Construcție Snowflake Koch. Cum să desenezi un fulg de zăpadă Koch, diagrame foto, cum arată un fulg de zăpadă Koch? Markup aplicație UI în aplicația Generator

Subiect: Fractali.

1. Introducere. Scurt istoric al fractalilor. 2. Fractalii sunt elemente de geometrie în natură.

3. Obiecte cu proprietăți fractale în natură. 4. Definirea terminologiei „fractali”.

5.Clasele de fractali.

6.Descrierea proceselor fractale. 7.Proceduri de obţinere a mulţimilor fractale.

8.1 Broken Kokha (procedura de obținere).

8.2 Fulgul de zăpadă Koch (Fractal Koch).

8.3 Bureții Menger.

9. Exemple de utilizare a fractalilor.

Introducere. Scurt istoric al fractalilor.

Fractalii sunt o ramură tânără a matematicii discrete.

ÎN În 1904, suedezul Koch a venit cu o curbă continuă care nu are tangentă nicăieri - curba Koch.

ÎN În 1918, francezul Julia a descris o întreagă familie de fractali.

ÎN În 1938, Pierre Levy a publicat articolul „Curbe și suprafețe plane și spațiale constând din părți similare întregului”.

ÎN 1982 Benoit Mandelbrot a publicat cartea „Geometria fractală a naturii”.

CU Folosind construcții și formule simple, se obțin imagini. A apărut „pictura fractală”.

Din 1993, World Scientific a publicat revista „Fractals”.

Fractalii sunt elemente de geometrie în natură.

Fractalii sunt un mijloc de descriere a obiectelor, cum ar fi modele de lanțuri muntoase, linii de coastă accidentate, sisteme circulatorii ale multor capilare și vase, coroane de copaci, cascade în cascadă, modele geroase pe sticlă.

Sau acestea: frunză de ferigă, nori, pată.

Imaginile unor astfel de obiecte pot fi reprezentate folosind grafice fractale.

Obiecte cu proprietăți fractale în natură.

Corali Stele de mare și ariciCochilii de mare

Flori și plante (broccoli, varză) Fructe (ananas)

Coroanele copacilor și frunzele plantelor Sistem circulatorși bronhiile oamenilor și animalelor În natura neînsuflețită:

Granițele obiectelor geografice (țări, regiuni, orașe) Coaste Lanțuri muntoase Fulgi de zăpadă Nori Fulger

Modele formate pe sticlă Cristale Stalactite, stalagmite, helictite.

Definiția terminologiei „fractali”.

Fractalii sunt forme geometrice care satisfac una sau mai multe dintre următoarele proprietăți:

Are o structură complexă, non-trivială, la orice mărire (la toate scările); este (aproximativ) auto-similar.

Are o dimensiune Hausdorff (fractală) fracțională sau o depășește pe cea topologică; Poate fi construit prin proceduri recursive.

Pentru figuri obișnuite, cum ar fi cerc, elipsa, graficul unei funcții netede un fragment mic la scară foarte mare arată ca un fragment de linie dreaptă. Pentru un fractal, creșterea scării nu duce la o simplificare a structurii; pentru toate scările vom vedea imagini la fel de complexe.

Clase de fractali

Un fractal este o structură formată din părți (substructuri) asemănătoare întregului.

Unii fractali, ca elemente ale naturii, pot fi clasificați ca fractali geometrici (constructivi).

Restul poate fi clasificat ca fractali dinamici (algebrici).

Proceduri de obţinere a mulţimilor fractale.

Aceasta este o procedură recursivă simplă pentru obținerea curbelor fractale: specificați o linie întreruptă arbitrară cu un număr finit de legături - un generator. În continuare, fiecare segment al generatorului este înlocuit în el. Apoi fiecare segment din el este din nou înlocuit cu un generator și așa mai departe la infinit.

Se arată: împărțirea unui segment unitar în 3 părți (a), o unitate de suprafață pătrată în 9 părți (b), un cub unitar în 27 părți (c) și 64 părți (d). Numărul de părți este n, factorul de scalare este k și dimensiunea spațiului este d. Avem următoarele relații: n = kd,

dacă n = 3, k = 3, atunci d = 1; dacă n = 9, k = 3, atunci d = 2; dacă n = 27, k = 3, atunci d = 3.

dacă n = 4, k = 4, atunci d = 1; dacă n = 16, k = 4, atunci d = 2; dacă n = 64, k = 4, atunci d = 3. Dimensiunea spațiului se exprimă în numere întregi: d = 1, 2, 3; pentru n = 64, valoarea lui d este

Sunt prezentate cinci pași de construire a unei polilinii Koch: un segment de unitate de lungime (a), împărțit în trei părți (k = 3), din patru părți (n = 4) - o linie întreruptă (b); fiecare segment drept este împărțit în trei părți (k2 = 9) și din 16 părți (n2 = 16) - o linie întreruptă (c); se repetă procedura pentru k3 = 27 și n3 = 64 – linie întreruptă (g); pentru k5 = 243 și n5 = 1024 – linie întreruptă (d).

Dimensiune

Aceasta este o dimensiune fracțională sau fractală.

Polilinia Koch, propusă de Helg von Koch în 1904, acționează ca un fractal care este potrivit pentru modelarea accidentații unei linii de coastă. Mandelbrot a introdus un element de aleatorie în algoritmul de construcție a liniei de coastă, care, însă, nu a afectat concluzia principală privind lungimea liniei de coastă. Pentru că limita

Lungimea liniei de coastă tinde spre infinit datorită accidentații nesfârșite a coastei.

Procedura de netezire a liniei de coastă la trecerea de la o scară mai detaliată la una mai puțin detaliată, de ex.

Fulg de zăpadă Koch (fractal Koch)

Ca bază pentru construcție, puteți lua nu segmente de lungime unitară, ci un triunghi echilateral, pe fiecare parte a căruia puteți extinde procedura de înmulțire a neregulilor. În acest caz, obținem un fulg de zăpadă Koch (Fig.), și de trei tipuri: triunghiurile nou formate sunt îndreptate numai spre exterior față de triunghiul anterior (a) și (b); numai în interior (înăuntru); aleatoriu fie spre exterior, fie spre interior (d) și (e). Cum puteți seta procedura de construire a unui fractal Koch.

Orez. Fulgul de nea Koch

În fig. sunt prezentate două diagrame vectoriale; Numerele de deasupra săgeților vor ridica probabil întrebarea: ce înseamnă ele? Vectorul 0 coincide cu direcția pozitivă a axei absciselor, deoarece factorul său de fază exp (i2πl/6) la l = 0 își păstrează direcția. Vectorul 1 este rotit în raport cu vectorul 0 cu un unghi de 2π/6, când l= 1. Vectorul 5 are un factor de fază exp (i2π5/6), l = 5. Ultimul vector are același factor de fază ca primul ( l = 0). Numerele întregi l caracterizează unghiul factorului de fază al vectorului unitar.

Primul pas (Fig.) specifică o procedură recursivă pentru toți pașii următori și, în special, pentru a doua etapă (Fig.). Cum se trece de la un set de numere φ1 = (0 1 5 0) la φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Răspuns: prin multiplicarea directă a matricei, când fiecare element al unei matrice este înmulțit cu matricea originală. Deoarece în acest caz avem de-a face cu o matrice unidimensională, i.e. Deoarece matricele sunt vectori, fiecare element al unui vector-matrice este înmulțit cu toate elementele altui vector-matrice. În plus, elementele vectorului-matrice φ1 constau din funcții exponențiale exp (i2πl/6), prin urmare, 10 la înmulțirea numărului h va fi necesar să se adună conform mod (6), și nu să se înmulțească.

curba Koch

fulgii de nea lui Koch

Pentru a construi un fulg de zăpadă Koch, efectuăm următoarele operații. Considerați un triunghi echilateral drept iterație zero.


Apoi împărțim fiecare dintre laturile acestui triunghi în trei părți egale, scoatem partea din mijloc și completăm un triunghi echilateral în mijloc, așa cum se arată în Fig. La pasul următor, fiecare parte a noii figuri este supusă aceleiași proceduri de împărțire în trei părți egale și finalizarea construcției unui triunghi echilateral și așa mai departe la infinit. Rezultatul este o curbă simetrică, asemănătoare unui fulg de nea, întreruptă la infinit, care este un set auto-similar numit fulg de nea Koch. A fost numit după matematicianul suedez Helge von Koch, care l-a descris pentru prima dată în 1904. Trăsătura sa distinctivă este că, fiind închisă, totuși nu se intersectează nicăieri, deoarece triunghiurile finalizate sunt suficient de mici de fiecare dată și nu se „ciocnesc” niciodată cu reciproc.

Să calculăm dimensiunea lui fractală. Luați ca lungime a laturilor triunghiului original l= 1, atunci fragmentul va fi format din patru segmente, fiecare lungime de 1/3 și, prin urmare, o lungime totală de 4/3. La pasul următor, obținem o linie întreruptă formată din 16 segmente și având o lungime totală de 16/9 sau, etc. Din aceasta rezultă că dimensiunea fractală este egală cu

Această valoare este mai mare decât unu (dimensiunea topologică a dreptei), dar mai mică decât dimensiunea euclidiană a planului, d = 2, pe care este situată curba. Să remarcăm că curba obținută ca urmare a celei de-a n-a iterații pentru orice n finit se numește prefractal și numai când n tinde spre infinit curba Koch devine fractal. Astfel, un fulg de zăpadă Koch este o linie de lungime infinită care mărginește o zonă finită. Folosind definiția unui fractal, putem spune cu siguranță că această mulțime este un fractal.

Această cifră este unul dintre primii fractali studiati de oamenii de știință. Vine din trei exemplare curba Koch, care a apărut pentru prima dată într-o lucrare a matematicianului suedez Helge von Koch în 1904. Această curbă a fost inventată ca exemplu de linie continuă care nu poate fi tangentă la niciun punct. Liniile cu această proprietate erau cunoscute înainte (Karl Weierstrass și-a construit exemplul în 1872), dar curba Koch este remarcabilă prin simplitatea designului său. Nu este o coincidență faptul că articolul său se numește „Pe o curbă continuă fără tangente, care rezultă din geometria elementară”.

Desenul și animația arată perfect cum este construită curba Koch pas cu pas. Prima iterație este pur și simplu segmentul inițial. Apoi este împărțit în trei părți egale, cea centrală este completată pentru a forma un triunghi regulat și apoi aruncată. Rezultatul este a doua iterație - o linie întreruptă formată din patru segmente. La fiecare dintre ele se aplică aceeași operațiune și se obține a patra etapă de construcție. Continuând în același spirit, puteți obține din ce în ce mai multe linii noi (toate vor fi linii întrerupte). Iar ceea ce se întâmplă în limită (acesta va fi deja un obiect imaginar) se numește curba Koch.

Proprietățile de bază ale curbei Koch

1. Este continuu, dar nicaieri diferentiabil.În linii mari, tocmai acesta este motivul pentru care a fost inventat - ca exemplu al acestui tip de „ciudați” matematici.

2. Are lungime infinită. Fie lungimea segmentului inițial egală cu 1. La fiecare pas de construcție înlocuim fiecare dintre segmentele care alcătuiesc linia cu o linie întreruptă, care este de 4/3 ori mai lungă. Aceasta înseamnă că lungimea întregii linii întrerupte este înmulțită cu 4/3 la fiecare pas: lungimea liniei cu număr n egal cu (4/3) n-1 . Prin urmare, linia limită nu are de ales decât să fie infinit de lungă.

3. Fulgul lui Koch limitează aria finită.Și asta în ciuda faptului că perimetrul său este infinit. Această proprietate poate părea paradoxală, dar este evidentă - un fulg de zăpadă se potrivește complet într-un cerc, așa că aria sa este evident limitată. Aria poate fi calculată și nici măcar nu aveți nevoie de cunoștințe speciale pentru aceasta - formulele pentru aria unui triunghi și suma unei progresii geometrice sunt predate la școală. Pentru cei interesați, calculul este listat mai jos cu litere mici.

Fie latura triunghiului regulat original egal cu A. Atunci aria sa este . Mai întâi latura este 1 și aria este: . Ce se întâmplă pe măsură ce iterația crește? Putem presupune că mici triunghiuri echilaterale sunt atașate unui poligon existent. Prima dată sunt doar 3, iar de fiecare dată sunt de 4 ori mai mulți decât precedentul. Adică pe n al treilea pas va fi finalizat Tn= 3 4 n-1 triunghiuri. Lungimea laturii fiecăreia dintre ele este o treime din latura triunghiului completat în pasul anterior. Deci este egal cu (1/3) n. Arii sunt proporționale cu pătratele laturilor, deci aria fiecărui triunghi este . Pentru valori mari n Apropo, acest lucru este foarte puțin. Contribuția totală a acestor triunghiuri la zona fulgului de nea este Tn · S n= 3/4 · (4/9) n · S 0 . Prin urmare după n-pas, aria figurii va fi egală cu suma S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +Tn S n = . Un fulg de zăpadă se obține după un număr infinit de pași, care îi corespunde n→ ∞. Rezultatul este o sumă infinită, dar aceasta este suma unei progresii geometrice descrescătoare; există o formulă pentru aceasta: . Zona fulgului de nea este .

4. Dimensiune fractală egal cu log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Calculul precis va necesita un efort considerabil și explicații detaliate, așa că aici este mai degrabă o ilustrare a definiției dimensiunii fractale. Din formula legii puterii N(δ ) ~ (1/δ )D, Unde N- numărul de pătrate care se intersectează, δ - mărimea lor, și D- dimensiunea, înțelegem asta D= jurnal 1/ δ N. Această egalitate este adevărată până la adăugarea unei constante (aceeași pentru toate δ ). Figurile arată a cincea iterație de construire a curbei Koch; pătratele grilei care se intersectează cu aceasta sunt umbrite în verde. Lungimea segmentului original este 1, deci în figura de sus lungimea laturii pătratelor este 1/9. 12 pătrate sunt umbrite, log 9 12 ≈ 1,130929... . Nu prea seamănă încă cu 1.261859... . Să privim mai departe. În imaginea din mijloc, pătratele au jumătate din dimensiune, dimensiunea lor este 1/18, umbrită 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Deja mai bine. Mai jos, pătratele sunt încă la jumătate mai mari; 72 de piese au fost deja pictate. log 72 30 ≈ 1,193426... . Chiar mai aproape. Apoi trebuie să creșteți numărul de iterații și, în același timp, să micșorați pătratele, apoi valoarea „empirică” a dimensiunii curbei Koch se va apropia constant de log 3 4, iar în limită va coincide complet.

Curba Koch este o curbă fractală descrisă în 1904 de matematicianul suedez Helge von Koch. Trei copii ale curbei Koch, construite (îndreptate spre exterior) pe laturile unui triunghi echilateral, formează o curbă închisă numită fulg de zăpadă Koch.

Uneori am îndoieli când vreau un fel de înjurături. programați problema. De data aceasta m-am hotărât să fac fractali. Anume cu fulgul de nea Koch.

Fulgul de nea Koch

Acest fractal este unul dintre primele studiate de oamenii de știință. Este derivat din trei copii ale curbei Koch, care a apărut pentru prima dată într-o lucrare a matematicianului suedez Helge von Koch în 1904. Această curbă a fost inventată ca exemplu de linie continuă care nu poate fi tangentă la niciun punct.

Proprietățile de bază ale curbei Koch:

  1. Este continuă, dar nu poate fi diferențiată nicăieri.
  2. Are lungime infinită. Fie lungimea segmentului inițial egală cu 1. La fiecare pas de construcție înlocuim fiecare dintre segmentele care alcătuiesc linia cu o linie întreruptă, care este de 4/3 ori mai lungă. Aceasta înseamnă că lungimea întregii linii întrerupte este înmulțită cu 4/3 la fiecare pas: lungimea liniei cu numărul n este egală cu (4/3)n–1. Prin urmare, linia limită nu are de ales decât să fie infinit de lungă.
  3. Fulgul de zăpadă Koch limitează zona finită. Și asta în ciuda faptului că perimetrul său este infinit. Această proprietate poate părea paradoxală, dar este evidentă - un fulg de zăpadă se potrivește complet într-un cerc, așa că aria sa este evident limitată.

Puțină matematică

Este destul de interesant uneori să vă amintiți cele mai simple înjurături. transformări (: În acest caz, a fost necesară reîmprospătarea cunoștințelor despre vectori și transformări ale punctelor din plan.

Mai exact, cum să rotiți un punct în raport cu un alt punct:

Ei bine, trebuie să știți cum să găsiți un punct pe un segment care se află la o anumită distanță de punct, cunoscând această distanță și coordonatele punctelor. Există atât de multe metode. Puteți găsi coordonatele dreptei care conține aceste puncte și apoi le puteți înlocui în ecuație. Puteți calcula coordonatele folosind vectori.

Arata cam asa.



 

Ar putea fi util să citiți: