Kolikšna je višina enakokrakega trapeza. Diagonale lika in koti, ki jih sekajo. Poiščite višino enakokrakega trapeza

Večstrani trapez ... Lahko je poljuben, enakokrak ali pravokoten. In v vsakem primeru morate vedeti, kako najti območje trapeza. Seveda si je najlažje zapomniti osnovne formule. Toda včasih je lažje uporabiti tisto, ki je izpeljana ob upoštevanju vseh značilnosti določene geometrijske figure.

Nekaj besed o trapezu in njegovih elementih

Vsak štirikotnik z dvema vzporednima stranicama lahko imenujemo trapez. Na splošno nista enaki in se imenujeta baze. Večji od njih je spodnji, drugi pa zgornji.

Drugi dve strani sta stranski. V poljubnem trapezu imajo različne dolžine. Če sta enaka, postane lik enakokrak.

Če je nenadoma kot med katero koli stranjo in osnovo enak 90 stopinj, potem je trapez pravokoten.

Vse te funkcije lahko pomagajo pri reševanju problema, kako najti območje trapeza.

Med elementi figure, ki so lahko nepogrešljivi pri reševanju problemov, lahko ločimo naslednje:

višina, to je segment, pravokoten na obe osnovi;
sredinska črta, ki ima na svojih koncih sredino stranic.

Kakšna je formula za izračun ploščine, če sta znani osnovici in višina?

Ta izraz je podan kot glavni, ker je te količine najpogosteje mogoče poznati tudi, če niso eksplicitno podane. Če želite razumeti, kako najti območje trapeza, morate dodati obe osnovi in ju razdeliti na dva. Dobljeno vrednost nato pomnožimo z vrednostjo višine.

Če osnove označimo s črkama a 1 in a 2, višina je n, potem bo formula za območje videti takole:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formula za izračun površine glede na njeno višino in srednjo črto

Če pozorno pogledate prejšnjo formulo, zlahka vidite, da jasno vsebuje vrednost srednja črta. In sicer vsota osnov, deljena z dva. Naj bo srednja črta označena s črko l, potem bo formula za območje postala:

S \u003d l * n.

Sposobnost iskanja območja po diagonalah

Ta metoda bo pomagala, če je znan kot, ki ga tvorijo. Predpostavimo, da so diagonale označene s črkama d 1 in d 2 , koti med njimi pa &alpha- in &beta-. Potem bo formula za iskanje območja trapeza zapisana na naslednji način:

S = ((d 1 * d 2) / 2) * sin &alfa-.

V tem izrazu lahko preprosto zamenjate &alpha- z &beta-. Rezultat se ne bo spremenil.

Kako najti območje, če so znane vse strani figure?

Obstajajo tudi situacije, ko so na tej sliki natančno znane stranice. Ta formula je okorna in si jo je težko zapomniti. Ampak verjetno. Pustiti straneh imajo oznako: pri 1 in pri 2 je osnova a 1 večja od a 2. Potem ima formula površine naslednjo obliko:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * &radic- (v 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + v 1 2 - v 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) )] 2 ).

Metode za izračun površine enakokrakega trapeza

Prvi je povezan s tem, da je vanj mogoče vpisati krog. In če poznate njegov polmer (označen je s črko r), kot tudi kot pri dnu - &gamma-, lahko uporabite naslednjo formulo:

S \u003d (4 * r 2) / sin & gama-.

Zadnja splošna formula, ki temelji na poznavanju vseh strani figure, je močno poenostavljena zaradi dejstva, da imajo stranice enako vrednost:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * &radic- (v 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Metode za izračun površine pravokotnega trapeza

Jasno je, da vsak bo zadostoval naštetih za poljubno številko. Toda včasih je koristno vedeti za eno značilnost takšnega trapeza. Leži v tem, da je razlika kvadratov dolžin diagonal enaka razliki, ki jo sestavljajo kvadrati baz.

Pogosto pozabimo formule za trapez, medtem ko se spomnimo izrazov za ploščine pravokotnika in trikotnika. Potem lahko uporabite preprosto metodo. Trapez razdelite na dva lika, če je pravokoten, ali na tri. Eden bo zagotovo pravokotnik, drugi ali preostala dva pa trikotnika. Po izračunu območij teh številk ostane le še, da jih seštejemo.

To je precej preprost način za iskanje površine pravokotnega trapeza.

Kaj pa, če so znane koordinate oglišč trapeza?

V tem primeru boste morali uporabiti izraz, ki vam omogoča določitev razdalje med točkami. Uporablja se lahko trikrat: da poznamo obe osnovi in eno višino. In nato samo uporabite prvo formulo, ki je opisana malo višje.

Za ponazoritev te metode lahko navedemo primer. Podana so oglišča s koordinatami A(5-7), B(8-7), C(10-1), D(1-1). Vedeti moramo območje figure.

Preden najdete površino trapeza, morate iz koordinat izračunati dolžine baz. Potrebovali boste to formulo:

dolžina segmenta = &radic-((razlika prvih koordinat točk) 2 + (razlika drugih koordinat točk) 2 ).

Zgornja osnova je označena z AB, kar pomeni, da bo njena dolžina enaka &radic-((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = &radic-9 = 3. Spodnja je SD = &radic- (( 10-1) 2 + ( 1-1) 2 ) = &radic-81 = 9.

Zdaj morate narisati višino od vrha do dna. Naj bo njen začetek v točki A. Konec odseka bo na spodnji podlagi v točki s koordinatami (5-1), naj bo to točka H. Dolžina odseka AH bo enaka &radic-(( 5-5) 2 + (7-1) 2 ) = &radic-36 = 6.

Ostaja le, da dobljene vrednosti nadomestimo v formuli za območje trapeza:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problem je rešen brez merskih enot, ker merilo koordinatne mreže ni določeno. Lahko je milimeter ali meter.

Primeri nalog

Št. 1. Pogoj. Kot med diagonalama poljubnega trapeza je znan, enak je 30 stopinj. Manjša diagonala ima vrednost 3 dm, druga pa je 2-krat večja od nje. Izračunati morate površino trapeza.

rešitev. Najprej morate ugotoviti dolžino druge diagonale, ker brez tega ne bo mogoče izračunati odgovora. Izračun je enostaven, 3 * 2 = 6 (dm).

Zdaj morate uporabiti ustrezno formulo za območje:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * sin 30 º- \u003d 18/2 * & frac12- \u003d 4,5 (dm 2). Problem rešen.

odgovor: površina trapeza je 4,5 dm 2 .

Št. 2. Pogoj. V trapezu ABCD sta osnovici odseki AD in BC. Točka E je razpolovišče stranice SD. Iz nje je potegnjena pravokotna na ravno črto AB, konec tega segmenta je označen s črko H. Znano je, da sta dolžini AB in EH 5 oziroma 4 cm. Izračunati je treba površino trapez.

rešitev. Najprej morate narediti risbo. Ker je vrednost navpičnice manjša od strani, na katero je narisana, bo trapez nekoliko podaljšan navzgor. EH bo torej znotraj figure.

Če želite jasno videti napredek pri reševanju težave, boste morali izvesti dodatno konstrukcijo. Nariši namreč premico, ki bo vzporedna s stranico AB. Točke presečišča te črte z AD - P in z nadaljevanjem BC - X. Nastala številka VKhRA je paralelogram. Poleg tega je njegova površina enaka zahtevani. To je posledica dejstva, da so trikotniki, dobljeni med dodatno konstrukcijo, enaki. To izhaja iz enakosti stranice in dveh kotov, ki mejijo nanjo, eden je navpičen, drugi leži navzkrižno.

Območje paralelograma lahko najdete s formulo, ki vsebuje produkt stranice in višine, spuščene nanjo.

Tako je površina trapeza 5 * 4 = 20 cm 2.

odgovor: S \u003d 20 cm 2.

Št. 3. Pogoj. Elementi enakokraki trapez imajo naslednje pomene: spodnja osnova - 14 cm, zgornja - 4 cm, ostri kot - 45 º-. Izračunati moramo njegovo površino.

rešitev. Manjšo osnovo označimo z BC. Višino, narisano iz točke B, bomo imenovali BH. Ker je kot 45 º-, se bo trikotnik ABH izkazal za pravokotnega in enakokrakega. Torej AH=BH. In AN je zelo enostavno najti. Enak je polovici razlike baz. To je (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Osnove so znane, višine preštete. Uporabite lahko prvo formulo, ki je bila tukaj obravnavana za poljuben trapez.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

odgovor:Želena površina je 45 cm 2.

Št. 4. Pogoj. Obstaja poljuben trapez ABCD. Na njegovih stranicah sta vzeti točki O in E, tako da je OE vzporedna z osnovo AD. Trapezno območje AOED je petkrat večje od CFE. Izračunajte vrednost OE, če so osnovne dolžine znane.

rešitev. Potrebno bo narisati dve ravni črti, vzporedni z AB: prvo skozi točko C, njeno presečišče z OE - točko T; drugo skozi E in presečišče z AD bo M.

Naj bo neznanka OE=x. Višina manjšega trapeza OVSE - n 1 , večjega AOED - n 2 .

Ker sta ploščini teh dveh trapezov povezani kot 1 proti 5, lahko zapišemo naslednjo enakost:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Višine in stranice trikotnikov so konstrukcijsko sorazmerne. Zato lahko zapišemo še eno enakost:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a 1 - x).

V dveh nedavni vnosi enake vrednosti so na levi strani, kar pomeni, da lahko zapišemo, da je (x + a 1) / (5 (x + a 2)) enako (x - a 2) / (a 1 - x).

Tu so potrebne številne transformacije. Najprej križno pomnožite. Pojavili se bodo oklepaji, ki označujejo razliko kvadratov, po uporabi te formule dobite kratko enačbo.

V njem morate odpreti oklepaje in premakniti vse izraze z neznanim "x" na levo stran, nato pa izvleči

Odgovori: x \u003d &radic- ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

DRUGO

Da bi se počutili samozavestno in uspešno reševali probleme pri pouku geometrije, ni dovolj, da se naučite formul. Njihova…

Matematika je šolski predmet, ki se ga učijo vsi, ne glede na profil razreda. Vendar je ne ljubijo vsi. včasih ...

Matematika je neverjetna znanost. Vendar taka misel pride šele, ko jo razumeš. Da bi to dosegli,…

Šolski kurikulum predvideva poučevanje geometrije za otroke od zgodnjega otroštva. Eno najosnovnejših znanj o tem…

Obseg katerega koli trikotnika je dolžina črte, ki omejuje lik. Če ga želite izračunati, morate poznati vsoto vseh ...

Kocka je neverjetna figura. Enako je z vseh strani. Katera koli njegova stran lahko takoj postane osnova ali stran. In od…

Po preučevanju teme pravokotnih trikotnikov učenci pogosto vržejo vse informacije o njih iz glave. V…

Študenti se pogosto ogorčeno sprašujejo: "Kako mi bo to koristilo v življenju?". Na katero koli temo vsakega predmeta. ne...

Najenostavnejši mnogokotnik, ki se preučuje v šoli, je trikotnik. Študentom je bolj razumljiv in izpolnjuje ...

Na preprosto vprašanje "Kako najti višino trapeza?" obstaja več odgovorov in vse zato, ker lahko obstajajo ...

Najdi območje enakostranični trikotnik mogoče je s katerokoli formulo za poljubno figuro te vrste ali …

Na internetu pogosto najdete posmeh o tem, kako znanje matematike - integrali, diferenciali, ...

Geometrija je ena izmed ved, s katero se človek v praksi srečuje skoraj vsak dan. Med raznolikostjo geometrijske oblike Posebno pozornost si zasluži tudi trapez. Je konveksna figura s štirimi stranicami, od katerih sta dve med seboj vzporedni. Slednji se imenujejo baze, preostali dve pa stranice. Segment, ki je pravokoten na osnove in določa velikost reže med njimi, bo višina trapeza. Kako lahko izračunaš njegovo dolžino?

Poiščite višino poljubnega trapeza

Na podlagi začetnih podatkov je mogoče določiti višino figure na več načinov.

Znano območje

Če je znana dolžina vzporednih stranic in je navedena tudi površina figure, se lahko za določitev zahtevane pravokotnice uporabi naslednje razmerje:

S=h*(a+b)/2,
h je želena vrednost (višina),
S je površina slike,
a in b sta stranici vzporedni druga z drugo.
Iz zgornje formule sledi, da je h=2S/(a+b).

Vrednost srednje črte je znana

Če je med začetnimi podatki poleg površine trapeza (S) znana tudi dolžina njegove srednje črte (l), potem je za izračune uporabna druga formula. Najprej je vredno pojasniti, kaj je srednja črta za to vrsto štirikotnika. Izraz opredeljuje del ravne črte, ki povezuje razpolovne točke strani figure.

Na podlagi lastnosti trapeza l=(a+b)/2,
l - srednja črta,
a, b sta stranici-osnovi štirikotnika.
Zato je h=2S/(a+b)=S/l.

Znane so 4 strani figure

IN ta primer bo pomagal Pitagorov izrek. Ko spustite pravokotnice na veliko stransko osnovo, jo uporabite za dva nastala pravokotna trikotnika. Končni izraz bo videti takole:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c in d sta 2 drugi strani.

Vogali na dnu

Če imate podatke o osnovnem kotu, uporabite trigonometrične funkcije.

h = c*sinα = d*sinβ,

α in β sta vogala na dnu štirikotnika,
c in d sta njegovi stranici.

Diagonale figure in koti, ki jih sekajo

Dolžina diagonale je dolžina odseka, ki povezuje nasprotni točki figure. Te količine označimo s simboloma d1 in d2, kota med njima pa γ in φ. Nato:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a in b sta osnovni stranici figure,
d1 in d2 sta diagonali trapeza,
γ in φ sta kota med diagonalama.

Višina lika in polmer kroga, ki je vanj vpisan

Kot izhaja iz definicije te vrste kroga, se dotika vsake baze v 1 točki, ki je del ene ravne črte. Zato je razdalja med njimi - premer - želena višina figure. In ker je premer dvakrat večji od polmera, potem:

h = 2 * r,
r je polmer kroga, ki je vpisan v dani trapez.

Poiščite višino enakokrakega trapeza

Kot izhaja iz besedila, je posebna značilnost enakokrakega trapeza enakost njegovih stranic. Zato za iskanje višine figure uporabite formulo za določitev te vrednosti v primeru, ko so strani trapeza znane.

Torej, če c \u003d d, potem h \u003d √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 \u003d √c 2 - (a-b) 2 / 4,
a, b - stranske osnove štirikotnika,
c = d so njene stranice.

Ob prisotnosti velikosti kotov, ki jih tvorita obe stranici (osnova in stranica), je višina trapeza določena z naslednjim razmerjem:

h = c*sinα,
h = c * tgα *cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α je kot pri dnu slike,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d so njene stranice.

Če so podane vrednosti diagonal figure, se bo izraz za iskanje višine figure spremenil, ker d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

V našem življenju se zelo pogosto srečujemo z uporabo geometrije v praksi, na primer v gradbeništvu. Med najpogostejšimi geometrijskimi oblikami je trapez. In da bi bil projekt uspešen in lep, je potreben pravilen in natančen izračun elementov za takšno figuro.

Kaj je konveksni štirikotnik, ki ima par vzporednih stranic, ki se imenujejo osnove trapeza. Toda te baze povezujeta še dve strani. Imenujejo se stranski. Eno od vprašanj v zvezi s to sliko je: "Kako najti višino trapeza?" Takoj je treba opozoriti, da je višina segment, ki določa razdaljo od ene baze do druge. To razdaljo je mogoče določiti na več načinov, odvisno od znanih vrednosti.

1. Vrednosti obeh baz sta znani, označimo ju z b in k, kot tudi ploščino tega trapeza. Z znanimi vrednostmi je v tem primeru zelo enostavno najti višino trapeza. Kot je znano iz geometrije, se izračuna kot produkt polovične vsote osnov in višine. Iz te formule lahko preprosto izpeljete želeno vrednost. Če želite to narediti, morate površino razdeliti na polovico vsote baz. V obliki formule bi to izgledalo takole:

S=((b+k)/2)*h, torej h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Znana je dolžina srednje črte, označimo jo z d, in ploščina. Za tiste, ki ne vedo, srednji črti pravim razdalja med sredinama stranic. Kako najti višino trapeza v tem primeru? Glede na lastnost trapeza srednjica ustreza polovici vsote osnov, to je d=(b+k)/2. Spet uporabimo formulo ploščine. Če polovico vsote baz nadomestimo z vrednostjo srednje črte, dobimo naslednje:

Kot lahko vidite, je iz dobljene formule zelo enostavno izpeljati višino. Če površino delimo z vrednostjo srednje črte, najdemo želeno vrednost. Zapišimo to formulo:

3. Znana sta dolžina ene stranice (b) in kot med to stranico in največjo osnovo. Odgovor na vprašanje, kako najti višino trapeza, je tudi v tem primeru. Vzemimo trapez ABCD, kjer sta AB in CD stranici in AB=b. Največja baza je AD. Kot, ki ga tvorita AB in AD, bomo označili z α. Iz točke B spustimo višino h na osnovo AD. Zdaj razmislite o nastalem trikotniku ABF, ki je pravokoten trikotnik. Stranica AB je hipotenuza, BF pa noga. Od lastnine pravokotni trikotnik razmerje med vrednostjo noge in vrednostjo hipotenuze ustreza sinusu kota nasproti noge (BF). Zato na podlagi zgoraj navedenega za izračun višine trapeza pomnožimo vrednost znane stranice in sinusa kota α. V obliki formule je videti takole:

4. Podobno obravnavamo primer, če sta znani velikost stranice in kota, označimo ga z β, ki nastane med to stranico in manjšo osnovo. Pri reševanju takšnega problema bo kot med znano stransko stranjo in narisano višino 90 ° - β. Iz lastnosti trikotnikov - razmerje dolžine noge in hipotenuze ustreza kosinusu kota, ki se nahaja med njima. Iz te formule je enostavno izpeljati vrednost višine:

h = b *cos(β-90°)

5. Kako najti višino trapeza, če je znan le polmer včrtane krožnice? Po definiciji kroga se dotika ene točke na vsaki osnovi. Poleg tega so te točke na isti premici s središčem kroga. Iz tega sledi, da je razdalja med njima premer in hkrati višina trapeza. Izgleda takole:

6. Pogosto se pojavljajo težave, pri katerih je treba najti višino enakokrakega trapeza. Spomnimo se, da se trapez z enakimi stranicami imenuje enakokrak. Kako najti višino enakokrakega trapeza? Pri pravokotnih diagonalah je višina polovica vsote osnov.

Kaj pa, če diagonali nista pravokotni? Oglejmo si enakokraki trapez ABCD. Po svojih lastnostih so baze vzporedne. Iz tega sledi, da bodo enaki tudi koti pri osnovah. Narišimo dve višini BF in CM. Na podlagi zgoraj navedenega lahko trdimo, da sta trikotnika ABF in DCM enaka, to je AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Zdaj, glede na pogoj problema, imamo določimo znane vrednosti in šele nato poiščemo višino, pri čemer upoštevamo vse lastnosti enakokrakega trapeza.

Morda bi bilo koristno prebrati: