Snežinka Koch konstrukcija. Kako narisati Kochovo snežinko, foto diagrame, kako izgleda Kochova snežinka? Oznaka uporabniškega vmesnika aplikacije v graditelju aplikacij

Tema: Fraktali.

1. Uvod. Kratko zgodovinsko ozadje fraktalov. 2. Fraktali so elementi geometrije v naravi.

3. Objekti s fraktalnimi lastnostmi v naravi. 4. Opredelitev pojma fraktali.

5.Razredi fraktalov.

6. Opis fraktalnih procesov. 7. Postopki za pridobivanje fraktalnih množic.

8.1 Broken Kokha (postopek pridobitve).

8.2 Kochova snežinka (Kochov fraktal).

8.3 Gobice.

9. Primeri uporabe fraktalov.

Uvod. Kratko zgodovinsko ozadje fraktalov.

Fraktali so mlada veja diskretne matematike.

IN Leta 1904 je Šved Koch prišel do zvezne krivulje, ki nima nikjer tangente - Kochove krivulje.

IN Leta 1918 je Francoz Julia opisal celo družino fraktalov.

IN Leta 1938 je Pierre Levy objavil članek "Ravne in prostorske krivulje in površine, sestavljene iz delov, podobnih celoti."

IN 1982 Benoit Mandelbrot izda knjigo "Fraktalna geometrija narave".

Z Z uporabo preprostih konstrukcij in formul dobimo slike. Pojavilo se je "fraktalno slikarstvo".

Od leta 1993 World Scientific izdaja revijo "Fractals".

Fraktali so elementi geometrije v naravi.

Fraktali so sredstvo za opisovanje predmetov, kot so modeli gorskih verig, razgibane obale, cirkulacijski sistemi številnih kapilar in žil, drevesne krošnje, kaskadni slapovi, ledeni vzorci na steklu.

Ali pa te: list praproti, oblaki, madež.

Slike takih predmetov je mogoče predstaviti s fraktalno grafiko.

Predmeti s fraktalnimi lastnostmi v naravi.

Korale Morske zvezde in ježki Morske školjke

Rože in rastline (brokoli, zelje) Sadje (ananas)

Krošnje dreves in listi rastlin Krvožilni sistem in bronhije ljudi in živali V neživi naravi:

Meje geografskih objektov (države, regije, mesta) Obale Gorske verige Snežinke Oblaki Strele

Vzorci na steklu Kristali Kapniki, stalagmiti, heliktiti.

Definicija terminologije "fraktali".

Fraktali so geometrijske oblike, ki imajo eno ali več od naslednjih lastnosti:

Ima kompleksno netrivialno strukturo pri vsaki povečavi (na vseh lestvicah); je (približno) samopodobna.

Ima frakcijsko Hausdorffovo (fraktalno) dimenzijo ali presega topološko dimenzijo; lahko se konstruira z rekurzivnimi postopki.

Za običajne figure, kot so krog, elipsa, graf gladke funkcije majhen delček v zelo velikem merilu je videti kot delček ravne črte. Pri fraktalu povečanje merila ne vodi do poenostavitve strukture, pri vseh merilih bomo videli enako kompleksne slike.

Fraktalni razredi

Fraktal je struktura, sestavljena iz delov (podstruktur), podobnih celoti.

Nekatere fraktale kot elemente narave lahko uvrstimo med geometrijske (konstruktivne) fraktale.

Ostalo lahko uvrstimo med dinamične fraktale (algebraične).

Postopki za pridobivanje fraktalnih množic.

To je preprost rekurziven postopek za pridobivanje fraktalnih krivulj: določite poljubno lomljeno črto s končnim številom povezav - generator. Nato se v njem zamenja vsak segment generatorja. Nato je vsak segment v njem spet zamenjan z generatorjem in tako naprej ad infinitum.

Prikazano: razdelitev enotskega odseka na 3 dele (a), enotske kvadratne ploščine na 9 delov (b), enotske kocke na 27 delov (c) in 64 delov (d). Število delov je n, faktor skaliranja je k, dimenzija prostora pa je d. Imamo naslednje relacije: n = kd,

če je n = 3, k = 3, potem je d = 1; če je n = 9, k = 3, potem je d = 2; če je n = 27, k = 3, potem je d = 3.

