Formula pentru suprafața laterală a unui cilindru. Cum să găsiți aria unui cilindru. Suprafața completă a unui cilindru

Se consideră un cilindru de rotație cu raza R și înălțimea h (Fig. 383). Inscrie la baza acestui cilindru poligon regulat(în Fig. 383 - un hexagon) și cu ajutorul lui vom construi o prismă regulată înscrisă într-un cilindru. În același mod, prismele obișnuite pot fi descrise în jurul cilindrului în mod arbitrar un numar mare marginile laterale.

Prin definiție, aria suprafeței laterale a cilindrului este considerată limita la care tind zonele suprafețelor laterale ale prismelor regulate înscrise și descrise în jurul acesteia, pe măsură ce numărul fețelor lor laterale se dublează (sau chiar crește) pe termen nelimitat.

Suprafața totală a cilindrului. Pentru studenti liceu, care nu sunt cu adevărat „fani” ai obiectului de geometrie, apar probleme, cum ar fi găsirea suprafeței unui cilindru, care de multe ori îi determină pe copii să-și închidă manualele și să renunțe sau să găsească geometria.

Utilizarea obiectelor familiare pentru a reda forme geometrice

Geometria, ca multe tipuri de matematică, este adesea mult mai ușor de înțeles atunci când este împărțită în bucăți de dimensiuni mici. Acest tutorial de geometrie va face exact asta - descompune ecuația pentru găsirea suprafeței unui cilindru în părți ușor de înțeles. Desigur, formula pentru suprafața unui cilindru nu este foarte bună. Deci, să încercăm să despărțim formula în părți ușor de înțeles. Un sfat bun de matematică este să încerci să vizualizezi forma geometrică cu un obiect cu care ești deja familiarizat.

Faptul că o astfel de limită există, vom demonstra acum. Dacă luăm o prismă regulată înscrisă construită pe un -gon regulat ca pe bază, atunci pentru suprafața ei laterală vom avea expresia , unde este perimetrul unui -gon regulat înscris în cercul bazei cilindrului. La . Exact același calcul pentru prisma descrisă dă același rezultat. Deci, aria suprafeței laterale a unui cilindru de revoluție este exprimată prin formula

Ce obiecte din casa ta sunt cilindri? Banca este formată din suprafețe superioare și inferioare și laterale. Dacă ai putea desface partea laterală a cutiei, ar fi de fapt un dreptunghi. Acum puteți vizualiza suprafața totală a cilindrului.

Cu alte cuvinte, vă puteți gândi la ecuația pentru suprafața totală a unui cilindru ca. Prin urmare, pentru a calcula suprafața unui cilindru, trebuie să calculați aria unui cerc și aria unui dreptunghi. Să aruncăm o privire la suprafața totală a ecuației cilindrului și să o descompunem în părți ușor de înțeles.

Suprafața laterală a cilindrului este egală cu produsul lungimii generatricei cu perimetrul (adică circumferința) bazei.

Problema 1. Segmentul care leagă punctele diametral opuse A și B ale bazelor superioare și inferioare ale cilindrului (Fig. 384) are 10 cm și este înclinat față de planul bazei la un unghi de 60 °. Găsiți aria suprafeței laterale a cilindrului.

Ajutor online pentru geometrie: suprafața unui cilindru

Partea 2: A doua parte a ecuației ne oferă aria dreptunghiului care se curbează în jurul borcanului. Deci, de ce este scrisă lățimea din a doua parte a ecuației ca? Din nou, desenați eticheta. Rețineți că lățimea dreptunghiului rulat în jurul borcanului este exact aceeași cu circumferința borcanului. Înmulțiți timpul și aveți aria părții dreptunghiulare a cilindrului.

  • Partea 1: Prima parte a ecuației cilindrului este legată de aria a două cercuri.
  • Deci prima parte a ecuației cilindrului ne oferă aria a două cercuri.
  • Știm că aria unui dreptunghi este pur și simplu egală cu lățimea înălțimii sale.
Verifică trei tip general probleme de geometrie pentru a determina suprafața unui cilindru pentru diferite măsurători.

Soluţie. Să desenăm Apariția prin segmentul A printr-un plan perpendicular pe baza cilindrului. Din triunghiul pe care îl avem

de unde găsim pentru suprafaţa laterală a cilindrului

Aflați unghiul de înclinare față de același plan al diagonalei paralelipipedului.

2. La un paralelipiped drept, unghiul ascuțit al bazei este egal cu a, iar una dintre laturile bazei este egală cu a. Secțiunea trasată prin această latură și marginea opusă a bazei superioare are zona Q, iar planul său este înclinat în unghi față de planul bazei. Aflați volumul și aria totală a paralelipipedului.

# 1 Găsiți suprafața cilindrului dată de raza și înălțimea

Soluţie.

# 2 Găsiți aria suprafeței unui cilindru având în vedere diametrul și înălțimea

Problemă: Care este suprafața totală a unui cilindru de 4 inci în diametru și 10 inci înălțime? Răspuns: Suprafața unui cilindru de 4 inchi în diametru și 10 inci înălțime este de 72 inci.

# 3 Găsiți suprafața unui cilindru având în vedere aria unui capăt și înălțimea

Problemă: Aria unui capăt al cilindrului este de 26 de metri pătrați. picioare, iar înălțimea sa este de 10 picioare. Care este suprafața totală a cilindrului? Familiarizați-vă cu definiția, formulele și exemplele de întrebări. Un cilindru este un tub în care cele 2 capete plate sunt cercuri.

3. Baza unei prisme triunghiulare înclinate este isoscelă triunghi dreptunghic, iar proiecția uneia dintre marginile laterale pe planul bazei coincide cu mediana m a unuia dintre catetele triunghiului. Aflați unghiul de înclinare a marginilor laterale față de planul bazei dacă volumul prismei este V.

4. Într-o prismă hexagonală obișnuită, două secțiuni sunt trasate prin lateralul bazei: 1) care conține latura opusă a bazei superioare, 2) care conține centrul bazei superioare. La ce înălțime a prismei are cea mai mare valoare unghiul dintre planurile secțiunilor și cu ce este egal în acest caz?

Pentru a calcula suprafața unui cilindru, trebuie să cunoașteți raza cercului care alcătuiește latura plată, precum și distanța de la cilindru la cealaltă parte plată, aceasta fiind definită ca înălțime. Suprafața = \\. Pentru a calcula volumul unui cilindru, găsiți volumul spațiului din interiorul cilindrului.

Pentru a face o găleată cilindrică, fără conicitate, folosind o foaie de tablă, Tony trebuie să determine suprafața foii care trebuie utilizată. Dacă găleata nu are capac, cam la fel de mulți centimetri pătrați de tablă, cât de mult ar avea Tony de-a face cu acea găleată? Aria părții cilindrice a găleții este π = 400π. Aria fundului găleții este π 2 = 25π.

Un cilindru are trei suprafețe: o suprafață de sus, una de jos și o suprafață laterală.

Partea superioară și inferioară a cilindrului sunt cercuri și sunt ușor de identificat.

Se știe că aria unui cerc este egală cu πr2. Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri va arăta ca πr2 + πr2 = 2πr2.

Suprafața laterală a cilindrului

A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a reprezenta mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că un cilindru este o cutie de conserve obișnuită care nu are capac superior și fund. Să facem o incizie verticală pe peretele lateral de sus până jos al borcanului și să încercăm să maximizăm cifra rezultată.

Volumul celui de-al doilea cilindru circular drept este de câte ori volumul primului cilindru circular drept? Formule și variații raționale. Rezolvați formula pentru o anumită literă. Definiți variația directă, inversă și comună. Găsiți necunoscutul în problema variației.

Rezolvați problemele aplicației care implică schimbare directă. Rezolvați probleme de aplicație cu variație inversă. Rezolvați problemele aplicației care sunt asociate cu modificările colaborative. Ele pot fi instrumente utile pentru prezentarea situațiilor reale și găsirea de soluții la problemele cotidiene. Ecuațiile care reprezintă variații directe, inverse și comune sunt exemple de formule raționale care modelează situații reale. După cum puteți vedea, dacă puteți găsi formula, de obicei puteți înțelege situația.

După dezvăluirea completă a borcanului rezultat, vom vedea o figură familiară, acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru un moment la cilindrul original. Vârful cilindrului inițial este un cerc și știm că circumferința unui cerc se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.

Când rezolvați probleme cu formule raționale, este util să analizați mai întâi formula pentru o anumită variabilă. De exemplu, problemele de muncă vă cer să calculați cât timp durează oameni diferiti să alerge la viteze diferite pentru a duce treaba la bun sfârșit. Cantitatea de muncă depusă este rezultatul vitezei de lucru și al timpului petrecut la lucru.

Folosind algebra, puteți scrie formula de lucru în trei moduri. Găsește timp. Găsiți viteza. Acum să ne uităm la un exemplu folosind formula volumului cilindrului. Ecuațiile de variație sunt exemple de formule raționale și sunt folosite pentru a descrie relația dintre variabile. De exemplu, imaginați-vă o parcare plină de mașini. Numărul total de anvelope din parcare depinde de numărul total de mașini. Din punct de vedere algebric, puteți reprezenta această relație cu o ecuație.

Când peretele lateral al cilindrului este complet extins, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința și înălțimea cilindrului. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am obținut o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui cilindru.

Număr de mașini = 4 număr de mașini. Cifra 4 vă spune raportul dintre cărucioare și anvelope. Este o constantă deoarece acest număr nu se modifică. Deoarece numărul de boghiuri și numărul de anvelope sunt constante, o modificare a numărului de mașini determină o modificare proporțională a numărului de anvelope. Acesta este un exemplu în care numărul de anvelope depinde de numărul de mașini.

Puteți folosi ecuația mașină și anvelope ca bază pentru a scrie general ecuații algebrice, care servesc pentru toate exemplele de variație directă. În exemplu, numărul de anvelope este rezultatul, 4 este constanta, iar numărul de mașini este intrarea. Să punem acești termeni comuni în ecuație.

Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru
Latură = 2prh

Suprafața completă a unui cilindru

În cele din urmă, dacă adunăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală...
suprafata cilindrului. Suprafața cilindrului este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Uneori această expresie este scrisă cu formula identică 2πr.

Suprafața laterală a cilindrului

Număr de roți = 4 număr de mașini. Găsiți o modalitate comună de a reprezenta schimbarea directă. Când vorbim despre intrare și ieșire într-o ecuație, de obicei ne referim la acea ecuație ca o funcție. Acum să punem aceste simboluri într-o ecuație. Să ne uităm la un alt exemplu de variație directă. Când clienții cumpără mult cutii de carton la un moment dat, ea trebuie să adune totalurile cu hârtie și creion și este îngrijorată că va greși. Din fericire pentru Mary, acesta este un factor de schimbare înainte, ieșirea este egală cu intrarea printr-o constantă.

Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr
r este raza cilindrului, h este înălțimea cilindrului

Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru

Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.

1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului

Suprafața totală se calculează prin formula: Sside. = 2prh

Ea poate folosi o ecuație de variație directă pentru a crea un tabel de preț și să-l folosească ca scurtătură. În acest caz, costul total = cost pe cutie cantitate de cutii. Cost total = 99 număr de cutii. Această caracteristică este formată din puncte individuale, deoarece oficiul poștal vinde doar cutii individuale. Dar puteți vedea că toate punctele sunt distribuite uniform și par să formeze o linie. De asemenea, puteți vedea că atâta timp cât nu este pe diagramă, punctul satisface funcția, costul pentru 0 cutii va fi 0 USD.

Latură = 2 * 3,14 * 2 * 3

Latură = 6,28 * 6

Latură = 37,68

Suprafața laterală a cilindrului este de 37,68.

2. Cum să găsiți suprafața unui cilindru dacă înălțimea este 4 și raza este 6?

Suprafața totală se calculează prin formula: S = 2πr2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 62 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Suprafața cilindrului este de 376,8.

Acum să ne uităm la graficul ecuației de variație directă și să observăm diferența cu graficul anterior. Imaginați-vă un robinet care umple o cadă cu o viteză de 5 galoane pe minut. Cantitatea de apă din baie depinde de timpul în care robinetele rămân deschise. Puteți vizualiza relația dintre timp și apa de baie cu următoarea formulă.

Să facem o diagramă pentru a înregistra relația de timp cu cantitatea de apă din baie. După 1 minut există 5 galoane în cadă. După 2 minute, totalul este de 5 galoane și așa mai departe. pentru a afla oricând cantitatea totală de apă din baie, puteți înmulți timpul cu 5 galoane pe minut. Șase minute ar trebui să vă ofere suficiente puncte pentru a face graficul util.

3 Aria suprafeței laterale a unui cilindru circular drept este 24π, iar diametrul bazei este 3. Aflați înălțimea cilindrului.

Din formula pentru calcularea ariei suprafeței laterale a cilindrului Sbok. = 2πrh rezultă că înălțimea este:

H = Sside/2πr

Valoarea razei se obține din formula: d = 2r

Înălțimea cilindrului este de 8.


(Fără evaluări încă)

  1. Scopul lecției: acela de a afla rolul parametrilor energetici, principalul fiind densitatea fluxului de radiații către receptorii undelor electromagnetice radiate. Verificați progresul lecției teme pentru acasă metoda de testare 1. În 1887, au fost experimental...
  2. Erst die jüngere Geschichte hat die alte Handelsstadt Zittau ins Abseits gerückt. In den umliegenden Dörfern des Hausgebirges wurde das Zittauer Leinen gewebt. Ende des 17. Jahrhunderts war sie nach... Scopul lecției: să formeze capacitatea de a descrie mișcarea unui punct cu accelerație variabilă; a determina accelerație centripetă viteză liniară și unghiulară cu mișcare uniformă a unui punct de-a lungul unui cerc. Progresul lecției Verificarea temelor prin efectuarea unui studiu independent...
  3. La fabricarea produselor puzzle din materiale lemnoase pe marginile lor există nereguli care trebuie nivelate și curățate. Astfel de operațiuni tehnologice se realizează cu pile și piei de șlefuit. Pila este o tăiere cu mai multe tăieturi...
  4. Scopul lecției: obținerea unei ecuații care descrie procesul oscilator în orice punct al spațiului în timpul propagării unei unde; cum se propagă undele într-un mediu. În timpul orelor. Verificarea temelor prin sondaj individual 1. Conform afișului...
  5. Scopul lecției: dezvoltarea abilităților de rezolvare a problemelor folosind conceptele de tensiune, potențial, muncă câmp electric asupra mișcării încărcăturii; continuă să formeze capacitatea de a gândi, compara, trage concluzii, nota în caiete. In timpul cursurilor...
  6. Scopul lecției: controlul asupra cunoștințelor și aptitudinilor elevilor dobândite în studiul temei. În timpul orelor Organizarea timpului. Efectuarea lucrărilor de control. Opțiune - 1 (nivel - 1) 1 În timp ce sări în...


 

Ar putea fi util să citiți: