1 doğal sayıdır veya değildir. Kesin bir konuyu incelemek: doğal sayılar - sayılar, örnekler ve özellikler nedir

Matematik, MÖ altıncı yüzyılda genel felsefeden ortaya çıktı. e. ve o andan itibaren dünya çapında muzaffer yürüyüşü başladı. Gelişimin her aşaması yeni bir şey ortaya çıkardı - temel sayma gelişti, diferansiyel ve integral hesaba dönüştü, yüzyıllar geçti, formüller giderek daha kafa karıştırıcı hale geldi ve "en karmaşık matematiğin başladığı - tüm sayıların ondan kaybolduğu" an geldi. Ama temeli neydi?

Zamanın başlangıcı

Doğal sayılar ilk matematiksel işlemlerle birlikte ortaya çıktı. Bir omurga, iki diken, üç diken... İlk konumsal yöntemi geliştiren Hintli bilim adamları sayesinde ortaya çıktılar.

"Konumsallık" kelimesi, bir sayıdaki her rakamın konumunun kesin olarak tanımlanmış olması ve sırasına karşılık gelmesi anlamına gelir. Örneğin, 784 ve 487 sayıları aynı sayılardır, ancak sayılar eşdeğer değildir, çünkü birincisi 7 yüzlük, ikincisi ise yalnızca 4'ü içermektedir. Hint yeniliği, sayıları forma getiren Araplar tarafından benimsenmiştir. Artık biliyoruz.

Eski zamanlarda sayılar veriliyordu mistik anlam Pisagor, ateş, su, toprak, hava gibi temel unsurların yanı sıra dünyanın yaratılışının temelinde sayının yattığına inanıyordu. Her şeyi yalnızca matematiksel açıdan ele alırsak, doğal sayı nedir? Doğal sayılar alanı N olarak gösterilir ve tam sayı ve pozitif olan sonsuz bir sayı dizisidir: 1, 2, 3, … + ∞. Sıfır hariçtir. Öncelikle öğeleri saymak ve sırayı belirtmek için kullanılır.

Matematikte ne var? Peano'nun aksiyomları

Alan N, temel matematiğin dayandığı temel alandır. Zamanla, tamsayı alanları, rasyonel,

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano'nun çalışması aritmetiğin daha ileri yapılanmasını mümkün kıldı, formalitesini elde etti ve N alan alanının ötesine geçen daha ileri sonuçlara giden yolu hazırladı.

Doğal sayının ne olduğu daha önce açıklığa kavuşturuldu basit bir dille Aşağıda Peano'nun aksiyomlarına dayanan matematiksel bir tanımı ele alacağız.

Bir doğal sayı olarak kabul edilir.
Bir doğal sayının ardından gelen sayı bir doğal sayıdır.
Birden önce doğal sayı yoktur.
Eğer b sayısı hem c hem de d sayısından sonra geliyorsa c=d olur.
Bir doğal sayının ne olduğunu gösteren bir tümevarım aksiyomu: Bir parametreye bağlı olan bir ifade 1 sayısı için doğruysa, o zaman bunun N doğal sayıları alanındaki n sayısı için de geçerli olduğunu varsayarız. bu ifade aynı zamanda N doğal sayıları alanından n =1 için de doğrudur.

Doğal sayılar alanında temel işlemler

N alanı matematiksel hesaplamalar için ilk olduğundan, aşağıdaki bir dizi işlemin hem tanım alanları hem de değer aralıkları ona aittir. Kapalılar ve değiller. Temel fark, kapalı işlemlerin, hangi sayıların dahil olduğuna bakılmaksızın, sonucu N kümesi içinde bırakmanın garantili olmasıdır. Doğal olmaları yeterlidir. Diğer sayısal etkileşimlerin sonucu artık o kadar açık değildir ve ana tanımla çelişebileceği için doğrudan ifadede ne tür sayıların yer aldığına bağlıdır. Yani kapalı işlemler:

ekleme - x + y = z, burada x, y, z N alanına dahildir;
çarpma - x * y = z, burada x, y, z N alanına dahildir;
üstelleştirme - x y, burada x, y N alanına dahil edilir.

“Doğal sayı nedir” tanımı bağlamında sonucu bulunamayacak olan geri kalan işlemler şunlardır:

N alanına ait sayıların özellikleri

Bundan sonraki tüm matematiksel akıl yürütmeler, en önemsiz olan, ancak daha az önemli olmayan aşağıdaki özelliklere dayanacaktır.

Toplamanın değişme özelliği x + y = y + x'tir; burada x, y sayıları N alanına dahil edilir. Veya iyi bilinen "terimlerin yerleri değiştirildiğinde toplam değişmez."
Çarpmanın değişme özelliği x * y = y * x'tir; burada x, y sayıları N alanına dahildir.
Toplamanın birleşimsel özelliği (x + y) + z = x + (y + z) olup, burada x, y, z N alanına dahildir.
Çarpmanın eşleştirme özelliği (x * y) * z = x * (y * z) olup, burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.
dağılma özelliği - x (y + z) = x * y + x * z, burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.

Pisagor tablosu

Öğrencilerin hangi sayılara doğal sayılar dendiğini kendileri anladıktan sonra ilköğretim matematiğin tüm yapısını bilmelerindeki ilk adımlardan biri Pisagor tablosudur. Sadece bilim açısından değil, aynı zamanda çok değerli bir bilimsel anıt olarak da değerlendirilebilir.

Bu çarpım tablosu zamanla bir takım değişikliklere uğramıştır: sıfır kaldırılmıştır ve 1'den 10'a kadar olan sayılar, sıralar (yüzler, binler...) dikkate alınmadan kendilerini temsil etmektedir. Satır ve sütun başlıklarının sayılardan oluştuğu, kesiştikleri hücrelerin içeriklerinin çarpımlarına eşit olduğu tablodur.

Son yıllardaki öğretim uygulamalarında Pisagor tablosunun “sırayla” ezberlenmesine ihtiyaç duyulmuştur, yani ezberleme ilk sırada yer almıştır. Sonuç 1 veya daha büyük bir çarpan olduğundan 1 ile çarpma hariç tutuldu. Bu arada tabloda çıplak gözle bir model fark edebilirsiniz: sayıların çarpımı bir adım artar, bu da satırın başlığına eşittir. Böylece ikinci faktör bize istenilen ürünü elde etmek için birinciyi kaç kez almamız gerektiğini gösterir. Bu sistem, Orta Çağ'da uygulanan sistemden çok daha kullanışlıdır: Doğal sayının ne olduğunu ve ne kadar önemsiz olduğunu anlayan insanlar, ikinin kuvvetlerine dayanan bir sistem kullanarak günlük sayımlarını karmaşıklaştırmayı başardılar.

Matematiğin beşiği olarak altküme

Açık şu an doğal sayılar alanı N yalnızca karmaşık sayıların alt kümelerinden biri olarak kabul edilir, ancak bu onları bilimde daha az değerli yapmaz. Doğal sayı, bir çocuğun kendi kendine çalışırken öğrendiği ilk şeydir ve Dünya. Bir parmak, iki parmak... Onun sayesinde insan gelişir mantıksal düşünme nedeni belirleme ve sonuç çıkarma yeteneğinin yanı sıra büyük keşiflerin önünü açıyor.

Doğal ve doğal olmayan nedir? tamsayılar? Bir çocuğa, belki de çocuğa nasıl açıklanır, aralarındaki farklar nelerdir? Hadi çözelim. Bildiğimiz kadarıyla 5. sınıfta doğal olmayan ve doğal sayılar işleniyor ve amacımız öğrencilere neyi, nasıl olduğunu gerçekten anlamaları ve öğrenmeleri için anlatmak.

Hikaye

Doğal sayılar eski kavramlardan biridir. Uzun zaman önce, insanlar nasıl sayılacağını henüz bilmediklerinde ve sayılar hakkında hiçbir fikirleri olmadığında, örneğin balık, hayvan gibi bir şeyi saymaları gerektiğinde, arkeologların daha sonra öğrendiği gibi çeşitli nesnelerin üzerine noktalar veya çizgiler çiziyorlardı. . O dönemde hayat onlar için çok zordu ama uygarlık önce Roma sayı sistemine, sonra da ondalık sayı sistemine doğru gelişti. Günümüzde neredeyse herkes Arap rakamlarını kullanıyor

Doğal sayılar hakkında her şey

Doğal sayılar günlük hayatımızda nesneleri sayı ve sırasını belirlemek amacıyla saymak için kullandığımız asal sayılardır. Şu anda sayıları yazmak için ondalık sayı sistemini kullanıyoruz. Herhangi bir sayıyı yazmak için sıfırdan dokuza kadar on rakam kullanırız.

Doğal sayılar, nesneleri sayarken veya bir şeyin seri numarasını belirtirken kullandığımız sayılardır. Örnek: 5, 368, 99, 3684.

Sayı serisi, artan sırada düzenlenmiş doğal sayıları ifade eder; birden sonsuza. Böyle bir dizi en küçük sayı olan 1 ile başlar ve sayı dizisi sonsuz olduğundan en büyük doğal sayı yoktur.

Genel olarak sıfır, bir şeyin yokluğu anlamına geldiğinden doğal bir sayı olarak kabul edilmez ve ayrıca nesnelerin sayımı da yoktur.

Arap sayı sistemi her gün kullandığımız modern bir sistemdir. Hintçenin bir çeşididir (ondalık).

Bu sayı sistemi, Arapların icat ettiği 0 rakamı sayesinde modern hale geldi. Bundan önce Hindistan sisteminde mevcut değildi.

Doğal olmayan sayılar. Bu nedir?

Doğal sayılara negatif sayılar ve tam sayı olmayanlar dahil değildir. Bu onların doğal olmayan sayılar olduğu anlamına gelir

Aşağıda örnekler bulunmaktadır.

Doğal olmayan sayılar:

Negatif sayılar, örneğin: -1, -5, -36.. vb.
Rasyonel sayılar ondalık kesirlerle ifade edilenler: 4,5, -67, 44,6.
Basit kesir şeklinde: 1/2, 40 2/7 vb.

e = 2,71828, √2 = 1,41421 ve benzeri irrasyonel sayılar.

Doğal olmayan ve doğal sayıları anlamanıza büyük ölçüde yardımcı olduğumuzu umuyoruz. Artık bu konuyu bebeğinize açıklamak sizin için daha kolay olacak ve o da bunu büyük matematikçiler kadar öğrenecek!

En basit sayı doğal sayı. Onlar kullanılır Gündelik Yaşam saymak için nesneler, yani sayısını ve sırasını hesaplamak için.

Doğal sayı nedir: doğal sayılar kullanılan sayıları adlandırın Tüm homojen öğelerden herhangi bir öğenin seri numarasını belirtmek veya saymak içinöğeler.

Tamsayılar- bunlar birden başlayan sayılardır. Sayarken doğal olarak oluşurlar.Örneğin, 1,2,3,4,5... -ilk doğal sayılar.

En küçük doğal sayı- bir. En büyük doğal sayı yoktur. Sayıyı sayarken Sıfır kullanılmadığından sıfır bir doğal sayıdır.

Doğal sayı serisi tüm doğal sayıların dizisidir. Doğal sayıların yazılması:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Doğal seride her sayı bir öncekinden birer birer büyüktür.

Doğal seride kaç sayı vardır? Doğal seri sonsuzdur; en büyük doğal sayı mevcut değildir.

Herhangi bir rakamın 10 birimi en yüksek rakamın 1 birimini oluşturduğundan ondalık sayı. Konumsal olarak öyle Bir rakamın anlamının sayı içindeki yerine nasıl bağlı olduğu, yani. yazıldığı kategoriden.

Doğal sayıların sınıfları.

Her doğal sayı 10 kullanılarak yazılabilir Arap rakamları:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar. ilk 3 sağdaki sayılar birim sınıfını, sonraki 3 tanesi binlik sınıfını, sonra da milyonluk, milyarlık ve milyarlık sınıfları göstermektedir.vesaire. Sınıf basamaklarının her birine onun adı verilir.deşarj.

Doğal sayıların karşılaştırılması.

2 doğal sayıdan küçük olanı sayarken daha önce çağrılan sayıdır. Örneğin, sayı 7 az 11 (şu şekilde yazılmıştır:7 < 11 ). Ne zaman bir numara ikinciden daha fazla, şu şekilde yazılmıştır:386 > 99 .

Rakam tablosu ve sayı sınıfları.


1. sınıf ünitesi	Birimin 1. rakamı 2. rakam onlar 3. sırada yüzlerce
2. sınıf bin	Binlik biriminin 1. basamağı 2. hane onbinler 3. kategori yüz binlerce
3. sınıf milyonlar	Milyonlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyonlarca 3. kategori yüz milyonlarca
4. sınıf milyarlar	Milyarlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyarlarca 3. kategori yüz milyarlarca

5.sınıf ve üzeri sayılar büyük sayı olarak değerlendirilmektedir. 5. sınıfın birimleri trilyonlarca, 6. sınıfın birimleri sınıf - katrilyonlar, 7. sınıf - kentilyonlar, 8. sınıf - sekstilyonlar, 9. sınıf - eptillionlar.

Doğal sayıların temel özellikleri.

Toplamanın değişebilirliği . a + b = b + bir
Çarpmanın değişmezliği. ab = ba
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği. (a + b) + c = a + (b + c)
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı:

Doğal sayılarla işlemler.

4. Doğal sayıların bölünmesi çarpma işleminin tersidir.

Eğer b ∙ c = bir, O

Bölme formülleri:

bir: 1 = bir

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Sayısal ifadeler ve sayısal eşitlikler.

Sayıların eylem işaretleriyle bağlandığı bir gösterim sayısal ifade.

Örneğin, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

2 sayısal ifadenin eşittir işaretiyle birleştirildiği kayıtlar sayısal eşitlikler. Eşitliğin sağ ve sol tarafları vardır.

Aritmetik işlemleri gerçekleştirme sırası.

Sayılarda toplama ve çıkarma birinci dereceden işlemler, çarpma ve bölme ise ikinci dereceden işlemlerdir.

Ne zaman sayısal ifade yalnızca bir derecelik eylemlerden oluşur, sırayla gerçekleştirilirler soldan sağa.

İfadeler yalnızca birinci ve ikinci dereceden eylemlerden oluştuğunda, eylemler ilk önce gerçekleştirilir. ikinci derece ve ardından birinci derecenin eylemleri.

Bir ifadede parantez varsa önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir.

Örneğin, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Tanım

Doğal sayılar nesneleri saymaya yönelik sayılardır. Doğal sayıları kaydetmek için, matematiksel hesaplamalar için genel olarak kabul edilen ondalık sayı sisteminin temelini oluşturan 10 Arap rakamı (0-9) kullanılır.

Doğal sayılar dizisi

Doğal sayılar, 1'den başlayan ve tüm pozitif tam sayılar kümesini kapsayan bir seri oluşturur. Bu dizi 1,2,3,... sayılarından oluşur. Bu, doğal seride şu anlama gelir:

En küçük sayı vardır ve en büyük sayı yoktur.
Sonraki her sayı bir öncekinden 1 kat daha büyüktür (birimin kendisi hariç).
Sayılar sonsuza doğru ilerledikçe sınırsızca büyürler.

Bazen bir dizi doğal sayıya 0 eklenir, bu kabul edilebilir ve sonra bunun hakkında konuşurlar. genişletilmiş doğal seri.

Doğal sayıların sınıfları

Bir doğal sayının her basamağı belirli bir basamağı ifade eder. Sonuncusu her zaman sayıdaki birim sayısıdır, ondan önceki onlukların sayısıdır, sondan üçüncüsü yüzlerin sayısıdır, dördüncüsü binlerin sayısıdır vb.

276 numarada: 2 yüzlük, 7 onluk, 6 birlik
1098 sayısında: 1 bin, 9 onluk, 8 birlik; Yüzler basamağı sıfır olarak ifade edildiği için burada eksiktir.

Büyük ve çok büyük sayılar için istikrarlı bir trend görebilirsiniz (sayıyı sağdan sola, yani son rakamdan ilk rakama doğru incelerseniz):

sayıdaki son üç rakam birlikler, onlar ve yüzlerdir;
önceki üçü birimlerdir, on ve yüzbinler;
önlerindeki üç rakam (yani sayının sondan itibaren sayılan 7., 8. ve 9. rakamları) birimler, onlarca ve yüz milyonlar vb.'dir.

Yani, her seferinde üç rakamla, yani birimlerle, onlarca ve yüzlerce daha büyük bir isimle uğraşıyoruz. Bu tür gruplar sınıfları oluşturur. Ve eğer günlük yaşamda ilk üç dersle az çok uğraşmak zorunda kalırsanız, o zaman geri kalanları da listelemelisiniz çünkü herkes isimlerini ezbere hatırlamaz.

Milyonlar sınıfından sonra gelen ve 10-12 basamaklı sayıları temsil eden 4. sınıfa milyar (veya milyar) adı verilir;
5. sınıf – trilyon;
6. sınıf – katrilyon;
7. sınıf – kentilyon;
8. sınıf – sekstilyon;
9. sınıf – septilyon.

Doğal sayıların eklenmesi

Doğal sayıların eklenmesi, toplanan sayıların içerdiği birim sayısıyla aynı sayıda birim içeren bir sayı elde etmenizi sağlayan bir aritmetik işlemdir.

Ekleme işareti “+” işaretidir. Eklenen sayılara toplamalar denir ve ortaya çıkan sonuca toplam denir.

Küçük sayılar sözlü olarak eklenir (toplanır), yazılı olarak bu tür eylemler bir satıra yazılır.

Kafanızda eklenmesi zor olan çok basamaklı sayılar genellikle bir sütuna eklenir. Bunun için sayılar alt üste, son rakamına göre yazılır yani birler basamağının altına birler basamağı, yüzler basamağının altına yüzler basamağı vb. yazılır. Daha sonra rakamları çiftler halinde eklemeniz gerekir. Rakamların eklenmesi on üzerinden bir geçişle meydana gelirse, bu on, soldaki rakamın (yani bir sonraki) üzerinde bir birim olarak sabitlenir ve bu rakamın rakamlarıyla birlikte toplanır.

Sütunun toplamı 2 değil, ancak daha fazla sayı, o zaman bir yerin rakamlarını toplarken 1 on değil, birkaçı gereksiz olabilir. Bu durumda, bu tür onlukların sayısı bir sonraki basamağa aktarılır.

Doğal Sayılarla Çıkarma

Çıkarma, toplama işleminin tersi olan aritmetik bir işlemdir; bu, mevcut toplamı ve terimlerden birini kullanarak başka bir bilinmeyen terim bulmanız gerektiği gerçeğine indirgenir. Çıkarıldığı sayıya eksilen denir; Çıkarılan sayı çıkarılabilir. Çıkarma sonucuna fark denir. Çıkarma işlemini belirtmek için kullanılan işaret “-”dir.

Toplama işlemine geçildiğinde çıkan ve fark toplanana, eksilen ise toplama dönüşür. Toplama işlemi genellikle çıkarma işleminin doğruluğunu kontrol etmek için kullanılır ve bunun tersi de geçerlidir.

Burada 74 eksilen, 18 çıkan, 56 ise farktır.

Doğal sayılarda çıkarma işleminin önkoşulu şudur: Çıkarılanın çıkandan büyük olması gerekir. Ancak bu durumda ortaya çıkan fark da doğal bir sayı olacaktır. Genişletilmiş bir doğal seri için çıkarma işlemi yapılırsa, eksilenlerin çıkanlara eşit olmasına izin verilir. Ve bu durumda çıkarma işleminin sonucu 0 olacaktır.

Not: Çıkarılan sayı sıfıra eşitse çıkarma işlemi eksilen değerin değerini değiştirmez.

Çok basamaklı sayıların çıkarılması genellikle bir sütunda yapılır. Sayılar toplama işlemiyle aynı şekilde yazılır. Karşılık gelen rakamlar için çıkarma işlemi yapılır. Eksilenin çıkandan daha az olduğu ortaya çıkarsa, önceki (solda bulunan) rakamdan bir tane alırlar ve transferden sonra doğal olarak 10'a dönüşür. Bu on, verilen rakamın numarasıyla toplanır. çıkarılıyor ve ardından çıkarma işlemi yapılıyor. Daha sonra bir sonraki rakamı çıkarırken, azaltılan rakamın 1 eksiğini dikkate aldığınızdan emin olun.

Doğal sayıların çarpımı

Doğal sayıların çarpımı (veya çarpımı), rastgele sayıda aynı terimlerin toplamını bulmayı temsil eden bir aritmetik işlemdir. Çarpma işlemini yazmak için “·” (bazen “×” veya “*”) işaretini kullanın. Örneğin: 3·5=15.

Ekleme gerektiğinde çarpma eylemi vazgeçilmezdir. çok sayıdaşartlar. Örneğin 4 sayısını 7 kez toplamanız gerekiyorsa 4'ü 7 ile çarpmak şu toplama işlemini yapmaktan daha kolaydır: 4+4+4+4+4+4+4.

Çarpan sayılara çarpan, çarpma sonucuna ise çarpım adı verilir. Buna göre “ürün” terimi bağlama göre hem çarpma işlemini hem de sonucunu ifade edebilir.

Çok basamaklı sayılar bir sütun halinde çarpılır. Bunun için sayılar toplama ve çıkarma işlemindeki gibi yazılır. Önce (yukarıdaki) 2 sayıdan en uzun olanı yazmanız tavsiye edilir. Bu durumda çarpma işlemi daha basit ve dolayısıyla daha rasyonel olacaktır.

Bir sütunda çarparken, ikinci sayının her bir rakamının rakamları, sonundan başlayarak 1. sayının rakamlarıyla sırayla çarpılır. Bu tür ilk çarpımı bulduktan sonra birler basamağını yazın ve onlar basamağını aklınızda tutun. 2. sayının rakamı 1. sayının bir sonraki rakamı ile çarpıldığında akılda kalan rakam çarpıma eklenir. Ve yine elde edilen sonucun birim sayısını yazın ve onlar sayısını hatırlayın. 1. sayının son rakamı ile çarpıldığında bu şekilde elde edilen sayı tam olarak yazılır.

İkinci sayının 2. basamağının bir rakamının çarpılmasının sonuçları ikinci satıra 1 hücre sağa kaydırılarak yazılır. Ve benzeri. Sonuç olarak bir “merdiven” elde edilecektir. Ortaya çıkan tüm sayı satırları eklenmelidir (sütun ekleme kuralına göre). Boş hücrelerin sıfırlarla dolu olduğu düşünülmelidir. Ortaya çıkan toplam nihai üründür.

Not

Herhangi bir doğal sayının 1'le (veya bir sayıyla 1'le) çarpımı sayının kendisine eşittir. Örneğin: 376·1=376; 1.86=86.
Faktörlerden biri veya her ikisi de 0'a eşit olduğunda çarpım 0'a eşit olur. Örneğin: 32·0=0; 0.845=845; 0.0=0.

Doğal sayıların bölünmesi

Bölme, bilinen bir çarpım ve faktörlerden biri verildiğinde başka bir bilinmeyen faktörün bulunabileceği bir aritmetik işlemdir. Bölme, çarpmanın tersidir ve çarpma işleminin doğru yapılıp yapılmadığını (veya tam tersi) kontrol etmek için kullanılır.

Bölünen sayıya temettü denir; bölünen sayı bölendir; bölmenin sonucuna bölüm denir. Bölme işareti “:”dir (bazen, daha az yaygın olarak “÷”).

Burada 48 bölen, 6 bölen, 8 ise bölümdür.

Doğal sayıların tümü kendi aralarında bölünemez. Bu durumda kalanla bölün. Bu, bölen için, bölenin çarpımının, değer olarak temettüye mümkün olduğu kadar yakın, ancak ondan daha az bir sayı olacağı şekilde bir faktörün seçilmesinden oluşur. Bölen bu faktörle çarpılır ve temettüden çıkarılır. Fark, bölümün geri kalanı olacaktır. Bir bölen ile bir faktörün çarpımına eksik bölüm denir. Dikkat: Bakiye seçilen çarpandan az olmalıdır! Kalanın büyük olması çarpanın yanlış seçildiği ve artırılması gerektiği anlamına gelir.

7.V için bir çarpan seçiyoruz bu durumda bu sayı 5'tir. Eksik bölümü bulun: 7·5=35. Gerisini hesaplıyoruz: 38-35=3. 3'ten beri<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Çok basamaklı sayılar bir sütuna bölünmüştür. Bunu yapmak için, bölen ve bölen yan yana yazılır ve bölen dikey ve yatay bir çizgiyle ayrılır. Bölünmede, bölene bölmek için minimum yeterli olan bir sayıyı temsil etmesi gereken ilk rakam veya ilk birkaç rakam (sağda) izole edilmiştir (yani bu sayı, bölenden büyük olmalıdır). Bu sayı için, kalanla bölme kuralında açıklandığı gibi eksik bir bölüm seçilir. Kısmi bölümü bulmak için kullanılan çarpanın rakamı bölenin altına yazılır. Eksik bölüm, bölünen sayının altına sağa dayalı olarak yazılır. Aralarındaki farkı bulun. Bu farkın yanına yazarak temettüdeki bir sonraki rakamı aşağıya alın. Ortaya çıkan sayı için yine seçilen çarpanın rakamı bölenin altında bir önceki rakamın yanına yazılarak kısmi bölüm bulunur. Ve benzeri. Bu tür işlemler temettü rakamları bitene kadar gerçekleştirilir. Bundan sonra bölünme tamamlanmış sayılır. Bölen ve bölen bir bütüne (kalansız) bölünürse son fark sıfır olur. Aksi takdirde kalan sayı elde edilecektir.

Üs alma

Üs alma, rastgele sayıda aynı sayının çarpılmasını içeren matematiksel bir işlemdir. Örneğin: 2·2·2·2.

Bu tür ifadeler şu şekilde yazılmıştır: bir x,

Nerede A– kendisiyle çarpılan bir sayı, X– bu tür faktörlerin sayısı.

Asal ve bileşik doğal sayılar

1 dışındaki her doğal sayı, biri ve kendisi olmak üzere en az iki sayıya bölünebilir. Bu kritere göre doğal sayılar asal ve bileşik olarak ikiye ayrılır.

Asal sayılar yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Bu iki sayıdan daha fazlasına bölünebilen sayılara bileşik sayılar denir. Yalnızca kendisine bölünebilen bir birim ne basit ne de bileşiktir.

Asal sayılar: 2,3,5,7,11,13,17,19 vb. Bileşik sayılara örnekler: 4 (1,2,4'e bölünebilir), 6 (1,2,3,6'ya bölünebilir), 20 (1,2,4,5,10,20'ye bölünebilir).

Her bileşik sayı asal çarpanlara ayrılabilir. Asal faktörler derken asal sayılar olan bölenleri kastediyoruz.

Asal çarpanlara ayırma örneği:

Doğal sayıların bölenleri

Bölen, belirli bir sayının kalansız olarak bölünebildiği sayıdır.

Bu tanıma göre asal doğal sayıların 2 böleni, bileşik sayıların ise 2'den fazla böleni vardır.

Birçok sayının ortak çarpanları vardır. Ortak bölen, verilen sayıları kalan bırakmadan bölen sayıdır.

12 ve 15 sayılarının ortak böleni 3'tür
20 ve 30 sayılarının ortak bölenleri 2,5,10'dur

En büyük ortak bölen (GCD) özellikle önemlidir. Bu sayı özellikle kesirleri azaltmak için bulunabilmek açısından faydalıdır. Bunu bulmak için verilen sayıları asal çarpanlara ayırmanız ve bunu ortak asal çarpanlarının en küçük kuvvetlerinin çarpımı olarak temsil etmeniz gerekir.

36 ve 48 sayılarının gcd'sini bulmanız gerekiyor.

Doğal sayıların bölünebilirliği

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini gözle belirlemek her zaman mümkün değildir. Bu gibi durumlarda, karşılık gelen bölünebilirlik testinin yararlı olduğu ortaya çıkar; bu, birkaç saniye içinde sayıların kalansız bölünüp bölünemeyeceğini belirleyebileceğiniz bir kuraldır. Bölünebilmeyi belirtmek için “” işareti kullanılır.

En küçük ortak Kat

Bu miktar (LOC ile gösterilir), verilenlerin her birine bölünebilen en küçük sayıdır. LCM, rastgele bir doğal sayılar kümesi için bulunabilir.

NOC, GCD gibi önemli bir pratik anlama sahiptir. Yani sıradan kesirleri ortak bir paydaya getirerek bulunması gereken LCM'dir.

LCM, verilen sayıları asal faktörlere ayırarak belirlenir. Bunu oluşturmak için, ortaya çıkan (en az 1 sayı için) asal faktörlerin her birini maksimum dereceye kadar temsil eden bir çarpım alın.

14 ve 24 sayılarının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Ortalama

Rasgele (ancak sonlu) sayıda doğal sayının aritmetik ortalaması, tüm bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilir:

Aritmetik ortalama, sayısal bir küme için bazı ortalama değerlerdir.

Verilen sayılar 2,84,53,176,17,28'dir. Aritmetik ortalamalarını bulmanız gerekiyor.

Okumak faydalı olabilir: