Prostornina manjšega stožca. Volumen stožca

Da bi našli prostornino stožca, je potrebno narediti dodatne konstrukcije.

Konstruiramo stožcu včrtano pravilno n-kotno piramido in okoli tega stožca opišemo pravilno n-kotno piramido.
Včrtana piramida se nahaja v stožcu. Iz tega sledi, da njegova prostornina ni večja od prostornine stožca.
Opisana piramida vsebuje stožec, kar pomeni, da njena prostornina ni manjša od prostornine stožca.

V dno včrtane piramide vpišimo krog.
Če je polmer včrtanega pravilnega n-kotnika enak R, potem bo polmer vanj včrtane krožnice enak:


Prostornina včrtane piramide se izračuna po formuli:

kjer je S osnova piramide.

Območje baze včrtane piramide ni manjše od površine kroga, ki je v njej
Zato je trditev, da je prostornina piramide, včrtane v stožec, najmanj prav.
Zato lahko trdimo, da bo prostornina stožca, ki vsebuje to piramido, večja ali enaka
V≥

Zdaj opišemo krog okoli baze piramide, opisane okoli stožca.
Polmer tega kroga bo:

Površina tega kroga se izračuna po formuli:
Osnova opisane piramide je v krogu, ki je obkrožen okoli nje. Zato površina baze piramide ni večja od
Zato trditev, da je prostornina opisane piramide, ne drži več.
Zato lahko trdimo, da bo prostornina stožca, ki vsebuje to piramido, manjša ali enaka

Obe dobljeni neenakosti sta enaki za vsak n. Če, potem
Potem iz prve neenakosti sledi V≥
Iz druge neenakosti

Če pravokotni trikotnik zavrtimo okoli enega od njegovih krakov, dobimo geometrijsko telo, ki se šteje za vrtilni stožec ali pravilen krožni stožec. Stožec je omejen z osnovno in stransko površino. Na dnu stožca je krog, katerega polmer je enak vrednosti druge noge. Ravna črta, narisana pravokotno od vrha stožca do baze, je njegova višina. Prostornina stožca se izračuna po več formulah. 1. metoda vključuje določanje prostornine stožca, ko sta znani višina in površina njegove osnove, po formuli:

območje baze bo označeno s S;
višina stožca skozi H.

Prostornina stožca se izračuna kot zmnožek višine stožca in površine njegove osnove, deljeno s 3.

Z uporabo spletni kalkulator lahko hitro in pravilno izračunate prostornino stožca s katero koli od zgornjih metod.

Izračun prostornine stožca skozi površino podnožja

Druga metoda predlaga izračun prostornine stožca z vrednostjo njegovega polmera po formuli:


r je polmer stožca;
h je višina.

Vrednost prostornine stožca se izračuna kot ena tretjina zmnožka kvadrata polmera osnove in višine ter števila pi, ki je enak 3,1415...

Prišli smo do stožcev in valjev. Poleg že objavljenih bo približno devet člankov, upoštevali bomo vse vrste nalog. Če med letom odprta banka nove naloge bodo seveda dodane, objavljene pa bodo tudi na blogu. Ta članek ponuja več primerov, povezanih z izračunom prostornine. Ni dovolj poznati formulo za prostornino stožca, mimogrede, tukaj je:

Lahko zapišemo:

Prav tako morate razumeti, kako so prostornine podobnih teles povezane. Treba je razumeti in ne samo naučiti se formule. Tukaj je:



To pomeni, da če povečamo (zmanjšamo) linearne dimenzije telesa za k-krat, bo razmerje med prostornino nastalega telesa in prostornino izvirnika enako k 3 .

OPOMBA! Ni pomembno, kako definirate količine:

Dejstvo je, da se lahko v procesu reševanja problemov pri obravnavi takšnih teles nekateri zmedejo s koeficientom k. Lahko se pojavi vprašanje - Čemu je to enako?

(odvisno od vrednosti, navedene v pogoju)

Vse je odvisno s katere strani gledaš. To je pomembno razumeti! Razmislite o primeru - dana je kocka, rob druge kocke je trikrat večji:

IN ta primer, je koeficient podobnosti enak tri (rob se poveča trikrat), kar pomeni, da bo razmerje videti tako:

To pomeni, da bo prostornina nastale (večje) kocke 27-krat večja.

Lahko pogledate z druge strani.

Glede na kocko je rob druge kocke trikrat manjši:

Koeficient podobnosti je enak tretjini (zmanjšanje roba za faktor tri), kar pomeni, da bo razmerje videti takole:

To pomeni, da bo prostornina nastale kocke 27-krat manjša.

Zaključek! Indeksi niso pomembni pri označevanju volumnov, pomembno je razumeti, kako se telesa obravnavajo glede na drugega.

Jasno je, da:

- če se prvotno telo poveča, bo koeficient večji od ena.

- če se prvotno telo zmanjša, bo koeficient manjši od ena.

O razmerju volumnov lahko rečemo naslednje:

- če v nalogi prostornino večjega telesa delimo z manjšim, potem dobimo kocko koeficienta podobnosti, sam koeficient pa bo večji od ena.

- če prostornino manjšega telesa delimo z večjim, potem dobimo kocko koeficienta podobnosti, sam koeficient pa bo manjši od ena.

Najpomembnejša stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da ima koeficient podobnosti pri PROSTORNINI podobnih teles TRETJO stopnjo in ne drugo, kot pri površinah.

Še ena točka glede.

Pogoj vsebuje nekaj takega, kot je generatrisa stožca. To je odsek, ki povezuje vrh stožca s točkami oboda baze (označeno s črko L na sliki).

Pri tem velja opozoriti, da bomo probleme analizirali samo z direktnim stožcem (v nadaljevanju samo stožec). Generatorji pravilnega stožca so enaki.

Razmislite o nalogah:

72353. Prostornina stožca je 10. Skozi sredino višine je narisan prerez, vzporeden z osnovo stožca, ki je osnovka manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.

Takoj opazimo, da sta prvotni in prisekani stožec podobna, in če upoštevamo prisekan stožec glede na izvirnik, potem lahko rečemo to: manjši stožec je podoben večjemu s koeficientom, ki je enak eni sekundi ali 0,5. Lahko zapišemo:

Lahko bi se zapisalo:

Lahko bi si mislil!

Upoštevajte izvirni stožec glede na odrezani. Lahko rečemo, da je večji stožec podoben odrezanemu s faktorjem dve, zapišemo:

Zdaj si oglejte rešitev brez uporabe lastnosti podobnosti.

Prostornina stožca je enaka eni tretjini zmnožka površine njegove osnove in njegove višine:

Razmislite o stranski projekciji (pogled s strani) z navedenim odsekom:

Naj bo polmer večjega stožca R, višina H. Odsek (osnova manjšega stožca) poteka skozi sredino višine, zato bo njegova višina enaka H / 2. In polmer osnove je R / 2, to izhaja iz podobnosti trikotnikov.

Zapišimo prostornino prvotnega stožca:

Prostornina odrezanega stožca bo enaka:

torej podrobne rešitve predstavljeno tako, da vidite, kako lahko ustvarite sklepanje. Delujte na kakršen koli način - glavna stvar je, da razumete bistvo odločitve. Naj izbrana pot ne bo racionalna, pomemben je rezultat (pravilen rezultat).

Odgovor: 1,25

318145. V posodi v obliki stožca nivo tekočine doseže polovico višine. Prostornina tekočine je 70 ml. Koliko mililitrov tekočine je treba dodati, da se posoda popolnoma napolni?

Ta naloga je podobna prejšnji. Čeprav tukaj govorimo o tekočini, je princip rešitve enak.

Imamo dva stožca - to je sama posoda in "majhen" stožec (napolnjen s tekočino), podobna sta si. Znano je, da so prostornine podobnih teles povezane na naslednji način:

Prvotni stožec (posoda) je podoben stožcu, napolnjenem s tekočino s koeficientom 2, saj pravijo, da nivo tekočine doseže polovico višine. Lahko napišete bolj podrobno:

Izračunamo:

Tako morate dodati:

Odgovor: 490

Druge težave s tekočino.

74257. Poiščite prostornino V stožca, katerega generatrisa je 44 in je nagnjena na ravnino osnove pod kotom 30 0 . Odgovorite V/Pi.

Volumen stožca:

Višino stožca poiščemo po lastnosti pravokotnega trikotnika.

Krak nasproti kota 30° je enak polovici hipotenuze. Hipotenuza je v tem primeru generatrisa stožca. Zato je višina stožca 22.

Kvadrat polmera baze najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka:

*Potrebujemo kvadrat polmera, ne polmera samega.

Potem bo glasnost:

V kocko je včrtana krogla, katere prostornina je 8π. Poiščite prostornino kocke.

rešitev

Naj bo stranica kocke. Potem je prostornina kocke V = a 3 .

Ker je krogla včrtana v kocko, je polmer krogle enak polovici roba kocke, to je R = a/2 (glej sliko).

Prostornina krogle je V w \u003d (4/3)πR 3 in je enaka 8π, torej

(4/3)πR 3 = 8π,

In prostornina kocke je V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Naloga B9 (študija primera 2015)

Prostornina stožca je 32. Skozi sredino višine je narisan prerez, vzporeden z osnovo stožca, ki je osnovka manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.

rešitev

Prostornina večjega stožca je V k1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.

Prostornina manjšega stožca je V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

To pomeni, da je prostornina manjšega stožca 8-krat manjša in je enaka 4.

Naloga B9 (študija primera 2015)

Prostornina stožca je 40. Skozi sredino višine je narisan prerez, vzporeden z osnovo stožca, ki je osnovka manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.

rešitev

Ker je prerez narisan skozi sredino višine stožca, je AP = 1/2 AO in PK = 1/2 OB. To pomeni, da sta višina in polmer manjšega stožca 2-krat manjša od višine in polmera večjega stožca.

Prostornina večjega stožca je enaka V k1 \u003d (1/3) π (OB) 2 * AO \u003d 40.

Prostornina manjšega stožca je V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π (OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

Med različnimi geometrijskimi telesi je eno najzanimivejših stožec. Nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od njegovih krakov.

Kako najti prostornino stožca - osnovni pojmi

Preden začnete računati prostornino stožca, se morate seznaniti z osnovnimi koncepti.

  • Krožni stožec - osnova takšnega stožca je krog. Če je osnova elipsa, parabola ali hiperbola, se figure imenujejo eliptični, parabolični ali hiperbolični stožci. Ne smemo pozabiti, da imata zadnji dve vrsti stožcev neskončno prostornino.
  • Prisekani stožec je del stožca, ki se nahaja med osnovo in ravnino, vzporedno s to osnovo, ki se nahaja med vrhom in osnovo.
  • Višina - segment, pravokoten na podlago, sproščen z vrha.
  • Generatrica stožca je segment, ki povezuje mejo baze in vrha.

Volumen stožca

Za izračun prostornine stožca se uporablja formula V=1/3*S*H, kjer je S osnovna površina, H je višina. Ker je osnova stožca krog, je njegova ploščina določena s formulo S= nR^2, kjer je n = 3,14, R je polmer kroga.

Obstaja situacija, ko nekateri parametri niso znani: višina, polmer ali generatrisa. V tem primeru se je vredno zateči k Pitagorejskemu izreku. Osni odsek stožca je enakokraki trikotnik, sestavljen iz dveh pravokotni trikotnik, kjer je l hipotenuza, H in R pa kraka. Potem je l=(H^2+R^2)^1/2.


Volumen prisekanega stožca

Prisekani stožec je stožec z odrezanim vrhom.


Če želite najti prostornino takšnega stožca, potrebujete formulo:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),


kjer je n=3,14, r je polmer presečnega kroga, R je polmer velike osnove, H je višina.

Osni prerez prisekanega stožca bo enakokraki trapez. Če je torej treba najti dolžino generatrix stožca ali polmer enega od krogov, je vredno uporabiti formule za iskanje stranic in osnov trapeza.

Poiščite prostornino stožca, če je njegova višina 8 cm in osnovni polmer 3 cm.

Podano: H=8 cm, R=3 cm.

Najprej poiščite površino baze z uporabo formule S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Zdaj z uporabo formule V=1/3*S*H najdemo prostornino stožca.

V=1/3*28,26*8=75,36cm^3


Stožčaste figure najdemo povsod: parkirni stožci, stavbni stolpi, senčnik za svetilke. Zato lahko znanje, kako najti prostornino stožca, včasih pride prav tako v poklicnem kot vsakdanjem življenju.

 

Morda bi bilo koristno prebrati: