Kako najti območje trikotnika. Dokaži, koliko je ploščina trikotnika

Trikotnik je figura, ki jo poznajo vsi. In to kljub bogati raznolikosti njegovih oblik. Pravokoten, enakostranični, oster, enakokrak, topi. Vsak od njih je na nek način drugačen. Toda za vsakogar morate ugotoviti površino trikotnika.

Formule, skupne vsem trikotnikom, ki uporabljajo dolžine stranic ali višin

Oznake, sprejete v njih: strani - a, b, c; višine na ustreznih straneh na a, n in, n s.

1. Površina trikotnika se izračuna kot zmnožek ½, stranice in višine, odštete od tega. S = ½ * a * n a. Formuli za drugi dve strani je treba zapisati podobno.

2. Heronova formula, v kateri nastopa polobod (običajno ga označujemo z malo črko p, za razliko od polnega oboda). Polobseg je treba izračunati na naslednji način: seštejte vse stranice in jih delite z 2. Formula za polobseg je: p = (a+b+c) / 2. Potem velja enakost za ploščino slika izgleda takole: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Če ne želite uporabiti polobod, bo uporabna formula, ki vsebuje samo dolžine stranic: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Je nekoliko daljši od prejšnjega, vendar vam bo pomagal, če ste pozabili najti polobod.

Splošne formule, ki vključujejo kote trikotnika

Oznake, potrebne za branje formul: α, β, γ - koti. Ležijo nasproti strani a, b, c.

1. Po njem je polovica produkta dveh stranic in sinusa kota med njima enaka površini trikotnika. To je: S = ½ a * b * sin γ. Formuli za druga dva primera je treba zapisati na podoben način.

2. Območje trikotnika je mogoče izračunati z uporabo ene strani in treh znani koti. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Obstaja tudi formula z eno znano stranico in dvema sosednjima kotoma. Videti je takole: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Zadnji dve formuli nista najpreprostejši. Težko si jih je zapomniti.

Splošne formule za situacije, ko so znani polmeri včrtanih ali opisanih krogov

Dodatne oznake: r, R - polmeri. Prvi se uporablja za polmer včrtanega kroga. Drugi je za opisano.

1. Prva formula, s katero se izračuna površina trikotnika, je povezana s polobodom. S = r * r. Drug način za pisanje je: S = ½ r * (a + b + c).

2. V drugem primeru boste morali pomnožiti vse stranice trikotnika in jih razdeliti s štirikratnim polmerom opisanega kroga. V dobesednem izrazu je videti takole: S = (a * b * c) / (4R).

3. Tretja situacija vam omogoča, da ne poznate strani, vendar boste potrebovali vrednosti vseh treh kotov. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseben primer: pravokotni trikotnik

To je najenostavnejša situacija, saj je potrebna le dolžina obeh nog. Označeni so z latiničnima črkama a in b. Površina pravokotnega trikotnika je enaka polovici površine pravokotnika, ki mu je dodan.

Matematično je to videti takole: S = ½ a * b. Najlažje si ga je zapomniti. Ker je videti kot formula za površino pravokotnika, se prikaže le delček, ki označuje polovico.

Poseben primer: enakokraki trikotnik

Ker ima dve enaki strani, so nekatere formule za njegovo ploščino videti nekoliko poenostavljene. Na primer, Heronova formula, ki izračuna površino enakokrakega trikotnika, ima naslednjo obliko:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Če ga preoblikujete, bo postal krajši. V tem primeru je Heronova formula za enakokraki trikotnik zapisana takole:

S = ¼ v √(4 * a 2 - b 2).

Formula za ploščino je videti nekoliko preprostejša kot za poljuben trikotnik, če veste straneh in kot med njima. S = ½ a 2 * sin β.

Poseben primer: enakostranični trikotnik

Običajno je pri težavah stran o tem znana ali pa se jo da na nek način ugotoviti. Potem je formula za iskanje območja takšnega trikotnika naslednja:

S = (a 2 √3) / 4.

Težave pri iskanju območja, če je trikotnik upodobljen na karirastem papirju

Najenostavnejša situacija je, ko je pravokotni trikotnik narisan tako, da njegove noge sovpadajo s črtami papirja. Nato morate le prešteti število celic, ki se prilegajo nogam. Nato jih pomnožite in delite z dve.

Ko je trikotnik oster ali tup, ga je treba narisati v pravokotnik. Potem bo nastala številka imela 3 trikotnike. Eden je tisti, ki je podan v nalogi. In druga dva sta pomožna in pravokotna. Območji zadnjih dveh je treba določiti z zgoraj opisano metodo. Nato izračunajte površino pravokotnika in od nje odštejte tiste, ki so izračunane za pomožne. Določena je površina trikotnika.

Situacija, v kateri nobena stran trikotnika ne sovpada s črtami papirja, se izkaže za veliko bolj zapleteno. Nato ga je treba vpisati v pravokotnik, tako da oglišča prvotne figure ležijo na njegovih straneh. V tem primeru bodo trije pomožni pravokotni trikotniki.

Primer problema z uporabo Heronove formule

Pogoj. Neki trikotnik ima znane stranice. Enaki so 3, 5 in 6 cm, morate ugotoviti njegovo površino.

Zdaj lahko izračunate površino trikotnika z zgornjo formulo. Pod kvadratnim korenom je produkt štirih števil: 7, 4, 2 in 1. To pomeni, da je ploščina √(4 * 14) = 2 √(14).

Če večja natančnost ni potrebna, lahko vzamete kvadratni koren iz 14. Enako je 3,74. Potem bo površina 7,48.

Odgovori. S = 2 √14 cm 2 ali 7,48 cm 2.

Primer problema s pravokotnim trikotnikom

Pogoj. En krak pravokotnega trikotnika je 31 cm večji od drugega. Morate ugotoviti njihove dolžine, če je površina trikotnika 180 cm 2.
rešitev. Rešiti bomo morali sistem dveh enačb. Prvi je povezan s področjem. Drugi je z razmerjem krakov, ki je podan v nalogi.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Najprej je treba vrednost "a" nadomestiti v prvo enačbo. Izkazalo se je: 180 = ½ (in + 31) * in. Ima samo eno neznano količino, zato jo je enostavno rešiti. Po odpiranju oklepajev dobimo kvadratno enačbo: 2 + 31 360 = 0. To daje dve vrednosti za "in": 9 in - 40. Druga številka ni primerna kot odgovor, saj je dolžina stranice trikotnika ne more biti negativna vrednost.

Ostaja še izračunati drugo nogo: dobljenemu številu dodajte 31. Izkaže se 40. To so količine, ki jih iščemo v problemu.

Odgovori. Kraki trikotnika so 9 in 40 cm.

Problem iskanja stranice skozi ploščino, stranico in kot trikotnika

Pogoj. Površina določenega trikotnika je 60 cm 2. Izračunati je treba eno od njegovih strani, če je druga stranica 15 cm in je kot med njima 30º.

rešitev. Na podlagi sprejetega zapisa je želena stranica "a", znana stranica je "b", dani kot je "γ". Potem lahko formulo površine prepišemo na naslednji način:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Tukaj je sinus 30 stopinj 0,5.

Po transformacijah se izkaže, da je "a" enako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Zahtevana stranica je 16 cm.

Naloga o kvadratu, včrtanem pravokotnemu trikotniku

Pogoj. Oglišče kvadrata s stranico 24 cm sovpada s pravim kotom trikotnika. Druga dva ležita ob straneh. Tretja pripada hipotenuzi. Dolžina ene od nog je 42 cm. Kakšna je površina pravokotnega trikotnika?

rešitev. Razmislite o dveh pravokotnih trikotnikih. Prva je tista, ki je navedena v nalogi. Drugi temelji na znanem kraku prvotnega trikotnika. Podobni sta si, ker imata skupni kot in ju tvorita vzporedni premici.

Potem sta razmerja njunih nog enaka. Kraki manjšega trikotnika so enaki 24 cm (stranica kvadrata) in 18 cm (podani krak 42 cm odštejemo stranico kvadrata 24 cm). Ustrezni kraki velikega trikotnika so 42 cm in x cm, prav ta "x" je potreben za izračun površine trikotnika.

18/42 = 24/x, to je x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Potem je površina enaka zmnožku 56 in 42, deljenem z dva, to je 1176 cm 2.

Odgovori. Zahtevana površina je 1176 cm 2.

Ploščina trikotnika je enaka polovici zmnožka njegove stranice in nadmorske višine te strani. V tem primeru se stran, na katero je narisana višina, običajno imenuje osnova. Tako lahko rečemo, da Površina trikotnika je enaka polovici produkta njegove osnove in višine.

Če dolžino osnovne stranice trikotnika označimo z a, višino s h, potem dobimo formulo za ploščino trikotnika:

Če želite dokazati to formulo, morate upoštevati vse možnosti za lokacijo višine v trikotniku. Samo trije so. To:

Višina sovpada z eno od stranic trikotnika. V tem primeru imamo opravka s pravokotnim trikotnikom, v katerem je ena od nog vzeta za osnovo. Višina, narisana na to stran, je druga stran.
Višina je znotraj trikotnika. V tem primeru seka z bazo in jo razdeli na dva segmenta. V tem primeru je ta trikotnik razdeljen na dva pravokotna trikotnika.
Višina sega čez trikotnik. V tem primeru se ne seka s samo bazo, temveč z njenim nadaljevanjem (ravno črto, na kateri leži baza).

Razmislimo o prvem primeru. Naj bo dan trikotnik ABC. V njej je na osnovico AC dolžine a narisana višina h, ki sovpada s stranico BC:

Kot veste, je površina pravokotnika enaka produktu njegovih sosednjih strani. Če bi imeli pravokotnik s stranicami, katerih dolžini sta a in h, bi bila njegova ploščina enaka ah. Če v pravokotnik narišemo diagonalo, ga ta razdeli na dva enaka pravokotna trikotnika (imajo vse tri stranice ustrezno enake). Površine teh trikotnikov so prav tako enake med seboj in vsaka je ½ površine celotnega pravokotnika. Tako je dokazano, da je območje trikotnika v tem primeru bo enako ½ah.

Razmislimo o drugem primeru. Naj višina BH dolžine h seka stranico AC dolžine a.

V tem primeru dobimo dva pravokotna trikotnika: ABH in CBH. Iz prvega obravnavanega primera vemo, da sta njuni površini enaki ½ · AH · h oziroma ½ · CH · h.

Ploščina celotnega trikotnika ABC je vsota teh dveh ploščin:

S = ½ AH h + ½ CH h

Vzemimo skupne faktorje iz oklepajev:

S = ½ h (AH + CH)

Toda AH in CH seštejeta dolžino a. Tako pridemo do formule, ki jo je bilo treba dokazati:

S = ½ h a

Zdaj razmislite o tretjem primeru, ko je višina zunaj trikotnika:

Tukaj lahko vidimo tudi dva pravokotna trikotnika. To sta ∆ABH in ∆CBH. Poleg tega prvo vključuje drugo. Želeni trikotnik ABC je komplement trikotnika CBH s trikotnikom ABH. Tako lahko zapišemo, da je ploščina ∆ABH enaka vsoti ploščin ∆CBH in ∆ABC:

S ∆ABH = S ∆CBH + S ∆ABC

Kako najdemo površino zahtevanega trikotnika ABC:

S ∆ABC = S ∆ABH – S ∆CBH

Ploščina trikotnika ABH je ½ AH h, ploščina trikotnika CBH je ½ CH h:

S ∆ABC = ½ AH h – ½ CH h

Vzemimo skupne faktorje iz oklepajev:

S ∆ABC = ½ h (AH – CH)

Če pa od odseka AH odštejemo odsek CH, dobimo odsek AC, katerega dolžina je enaka a. Zato lahko zapišemo, da je v tem primeru tudi ploščina trikotnika ½ ah.

Za določitev površine trikotnika lahko uporabite različne formule. Od vseh metod je najpreprostejša in najpogosteje uporabljena ta, da višino pomnožimo z dolžino osnove in nato rezultat delimo z dva. Vendar ta metoda še zdaleč ni edina. Spodaj si lahko preberete, kako najti površino trikotnika z uporabo različnih formul.

Ločeno si bomo ogledali načine za izračun površine določenih vrst trikotnikov - pravokotnih, enakokrakih in enakostraničnih. Vsako formulo pospremimo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.

Univerzalne metode za iskanje območja trikotnika

Spodnje formule uporabljajo poseben zapis. Vsakega od njih bomo dešifrirali:

a, b, c - dolžine treh strani figure, ki jo obravnavamo;
r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
R je polmer kroga, ki ga je mogoče opisati okoli njega;
α je velikost kota, ki ga tvorita stranici b in c;
β je velikost kota med a in c;
γ je velikost kota, ki ga tvorita stranici a in b;
h je višina našega trikotnika, spuščena iz kota α na stran a;
p – polovična vsota strani a, b in c.

Logično je jasno, zakaj lahko na ta način najdete površino trikotnika. Trikotnik je mogoče zlahka sestaviti v paralelogram, v katerem bo ena stran trikotnika delovala kot diagonala. Ploščino paralelograma najdemo tako, da dolžino ene od njegovih strani pomnožimo z vrednostjo višine, ki je na njej narisana. Diagonala deli ta pogojni paralelogram na 2 enaka trikotnika. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.

S=½ a b sin γ

V skladu s to formulo se območje trikotnika najde tako, da se dolžini njegovih dveh strani, to je a in b, pomnoži s sinusom kota, ki ga tvorita. Ta formula je logično izpeljana iz prejšnje. Če znižamo višino s kota β na stran b, potem glede na lastnosti pravokotnega trikotnika, ko dolžino stranice a pomnožimo s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, to je h .

Območje zadevne figure se ugotovi tako, da se polovica polmera kroga, ki ga je mogoče vpisati vanj, pomnoži z njegovim obodom. Z drugimi besedami, poiščemo zmnožek pol-obsega in polmera omenjenega kroga.

S = a b c/4R

V skladu s to formulo lahko vrednost, ki jo potrebujemo, najdemo tako, da produkt strani figure delimo s 4 polmeri kroga, opisanega okoli njega.

Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (razmerno, enakokrako, enakostranično, pravokotno). To je mogoče storiti z bolj zapletenimi izračuni, o katerih se ne bomo podrobneje ukvarjali.

Površine trikotnikov s posebnimi lastnostmi

Kako najti območje pravokotnega trikotnika? Posebnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati njeni višini. Če sta a in b kateta in c postane hipotenuza, potem območje najdemo takole:

Kako najti območje enakokrakega trikotnika? Ima dve strani z dolžino a in eno stran z dolžino b. Posledično lahko njegovo ploščino določimo tako, da produkt kvadrata stranice a s sinusom kota γ delimo z 2.

Kako najti območje enakostranični trikotnik? V njej je dolžina vseh stranic enaka a, velikost vseh kotov pa α. Njegova višina je enaka polovici zmnožka dolžine stranice a in kvadratnega korena iz 3. Če želite najti površino pravilnega trikotnika, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korenom iz 3 in deliti s 4.

Območje trikotnika. V številnih geometrijskih problemih, povezanih z izračunom območij, vključno z nalogami na Enotnem državnem izpitu, se uporabljajo formule za površino trikotnika. Obstaja jih več, tukaj si bomo ogledali glavne.

Preveč enostavno bi bilo našteti te formule, tega je že dovolj v referenčnih knjigah in na različnih spletnih straneh. Rad bi posredoval bistvo nekaterih od njih. Po preučevanju gradiva v članku boste razumeli, da se vam ni treba naučiti vseh formul, ampak jih morate razumeti.

Z lahkoto jih lahko prikličete v spomin, če nenadoma "odletijo" v pravem trenutku. Najprej si poglejmo paralelogram. Definicija se glasi:

Zakaj? Enostavno je! Da bi jasno pokazali, kaj je pomen formule, naredimo nekaj dodatnih konstrukcij:

Površina trikotnika (2) je enaka površini trikotnika (1), miselno "odrežemo" drugo in jo premaknemo na prvo, dobimo pravokotnik, katerega ploščina je enaka površina prvotnega paralelograma:

Znano je, da je površina pravokotnika enaka produktu njegovih sosednjih strani. Kot je razvidno iz skice, je ena stranica nastalega pravokotnika enaka stranici paralelograma, druga pa njegova višina, narisana na to stran. Zato dobimo formulo za površino paralelograma S = a∙h a

Nadaljujmo z drugo formulo za njeno ploščino. Imamo:

Izrazimo višino h a in pravokotni trikotnik, kjer je b hipotenuza:

Če nadomestimo h a v formulo površine, dobimo:

Razvrstili smo paralelogram. Preidimo na trikotnik.

Območje trikotnika. Šest formul!

Prva formula

Diagonala paralelograma deli na dva enaka trikotnika:

Zato bo površina trikotnika enaka polovici površine paralelograma:

* To pomeni, da če poznamo katero koli stran trikotnika in višino, spuščeno na to stran, potem lahko vedno izračunamo površino tega trikotnika.

Formula dve

Kot že rečeno, je formula za površino paralelograma:

Površina trikotnika je enaka polovici njegove površine, kar pomeni:

* To pomeni, da če sta znani kateri koli dve stranici v trikotniku in kot med njima, lahko vedno izračunamo površino takšnega trikotnika.

Heronova formula (tretja)

To formulo je težko izpeljati in vam ne koristi. Poglejte, kako lepa je, lahko rečete, da je nepozabna.

*Če so podane tri stranice trikotnika, lahko s to formulo vedno izračunamo njegovo ploščino.

Formula štiri

Kje r– polmer včrtane krožnice

*Če so znane tri strani trikotnika in polmer vanj vpisanega kroga, potem lahko vedno najdemo območje tega trikotnika.

Formula pet

Kje R– polmer opisanega kroga.

*Če so znane tri stranice trikotnika in polmer kroga, ki je okoli njega opisan, potem lahko vedno najdemo površino takšnega trikotnika.

Postavlja se vprašanje: če so znane tri stranice trikotnika, ali ni lažje najti njegove površine s Heronovo formulo!

Da, lahko je lažje, vendar ne vedno, včasih se pojavi zapletenost. To vključuje ekstrakcijo korenine. Poleg tega so te formule zelo priročne za uporabo pri težavah, kjer je podana površina trikotnika in njegovih strani ter morate najti polmer včrtanega ali obremenjenega kroga. Takšne naloge so na voljo kot del enotnega državnega izpita.

Morda bi bilo koristno prebrati: