3უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე Xმოცემულია თანასწორობით , ხოლო . იპოვეთ კოეფიციენტი აუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xიღებს გარკვეულ მნიშვნელობას ]0, 5[ ინტერვალიდან, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X.

გამოსავალი. პირობით, ჩვენ მივდივართ თანასწორობამდე

ამიტომ, საიდან. Ისე,

.

ახლა ჩვენ ვიპოვით უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას Xმიიღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას ინტერვალიდან ]0, 5[:

ახლა ჩვენ ვიღებთ ამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციას:

მაგალითი 4იპოვეთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე X, რომელიც იღებს მხოლოდ არაუარყოფით მნიშვნელობებს და მის განაწილების ფუნქციას .

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე „შემთხვევითი ცვლადები“.

დავალება 1 . ლატარიაში 100 ბილეთია გაცემული. ითამაშა ერთი მოგება 50 დოლარი. და ათი მოგება თითო $10. იპოვეთ X მნიშვნელობის განაწილების კანონი - შესაძლო მოგების ღირებულება.

გამოსავალი. X-ის შესაძლო მნიშვნელობები: x 1 = 0; x 2 = 10 და x 3 = 50. ვინაიდან 89 „ცარიელი“ ბილეთია, მაშინ გვ 1 = 0.89, გამარჯვების ალბათობაა 10 ც. (10 ბილეთი) – გვ 2 = 0.10 და 50 ც.უ. გამარჯვებისთვის. -გვ 3 = 0.01. ამრიგად:

	0,89	0,10	0,01

მარტივი კონტროლი: .

დავალება 2. ალბათობა იმისა, რომ მყიდველმა წინასწარ გაეცნო პროდუქტის რეკლამას, არის 0,6 (p = 0,6). რეკლამის შერჩევითი ხარისხის კონტროლს ახორციელებენ გამოკითხვის მყიდველები, ვინც პირველმა შეისწავლა რეკლამა. გააკეთეთ გამოკითხული მყიდველების რაოდენობის განაწილების სერია.

გამოსავალი. ამოცანის პირობის მიხედვით p = 0.6. მდებარეობა: q=1 -გვ = 0.4. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ:და შექმენით განაწილების სერია:

პი		0,24

დავალება 3. კომპიუტერი შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისაგან: სისტემის ერთეული, მონიტორი და კლავიატურა. ძაბვის ერთჯერადი მკვეთრი ზრდით, თითოეული ელემენტის უკმარისობის ალბათობა არის 0.1. ბერნულის განაწილების საფუძველზე, შეადგინეთ განაწილების კანონი ქსელში დენის მატების დროს წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი. განიხილეთ ბერნულის განაწილება(ან ბინომი): ალბათობა იმისა, რომ inნ ტესტები, მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტადკ ერთხელ: , ან:

	ქ ნ					გვ ნ

IN დავუბრუნდეთ დავალებას.

X-ის შესაძლო მნიშვნელობები (ჩავარდნების რაოდენობა):

x 0 =0 - არცერთი ელემენტი არ ჩავარდა;

x 1 =1 - ერთი ელემენტის უკმარისობა;

x 2 =2 - ორი ელემენტის უკმარისობა;

x 3 =3 - ყველა ელემენტის უკმარისობა.

ვინაიდან, პირობით, p = 0.1, მაშინ q = 1 - p = 0.9. ბერნულის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

, ,

, .

კონტროლი:.

ამიტომ, სასურველი განაწილების კანონი:

	0,729	0,243	0,027	0,001

დავალება 4. დამზადდა 5000 ცალი. ალბათობა იმისა, რომ ერთი ვაზნა დეფექტურია . რა არის იმის ალბათობა, რომ მთელ პარტიაში იყოს ზუსტად 3 დეფექტური ვაზნა?

გამოსავალი. გამოიყენება პუასონის განაწილება: ეს განაწილება გამოიყენება იმის დასადგენად, რომ ალბათობა ძალიან დიდია

ცდების რაოდენობა (მასობრივი ცდები), რომელთაგან თითოეულში A მოვლენის ალბათობა ძალიან მცირეა, მოვლენა A მოხდება k-ჯერ: , სად .

აქ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. ჩვენ ვპოულობთ , შემდეგ სასურველ ალბათობას: .

დავალება 5. პირველ დარტყმამდე სროლისას დარტყმის ალბათობით პ = 0.6 გასროლისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა, რომ დარტყმა მოხდება მესამე გასროლაზე.

გამოსავალი. გამოვიყენოთ გეომეტრიული განაწილება: ჩატარდეს დამოუკიდებელი ცდები, რომლებშიც A მოვლენას აქვს p დადგომის ალბათობა (და არ მომხდარა q = 1 - p). ცდები მთავრდება A მოვლენის დადგომისთანავე.

ასეთ პირობებში, ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენა მოხდეს k-ე ტესტზე, განისაზღვრება ფორმულით: . აქ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. ამიტომ, .

დავალება 6. მოცემული იყოს X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

იპოვნეთ მათემატიკური მოლოდინი.

გამოსავალი. .

გაითვალისწინეთ, რომ მათემატიკური მოლოდინის ალბათური მნიშვნელობა არის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა.

დავალება 7. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია შემდეგი განაწილების კანონით:

გამოსავალი. Აქ .

X-ის კვადრატის განაწილების კანონი 2 :

X 2

საჭირო ვარიაცია: .

დისპერსია ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის (გაფანტვის) ხარისხს მისი მათემატიკური მოლოდინისგან.

დავალება 8. დაე, შემთხვევითი ცვლადი იყოს მოცემული განაწილებით:

			10მ

იპოვეთ მისი რიცხვითი მახასიათებლები.

ამოხსნა: m, m 2 ,

მ 2 , მ.

შემთხვევითი X ცვლადის შესახებ შეიძლება ითქვას ერთიც - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6.4 მ დისპერსიით 13.04 მ. 2 , ან - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6,4 მ გადახრით მ. მეორე ფორმულირება აშკარად უფრო ნათელია.

დავალება 9. შემთხვევითი მნიშვნელობა X მოცემულია განაწილების ფუნქციით:
.

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად X მნიშვნელობა მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც შეიცავს ინტერვალში .

გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს მნიშვნელობას მოცემული ინტერვალიდან, უდრის ამ ინტერვალში ინტეგრალური ფუნქციის ზრდას, ე.ი. . ჩვენს შემთხვევაში და შესაბამისად

.

დავალება 10. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X განაწილების კანონით მოცემულია:

იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია F(x ) და შექმენით მისი გრაფიკი.

გამოსავალი. განაწილების ფუნქციიდან გამომდინარე

ამისთვის , ეს

ზე ;

ზე ;

ზე ;

ზე ;

შესაბამისი სქემა:

დავალება 11.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია დიფერენციალური განაწილების ფუნქციით: .

იპოვნეთ დარტყმის ალბათობა X ინტერვალამდე

გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის ექსპონენციური განაწილების კანონის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა: .

დავალება 12. იპოვეთ X დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები, რომლებიც მოცემულია განაწილების კანონით:

	–5
	X 2: x2 . , სად არის ლაპლასის ფუნქცია. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნია ცხრილის გამოყენებით. ჩვენს შემთხვევაში: . ცხრილის მიხედვით ვხვდებით:, შესაბამისად:

მათემატიკური მოლოდინის ცნებები მ(X) და დისპერსიას დ(X) ადრე შემოღებული დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება გაფართოვდეს უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებზე.

· მათემატიკური მოლოდინი მ(X) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X განისაზღვრება ტოლობით:

იმ პირობით, რომ ეს ინტეგრალი იყრის თავს.

· დისპერსია D(X) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xგანისაზღვრება თანასწორობით:

· Სტანდარტული გადახრაσ( X) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი განისაზღვრება ტოლობით:

მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის ყველა თვისება, რომელიც ადრე იყო განხილული დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის, ასევე მოქმედებს უწყვეტისთვის.

პრობლემა 5.3.შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემულია დიფერენციალური ფუნქციით ვ(x):

იპოვე მ(X), დ(X), σ( X), და პ(1 < X< 5).

გამოსავალი:

მ(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

დ(X)=

= = /

პ 1 =

Დავალებები

5.1. X

ვ(x), და

რ(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xმოცემულია განაწილების ფუნქციით:

იპოვეთ დიფერენციალური განაწილების ფუნქცია ვ(x), და

რ(2π /9< X< π /2).

5.3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X

იპოვეთ: ა) ნომერი თან; ბ) მ(X), დ(X).

5.4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xმოცემულია განაწილების სიმკვრივით:

იპოვეთ: ა) ნომერი თან; ბ) მ(X), დ(X).

5.5. X:

იპოვე: ა) ფ(X) და გამოვსახოთ მისი გრაფიკი; ბ) მ(X), დ(X), σ( X); გ) ალბათობა იმისა, რომ ოთხ დამოუკიდებელ ცდაში მნიშვნელობა Xიღებს ზუსტად 2-ჯერ მეტი მნიშვნელობა, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (1;4).

5.6. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივის გათვალისწინებით X:

იპოვე: ა) ფ(X) და გამოვსახოთ მისი გრაფიკი; ბ) მ(X), დ(X), σ( X); გ) ალბათობა იმისა, რომ სამ დამოუკიდებელ ცდაში მნიშვნელობა Xმიიღებს ზუსტად 2-ჯერ მეტ მნიშვნელობას, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს.

5.7. ფუნქცია ვ(X) მოცემულია როგორც:

თან X; ბ) განაწილების ფუნქცია ფ(x).

5.8. ფუნქცია ვ(x) მოცემულია როგორც:

იპოვეთ: ა) მუდმივის მნიშვნელობა თან, რომელშიც ფუნქცია იქნება ზოგიერთი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე X; ბ) განაწილების ფუნქცია ფ(x).

5.9. შემთხვევითი მნიშვნელობა X, კონცენტრირებული ინტერვალზე (3;7), მოცემულია განაწილების ფუნქციით ფ(X)= Xიღებს მნიშვნელობას: ა) 5-ზე ნაკლები, ბ) არანაკლებ 7.

5.10. შემთხვევითი მნიშვნელობა X, კონცენტრირებული ინტერვალზე (-1; 4), მოცემულია განაწილების ფუნქციით ფ(X)= . იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xიღებს მნიშვნელობას: ა) 2-ზე ნაკლები, ბ) 4-ზე ნაკლები.

5.11.

იპოვეთ: ა) ნომერი თან; ბ) მ(X); გ) ალბათობა რ(X > M(X)).

5.12. შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია დიფერენციალური განაწილების ფუნქციით:

იპოვე: ა) მ(X); ბ) ალბათობა რ(X ≤ M(X)).

5.13. დროის განაწილება მოცემულია ალბათობის სიმკვრივით:

დაამტკიცე რომ ვ(x) მართლაც არის ალბათობის სიმკვრივის განაწილება.

5.14. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივის გათვალისწინებით X:

იპოვნეთ ნომერი თან.

5.15. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xგანაწილებულია სიმპსონის კანონის მიხედვით (ტოლფერდა სამკუთხედი) სეგმენტზე [-2; 2] (სურ. 5.4). იპოვეთ ალბათობის სიმკვრივის ანალიტიკური გამოხატულება ვ(x) მთელ რიცხვთა წრფეზე.

ბრინჯი. 5.4 ნახ. 5.5

5.16. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xგანაწილებული „მართკუთხა სამკუთხედის“ კანონის მიხედვით ინტერვალში (0; 4) (სურ. 5.5). იპოვეთ ალბათობის სიმკვრივის ანალიტიკური გამოხატულება ვ(x) მთელ რიცხვთა წრფეზე.

პასუხები

პ (-1/2<X<1/2)=2/3.

პ(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. ა) თან=1/6, ბ) მ(X)=3, გ) დ(X)=26/81.

5.4. ა) თან=3/2, ბ) მ(X)=3/5, გ) დ(X)=12/175.

ბ) მ(X)= 3 , დ(X)= 2/9, σ( X)= /3.

ბ) მ(X)=2 , დ(X)= 3, σ( X)= 1,893.

5.7. ა) გ = ; ბ)

5.8. ა) თან=1/2; ბ)

5.9. ა) 1/4; ბ) 0.

5.10. ა) 3/5; ბ) 1.

5.11. ა) თან= 2; ბ) მ(X)= 2; 1-ში - ლნ 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. ა) მ(X)= π /2 ; ბ) 1/2

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები;
• რეზიუმე: ბაზრის სტრუქტურების კლასიფიკაცია ბაზრის ბაზრის კლასიფიკაციის კონცეფცია ბაზრის სტრუქტურების ტიპები;
• ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე „შემთხვევითი ცვლადები;
• ჩვეულებრივი ბიზნეს საქმიანობა;
• რეზიუმე: კომერციული ორგანიზაციები ეკონომიკაში;
• ურთიერთობა ინფლაციასა და უმუშევრობას შორის;
• მუსულმანური ოცნების წიგნი - სიზმრების ინტერპრეტაცია წმინდა ყურანის მიხედვით გამოვიდა მუსულმანური ოცნების წიგნი სიზმარში სანახავად;
• იმამ იბნ სირინის ისლამური ოცნების წიგნი და სიზმრების მნიშვნელობა ისლამში რას ნიშნავს სიზმრები ისლამში;