Slučajna spremenljivka x je podana s funkcijo gostote porazdelitve. Numerične značilnosti zvezne naključne spremenljivke

Pričakovana vrednost

Razpršenost zvezna naključna spremenljivka X, katere možne vrednosti pripadajo celotni osi Ox, je določena z enakostjo:

Namen storitve. Spletni kalkulator je zasnovan za reševanje težav, pri katerih bodisi gostota porazdelitve f(x) ali porazdelitveno funkcijo F(x) (glej primer). Običajno morate pri takih nalogah najti matematično pričakovanje, standardni odklon, risanje grafov funkcij f(x) in F(x).

Navodila. Izberite vrsto izvornih podatkov: gostota porazdelitve f(x) ali funkcija porazdelitve F(x).

Gostota porazdelitve f(x) je podana:

Porazdelitvena funkcija F(x) je podana:

Zvezna naključna spremenljivka je določena z gostoto verjetnosti
(Rayleijev zakon porazdelitve - uporablja se v radijski tehniki). Poiščite M(x) , D(x) .

Pokliče se naključna spremenljivka X neprekinjeno , če je njegova porazdelitvena funkcija F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke se uporablja za izračun verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v dani interval:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Poleg tega za zvezno naključno spremenljivko ni pomembno, ali so njene meje vključene v ta interval ali ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gostota porazdelitve zvezna naključna spremenljivka se imenuje funkcija
f(x)=F’(x) , odvod porazdelitvene funkcije.

Lastnosti porazdelitvene gostote

1. Gostota porazdelitve naključne spremenljivke je nenegativna (f(x) ≥ 0) za vse vrednosti x.
2. Pogoj normalizacije:

Geometrični pomen normalizacijskega pogoja: površina pod krivuljo gostote porazdelitve je enaka enoti.
3. Verjetnost, da naključna spremenljivka X pade v interval od α do β, se lahko izračuna z uporabo formule

Geometrično je verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka X pade v interval (α, β), enaka površini krivuljnega trapeza pod krivuljo gostote porazdelitve na podlagi tega intervala.
4. Porazdelitvena funkcija je izražena z gostoto, kot sledi:

Vrednost gostote porazdelitve v točki x ni enaka verjetnosti sprejema te vrednosti; za zvezno naključno spremenljivko lahko govorimo le o verjetnosti, da pade v dani interval. Pustiti :

verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka X bo vzel poljubno vrednost iz intervala [ a; b], je enak določenemu integralu njegove gostote verjetnosti, ki sega od a prej b:

.

V tem primeru splošna formula funkcije F(x) verjetnostna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke, ki jo lahko uporabimo, če poznamo funkcijo gostote f(x) :

.

Graf gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke se imenuje njena porazdelitvena krivulja (slika spodaj).

Območje figure (osenčeno na sliki), omejeno s krivuljo, ravne črte, narisane iz točk a in b pravokotno na os x in os Oh, grafično prikaže verjetnost, da bo vrednost zvezne naključne spremenljivke X je v območju a prej b.

Lastnosti funkcije gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke

1. Verjetnost, da bo naključna spremenljivka prevzela katero koli vrednost iz intervala (in območja figure, ki je omejena z grafom funkcije f(x) in os Oh) je enako ena:

2. Funkcija gostote verjetnosti ne more imeti negativnih vrednosti:

zunaj obstoja porazdelitve pa je njegova vrednost nič

Gostota porazdelitve f(x), kot tudi distribucijska funkcija F(x), je ena od oblik porazdelitvenega zakona, vendar za razliko od porazdelitvene funkcije ni univerzalna: gostota porazdelitve obstaja samo za zvezne naključne spremenljivke.

Omenimo dva v praksi najpomembnejša tipa porazdelitve zvezne naključne spremenljivke.

Če funkcija gostote porazdelitve f(x) zvezna naključna spremenljivka v nekem končnem intervalu [ a; b] ima konstantno vrednost C, zunaj intervala pa ima vrednost enako nič, potem to porazdelitev imenujemo enakomerna .

Če je graf funkcije gostote porazdelitve simetričen glede na središče, so povprečne vrednosti koncentrirane blizu središča, oddaljevanje od središča pa se zbirajo tiste, ki se bolj razlikujejo od povprečja (graf funkcije je podoben odseku zvonec), potem to porazdelitev imenujemo normalna .

Primer 1. Funkcija porazdelitve verjetnosti zvezne naključne spremenljivke je znana:

Najdi funkcijo f(x) gostota verjetnosti zvezne naključne spremenljivke. Zgradite grafa obeh funkcij. Poiščite verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka prevzela katero koli vrednost v intervalu od 4 do 8: .

rešitev. Funkcijo gostote verjetnosti dobimo tako, da poiščemo odvod funkcije porazdelitve verjetnosti:

Graf funkcije F(x) - parabola:

Graf funkcije f(x) - ravno:

Poiščimo verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka prevzela katero koli vrednost v območju od 4 do 8:

Primer 2. Funkcija gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke je podana kot:

Izračunaj koeficient C. Najdi funkcijo F(x) verjetnostna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke. Zgradite grafa obeh funkcij. Poiščite verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka sprejela katero koli vrednost v območju od 0 do 5: .

rešitev. Koeficient C z uporabo lastnosti 1 funkcije gostote verjetnosti ugotovimo:

Tako je funkcija gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke:

Z integracijo najdemo funkcijo F(x) verjetnostne porazdelitve. če x < 0 , то F(x) = 0 . Če je 0< x < 10 , то

.

x> 10, torej F(x) = 1 .

Tako je celoten zapis funkcije porazdelitve verjetnosti:

Graf funkcije f(x) :

Graf funkcije F(x) :

Poiščimo verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka prevzela katero koli vrednost v območju od 0 do 5:

Primer 3. Gostota verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X je podana z enakostjo , in . Poiščite koeficient A, verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka X bo prevzel katero koli vrednost iz intervala ]0, 5[, porazdelitvene funkcije zvezne naključne spremenljivke X.

rešitev. S pogojem pridemo do enakosti

Torej, , od koder . Torej,

.

Zdaj najdemo verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka X bo prevzel katero koli vrednost iz intervala ]0, 5[:

Zdaj dobimo porazdelitveno funkcijo te naključne spremenljivke:

Primer 4. Poiščite gostoto verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X, ki zavzema le nenegativne vrednosti, in njeno distribucijsko funkcijo .

Primeri reševanja problemov na temo "Naključne spremenljivke".

Naloga 1 . Za loterijo je izdanih 100 srečk. Izžreban je bil en dobitek v višini 50 USD. in deset zmag po 10 USD. Poiščite zakon porazdelitve vrednosti X - stroškov možnih dobitkov.

rešitev. Možne vrednosti za X: x 1 = 0; x 2 = 10 in x 3 = 50. Ker je "praznih" listkov 89, potem je str 1 = 0,89, verjetnost dobitka 10 $. (10 vstopnic) – str 2 = 0,10 in dobite 50 USD -str 3 = 0,01. Torej:

0,89

0,10

0,01

Enostaven nadzor: .

Naloga 2. Verjetnost, da je kupec vnaprej prebral oglas izdelka, je 0,6 (p = 0,6). Selektivni nadzor kakovosti oglaševanja se izvaja z anketiranjem kupcev pred prvim, ki je oglaševanje predhodno preučil. Sestavite niz distribucije za število anketiranih kupcev.

rešitev. Glede na pogoje problema je p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Če zamenjamo te vrednosti, dobimo: in sestavite distribucijsko serijo:

p i

0,24

Naloga 3. Računalnik je sestavljen iz treh neodvisno delujočih elementov: sistemske enote, monitorja in tipkovnice. Pri enkratnem močnem povečanju napetosti je verjetnost okvare vsakega elementa 0,1. Na podlagi Bernoullijeve porazdelitve sestavite porazdelitveni zakon za število okvarjenih elementov med sunkom napetosti v omrežju.

rešitev. Razmislimo Bernoullijeva porazdelitev(ali binom): verjetnost, da n testov, se bo dogodek A pojavil točno k enkrat: , ali:

q n

str n

IN Vrnimo se k nalogi.