če je n = 4, k = 4, potem je d = 1; če je n = 16, k = 4, potem je d = 2; če je n = 64, k = 4, potem je d = 3. Razsežnost prostora izražamo s celimi števili: d = 1, 2, 3; za n = 64 je vrednost d enaka

Prikazanih je pet korakov konstruiranja Kochove polilinije: segment enotne dolžine (a), razdeljen na tri dele (k = 3), iz štirih delov (n = 4) - lomljena črta (b); vsak ravni segment je razdeljen na tri dele (k2 = 9) in na 16 delov (n2 = 16) - lomljena črta (c); postopek ponovimo za k3 = 27 in n3 = 64 – lomljena črta (g); za k5 = 243 in n5 = 1024 – lomljena črta (d).

Dimenzija

To je delna ali fraktalna dimenzija.

Kochova polilinija, ki jo je predlagal Helg von Koch leta 1904, deluje kot fraktal, ki je primeren za modeliranje razgibanosti obale. Mandelbrot je v algoritem za gradnjo obale vnesel element naključnosti, ki pa ni vplival na glavni sklep o dolžini obale. Ker meja

Dolžina obale teži v neskončnost zaradi neskončne razgibanosti obale.

Postopek glajenja obale pri prehodu iz podrobnejšega v manj podrobno merilo, t.j.

Kochova snežinka (Kochov fraktal)

Kot osnovo za konstrukcijo lahko vzamete ne segmente enote dolžine, temveč enakostranični trikotnik, na vsako stran katerega lahko razširite postopek množenja nepravilnosti. V tem primeru dobimo Kochovo snežinko (sl.) in to treh vrst: novonastali trikotniki so usmerjeni samo navzven od prejšnjega trikotnika (a) in (b); samo znotraj (v); naključno navzven ali navznoter (d) in (e). Kako lahko nastavite postopek za konstruiranje Kochovega fraktala.

riž. Snežinka Koch

Na sl. prikazana sta dva vektorska diagrama; Številke nad puščicami bodo verjetno sprožile vprašanje: kaj pomenijo? Vektor 0 sovpada s pozitivno smerjo abscisne osi, saj njegov fazni faktor exp (i2πl/6) pri l = 0 ohrani svojo smer. Vektor 1 je zasukan glede na vektor 0 za kot 2π/6, ko je l= 1. Vektor 5 ima fazni faktor exp (i2π5/6), l = 5. Zadnji vektor ima enak fazni faktor kot prvi ( l = 0). Cela števila l označujejo kot faznega faktorja enotskega vektorja.

Prvi korak (slika) določa rekurzivni postopek za vse naslednje korake in še posebej za drugi korak (slika). Kako preiti iz množice števil φ1 = (0 1 5 0) v φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Odgovor: z neposrednim množenjem matrike, ko se vsak element ene matrike pomnoži z izvirno matriko. Ker imamo v tem primeru opravka z enodimenzionalnim nizom, tj. Ker so matrike vektorji, se vsak element enega matričnega vektorja pomnoži z vsemi elementi drugega matričnega vektorja. Poleg tega so elementi matričnega vektorja φ1 sestavljeni iz eksponentnih funkcij exp (i2πl/6), zato bo treba 10 pri množenju števila h dodati po modu (6) in ne pomnožiti.

Kochova krivulja

Kochove snežinke

Za izdelavo Kochove snežinke izvedemo naslednje operacije. Upoštevajte enakostranični trikotnik kot ničelno ponovitev.


Nato vsako stran tega trikotnika razdelimo na tri enake dele, odstranimo srednji del in na sredini dopolnimo enakostranični trikotnik, kot je prikazano na sl. V naslednjem koraku je vsaka stranica nove figure podvržena istemu postopku razdelitve na tri enake dele in dokončanje konstrukcije enakostraničnega trikotnika in tako naprej do neskončnosti. Rezultat je simetrična, snežinki podobna, neskončno lomljena krivulja, ki je sebi podobna množica, imenovana Kochova snežinka. Ime je dobil po švedskem matematiku Helgeju von Kochu, ki ga je prvi opisal leta 1904. Njegova značilnost je, da se kljub temu, da je zaprt, nikjer ne seka, saj so zaključeni trikotniki vsakič dovolj majhni in nikoli ne »trčijo« z drug drugega.

Izračunajmo njegovo fraktalno dimenzijo. Vzemite kot dolžine strani prvotnega trikotnika l= 1, potem bo fragment sestavljen iz štirih segmentov, vsak dolžine 1/3 in torej skupne dolžine 4/3. V naslednjem koraku dobimo lomljeno črto, ki je sestavljena iz 16 segmentov in ima skupno dolžino 16/9 ali itd. Iz tega sledi, da je fraktalna dimenzija enaka

Ta vrednost je večja od ena (topološka dimenzija premice), vendar manjša od evklidske dimenzije ravnine, d = 2, na kateri se nahaja krivulja. Naj opozorimo, da se krivulja, dobljena kot rezultat n-te iteracije za kateri koli končni n, imenuje predfraktal in šele ko n teži v neskončnost, postane Kochova krivulja fraktal. Tako je Kochova snežinka črta neskončne dolžine, ki omejuje končno območje. Če uporabimo definicijo fraktala, lahko mirno rečemo, da je ta množica fraktal.

Ta številka je eden prvih fraktalov, ki so jih raziskovali znanstveniki. Izhaja iz treh izvodov Kochova krivulja, ki se je prvič pojavil v članku švedskega matematika Helgeja von Kocha leta 1904. Ta krivulja je bila izumljena kot primer zvezne črte, ki se ne more dotikati nobene točke. Črte s to lastnostjo so bile znane že prej (Karl Weierstrass je zgradil svoj primer že leta 1872), vendar je Kochova krivulja izjemna zaradi svoje preprostosti. Ni naključje, da se njegov članek imenuje "O zvezni krivulji brez tangent, ki izhaja iz elementarne geometrije."

Risba in animacija odlično prikazujeta, kako je Kochova krivulja zgrajena korak za korakom. Prva ponovitev je preprosto začetni segment. Nato ga razdelimo na tri enake dele, osrednjega dopolnimo v pravilen trikotnik in ga nato vržemo ven. Rezultat je druga ponovitev - lomljena črta, sestavljena iz štirih segmentov. Za vsakega od njih se uporabi ista operacija in dobimo četrti korak konstrukcije. Če nadaljujete v istem duhu, lahko dobite vedno več novih vrstic (vse bodo prekinjene). In tisto, kar se zgodi v meji (to bo že namišljen predmet), se imenuje Kochova krivulja.

Osnovne lastnosti Kochove krivulje

1. Je zvezen, vendar ga nikjer ni mogoče razlikovati. Grobo rečeno, ravno zato je bil izumljen - kot primer tovrstnih matematičnih "čudakov".

2. Ima neskončno dolžino. Naj bo dolžina prvotnega odseka enaka 1. Pri vsakem koraku konstrukcije zamenjamo vsakega od odsekov, ki sestavljajo črto, z lomljeno črto, ki je 4/3-krat daljša. To pomeni, da se dolžina celotne lomljene črte pri vsakem koraku pomnoži s 4/3: dolžina črte s številko n enako (4/3) n-1 . Zato mejni črti ne preostane drugega, kot da je neskončno dolga.

3. Kochova snežinka omejuje končno območje. In to kljub dejstvu, da je njen obseg neskončen. Ta lastnost se morda zdi paradoksalna, vendar je očitna - snežinka se popolnoma prilega krogu, zato je njeno območje očitno omejeno. Območje je mogoče izračunati in za to sploh ne potrebujete posebnega znanja - formule za površino trikotnika in vsoto geometrijskega napredovanja se učijo v šoli. Za tiste, ki jih zanima, je izračun naveden spodaj v drobnem tisku.

Naj bo stranica prvotnega pravilnega trikotnika enaka a. Potem je njegova površina . Najprej je stran 1 in ploščina: . Kaj se zgodi, ko se ponovitev poveča? Predpostavimo lahko, da so majhni enakostranični trikotniki pritrjeni na obstoječi mnogokotnik. Prvič so samo 3, vsakič naslednjič pa jih je 4-krat več kot prejšnjega. Se pravi na n korak bo končan Tn= 3 4 n– 1 trikotnika. Dolžina stranice vsakega od njih je ena tretjina stranice trikotnika, dokončanega v prejšnjem koraku. Torej je enako (1/3) n. Površine so sorazmerne s kvadrati stranic, torej je površina vsakega trikotnika . Za velike vrednosti n Mimogrede, to je zelo malo. Skupni prispevek teh trikotnikov k površini snežinke je Tn · S n= 3/4 · (4/9) n · S 0 . Zato po n-korak, bo površina figure enaka vsoti S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +Tn S n = . Snežinko dobimo po neskončnem številu korakov, kar ustreza n→ ∞. Rezultat je neskončna vsota, vendar je to vsota padajoče geometrijske progresije; za to obstaja formula: . Območje snežinke je.

4. Fraktalna dimenzija enako log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Natančen izračun bo zahteval precej truda in podrobne razlage, zato je tukaj bolj ponazoritev definicije fraktalne dimenzije. Iz formule moči n(δ ) ~ (1/δ )D, Kje n- število sekajočih se kvadratov, δ - njihova velikost in D- dimenzija, to razumemo D= dnevnik 1/ δ N. Ta enakost velja do dodajanja konstante (enake za vse δ ). Slike prikazujejo peto ponovitev konstruiranja Kochove krivulje; mrežni kvadrati, ki se sekajo z njo, so osenčeni zeleno. Dolžina prvotnega segmenta je 1, tako da je na zgornji sliki stranska dolžina kvadratov 1/9. 12 kvadratov je osenčenih, log 9 12 ≈ 1,130929... . Še ni zelo podoben 1,261859... . Poglejmo naprej. Na srednji sliki so kvadratki za polovico manjši, njihova velikost je 1/18, osenčena 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Že bolje. Spodaj so kvadrati še za polovico manjši, 72 kosov je že prebarvanih. log 72 30 ≈ 1,193426... . Še bližje. Potem morate povečati število ponovitev in hkrati zmanjšati kvadrate, potem se bo "empirična" vrednost dimenzije Kochove krivulje enakomerno približala log 3 4, v meji pa bo popolnoma sovpadala.

Kochova krivulja je fraktalna krivulja, ki jo je leta 1904 opisal švedski matematik Helge von Koch. Tri kopije Kochove krivulje, zgrajene (obrnjene navzven) na straneh enakostraničnega trikotnika, tvorijo zaprto krivuljo, imenovano Kochova snežinka.

Včasih imam kinke, ko hočem kakšno kletvico. programirajte težavo. Tokrat sem se odločil poigrati s fraktali. In sicer s Kochovo snežinko.

Snežinka Koch

Ta fraktal je eden prvih, ki so ga raziskovali znanstveniki. Izhaja iz treh kopij Kochove krivulje, ki se je prvič pojavila v članku švedskega matematika Helgea von Kocha leta 1904. Ta krivulja je bila izumljena kot primer zvezne črte, ki se ne more dotikati nobene točke.

Osnovne lastnosti Kochove krivulje:

  1. Je neprekinjen, vendar ga ni mogoče nikjer razlikovati.
  2. Ima neskončno dolžino. Naj bo dolžina prvotnega odseka enaka 1. Pri vsakem koraku konstrukcije zamenjamo vsakega od odsekov, ki sestavljajo črto, z lomljeno črto, ki je 4/3-krat daljša. To pomeni, da se dolžina celotne lomljene črte na vsakem koraku pomnoži s 4/3: dolžina črte s številko n je enaka (4/3)n–1. Zato mejni črti ne preostane drugega, kot da je neskončno dolga.
  3. Kochova snežinka omejuje končno območje. In to kljub dejstvu, da je njen obseg neskončen. Ta lastnost se morda zdi paradoksalna, vendar je očitna - snežinka se popolnoma prilega krogu, zato je njeno območje očitno omejeno.

Malo matematike

Včasih se je prav zanimivo spomniti najpreprostejših kletvic. transformacije (: V tem primeru je bilo potrebno osvežiti znanje o vektorjih in transformacijah točk v ravnini.

Natančneje, kako zasukati točko glede na drugo točko:

No, vedeti morate, kako najti točko na segmentu, ki je nekoliko oddaljena od točke, pri čemer poznate to razdaljo in koordinate točk. Obstaja toliko metod. Poiščete lahko koordinate premice, ki vsebuje te točke, in jih nato nadomestite v enačbo. Koordinate lahko izračunate z vektorji.

Izgleda nekako takole.



 

Morda bi bilo koristno prebrati: