matrisler. Temel tanımlar ve matris türleri
matrisler. Matris türleri. Matrisler ve özellikleri üzerinde işlemler.
n'inci dereceden matrisin determinantı. N, Z, Q, R, C,
m*n mertebesinden bir matris, m-satırları ve n-sütunları içeren dikdörtgen bir sayı tablosudur.
Matris eşitliği:
Birinin satır ve sütun sayısı sırasıyla diğerinin satır ve sütun sayısına eşitse iki matris eşit olarak adlandırılır. Bu matrislerin elemanları eşittir.
Not: Aynı dizinlere sahip öğeler eşleştirilir.
Matris türleri:
Kare Matris: Bir matrisin satır sayısı sütun sayısına eşitse kare olduğu söylenir.
Dikdörtgen: Bir matrisin satır sayısı sütun sayısına eşit değilse dikdörtgen olduğu söylenir.
Satır matrisi: 1*n (m=1) mertebesinden bir matris a11,a12,a13 biçimindedir ve buna satır matrisi denir.
Matris sütunu:………….
köşegen: sol üst köşeden sağ alt köşeye giden, yani a11, a22 ...... - öğelerinden oluşan bir kare matrisin köşegenine ana köşegen denir. (tanım: ana köşegen üzerinde bulunanlar dışında tüm elemanları sıfıra eşit olan bir kare matrise köşegen matris denir.
kimlik: Tüm öğeler ana köşegen üzerinde yer alıyorsa ve 1'e eşitse, köşegen matrisine kimlik denir.
Üst üçgen: A=||aij|| aij=0 ise üst üçgen matrisi olarak adlandırılır. Sağlanan i>j.
Alt üçgen: aij=0. Ben Sıfır: Bu, Els'i 0 olan bir matristir. Matrisler üzerinde işlemler. 1. Aktarım. 2. Bir matrisin bir sayı ile çarpılması. 3. Matris toplama. 4. Matris çarpımı. Matrisler üzerinde temel sv-va eylemi. 1.A+B=B+A (değişmelilik) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (ilişkilendirilebilirlik) 3.a(A+B)=aA+aB (dağıtım) 4.(a+b)A=aA+bA (dağıtım) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (çok.) 6.AB≠BA (iletişim yok.) 7.A(BC)=(AB)C (ilişkilendirilebilir) – tanımlıysa yürütülür. Matrix ürünleri gerçekleştirilir. 8.A(B+C)=AB+AC (dağıtım) (B+C)A=BA+CA (dağıtım) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Kare matrisin determinantı - tanımı ve özellikleri. Determinantın satır ve sütunlara ayrıştırılması. Belirleyicileri hesaplama yöntemleri. A matrisinin mertebesi m>1 ise bu matrisin determinantı bir sayıdır. A matrisinin aij öğesinin cebirsel tümleyeni Aij, sayı ile çarpılan küçük Mij'dir. TEOREM1: A matrisinin determinantı, rastgele bir satırın (sütun) tüm elemanlarının ve bunların cebirsel tümleyenlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. Determinantların temel özellikleri. 1. Bir matrisin determinantı devrik olduğunda değişmez. 2. İki satırı (sütun) değiştirirken, determinant işaret değiştirir, ancak mutlak değeri değişmez. 3. Birbirinin aynı iki satırı (sütunları) olan bir matrisin determinantı 0'dır. 4. Bir matrisin satırını (sütununu) bir sayı ile çarparken, determinantı bu sayı ile çarpılır. 5. Matrisin satırlarından (sütunlarından) biri 0'dan oluşuyorsa, bu matrisin determinantı 0'dır. 6. Bir matrisin i'inci satırının (sütun) tüm öğeleri iki terimin toplamı olarak sunulursa, determinantı iki matrisin determinantlarının toplamı olarak temsil edilebilir. 7. Sırasıyla, bir sütunun (sıranın) öğeleri başka bir sütunun (sıranın) öğelerine önceden çarpma yoluyla eklenirse, determinant değişmeyecektir. aynı numara için 8. Determinantın herhangi bir sütununun (satırının) keyfi öğelerinin, başka bir sütunun (satır) öğelerinin karşılık gelen cebirsel tamamlayıcısına toplamı 0'dır. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" genişlik="46" yükseklik="27"> Determinantı hesaplama yöntemleri: 1. Tanım gereği veya Teorem 1. 2. Üçgen forma indirgeme. Ters matrisin tanımı ve özellikleri. Ters matrisin hesaplanması. Matris denklemleri. Tanım: n mertebesinden bir kare matris, aynı mertebeden A matrisinin tersi olarak adlandırılır ve A matrisinin ters matris olması için A matrisinin determinantının 0'dan farklı olması gerekli ve yeterlidir. Ters Matris Özellikleri: 1. Benzersizlik: Belirli bir A matrisi için tersi benzersizdir. 2. matris determinantı 3. Yer değiştirme alma ve ters matris alma işlemi. Matris denklemleri: A ve B aynı mertebeden iki kare matris olsun. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Matris sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı kavramı. Kolon sisteminin lineer bağımlılığı ve lineer bağımsızlığının özellikleri. А1,А2…An sütunları, 0. sütuna eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon varsa, doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılır. А1,А2…An sütunları, 0. sütuna eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon varsa, doğrusal olarak bağımsız olarak adlandırılır. Tüm katsayılar С(l) 0'a eşitse ve aksi halde önemsiz değilse doğrusal bir kombinasyon önemsiz olarak adlandırılır. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" genişlik="88" yükseklik="24"> 2. Sütunların lineer bağımlı olması için bazı kolonların diğer kolonların lineer kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir. https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> sütunlarından 1'i diğer sütunların doğrusal birleşimi olsun. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> doğrusal olarak bağımlıdır, bu durumda tüm sütunlar doğrusal olarak bağımlıdır. 4. Bir sütun sistemi doğrusal olarak bağımsızsa, alt sistemlerinden herhangi biri de doğrusal olarak bağımsızdır. (Sütunlar için söylenen her şey satırlar için de geçerlidir). Matrix küçükleri. Temel reşit olmayanlar. Matris sıralaması. Bir matrisin sırasını hesaplamak için küçükleri saçaklama yöntemi. A matrisinin minör mertebesi, elemanları A matrisinin k-sıraları ile k-sıralarının kesiştiği noktada bulunan determinanttır. A matrisinin k mertebesindeki tüm minörleri = 0 ise, o zaman k + 1 mertebesindeki herhangi bir minör de 0'a eşittir. Temel minör. A matrisinin rankı, minör tabanının mertebesidir. Küçükleri sınırlama yöntemi: - A matrisinin sıfır olmayan bir öğesini seçiyoruz (Böyle bir öğe yoksa, A \u003d 0 sıralaması) 1. mertebenin bir önceki minörünü 2. mertebenin minörü ile sınırlıyoruz. (Bu minör 0'a eşit değilse rank >=2) Bu minörün rankı =0 ise seçilen 1. minör diğer 2. mertebe minörlerle sınırlanır. (2. mertebenin tüm minörleri = 0 ise, o zaman matrisin rankı = 1). Matris sıralaması. Bir matrisin rankını bulma yöntemleri. A matrisinin rankı, minör tabanının mertebesidir. Hesaplama yöntemleri: 1) Küçükleri sınırlama yöntemi: - A matrisinin sıfır olmayan bir elemanını seçin (böyle bir eleman yoksa, o zaman rank = 0) - Önceki 1. dereceden minörü 2. dereceden minör ile sınırlayın..gif" genişlik= "40" yükseklik="22" >r+1 Bay+1=0. 2) Bir matrisi basamaklı forma getirmek: bu yöntem temel dönüşümlere dayanır. Temel dönüşümler altında, matrisin sıralaması değişmez. Aşağıdaki dönüşümlere temel dönüşümler denir: İki satırın (sütunların) permütasyonu. Bazı sütunların (satırların) tüm öğelerinin = 0 olmayan bir sayı ile çarpılması. Belirli bir sütunun (satırın) tüm öğelerine, daha önce aynı sayı ile çarpılmış başka bir sütunun (satır) öğelerinin eklenmesi. Temel minör teoremi. Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşul. A matrisinin temel minörü, 0'dan farklı en büyük k'inci mertebenin minörüdür. Temel minör teorem: Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (sütun), temel satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonudur. Notlar: Kesişim noktalarında temel minör bulunan satırlar ve sütunlara sırasıyla temel satırlar ve sütunlar denir. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşullar: n'inci mertebenin determinantının 0 olması için satırlarının (sütunlarının) lineer bağımlı olması gerekli ve yeterlidir. Doğrusal denklem sistemleri, sınıflandırılması ve notasyon biçimleri. Cramer'in kuralı. Üç bilinmeyenli 3 doğrusal denklem sistemi düşünün: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} sistemin determinantı denir. Aşağıdaki gibi üç determinant daha oluşturuyoruz: determinant D'deki 1, 2 ve 3 sütunu art arda bir serbest terimler sütunuyla değiştiriyoruz https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} Kanıt. Öyleyse, üç bilinmeyenli 3 denklemli bir sistem düşünün. Sistemin 1. denklemini a11 öğesinin cebirsel tümleyeni A11 ile, 2. denklemi A21 ile ve 3. denklemi A31 ile çarpıyoruz: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} Parantezlerin her birini ve bu denklemin sağ tarafını düşünün. Determinantın 1. sütunun elemanları cinsinden genişlemesine ilişkin teorem ile https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} Benzer şekilde, ve olduğu gösterilebilir. Son olarak, bunu görmek kolay Böylece eşitliği elde ederiz: . Buradan, . Eşitlikler ve benzer şekilde türetilir, buradan teoremin iddiası gelir. Doğrusal denklem sistemleri. Doğrusal denklemler için uygunluk koşulu. Kronecker-Capelli teoremi. Bir cebirsel denklemler sisteminin çözümü, orijinal sistemde x1,x2,x3…..xn yerine ikame edildiğinde, C1,C2,C3……Cn gibi n sayıdan oluşan bir kümedir. sistem kimliklere dönüştürülür. Bir lineer cebirsel denklem sistemi, en az bir çözümü varsa tutarlı olarak adlandırılır. Bir ortak sistem, tek bir çözümü varsa belirli, sonsuz sayıda çözümü varsa belirsiz olarak adlandırılır. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin uyumluluğu için koşullar. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn milyar TEOREM: n bilinmeyenli m lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, genişletilmiş matrisin rankının A matrisinin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir. Not: Bu teorem yalnızca bir çözümün varlığı için kriterler verir, ancak bir çözüm bulmanın bir yolunu göstermez. 10 soru Doğrusal denklem sistemleri. Temel minör yöntemi, lineer denklem sistemlerinin tüm çözümlerini bulmak için kullanılan genel bir yöntemdir. A=a21 a22…..a2n Temel minör yöntem: Sistem tutarlı olsun ve RgA=RgA’=r olsun. Temel minörün A matrisinin sol üst köşesine boyanmasına izin verin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 kaynak=">…...gif" genişlik="23" yükseklik="23 kaynak= ">…...gif" width="22" height="23 kaynak=">…...gif" genişlik="46" yükseklik="23 kaynak=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" genişlik="33" yükseklik="22 kaynak="> Açıklamalar: Ele alınan ana matrisin rankı r=n ise, bu durumda dj=bj ve sistemin tek bir çözümü vardır. Lineer denklemlerin homojen sistemleri. Tüm serbest terimleri sıfıra eşitse, bir doğrusal cebirsel denklem sistemine homojen denir. AX=0 homojen bir sistemdir. AX = B homojen olmayan bir sistemdir. Homojen sistemler her zaman tutarlıdır. X1 =x2 =..=xn =0 teorem 1. Homojen sistemler, sistem matrisinin rankı bilinmeyen sayısından az olduğunda homojen olmayan çözümlere sahiptir. Teorem 2. A matrisinin determinantı sıfıra eşit olduğunda, n-bilinmeyenli homojen bir n-lineer denklem sistemi sıfır olmayan bir çözüme sahiptir. (detA=0) Homojen sistemlerin çözümlerinin özellikleri. Homojen bir sistem için bir çözümün herhangi bir lineer kombinasyonu, bu sistem için bir çözümdür. a1C1 +a2C2; α1 ve α2 bazı sayılardır. A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, yani k.(A C1) = 0; (AC2) = 0 Homojen olmayan bir sistem için bu özellik geçerli değildir. Temel karar sistemi. Teorem 3. n-bilinmeyenli bir denklemin matris sisteminin rankı r ise, bu sistemin n-r lineer bağımsız çözümü vardır. Temel minör sol üst köşede olsun. eğer r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Derecesi r olan n-bilinmeyenli homojen bir lineer denklem sisteminin n-r lineer bağımsız çözümlerinden oluşan bir sisteme temel çözüm sistemi denir. Teorem 4. Bir lineer denklem sisteminin herhangi bir çözümü, temel sistemin bir çözümünün lineer bir kombinasyonudur. С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r eğer r 12 soru Homojen olmayan bir sistemin genel çözümü. Uyku (gen. düzensiz) \u003d COO + SCH (özel) AX=B (heterojen sistem); AKS=0 (ASoo) + ASch = ASch = B, çünkü (ASoo) = 0 Uyku \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Orta Gauss yöntemi. Bu, bilinmeyenlerin (değişkenlerin) art arda ortadan kaldırılması yöntemidir - temel dönüşümlerin yardımıyla, orijinal denklem sisteminin, diğer tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu kademeli bir formun eşdeğer bir sistemine indirgenmesi gerçeğinden oluşur. , son değişkenlerden başlayarak. a≠0 olsun (eğer durum böyle değilse, o zaman bu denklemleri yeniden düzenleyerek elde edilir). 1) x1 değişkenini ikinci, üçüncü ... n'inci denklemden çıkarıyoruz, ilk denklemi uygun sayılarla çarpıyoruz ve elde edilen sonuçları 2., 3. ... n'inci denkleme ekliyoruz, sonra şunu elde ederiz: Orijinaline eşdeğer bir sistem elde ediyoruz. 2) x2 değişkenini hariç tutun 3) x3 vb. değişkenini hariç tutuyoruz. x4;x5...xr-1 değişkenlerinin sıralı eleme işlemine devam ederek (r-1)-inci adımı elde ederiz. Denklemlerdeki son n-r'nin sıfır sayısı, sol taraflarının şöyle göründüğü anlamına gelir: 0x1 +0x2+..+0xn вr+1, вr+2… sayılarından en az biri sıfıra eşit değilse, karşılık gelen eşitlik tutarsızdır ve sistem (1) tutarlı değildir. Böylece, herhangi bir tutarlı sistem için bu vr+1 … vm sıfıra eşittir. Sistemdeki son n-r denklemleri (1;r-1) özdeştir ve göz ardı edilebilir. İki durum mümkündür: a) sistemin denklem sayısı (1; r-1) bilinmeyenlerin sayısına eşittir, yani. r \u003d n (bu durumda sistem üçgen bir şekle sahiptir). b) r (1) sisteminden eşdeğer bir sisteme (1; r-1) geçişe Gauss yönteminin doğrudan hareketi denir. Sistemden bir değişken bulma hakkında (1; r-1) - Gauss yönteminin tersi ile. Gauss dönüşümleri, bunları denklemlerle değil, katsayılarının genişletilmiş bir matrisiyle uygulayarak uygun bir şekilde gerçekleştirilir. 13 soru benzer matrisler. Yalnızca n/ mertebesinden kare matrisleri dikkate alacağız. A=S-1BS olacak şekilde tekil olmayan bir S matrisi varsa, A matrisinin B matrisine (A~B) benzer olduğu söylenir. Benzer matrislerin özellikleri. 1) Matris A kendisine benzer. (A~A) S=E ise EAE=E-1AE=A 2) A~B ise, B~A A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B ise 3) A~B ve aynı zamanda B~C ise, A~C A=S1-1BS1 ve B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3 verildiğinde, burada S3 = S2S1 4) Benzer matrislerin determinantları eşittir. A~B verildiğinde, detA=detB olduğunu kanıtlamak gerekir. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (azalt) = detB. 5) Benzer matrislerin rankları aynıdır. Matrislerin özvektörleri ve özdeğerleri. AX = λ X gibi sıfır olmayan bir X vektörü (matris sütunu) varsa, λ sayısına A matrisinin özdeğeri denir, X vektörüne A matrisinin özvektörü ve tüm özdeğerlerin kümesi denir A matrisinin spektrumu olarak adlandırılır. özvektörlerin özellikleri. 1) Bir özvektörü bir sayı ile çarptığımızda, aynı özdeğere sahip bir özvektör elde ederiz. AX \u003d λ X; Х≠0 α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X) 2) İkili olarak farklı özdeğerlere sahip özvektörler doğrusal olarak bağımsızdır λ1, λ2,.. λk. Sistemin 1. vektörden oluşmasına izin verin, endüktif bir adım atalım: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - A ile çarpın. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 λn+1 ile çarpın ve çıkarın C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0 olması gerekir Cn+1 Xn+1 λn+1 =0 Karakteristik denklem. A-λE, A matrisi için karakteristik matris olarak adlandırılır. Sıfır olmayan bir X vektörünün A matrisinin λ özdeğerine karşılık gelen bir özvektörü olması için, bunun homojen bir lineer cebirsel denklemler sisteminin (A - λE)X = 0 bir çözümü olması gerekir. det (A - XE) = 0 olduğunda sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır - bu bir karakteristik denklemdir. İfade! Benzer matrislerin karakteristik denklemleri çakışmaktadır. det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ) Karakteristik polinom. det(A – λЕ) - λ parametresine göre işlev det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Bu polinom, A matrisinin karakteristik polinomu olarak adlandırılır. Sonuçlar: 1) Matrisler A~B ise, köşegen elemanlarının toplamı aynıdır. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Benzer matrislerin özdeğerleri kümesi çakışıyor. Matrislerin karakteristik denklemleri aynı ise, mutlaka benzer olmaları gerekmez. A matrisi için B matrisi için https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" genişlik="92" yükseklik="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 n mertebesinden bir A matrisinin köşegenleştirilebilmesi için, A matrisinin doğrusal olarak bağımsız özvektörlerinin olması gerekir. Sonuçlar. A matrisinin tüm özdeğerleri farklıysa, köşegenleştirilebilir. Özvektörleri ve özdeğerleri bulmak için algoritma. 1) karakteristik denklemi oluşturun 2) denklemlerin köklerini bulun 3) özvektörü belirlemek için bir denklem sistemi oluşturur. λi (A-λi E)X = 0 4) temel çözüm sistemini bulun x1,x2..xn-r, burada r, karakteristik matrisin sıralamasıdır. r = Rg(A - λi E) 5) özvektör, özdeğerler λi şu şekilde yazılır: X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, burada C12 + C22 + ... C2n ≠0 6) matrisin köşegen bir forma indirgenip indirgenemeyeceğini kontrol ediyoruz. 7) Ag'yi bul Ag = S-1AS S= 15 soru Bir çizginin, düzlemin, uzayın temeli. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Bu vektör sıfır olduğunda vektör modülü sıfırdır (│ō│=0) 4. Orth vektörü. Belirli bir vektörün orth'u, verilen vektörle aynı yöne sahip ve modülü bire eşit olan bir vektördür. Eşit vektörler eşit ortlara sahiptir. 5. İki vektör arasındaki açı. Bu, aynı noktadan çıkan ve verilen vektörlerle aynı yönde yönlendirilen iki ışın tarafından sınırlanan, alanın daha küçük kısmıdır. Vektörlerin eklenmesi. Bir vektörü bir sayı ile çarpmak. 1) İki vektörün eklenmesi https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Bir vektörün bir skalerle çarpılması. Bir vektörün ve bir skalerin çarpımı, şu özelliklere sahip yeni bir vektördür: a) = skalerin mutlak değeri ile çarpılan vektörün modülünün çarpımı. b) yön, skaler pozitifse çarpılan vektörle aynı, skaler negatifse tersidir. λ a(vektör)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Vektörler üzerinde doğrusal işlemlerin özellikleri. 1. İletişim Yasası. 2. Birliktelik yasası. 3. Sıfır ile toplama. a(vektör)+o= a(vektör) 4. Tersi ile toplama. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Dağıtım yasası. Bir vektörün modülü ve birim vektör cinsinden ifadesi. Lineer olarak bağımsız vektörlerin maksimum sayısına baz denir. Bir doğrunun temeli, sıfır olmayan herhangi bir vektördür. Düzlemdeki bir taban, çağrılmayan herhangi iki vektördür. Uzayda bir temel, eş düzlemli olmayan herhangi üç vektörden oluşan bir sistemdir. Bir vektörün belirli bir tabandaki genişleme katsayısına, verilen tabandaki vektörün bileşenleri veya koordinatları denir. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> toplama ve çarpma işlemini bir skalerle, ardından aldığımız herhangi bir sayıdaki bu tür eylemlerin sonucu: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 kaynak=">+...gif" yükseklik="11 kaynak=">.gif" yükseklik="11 src=">, ō'ya eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon varsa, doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılır. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 kaynak=">+...gif" yükseklik="11 kaynak=">.gif" yükseklik="11 src=">, önemsiz olmayan doğrusal bir kombinasyon yoksa, doğrusal olarak bağımsız olarak adlandırılır. Doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız vektörlerin özellikleri: 1) sıfır vektörü içeren vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 kaynak=">+...gif" yükseklik="11 kaynak=">.gif" yükseklik="11 src="> doğrusal olarak bağımlıdır, bazı vektörler diğer vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olmalıdır. 3) a1 (vektör), a2 (vektör) ... a (vektör) sisteminden bazı vektörler doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman tüm vektörler doğrusal olarak bağımlıdır. 4)tüm vektörler https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> ise https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 kaynak=">.gif" yükseklik="11 kaynak=">) Koordinatlarda doğrusal işlemler. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 kaynak=">.gif" genişlik="65" yükseklik="13 kaynak="> nokta çarpım özellikleri: 1. Değişebilirlik 3. (a;b)=0 ancak ve ancak vektörler ortogonal ise veya vektörlerden herhangi biri 0'a eşitse. 4. Dağılım (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. a ve b'nin skaler çarpımının koordinatları cinsinden ifadesi https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Koşul () , h, l=1,2,3 olduğunda https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> ve aşağıdaki denklemleri sağlayan üçüncü vektör çağrılır: 3. - sağ Vektör ürün özellikleri: 4. Koordinat vektörlerinin vektörel çarpımı ortonormal taban. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Ortonormal bir temelin ortlarını belirtmek için genellikle 3 sembol kullanılır. https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Eğer ortonormal bir taban ise, o zaman https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- doğrudan paralel eksen OX denklemi 2) - OS eksenine paralel düz bir çizginin denklemi 2. 2 düz çizginin karşılıklı düzenlenmesi. Teorem 1 Doğruların denklemleri afin koordinat sistemine göre verilsin A) O halde kesişmeleri için gerekli ve yeterli koşul: B) O halde doğruların paralel olması için gerekli ve yeterli koşul şu koşuldur: B) O halde çizgilerin tek bir çizgide birleşmesi için gerekli ve yeterli koşul şu koşuldur: 3. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe. teorem. Kartezyen koordinat sistemine göre bir noktadan bir çizgiye olan mesafe: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. İki düz çizgi arasındaki açı. Dikey durum. Genel denklemlerle Kartezyen koordinat sistemine göre 2 düz çizgi verilsin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Eğer , o zaman çizgiler diktir. 24 soru uzayda uçak. Bir vektör ve bir düzlem için benzerlik koşulu. Bir noktadan bir düzleme olan mesafe. İki düzlemin paralellik ve diklik durumu. 1. Bir vektör ve bir düzlem için benzerlik koşulu. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Untitled4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Untitled5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. 2 düzlem arasındaki açı. Dikey durum. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Eğer , o zaman düzlemler diktir. 25 soru Uzayda düz çizgi. Uzayda düz bir çizginin çeşitli denklem türleri. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" genişlik="111" yükseklik="19"> 2. Uzayda düz bir çizginin vektör denklemi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Kanonik denklem doğrudandır. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Untitled3.jpg" width="56" height="51">!} Lineer cebir problemleri. Matris kavramı. Matris türleri. Matrislerle işlemler. Matrislerin dönüşümü ile ilgili problemleri çözme. Çeşitli matematik problemlerini çözerken, genellikle matris adı verilen sayı tablolarıyla uğraşmak gerekir. Matrislerin yardımıyla doğrusal denklem sistemlerini çözmek, vektörlerle birçok işlemi gerçekleştirmek, çeşitli bilgisayar grafikleri problemlerini ve diğer mühendislik görevlerini çözmek uygundur. matris denir
bir sayı içeren dikdörtgen bir sayılar tablosu Mçizgiler ve bazı P sütunlar. Sayılar T Ve P matris sıraları denir. Eğer T = P, matris kare olarak adlandırılır ve sayı m = n- onun emri. Aşağıda, matrisleri yazmak için çift tire veya parantez kullanılacaktır: Veya Kısa bir matris gösterimi için, ya tek bir büyük Latin harfi (örneğin, A) ya da sembol sıklıkla kullanılacaktır. || bir ij || ve bazen bir açıklama ile: A = || bir ij || = (aij), Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n). Sayılar aij, Bu matrisin parçalarına elemanları denir. kayıtta aij ilk dizin і
satır numarası ve ikinci dizin anlamına gelir J- sütun numarası. Kare matris durumunda ana ve ikincil köşegen kavramları tanıtılır. Matrisin (1.1) ana köşegeni köşegendir bir 11 bir 12 …
anne bu matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine gidiyor. Aynı matrisin yan köşegenine köşegen denir bir n 1 bir (n -1) 2…
bir 1 n , sol alt köşeden sağ üst köşeye gidiyor. Matrislerle ilgili temel işlemler ve özellikleri. Matrisler üzerindeki temel işlemlerin tanımına geçelim. Matris ekleme.İki matrisin toplamı bir = || bir ij || , Nerede Ve B = || b ben || , Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) aynı siparişler T Ve P matris denir C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) aynı siparişler T Ve P, elementler ij ile formül tarafından belirlenir ,
Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n)(1.2) İki matrisin toplamını belirtmek için notasyonu kullanırız. C \u003d A + B. Matrislerin toplamını oluşturma işlemine toplama denir. Yani, tanım gereği: Matrislerin toplamının tanımından veya daha doğrusu formüllerden (1.2), matris toplama işleminin gerçek sayıların eklenmesi işlemiyle aynı özelliklere sahip olduğu, yani: 1) değişme özelliği: A + B = B + A, 2) kombinasyon özelliği: ( A + B) + C = A + (B + C). Bu özellikler, iki veya daha fazla matris toplanırken matrislerin terimlerinin sırasının dikkate alınmamasını mümkün kılar. Bir matrisi bir sayı ile çarpmak. A matrisinin çarpımı = || bir ij || , burada (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) l gerçel sayısına göre matris denir Ç = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), elemanları aşağıdaki formülle belirlenir: ,
Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n)(1.3) Bir matrisin çarpımını bir sayı ile belirtmek için notasyon kullanılır. C \u003d l A veya C \u003d Al. Bir matrisin çarpımını bir sayı ile derleme işlemine matrisin bu sayı ile çarpılması denir. Formül (1.3)'ten, bir matrisin bir sayı ile çarpılmasının aşağıdaki özelliklere sahip olduğu açıktır: 1) sayısal bir faktöre göre ilişkisel bir özellik: (l m) A = l (m A); 2) matrislerin toplamına göre dağılım özelliği: l (A + B) = l A + l B; 3) sayıların toplamına göre dağılım özelliği: (l + m) bir = l bir + m bir Yorum.İki matrisin farkı A Ve İÇİNDE aynı siparişler T Ve P böyle bir matris olarak adlandırılması doğaldır İLE aynı siparişler T Ve P, hangi matris ile toplamda B A matrisini verir. Doğal notasyon, iki matrisin farkını belirtmek için kullanılır: C \u003d A - B. Farkı doğrulamak çok kolay İLE iki matris A Ve İÇİNDE kurala göre alınabilir C \u003d A + (-1) B. matrislerin çarpımı veya matris çarpımı. matris ürünü bir = || bir ij || , burada (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) Sırasıyla şuna eşit siparişlere sahip olmak T Ve N, matrise B = || b ben || , Nerede (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., p), sırasıyla eşit siparişlere sahip olmak N Ve R, denilen matris Ç = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p) Sırasıyla şuna eşit siparişleri olan: T Ve R elemanları aşağıdaki formülle belirlenir: Bir matrisin çarpımını belirtmek için A matrise İÇİNDE kaydı kullan C = Bir × B. Matris ürün işlemi A matrise İÇİNDE bu matrislerin çarpımı denir. Yukarıdaki tanımdan, şunu takip eder: A matrisi herhangi bir B matrisi ile çarpılamaz, matrisin sütun sayısının olması gerekir A matris satırlarının sayısına eşitti İÇİNDE. Formül (1.4), matrisin ürünü olan C matrisinin öğelerini derlemek için bir kuraldır. A matrise İÇİNDE. Bu kural sözlü olarak da formüle edilebilir: C = AB matrisinin i'inci satırı ile j'inci sütununun kesişme noktasında duran c i j elemanı, A matrisinin i'inci satırının karşılık gelen elemanlarının ikili çarpımlarının toplamına eşittir ve B matrisinin j'inci sütunu. Bu kuralın uygulanmasına bir örnek olarak, ikinci dereceden kare matrisleri çarpmak için formülü sunuyoruz. × = Formül (1.4), matris ürününün aşağıdaki özelliklerini ifade eder A matris üzerinde İÇİNDE: 1) ilişkisel özellik: (A B) C = A (B C); 2) matrislerin toplamına göre dağılım özelliği: (A + B) C = A C + B C veya A (B + C) = A B + A C. Bir matrisin çarpımının permütasyon (değişmeli) özelliği sorunu A matrise İÇİNDE sadece kare matrisler için ayarlamak mantıklıdır A ve B aynı düzen Permütasyon özelliğinin de geçerli olduğu önemli özel matris durumları sunuyoruz. Permütasyon özelliğinin geçerli olduğu çarpım için iki matrise genellikle geçiş denir. Kare matrisler arasında, her biri ana köşegenin dışında sıfıra eşit öğelere sahip olan, köşegen matrisler adı verilen bir sınıf ayırıyoruz. Her diyagonal mertebe matrisi P forma sahip D= Nerede d1, d2,…
,dn-herhangi bir numara. Tüm bu sayıların birbirine eşit olup olmadığını görmek kolaydır, yani d1=d2=… =
d n o zaman herhangi bir kare matris için A emir P adil eşitlik AD = D A. Çakışan girişlere sahip tüm köşegen matrisler (1.5) arasında d1=d2=… =
d n = = D iki matris özellikle önemli bir rol oynar. Bu matrislerden ilki şu şekilde elde edilir: d=1 kimlik matrisi denir N E.İkinci matris ile elde edilir d=0, sıfır matrisi olarak adlandırılır N inci sıra ve sembolü ile gösterilir Ah Böylece, e= Yukarıda kanıtlananlar sayesinde Bir E = E Bir Ve Ö = Ö A.Üstelik bunu göstermek kolay A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6) Formüllerin (1.6) ilki, kimlik matrisinin özel rolünü karakterize eder. E, gerçek sayıların çarpımında 1 sayısının oynadığı role benzer. Sıfır matrisinin özel rolüne gelince HAKKINDA, o zaman sadece formüllerin (1.7) ikincisiyle değil, aynı zamanda temel olarak doğrulanabilir eşitlikle de ortaya çıkar. A + 0 = 0 + A = A. Sonuç olarak, sıfır matris kavramının kare olmayan matrisler için de kullanılabileceğini not ediyoruz (sıfır, matris olarak adlandırılır). herhangi tüm elemanları sıfıra eşit olan matris). Blok matrisleri Bir matris varsayalım bir = || bir ij || yatay ve dikey çizgiler kullanılarak, her biri daha küçük boyutlu bir matris olan ve orijinal matrisin bloğu olarak adlandırılan ayrı dikdörtgen hücrelere bölünür. Bu durumda, orijinal matrisi dikkate almak mümkün hale gelir. A bazı yeni (sözde blok) matris olarak A = || bir bir b ||, öğeleri belirtilen bloklardır. Bu öğeleri, genel olarak konuşursak, sayı değil matris olduklarını vurgulamak için büyük Latin harfiyle belirtiyoruz ve (sıradan sayısal öğeler gibi), ilki "blok" satırının sayısını gösteren iki dizin sağlıyoruz ve ikincisi - "blok" satırının numarası. » sütunu. örneğin, matris bir blok matris olarak görüntülenebilir elemanları aşağıdaki bloklardır: Blok matrislerle yapılan temel işlemlerin, sıradan sayısal matrislerle gerçekleştirildikleri aynı kurallara göre gerçekleştirilmesi, yalnızca blokların eleman olarak işlev görmesi dikkate değerdir. Determinant kavramı. Herhangi bir mertebeden rastgele bir kare matris düşünün P: bir= Bu tür her bir matrisle, bu matrise karşılık gelen determinant adı verilen iyi tanımlanmış bir sayısal özelliği ilişkilendiririz. Eğer sipariş N matris (1.7) bire eşittir, o zaman bu matris bir elemandan oluşur bir ben j böyle bir matrise karşılık gelen birinci dereceden determinant ise, bu elemanın değerini arayacağız. o zaman böyle bir matrise karşılık gelen ikinci dereceden determinant, şuna eşit sayıdır: bir 11 bir 22 - bir 12 bir 21 ve sembollerden biri ile gösterilir: Yani tanım gereği Formül (1.9), kendisine karşılık gelen matrisin öğelerinden ikinci dereceden bir determinantı derlemek için bir kuraldır. Bu kuralın sözlü formülasyonu şu şekildedir: (1.8) matrisine karşılık gelen ikinci dereceden determinant, bu matrisin ana köşegenindeki elemanların çarpımı ile ikincil köşegenindeki elemanların çarpımı arasındaki farka eşittir. İkinci ve daha yüksek dereceli determinantlar, lineer denklem sistemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. nasıl çalıştığını görelim MathCad sisteminde matrislerle işlemler
. En basit matris cebir işlemleri, MathCad'de operatörler olarak uygulanır. Operatörleri anlam açısından yazmak, matematiksel eylemlerine mümkün olduğunca yakındır. Her operatör karşılık gelen bir sembolle ifade edilir. MathCad 2001'in matris ve vektör işlemlerini düşünün. Vektörler, boyut matrislerinin özel bir durumudur. n x 1, bu nedenle, kısıtlamalar özel olarak belirtilmedikçe (örneğin, bazı işlemler yalnızca kare matrisler için geçerlidir) matrisler için olduğu gibi aynı işlemlerin tümü onlar için geçerlidir. n x n). Bazı eylemler yalnızca vektörler için geçerlidir (örneğin, skaler çarpım) ve bazıları, aynı yazıma rağmen, vektörler ve matrisler üzerinde farklı davranır. q OK düğmesine bastıktan sonra, matris elemanlarını girmek için bir alan açılır. Bir matris elemanı girmek için imleci işaretli konuma getirin ve klavyeden bir sayı veya ifade girin. Araç çubuğunu kullanarak herhangi bir işlem gerçekleştirmek için yapmanız gerekenler: q matrisi seçin ve paneldeki işlem düğmesine tıklayın, q veya paneldeki düğmeye tıklayın ve işaretli konuma matrisin adını girin. “Semboller” menüsü üç işlem içerir - devrik, ters, determinant. Bu, örneğin, komutu yürüterek matris determinantını hesaplayabileceğiniz anlamına gelir. Semboller/Matrisler/Belirleyici. MathCAD matrisinin ilk satırının (ve ilk sütununun) numarası ORIGIN değişkeninde saklanır. Varsayılan olarak, geri sayım sıfırdan başlar. Matematiksel gösterimde 1'den saymak daha yaygındır. MathCAD'in satır ve sütun sayılarını 1'den sayması için ORIGIN:=1 değişkenini ayarlamanız gerekir. Lineer cebir problemleriyle çalışmak için tasarlanan fonksiyonlar, "Fonksiyon Ekle" iletişim kutusunun "Vektörler ve Matrisler" bölümünde toplanır ("Standart" panelindeki düğmeyle çağrıldığını hatırlatırız). Bu işlevlerin ana özellikleri daha sonra açıklanacaktır. transpozisyon Benzer bilgiler. Bu konu, matrislerde toplama ve çıkarma, bir matrisin bir sayı ile çarpılması, bir matrisin bir matris ile çarpılması, matris transpozisyonu gibi işlemleri kapsayacaktır. Bu sayfada kullanılan tüm semboller bir önceki konudan alınmıştır. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrislerinin $A+B$ toplamı, $C_(m) matrisidir \times n) =(c_(ij))$, burada tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline( için $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ 1,n) $. Matrislerin farkı için benzer bir tanım getirilmiştir: $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrislerinin $A-B$ farkı, $C_(m\times) matrisidir n)=( c_(ij)$, burada tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1) için $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$, n)$. $i=\overline(1,m)$ girişi için açıklama: show\hide "$i=\overline(1,m)$" girişi, $i$ parametresinin 1'den m'ye değiştiği anlamına gelir. Örneğin, $i=\overline(1,5)$ girişi, $i$ parametresinin 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini aldığını söylüyor. Toplama ve çıkarma işlemlerinin yalnızca aynı boyuttaki matrisler için tanımlandığını belirtmekte fayda var. Genel olarak, matrislerin toplanması ve çıkarılması, sezgisel olarak açık olan işlemlerdir, çünkü aslında, karşılık gelen elemanların sadece toplamı veya çıkarılması anlamına gelirler. Örnek 1 Üç matris verilir: $$ A=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)\;\; B=\left(\begin(dizi) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \sağ); \;\; F=\left(\begin(dizi) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(dizi) \sağ). $$ $A+F$ matrisini bulmak mümkün müdür? $C=A+B$ ve $D=A-B$ ise $C$ ve $D$ matrislerini bulun. $A$ matrisi 2 satır ve 3 sütun içerir (başka bir deyişle, $A$ matrisinin boyutu $2\x 3$'dir) ve $F$ matrisi 2 satır ve 2 sütun içerir. $A$ ve $F$ matrisinin boyutları eşleşmiyor, bu yüzden onları ekleyemiyoruz, yani. bu matrisler için $A+F$ işlemi tanımlanmamıştır. $A$ ve $B$ matrislerinin boyutları aynıdır, yani matris verileri eşit sayıda satır ve sütun içerir, bu nedenle toplama işlemi bunlara uygulanabilir. $$ C=A+B=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)+ \left(\begin(dizi) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \sağ)=\\= \left(\begin(dizi) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(dizi) \right)= \left(\begin(dizi) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(dizi) \sağ) $$ $D=A-B$ matrisini bulun: $$ D=A-B=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)- \left(\begin(dizi) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \sağ)=\\= \left(\begin(dizi) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(dizi) \sağ)= \left(\begin(dizi) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(dizi) \sağ) $$ Cevap: $C=\left(\begin(dizi) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(dizi) \sağ)$, $D=\left(\begin(dizi) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(dizi) \sağ)$. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisinin ve $\alpha$ sayısının çarpımı $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrisidir, burada $ Tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1,n)$ için b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$. Basitçe söylemek gerekirse, bir matrisi bir sayı ile çarpmak, verilen matrisin her bir elemanını o sayı ile çarpmak anlamına gelir. Örnek 2 Bir matris verildiğinde: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. $3\cdot A$, $-5\cdot A$ ve $-A$ matrislerini bulun. $$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ) =\left(\begin( dizi) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(dizi) \right)= \left(\begin(dizi) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(dizi) \sağ).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ) =\left(\begin(dizi) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(dizi) \sağ)= \left(\begin(dizi) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(dizi) \sağ). $$ $-A$ gösterimi, $-1\cdot A$ için kısa yoldur. Yani $-A$'ı bulmak için $A$ matrisinin tüm elemanlarını (-1) ile çarpmanız gerekir. Aslında bu, $A$ matrisinin tüm elemanlarının işaretinin tersine değişeceği anlamına gelir: $$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ)= \ left(\begin(dizi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(dizi) \sağ) $$ Cevap: $3\cdot A=\left(\begin(dizi) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(dizi) \sağ);\; -5\cdot A=\left(\begin(dizi) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(dizi) \sağ);\; -A=\left(\begin(dizi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(dizi) \sağ)$. Bu işlemin tanımı zahmetli ve ilk bakışta anlaşılmaz. Bu nedenle, önce genel bir tanım belirteceğim ve ardından bunun ne anlama geldiğini ve onunla nasıl çalışılacağını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisinin ve $B_(n\times k)=(b_(ij))$ matrisinin çarpımı, $C_(m\times k) matrisidir )=(c_( ij))$, bunun için $c_(ij)$'ın her bir elemanı, $A$ matrisinin i'inci satırının karşılık gelen elemanları ile matrisin elemanlarının çarpımlarının toplamına eşittir. $B$ matrisinin j. sütunu: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\üstçizgi(1,m), j=\üstçizgi(1,n).$$ Adım adım, bir örnek kullanarak matrislerin çarpımını analiz edeceğiz. Ancak, tüm matrislerin çarpılamayacağına hemen dikkat etmelisiniz. $A$ matrisini $B$ matrisiyle çarpmak istiyorsak, önce $A$ matrisinin sütun sayısının $B$ matrisinin satır sayısına eşit olduğundan emin olmamız gerekir (bu tür matrislere genellikle kabul). Örneğin, $A_(5\times 4)$ matrisi (matris 5 satır ve 4 sütun içerir) $F_(9\times 8)$ (9 satır ve 8 sütun) matrisiyle çarpılamaz, çünkü $A $ matrisi, $F$ matrisinin satır sayısına eşit değildir, yani $4\neq 9$. Ancak $A_(5\times 4)$ matrisini $B_(4\times 9)$ matrisiyle çarpmak mümkündür, çünkü $A$ matrisinin sütun sayısı matrisin satır sayısına eşittir. $B$ matrisi. Bu durumda, $A_(5\times 4)$ ve $B_(4\times 9)$ matrislerini çarpmanın sonucu, 5 satır ve 9 sütun içeren $C_(5\times 9)$ matrisidir: Örnek 3 Verilen matrisler: $ A=\left(\begin(dizi) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (dizi) \sağ)$ ve $ B=\left(\begin(dizi) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(dizi) \sağ) $. $C=A\cdot B$ matrisini bulun. Başlamak için, hemen $C$ matrisinin boyutunu belirliyoruz. $A$ matrisinin boyutu $3\time 4$ ve $B$ matrisinin boyutu $4\time 2$ olduğundan, $C$ matrisinin boyutu $3\time 2$ olur: Yani, $A$ ve $B$ matrislerinin çarpımının bir sonucu olarak, üç satır ve iki sütundan oluşan $C$ matrisini elde etmeliyiz: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(dizi) \sağ)$. Elemanların tanımları soruları gündeme getiriyorsa, başında matris elemanlarının tanımının açıklandığı "Matrisler. Matris türleri. Temel terimler" adlı önceki konuya bakabilirsiniz. Amacımız $C$ matrisinin tüm elemanlarının değerlerini bulmaktır. $c_(11)$ öğesiyle başlayalım. $c_(11)$ öğesini elde etmek için, $A$ matrisinin ilk satırının ve $B$ matrisinin ilk sütununun elemanlarının çarpımlarının toplamını bulmanız gerekir: $c_(11)$ öğesinin kendisini bulmak için $A$ matrisinin ilk satırının öğelerini $B$ matrisinin ilk sütununun karşılık gelen öğeleriyle çarpmanız gerekir, yani birinci elemandan birinciye, ikinciden ikinciye, üçüncüden üçüncüye, dördüncüden dördüncüye. Elde edilen sonuçları özetliyoruz: $$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$ Çözüme devam edelim ve $c_(12)$'ı bulalım. Bunu yapmak için, $A$ matrisinin ilk satırının ve $B$ matrisinin ikinci sütununun elemanlarını çarpmanız gerekir: Bir öncekine benzer şekilde, elimizde: $$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$ $C$ matrisinin ilk satırının tüm elemanları bulunur. $c_(21)$ elemanı ile başlayan ikinci satıra geçiyoruz. Bunu bulmak için, $A$ matrisinin ikinci satırının ve $B$ matrisinin ilk sütununun elemanlarını çarpmanız gerekir: $$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$ Bir sonraki $c_(22)$ elemanı, $A$ matrisinin ikinci satırının elemanları ile $B$ matrisinin ikinci sütununun karşılık gelen elemanlarının çarpılmasıyla bulunur: $$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$ $c_(31)$'ı bulmak için $A$ matrisinin üçüncü satırının elemanlarını $B$ matrisinin ilk sütununun elemanlarıyla çarparız: $$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$ Ve son olarak, $c_(32)$ öğesini bulmak için, $A$ matrisinin üçüncü satırının elemanlarını $B$ matrisinin ikinci sütununun karşılık gelen elemanlarıyla çarpmanız gerekir: $$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$ $C$ matrisinin tüm elemanları bulunur, geriye sadece şunu yazmak kalır: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \sağ)$ . Veya tam olarak yazmak için: $$ C=A\cdot B =\left(\begin(dizi) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(dizi) \right)\cdot \left(\begin(dizi) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(dizi) \right) =\left(\begin(dizi) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(dizi) \sağ). $$ Cevap: $C=\left(\begin(dizi) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(dizi) \sağ)$. Bu arada, sonuç matrisinin her bir öğesinin konumunu ayrıntılı olarak açıklamak için genellikle bir neden yoktur. Boyutu küçük olan matrisler için aşağıdakileri yapabilirsiniz: $$ \left(\begin(dizi) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(dizi)\sağ)\cdot \left(\begin(dizi) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(dizi) \sağ) =\left(\begin(dizi) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90) ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(dizi) \sağ) =\sol (\begin(dizi) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(dizi) \sağ) $$ Matris çarpımının değişmeli olmadığını da belirtmek gerekir. Bu, genel olarak $A\cdot B\neq B\cdot A$ anlamına gelir. Yalnızca bazı matris türleri için permütasyonel(veya işe gidip gelirken), $A\cdot B=B\cdot A$ eşitliği doğrudur. Çarpmanın değişmezliğine dayanarak, ifadeyi şu veya bu matrisle tam olarak nasıl çarptığımızı belirtmemiz gerekir: sağda veya solda. Örneğin, "$3E-F=Y$ eşitliğinin her iki tarafını sağdaki $A$ matrisiyle çarpın" ifadesi, aşağıdaki eşitliği elde etmek istediğiniz anlamına gelir: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Bir $. $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisine göre devrik $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ matrisidir, $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ olan öğeler için. Basitçe söylemek gerekirse, devrik $A^T$ matrisini elde etmek için, orijinal $A$ matrisindeki sütunları şu prensibe göre karşılık gelen satırlarla değiştirmeniz gerekir: ilk satır vardı - ilk sütun şöyle olacak; ikinci bir sıra vardı - ikinci sütun olacak; üçüncü bir sıra vardı - üçüncü bir sütun olacak vb. Örneğin, $A_(3\times 5)$ matrisine devrik matrisi bulalım: Buna göre, orijinal matrisin boyutu $3\time 5$ ise, devrik matrisin boyutu $5\time 3$ olur. Burada $\alpha$, $\beta$ bazı sayılardır ve $A$, $B$, $C$ matrislerdir. İlk dört özellik için isimleri belirttim, geri kalanlar ilk dördüne benzetilerek adlandırılabilir. Anlatım 1. “Matrisler ve üzerlerindeki temel işlemler. belirleyiciler
Tanım.
Matris boyut M
N, Nerede M- satır sayısı, N- belirli bir sırada düzenlenmiş sayılar tablosu adı verilen sütun sayısı. Bu sayılara matris elemanları denir. Her elemanın yeri, bulunduğu kesişme noktasındaki satır ve sütun sayısına göre benzersiz bir şekilde belirlenir. Matris öğeleri gösterilirA ben, Nerede Ben satır numarasıdır ve J- sütun numarası. bir = Matrisler üzerinde temel işlemler.
Bir matrisin bir satırı veya bir sütunu olabilir. Genel olarak konuşursak, bir matris bir elemandan bile oluşabilir. Tanım.
Matrisin sütun sayısı satır sayısına (m=n) eşitse o matrise matris denir. kare.
Tanım.
Matrisi Görüntüle: isminde kimlik matrisi.
Tanım.
Eğer A
mn
=
A
deniz mili
, sonra matris denir simetrik.
Örnek. Tanım.
Kare görünüm matrisi Toplama ve çıkarma matrisler, elemanları üzerinde karşılık gelen işlemlere indirgenir. Bu operasyonların en önemli özelliği, sadece aynı boyuttaki matrisler için tanımlı. Böylece, matrislerin toplama ve çıkarma işlemlerini tanımlamak mümkündür: Tanım.
Toplam (fark) matrisler, öğeleri sırasıyla orijinal matrislerin öğelerinin toplamı (farkı) olan bir matristir. cij = ayj
b ij C \u003d A + B \u003d B + A. Operasyon çarpma (bölme) herhangi bir boyuttaki matris, keyfi bir sayı ile matrisin her elemanının bu sayı ile çarpılmasına (bölülmesine) indirgenir. (A + B) \u003d A B A ( ) \u003d A A Örnek. Verilen matrisler A = 2A = Matris çarpma işlemi.
Tanım:
iş matrisler, elemanları aşağıdaki formüllerle hesaplanabilen bir matris olarak adlandırılır: A
B =
C;
Yukarıdaki tanımdan, matris çarpım işleminin yalnızca matrisler için tanımlandığı görülebilir, birincisinin sütun sayısı, ikincinin satır sayısına eşittir.
Matris çarpma işleminin özellikleri.
1) Matris çarpımıdeğişmeli değil
, yani AB Her iki ürün de tanımlanmış olsa bile VA. Bununla birlikte, herhangi bir matris için AB = BA ilişkisi sağlanıyorsa, bu tür matrislere matris denir.değişebilir.
En tipik örnek
aynı boyuttaki diğer herhangi bir matrisle permütasyon yapan bir matris. Yalnızca aynı mertebeden kare matrisler değişebilir olabilir. Açıkçası, aşağıdaki özellik herhangi bir matris için geçerlidir: A
Ö =
Ö;
Ö
A =
Ö,
nerede O - sıfır matris. 2) Matris çarpma işlemi çağrışımsal onlar. AB ve (AB)C çarpımları tanımlanmışsa, BC ve A(BC) tanımlıdır ve eşitlik şu şekildedir: (AB)C=A(BC). 3) Matris çarpma işlemi dağıtıcı ekleme ile ilgili olarak, yani A (B + C) ve (A + B) C ifadeleri mantıklıysa sırasıyla: (A + B) C = AC + BC. 4) AB çarpımı tanımlıysa, herhangi bir sayı için
doğru oran: (AB) = (
A)
B =
A(
B).
5) AB çarpımı tanımlanmışsa, B T A T çarpımı tanımlanır ve eşitlik sağlanır: (AB) T = B T A T, burada indeks T belirtir devrik matris. 6) Herhangi bir kare matris için det (AB) = detA olduğuna da dikkat edin. detB. Ne oldu det aşağıda tartışılacaktır. Tanım
.
Matris B denir devrik A matrisi ve A'dan B'ye geçiş transpozisyon, A matrisinin her satırının elemanları, B matrisinin sütunlarında aynı sırayla yazılırsa. bir = başka bir deyişle, b ji = a ij . Önceki özelliğin (5) bir sonucu olarak şunu yazabiliriz: (ABC ) T = C T B T A T , matris çarpımı ABC'nin tanımlanmış olması şartıyla. Örnek.
Verilen matrisler A = A T =
C =
Örnek. A = ve B = matrislerinin çarpımını bulun AB = VA = Örnek. A= matrislerinin çarpımını bulun AB = belirleyiciler(belirleyiciler). Tanım.
belirleyici kare matris A= de bir = M 1 ila ilk satır ve k-inci sütunu silinerek orijinalden elde edilen matrisin determinantıdır. Determinantların sadece kare matrislere sahip olduğuna dikkat edilmelidir, yani sütun sayısı ile aynı satır sayısına sahip matrisler. F de bir = Genel olarak konuşursak, determinant, matrisin herhangi bir satırından veya sütunundan hesaplanabilir, yani doğru formül şudur: deta= Açıkçası, farklı matrisler aynı determinantlara sahip olabilir. Kimlik matrisinin determinantı 1'dir. Belirtilen A matrisi için M 1k sayısı çağrılır ek minör matris elemanı a 1 k . Böylece, matrisin her bir elemanının kendi ek minörüne sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Ekstra küçükler yalnızca kare matrislerde bulunur. Tanım.
Ek minör bir kare matrisin rastgele bir elemanının a ij i'inci satırı ve j'inci sütunu silinerek orijinal matristen elde edilen matrisin determinantına eşittir. Mülk1.
Belirleyicilerin önemli bir özelliği aşağıdaki ilişkidir: det A = det A T ; Mülk
2.
det(A
B) = deta
det B Mülk 3.
det (AB) =
deta
detB Mülk 4.
Bir kare matriste herhangi iki satır (veya sütun) değiştirilirse, matrisin determinantı mutlak değerde değişmeden işaret değiştirir. Mülk 5.
Bir matrisin bir sütunu (veya satırı) bir sayı ile çarpıldığında, determinantı o sayı ile çarpılır. Mülk 6.
A matrisinin satırları veya sütunları doğrusal olarak bağımlıysa, determinantı sıfırdır. Tanım:
Matrisin sütunlarına (satırlarına) denir lineer bağımlı, bunların önemsiz olmayan (sıfıra eşit olmayan) çözümleri olan sıfıra eşit doğrusal bir kombinasyonu varsa. Mülk 7.
Matris sıfır sütun veya sıfır satır içeriyorsa, determinantı sıfırdır. (Bu ifade açıktır, çünkü determinant tam olarak sıfır satır veya sütunla hesaplanabilir.) 8. mülk
Bir matrisin determinantı, başka bir satırın (sütun) elemanları, satırlarından (sütunlarından) birinin elemanlarına sıfır olmayan bir sayı ile çarpılırsa (çıkarılırsa) değişmez. Mülk 9.
Oran, matrisin herhangi bir satırının veya sütununun öğeleri için doğruysa:D
=
D
1
D
2
,
e
=
e
1
e
2
,
F
= det(AB).
1. yöntem: det A \u003d 4 - 6 \u003d -2; det B = 15 – 2 = 13; det(AB) = det A det B = -26. 2. yol: AB =
– 152 = -26.
Matrisler, temel kavramlar. Bir matris, bir kümenin elemanlarından oluşan ve m satır ve n sütundan oluşan dikdörtgen bir A tablosudur. Kare matris - burada m=n. Satır (vektör satırı) - matris bir satırdan oluşur. Sütun (sütun vektörü) - matris bir sütundan oluşur. Transpoze Matris - A matrisinden satırları sütunlarla değiştirerek elde edilen bir matris. Köşegen matris, ana köşegen üzerinde olmayan tüm girişlerin sıfıra eşit olduğu bir kare matristir. Matrisler üzerindeki işlemler. 1) Bir matrisin bir sayı ile çarpma bölümü. A matrisinin α sayısı ile çarpımı, elemanları A matrisinin elemanlarından α sayısı ile çarpılarak elde edilen Matrix Axα olarak adlandırılır. Örnek: 7xA, , 2) Matris çarpımı. İki matrisi çarpma işlemi, yalnızca birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olduğu durum için uygulanır. Örnek: ,, AxB= Matris çarpma özellikleri: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) \u003d AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B, (A+B) T =A T +B T (AB) T = B T A T 3) Toplama, çıkarma. Matrislerin toplamı (farkı), öğeleri sırasıyla orijinal matrislerin öğelerinin toplamı (farkı) olan bir matristir. c ij = a ij b ij C \u003d A + B \u003d B + A. Bir noktada, bir aralıkta, bir segmentte fonksiyonların sürekliliği. Fonksiyonların kırılma noktaları ve sınıflandırılması. Bir x 0 noktasının yakınında tanımlanan f(x) fonksiyonu, fonksiyonun limiti ve bu noktadaki değeri eşitse, x 0 noktasında sürekli olarak adlandırılır, yani. Herhangi bir e>0 pozitif sayısı için, koşulu sağlayan herhangi bir x için öyle bir D>0 sayısı varsa, f(x) işlevi x 0 noktasında sürekli olarak adlandırılır. gerçek eşitsizlik Fonksiyonun x 0 noktasındaki artışı sonsuz küçük bir değerse, f (x) işlevi x \u003d x 0 noktasında sürekli olarak adlandırılır. f(x) = f(x 0) +a(x) burada a(x), x®x 0 için sonsuz küçüktür. Sürekli fonksiyonların özellikleri. 1) x 0 noktasında sürekli olan fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımı, x 0 noktasında sürekli olan bir fonksiyondur. 2) İki sürekli fonksiyonun bölümü, g(x)'in x 0 noktasında sıfıra eşit olmaması koşuluyla sürekli bir fonksiyondur. 3) Sürekli fonksiyonların üst üste binmesi sürekli bir fonksiyondur. Bu özellik aşağıdaki gibi yazılabilir: u=f(x),v=g(x) x = x 0 noktasında sürekli fonksiyonlarsa, v=g(f(x)) fonksiyonu da bu noktada sürekli bir fonksiyondur. İşlev F(X) denir aralıkta sürekli(A,B) bu aralığın her noktasında sürekli ise. Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri. Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır, yani segmentte –M f(x) M koşulu sağlanıyor. Bu özelliğin ispatı, x 0 noktasında sürekli olan bir fonksiyonun bu noktanın bir komşuluğunda sınırlı olması ve doğru parçasını x 0 noktasına "büzülen" sonsuz sayıda parçaya bölmemiz gerçeğine dayanmaktadır. , o zaman x 0 noktasının bir komşuluğu oluşur. Aralıkta sürekli olan bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerini alır. Onlar. x 1 ve x 2'nin öyle değerleri vardır ki f (x 1) = m, f (x 2) = M ve m f(x) M Fonksiyonun bir segment üzerinde ve birkaç kez alabileceği bu maksimum ve minimum değerleri not ediyoruz (örneğin, f (x) = sinx). Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farka, fonksiyonun segment üzerindeki salınımı denir. Bir segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyon, bu segment üzerinde iki rasgele değer arasındaki tüm değerleri alır. f(x) fonksiyonu x = x 0 noktasında sürekli ise, o zaman x 0 noktasının içinde fonksiyonun işaretini koruduğu bir komşuluğu vardır. f(x) fonksiyonu bir parça üzerinde sürekli ise ve parçanın uçlarında zıt işaretli değerlere sahipse, bu parçanın içinde f(x) = 0 olan bir nokta vardır. Şunları okumak faydalı olabilir:
(1.1) + 
= 
Nerede (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
Görüntülenen iletişim kutusunda, matrisin satır ve sütun sayısını ayarlayın.
Şekil 2 Matris transpozisyonu
MathCAD'de hem matrisleri toplayabilir hem de birbirinden çıkarabilirsiniz. Bu operatörler sembolleri kullanır <+>
veya <->
sırasıyla. Matrisler aynı boyuta sahip olmalıdır, aksi takdirde bir hata mesajı oluşturulur. İki matrisin toplamının her elemanı, matris terimlerinin karşılık gelen elemanlarının toplamına eşittir (Şekil 3'teki örnek).
Matris toplamaya ek olarak MathCAD, skaler bir değere sahip bir matrisin eklenmesini destekler, örn. numarası (Şekil 4'teki örnek). Ortaya çıkan matrisin her elemanı, orijinal matrisin karşılık gelen elemanının toplamına ve bir skaler değere eşittir.
Çarpma sembolünü girmek için yıldız tuşuna basmanız gerekir.<*>veya araç çubuğunu kullanın Matris (Matris),üzerindeki düğmeye basarak Nokta Çarpım (Çarp)(Şek. 1). Matris çarpımı, Şekil 6'daki örnekte gösterildiği gibi, varsayılan olarak bir nokta ile gösterilir. Matris çarpımı için sembol, skaler ifadelerde olduğu gibi seçilebilir.
Bir vektörün bir satır matrisiyle ve tersine bir satırın bir vektörle çarpılmasıyla ilgili başka bir örnek, Şekil 1'de gösterilmektedir. 7. Bu örneğin ikinci satırı, çarpma operatörünü görüntülemeyi seçtiğinizde formülün nasıl göründüğünü gösterir. Boşluk Yok (Birlikte). Ancak, aynı çarpma operatörü iki vektör üzerinde farklı davranır. .
Matrislerin toplanması ve çıkarılması.
Bir matrisi bir sayı ile çarpmak.
İki matrisin ürünü.
Matrisler üzerinde işlemlerin bazı özellikleri.
= e
,
- simetrik matris
isminde diyagonal matris.
; B= 
, 2A + B'yi bulun.
, 2A + B = 
.
.
A E = E A = A
A(B + C) = AB + AC
; B = Bir T = 
;
, B = , C = 
ve sayı = 2. A T B + C'yi bulun.
;
A T B =
=
=
;
; A T B+ C = +
=
.
.
= 
.
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
, V = 
= 
= 
.
matrisin elemanları tarafından aşağıdaki formülle hesaplanabilen bir sayı denir:
, nerede (1)
formül (1), matris determinantını ilk satıra göre hesaplamanıza izin verir, determinantı ilk sütuna göre hesaplama formülü de geçerlidir:
(2)
, ben = 1,2,…,n . (3)
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
.
.Soru 2.
.