Možne vrednosti za X (število napak):

x 0 =0 – nobeden od elementov ni odpovedal;

x 1 =1 – okvara enega elementa;

x 2 =2 – okvara dveh elementov;

x 3 =3 – okvara vseh elementov.

Ker je po pogoju p = 0,1, potem je q = 1 – p = 0,9. Z uporabo Bernoullijeve formule dobimo

, ,

, .

Nadzor: .

Zato zahtevani distribucijski zakon:

0,729

0,243

0,027

0,001

Problem 4. Proizvedeno 5.000 nabojev. Verjetnost, da je ena kartuša okvarjena . Kolikšna je verjetnost, da bodo v celotni seriji natanko 3 okvarjene kartuše?

rešitev. Primerno Poissonova porazdelitev: Ta porazdelitev se uporablja za določitev verjetnosti, da je za zelo veliko

število testov (masovnih testov), ​​pri vsakem od katerih je verjetnost dogodka A zelo majhna, se bo dogodek A zgodil k-krat: , Kje .

Tukaj je n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Najdemo , nato želeno verjetnost: .

Problem 5. Pri streljanju do prvega zadetka z verjetnostjo zadetka p = 0,6 pri streljanju morate najti verjetnost, da bo do zadetka prišlo ob tretjem strelu.

rešitev. Uporabimo geometrijsko porazdelitev: izvedemo neodvisne poskuse, pri vsakem od katerih ima dogodek A verjetnost pojava p (in nepojavitve q = 1 – p). Test se konča takoj, ko nastopi dogodek A.

Pod takimi pogoji je verjetnost, da se bo dogodek A zgodil v k-tem poskusu, določena s formulo: . Tukaj je p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4; k = 3. Zato je .

Problem 6. Naj bo podan porazdelitveni zakon naključne spremenljivke X:

Poiščite matematično pričakovanje.

rešitev. .

Upoštevajte, da je verjetnostni pomen matematičnega pričakovanja povprečna vrednost naključne spremenljivke.

Problem 7. Poiščite varianco naključne spremenljivke X z naslednjim zakonom porazdelitve:

rešitev. Tukaj .

Porazdelitveni zakon za kvadrat vrednosti X 2 :

X 2

Zahtevana varianca: .

Disperzija označuje mero odstopanja (razpršenosti) naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.

Problem 8. Naj bo naključna spremenljivka podana s porazdelitvijo:

10m

Poiščite njegove numerične značilnosti.

Rešitev: m, m 2 ,

M 2 , m.

Za naključno spremenljivko X lahko rečemo: njeno matematično pričakovanje je 6,4 m z varianco 13,04 m 2 , oziroma – njegovo matematično pričakovanje je 6,4 m z odstopanjem m je očitno bolj jasno.

Naloga 9. Naključna vrednost X podana z distribucijsko funkcijo:
.

Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa vrednost X prevzela vrednost v intervalu .

rešitev. Verjetnost, da bo X prevzel vrednost iz danega intervala, je enaka prirastku integralne funkcije v tem intervalu, tj. . V našem primeru in torej

.

Naloga 10. Diskretna naključna spremenljivka X je podana z distribucijskim zakonom:

Poiščite distribucijsko funkcijo F(x ) in ga narišite.

rešitev. Ker je distribucijska funkcija,

Za , To

ob ;

ob ;

ob ;

ob ;

Ustrezen grafikon:


Problem 11. Zvezna naključna spremenljivka X podana z diferencialno porazdelitveno funkcijo: .

Poiščite verjetnost zadetka X na interval

rešitev. Upoštevajte, da je to poseben primer zakona eksponentne porazdelitve.

Uporabimo formulo: .

Naloga 12. Poiščite numerične značilnosti diskretne naključne spremenljivke X, določene z distribucijskim zakonom:

–5

X2:

X 2

. , Kje – Laplaceova funkcija.

Vrednosti te funkcije najdete s tabelo.

V našem primeru:.

Iz tabele najdemo: , torej:

Koncepti matematičnega pričakovanja M(X) in varianco D(X), ki je bil prej uveden za diskretno naključno spremenljivko, se lahko razširi na zvezne naključne spremenljivke.

· Matematično pričakovanje M(X) zvezna naključna spremenljivka X je določena z enakostjo:

pod pogojem, da ta integral konvergira.

· Varianca D(X) zvezna naključna spremenljivka X je določena z enakostjo:

· Standardni odklonσ( X) zvezna naključna spremenljivka je določena z enakostjo:

Vse lastnosti matematičnega pričakovanja in disperzije, ki smo jih prej obravnavali za diskretne naključne spremenljivke, veljajo tudi za zvezne.

Problem 5.3. Naključna vrednost X podana z diferencialno funkcijo f(x):

Najti M(X), D(X), σ( X), in p(1 < X< 5).

rešitev:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

p 1 =

Naloge

5.1. X

f(x), in

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Zvezna naključna spremenljivka X podana z distribucijsko funkcijo:

Poiščite diferencialno porazdelitveno funkcijo f(x), in

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Zvezna naključna spremenljivka X

Poišči: a) število z; b) M(X), D(X).

5.4. Zvezna naključna spremenljivka X podana z gostoto porazdelitve:

Poišči: a) število z; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Najti) F(X) in sestavite njegov graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) verjetnost, da bo v štirih neodvisnih poskusih vrednost X bo vzel natančno 2-kratno vrednost, ki pripada intervalu (1;4).

5.6. Podana je gostota porazdelitve verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X:

Najti) F(X) in sestavite njegov graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) verjetnost, da bo v treh neodvisnih poskusih vrednost X bo prevzel natančno 2-kratno vrednost, ki pripada segmentu.

5.7. funkcija f(X) je podan v obliki:

z X; b) distribucijska funkcija F(x).

5.8. funkcija f(x) je podan v obliki:

Poišči: a) vrednost konstante z, pri kateri bo funkcija verjetnostna gostota neke naključne spremenljivke X; b) distribucijska funkcija F(x).

5.9. Naključna vrednost X, koncentrirano na intervalu (3;7), je določeno s porazdelitveno funkcijo F(X)= X bo imel vrednost: a) manj kot 5, b) ne manj kot 7.

5.10. Naključna vrednost X, s središčem v intervalu (-1;4), je podana s funkcijo porazdelitve F(X)= . Poiščite verjetnost, da naključna spremenljivka X bo imel vrednost: a) manj kot 2, b) manj kot 4.


5.11.

Poišči: a) število z; b) M(X); c) verjetnost R(X > M(X)).

5.12. Slučajna spremenljivka je določena s funkcijo diferencialne porazdelitve:

Najti) M(X); b) verjetnost R(X ≤ M(X)).

5.13. Porazdelitev Rem je podana z gostoto verjetnosti:

Dokaži to f(x) je res funkcija gostote verjetnosti.

5.14. Podana je gostota porazdelitve verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X:

Poiščite številko z.

5.15. Naključna vrednost X porazdeljeno po Simpsonovem zakonu (enakokraki trikotnik) na odsek [-2;2] (slika 5.4). Poiščite analitični izraz za gostoto verjetnosti f(x) na celotni številski premici.

riž. 5.4 Sl. 5.5

5.16. Naključna vrednost X porazdeljena po zakonu "pravokotnega trikotnika" v intervalu (0;4) (slika 5.5). Poiščite analitični izraz za gostoto verjetnosti f(x) na celotni številski premici.

odgovori

p (-1/2<X<1/2)=2/3.

p(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) z=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.

5.4. A) z=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; b)

5.8. A) z=1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. A) z= 2; b) M(X)= 2; v 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) M(X)= π /2; b) 1/2



 

Morda bi bilo koristno prebrati: