Geometrijske transformacije grafov trigonometričnih funkcij. Grafi trigonometričnih funkcij, transformacija grafov

ZADEVA: Transformacija grafov trigonometričnih funkcij z modulom.

CILJ: Upoštevanje pridobivanja grafov trigonometričnih funkcij oblike

l= f(|x|) ;l = | f(x)| .

Razviti matematično logiko in pozornost.

MED POUKOM:

Org. trenutek: Najava teme, ciljev in ciljev lekcije.

učiteljica: Danes se moramo naučiti graditi grafe funkcij y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |Acos x +b| z uporabo znanja transformacij transcendentnih funkcij oblike y = f(|x|) in y = |f(x)| . Vprašate "Za kaj je?" Dejstvo je, da se lastnosti funkcij v tem primeru spremenijo, a takole, to je najbolje vidno, kot veste, na grafu.

Spomnimo se, kako bodo te funkcije zapisane z uporabo definicije

otroci: f(|x|) =

|f(x)| =

učiteljica: Torej, da narišete funkcijo y =f(|x|), če poznamo graf funkcije

y=f{ x), morate pustiti na mestu tisti del grafa funkcije y \u003df(x), ki

ustreza nenegativnemu delu domene funkcije y =f(x). Odsev tega

del simetričen glede na os y, dobimo drug del grafa, ki ustreza

negativni del domene definicije.

To pomeni, da je na grafikonu videti takole: y = f (x)

(Te grafike so zgrajene na tabli. Otroci v zvezkih)

Zdaj bomo na podlagi tega zgradili graf funkcij y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sinx + 2|

Slika 1. Y = sin x

Slika 2. Y = sin |x|

Zdaj pa narišimo funkciji Y = |sin x | in Y = |2 sin x + 2|

Za risanje funkcije y = \f(x)\, če je znan graf funkcije y \u003df(x), morate pustiti na mestu tisti del, kjer jef(x) > O, in simetrično prikaže njegov drugi del glede na os x, kjerf(x) < 0.

Povzetek lekcije algebre in začetek analize v 10. razredu

na temo: "Pretvorba grafov trigonometričnih funkcij"

Namen lekcije: sistematizirati znanje o temi "Lastnosti in grafi trigonometričnih funkcij y \u003d sin (x), y \u003d cos (x)".

Cilji lekcije:

ponovite lastnosti trigonometričnih funkcij y \u003d sin (x), y \u003d cos (x);
ponovite redukcijske formule;
pretvorba grafov trigonometričnih funkcij;
razvijati pozornost, spomin, logično razmišljanje; aktivirati miselno aktivnost, sposobnost analiziranja, posploševanja in razmišljanja;
vzgoja delavnosti, marljivosti pri doseganju cilja, zanimanja za predmet.

Učna oprema: ikt

Vrsta lekcije: učenje novega

Med poukom

Pred poukom 2 učenca na tabli sestavljata grafe iz domačih nalog.

Organizacijski čas:

Zdravo družba!

Danes bomo v lekciji pretvorili grafe trigonometričnih funkcij y \u003d sin (x), y \u003d cos (x).

Ustno delo:

Preverjanje domače naloge.

reševanje ugank.

Učenje nove snovi

Vse transformacije funkcijskih grafov so univerzalne - primerne so za vse funkcije, tudi za trigonometrične. Tukaj se omejimo na kratek opomin na glavne transformacije grafov.

Transformacija grafov funkcij.

Podana je funkcija y \u003d f (x). Vse grafe začnemo graditi iz grafa te funkcije, nato z njo izvajamo dejanja.

funkcija

Kaj storiti z urnikom

y = f(x) + a

Vse točke prvega grafa dvignemo za enoto navzgor.

y = f(x) – a

Vse točke prvega grafa so znižane za enoto navzdol.

y = f(x + a)

Vse točke prvega grafa premaknemo za enoto v levo.

y = f (x - a)

Vse točke prvega grafa premaknemo za enoto v desno.

y = a*f(x),a>1

Ničle pritrdimo na svoje mesto, zgornje točke premaknemo višje za krat, spodnje spustimo za krat.

Graf se "raztegne" gor in dol, ničle ostanejo na mestu.

y = a*f(x), a<1

Popravimo ničle, zgornje točke se bodo enkrat spustile, spodnje pa dvignile. Graf se bo "skrčil" na os x.

y=-f(x)

Zrcaljenje prvega grafa okoli osi x.

y = f(ax), a<1

Fiksirajte točko na osi y. Vsak segment na osi x se poveča za krat. Graf se bo raztezal od osi y v različne smeri.

y = f(ax), a>1

Fiksirajte točko na ordinatni osi, vsak segment na abscisni osi se zmanjša za krat. Graf se bo "skrčil" na os y na obeh straneh.

y= | f(x)|

Deli grafa, ki se nahajajo pod abscisno osjo, so zrcaljeni. Celoten graf se bo nahajal v zgornji polravnini.

Sheme rešitev.

1)y = sin x + 2.

Zgradimo graf y \u003d sin x. Vsako točko grafa dvignemo za 2 enoti (tudi ničle).

2)y \u003d cos x - 3.

Zgradimo graf y \u003d cos x. Vsako točko grafa znižamo za 3 enote.

3)y = cos (x - /2)

Zgradimo graf y \u003d cos x. Vse točke n/2 premaknemo v desno.

4) y = 2 greh x.

Zgradimo graf y \u003d sin x. Ničle pustimo na mestu, zgornje točke dvignemo 2-krat, spodnje spustimo za enako količino.

PRAKTIČNO DELO Risanje trigonometričnih funkcij s programom Advanced Grapher.

Narišimo funkcijo y = -cos 3x + 2.

Narišimo funkcijo y \u003d cos x.
Odsevajte ga okoli osi x.
Ta graf je treba trikrat stisniti vzdolž osi x.
Končno je treba tak graf vzdolž osi y dvigniti za tri enote.

y = 0,5 sinx.

y=0,2 cos x-2

y = 5 cos 0 .5 x

y=-3sin(x+π).

2) Poiščite napako in jo popravite.

V. Zgodovinsko gradivo. Eulerjevo sporočilo.

Leonhard Euler je največji matematik 18. stoletja. Rojen v Švici. Dolga leta je živel in delal v Rusiji, član peterburške akademije.

Zakaj bi morali poznati in si zapomniti ime tega znanstvenika?

Do začetka 18. stoletja je bila trigonometrija še vedno premalo razvita: ni bilo simbolov, formule so bile zapisane z besedami, težko jih je bilo asimilirati, nejasno je bilo tudi vprašanje znakov trigonometričnih funkcij v različnih četrtinah kroga, kot argument trigonometrične funkcije so razumeli le kote ali loke. Šele v delih Eulerja je trigonometrija dobila sodoben videz. Prav on je začel obravnavati trigonometrično funkcijo števila, tj. argumenta niso razumeli le kot loke ali stopinje, ampak tudi kot števila. Euler je izpeljal vse trigonometrične formule iz več osnovnih, poenostavil vprašanje znakov trigonometrične funkcije v različnih četrtinah kroga. Za označevanje trigonometričnih funkcij je uvedel simbole: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Na pragu 18. stoletja se je v razvoju trigonometrije pojavila nova smer - analitična. Če je pred tem glavni cilj trigonometrije veljal za rešitev trikotnikov, potem je Euler obravnaval trigonometrijo kot znanost o trigonometričnih funkcijah. Prvi del: Nauk o funkcijah je del splošnega nauka o funkcijah, ki se preučuje v matematični analizi. Drugi del: reševanje trikotnikov - poglavje geometrije. Takšne inovacije je naredil Euler.

VI. Ponavljanje

Samostojno delo "Dodajte formulo."

VII. Povzetek lekcije:

1) Kaj novega ste se danes naučili pri lekciji?

2) Kaj še želite vedeti?

3) Razvrščanje.

Lekcija 24

09.07.2015 5528 0

Cilj: razmislite o najpogostejših transformacijah grafov trigonometričnih funkcij.

I. Sporočanje teme in namena lekcije

II. Ponavljanje in utrjevanje obravnavane snovi

1. Odgovori na vprašanja o domači nalogi (analiza nerešenih problemov).

2. Spremljanje usvajanja snovi (pisna anketa).

Možnost 1

greh x.

2. Poiščite glavno obdobje funkcije:

3. Narišite funkcijo

Možnost 2

1. Osnovne lastnosti in graf funkcije y \u003d cos x.

2. Poiščite glavno obdobje funkcije:

3. Narišite funkcijo

III. Učenje nove snovi

Vse transformacije funkcijskih grafov, ki so podrobno opisane v 1. poglavju, so univerzalne - primerne so za vse funkcije, vključno s trigonometričnimi. Zato priporočamo ponovitev te teme. Tukaj se omejimo na kratek opomin na glavne transformacije grafov.

1. Za risanje funkcije y = f(x) + b potrebno je premakniti graf funkcije na | b | enote vzdolž osi y - navzgor pri b > 0 in navzdol pri b< 0.

2. Za risanje funkcijskega grafa y = mf(x) (kjer je m > 0) potrebno je raztegniti graf funkcije y = f(x) do m krat vzdolž osi y. In za m > 1 se res razteza m-krat, za 0< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Za risanje funkcije y = f (x + a ) je potrebno prenesti graf funkcije na | a | enote vzdolž osi x - desno pri a< 0 и влево при а > 0.

4. Za risanje funkcije y = f(kx ) (kjer je k > 0) je potrebno stisniti graf funkcije y = f(x) do k krat vzdolž osi x. In za k > 1 je res kompresija k-krat, za 0< k < 1 – растяжение в 1/ k-krat.

5. Za risanje funkcije y = - f(x ) potrebujete graf funkcije y=f(x ) odražajo okoli osi x (ta transformacija je poseben primer transformacije 2 za m = -1).

6. Za risanje funkcije y = f (-x) potrebujete graf funkcije y=f(x ) za refleksijo o osi y (ta transformacija je poseben primer transformacije 4 za k = -1).

Primer 1

Zgradimo graf funkcije y \u003d - cos 3 x + 2.

V skladu s pravilom 5 potrebujemo graf funkcije y \u003d cos x odražajo okoli osi x. V skladu s pravilom 3 je treba ta graf trikrat stisniti vzdolž osi x. Nazadnje, v skladu s pravilom 1 mora biti tak graf dvignjen za tri enote vzdolž osi y.

Prav tako je koristno spomniti se pravil za pretvorbo grafov z moduli.

1. Narisati graf funkcije y=| f (x)| potrebno je shraniti del grafa funkcije y \u003d f(x ), za katerega je y ≥ 0. Ta del grafa je y = f(x ), za katerega< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Za risanje funkcije y = f (|x|) potrebno je shraniti del grafa funkcije y \u003d f(x ), za katerega je x ≥ 0. Poleg tega se mora ta del odbiti simetrično v levo glede na os y.

3. Narisati enačbo |y| = f (x) potrebno je shraniti del grafa funkcije y \u003d f(x ), za katerega je y ≥ 0. Poleg tega se mora ta del odbiti simetrično navzdol glede na os x.

Primer 2

Narišimo enačbo |y| = greh | x |.

Zgradimo graf funkcije y \u003d greh x za x ≥ 0. V skladu s pravilom 2 se ta graf odraža v levo glede na os y. Ohranimo dele takšnega grafa, za katere je y ≥ 0. V skladu s pravilom 3 se bodo ti deli odbili simetrično navzdol glede na abscisno os.

V bolj zapletenih primerih je treba razkriti znake modula.

Primer 3

Zgradimo graf kompleksne funkcije y \u003d cos(2x + |x|).

Spomnimo se, da je argument kosinusne funkcije funkcija spremenljivke x, zato je ta funkcija kompleksna. Razširimo znak modula in dobimo:Za dva takšna intervala sestavimo graf funkcije y(x ). Upoštevamo, da je za x ≥ 0 graf funkcije y \u003d ker 3 x dobimo iz grafa funkcije y = cos x za faktor 3 vzdolž osi x.

Primer 4

Narišimo funkcijo

S formulo kvadrata razlike zapišemo funkcijo v oblikiGraf funkcije je sestavljen iz dveh delov. Za x> 0 je potrebno narisati funkcijo y \u003d 1 - cos X. Dobimo jo iz grafa funkcije y = cos x odboj okoli abscisne osi in premik za 1 enoto navzgor vzdolž ordinatne osi.

Za x ≥ 0 narišemo funkcijo y = ( x -1)2 - 1. Dobimo ga iz grafa funkcije y \u003d x2 premaknjena za 1 enoto v desno vzdolž osi x in 1 enoto navzgor vzdolž osi y.

IV. Kontrolna vprašanja(prednja anketa)

1. Pravila za preoblikovanje grafov funkcij.

2. Transformacija grafov z moduli.

V. Naloga v lekciji

§ 13, št. 2 (a, b); 3; 5; 7 (c, d); 8 (a, b); 9(a); 10 (b); 11 (a, b); 13 (c, d); 14; 17 (a, b); 19(b); 20 (a, c).

VI. Domača naloga

§ 13, št. 2 (c, d); 4; 6; 7 (a, b); 8 (c, d); 9 (b); 10(a); 11 (c, d); 13 (a, b); 15; 17 (c, d); 19(a); 20 (b, d).

VII. Ustvarjalna naloga

Narišite graf funkcije, enačbe, neenačbe:

VIII. Povzetek lekcije

Trigonometrične karte funkcije

Funkcija y = sinx, njegove lastnosti

Pretvorba grafov trigonometričnih funkcij z vzporednim prevajanjem
Pretvorite grafe trigonometričnih funkcij s stiskanjem in razširjanjem

Za radovedne…
Avtor

Funkcijski graf y= greh x je sinusoida

y = sin x

Lastnosti funkcije :

D(y)=R2. Periodično (T=2  )

3. Čuden ( sin(-x)=-sin x) 4. Nič funkcij:

y=0, sinx=0 pri x =  n, n  Z

0 pri x   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z y pri x   (-  +2  n ; 0+2  n), n  Z"width="640 "

Lastnosti funkcije y = greh x

y = sin x

5. Intervali konstantnosti :

pri 0 pri X   (0+2  n ;  +2  n ) ,n  Z

pri pri x   ( -  +2  n ; 0+2  n), n  Z

Lastnosti funkcije y= greh x

6. Intervali monotonosti :

funkcija narašča v intervalih

vrsta:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z

Lastnosti funkcije y= greh x

Monotoni intervali:

funkcija se v intervalih zmanjšuje

vrsta:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z

Lastnosti funkcije y = greh x

x min

x maks

7 . ekstremne točke :

x maks =  / 2 +2  n , n  Z

x m v = -  / 2 +2  n , n  Z

Lastnosti funkcije y = greh x

8 . Razpon vrednosti :

E(y) =  -1;1 

Pretvorba grafov trigonometrične funkcije

Graf funkcije y = f(x +c) dobimo iz grafa funkcije y = f(x) vzporedno prevajanje z (-in) enotami vzdolž osi x
Graf funkcije y = f(x )+a dobimo iz grafa funkcije y = f(x) vzporedno prevajanje z (a) enotami vzdolž osi y

Plot

Funkcije y = greh(x+  /4 )

l = greh x

odpoklicati

pravila

Plot

Lastnosti: y=sin(x -  /6)

y=sin(x+  /4 )

Plot

Lastnosti:

y = sin x + 

y=sin(x-  /6 )

y= sin x + 

Plot

Lastnosti: y=sin (x +  /2)

odpoklicati

pravila

Funkcijski graf y= cos x je kosinusni val

greh(x+  /2)=cos x

Lastnosti seznama

funkcije y = cos x