Poligoane regulate în jurul nostru în viața umană. Poliedre regulate în știință și viața de zi cu zi

Natura vie.

Poliedrele regulate sunt cele mai „profitabile” figuri. Și natura folosește pe scară largă acest lucru. Cristalele unor substanțe cunoscute nouă au forma unor poliedre regulate. Asa de, cub transmite formă cristalele de sare de masă NaCl, un singur cristal de alaun de aluminiu-potasiu au forma unui octaedru, un cristal de pirit de sulf FeS - un dodecaedru, sulfat de sodiu de antimoniu - un tetraedru, bor - un icosaedru. Poliedrele regulate determină forma rețelelor cristaline ale multor substanțe chimice.

Acum s-a dovedit că procesul de formare a unui embrion uman dintr-un ou se realizează prin împărțirea acestuia conform legii „binare”, adică mai întâi oul se transformă în două celule. Apoi, la stadiul de patru celule, embrionul ia forma unui tetraedru, iar la stadiul de opt celule, ia forma a două tetraedre legate (tetraedru stela sau cub), (Anexa nr. 1, Fig. 3). ). Din două cuburi în stadiul de șaisprezece celule se formează o sferă, iar dintr-o sferă la un anumit stadiu de diviziune se formează un tor de 512 celule. Pământul Planta și câmpul său magnetic sunt, de asemenea, un torus.

Quasicristale de Dan Shekhtman.

12 noiembrie 1984 într-un scurt articol publicat în revista de autoritate „ Scrisori de revizuire fizică» Fizicianul israelian Dan Shechtman, a prezentat dovezi experimentale ale existenței unui aliaj metalic cu proprietăți excepționale. Când a fost studiat prin metode de difracție a electronilor, acest aliaj a arătat toate semnele unui cristal. Modelul său de difracție este compus din puncte strălucitoare și distanțate în mod regulat, la fel ca un cristal. Cu toate acestea, această imagine este caracterizată de prezența simetriei „icosaedrice” sau „pentangonale”, care este strict interzisă în cristal din motive geometrice. Au fost numite astfel de aliaje neobișnuite cvasicristale.În mai puțin de un an au fost descoperite multe alte aliaje de acest tip. Au fost atât de multe, încât starea cvasicristalină s-a dovedit a fi mult mai comună decât s-ar putea imagina.

Ce este un cvasicristal? Care sunt proprietățile sale și cum poate fi descris? După cum am menționat mai sus, conform legea de bază a cristalografiei Se impun restricții stricte asupra structurii cristaline. Conform conceptelor clasice, un cristal este compus dintr-o singură celulă, care ar trebui să „acopere” strâns (față în față) întregul plan fără nicio restricție.

După cum este cunoscut, umplerea densă a planului poate fi efectuată folosind triunghiuri, pătrateȘi hexagoane. Prin utilizarea pentagoane (Pentagoane) o astfel de umplere este imposibilă.

Acestea erau canoanele cristalografiei tradiționale, care existau înainte de descoperirea unui aliaj neobișnuit de aluminiu și mangan, numit cvasicristal. Un astfel de aliaj este format prin răcirea ultra-rapidă a topiturii cu o rată de 106 K pe secundă. Mai mult, în timpul unui studiu de difracție a unui astfel de aliaj, pe ecran apare un model ordonat, caracteristic simetriei unui icosaedru, care are celebrele axe de simetrie de ordinul 5 interzise.

În următorii câțiva ani, mai multe grupuri științifice din întreaga lume au studiat acest aliaj neobișnuit folosind microscopia electronică de înaltă rezoluție. Toate au confirmat omogenitatea ideală a substanței, în care s-a păstrat simetria de ordinul 5 în regiuni macroscopice cu dimensiuni apropiate de cele ale atomilor (câteva zeci de nanometri).

Conform vederilor moderne, a fost dezvoltat următorul model pentru obținerea structurii cristaline a unui cvasicristal. Acest model se bazează pe conceptul de „element de bază”. Conform acestui model, un icosaedru interior de atomi de aluminiu este înconjurat de un icosaedru exterior de atomi de mangan. Icosaedrii sunt conectați prin octaedre ale atomilor de mangan. „Elementul de bază” conține 42 de atomi de aluminiu și 12 atomi de mangan. În timpul procesului de solidificare, are loc formarea rapidă a „elementelor de bază”, care sunt conectate rapid între ele prin „punți” octaedrice rigide. Amintiți-vă că fețele icosaedrului sunt triunghiuri echilaterale. Pentru ca o punte de mangan octaedrica să se formeze, este necesar ca două astfel de triunghiuri (câte unul în fiecare celulă) să se apropie suficient unul de celălalt și să se alinieze în paralel. Ca rezultat al unui astfel de proces fizic, se formează o structură cvasicristalină cu simetrie „icosaedrică”.

În ultimele decenii, au fost descoperite multe tipuri de aliaje cvasicristaline. Pe lângă cele cu simetrie „icosaedrică” (ordinul 5), există și aliaje cu simetrie decagonală (ordinul 10) și simetrie dodecagonală (ordinul 12). Proprietățile fizice ale cvasicristalelor au început să fie studiate abia recent.

După cum se menționează în articolul lui Gratia menționat mai sus, „rezistența mecanică a aliajelor cvasicristaline crește brusc; absența periodicității duce la o încetinire a propagării dislocațiilor față de metalele convenționale... Această proprietate are o mare importanță practică: utilizarea fazei icosaedrice va face posibilă obținerea de aliaje ușoare și foarte rezistente prin introducerea. Particule fine cvasicristale într-o matrice de aluminiu”.

Tetraedrul în natură.

1. Fosfor

Acum mai bine de trei sute de ani, când alchimistul din Hamburg Genning Brand a descoperit element nou- fosfor. Ca și alți alchimiști, Brand a încercat să găsească elixirul vieții sau piatra filosofală, cu ajutorul căreia bătrânii par mai tineri, bolnavii își revin, iar metalele comune se transformă în aur. În timpul unuia dintre experimente, a evaporat urina, a amestecat reziduul cu cărbune și nisip și a continuat evaporarea. Curând, în replică s-a format o substanță care strălucea în întuneric. Cristalele de fosfor alb sunt formate din molecule P4. O astfel de moleculă are forma unui tetraedru.

2. Acidul hipofosforic H 3 RO 2 .

Molecula sa are forma unui tetraedru cu un atom de fosfor în centru; la vârfurile tetraedrului sunt doi atomi de hidrogen, un atom de oxigen și o grupare hidroxo.

3. Metan.

Celulă de cristal metan are forma unui tetraedru. Metanul arde cu o flacără incoloră. Formează amestecuri explozive cu aerul. Folosit ca combustibil.

4. Apă.

O moleculă de apă este un mic dipol care conține sarcini pozitive și negative la poli. Deoarece masa și sarcina nucleului de oxigen este mai mare decât cea a nucleelor de hidrogen, norul de electroni este tras spre nucleul de oxigen. În acest caz, nucleele de hidrogen sunt „expuse”. Astfel, norul de electroni are o densitate neuniformă. Există o lipsă de densitate electronică în apropierea nucleelor de hidrogen, iar pe partea opusă a moleculei, lângă nucleul de oxigen, există un exces de densitate electronică. Această structură determină polaritatea moleculei de apă. Dacă conectați epicentrii sarcinilor pozitive și negative cu linii drepte, obțineți o figură geometrică tridimensională - un tetraedru obișnuit.

5. Amoniac.

Fiecare moleculă de amoniac are o pereche de electroni neîmpărtășită la atomul de azot. Orbitalii atomilor de azot care conțin perechi de electroni neîmpărțiți se suprapun cu sp Orbitali 3-hibrizi ai zincului(II), formând un cation complex tetraedric al tetraaminei zinc(II) 2+.

6. Diamant

Celula unitară a unui cristal de diamant este un tetraedru cu atomi de carbon localizați în centru și patru vârfuri. Atomii situati la varfurile tetraedrului formeaza centrul noului tetraedru si sunt astfel inconjurati fiecare de inca patru atomi etc. Toți atomii de carbon din rețeaua cristalină sunt localizați la aceeași distanță (154 pm) unul de celălalt.

Cub (hexaedru) în natură.

Dintr-un curs de fizică știm că substanțele pot exista în trei stări de agregare: solidă, lichidă, gazoasă. Ele formează rețele cristaline.

Rețelele cristaline ale substanțelor sunt un aranjament ordonat de particule (atomi, molecule, ioni) în puncte strict definite din spațiu. Punctele de plasare ale particulelor se numesc noduri de rețea cristalină.

În funcție de tipul de particule situate la nodurile rețelei cristaline și de natura conexiunii dintre acestea, se disting 4 tipuri de rețele cristaline: ionice, atomice, moleculare, metalice.

IONIC

Rețelele cristaline ionice sunt cele ale căror noduri conțin ioni. Sunt formate din substanțe cu legături ionice. Rețelele cristaline ionice conțin săruri și unii oxizi și hidroxizi metalici. Să luăm în considerare structura unui cristal de sare de masă, în nodurile căruia se află ioni de clor și sodiu. Legăturile dintre ionii dintr-un cristal sunt foarte puternice și stabile. Prin urmare, substanțele cu o rețea ionică au duritate și rezistență ridicate, sunt refractare și nevolatile.

Rețelele cristaline ale multor metale (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au și altele) au formă de cub.

MOLECULAR

Moleculare sunt rețele cristaline în care moleculele sunt situate la noduri. Legăturile chimice din ele sunt covalente, atât polare, cât și nepolare. Legăturile dintre molecule sunt puternice, dar legăturile dintre molecule nu sunt puternice. Mai jos este rețeaua cristalină a lui I 2. Substanțele cu MCR au duritate scăzută, se topesc la temperaturi scăzute, sunt volatile, iar în condiții normale sunt în stare gazoasă sau lichidă. poliedru simetrie tetraedru

Icosaedrul în natură.

Fulerenele sunt structuri policiciclice uimitoare de formă sferică, constând din atomi de carbon legați în inele cu șase și cinci membri. Aceasta este o nouă modificare a carbonului, care, spre deosebire de cele trei modificări cunoscute anterior (diamantul, grafitul și carbina), se caracterizează mai degrabă printr-o structură moleculară decât un polimer, de exemplu. moleculele de fuleren sunt discrete.

Aceste substanțe și-au primit numele de la inginerul și arhitectul american Richard Buckminster Fuller, care a proiectat structuri arhitecturale, format din hexagoane și pentagoane.

Fulerenele C 60 și C 70 au fost sintetizate pentru prima dată în 1985 de H. Kroto și R. Smalley din grafit sub influența unui fascicul laser puternic. D. Huffman și W. Kretschmer au reușit să obțină C 60 -fulerenă în cantități suficiente pentru cercetare în 1990, care au evaporat grafitul folosind un arc electric într-o atmosferă de heliu. În 1992, fullerene naturale au fost descoperite în mineralul de carbon - incurca-l(acest mineral și-a primit numele de la numele satului Shunga din Karelia) și alte roci precambriene.

Moleculele de fullerenă pot conține de la 20 la 540 de atomi de carbon localizați pe o suprafață sferică. Cel mai stabil și cel mai bine studiat dintre acești compuși, C60-fulerena (60 de atomi de carbon), constă din 20 de inele cu șase atomi și 12 inele cu cinci membri. Scheletul de carbon al moleculei de C 60 -fulerenă este icosaedru trunchiat.

În natură există obiecte cu simetrie de ordinul 5. De exemplu, se cunosc viruși care conțin ciorchini în formă de icosaedru.

Structura adenovirusurilor are, de asemenea, forma unui icosaedru. Adenovirusuri (din grecescul aden - fier și virusuri), o familie de virusuri ADN care provoacă boli adenovirale la oameni și animale.

Virusul hepatitei B este agentul cauzal al hepatitei B, principalul reprezentant al familiei hepadnovirusurilor. Această familie include și virusurile hepatotrope ale marmotelor, veverițelor de pământ, rațelor și veverițelor. Virusul hepatitei B conține ADN. Este o particulă cu un diametru de 42-47 nm, constă dintr-un nucleu - un nucleoid, în formă icosaedru cu diametrul de 28 nm, în interiorul căruia se află ADN, o proteină terminală și enzima ADN polimeraza.

Limba proiectului:

La începutul secolului trecut, marele arhitect francez Corbusier a exclamat odată: „Totul în jur este geometrie!” Astăzi, la începutul secolului XXI, putem repeta această exclamație cu și mai mare uimire. De fapt, uită-te în jur - geometria este peste tot! Cunoștințele și abilitățile geometrice, cultura și dezvoltarea geometrică sunt astăzi semnificative din punct de vedere profesional pentru multe specialități moderne, pentru designeri și constructori, pentru muncitori și oameni de știință. Este important ca geometria să fie un fenomen al culturii umane universale. O persoană nu se poate dezvolta cu adevărat cultural și spiritual dacă nu a studiat geometria la școală; geometria a apărut nu numai din nevoile practice, ci și din nevoile spirituale ale omului.

Geometrie- aceasta este o lume întreagă care ne înconjoară încă de la naștere. La urma urmei, tot ceea ce vedem în jur se referă la geometrie într-un fel sau altul, nimic nu scapă privire atentă. Geometria ajută o persoană să meargă prin lume cu ochii larg deschiși, îl învață să privească cu atenție în jur și să vadă frumusețea lucrurilor obișnuite, să privească și să gândească, să gândească și să tragă concluzii.

eu.Poligoane regulate

Geometria este o știință străveche și primele calcule au fost făcute cu peste o mie de ani în urmă. Oamenii antici făceau ornamente din triunghiuri, romburi și cercuri pe pereții peșterilor. Din cele mai vechi timpuri, poligoanele regulate au fost considerate un simbol al frumuseții și perfecțiunii. De-a lungul timpului, omul a învățat să folosească proprietățile figurilor în viața practică. Geometria în viața de zi cu zi. Pereții, podeaua și tavanul sunt dreptunghiuri. Multe lucruri seamănă cu un pătrat, un romb, un trapez.

Dintre toate poligoanele cu număr dat laturile, cel mai plăcut ochiului este un poligon regulat, în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale. Unul dintre aceste poligoane este un pătrat, sau cu alte cuvinte, un pătrat este un patrulater regulat.

Un pătrat poate fi definit în mai multe moduri: un pătrat este un dreptunghi în care toate laturile sunt egale, iar un pătrat este un romb în care toate unghiurile sunt drepte.

Dintr-un curs de geometrie școlar știm: un pătrat are toate laturile egale, toate unghiurile sunt unghiuri drepte,

Diagonalele sunt egale, reciproc perpendiculare, punctul de intersecție bisectează și bisectează colțurile pătratului.

Piața are o serie de proprietăți interesante. Deci, de exemplu, dacă trebuie să încadrați o zonă patruunghiulară din cea mai mare zonă cu un gard de o anumită lungime, atunci ar trebui să alegeți această zonă sub forma unui pătrat.

Pătratul are simetrie, ceea ce îi conferă simplitate și o anumită perfecțiune a formei: pătratul servește ca etalon pentru măsurarea ariilor tuturor figurilor.

1. Pătrate magice

Pătratele magice folosesc puterea numerelor și literelor ebraice cu care sunt asociate pentru a atrage puterea planetară în talisman.

Agrippa a subliniat că anticii considerau numerele cheia înțelegerii universului. Fiecare număr avea o anumită semnificație pentru ei și fiecare exemplu matematic era considerat sacru. Forțele planetare aveau numere care au fost atribuite arborelui cabalistic al vieții. Pentru Marte este un cinci; Venus are un șapte; Saturn are un trei; Luna are un nouă; Jupiter are un patru. Pătratele magice sunt rețele de numere, atunci când sunt adăugate orizontal, vertical și diagonal, rezultatul este acelasi numar.

1. Tangram

Tangram este un joc de renume mondial bazat pe puzzle-uri chinezești antice. Potrivit legendei, acum 4 mii de ani, un bărbat și-a pierdut-o pe a lui placă ceramicăși s-a rupt în 7 părți. Încântat, a încercat să o adune cu toiagul său. Dar din părțile nou compuse am primit noi imagini interesante de fiecare dată. Curând, această activitate s-a dovedit a fi atât de incitantă și de nedumerită încât pătratul format din șapte forme geometrice a fost numit Consiliul Înțelepciunii. Dacă tăiați un pătrat, obțineți popularul puzzle chinezesc TANGRAM, care în China se numește „chi tao tu”, adică. puzzle mental din șapte piese. Numele „tangram” își are originea în Europa cel mai probabil de la cuvântul „tan”, care înseamnă „chineză” și rădăcina „gram”. În țara noastră este acum obișnuit sub numele de „Pitagora”.

1. Poligoane stelare

Pe lângă poligoanele obișnuite obișnuite, există și cele stelate.

Termenul „stelat” are o rădăcină comună cu cuvântul „stea”, iar acest lucru nu indică originea acestuia.

Pentagonul stelar se numește pentagramă. Pitagoreicii au ales o stea cu cinci colțuri ca talisman; era considerată un simbol al sănătății și servea drept semn de identificare.

Există o legendă că unul dintre pitagoreici era bolnav în casa străinilor. Au încercat să-l scoată afară, dar boala nu s-a liniștit. Fără mijloace de plată a tratamentului și îngrijirilor, pacientul, înainte de moarte, i-a cerut proprietarului casei să deseneze o stea cu cinci colțuri la intrare, explicând că prin acest semn vor exista oameni care să-l răsplătească. Și, de fapt, după ceva timp, unul dintre pitagoreicii călători a observat o stea și a început să-l întrebe pe proprietarul casei cum a apărut ea la intrare. După povestea proprietarului, invitatul l-a răsplătit cu generozitate.

Pentagrama era bine cunoscută în Egiptul Antic. Dar a fost adoptat direct ca emblemă a sănătății doar în Grecia Antică. A fost steaua cu cinci colțuri a mării care ne-a „sugerat” raportul de aur. Acest raport a fost numit mai târziu „raportul de aur”. Acolo unde este prezent, se simt frumusețea și armonia. Un om bine construit, o statuie, magnificul Partenon creat la Atena sunt de asemenea supuse legilor raportului de aur. Da, toată viața umană are nevoie de ritm și armonie.

eueu. Poligoane în natură

1. Fagure de miere

Poligoane regulate se găsesc în natură. Un exemplu este fagurele, care este un poligon acoperit cu hexagoane regulate. Desigur, nu au studiat geometria, dar natura i-a înzestrat cu talentul de a construi case sub formă de forme geometrice. Pe aceste hexagoane, albinele cresc celule din ceară. Albinele depun miere în ele, apoi le acoperă din nou cu un dreptunghi solid de ceară.

De ce au ales albinele hexagonul?

Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să comparați perimetrele diferitelor poligoane care au aceeași zonă. Să fie dat un triunghi regulat, un pătrat și un hexagon regulat. Care dintre aceste poligoane are cel mai mic perimetru?

Fie S aria fiecăreia dintre figurile numite, latura a n fi n-gonul regulat corespunzător.

Pentru a compara perimetrele, notăm raportul lor: P3: P4: P6 = 1: 0,877: 0,816

Vedem că dintre cele trei poligoane regulate cu aceeași zonă, hexagonul regulat are cel mai mic perimetru. Prin urmare, albinele înțelepte economisesc ceară și timp pentru construirea fagurilor de miere.

Secretele matematice ale albinelor nu se termină aici. Este interesant să explorezi în continuare structura fagurilor de albine. Albinele inteligente umplu spațiul astfel încât să nu mai rămână goluri, economisind 2% de ceară. Cum să nu fii de acord cu opinia Albinei din basmul „O mie și una de nopți”: „Casa mea a fost construită conform legilor celei mai stricte arhitecturi. Euclid însuși ar putea învăța din geometria fagurelui meu.” Astfel, cu ajutorul geometriei, am atins secretul capodoperelor matematice din ceară, asigurându-ne încă o dată de eficacitatea cuprinzătoare a matematicii.

Deci, albinele, neștiind matematică, au „determinat” corect că un hexagon obișnuit are cel mai mic perimetru dintre figurile cu suprafață egală.

Atunci când construiesc faguri, albinele încearcă instinctiv să le facă cât mai spațioase, folosind cât mai puțină ceară. Forma hexagonală este cea mai economică și eficientă formă pentru construcția de fagure.

Volumul celulei este de aproximativ 0,28 cm3. Când construiesc faguri, albinele folosesc câmpul magnetic al pământului ca ghid. Celulele fagurilor sunt drona, mierea și puietul. Ele diferă ca mărime și adâncime. Cele de miere sunt mai adânci, cele de drone sunt mai largi.

1. Fulg de nea.

Un fulg de zăpadă este una dintre cele mai frumoase creaturi ale naturii.

Simetria hexagonală naturală provine din proprietățile moleculei de apă, care are o rețea cristalină hexagonală ținută împreună prin legături de hidrogen, permițându-i să aibă o formă structurală cu energie potențială minimă în atmosfera rece.

Frumusețea și varietatea formelor geometrice ale fulgilor de zăpadă este încă considerată un fenomen natural unic.

Matematicienii au fost în mod special uimiți de „lucurile mici” găsite în mijlocul fulgului de nea. punct alb, de parcă ar fi fost semnul piciorului unei busole, care era folosit pentru a-i contura circumferința.” Marele astronom Johannes Kepler în tratatul său „Darul de Anul Nou. Despre fulgii de zăpadă hexagonali” a explicat forma cristalelor prin voia lui Dumnezeu. Omul de știință japonez Nakaya Ukichiro a numit zăpada „o scrisoare din cer, scrisă în hieroglife secrete”. El a fost primul care a creat o clasificare a fulgilor de nea. Singurul muzeu al fulgilor de zăpadă din lume, situat pe insula Hokkaido, poartă numele lui Nakai.

Deci, de ce sunt fulgii de zăpadă hexagonali?

Chimie:În structura cristalină a gheții, fiecare moleculă de apă participă la 4 legături de hidrogen direcționate către vârfurile tetraedrului la unghiuri strict definite egale cu 109°28" (în structurile de gheață I, Ic, VII și VIII acest tetraedru este regulat). centrul acestui tetraedru este un atom de oxigen, în două vârfuri - un atom de hidrogen, ai cărui electroni sunt implicați în formarea unei legături covalente cu oxigenul. Cele două vârfuri rămase sunt ocupate de perechi de electroni de valență ai oxigenului, care nu nu participă la formarea legăturilor intramoleculare Acum devine clar de ce cristalul de gheață este hexagonal.

Caracteristica principală care determină forma unui cristal este legătura dintre moleculele de apă, similară conexiunii legăturilor dintr-un lanț. În plus, datorită raporturilor diferite de căldură și umiditate, cristalele, care în principiu ar trebui să fie aceleași, iau forme diferite. Ciocnind cu picături mici suprarăcite pe drum, fulgul de zăpadă își simplifică forma, menținând în același timp simetria.

III. Poligoane din jurul nostru

1. Parchet

Șopârlele înfățișate de artistul olandez M. Escher formează, după cum spun matematicienii, un „parchet”. Fiecare șopârlă se potrivește perfect cu vecinii săi, fără cel mai mic decalaj, precum parchetul.

O diviziune obișnuită a unui plan, numită „mozaic”, este un set de figuri închise care poate fi folosit pentru a placa planul fără intersecții ale figurilor și goluri între ele. În mod obișnuit, matematicienii folosesc poligoane simple, cum ar fi pătrate, triunghiuri, hexagoane, octogoane sau combinații ale acestor figuri, ca forme pentru a face mozaicuri.

Pardoselile frumoase de parchet sunt realizate din poligoane obișnuite: triunghiuri, pătrate, pentagoane, hexagoane, octogoane. De exemplu, cercurile nu pot forma parchet.

Parchetul a fost întotdeauna considerat un simbol al prestigiului și gust bun. Utilizarea speciilor de lemn valoroase pentru producerea de parchet de lux și utilizarea diferitelor modele geometrice conferă încăperii rafinament și respectabilitate.

Istoria parchetului artistic în sine este foarte veche - datează din aproximativ secolul al XII-lea. Atunci au început să apară noi tendințe la acea vreme în conace nobiliare și nobiliare, palate, castele și moșii ale familiei - monograme și însemne heraldice pe podeaua sălilor, holurilor și vestibulelor, ca semn al apartenenței speciale cu puternic al lumii acest. Primul parchet artistic a fost amenajat destul de primitiv, din punct de vedere modern - din piese obișnuite din lemn care se potriveau cu culoarea. Astăzi, este disponibilă formarea de ornamente complexe și combinații de mozaic. Acest lucru se realizează datorită tăierii mecanice și cu laser de înaltă precizie.

2. Teselație

Teselațiile, cunoscute și sub numele de tiling, sunt colecții de forme care acoperă întregul plan matematic, potrivindu-se fără suprapunere sau goluri. Teselațiile obișnuite constau din figuri sub formă de poligoane regulate, atunci când sunt combinate, toate colțurile au aceeași formă. Există doar trei poligoane potrivite pentru utilizare în teselații obișnuite. Acestea sunt un triunghi regulat, un pătrat și un hexagon regulat. Teselațiile semiregulate sunt acelea în care se folosesc poligoane regulate de două sau trei tipuri și toate vârfurile sunt aceleași. Există doar 8 teselații semiregulate. Împreună, cele trei teselații regulate și cele opt semiregulate se numesc arhimedei. Teselarea, în care plăcile individuale sunt figuri recunoscute, este una dintre temele principale ale operei lui Escher. Caietele sale conțin peste 130 de variante de teselații. Le-a folosit într-un număr mare de picturi ale sale, inclusiv „Ziua și noaptea” (1938), seria de picturi „Limita cercului” I-IV și celebrele „Metamorfoze” I-III (1937-1968) . Exemplele de mai jos sunt picturi ale autorilor contemporani Hollister David și Robert Fathauer.

3. Patchwork din poligoane

Dacă dungile, pătratele și triunghiurile pot fi tratate fără pregătire specială și fără abilități de utilizare mașină de cusut, atunci poligoane vor necesita multă răbdare și pricepere din partea noastră. Mulți matlasari preferă să asambleze poligoane manual. Viața fiecărei persoane este un fel de pânză patchwork, în care momentele luminoase și magice alternează cu zile gri și întunecate.

Există o pildă despre mozaic. „O femeie a venit la înțelept și i-a spus: „Învățătorule, am totul: un soț, copii și o casă - o ceașcă plină, dar am început să mă gândesc: de ce toate acestea? Și viața mea s-a prăbușit, totul nu este un bucurie!" Înțeleptul a ascultat-o, s-a gândit la asta și a sfătuit-o să încerce să-și coasă viața. Femeia l-a lăsat pe înțelept în îndoială, dar a încercat. Ea a luat un ac și ață și a cusut o bucată din îndoielile ei pe o bucată de cer albastru pe care a văzut-o în fereastra camerei ei. Nepotul ei mic a râs, iar ea și-a cusut o bucată de râs pe pânză. Și așa a mers. Pasărea cântă - și se adaugă o altă piesă; te vor jigni până la lacrimi - încă una.

Țesătura mozaic a fost folosită pentru a face pături, perne, șervețele și genți de mână. Și toți cei la care au ajuns au simțit cum s-au instalat bucăți de căldură în sufletele lor și nu au mai fost niciodată singuri, iar viața nu li s-a părut niciodată goală și inutilă.”

Fiecare meșteșugărește, așa cum ar fi, creează pânza vieții ei. Acest lucru poate fi văzut în lucrările Larisei Nikolaevna Gorshkova.

Lucrează cu pasiune creând pilote, cuverturi de pat, covoare, inspirându-se din fiecare dintre lucrările ei.

4. Ornament, broderie și tricotat.

1). Ornament

Ornamentul este unul dintre cele mai vechi tipuri de activitate vizuală umană, care în trecutul îndepărtat a purtat o semnificație magică simbolică, un anumit simbolism. Designul a fost aproape exclusiv geometric, constând din forme stricte de cerc, semicerc, spirală, pătrat, romb, triunghi și diferitele lor combinații. Omul antic și-a înzestrat ideile despre structura lumii cu anumite semne. Cu toate acestea, ornamentistul are o gamă largă atunci când alege motivele pentru compoziția sa. Ele îi sunt furnizate din abundență din două surse - geometrie și natură.

De exemplu, un cerc este soarele, un pătrat este pământul.

2). Broderie

Broderia este unul dintre principalele tipuri de artă ornamentală populară Chuvash. Broderia modernă Chuvash, ornamentația, tehnica și schema de culori sunt legate genetic de cultura artistică a poporului Chuvash din trecut.

Arta broderiei are o istorie lungă. Din generație în generație, modelele și schemele de culori au fost rafinate și îmbunătățite și au fost create mostre de broderie cu trăsături naționale caracteristice. Broderia popoarelor țării noastre se distinge printr-o mare originalitate, o multitudine de tehnici tehnice și scheme de culori.

Fiecare națiune, în funcție de condițiile locale, particularitățile vieții, obiceiurile și natura, și-a creat propriile tehnici de broderie, motive de model și structura lor compozițională. În broderia rusă, de exemplu, mare rol joacă modele geometrice și forme geometrizate ale plantelor și animalelor: romburi, motive ale unei figuri feminine, păsări, precum și un leopard cu laba ridicată.

Soarele era înfățișat în formă de diamant, o pasăre simboliza sosirea primăverii etc.

De mare interes sunt broderiile popoarelor din regiunea Volga: Mari, Mordovieni și Chuvaș. Broderiile acestor popoare au multe caracteristici comune. Diferențele constau în motivele modelelor și execuția tehnică a acestora.

Modele de broderie compuse din forme geometrice și motive foarte geometrice.

Cu această cercetare, am demonstrat că geometria este foarte importantă pentru oameni, că nu există nicio modalitate de a face fără ea. Trebuie studiat. Trebuie aplicat. Geometria face parte din viața noastră.

articole:

Lecție de geometrie în clasa a IX-a pe tema "Poligon regulat"

Dezvoltat

profesor de matematică

MBOU gimnaziu nr 5

Regiunea Nijni Novgorod

Gushchina T.L.

Tipul de lecție: combinat.

Ţintă: formarea la elevi a conceptului de poligon regulat.

Sarcini:

Formarea la elevi a conceptului de poligon regulat, aplicarea acestuia, cunoașterea formulei de calcul al unghiului unui poligon regulat;

Dezvoltarea atenției, memoriei, vorbirii, imaginației, interesului cognitiv pentru subiect;

Activitate de cultivare, observație, curiozitate și o atitudine creativă față de munca educațională.

Cheltuirea timpului: 40 de minute.

Echipamente și materiale pentru lecție:

prezentare, proiector multimedia, calculator, ecran, fișă suport pentru umplere (Anexa 1), modele de poligoane și poliedre obișnuite, desene pe foi (Anexa 2) sau tablă.

Structura lecției:

Partea motivațională și orientare:

1.1. Organizarea timpului(1 minut).

1.2. „Licitație „5” pe tema „Poligon” (5 minute).

1.3. Completarea a 1 parte a tabelului (3 minute)

Partea operațional-cognitivă:

2.1. Învățarea de materiale noi (10 minute).

2.2. Educație fizică (1 minut).

2.3. Teme pentru acasă(2 minute).

2.4. Consolidarea materialului studiat (10 minute).

2.5. „Five Minutes” (material istoric) (5 minute).

Partea reflecto-evaluative:

3.1. Reflecție (2 minute).

3.2. Vizarea activităților de învățare ulterioare (1 minut).

Forme de lucru a elevilor: frontală, individuală.

Numărul lecției în subiect: 1

Etapa lecției	Nu.	Activitatea elevilor

Organizarea timpului.	Buna baieti! Astăzi începem să studiem capitol nou„Circumferința și aria unui cerc”. Am început să studiem aceste subiecte în clasa a VI-a. (sunt raportate rezultatele testului)
Pregătirea pentru percepție subiect nou. Licitația „5”	Lecția de astăzi o vom dedica poligoanelor. Vom organiza o „licitație a celor cinci”. Cine poate formula cât mai multe definiții și enunțuri pe tema „Poligoane” va primi nota „5”. Însoțim toate definițiile arătându-le pe modele.	Raspunsuri posibile: definiții ale unui poligon, vârfuri, laturi, perimetru, vârfuri adiacente, n-gon, diagonală, regiune internă și externă, poligon convex, suma unghiurilor unui poligon etc.

Nu.	Etapa lecției	Activitățile profesorului	Activitatea elevilor
1. Partea motivațională și orientare.
	Completarea tabelului (Anexa 1).	Fiecare dintre voi are o foaie tipărită pe birou. Acum vei completa prima parte cu un creion, până la linie. Și apoi vom verifica împreună cum ați făcut-o.	Completați.
	Verificarea umpluturii	Întrebări suplimentare: Ce tipuri de triunghiuri cunoști? În ce grupuri pot fi împărțite toate patrulaterele? Ce tetragoane sunt paralelograme? Tipuri de trapeze. Care este suma unghiurilor unui triunghi? patrulater?	Ei răspund.

Nu.	Etapa lecției	Activitățile profesorului	Activitatea elevilor

	Învățarea de materiale noi.	Acum priviți cu atenție poligoanele care sunt afișate sub linie. Ce au in comun? Încercați să definiți un poligon regulat. Acum să găsim această definiție în manual și să o repetăm de 3 ori. Vă rugăm să completați toate spațiile libere de pe foaie până la cuvântul „Notă”. Și acum poți ghici cu ușurință ghicitoarea mea: El este un poligon convex, Toate părțile sunt egale Și toate unghiurile sunt egale, Ale cui sunt date aici? Uită-te la modele și spune-mi dacă acest poligon este obișnuit? Arata modelele.	Convex. Au laturi egale. Au unghiuri egale. Formula. Repeta. Completați foaia. Ei ghicesc. Ei răspund.
	Etapa lecției	Activitățile profesorului	Activitatea elevilor
2. Partea operațional-cognitivă.
	Învățarea de materiale noi.	Numiți acum numerele desenelor care arată poligoane regulate. (Anexa 2) Stabiliți dacă afirmația este corectă: Un poligon se numește regulat dacă toate laturile lui sunt egale. Un poligon se numește regulat dacă toate unghiurile sale sunt egale. Cum se calculează perimetrul unui poligon regulat? Cum se calculează unghiul unui poligon regulat? Completați spațiile libere de pe foaie.	Ei o numesc. Nu. (romb) Nu. (dreptunghi) Completați.
	Minut de educație fizică.	Ca orice instituție, avem un minut de pauză: Clasa a noua s-a ridicat împreună - aceasta este „o dată” Capul întors - este „2”, Și întoarceți-vă ochii - este „3”, Și-au întors umerii către „4”, Trebuie să ne întindem degetele - acesta este „5”, Toți băieții trebuie să se așeze - acesta este „6”.	Faceți exercițiile.
	Etapa lecției	Activitățile profesorului	Activitatea elevilor
2. Partea operațional-cognitivă.
	Teme pentru acasă	P.105 p. 94-96 nr. 1081 (d,e), nr. 1083 (b,d) Repetați paginile 174-176
	Consolidarea materialului învățat	Vă rugăm să notați data, munca la clasă, subiectul lecției. Ce am învățat nou astăzi? Și acum rezolvăm totul împreună nr. 1081 (a, b), sub litera „c” independent și nr. 1083 (a, c) împreună.	Repetăm pe scurt.
	„Five Minutes” (material istoric)	Astăzi vă voi spune pe scurt despre unde sunt folosite poligoane obișnuite. Iar în lecțiile următoare, în grupuri, vă veți opri mai detaliat asupra fiecărei întrebări. 1. În clasele 10-11 vom lua în considerare poliedre regulate. Uită-te la foaie, câți sunt? Afișarea modelelor și prezentarea. (diapozitivele 5, 6)
	Etapa lecției	Activitățile profesorului	Activitatea elevilor
2. Partea operațional-cognitivă.
		2. Din poligoane obișnuite puteți realiza 12 tipuri de parchet diferite. (diapozitivul 7) 3. În natură, fagurii arată ca hexagoane obișnuite. Gândiți-vă acasă, de ce albinele nu folosesc triunghiuri sau pătrate? (diapozitivul 8) Vă rugăm să rețineți că fulgul de nea are și forma unui hexagon obișnuit. Cum se întâmplă asta? (diapozitivul 9) Multe organisme marine simple au forma unor poligoane regulate. (diapozitivul 10) 4. De ce sunt poligoanele regulate atât de frumoase? Da, au doar simetrie. (diapozitivul 11) Voi aștepta ca grupurile să vorbească despre aceste probleme.

rezumatul altor prezentări

„Cercul clasa a IX-a” - 2. Ecuația unui cerc. Sarcini. O (ho, oo) este centrul cercului, A (x; y) este punctul cercului. Fie d distanța de la centrul cercului până la un punct dat din plan, R este raza cercului. Nr. 1 Completează tabelul folosind următoarele date: clasa a IX-a. Nr. 2 Deduceți ecuația unui cerc cu centrul în punctul M (-3; 4) care trece prin origine.

„Linia mediană a trapezului” - MN = ? AB. D. Determinarea liniei mediane a trapezului. Continuați propoziția: A. Într-un triunghi puteți construi... linii de mijloc. Linia mediană a trapezului. Teorema despre linia mediană a unui trapez. MN – linia mediană a trapezului ABCD. Linia de mijloc a unui triunghi are proprietatea ... MN || AB.

„Simetrie față de o dreaptă” - Linia dreaptă a este axa de simetrie. http://www.potolok-spb.ru/art/images/butterfly/butterfly14.jpg. http://www.idance.ru/articles/20/767p_sy4.jpg. Care litere au o axă de simetrie? De fapt, chipul uman nu este perfect simetric. http://www.indostan.ru/indiya/foto-video/2774/3844_9_o.jpg. Colţ. Triunghi isoscel. Ray. Construiți un segment A1B1 simetric față de un segment AB în raport cu o dreaptă. Câte axe de simetrie are fiecare figură?

„Pătrate uimitoare” - 1. Cuvânt încrucișat. Forme de bază. 3. Puțină istorie despre origami. Barcă. Flori: un pătrat este un dreptunghi ale cărui laturi sunt toate egale. Arată-mi cât de uimitor este asta figura simplă ca un pătrat. Probleme cu chibriturile. Tăierea într-un pătrat. Mărimea figurinei depinde de dimensiunea pătratului, iar apoi este o chestiune de tehnică și gust. Stația de bărci. Sigiliu. Pătrat uimitor. 4. Plic.

„Cartografiați avionul pe sine” - Cartografiați avionul pe sine. C1. Circulaţie. Simetrie axială. ÎN 1. . A1. Simetria centrală. S.A.V.

„Poligoane regulate” - Scopul lecției: 1. 2. 5. Geometrie - clasa a IX-a. Progresul lecției: Lucrul cu cărți. Concursul „Umpleți tabelul”. Sarcini bazate pe desenul terminat. 3. Rezumatul lecției. „Poligoane regulate”. Dictarea matematică. 6. Lecția generală

Conferință științifică și practică regională

Sectiunea Matematica

DIV_ADBLOCK155">

Etapele lucrării de cercetare:

· selectarea celui care vă interesează teme de cercetare,

· discutarea planului de cercetare și a rezultatelor intermediare,

· lucrul cu diferite surse de informare;

· consultări intermediare cu profesorul,

· vorbitul în public cu prezentarea materialului de prezentare.

Echipamentul folosit: Aparat foto digital, echipamente multimedia.

Ipoteză:

Poligoanele creează frumusețe în mediul uman.

Subiect de cercetare

Proprietățile poligoanelor în viața de zi cu zi, viață, natură.

Notă: Toată lucrarea finalizată conține nu numai material informativ, ci și științific. Fiecare secțiune are o prezentare pe computer care ilustrează fiecare domeniu de cercetare.

Baza experimentala. Finalizarea cu succes a lucrării de cercetare a fost facilitată de o lecție din cercul „Geometrie în jurul nostru” și de lecții de geometrie, geografie și fizică.

Scurtă recenzie a literaturii: Ne-am familiarizat cu poligoane la lecțiile de geometrie. În plus, am aflat din cartea „Geometrie distractivă”, revista „Matematica la școală”, ziarul „Matematică” și dicționarul enciclopedic al unui tânăr matematician editat. Unele date au fost preluate din revista „Citește, învață, joacă”. Multe informații sunt obținute de pe Internet.

Contribuție personală: Pentru a conecta proprietățile poligoanelor cu viața, am început să discutăm cu elevi și profesori ai căror bunici sau alte rude erau angajați în sculptură, broderie, tricotat, mozaic etc. De la ei am primit informații prețioase.

Poligoane

Am decis să explorăm formele geometrice care se găsesc în jurul nostru. Devenind interesați de problemă, am întocmit un plan de lucru. Am decis să studiem: utilizarea poligoanelor în activitati practice persoană. Pentru a răspunde la întrebările puse, a trebuit: să ne gândim singuri, să întrebăm o altă persoană, să consultăm cărți, să facem observații. Am căutat răspunsuri la întrebări în cărți. - Ce poligoane am studiat? Am efectuat o observație pentru a răspunde la întrebare. - Unde pot vedea asta? Lecția a fost ținută activitate extracuriculara la matematică „Parada patrulaterelor”, unde au învățat despre proprietățile patrulaterelor.

Geometria în arhitectură. Arhitectura modernă folosește cu îndrăzneală o varietate de forme geometrice. Mulți Cladiri rezidentiale decorat cu coloane. Figuri geometrice de diferite forme pot fi văzute în construcția de catedrale și design de poduri.

Geometrie în natură. Există multe forme geometrice minunate în natură însăși. Poligoanele create de natură sunt incredibil de frumoase și variate.

eu.Poligoane regulate

Dintre toate poligoanele cu un număr dat de laturi, cel mai plăcut ochiului este poligonul obișnuit, în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale. Unul dintre aceste poligoane este un pătrat, sau cu alte cuvinte, un pătrat este un patrulater regulat.

Un pătrat poate fi definit în mai multe moduri: un pătrat este un dreptunghi în care toate laturile sunt egale, iar un pătrat este un romb în care toate unghiurile sunt drepte.

Dintr-un curs de geometrie școlar știm: un pătrat are toate laturile egale, toate unghiurile sunt unghiuri drepte,

Diagonalele sunt egale, reciproc perpendiculare, punctul de intersecție bisectează și bisectează colțurile pătratului.

Pătratul are simetrie, ceea ce îi conferă simplitate și o anumită perfecțiune a formei: pătratul servește ca etalon pentru măsurarea ariilor tuturor figurilor.

Cartea „Pătratul uimitor” prezintă în detaliu dovezile unor proprietăți ale pătratului, oferă un exemplu de „pătrat perfect” și o soluție la o problemă de tăiere a unui pătrat de către matematicianul arab din secolul al X-lea Abul Vefa.

Cartea lui I. Lehman „Matematică fascinantă” conține câteva zeci de probleme, inclusiv unele vechi de mii de ani. Pentru o înțelegere completă a construcției prin plierea unei bucăți pătrate de hârtie, a fost folosită cartea „Aplicați matematica”. Aici puteți enumera o serie de puzzle-uri pătrate: pătrate magice, tangrame, pentominoe, tetrominoe, polyominoes, stomachions, origami. Vreau să vorbesc despre unele dintre ele.

1. Pătrate magice

Sacru, magice, misterioase, misterioase, perfecte... De îndată ce au fost chemați. „Nu știu nimic mai frumos în aritmetică decât aceste numere, numite planetare de unii și magice de alții”, a scris despre ele celebrul matematician francez, unul dintre creatorii teoriei numerelor, Pierre de Fermat. Atrăgător cu frumusețe naturală, plin de armonie interioară, accesibile, dar încă de neînțeles, ascund multe secrete în spatele aparentei lor simplități...

Faceți cunoștință cu pătratele magice - reprezentanți uimitori ai lumii imaginare a numerelor.

Pătratele magice au apărut în antichitate în China. Probabil cel mai „vechi” dintre pătratele magice care au ajuns până la noi este masa Lo Shu (c. 2200 î.Hr.). Are dimensiunea 3x3 și umplut numere naturale de la 1 la 9.

2. Tangram

Tangram este un joc de renume mondial bazat pe puzzle-uri chinezești antice. Potrivit legendei, acum 4 mii de ani, o țiglă de ceramică a căzut din mâinile unui om și s-a rupt în 7 bucăți. Încântat, a încercat să o adune cu toiagul său. Dar din părțile nou compuse am primit noi imagini interesante de fiecare dată. Curând, această activitate s-a dovedit a fi atât de incitantă și de nedumerită încât pătratul format din șapte forme geometrice a fost numit Consiliul Înțelepciunii. Dacă tăiați un pătrat, obțineți popularul puzzle chinezesc TANGRAM, care în China se numește „chi tao tu”, adică un puzzle mental cu șapte părți. Numele „tangram” își are originea în Europa cel mai probabil de la cuvântul „tan”, care înseamnă „chineză” și rădăcina „gram”. În țara noastră este acum obișnuit sub numele „Pythagoras”

3. Poligoane stelare

Pe lângă poligoanele obișnuite obișnuite, există și cele stelate.

Termenul „stelat” are o rădăcină comună cu cuvântul „stea”, iar acest lucru nu indică originea acestuia.

Pentagonul stelar se numește pentagramă. Pitagoreicii au ales o stea cu cinci colțuri ca talisman; era considerată un simbol al sănătății și servea drept semn de identificare.

4. Poliedre stelare

Multe forme de poliedre stelate sunt sugerate de natura însăși. Fulgii de zăpadă sunt poliedre în formă de stea. Sunt cunoscute câteva mii tipuri variate fulgi de nea. Dar Louis Poinsot a reușit să descopere alte două poliedre stelate 200 de ani mai târziu. Prin urmare, poliedre stelate sunt acum numite corpuri Kepler-Poinsot. Cu ajutorul poliedrelor în formă de stea, forme cosmice fără precedent au izbucnit în arhitectura plictisitoare a orașelor noastre. Poliedrul neobișnuit „Steaua” al Doctorului în Istoria Artei l-a inspirat pe arhitect să realizeze proiectul pentru Biblioteca Națională din Damasc.

Este cunoscută cartea marelui Johannes Kepler „Armonia lumii”, iar în lucrarea sa „Despre fulgii de zăpadă hexagonali” el a scris: „Construirea unui pentagon este imposibilă fără proporția pe care matematicienii moderni o numesc „divină”. El a descoperit primele două poliedre stelate regulate.

Poliedrele în formă de stea sunt foarte decorative, ceea ce le permite să fie utilizate pe scară largă în industria de bijuterii la fabricarea tuturor tipurilor de bijuterii. Sunt folosite și în arhitectură.

Concluzie: Există un număr șocant de mic de poliedre obișnuite, dar această echipă foarte modestă a reușit să intre în profunzimile diferitelor științe.

Poliedrul stelar este un corp geometric încântător de frumos, a cărui contemplare oferă plăcere estetică.

Oamenii antici au văzut frumusețea pe pereții peșterilor în modele de triunghiuri, romburi și cercuri. Din cele mai vechi timpuri, poligoanele regulate au fost considerate un simbol al frumuseții și perfecțiunii.

Pentagonul în formă de stea - pentagrama a fost considerată un simbol al sănătății și a servit drept marcă de identificare a pitagoreenilor.

II.Poligoane în natură

1. Fagure de miere

De ce au ales albinele hexagonul?

Fie S aria fiecăreia dintre figurile numite, latura și n n-gonul regulat corespunzător.

Pentru a compara perimetrele, notăm raportul lor: P3: P4: P6 = 1: 0,877: 0,816

Deci, albinele, neștiind matematică, au „determinat” corect că un hexagon obișnuit are cel mai mic perimetru dintre figurile cu suprafață egală.

În satul nostru locuiește apicultorul Nikolai Mihailovici Kuznetsov. El este cu copilărie timpurie se ocupă cu albinele. El a explicat că atunci când construiesc faguri, albinele încearcă instinctiv să-i facă cât mai mari, folosind cât mai puțină ceară. Forma hexagonală este cea mai economică și eficientă formă pentru construcția de fagure.

2. Fulg de nea.

Un fulg de zăpadă este una dintre cele mai frumoase creaturi ale naturii.

Frumusețea și varietatea formelor geometrice ale fulgilor de zăpadă este încă considerată un fenomen natural unic.

Matematicienii au fost impresionați în special de „punctul alb” găsit în mijlocul fulgului de zăpadă, ca și cum ar fi urma piciorului unui compas folosit pentru a-i contura circumferința.” Marele astronom Johannes Kepler în tratatul său „Darul de Anul Nou. Despre fulgii de zăpadă hexagonali” a explicat forma cristalelor prin voia lui Dumnezeu. Omul de știință japonez Nakaya Ukichiro a numit zăpada „o scrisoare din cer, scrisă în hieroglife secrete”. El a fost primul care a creat o clasificare a fulgilor de nea. Singurul muzeu al fulgilor de zăpadă din lume, situat pe insula Hokkaido, poartă numele lui Nakai.

Deci, de ce sunt fulgii de zăpadă hexagonali?

Geometrie: Principiul formativ a ales un hexagon regulat nu din necesitate determinat de proprietățile materiei și ale spațiului, ci doar datorită proprietății sale inerente de a acoperi planul complet, fără un singur gol și de a fi cel mai aproape de un cerc dintre toate figurile care au aceeași proprietate.

Profesor de fizică – N

La temperaturi sub 0°C, vaporii de apă se transformă imediat în stare solidă, iar în loc de picături se formează cristale de gheață. Cristalul principal de apă are forma unui hexagon regulat în plan. Pe vârfurile unui astfel de hexagon se depun apoi cristale noi, pe ele se depun cristale noi și astfel se obțin acele diverse forme de stele - fulgi de zăpadă, care ne sunt familiare.

profesor de matematica -

Dintre toate figurile geometrice obișnuite, numai triunghiurile, pătratele și hexagourile pot umple un plan fără a lăsa goluri, hexagonul obișnuit acoperind cea mai mare suprafață. Iarna avem multă zăpadă. De aceea natura a ales fulgii de nea hexagonali pentru a ocupa mai putin spatiu.

profesor de chimie -

Forma hexagonală a fulgilor de zăpadă se explică prin structura moleculară a apei, dar întrebarea de ce fulgii de zăpadă sunt plati nu a primit încă un răspuns.

E. Evtușenko exprimă frumusețea fulgilor de zăpadă în poemul său.

De la fulg de zăpadă la gheață
S-a întins pe pământ și pe acoperișuri,
Uimește pe toți cu alb.
Și a fost cu adevărat magnific
Și chiar era frumos...

.
III. Poligoane din jurul nostru

„Arta ornamentului conține într-o formă implicită cea mai veche parte a matematicii superioare cunoscute de noi”

Hermann Weil.

1. Parchet

Pardoselile frumoase de parchet sunt realizate din poligoane obișnuite: triunghiuri, pătrate, pentagoane, hexagoane, octogoane. De exemplu, cercurile nu pot forma parchet.

Parchetul a fost întotdeauna considerat un simbol al prestigiului și al bunului gust. Utilizarea speciilor de lemn valoroase pentru producerea de parchet de lux și utilizarea diferitelor modele geometrice conferă încăperii rafinament și respectabilitate.

Istoria parchetului artistic în sine este foarte veche - datează din aproximativ secolul al XII-lea. Atunci au început să apară noi tendințe la acea vreme în conace nobiliare și nobiliare, palate, castele și moșii ale familiei - monograme și însemne heraldice pe podeaua sălilor, holurilor și vestibulelor, ca semn al apartenenței speciale la puterile care sunt . Primul parchet artistic a fost amenajat destul de primitiv, din punct de vedere modern - din piese obișnuite din lemn care se potriveau cu culoarea. Astăzi, este disponibilă formarea de ornamente complexe și combinații de mozaic. Acest lucru se realizează datorită tăierii mecanice și cu laser de înaltă precizie.

La începutul secolului al XIX-lea, în locul liniilor rafinate ale designului parchetului, au apărut linii simple, contururi curate și forme geometrice regulate și simetrie strictă în structura compozițională.

Toate aspirațiile în arta decorativă au ca scop afișarea eroismului și a antichității clasice cu semnificație unică. Parchetul a căpătat o geometrie dură: acum carouri solide, acum cercuri, acum pătrate sau poligoane cu împărțirea lor în dungi înguste în direcții diferite. În ziarele de atunci se puteau găsi reclame în care se propunea alegerea unui parchet de exact acest design.

Un parchet caracteristic clasicilor ruși ai secolului al XIX-lea este parchetul proiectat de arhitectul Voronikhin în casa Stroganov de pe Nevsky Prospekt. Întregul parchet este format din scuturi mari cu pătrate precis repetate, așezate oblic, la rețeaua cărora sunt date modest rozete cu patru petale, ușor trasate cu grafeme.

Cele mai tipice parchete începutul XIX secolul sunt parchetul arhitectului C. Rossi. Aproape toate desenele din ele se remarcă prin mare laconism, repetiție, geometricism și împărțire clară cu șipci drepte sau oblice care uneau întreaga podea cu parchet a apartamentului.

Arhitectul Stasov a ales parchet care constau din forme simple de pătrate și poligoane. În toate proiectele lui Stasov se poate simți aceeași rigoare ca și a lui Rossi, dar nevoia de a efectua lucrări de restaurare, care i-au revenit după incendiul palatului, îl face mai versatil și mai amplu.

La fel ca și a lui Rossi, parchetul lui Stasov din Salonul Albastru al Palatului Ecaterina a fost construit din pătrate simple unite prin șipci orizontale, verticale sau diagonale, formând celule mari care împart fiecare pătrat în două triunghiuri.

Geometricismul se observă și în parchetele bibliotecii Mariei Feodorovna, unde doar varietatea culorii parchetului - lemn de trandafir, amarant, mahon, lemn de trandafir etc. - aduce o oarecare animație.

Culoarea predominanta a parchetului este mahonul, pe care sunt date laturile dreptunghiurilor si patratelor păr, încadrat cu un strat subțire de abanos, care conferă și mai multă claritate și liniaritate întregului design. Arțarul pe întregul parchet este dat din belșug sub formă de panglici, frunze de stejar, rozete și ionite.

Toate aceste parchet nu au un model central principal; toate constau din motive geometrice repetate. Un parchet similar a fost păstrat în fosta casă a lui Yusupov din Sankt Petersburg.

Arhitecții Stasov și Bryullov au restaurat apartamentele Palatul de iarnă după incendiul din 1837. Stasov a creat parchetele Palatului de Iarna in stilul solemn, monumental si oficial al clasicilor rusi din anii '30 ai secolului al XIX-lea. Culorile parchetului au fost de asemenea alese exclusiv clasice.

În alegerea parchetului, atunci când nu a fost necesară combinarea parchetului cu modelul tavanului, Stasov a rămas fidel principiilor sale compoziționale. De exemplu, parchetul galeriei din 1812 se remarcă prin măreția sa uscată și solemnă, care a fost realizată prin repetarea unor forme geometrice simple încadrate de o friză.

2. Teselație

Teselațiile, cunoscute și sub numele de tiling, sunt colecții de forme care acoperă întregul plan matematic, potrivindu-se fără suprapunere sau goluri. Teselațiile obișnuite constau din figuri sub formă de poligoane regulate, atunci când sunt combinate, toate colțurile au aceeași formă. Există doar trei poligoane potrivite pentru utilizare în teselații obișnuite. Acestea sunt un triunghi regulat, un pătrat și un hexagon regulat. Teselațiile semiregulate sunt acelea în care se folosesc poligoane regulate de două sau trei tipuri și toate vârfurile sunt aceleași. Există doar 8 teselații semiregulate. Împreună, cele trei teselații regulate și cele opt semiregulate se numesc arhimedei. Teselarea, în care plăcile individuale sunt figuri recunoscute, este una dintre temele principale ale operei lui Escher. Caietele sale conțin peste 130 de variante de teselații. Le-a folosit într-un număr mare de picturi ale sale, inclusiv „Ziua și noaptea” (1938), seria de picturi „Limita cercului” I-IV și celebrele „Metamorfoze” I-III (). Exemplele de mai jos sunt picturi ale autorilor contemporani Hollister David și Robert Fathauer.

3. Patchwork din poligoane

Dacă dungile, pătratele și triunghiurile pot fi realizate fără pregătire specială și fără abilități folosind o mașină de cusut, atunci poligoanele vor necesita multă răbdare și pricepere din partea noastră. Mulți matlasari preferă să asambleze poligoane manual. Viața fiecărei persoane este un fel de pânză patchwork, în care momentele luminoase și magice alternează cu zile gri și întunecate.

Fiecare meșteșugărește, așa cum ar fi, creează pânza vieții ei. Puteți verifica acest lucru la serviciu.

Lucrează cu pasiune creând pilote, cuverturi de pat, covoare, inspirându-se din fiecare dintre lucrările ei.

4. Ornament, broderie și tricotat.

1). Ornament

De exemplu, un cerc este soarele, un pătrat este pământul.

2). Broderie

Fiecare națiune, în funcție de condițiile locale, particularitățile vieții, obiceiurile și natura, și-a creat propriile tehnici de broderie, motive de model și structura lor compozițională. În broderia rusă, de exemplu, un rol important îl au modelele geometrice și formele geometrizate de plante și animale: romburi, motive ale unei figuri feminine, păsări și, de asemenea, un leopard cu laba ridicată.

Soarele era înfățișat în formă de diamant, o pasăre simboliza sosirea primăverii etc.

Modele de broderie compuse din forme geometrice și motive foarte geometrice.

Vechea broderie Chuvash este extrem de diversă. Diverse tipuri de ea au fost folosite la fabricarea de îmbrăcăminte, în special cămăși de pânză. Cămașa era bogat decorată cu broderii pe piept, tiv, mâneci și spate. Și, prin urmare, cred că broderia națională Chuvash ar trebui să înceapă cu o descriere a cămășii pentru femei ca fiind cea mai colorată și bogat decorată cu ornamente. Pe umerii și mânecile acestui tip de cămașă există broderii cu modele geometrice, stilizate de plante și uneori animale. Broderia pe umeri este diferită ca natură de broderia pe mâneci și este ca o continuare a broderiei pe umăr. Pe una dintre cămășile vechi, broderia împreună cu dungi împletite, coboară de la umeri, coboară și se termină la piept cu un unghi ascuțit. Dungile sunt aranjate sub formă de romburi, triunghiuri și pătrate. În interiorul acestor figuri geometrice există broderii mici, din plasă, iar figurile mari în formă de cârlig și în formă de stea sunt brodate de-a lungul marginii exterioare. Astfel de broderii au fost păstrate în casa soților Nikolaev. Ruda mea le-a brodat.

Un alt tip de acut pentru femei este croșetarea. Din cele mai vechi timpuri, femeile au tricotat mult și neobosit. Acest tip de ac nu este mai puțin interesant decât broderia. Iată una dintre lucrările Tamara Fedorovna. Ea ne-a împărtășit amintirile despre cum fiecare fată din sat a fost învățată să facă ochiuri în cruce pe pânză și satin și să tricoteze. După numărul de ochiuri tricotate, după lucrurile împodobite cu broderie și dantelă, o fată a fost judecată ca mireasă și viitoare gospodină. Modelele de cusături erau diferite, s-au transmis din generație în generație, au fost inventate chiar de meșterele. Motivul floral, formele geometrice, coloanele dense, grătarele acoperite și neacoperite se repetă în ornamentul cusăturilor. La 89 de ani, Tamara Fedorovna este angajată în croșetat. Iată lucrările ei de artizanat. Ea tricotează pentru copii, rude și vecini. Ba chiar preia ordine.

Concluzie:Știind despre poligoane și tipurile lor, puteți crea decorațiuni foarte frumoase. Și toată această frumusețe ne înconjoară.

Oamenii au de multă vreme nevoia să decoreze obiecte de uz casnic.

5. Sculptură geometrică

S-a întâmplat ca Rus' să fie o ţară a pădurilor. Și un material atât de fertil precum lemnul a fost întotdeauna la îndemână. Cu ajutorul unui topor, a unui cuțit și a altor unelte auxiliare, o persoană s-a asigurat cu tot ce este necesar pentru: viață: a ridicat locuințe și anexe, poduri și mori de vânt, ziduri și turnuri de cetăți, biserici, a făcut mașini și unelte, corăbii și bărci, sănii și căruțe, mobilier, vase, jucării pentru copii și multe altele.

În sărbători și în orele libere, își amuza sufletul cu melodiile sale zgomotoase pe instrumente muzicale din lemn: balalaika, pipe, viori și fluiere.

Chiar și încuietori ingenioase și de încredere au fost fabricate din lemn. Unul dintre aceste castele este păstrat în Muzeul Istoric de Stat din Moscova. A fost făcută de un maestru lemnar în secolul al XVIII-lea, decorată cu dragoste cu sculpturi triunghiulare! (Acesta este unul dintre numele sculpturilor geometrice,)

Sculptura geometrică este unul dintre cele mai vechi tipuri de sculptură în lemn, în care figurile reprezentate au o formă geometrică în diverse combinații. Sculptura geometrică este formată dintr-un număr de elemente care formează diverse compoziții ornamentale. Pătratele, triunghiurile, trapezele, romburile și dreptunghiurile sunt un arsenal de elemente geometrice care fac posibilă crearea unor compoziții originale cu joc bogat clarobscur.

Am putut vedea această frumusețe încă din copilărie. Bunicul meu, Mihail Yakovlevich Yakovlev, a lucrat ca profesor de tehnologie la școala Kovalinskaya. Potrivit mamei mele, a predat cursuri de sculptură. Eu însumi am făcut asta. Fiicele lui Mihail Yakovlevich și-au păstrat lucrările. Cutia este un cadou pentru cea mai mare nepoată la 16-a aniversare. O cutie de table pentru nepotul cel mai mare. Sunt mese, oglinzi, rame foto.

Maestrul a încercat să adauge o bucată de frumusețe fiecărui produs. În primul rând, s-a acordat o mare atenție formei și proporțiilor. Pentru fiecare produs, lemnul a fost selectat ținând cont de proprietățile sale fizice și mecanice. Dacă textura frumoasă a lemnului în sine ar putea decora produsele, atunci au încercat să o identifice și să o sublinieze.

IV. Exemple din viață

Aș dori să dau încă câteva exemple de aplicare a cunoștințelor despre poligoane în viața noastră.

1/La desfășurarea antrenamentelor: Poligoanele sunt desenate de oameni destul de pretențioși cu ei înșiși și cu ceilalți, care obțin succesul în viață nu numai datorită patronajului, ci și propriei forțe. Când poligoanele au cinci, șase sau mai multe unghiuri și sunt conectate cu decorațiuni, atunci putem spune că au fost desenate de o persoană emoțională care ia uneori decizii intuitive.

2/Semnificațiile ghicitorului cafelei:

Dacă nu există patrulater, este Semn rau avertizare asupra problemelor viitoare.

Un patrulater regulat este cel mai bun semn. Viața ta va trece fericit și vei fi în siguranță financiar și vei avea profituri.

Rezumați-vă munca pe foaia de control și acordați-vă nota finală.

Patraunghiul este spațiul de pe palmă dintre linia capului și linia inimii. Se mai numește și masă de mână. Dacă mijlocul patrulaterului este larg pe partea degetului mare și chiar mai lat pe partea palmei, aceasta indică o organizare și o compoziție foarte bună, veridicitate, fidelitate și o viață în general fericită.

3/ Chiromanția - ghicirea manuală

Figura patrulaterului (are și un alt nume - „masă de mână”) este plasată între liniile inimii, minții, destinului și Mercur (ficat). În caz de exprimare slabă sau absență completă a acestuia din urmă, funcția sa este îndeplinită de linia Apollo.

Un patrulater care este de dimensiuni mari, de formă regulată, are limite clare și se extinde spre Muntele lui Jupiter indică sănătate bună și caracter bun. Astfel de oameni sunt gata să se sacrifice de dragul celorlalți, sunt deschiși, neipocriti, pentru care sunt respectați de alții.

Dacă patrulaterul este larg, viața unei persoane va fi plină de diverse evenimente fericite, va avea mulți prieteni. Dimensiunea prea modestă a patrulaterului sau curbura laturilor afirmă clar că persoana care o are este infantilă, indecisă, egoistă, iar senzualitatea lui este nedezvoltată.

Abundența liniilor mici în patrulater este o dovadă a limitărilor minții. Dacă în interiorul figurii este vizibilă o cruce în formă de „x”, aceasta indică natura excentrică a persoanei examinate și este un semn rău. O cruce care are forma corectă indică faptul că el este înclinat să fie interesat de misticism.

1. Poligon uimitor

Pe lângă teoria qi, principiile yin și yang și Tao, există un alt concept fundamental în învățăturile feng shui: „octogonul sacru”, numit ba gua. Tradus din chineză, acest cuvânt înseamnă „corp de dragon”. Ghidându-te de principiile Ba Gua, poți planifica mobilierul camerei astfel încât să creeze o atmosferă care să promoveze confortul spiritual maxim și bunăstarea materială. În China antică, se credea că octogonul era un simbol al prosperității și fericirii.

Caracteristicile sectoarelor ba-gua.

Cariera - Nord

Culoarea sectorului este negru. Elementul care promovează armonizarea este Apa. Sectorul este direct legat de tipul nostru de activitate, locul de muncă, realizarea potențialului de muncă, profesionalismul și câștigurile. Succesul sau eșecul în acest sens depinde direct de prosperitatea în zona acestui sector.

Cunoștințe - Nord-Est

Culoarea sectorului este albastru. Elementul este Pământul, dar are un efect destul de slab. Sectorul este asociat cu mintea, capacitatea de a gândi, spiritualitatea, dorința de auto-îmbunătățire, capacitatea de a asimila informațiile primite, memoria și experiența de viață.

Familie - Est

Culoarea sectorului este verde. Elementul care promovează armonizarea este Lemnul. Direcția este asociată cu familia în cel mai larg sens al cuvântului. Aceasta înseamnă nu numai gospodăria ta, ci și toate rudele, inclusiv cele îndepărtate.

Bogăție - sud-est

Culoarea sectorului este violet. Elementul – Lemnul – are un efect slab. Direcția este asociată cu starea noastră financiară, simbolizează bunăstarea și prosperitatea, bogăția materială și abundența în absolut toate domeniile.

Slava - sud

Culoarea rosie. Elementul care face această sferă activă este Focul. Acest sector simbolizează faima și reputația ta, părerea celor dragi și a cunoștințelor tale.

Căsătoria - sud-vest

Culoarea sectorului este roz. Element – Pământ. Sectorul este asociat cu persoana iubită și simbolizează relația ta cu el. Dacă nu există o astfel de persoană în viața ta în acest moment, acest sector reprezintă un gol care așteaptă să fie umplut. Starea direcției îți va spune care sunt șansele tale de a-ți realiza rapid potențialul în domeniul relațiilor personale.

Copii - Vest

Culoarea sectorului este albă. Element – Metal, dar are un efect slab. Simbolizează capacitatea ta de a te reproduce în orice zonă, atât fizică, cât și spirituală. Putem vorbi despre copii, autoexprimare creativă, implementarea diferitelor planuri, al căror rezultat vă va mulțumi pe dvs. și pe cei din jur și vă va servi drept carte de vizită în viitor. Printre altele, sectorul este asociat cu capacitatea ta de a comunica și reflectă capacitatea ta de a atrage oameni către tine.

Oameni de ajutor – Nord-Vest

Culoarea sectorului este gri. Element – Metal. Direcția simbolizează oameni pe care te poți baza în situații dificile; arată prezența în viața ta a celor care sunt capabili să vină în ajutor, să ofere sprijin și să-ți devină utili într-un domeniu sau altul. În plus, sectorul este asociat cu călătoriile și cu jumătatea masculină a familiei tale.

Sănătatea este centrul

Culoarea sectorului este galbenă. Nu are un element specific, este conectat cu toate elementele în ansamblu și de la fiecare ia partea necesară de energie. Zona simbolizează sănătatea ta mentală și spirituală, conexiunea și armonia în toate aspectele vieții.

2. Pi și poligoane regulate.

Pe 14 martie anul acesta, Ziua Pi va fi sărbătorită pentru a douăzecea oară - o sărbătoare informală a matematicienilor dedicată acestui număr ciudat și misterios. „Tatăl” sărbătorii a fost Larry Shaw, care a atras atenția asupra faptului că această zi (3.14 în sistemul american de date) cade, printre altele, de ziua lui Einstein. Și, poate, acesta este momentul cel mai potrivit pentru a le aminti celor care sunt departe de matematică despre proprietățile minunate și ciudate ale acestei constante matematice.

Interesul pentru valoarea numărului π, care exprimă raportul dintre circumferință și diametru, a apărut în antichitate. Formula binecunoscută pentru circumferința L = 2 π R este și definiția numărului π. În antichitate se credea că π = 3. De exemplu, acest lucru este menționat în Biblie. În epoca elenistică se credea că, iar acest sens a fost folosit atât de Leonardo da Vinci, cât și de Galileo Galilei. Cu toate acestea, ambele aproximări sunt foarte aspre. Un desen geometric care înfățișează un cerc circumscris unui hexagon regulat și înscris într-un pătrat oferă imediat cele mai simple estimări pentru π: 3< π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια

Concluzie: Am răspuns la întrebarea: „De ce să studiem matematica?” Pentru că în adâncul sufletului nostru, fiecare dintre noi trăiește o speranță secretă de a ne cunoaște pe noi înșine, lumea noastră interioară, pentru a ne îmbunătăți. Matematica oferă o astfel de oportunitate - prin creativitate, printr-o viziune holistică asupra lumii. Octogonul este un simbol al prosperității și fericirii.

V. Poligoane regulate în arhitectură

Sculptorii, arhitecții și artiștii au manifestat, de asemenea, un mare interes pentru formele poliedrelor regulate.

În lecțiile de geometrie am învățat definițiile, caracteristicile, proprietățile diferitelor poligoane.

După ce am citit literatura despre istoria arhitecturii, am ajuns la concluzia că lumea din jurul nostru este o lume a formelor, este foarte diversă și uluitoare. Am văzut că clădirile au o mare varietate de forme.

Suntem înconjurați de obiecte de uz casnic de diferite tipuri. După ce am studiat acest subiect, am văzut cu adevărat că poligoane sunt peste tot în jurul nostru. În Rusia, clădirile au o arhitectură foarte frumoasă, atât istorică, cât și modernă, în fiecare dintre ele puteți găsi diferite tipuri de poligoane.

1. Arhitectura Moscovei și a altor orașe ale lumii.

Ce frumos este Kremlinul din Moscova. Turnurile sale sunt frumoase! Câte forme geometrice interesante sunt folosite ca bază! De exemplu, Turnul de Alarmă. Pe un paralelipiped înalt se află un paralelipiped mai mic, cu deschideri pentru ferestre, iar mai sus este ridicată o trunchiură piramidă patruunghiulară. Pe ea sunt patru arcade, în vârf de o piramidă octogonală.Figurele geometrice de diferite forme pot fi recunoscute în alte structuri remarcabile ridicate de arhitecții ruși. Catedrala Sf. Vasile)

Contrastul expresiv al unui triunghi și al unui dreptunghi de pe fațadă atrage atenția vizitatorilor Muzeului Groningen (Olanda) (Fig. 9).Rotund, dreptunghiular, pătrat - toate aceste forme coexistă perfect în clădirea Muzeului de Artă Modernă în San Francisco (SUA). Clădirea Centrului de Artă Contemporană Georges Pompidou din Paris este o combinație a unui paralelipiped uriaș transparent cu accesorii metalice ajurate.

2. Arhitectura orașului Ceboksary

Capital Republica Chuvash- orașul Ceboksary (Chuv. Shupashkar), situat pe malul drept al Volgăi, are o istorie veche de secole. ÎN sursele scrise Ceboksary ca așezare a fost menționat încă din 1469 - atunci soldații ruși s-au oprit aici în drumul lor spre Hanatul Kazan. Anul acesta este considerat a fi momentul fondării orașului, dar istoricii insistă deja asupra revizuirii acestei date - materialele găsite în timpul ultimelor săpături arheologice indică faptul că Cheboksary a fost fondată în secolul al XIII-lea de către coloniști din orașul bulgar Suvar.

Orașul a fost renumit universal pentru producția de clopote - clopotele Cheboksary erau cunoscute atât în Rusia, cât și în Europa.

Dezvoltarea comerțului, răspândirea Ortodoxiei și botezul în masă al poporului Chuvaș au dus, de asemenea, la înflorirea arhitecturală a orașului - orașul era plin de biserici și temple, în fiecare dintre acestea fiind vizibile diferite poligoane.

Ceboksary este un oraș foarte frumos. În capitala Chuvashiei, noutatea unei metropole moderne și antichitatea, în care se exprimă geometria, se împletesc în mod surprinzător, ceea ce se exprimă în primul rând în arhitectura orașului. Mai mult, o împletire foarte armonioasă este percepută ca un singur ansamblu și doar se completează reciproc.

3. Arhitectura satului Kovali

Puteți vedea frumusețe și geometricism în satul nostru. Aici este o școală care a fost construită în 1924, un monument al soldaților - soldaților.

Concluzie:

Fără geometrie nu ar exista nimic, pentru că toate clădirile care ne înconjoară sunt forme geometrice.

Concluzie

După ce am efectuat cercetări, am ajuns la concluzia că, într-adevăr, știind despre poligoane și tipurile lor, puteți crea decorațiuni foarte frumoase și puteți construi clădiri diverse și unice. Și toate acestea sunt frumusețea care ne înconjoară.

Ideile umane despre frumusețe se formează sub influența a ceea ce o persoană vede în natura vie. În diversele ei creații, foarte departe una de cealaltă, poate folosi aceleași principii. Și putem spune că poligoanele creează frumusețe în artă, arhitectură, natură și în mediul uman.

Frumusețea este peste tot. Există în știință și mai ales în perla ei - matematică. Amintiți-vă că știința, condusă de matematică, ne va dezvălui comori fabuloase de frumusețe.

Lista literaturii folosite.

1. Modele de poliedre. Pe. din engleza . M., „Mir”, 1974

2. Romane matematice. Pe. din engleza . M., „Mir”, 1974.

3. M. Introducere în geometrie. M., Nauka, 1966.

4. Caleidoscop matematic. Pe. din poloneză. M., Nauka, 1981.

5., Geometria Erganzhiev: Manual pentru clasele 5-6. –

Smolensk: Rusich, 1995.

6. , Orlova pe lemn. M.: Art

Ar putea fi util să citiți: